文档内容
第一课时——圆的有关性质（1）（答案卷）
知识点一：与圆有关的概念：
1. 圆的概念：
定义①：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。
特别说明：定点O叫做圆心，定长r叫做半径。
定义②：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋
转 一周 ，另一个端点A所形成的 图形 叫做圆．固定的端点O叫
做 圆心 ，线段OA叫做 半径 。以O点为圆心的圆，记作 ⊙ O
，读作 圆 O 。
特别说明：固定端点是圆心，线段OA是半径。
2. 弦的概念：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 。如图中有弦
CD与弦AB。
3. 直径：过 圆心 的弦叫做直径。如图中弦AB是直径。
4. 弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。
5. 半圆： 直径 的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做 半圆 。
⌒
6. 优弧： 大于 半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧 AOC，表示为 AOC 。读作 弧
AOC 。
⌒
7. 劣弧： 小于 半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧 AC，表示为 AC 。读作 弧 AC
。
特别说明：表示优弧必须用三个字母，即在弧的两个端点中间加圆心或弧上一点。如
只有两个端点则默认表示劣弧8. 等圆：能够 重合 的两个圆或半径 相等 的两个圆叫做等圆。
9. 等弧：在同圆或等圆中，能够 重合 的两条弧叫做等弧。
特别说明：等弧只在同圆或等圆中存在。
知识点二：圆的对称性：
圆既是 轴对称 图形，有 无数 条对称轴。又是 中心对称 图形，对称中心是圆
的 圆心 。
【类型一：基本概念的认识与理解】
1．到定点O的距离等于2cm的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆．
【分析】圆的定义是在同一平面内到定点距离等于定长的点的集合，所以到定点 O的距离等于2cm的
点的集合是圆．
【解答】解：根据圆的定义可知，到定点 O的距离等于2cm的点的集合是以点O为圆心，2cm为半径
的圆．
故答案为：点O，2cm．
2．如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以A为端点的弧中，优弧有
，劣弧有 ．
【分析】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的
部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫
做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【解答】解：图中的直径有AB，非直径的弦有CD、EF；图中以A为端点的弧中，
优弧有 ， ， ， ，劣弧有 ， ， ， ，
故答案为：AB；CD、EF； ， ， ， ； ， ， ， ．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径
B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径
D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；
B、半圆是弧，正确；
C、过圆心的弦是直径，故错误；
D、圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，
故选：B．
4．下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是
弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
5．下列说法错误的是（ ）
A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
【分析】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．
【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
故选：C．
6．下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．圆有无数条对称轴
C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径
D．度数相等的弧是等弧
【分析】利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项．
【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
B、圆有无数条直径，故正确，符合题意；
C、过圆心有无数条直径，故错误，不符合题意；
D、完全重合的弧是等弧，故错误，不符合题意；
故选：B．
7．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧
【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；
根据半圆和等弧的定义对D进行判断．
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选：B．
8．下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是圆中最大的弦，正确，符合题意；
②长度相等的两条弧一定是等弧，错误，不符合题意；
③半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意；
④弧分优弧和劣弧及半圆，故原命题错误，不符合题意；
⑤同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意．
正确的有2个，
故选：B．知识点一：垂径定理：
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的 直径 ， 平分 弦，平分弦所对的 优弧 和 劣弧 。
2. 垂径定理的推论：
五个条件：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧。
特别说明：这里的弦不能是直径。
知二推三：即知道其中两个另外三个一定成立。
推论1：平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且 平分 弦所对的 两条弧
。
推论2：弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分 弦所对的 两条弧 。
推论3：平分弦所对一条弧的直径， 垂直平分 弦，并且平分弦所对的 另一条弧
。
3. 垂径定理的应用：
垂径定理与勾股定理相结合，可解决与圆有关的线段计算问题。
即：
如图：
特别说明：弦心距是圆心到弦的距离，半弦长即弦长的一半。
【类型一：利用垂径定理求半径】
9．如图， O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝ ，则 O的半径为 ．
⊙ ⊙【分析】连OA，AB交OC于D点，设半径为R，由AB垂直平分半径OC，根据垂径定理得到DA＝DB
＝ AB＝ ，且有OD＝ OC，在Rt△AOD中，OD＝ R，利用勾股定理可得到R2＝（ ）2+（
R）2，即可求出R＝ ．
【解答】解：连OA，AB交OC于D点，如图，
设半径为R，
∵AB垂直平分半径OC，
∴DA＝DB，OD＝ OC，
而AB＝ ，
∴AD＝ ，
在Rt△AOD中，OD＝ R，
∵OA2＝AD2+OD2，即R2＝（ ）2+（ R）2，
∴R＝ ．
故答案为 ．
10．如图，AB是 O的一条弦，OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则 O的
半径为（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．5 B． C．3 D．
【分析】设 O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．
⊙
【解答】解：设 O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，
⊙
∵OD⊥AB，AB＝4，
∴AC＝ AB＝2，
在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，
∴r2＝22+（r﹣1）2，
r＝ ，
故选：D．
11．如图所示，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP：PB＝1：5，则 O的半径为
cm．
⊙ ⊙
【分析】要求 O的半径，只要连接OC，在Rt△PCO中根据勾股定理就可以得到．
⊙
【解答】解：连接OC，
设AP＝x，则PB＝5x，
∴OP＝3x﹣x＝2x．∵CD⊥AB，∴PC＝ CD＝ ×10＝5．
在Rt△PCO中，OC2﹣OP2＝PC2，
∴（3x）2﹣（2x）2＝52，
∴x＝ ，∴ O的半径为3 cm．
⊙
12．如图，在 O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，若
AC＝2cm，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙
A．1 cm B．2 cm C． cm D．4 cm
【分析】首先证明四边形ADOE为正方形，且边长为1，对角线AO的长即为半径．
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB．
同理AE＝CE＝ AC．
∵AB＝AC，∴AD＝AE
连接OA，∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC，
∴∠OEA＝∠A＝∠ODA＝90°，
∴四边形ADOE为矩形．
又∵AD＝AE，∴ADOE为正方形，∴OA＝ ＝ （cm）．
故选：C．
13．如图所示，在 O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则 O的半径长为（ ）
⊙ ⊙
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】过点O作OC⊥AB，连接OA，由OC垂直AB，根据垂径定理得到AC的值，在直角三角形
AOC中，利用勾股定理即可求出OA的长，即为圆的半径．
【解答】解：过点O作OC⊥AB，连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝3cm，
又∵OC＝4cm，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA＝ ＝ ＝5cm．
故选：C．
【类型二：利用垂径定理求弦长】
14．如图，在 O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若 O的半径为2，则弦AB的长为 ．
⊙ ⊙【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角
三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．
【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝ OC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB＝2AD＝2 ＝2 ＝2 ．
故答案为：2 ．
15．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB＝10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】根据垂径定理可得结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，CD是直径，
∴AE＝EB＝ AB＝5，故选：B．
16．如图， O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝ cm．
⊙
【分析】连接OA，如图，先计算出OC＝OA＝5，OE＝2，再根据垂径定理得到AE＝BE，然后利用勾
股定理计算出AE，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵CE＝3cm，DE＝7cm，
∴CD＝10cm，
∴OC＝OA＝5cm，OE＝2cm，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，
在Rt△AOE中，AE＝ ＝ （cm），
∴AB＝2AE＝2 （cm）．
故答案为2 ．
17．如图， O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB
的长为 ．
⊙【分析】连接OB，过O作OC⊥AB于C，根据含30度角的直角三角形性质求出OC，根据勾股定理求
出BC，根据垂径定理得出AB＝2BC，即可得出答案．
【解答】
解：连接OB，过O作OC⊥AB于C，
则∠OCP＝90°，
∵OP＝4，∠APO＝30°，
∴OC＝ OP＝2，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝ ，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AB＝2BC＝2 ，
故答案为：2 ．
18．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（ ）
A．6 B．2
C．6或2 D．以上说法都不对
【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得．
【解答】解：如图，①若CD＝8，
则CF＝ CD＝4，
∵OC＝OA＝5，
∴OF＝3，
∵EF＝1，
∴OE＝2，
则AE＝ ，
∴AB＝2AE＝2 ；
②若AB＝8，
则AE＝ AB＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OE＝3，
∵EF＝1，
∴OF＝4，
则CF＝3，
∴CD＝2CF＝6；
综上，另一弦长为6或2 ，
故选：C．
【类型三：利用垂径定理求弦心距】19．如图，弦CD垂直于 O的直径AB，垂足为H，且OB＝13，CD＝24，则OH的长是（ ）
⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CH，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵AB是 O的直径，CD⊥AB，
⊙
∴CH＝ CD＝12，
在Rt△OCH中，OH＝ ＝ ＝5，
故选：C．
20．过 O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 3 cm ．
⊙
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是 10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径
的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB＝10cm，CD＝6cm．
∵CD⊥AB，
∴CP＝ CD＝4cm．
根据勾股定理，得OP＝ ＝ ＝3（cm）．
故答案为：3cm．21． O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是 ．
⊙
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，由垂径定理得AE＝ AB＝12，CF＝ CD＝5，
由于AB∥CD，易得E、O、F三点共线，在Rt△AOE和Rt△OCF中，利用勾股定理分别计算出OE与
OF，然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OF+OE；当圆心O在弦AB与CD
的外部时，AB与CD的距离＝OF﹣OE．
【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA＝OC＝13，
则AE＝ AB＝12，CF＝ CD＝5，
∵AB∥CD，
∴E、O、F三点共线，
在Rt△AOE中，OE＝ ＝ ＝5，
在Rt△OCF中，OF＝ ＝ ＝12，
当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OF+OE＝12+5＝17；
当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7．
所以AB与CD的距离是17或7．
故答案为17或7．
22．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（ ）cm．
⊙A．8 B．5 C．3 D．2
【分析】根据垂径定理推出EC＝ED＝4，再利用勾股定理求出OE即可解决问题．
【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴CE＝ED＝4cm，
在Rt△OEC中，OE＝ ＝3（cm），
∴AE＝OA+OE＝5+3＝8（cm），
故选：A．
23．如图， O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 ．
⊙
【分析】因为 O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距
的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM＝3，即OP的最小值为3，所以
⊙
3≤OP≤5．
【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵ O的直径为10，
⊙
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM＝ ，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
【类型一：垂径定理的应用】
24．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF＝CD＝4cm，则球的半径
长是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣
x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．25．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB宽为8cm，水的最大深度为
2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD＝ AB，设OA＝r，则OD＝r﹣
2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．
【解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝ AB＝ ×8＝4cm，
设OA＝r，则OD＝r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5cm．
∴该输水管的半径为5cm；
故选：C．
⌒ ⌒
26．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是AB的
中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A．25m B．24m C．30m D．60m
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20m，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可
推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝40 m，
∴AD＝DB＝20 m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25（m），
∴这段弯路的半径为25 m
故选：A．
27．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为 O的直
径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为 寸．
⊙
【分析】连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，再根据垂径定理求出AE的长，在Rt△OAE中根
据勾股定理求出r的值，进而得出结论．
【解答】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，
∵AB⊥CD，AB＝1尺，
∴AE＝ AB＝5寸，在Rt△OAE中，
OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13（寸）．
∴CD＝2r＝26寸．
故答案为：26．
28．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为 米．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：设所在的圆的圆心是O．
根据垂径定理，知C，O，D三点共线，
设圆的半径是r，则根据垂径定理和勾股定理，得r2＝（r﹣4）2+64，∴r＝10m．
29．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为
80cm，则水位上升 cm．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC＝ AB＝30cm，
在Rt△OBC中，OC＝ ＝40cm，
当水位上升到圆心以下 水面宽80cm时，
则OC′＝ ＝30cm，
水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
故答案为10或70．
30．一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（如图），桥拱最高
处离水面4m．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？【分析】已知到桥下水面宽AB为16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面4m，就是已知弦心
距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题．
【解答】解：（1）如图所示，设点O为AB的圆心，点C为 的中点，
连接OA，OC，OC交AB于D，由题意得AB＝16m，CD＝4m，
由垂径定理得OC⊥AB，AD＝ AB＝ ×16＝8（m），
设 O半径为xm，则在Rt△AOD中，
⊙
OA2＝AD2+OD2，即x2＝82+（x﹣4）2，
解得x＝10，所以桥拱的半径为10m；
（2）设河水上涨到EF位置（如上图所示），
这时EF＝12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），
∴EM＝ EF＝6m，
连接OE，则有OE＝10m，
OM＝ ＝8（m）
OD＝OC﹣CD＝10﹣4＝6（m），
DM＝OM﹣OD＝8﹣6＝2（m）．一、选择题（10题）
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．
【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B．圆有无数条对称轴，正确；
C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
D．圆的对称中心是它的圆心，正确；
故选：C．
2．在以下所给的命题中，正确的个数为（ ）
①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长
度相等的弧是等弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及等弧的定义即可解决．
【解答】解：根据直径和弦的概念，知①正确，②错误；
根据弧和半圆的概念，知③正确；
根据等弧的概念，半径相等的两个半圆一定能够重合，是等弧，④正确；
长度相等的两条弧不一定能够重合，⑤错误．
故选：C．
3．如图， O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
⊙A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【解答】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选：B．
4．如图所示，MN为 O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝50°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的
度数．
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝50°，
∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．
故选：C．
5．如图，点E在y轴上， E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），
则线段AB的长度为（ ）
⊙A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】连接EB，由题意得出OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，得出EB＝ED＝ CD＝5，OE＝4，由垂
径定理得出AO＝BO＝ AB，由勾股定理求出OB，即可得出结果．
【解答】解：连接EB，如图所示：
∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD＝1，OC＝9，
∴CD＝10，
∴EB＝ED＝ CD＝5，OE＝5﹣1＝4，
∵AB⊥CD，
∴AO＝BO＝ AB，OB＝ ＝ ＝3，
∴AB＝2OB＝6；
故选：C．
6．如图（1）是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图（2）所示，在车轮上取A、B两点，
⌒
设AB所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．经测量：AB＝90cm，CD
＝15cm，则OA的长度是（ ）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
【分析】设 O的半径为rcm，根据垂径定理得到AD＝BD＝45cm，接着利用勾股定理得到452+（r﹣
15）2＝r2，然
⊙
后解方程即可．【解答】解：设 O的半径为rcm，
⊙
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝45cm，
在Rt△OAD中，∵OA＝r，OD＝r﹣15，AD＝45，
∴452+（r﹣15）2＝r2，
解得r＝75，
即OA的长为75cm．
故选：D．
7．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则 O的直径为（ ）
⊙ ⊙
A．10 B．8 C．5 D．3
【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴PC＝ CD＝ ×8＝4，
在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，
∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，
∴OC2＝PC2+OP2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴ O的直径为10．
⊙故选：A．
8．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，
深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为 O的直径，弦AB⊥DC于
E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
⊙
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝
10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程
的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．9．已知 O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为（
）cm．
⊙
A．14或2 B．14 C．2 D．6
【分析】分两种情况进行讨论：①弦MN和EF在圆心同侧；②弦MN和EF在圆心异侧；作出半径和
弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】解：①当弦MN和EF在圆心同侧时，如图1，
∵MN＝12cm，EF＝16cm，
∴CE＝8cm，CF＝6cm，
∵OE＝OM＝10cm，
∴CO＝6cm，OD＝8cm，
∴EF＝OF﹣OE＝2cm；
②当弦MN和EF在圆心异侧时，如图2，
∵MN＝12cm，EF＝16cm，
∴CE＝8cm，CF＝6cm，
∵OE＝OM＝10cm，
∴CO＝6cm，OD＝8cm，
∴EF＝OF+OE＝14cm；
故选：A．
10．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作
EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2【分析】根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF＝AD，即可求出答案．
【解答】解：∵OD⊥AC，AC＝2，
∴AD＝CD＝1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO＝∠OFE＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE＝∠ADO＝90°，
∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，
∴∠DAO＝∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF＝AD＝1，
故选：C．
二、填空题（6题）
11．如图，AB是 O的直径，点C在 O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3， O的直径长
是 ．
⊙ ⊙ ⊙
【分析】连接OC，如图，利用勾股定理计算出OC即可．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，∴∠CDO＝90°，
在Rt△OCD中，OC＝ ＝5，
∴AB＝2OC＝10，
即 O的直径为10．
⊙
故答案为10．
12．如图， O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 度．
⊙
【分析】解答此题要作辅助线OB，根据OA＝OB＝BD＝半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外
角和内角的关系解决．
【解答】解：连接OB，
∵BD＝OA，OA＝OB
所以△AOB和△BOD为等腰三角形，
设∠D＝x度，则∠OBA＝2x°，
因为OB＝OA，
所以∠A＝2x°，
在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）＝180，
解得x＝25，
即∠D＝25°．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点
D，则AD的长为 ．
【分析】首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，可求得AB的长，又由直角
三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由
垂径定理求得AD的长．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝5，
∵S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CE，
∴CE＝ ＝ ，
∴AE＝ ＝ ，
∴AD＝2AE＝ ，
故答案为 ．14．过 O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为 cm．
⊙
【分析】圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点M且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求
解即可．
【解答】解：如图，∵AB＝6cm，CD＝4cm，
∴由垂径定理OC＝3cm，CM＝2cm，
∴由勾股定理得OM＝ ＝ ＝ cm，
故答案为 ．
15．如图， O 的直径为 10cm，弦 AB＝8cm，点 P 是弦 AB 上的一个动点，则 OP 的取值范围是
3 cm ≤ OP ≤ 5 cm ．
⊙
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，由垂径定理可知AE＝BE＝ AB，再根据勾股定理求出
OE的长，由此可得出结论．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，
∵AB＝8cm，
∴AE＝BE＝ AB＝ ×8＝4cm，
∵ O的直径为10cm，
⊙
∴OA＝ ×10＝5cm，∴OE＝ ＝ ＝3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm，
故答案为3cm≤OP≤5cm．
16．如图， O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有
个．
⊙
【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据
三角形面积可得OC＝3 ，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一
个值都有两个点P，所以一共有4个．
解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，
设OC＝x，AC＝y，
∵AB是 O的一条弦， O的半径为6，
⊙ ⊙
∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，
∴ ，
则y＝ ，
∴ ，
解得x＝3 或﹣3 （舍），
∴OC＝3 ＞4，
∴4＜OP≤6，
∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．
三、解答题（4题）
17．如图，D是 O弦BC的中点，A是 O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．
⊙ ⊙
（1）求线段OD的长；
（2）当EO＝ BE时，求DE的长．
【分析】（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD＝ BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即
可得出结论；
（2）在Rt△EOD中，设BE＝x，则OE＝ x，DE＝6﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，∴OD⊥BC，BD＝ BC，
在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2．
∵BO＝AO＝8，BD＝6．
∴OD＝2 ；
（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2．
设BE＝x，则OE＝ x，DE＝6﹣x．
（2 ）2+（6﹣x）2＝（ x）2，
解得x ＝﹣16（舍），x ＝4．
1 2
则DE＝2．
18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水
面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得
出结论．
【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝ AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
19．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．
（1）求这座拱桥所在圆的半径．
（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经
过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
【分析】（1）首先连接OA，设这座拱桥所在圆的半径为x米，由垂径定理，易得方程：x2＝（x﹣4）
2+62，解此方程即可求得答案；
（2）连接OM，设MN＝5米，可求得此时OH的高，即可求得OH﹣OD的长，比较3.6米，即可得到
此时货船能否顺利通过这座拱桥．
【解答】解：（1）连接OA，
根据题意得：CD＝4米，AB＝12米，
则AD＝ AB＝6（米），
设这座拱桥所在圆的半径为x米，
则OA＝OC＝x米，OD＝OC﹣CD＝（x﹣4）米，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
则x2＝（x﹣4）2+62，解得：x＝6.5，
故这座拱桥所在圆的半径为6.5米．
（2）货船不能顺利通过这座拱桥．理由：
连接OM，
设MN＝5米，
∵OC⊥MN，
∴MH＝ MN＝2.5（米），
在Rt△OMH中，OH＝ ＝6（米），
∵OD＝OC﹣CD＝6.5﹣4＝2.5（米）
∵OH﹣OD＝6﹣2.5＝3.5（米）＜3.6米，
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
⌒
20．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是 O的直径，∠AOD＝80°，B是AD的中点．
⊙
（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．
【分析】（1）作出B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）延长AO交圆与E，连接OB′，B′E，可以根据圆周角定理求得∠AOB′的度数，根据等腰三角
形的性质求得∠A的度数，然后在直角△AEB′中，解直角三角形即可求解．
【解答】解：（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）连接OB，OB’，过O作OE⊥AB’于E
⌒
∵∠AOD＝80°，B是AD的中点．
∴∠BOD＝40°，则∠B’ OD＝40°
∴∠A OB’＝120°∵OE⊥AB’于E
∴∠AOE＝60°
∵OA＝OD＝2
∴OE＝1
∴AE＝
∴AP＋BP＝AB’＝2
