文档内容
第 02 讲 三角形中的数学思想与热点题型（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 方程思想
典例1 在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠A的3倍与∠B的2倍相等，∠B的5倍与∠C的6倍相等，
求∠A：∠B：∠C：∠D．
典例2（江阴市期中）如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC
＝118°，则∠A的度数为（ ）
A．65° B．66° C．70° D．78°
针对训练1
1．（2018秋•安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（ ）
A．85° B．95° C．100° D．110°
3．（2020春•江都区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是 ．
4．（2021•柳南区校级模拟）一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是 ．
2．（2021春•锡山区期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE
＝10°，∠B＝60°，求∠A的度数．
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司类型二 分类讨论思想
典例3（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足
下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
典例4（平泉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的
动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x
的值；若不存在，说明理由．
针对训练2
5．（2017春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的
周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对
6．将长为24的木棒截成互不相等的且长都为整数的三段，使这三段能构成一个三角形的三条边，则不同
的截法有 种．
学科网（北京）股份有限公司类型三 转化思想
典例5（2015秋•武汉校级期中）（1）如图（1），将△ABC纸片沿着DE对折，使点A落在四边形BCDE
内点A′的位置，探索∠A，∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），继续这样的操作，把△ABC纸片的三个角按（1）的方式折叠，三个顶点都在形内，
那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．
（3）如果把n边形纸片也做类似的操作，n个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+…+∠2n的度数为
（用含有n的代数式表示）．
针对训练3
7．（2021秋•凉山州期末）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（ ）度．
A．180 B．270 C．360 D．540
8．（2021秋•海淀区校级期中）如图①，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝
我们把图①称为二环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图②称为二环四边形，它
的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H．则二环四边形的内角和为
二环五边形的内角和为
二环n边形的内角和为
学科网（北京）股份有限公司9．（2021•普陀区模拟）发现
如图 1，在有一个“凹角∠A A A ”n 边形 A A A A ……A 中（n 为大于 3 的整数），∠A A A ＝
1 2 3 1 2 3 4 n 1 2 3
∠A +∠A +∠A +∠A +∠A +……+∠A ﹣（n﹣4）×180°．
1 3 4 5 6 n
验证
（1）如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D．
（2）如图3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F
﹣360°．
延伸
（3）如图4，在有两个连续“凹角A
1
A
2
A
3
和∠A
2
A
3
A
4
”的n边形A
1
A
2
A
3
A 4……A
n
中（n为大于4的整数），
∠A
1
A
2
A
3
+∠A
2
A
3
A
4
＝∠A
1
+∠A
4
+∠A
5
+∠A 6……+∠A
n
﹣（n﹣ ）×180°．
类型四 整体思想
典例6（2021春•新吴区月考）（1）如图①，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的
内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律 ；
（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A
与∠1、∠2之间存在什么样的关系？
（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，
你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
学科网（北京）股份有限公司10．（2021秋•平舆县期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的
位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
11．（2021春•长安区期末）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE
折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明
理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
学科网（北京）股份有限公司类型五 从特殊到一般思想
典例7（2021秋•高新区校级期末）小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．
猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到
下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 a 15 20 30
上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 ．
（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、
∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的
延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．
针对训练7
12．（2022•泗水县一模）如图中，分别是由1个、2个、n个（n为正整数）正方形连接成的图形，在图1
中，x＝70°；在图2中，y＝28°；通过以上计算，请写出图3中a+b+c+⋯+d＝（ ）（用含n的式子
表示）
A．45°n B．90°n C．135°n D．180°n
学科网（北京）股份有限公司13．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，CD⊥BD于点D．
（1）若∠A＝80°，则∠DCE＝ 度；
（2）若∠A＝ ，求∠DCE的度数．
α
类型六 动点问题
典例8（2022春•江都区期中）∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO＝BO时，
∠AEB＝ °；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B
的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延
长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
学科网（北京）股份有限公司针对训练6
14．（2022春•江阴市校级月考）在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在直线BC上运动
（不与点G重合），过点D作DE∥AC交直线AB于点E．
（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB，
①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝ ；
②若∠B＝40°，则∠AFD＝ ；
③探究∠AFD与∠B之间的数量关系，说明理由；
（2）若点D在射线GB上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F，∠AFD与∠ABC
之间的数量关系是否与（1）中③相同，若不同请写出新的关系并画图说明理由．
学科网（北京）股份有限公司第二部分 专题提优训练
1．（2020•锦州）如图，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD 平分∠ACB，则∠ADC 的度数是
（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．（2020秋•德城区校级月考）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．（2017秋•兴隆县期末）等腰三角形的一个角为70°，其余两个角的度数为（ ）
A．55°和55° B．40°和70°
C．55°和55°或40°和70° D．70°和60°
4．（2018春•渝中区校级期中）在△ABC中，∠A﹣∠B＝25°，∠C＝75°，则∠B的度数为 ．
5．（2018秋•武昌区期中）在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则
∠EAD的度数为 ．
6．（2021秋•东平县期中）在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B，求∠A、∠B、∠C的度数．
7．如图，在△ABC中，∠B的平分线BD交AC边于点D，点E在CA的延长线上，∠BAE＝128°，∠C＝
48°，试求∠BDE的度数．
学科网（北京）股份有限公司8．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝40°，求∠C的度数．
9．已知非直角△ABC中，∠A＝40°，高BD和CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数．
10．（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点
O．
（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．
11．（2021秋•梁子湖区期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
学科网（北京）股份有限公司12．（2021秋•市南区期末）△ABC中，∠C＝70°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一
动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠ ．
初探： α
（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠ ＝60°，则∠1+∠2＝ °；
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，α则∠1，∠2，∠ 之间的关系为 ；
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，α∠2，∠ 之间的关系为 ．
再探： α
（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1，∠2，∠ 之间的关系，并说明理由．
（5）若点P运动到△ABC的外部，请在图5中画出一种情形，写出α此时∠1，∠2，∠ 之间的关系，
并说明理由． α
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