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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 29.1.2 过三点的圆(第2 课时 反证法) （导学案） （1）能用自己的语言描述反证法的基本思想，知道反证法是一种间接证明方法.能准确说出反证法的四个 基本步骤，并能在具体证明中按步骤规范书写. （2)能用反证法证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”，并能解释每一步的逻辑依据. (3)在证明过程中，体会“正难则反”的思维策略，感受数学证明的严谨性和逻辑力量，发展理性思维. 重点:反证法的基本步骤及其在“共线三点不能作圆”证明中的运用. 难点:对“推出矛盾”中“矛盾”的理解——矛盾可以是与已知条件矛盾、与定义矛盾、与公理定理矛盾， 也可以是与假设自身矛盾.在证明“共线三点不能作圆”时，如何从“假设能作圆”出发，通过垂直平分线 的性质和平行线的判定推出矛盾.从直观理解到逻辑表达的转化——能用规范的几何语言书写反证法证明 过程. 第一环节 自主学习 温故知新： 情境创设：“路边苦李”的故事：王戎七岁时，和小朋友看到路边李树上结满了果子，小朋友们争先恐后 去摘，王戎却一动不动.有人问他为什么不去摘，王戎说：“树在路边，却结了这么多果子，这李子一定是 苦的.”摘来一尝，果然苦涩难咽. 追问：王戎是怎么判断李子是苦的？他没有直接尝，而是用了怎样的推理？ 假设：李子是甜的. 推论：如果李子是甜的，那么早就被人摘光了，树上不会有这么多李子. 矛盾：树上结满了李子，与“早被人摘光”矛盾. 结论：李子不是甜的，是苦的. 揭示课题：这种“先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明结论成立”的方法，叫做反证法.今天 我们就要学习这种方法，并用它来证明上一节课的一个重要结论. 【学法指导】 新知自研：自研课本第118-119页的内容 【学法指导】自研课本P118-119 页内容 (一)过共线三点能否作圆 活动：在学案上画三个在同一直线上的点A、B、C。尝试过这三点作圆，能作出来吗？ 学生尝试后发现：作不出来。 追问1：为什么作不出来？用刚才的思路分析： 追问2：平行线有没有交点？没有交点意味着什么？ 追问3：既然找不到圆心，能作出圆吗？ 怎样用本开始的思路证明上面的结论呢？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 已知：A、B、C是直线l上的三个点。求证：经过A、B、C三点不能作圆. 分析：第1步——假设： 第2步——推理： 第3步——矛盾： 第4步——结论： 证明： 追问：这个结论与上一节课的定理有什么关系？ （二）反证法的概念与步骤 追问1：上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆” 的方法与我们以前学过的证明有什么不同？ 归纳反证法概念：先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这 样的证明方法叫做反证法. 追问2：基本步骤（以“路边苦李”为例对应说明）： 1. 假设： 2. 推理： 3. 矛盾： 4. 结论： 反证法四步：假设 → 推理 → 矛盾 → 结论. 追问3：反证法与我们以前学过的证明方法有什么不同？ （三）反证法的适用情境 讨论交流：什么情况下适合用反证法？ 师生共同归纳： 1. 结论以否定形式出现：如“不能”“不是”“不存在”等.直接证明“不能”往往无从下手，反证法通 过假设“能”来推出矛盾，更为自然. 2. 结论的反面情况较少：结论的反面只有一种情形时，反证法比较简洁.若反面情况有多种，则需要逐一 反驳，较为繁琐. 3. 直接证明困难时：从已知条件难以直接推出结论，但假设结论以否定形式出现：如“不能”“不是”“不 存在”等。直接证明“不能”往往无从下手，反证法通过假设“能”来推出矛盾，更为自然. 结论的反面情况较少：结论的反面只有一种情形时，反证法比较简洁.若反面情况有多种，则需要逐一反驳， 较为繁琐.直接证明困难时：从已知条件难以直接推出结论，但假设结论不成立时推理方向明确. 应用举例：“两直线平行，同位角相等”由“两直线平行”直接推导较困难，可以采用反证法. 【自研自探】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 自研课本P118-119 页内容 典型例题 例1.利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角． 第二环节 合作探究 1.讨论共线的三点能画圆吗？ 2.讨论什么是反证法？反证法的基本步骤. 3.讨论反证法的适用情境. 拓展提升： 1．如图，已知ABC 中， 60 A = ， (1)用尺规作ABC 的外接圆O； (2)若 O 的半径为4，求扇形BOC 的面积． 课本课堂练习P119. 1．（2026.经开校考）证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于60． 2.（2026.聊城统考）已知：a∥b，b∥c.求证：a∥c. 知识技能：反证法——先假设 ，推出 ，从而 的间接证明方法.四个步骤： → → → （ ）.用反证法证明了“经过同一直线上的三个点 作圆”. 思想方法：正难则反：当直接证明困难时，转向证明结论的 ，从而 结论.转化思想： 将“证明 ”转化为“证明 ”.逻辑推理：反证法的核心是逻辑的严谨性——每一 步推理都 . 易错提醒：假设错误：假设必须是“ ”，不能把结论的 作为假设.矛盾不明确： 推理的最后一定要明确指出“ ”，不能含糊带过.推理跳步：从假设到矛盾，每一步推理都 要 ，不能 .适用范围： 所有命题都适合用反证法，直接证明简便时应 直 接证明.
