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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 29.1.2 过三点的圆(第1 课时 确定圆的条件) （教学设计） 1. 教学内容 本节课为人教版2024版九年级上册第二十九章第29.1.2节“过三点的圆”第1课时.主要内容包括：确定圆 的条件探究：过一点、过两点、过不在同一直线上的三点作圆.核心定理：不在同一直线上的三个点确定一 个圆。确定性的理解：从“存在性”和“唯一性”两个维度理解“确定”的含义.共线三点不能作圆的解释： 利用垂直平分线性质说明为什么共线三点不能确定一个圆. 2.内容解析 本节课本节是“圆”章节中从“圆的定义”迈向“圆的性质应用”的重要节点.本课直接运用了线段垂直平 分线的性质（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）和圆的定义（到定点距离等于定长）， 是前面所学知识的综合应用与升华.学生需要将“确定圆心”转化为“找垂直平分线交点”这一核心思路. “过三点的圆”是后续学习圆内接四边形、四点共圆条件的基础.同时，外心（三角形外接圆的圆心）是三 角形“五心”之一，在几何证明和计算中具有举足轻重的地位.本课所渗透的“分类讨论”和“存在唯一性” 思想，是数学严谨性的重要体现. 基于以上分析，本节课的教学重点是不在同一直线上的三点确定一个圆的定理及其探究过程. 1.教学目标 （1）理解并掌握定理：知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，能从“存在性”和“唯一性”两个 维度解释“确定”的含义.掌握探究方法：经历“过一点→过两点→过三点”的递进式探究过程，理解确定 圆的条件从“无数个”到“唯一”的变化规律. （2)理解共线三点不能作圆的原因：能运用垂直平分线的性质解释为什么共线三点不能确定一个圆. （3）经历“操作—观察—猜想—验证”的探究过程，体会分类讨论、从特殊到一般的数学思想，发展逻辑 推理和几何直观能力. 2.目标解析 目标1是“确定”二字包含两层含义：存在性（总能画出一个）和唯一性（只能画出一个），这对培养学生 的逻辑严密性至关重要. 目标2是从“过一个点”到“过两个点”再到“过三个点”，是数学中典型的“从特殊到一般”的探究路径， 旨在让学生在递进中发现规律.通过对比“共线”与“不共线”两种情形，让学生明白定理条件的必要性， 培养思维的严谨性. 目标3是分类讨论思想贯穿本课始终，是培养学生思维严密性的重要载体. 学生已在本章前一节学习了圆的定义（动态和静态），掌握了尺规作图（作垂直平分线），熟悉等腰三角 形和全等三角形的基础知识.学生在前几节课已积累了画图、测量、折叠等探究经验. 学生容易忽略“不在 同一直线上”这一关键前提，误认为“任意三点”都能作圆.学生对“无数个圆”的状态感知清晰，但对“有 且只有一个圆”的“确定性”缺乏逻辑上的深刻认识，难以从“存在+唯一”两个维度理解“确定”.学生 可能知道垂直平分线的性质，但难以自主将其与“确定圆心”建立联系. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基于以上分析，确定本节课的教学难点是对“确定”一词的深刻理解（存在性与唯一性）.为什么共线三点 不能作圆的逻辑解释（利用垂直平分线性质说明无交点）.在探究过程中，发现“圆心在垂直平分线上”这 一规律，并自主归纳出作图方法. 创设情景，引入新课 情境创设：多媒体展示情境——“某考古队发现一块残缺的圆形古镜边缘碎片，只有一段圆弧（如图）.工 匠师傅想要复原这面古镜的完整形状，需要知道整个圆的大小和位置.” 核心问题：要复原一个圆，最关键的是确定什么？（圆心和半径）.现在只有一段弧（即圆上的若干个点）， 至少需要几个点才能确定这个圆呢？ 复习铺垫：圆的静态定义是什么？（到定点距离等于定长的所有点组成的图形） 垂直平分线的性质是什么？（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） （设计意图：用“古镜复原”引入，激发学生解决问题的内驱力，让数学学习变得有意义.从“需要几个点 才能确定圆”这一问题出发，直击本课核心.复习圆的定义和垂直平分线性质，为本课探究提供工具支撑.） 探究点1：过一点作圆 活动：请学生在学案上先画一个点A.经过点A，你能画多少个圆？学生用圆规试一试，如图： 学生操作总结归纳：可以画无数个圆. 追问：这些圆的圆心有什么规律？（圆心可以是平面内任意一点，只要到点A的距离等于半径即可.） （设计意图：从最简单的情形出发，让学生感知“过一点有无数个圆”，为后续递进探究提供参照起点.） 探究点2：过两点作圆 活动：在再画一个点B，经过点A和点B，你能画多少个圆？试一试. 学生操作总结归纳：可以画无数个圆. 追问1：这些圆的圆心有没有什么共同特点？（圆心到A和B的距离相等，即圆心在线段AB的垂直平分线上） 追问2：你能用尺规找出几个这样的圆心吗？（在垂直平分线上任取一点作为圆心，到A（或B）的距离为半 径画圆即可） 追问3：圆心到A、B的距离满足什么关系？（OA=OB） （设计意图：引导学生从“无数个圆”中发现“圆心在垂直平分线上”这一规律，将“作圆”问题转化为 “找圆心”问题.让学生意识到，过两点的圆的圆心轨迹是一条直线（垂直平分线），为后续“过三点”的 探究埋下伏笔.） 探究点3：过不在同一直线上的三点作圆 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 活动：在学案上画三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？ 引导性探究： 问题1：过A、B两点的圆的圆心在哪里？（在线段AB的垂直平分线l1上） 问题2：过B、C两点的圆的圆心在哪里？（在线段BC的垂直平分线l2上） 问题3：同时满足“过A、B、C三点”的圆心，应该在哪？（在l₁和l₂的交点O处） 问题4：为什么圆心必须是l₁和l₂的交点？（因为圆心既要到A、B距离相等，又要到B、C距离相等，同时满 足这两个条件的点就是两条垂直平分线的交点） 问题5：这个交点O到A、B、C三点的距离有什么关系？（OA=OB=OC，因为O在AB的垂直平分线上，所以OA=OB； O在BC的垂直平分线上，所以OB=OC；因此OA=OB=OC） 追问6：以O为圆心，OA为半径画圆，这个圆是否一定经过A、B、C三点？（一定，因为OA=OB=OC） 追问7：这样的圆有几个？唯一吗？为什么？（只有1个，因为两条垂直平分线的交点只有一个） 师生共同归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 关键词解读：“确定”=“存在且唯一”.存在性：总能找到两条垂直平分线的交点O，以O为圆心到任意一 点的距离为半径画圆，该圆经过三个点. 唯一性：两条垂直平分线的交点唯一，因此这样的圆只有一个. 由上图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三 角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. （设计意图：通过递进式问题链，引导学生自主发现“找圆心就是找垂直平分线交点”这一核心思路，避 免直接灌输结论.通过“为什么有且只有一个”的追问，从两个维度深刻理解“确定”的含义，突破教学难 点.运用垂直平分线的性质进行严谨的逻辑推导，实现从“作图实践”上升为“理论证明”.） 典型例题 例1. 如图，在ABC 中， 30 B C = = ． (1)求作 O ，使圆心O落在BC 边上，且 O 经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知 6 BC = ，求 O 的半径． 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于2 AB 为半径在AB 两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与BC 的交点为O， 以O为圆心，OB 为半径画圆即可； （2）连接OA，OA OB = 得 30 BAO = ，根据三角形外角与内角的关系求出 60 AOC = ，结合已知可得 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 90 OAC = ，运用30角所对的直角边等于斜边的一半求出 2 OC OB = ，最后由 6 BC = 代入求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接OA OA OB = 30 B C = = 30 B BAO = = 60 AOC B BAO = + = 又 30 C = 90 OAC = 2 2 OC OA OB = = 6 BC = 2 3 6 OB OC OB OB OB + = + = = 2 OB = 故 O 的半径为：2 （设计意图：通过例题强化尺规作图，圆的基本性质等．） 课本课堂P118练习题. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的 理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、 A B C ，请在网格图 中进行下列操作： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为______； (2)求出扇形DAC 的面积． 【详解】（1）解：根据网格作AB ，BC 的中垂线，这两条中垂线相交于点D ，连接AD，CD，AC ，则 点 (2,0) D ， 故答案为：(2,0) ； （2）解：由（1）图可知： 2 2 2 2 2 2 2 4 2 5, 2 4 2 5, 2 6 2 10 AD CD AC = + = = + = = + = ， 2 2 2 DA DC AC + = ， ADC 为直角三角形， 90 ADC = ， 即 D 的半径为2 5 ， ADC 的度数为90， ∴ ( ) 2 90 2 5 5 360 ADC S = = 扇形 ． (设计意图:强化如何画圆．) 1.（2026·庐江三中课时练习）估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论． 【详解】解：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． ①在较大的弧上取点A、B，连接AB，使线段AB同时过三条弧，再作AB的垂直平分线CD； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②连接DE，作DE的垂直平分线交CD与点O″，则此点即为 DE 所在圆的圆心； ③连接GF，作GF的垂直平分线交CD与点O′，则O′即为中间的弧所在圆的圆心； ④连接BC，作BC的垂直平分线交CD与点O，则O即为较大的弧所在圆的圆心． 根据图形可知：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． 2．（2026·苏州校考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两 条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系， (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ． (2)求出圆的直径 【详解】（1）解：连接BC，作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上找一点P，使得PC PA PB = = ，如图 所示，点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴点P的坐标为：( 1 2) − − ， ， 故答案为：( 1 2) − − ， ． （2）由（1）得：点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴圆的直径为： 2 2 2 2 3 1 2 10 PA = + = ． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能： 探究路径：过一点→过两点→过三点，从“无数个”到“唯一”的递进变化.核心定理：不在 同一直线上的三个点确定一个圆（存在性 + 唯一性）.重要结论：共线三点不能确定一个圆.作图思路：找 圆心→作两条垂直平分线→交点为圆心. 思想方法：分类讨论：分为“过一点、过两点、过三点”三种情况逐步探究.从特殊到一般：从简单情形（过 一点）开始，逐步过渡到复杂情形（过三点）.转化思想：将“确定圆”的问题转化为“确定圆心”的问题， 再转化为“找垂直平分线交点”的问题. 易错提醒：漏条件：切记“不在同一直线上”的前提，共线三点不能作圆.误判共线：在具体题目中，要善 于通过角度、坐标等条件判断三点是否共线.圆心位置：过三点的圆的圆心是两条垂直平分线的交点，不是 角平分线或其他线的交点. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题29.1第5.6题. 探究性作业：习题29.1第8题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 29.1.2 过三点的圆（第1课时） 一、探究递进 二、核心定理 三、作图思路 四、易错提醒 副板书 例题 学生练习板演
