文档内容
11.3.1 多边形的有关概念
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解析】
【详解】
解：根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只
有第一个、第二个、第五个符合题意．
故选A．
2．下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【详解】
根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．
故选D．
【点睛】
本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
3．下列图中不是凸多边形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则
即是凹多边形，故A不是凸多边形；B是凸多边形；C是凸多边形；D是凸多边形.
故选A.
4．下列叙述正确的是（ ）
A．每条边都相等的多边形是正多边形；
B．如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定是凹多边形；
C．每个角都相等的多边形叫正多边形；
D．每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形
【答案】D
【解析】
略
5．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 边形一个顶点的对角线为 计算求解即可．
【详解】
解：由题意知
解得
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握多边形的对角线．
6．从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2021个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】B
【解析】
【分析】
设多边形的边数为n，可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数为n-1，即
可求解．
【详解】
解：设多边形的边数为n，根据题意得：
n-1=2020，
解得n=2021，
故选B.
【点睛】
此题考查了规律型：图形的变化，理解多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三
角形个数=多边形的边数-1是解题的关键．
7．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角
形，则n的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．
【详解】
解：设多边形有n条边，
则n﹣2=10，
解得n=12．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶
点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律．
8．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成5个三角形，那么这个多边形有（ ) 条对角线
A．13 B．14 C．15 D．5
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：设多边形有n条边，
则n-2=5，
解得：n=7．
所以这个多边形的边数是7，
这个七边形 ×7×（7-3）=14条对角线．
故选B．
9．过 边形的一个顶点有12条对角线， 边形没有对角线，则 的值为（ ）
A．27 B．30 C．36 D．45
【答案】D
【解析】
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出 条对角线可得m、n的值，进而可得答案．
【详解】
解：∵过m边形的一个顶点有12条对角线，
∴ ，
∵n边形没有对角线，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握计算对角线条数的规律．
二、填空题：
10．一个四边形它有_____条边，有_____个内角，有______个外角，从一个顶点出发可以引______条对角
线，一共可以画______条对角线.
【答案】 4 4 4 1 2【解析】
【详解】
根据四边形的定义得一个四边形它有4条边，有4个内角，有4个外角，从一个顶点出发可以引4-3=1条
对角线，一共可以画 =2条对角线.
故答案为 4，4，4，1，2.
11．从八边形的—个顶点可以引_________条对角线，八边形总共有_________条对角线．
【答案】 5 20
【解析】
【分析】
n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线，总共有 条对角线，将八边形的边数代入即可得解.
【详解】
八边形的一个顶点可以引出的对角线为：8－3＝5（条）；
八边形总共有对角线为： ＝20（条）.
故答案为5；20.
12．一个多边形对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数是_____.
【答案】5
【解析】
【分析】
可根据多边形的对角线与边的关系列方程求解．
【详解】
设多边形有n条边，
则 =n，
n(n−3)−2n=0
n(n−5)=0
解得n =5,n =0(舍去)，
故多边形的边数为5.
故答案为5.
【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握运算公式.
13．从 边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个 边形分割成17个三角形，则 ＝______．
【答案】19
【解析】
【分析】
根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形的规
律作答．
【详解】
解：∵一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成(n-2)个三角形，
∴ -2=17，
∴ ．
故答案为：19．
【点睛】
本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系．
三、解答题：
14．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几
个三角形?
【答案】三条，分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF
【解析】
【分析】
从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2．
【详解】
解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、
△ACD、△ADE、△AEF.【点睛】
本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点
出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2．
15．已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长．
【答案】这个多边形的边长为 8．
【解析】
【分析】
根据从一个顶点出发共有 4 条对角线，求出这是正七边形即可求出边长.
【详解】
∵过多边形的一个顶点共有 4 条对角线， 故该多边形边数为 4+3＝7，
设这个正方形的边长为 x， 则 7x＝56，
解得：x＝8
∴这个多边形的边长为 8．
【点睛】
本题考查了正n边形的对角线和周长,属于简单题,熟悉正多边形对角线的求法是解题关键.
16．观察下面图形，并回答问题．
（1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线． 边形有
______条对角线；（无需证明）
（2）若一个多边形有 条对角线，这个多边形的边数是？【答案】（1）2，5，9， ；（2）这个多边形的边数是 ．
【解析】
【分析】
（1）根据图形求出多边形的对角线条数；
（2）设这个多边形的边数是 ，由题意得： ，解方程即可得出答案．
【详解】
解： 观察图形可得：四边形的对角线的条数为： ；
五边形的对角线的条数为： ；
六边形的对角线的条数为： ；
依次类推： 边形的对角线的条数为： ．
设这个多边形的边数是 ，由题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）.
答：这个多边形的边数是 ．
【点睛】
本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．
能力提升篇
一、单选题：
1．若一个多边形的对角线的条数比它的顶点数多3，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
设多边形的边数是x，则对角线的条数是： x（x-3），根据对角线的条数比它的顶点数多3即可列方程求
解．
【详解】设多边形的边数是x，则对角线的条数是：
x（x-3），
根据题意得： x（x-3）-x=3，
解得：x=6．
故选B．
【点睛】
考查了多边形的对角线的条数，正确记忆多边形的边数是x，则对角线的条数是： x（x-3）是关键．
2．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【解析】
【分析】
实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】
解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】
本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何
一种情况．
3．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18
【答案】A
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.
【详解】
解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，
如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，
如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，
故选：
【点睛】
本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的
关键是清晰的分类讨论.
二、填空题：
4．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可
能是_________边形.
【答案】三、四、五
【解析】
【详解】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，
故答案为三、四、五.
5．过 边形的一个顶点有7条对角线， 边形没有对角线， 边形有 条对角线，则 ______.
【答案】125
【解析】
【详解】
∵n边形从一个顶点发出的对角线有n−3条，
∴m=7+3=10，n=3，k=5；
∴ =125，
故答案为125.
【点睛】
若过m边形的一个顶点有7条对角线，则m=10；n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而n=3；k
边形有k条对角线，即得到方程 k（k-3）=k，解得k=5．代入解析式就可以求出代数式的值．
6．过 边形的一个顶点有7条对角线， 边形没有对角线，过 边形一个顶点的对角线条数是边数的 ，
则 ______________________.
【答案】13
【解析】
【分析】
根据过n边形一个顶点有n-3条对角线进行解答即可．
【详解】
解：∵过十边形的一个顶点有7条对角线，∴m=10，
∵三角形没有对角线，∴n=3，
又∵k-3= k，解得，k=6，
∴m-n+k=13，
故答案为13．
【点睛】
本题考查的是多边形的对角线的求法，掌握过n边形一个顶点有n-3条对角线是解题的关键．7．我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉
1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使 边形木架不变形至少要再钉
______________根木条.（用 表示， 为大于3的整数）
【答案】n-3
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
【详解】
过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．
故答案为：（n-3）．
【点睛】
考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形的问题．
三、解答题：
8．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________
多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________
（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含 的代数式将上面的表格填写完整，其中
①______________________；②______________________；
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学
之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
【答案】（1）① ；② ；（2）135个
【解析】
【分析】（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一
个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②；
（2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，
因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。
【详解】
（1）由表可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3；从一个顶点可以引出
n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为
．
故答案为：① ；②
（2）因为3×6=18
（名），18名学生看成是顶点数为18的多边形，不同组的两位同学之间打一个电话是
这个多边形的对角线，则由（1）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话为 （个）．
【点睛】
本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用：同组三个人之间不能打电话，对应
多边形的一个顶点不能与相邻的两个顶点连成对角线，因此18个人对应18个顶点，不同组的两位同学间
打一个电话对应连接两顶点的一条对角线.
