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分层作业
30.3 正多边形和圆
目 录
A 组 巩固过关
题型01 正多边形的中心角
题型02 由正多边形的中心角求边数
题型03 正多半形与圆的综合
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
正多边形的中心角
1．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（ ）
A．45
B．60
C．90
D．360
【答案】C
【分析】本题考查正多边形中心角的计算．
利用正n 边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果．
【详解】解：∵正n 边形所有中心角的和为360，每个中心角的度数为360
n
，
又∵正方形是边数
4
n =
的正多边形，
∴正方形中心角的度数为360
90
4
=
．
2．（2026·辽宁鞍山·二模）下列图形旋转60后可以与原图形重合的是（ ）
题型01
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A．正六边形
B．正五边形
C．正方形
D．正三角形
【答案】A
【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、正六边形的中心角为：360
60
6
=
，绕它的中心旋转60后可以和原图形重合，符合题
意；
B、正五边形的中心角为：360
72
5
=
，绕它的中心旋转60后不能和原图形重合，不符合题意；
C、正方形的中心角为：360
90
4
=
，绕它的中心旋转60后不能和原图形重合，不符合题意；
D、正三角形的中心角为：360
120
3
=
，绕它的中心旋转60后不能和原图形重合，不符合题意；
3．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着
它的中心O旋转
(0
360)
n
n
后，能够与原来的图形完全重合，则n 的值可以是________（写出2 个符合
题意的数值即可）．
【答案】72或144（答案不唯一）
【分析】结合正五边形的性质，得出中心角1
2
360
5
72
= =
=
，再根据旋转的性质，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵这是正五边形卡通贴纸
∴1
2
360
5
72
= =
=
，
∴1
2 144
+=
则将正五边形绕着它的中心O旋转72后，能够与原来的图形完全重合，
或将正五边形绕着它的中心O旋转144后，能够与原来的图形完全重合．
4．（24-25 九年级下·上海宝山·阶段检测）如果一个正多边形的外角是3度，那么它的中心角是
___________度
【答案】3
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【分析】本题考查了正多边形中心角、外角的定义和计算方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据正多边形中心角、外角的定义和计算方法得出正n 边形的中心角与外角相等即可．
【详解】解：正n 边形的中心角为360
n
，由于n 个外角的和为360，所以每一个外角为360
n
，
因此正n 边形的中心角与外角相等，
所以它的中心角是3度，
故答案为：3．
5．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若
BOC
是正n 边形的一个中心
角，则n 的值为___________．
【答案】12
【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n 边
形的每个中心角都等于360是解题的关键．连接OA，由正六边形与正方形可得
60
AOB
=
，
=90
AOC
，进而可得
30
BOC
AOC
AOB
=
−
=
，再由“正n 边形的每个中心角都等于360”即可得出
答案．
【详解】解：连接OA，
正六边形与正方形有重合的中心O，
360
60
6
AOB
=
=
，
360
90
4
AOC
=
=
，
90
60
30
BOC
AOC
AOB
=
−
=
−
=
BOC
是正n 边形的一个中心角，
360
12
30
n
=
=
．
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故答案为：12．
由正多边形的中心角求边数
6．（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是40，则该正多边形边
数是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】B
【分析】本题考查圆内接正多边形的性质，熟练掌握圆心角与边数的关系是解决本题的关键．
设边数为n ，根据所有圆心角之和为360，列式求解即可．
【详解】解：∵圆内接正多边形每条边所对的圆心角相等，且所有圆心角之和为360，
∴设边数为n ，则360
40
n
=
，
解得
9
n =
，
∴该正多边形边数为9．
故选：B．
7．（25-26 九年级上·河南驻马店·期末）如图，BC 是
O
的内接正n 边形的一边，点A在
O
上，
20
BAC
=
，则n 的值为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．18
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接OB ，OC ，由圆
周角定理得
2
BOC
BAC
=
，再根据正n 边形的边数
360
n =
中心角，即可得解．
【详解】解：如图，连接OB ，OC ，
20
BAC
=
，
题型02
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2
2 20
40
BOC
BAC
=
=
=
，
BC
是
O
的内接正n 边形的一边，
360
40
9
n
=
= ．
故选：C．
8．（25-26 七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄
任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动36才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边
数为__________．
【答案】10
【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计
算即可求解．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，
根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动36，
即该正多边形的每个外角为36，
由多边形的外角和等于360， 得
360 36
10
n =
=
．
9．（24-25 九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若正多边形的半径与边心距的夹角为20，则该正多边形的边数为
______．
【答案】9
【分析】本题考查了正多边形与圆．根据正多边形的半径与边心距的夹角为20，求得正多边形的中心角
为40，于是得到结论．
【详解】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为20，
∴正多边形的中心角为40，
∴该正多边形的边数为360
9
40
° =
°
，
故答案为：9．
正多半形与圆的综合
10．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好
的祝愿．如图，正六边形ABCDEF 内接于
O
，若正六边形ABCDEF 的周长为18cm，则
O
的半径为
题型03
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（ ）
A．1.5cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
【答案】B
【分析】连接OA、OB ，根据正六边形的性质求出
3cm
AB =
，
60
AOB
=
，再证明AOB
为等边三角
形，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接OA、OB ，
∵正六边形ABCDEF 内接于
O
，周长为18cm，
∴
18 6
3
AB
cm
=
=
，
360
6
60
AOB
=
=
，
∵OA
OB
=
，
∴AOB
为等边三角形，
∴
3
OA
OB
AB
cm
=
=
=
，即
O
的半径为3cm ．
11．如图，正方形ABCD的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D
，若
:
1: 2
AB AB
=
，则四边形A B C D
的外接圆的半径为（ ）
A．1
B．2
C．2 2
D．2
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换、正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的性质．
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根据相似比求出
8
A B C D
S = ，可得结论．
【详解】解：如图，连接OA，OB，
∵正方形ABCD∽正方形A B C D
，
∴
2
1
1
2
4
ABCD
A B C D
S
S
=
=
，
∵
2
ABCD
S
=
∴
8
A B C D
S = ，
∴
8
2 2
A B =
=
，
∵
90
A OB
=
，
∴
2
2
A B
OA
OB
=
=
=
．
故选：D ．
12．如图，正五边形ABCDE 内接于
O
中，P 是劣弧BE上一点，则
DPC
的度数为______．
【答案】
36/36 度
【分析】连接OD ，OC ，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得
DPC
的度
数．
【详解】解：如图，连接OD ，OC ，
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∵正五边形ABCDE 内接于
O
，
∴
360
72
5
DOC
=
=
，
∴
1
1
72
36
2
2
DPC
DOC
=
=
=
．
13．（2026·江苏泰州·二模）高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边
长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据正方形内切圆的性质，可得内切圆的直径等于正方形的边长，先求出内切圆的半径，再利用
圆的面积公式计算即可得到结果
【详解】解：∵ 正方形的边长为2，正方形的内切圆直径等于正方形的边长，
∴ 该内切圆的直径为2，半径
1
r = ，
∴
21
S
=
=
14．（25-26 九年级上·北京·期末）如图，O为正八边形ABCDEFGH 的中心，连接AE ，以E 为圆心的圆弧
经过点D，F ，与AE 交于点M ，连接DM ，则
EDM
的大小为_________________．
【答案】56.25
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形内角和定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，
熟练运用内角和公式、三角形内角和公式、等腰三角形的性质是解题的关键．
根据正多边形内角和定理求出
DEF
的度数，进而求出
AED
∠
的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形
内角和定理即可求解．
【详解】解：∵八边形ABCDEFGH 是正八边形，
∴
180
(8
2)
135
8
DEF
−
=
=
，
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由对称性可得
1
67.5
2
AED
AEF
DEF
=
=
=
∠
∠
∠
，
∵EM
ED
=
，
∴
180
180
67.5
56.25
2
2
AED
EDM
EMD
−
−
=
=
=
=
．
故答案为：56.25．
15．如图五边形ABCDE 是
O
的内接正五边形，点M、N 分别从点B、C 开始以相同的速度在
O
上逆时
针运动，AM 与BN 交于点P．则
APN
的度数是（ ）
A．72
B．108
C．120
D．没有确定值
【答案】B
【分析】根据正五边形的性质得出
(
)
5
2
180
108
5
ABC
−
=
=
，由点 M 、N 运动速度相同得出
BM
CN
=
，结合三角形外角性质推导
108
APN
BAM
ABN
ABC
=
+
=
=
．
【详解】解：如图，五边形 ABCDE 是正五边形 ，
∴
(
)
5
2
180
108
5
ABC
−
=
=
，
点M 、N 分别从点B、C 开始以相同的速度在
O
上逆时针运动，
BM
CN
=
，
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∴
BAM
CBN
=
，
∴
108
APN
BAM
ABN
CBN
ABN
ABC
=
+
=
+
=
=
．
16．（24-25 九年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，连接AC ．若正六边
形的边长为4，则点O 到AC 的距离OG 的长为（ ）
A．2 3
B．2
C．3
D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30 度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心
角，连接OG
OA OD
，
，
，则
120
60
OC
OA
OD
AOC
DOC
=
=
=
=
，∠
，∠
，可证明DOC
是等边三角形，
30
OAC
OCA
=
=
，则可得到
4
OC
DC
=
=
，再求出OG 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OG
OA OD
，
，
，
∵点O 为正六边形ABCDEF 的中心，
∴
360
360
2
120
60
6
6
OC
OA
OD
AOC
DOC
=
=
=
=
=
=
，∠
，∠
，
∴DOC
是等边三角形，
180
120
30
2
OAC
OCA
−
=
=
=
，
∴
4
OC
DC
=
=
，
∵OG
AC
⊥
，
∴
1
2
2
OG
OC
=
=
，
∴点O 到AC 的距离OG 的长为2，
故选：B．
17．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为2cm 的正六边
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形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部
分阴影区域的面积为（ ）（结果保留π）
A．2π
3
B．2π
C．π
6
D．6π
【答案】A
【分析】由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形OAB 的面积，然后求出中心角即圆心
角，再由扇形面积公式求解．
【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形OAB 的面积，
而
360
60
6
AOB
=
=
，
∴扇形OAB 的面积
2
60
2
2
360
3
=
=
，
∴这部分阴影区域的面积为2
3
．
18．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，
O
是正五边形ABCDE 的内切圆，点M，N，F 分别是
边AE ，AB ，CD与
O
的切点，则
MFN
的度数为（ ）
A．36
B．35
C．34
D．33
【答案】A
【详解】解题的关键是熟练掌握圆的基本知识．连接OM ，ON ，求出
MON
，再利用圆周角定理求解即
可．
【点睛】 解：如图，连接OM ，ON ．
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∵点M，N，F 分别是边AE ，AB ，CD与
O
的切点，
∴OM
AE
⊥
，ON
AB
⊥
，
∴
90
OMA
ONA
=
=
，
∵正五边形ABCDE 中
(
)
5
2
180
108
5
A
−
=
=
，
∴
360
72
MON
OMA
ONA
A
=
−
−
−=
，
∴
1
36
2
MFN
MON
=
=
．
19．（25-26 九年级下·山西太原·开学考试）团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形
可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审
美与文化内涵．如图1 是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2 所示的正八边形，已知
该正八边形的中心为点O，则1
的度数为___________．
【答案】45
【分析】根据正多边形的中心角定义进行解答即可．
【详解】解：由正八边形的性质，可得
360
1
45
8
=
=
．
20．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子(
)
60
C
中的微粒像足球
一样团结在一起．一个烯分子由12 个正五边形、20 个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边
形ABCDEF 中，连接BE，若
18
BE =
，则正六边形ABCDEF 的边长为（ ）
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A．6
B．9
C．12
D．18
【答案】B
【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边
长的2 倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2 倍边长，由
18
BE =
直接求得边长为9．
【详解】解：设正六边形ABCDEF 的边长为a ，
正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为60，
正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2 倍，
B
E
、为正六边形的一组对顶点，
2
BE
a
=
，
18
BE =
，
2
18
a
=
，
9
a
= ．
21．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心点，连接OB
OF
、
，则
BOF
的度数
为______．
【答案】120
【分析】本题考查正多边形的中心角，连接OA，根据中心角的计算方法，求出
,
FOA
AOB
的度数，进
而求出
BOF
的度数即可．
【详解】解：连接OA，
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∵点O 是正六边形ABCDEF 的中心点，
∴
360
60
6
FOA
AOB
=
=
=
，
∴
120
FOA
A
BOF
OB
+
=
=
；
故答案为：120
22．作图题：
(1)尺规作图：如图，已知线段AB ．求作线段AB 的垂直平分线l，交AB 于点C；（要求：保留作图痕迹，
不写作法）
(2)已知六边形ABCDEF 是以O 为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF 的全部图形，并写
出作法．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以A、B 为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．
（2）连接CO并延长到F，使得OF
OC
=
，连接BO 并延长到E，使得OE
OB
=
，连接DE ，EF ，AF 即
可得出图形．
【详解】（1）
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（2）解：连接CO并延长到F，使得OF
OC
=
，连接BO 并延长到E，使得OE
OB
=
，连接DE ，EF ，
AF ，
如图，六边形ABCDEF 即为所求．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题
的关键．
23．（2026·河北邢台·二模）如图，AB 和AC 分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若
1
AB = ，则下列说法不正确的是（ ）
A．该圆的半径是1
B．弦AC 的长是2
C．BC 的长为π
3
D．AB
l
是BC
l
的2 倍
【答案】C
【分析】先将图形补充完整，再根据圆的内接正六边形和内接正方形性质，求出半径，利用勾股定理，弧
长公式逐项分析即可．
【详解】解：如图，将圆、正方形，正六边形补充完整，
设正方形对角线交点为O，连接OB ，
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对于A，由图形，正方形四个角都为90，圆内接正方形的对角线为圆的直径，
点O为圆的圆心，也为圆内接正六边形的中心，
360
60
6
AOB
=
=
，且OA
OB
=
，OAB
为等边三角形，
该圆的半径
1
r
AB
=
= ，故A 选项正确，不符合题意；
对于B，
90
AOC
=
，弦AC 的长是
2
2
2
OA
OC
+
=
，故B 选项正确，不符合题意；
对于C，
90
60
30
BOC
AOC
AOB
=
−
=
−
=
，BC 的长为30
1
π 1
π
180
6
=
，故C 选项错误，符合题
意；
对于D，
60
1
π 1
π
180
3
AB
l
=
=
，AB
l
是BC
l
的2 倍，故D 选项正确，不符合题意．
24．（2026·山东临沂·二模）如图，
O
是边长为2 的正六边形ABCDEF 的外接圆，以点F 为圆心，AF 长
为半径画弧AE ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 π
3
B．4 π
3
C．8 π
3
D．16 π
3
【答案】A
【分析】如图，连接AO ，根据题意得到OA
OE
=
，
360
60
6
AOB
=
=
，得到弓形AO 的面积= 弓形
EO的面积，然后利用扇形面积公式求解．
【详解】解：如图，连接AO
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∵
O
是边长为2 的正六边形ABCDEF 的外接圆，
∴OA
OE
OB
=
=
，
360
60
6
AOB
=
=
，
∴OAB
是等边三角形，
∴
2
OA
AB
=
=
，
∵以点F 为圆心，AF 长为半径画弧AE ，
∴弓形AO 的面积= 弓形EO的面积，
∴阴影部分的面积
2
60π 2
2π
360
3
OAB
S
=
=
=
扇形
．
25．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影
部分的面积（ ）
A．54 3
9π
−
B．27 3
4π
+
C．27 3
4π
−
D．54 3
9π
+
【答案】A
【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6 个等边三边形，过点O 作OM
AI
⊥
，则
1
1
6
3
2
2
AM
AL
=
=
=
，根据勾股定理求出OM ，求出
AOI
S
，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六
边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】解：正六边形AKJBLI 如下图：
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I
360
6
60
AO
=
=
，又AO
IO
=
，
∴AOI
是等边三角形，
同理可知：正六边形可以分成面积相等的6 个等边三角形，
过点O 作OM
AI
⊥
，
则
1
1
6
3
2
2
AM
AL
=
=
=
，
∴
2
2
36
9
3 3
OM
AO
AM
=
−
=
−
=
，
∴
1
1
6 3 3
9 3
2
2
AOI
S
AI
OM
=
=
=
，
正六边形的面积为：6 9 3
54 3
=
，
六个小半圆的面积为：
23
3
27
=
，中间大圆的面积为：
2
6
36
=
，
所以阴影部分的面积为：54 3
27
36
54 3
9
+
−
=
−
．
26．（2026·山西长治·三模）在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a 的正十二边形和边长为a
的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为
（ ）
A．
2
S
S
=
正方形
正十二边形
B．
3
S
S
=
正方形
正十二边形
C．
4
S
S
=
正方形
正十二边形
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关
键．过A 作AC
OB
⊥
于C ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为360
30
12
=
，根据三角形的面积公式即
可得到结论．
【详解】解：如图，过A 作AC
OB
⊥
于C ，
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圆的内接正十二边形的圆心角为360
30
12
=
，
OA
a
=
，
1
1
2
2
AC
OA
a
=
=
，
2
Δ
1
1
1
2
2
4
OAB
S
a
a
a
=
=
，
这个圆的内接正十二边形的面积为
2
1
12
3
4
a
=
，
∵正方形的面积为
2
a
∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为
3
S
S
=
正方形
正十二边形
27．（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B ，C ，D ，
E ，F 在圆上，若两个小正六边形的边长均为2 ，则大正六边形的边长是（ ）
A．(
)
2
13
1
3
+
B．
13
1
3
+
C．(
)
2
13 1
3
−
D．
13
1
3
−
【答案】A
【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质和勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，
在小正六边形中，
2
MP = ，
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则
4
MF
NC
=
= ，
在大正六边形中，
,
120
NG
DG
NGD
=
?
? ，
30
GNH
\ ?
? ，
过G 作GH
DN
⊥
于点H，
1
2
NH
DN
\
=
，
在Rt HNG
中，
3
2
NH
NG
=
，
3
DN
NG
\
=
，
NG
DE
=
，
3
DN
DE
\
=
，
设DE
x
=
，
则
3
DN
x
=
，
2
2 3
BD
DN
x
=
=
，
8
FC
x
= + ，
由于FC
BE
=
，
(
)
(
)
2
2
2
8
2 3
x
x
x
\
+
=
+
，
解得
(
)
2
13
1
0
3
x
-
-
=
< （舍去）或
(
)
2
13 1
3
x
+
=
，
即
(
)
2
13 1
3
DE
+
=
，
故选：A．
28．（25-26 九年级上·河北石家庄·期末）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线
1
1
1
1
1
1
FA BC D E F …叫做
“正六边形的渐开线”，
1
FA ，
1
1
A B ，
1
1
C B ，
1
1
C D ，
1
1
D B ，
1
1
E F ，…的圆心依次按A，B ，C ，D ，E ，F
循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当
1
AB = 时，
1
FA 的长度为________，曲线
1
1
1
1
1
1
FA BC D E F 的长度是________
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【答案】 3
7
【分析】本题考查的是正多边形的外角性质与弧长公式，灵活运用弧长公式
180
n r
l
=
是解题的关键．根据
正六边形的每个外角为60，可确定每段弧的圆心角；再依次确定各段弧的半径，进而求出曲线
1
1
1
1
1
1
FA BC D E F 的长度．
【详解】解：正六边形的每个外角为60，
1
FA 的圆心是A，半径1
1
r
AF
AB
=
=
= ，圆心角
60
=
，根据
弧长公式
1
60 1 π
180
3
FA
l
=
=
；
同理得，
1 1
60 2 π
2
180
3
A B
l
=
=
，
1 1
60 3 π
180
B C
l
=
=
，
1
1
60 4 π
4
180
3
C D
l
=
=
，
1 1
60 5 π
5
180
3
D E
l
=
=
，
1 1
60 6 π
2
180
E F
l
=
=
，
曲线
1
1
1
1
1
1
FA BC D E F 的长度是
2
4
5
2
3
3
3
3
7
+
+
+
=
+
+
，
故答案为：3
；7．
29．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形MNQP 的顶点恰
好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形ABCD的对角线上，对角线AC 与BD相交于点O，正八边
形的另外四个顶点H，I，J，K 分别是正方形ABCD各边的中点，连接KI 分别交PM 和QN 于点E，F，则
AB
EF 的值为______．
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【答案】2
【分析】设正八边形的半径为R ，根据题意，得
I
OP
OK
OM
OH
ON
O
OQ
OJ
R
=
=
=
=
=
=
=
=
，设OJ 与
PQ 交于点W，OH 与MN 交于点T，求得
2
AB
R
=
，
2
EF
R
=
，解答即可；
【详解】解：设正八边形的半径为R ，根据题意，得
I
OP
OK
OM
OH
ON
O
OQ
OJ
R
=
=
=
=
=
=
=
=
，
360
I
I
45
8
POK
KOM
MOH
HON
NO
OQ
QOJ
JOP
=
=
=
=
=
=
=
=
=
，
正方形MNQP 的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形ABCD的对角线上，对角线AC 与
BD相交于点O，OJ 与PQ 交于点W，OH 与MN 交于点T，
故
45
OPM
PMO
OMN
ONM
ONQ
OQN
OQP
OPQ
=
=
=
=
=
=
=
=
，
45
ODA
OAD
OAB
OBA
OBC
OCB
OCD
ODC
=
=
=
=
=
=
=
=
，
90 ,
,
OKD
OEP
KDJ
KOJ
EPQ
DK
OK PE
OE
=
=
=
=
=
=
=
，
故四边形DKOJ 是正方形，四边形PEOW 是正方形，
DK
KO
OJ
JD
=
=
=
，PE
EO
OW
WP
=
=
=
，
同理可证，四边形OKAH 是正方形，四边形EMTO是正方形，四边形
I
OHB 是正方形，四边形OTNF 是正
方形，四边形I
O CJ 是正方形，四边形OFQW 是正方形，
2
2
AB
BH
AH
OK
R
=
+
=
=
，
2
2
sin45
2
EF
OE
OF
OE
OP
R
=
+
=
=
=
2
2
2
AB
R
EF
R
=
=
；
30．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F 是
O
的六等分点，连接AD，DE ，点G
为弦DE 的中点，点H 为AD上一点．已知
O
的直径为4，则FGH
的周长最小值为
____________________ ．
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【答案】7
13
+
/ 13
7
+
【分析】如图所示，连接BH ，BG ，BD，BE，OG ，OE ，OF ，首先得出当点B，H，G 三点共线
时，FGH
的周长取得最小值，即FG
BG
+
的长度，然后得到
4
BE
AD
=
=
，ODE
是等边三角形，
1
2
2
DE
OD
AD
=
=
=
，然后求出
1
1
2
DG
EG
=
= ，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接BH ，BG ，BD，BE，OG ，OE ，OF ，
∵点A，B，C，D，E，F 是
O
的六等分点，
∴AD，BE是直径，点B 和点F 关于AD对称，
∴BH
FH
=
，
∴FGH
的周长
FG
FH
HG
FG
BH
HG
FG
BG
=
+
+
=
+
+
+
，
∴当点B，H，G 三点共线时，FGH
的周长取得最小值，即FG
BG
+
的长度，
∵
O
的直径为4，
∴
4
BE
AD
=
=
，
360
60
6
DOE
=
=
，OD
OE
=
，
ODE
是等边三角形，
1
2
2
DE
OD
AD
=
=
=
，
60
ODG
=
，
∵点G 为弦DE 的中点，
∴OG
DE
⊥
，
∴
1
1
2
DG
DE
=
= ，
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在Rt OGD
中，
2
2
3
OG
OD
DG
=
−
=
，
BE
是直径，
90
BDE
=
，
2
2
2 3
BD
BE
DE
=
−
=
，
在Rt BDG
中，
2
2
13
BG
BD
DG
=
+
=
，
根据题意得，OF
DE
∥
，
∵OG
DE
⊥
，
∴OG
OF
⊥
，
∴
90
FOG
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
3
7
GF
OF
OG
=
+
=
+
=
，
∴
7
13
FG
BG
+
=
+
，
∴FGH
的周长最小值为7
13
+
．
31．（2026·河北石家庄·一模）如图，正方形ABCD和等边三角形EFG 内接于
O
，顶点E 在
CD上，
6 2cm
AB =
．
（1）当点E 和点D重合时，
CDF
的度数为______；
（2）当点F 在BC 的中点时，设EF ，FG 分别交BC 于点M ，N ，DE 的长为______cm．
【答案】 15 π
2
【分析】（1）根据题意得出
AG
CF
=
，即可得出
(
)
1
2
ADG
CDF
ADC
GDF
=
=
−
，即可求解；
（2）连接BD，
,
,
OC OE OF ，根据已知得出
6cm
OD =
，求得
15
DOE
=
，进而根据弧长公式，即可求
解．
【详解】解：（1）∵正方形ABCD和等边三角形EFG 内接于
O
，点E 和点D 重合
∴
,
AD
DC DG
DF
=
=
，
90 ,
60
ADC
GDF
=
=
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∴
,
AD
CD DG
DF
=
=
∴
AG
CF
=
∴
(
)
(
)
1
1 90
60
15
2
2
ADG
CDF
ADC
GDF
=
=
−
=
−
=
（2）连接BD，
,
,
OC OE OF ，
∵正方形ABCD中，
6 2cm
AB =
∴
90
BOC
COD
=
=
，
2
12cm
BD
AB
=
=
，则
6cm
OD =
∵F 是BC 的中点，
90
BOC
COD
=
=
∴
45
COF
=
∵等边三角形EFG 内接于
O
，
∴
60
EGF
=
，
2
120
EOF
EGF
=
=
∴
120
45
75
COE
EOF
COF
=
−
=
−
=
∴
90
75
15
DOE
COD
COE
=
−
=
−
=
∴DE 的长为15π 6
π cm
180
2
=
32．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研
究．
研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相
邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形
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（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边
形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF 是等边半正六边形，那么
AB
BC
CD
DE
EF
FA
=
=
=
=
=
，
A
C
E
=
= ，
B
D
F
=
= ，且
A
B
．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____．
(2)如图3，六边形ABCDEF 是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想
BAD
与
FAD
的数量关系，并说
明理由；
(3)如图4，已知
ACE
△
是正三角形，
O
是它的外接圆．请在图4 中作一个等边半正六边形ABCDEF （要
求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)240
(2)解：
BAD
FAD
=
．
理由如下：连接BD，FD，如图，
∵六边形ABCDEF 是等边半正六边形．
AB
BC
CD
DE
EF
FA
=
=
=
=
=
，
C
E
=
．
在BCD
与FED
中，
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BC
EF
C
E
CD
DE
=
=
=
，
∴
(
)
BCD
FED SAS
≌
，
∴BD
FD
=
．
在BAD
与FAD
中，
AB
FA
BD
FD
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
BAD
FAD SSS
≌
．
∴
BAD
FAD
=
；
(3)作法一：如图，六边形ABCDEF 即为所求，
作法二：如图，六边形ABCDEF 即为所求，
【分析】（1）六边形内角和为720，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和；
（ 2）连接BD，FD，通过已知条件可证BCD
FED
≌
，得到BD
FD
=
，进一步证明出BAD
FAD
≌
进
而得到
BAD
FAD
=
；
（ 3）作法一：分别连接并延长AO ，CO，EO，以点O为圆心，以适当长为半径画圆（不要画在三角形
内或圆上），交AO ，CO，EO的延长线于点D ，F ，B ，连接
,
,
,
,
,
AB CB CD ED EF AF ，即可得到半正六
边形ABCDEF ；
作法二：分别作AC 、CE 、AE 垂直平分线，注意作三条边的垂直平分线时画弧的半径要相等，且弧的交
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点不能取圆上或三角形内，交点分别为点D，F ，B ，连接
,
,
,
,
,
AB CB CD ED EF AF ，即可得到半正六边形
ABCDEF ．
【详解】（1）解：∵六边形内角和为(
)
6
2
180
720
−
=
，且
A
C
E
=
= ，
B
D
F
=
= ，
∴
720
A
B
C
D
E
F
+++++
=
，
∴(
)
3
720
A
B
+
=
，即
720
3
240
A
B
+=
=
∴等边半正六边形相邻两个内角的和为240；
（2）略
（3）解：作法一：∵
ACE
△
是正三角形，
O
是它的外接圆，
∴OB 、OD 、OF 分别为AC 、CE 、AE 的垂直平分线，AO
CO
EO
=
=
，AC
CE
AE
=
=
，
60
CAE
ACE
AEC
=
=
=
，
∴AB
CB
=
，CD
DE
=
，EF
FA
=
，
∴
BAC
BCA
=
，
DCE
DEC
=
，
FAE
FEA
=
，
由作图可知OB
OD
OF
=
=
，
在AOB
与EOD
中，
AO
EO
AOB
EOD
BO
DO
=
=
=
，
∴
(
)
AOB
EOD SAS
≌
，
∴AB
DE
=
，
同理可得AOF
COD
≌
，
∴AF
CD
=
，
∴AB
BC
CD
DE
EF
FA
=
=
=
=
=
，
在ABC
与AFE
中，
AB
AF
BC
FE
AC
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ABC
AFE SSS
≌
，
∴
BAC
FAE
=
，
ABC
AFE
=
，
同理可得ABC
CDE
≌
，
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∴
ABC
AFE
CDE
=
=
，
BCA
DEC
=
，
∴
BAC
BCA
DCE
DEC
FAE
FEA
=
=
=
=
=
，
∵
60
CAE
ACE
AEC
=
=
=
，
∴
BAF
BCD
DEF
=
=
，
∴六边形ABCDEF 即为等边半正六边形．
作法二同理可证．
33．（25-26 九年级上·福建厦门·期中）如图1，正方形ABCD内接于
O
，将线段BC 绕点C 顺时针旋转
得到线段CE ，其中0
90
，连接BE并延长交
O
于点F ，连接AF ，AE ，过E 作EG
CD
⊥
于点
G ，连接FG ．
(1)如图1，若E ，O，G 共线，求的值；
(2)试探究
FGE
的大小与的关系，并说明理由；
(3)当AEF
为等腰直角三角形时，求BE
BF 的值．
【答案】(1)
30
=
(2)
FGE
的大小与无关，
45
FGE
=
，是个定值
(3) 1
2 或2
3
【分析】（1）连接AC
BD
，
，取CE 的中点T，连接GT ，可证明点O 为正方形ABCD对角线的交点，则
OD
OC
=
，进而可得
1
1
2
2
CG
CD
BC
=
=
，由旋转的性质可得CE
CB
BCE
=
=
，∠
，可证明CGT
是等边三
角形，得到
60
TCG =
∠
，则可得到
30
BCE
BCD
TCG
=
−
=
∠
∠
∠
，即
30
=
；
（2）连接OA OF
BD
DF
CF
DE
，
，
，
，
，
，可求出
45
AFD
=
；由旋转的性质可得
CB
CE
BCE
=
=
，∠
，则，
90
DCE
=
−
，
1
2
ADF
ABF
=
=
∠
∠
进而可求出，
1
45
2
DCF
DAF
=
=
−
∠
∠
，证明
(
)
SAS
ECF
DCF
≌
，可得到EF
DF
=
；证明E、F、D、G 四点共
圆，可得
45
FGE
FDE
=
=
，据此可得结论；
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（3）当
90
AEF
=
和当
90
EAF
=
两种情况，通过构造与AFD
的全等三角形求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接AC
BD
，
，取CE 的中点T，连接GT ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
ADC
BCD
BC
CD
=
=
=
∠
∠
，
，
∴AC
BD
，
都是
O
的直径，
∴点O 为正方形ABCD对角线的交点，
∴OD
OC
=
，
∵EG
CD
⊥
，且E ，O，G 共线，
∴
1
1
2
2
CG
CD
BC
=
=
，
90
CGE
=
；
由旋转的性质可得CE
CB
BCE
=
=
，∠
，
∴
1
2
CG
CE
=
；
∵T 为CE 的中点，
∴
1
2
TG
TC
CE
CG
=
=
=
，
∴CGT
是等边三角形，
∴
60
TCG =
∠
，
∴
30
BCE
BCD
TCG
=
−
=
∠
∠
∠
，即
30
=
；
（2）解：
FGE
的大小与无关，
45
FGE
=
，是个定值，理由如下：
如图所示，连接OA OF
BD
DF
CF
DE
，
，
，
，
，
，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
90
45
AOD
BCD
ABC
ABD
=
=
=
=
∠
，∠
∠
，∠
，BC
CD
=
，
∴
180
135
AFD
ABD
=
−
=
；
由旋转的性质可得CB
CE
BCE
=
=
，∠
，
∴
180
1
90
2
2
CBE
CEB
−
=
=
=
−
∠
∠
，
90
DCE
BCD
BCE
=
−
=
−
∠
∠
∠
，
∴
1
2
ABF
ABC
CBE
=
−
=
∠
∠
∠
，
∴
1
2
ADF
ABF
=
=
∠
∠
，
∴
1
180
45
2
DAF
AFD
ADF
=
−
−
=
−
∠
∠
∠
，
∴
1
45
2
DCF
DAF
=
=
−
∠
∠
，
∴
1
45
2
ECF
DCE
DCF
DCF
=
−
=
−
=
∠
∠
∠
∠
；
又∵BC
CE
CD
CF
CF
=
=
=
，
，
∴
(
)
SAS
ECF
DCF
≌
，
∴EF
DF
=
；
∵
45
AFB
ADB
=
=
，
∴
135
45
90
BFD =
−
=
∠
，
∴
45
FDE
FED
=
=
∠
∠
，
∵EG
CD
⊥
，
∴
90
EGD
=
，
∴
180
EGD
EFD
+
=
∠
∠
，
∴E、F、D、G 四点共圆，
∴
45
FGE
FDE
=
=
，
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∴
FGE
的大小与无关，
45
FGE
=
，是个定值；
（3）解：如图3-1 所示，当
90
AEF
=
时，过点A 作AM
AF
⊥
交BF 于M，
∵
45
AFE
=
，
∴AMF
是等腰直角三角形，
∴
2
AM
AF
MF
EF
=
=
，
，ME
EF
=
；
∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
AB
AD
BAD
MAF
=
=
=
，∠
∠
，
∴
90
BAM
DAF
DAM
=
=
−
∠
∠
∠
，
∴BAM
DAF
≌
，
∴BM
DF
=
，
由（2）可得
=
DF
EF ，
∴BM
EF
=
，
∴
3
BF
BM
FM
EF
=
+
=
，
2
BE
BM
EM
EF
=
+
=
∴
2
3
BE
BF =
；
如图3-2 所示，当
90
EAF
=
时，
∵EAF
是等腰直角三角形，
∴AE
AF
=
∵四边形ABCD是正方形，
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∴
90
AB
AD
BAD
=
=
，
，
∴
90
BAD
EAF
=
=
，
∴
BAD
DAE
EAF
DAE
−
−
=
，
∴
BAE
DAF
=
，
∴
(
)
BAE
DAF SAS
≌
，
∴BE
DF
=
，
又∵EF
DF
=
，
∴BE
EF
=
，
∴
2
BF
BE
=
，
∴
1
2
BE
BF =
；
综上所述，BE
BF 的值为1
2 或2
3 ．
【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与
判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
34．（2026·山西长治·三模）阅读与思考
尺规作图
一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万
千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何
图案．
正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌
套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称
这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1 或图2 中正方形的内嵌正八边形
吗？
初步分析：从整体特征与元素特征两个角
度回顾正八边形的性质．
（1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性．
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（2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于135．
深入分析：以图2 正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接AC ，EG ，EF ，FG ，发现
的结论如下：
（1）E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD各边的中点；
（2）IEF
是顶角为135，底角为22.5的等腰三角形；
（3）
OEI
△
中，OE
OI
=
；
（4）___________________________．
动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图
（1）如图4，作边AD，DC 的垂直平分线，分别交AD，BC ，AB ，CD于点E ，G ，
F ，H ；
（2）分别作
AFE
和
AEF
的角平分线，交于点I ；利用旋转对
称性作出点J ，K ，L ；
（3）顺次连接这八个点．
∴八边形I
E FJGKHL 为正方形ABCD的内嵌正八边形．
任务：
(1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________．
(2)类比研究图2 正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接AC ，BD，交于点O．线段AK 是否与线段
AO 相等，请说明理由．
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(3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形ABCD中作出其内嵌正八边形（不写作图步
骤，保留作图痕迹）．
【答案】(1)
45
AOE
=
（答案不唯一，合理即可）
(2) AK
AO
=
．
理由如下：
∵正八边形的内角和是(
)
8
2
180
1080
−
=
，
∴
1080
135
8
FEL
JKL
=
=
=
，
∴
180
45
AEL
FEL
=
−
=
，
180
45
DKJ
JKL
=
−
=
，
∴
AEL
DKJ
=
．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∠
90
BAD
ADC
=
=
．
∵八边形
I
EFGH JKL 是正八边形，
∴KJ
KL
EL
=
=
．
在
AEL
△
与
DJK
△
中，
,
,
,
AEL
DJK
LAE
KDJ
EL
JK
=
=
=
∴
(
)
AEL
DJK AAS
≌
，
∴KD
AL
=
．
设KD
AL
x
=
=
．
在Rt AEL
中，
90
EAL
=
，
∴sin
AL
AEL
EL
=
，
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∴
2
sin
sin45
AL
x
EL
x
AEL
=
=
=
，
∴
2
KL
EL
x
=
=
，
∴
2
AK
AL
KL
x
x
=
+
=
+
，
2
2
AD
AL
KL
KD
x
x
=
+
+
=
+
．
在Rt AOD
中，
90
AOD
=
，
∴cos
AO
OAD
AD
=
，
∴
(
)
cos
2
2
cos45
2
AO
AD
OAD
x
x
x
x
=
=
+
=
+
．
∴AK
AO
=
．
(3)如图，八边形
I
EFGH JKL 即为所作．（答案不唯一，合理即可）
【分析】（1）根据点I ，K 由旋转对称性作图得到，得出
1 360
45
8
AOE
=
=
，即可求解．
（2）根据多边形内角和定理求得
135
FEL
JKL
=
=
，进而可得
AEL
DKJ
=
，根据四边形ABCD是正
方形，得出∠
∠
90
BAD
ADC
=
=
，根据正八边形得出KJ
KL
EL
=
=
，证明
(
)
AEL
DJK AAS
≌
得出
KD
AL
=
，设KD
AL
x
=
=
，解直角三角形得出
2
KL
EL
x
=
=
，则
2
AK
AL
KL
x
x
=
+
=
+
在Rt AOD
中，根据cos
AO
OAD
AD
=
，得出
2
AO
x
x
=
+
，即可证明AK
AO
=
．
（3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可．
【详解】（1）解：
45
AOE
=
（答案不唯一，合理即可）
∵AC
EF
⊥
，且点I ，K 由旋转对称性作图得到，
∴对角线AC 经过正方形内嵌正八边形的顶点I 和K ，
∴
1 360
45
8
AOE
=
=
．
（2）略
（3）略
35．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动
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机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示
意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a 的正三角形ABC ，分别以A，B，C 为圆心，
以a 为半径画BC ，AC ，AB ．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形ABC ．
(1)圆弧三角形ABC 的周长为______，面积为______．（都用含a 的代数式表示）
(2)圆弧三角形ABC 运动时有何特性呢？
①如图（3），圆弧三角形ABC 沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高
点形成的图形大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
②数学家发现：圆弧三角形ABC 能在边长为a 的正方形DEFG 中转动，且始终保持与正方形的每一边都
有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C 分别在边EF ，FG 上，AC 与边DG 有
且只有一个公共点M）．求证：AB 与DE 有且只有一个公共点．
(3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a 的正方形中转动时，也能始终保持
与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法．
【答案】(1) a
；
2
3
2
a
−
(2)①A；
②证明：过点C 作CN
ED
⊥
，垂足为N ，
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∴
90
DNC
=
，
∵四边形DEFG 是正方形，
∴
90
=
=
G
D
，
∴四边形CGDN 是矩形，
∴CN
DG
a
=
=
，
∴CN 是AB 的半径，
∴DE 与AB 相切，即AB 与DE 有且只有一个公共点．
(3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形：
【分析】（1）圆弧三角形ABC 的周长由BC ，AC ，AB 三段弧长构成，由
60
ABC
ACB
BAC
=
=
=
，
AB
BC
AC
a
=
=
=
，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形ABC 的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中
间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出；
（2）①圆弧三角形ABC 沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无
论切点P 的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高
度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点C 作CN
ED
⊥
，垂足为N ，利用正方形的
性质可得CN
a
=
，得出CN 是AB 的半径，结论即可得证；
（3）先画出使其对角线长为a 的正五边形ABCDE ，分别以A
B
C
D
E
、、、、为圆心，以a 为半径画
DC 、
DE 、AE 、AB 、BC ，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形FGHI ．
【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形ABC 是由三段圆弧围成的，
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∴圆弧三角形ABC 的周长为
AC
BC
AB
l
l
l
+
+
，
∵
ABC
△
是等边三角形，
∴
60
ABC
ACB
BAC
=
=
=
，AB
BC
AC
a
=
=
=
，
∴
60
1
2
360
3
AC
BC
AB
l
l
l
a
a
=
=
=
=
，
∴圆弧三角形ABC 的周长为
1
3 3
AC
BC
AB
l
l
l
a
a
+
+
=
=
，
过点A作AH
BC
⊥
，垂足为H ，
∴
3
sin
sin 60
2
AH
ACB
AC
a
a
=
=
=
，
∴
2
1
1
3
3
2
2
2
4
ABC
S
BC
AH
a
a
a
=
=
=
△
，
∴
2
2
60
1
360
6
ABC
S
a
a
=
=
扇形
，
∴圆弧三角形ABC 的面积为
2
2
2
1
3
3
3
2
3
2
6
4
2
ABC
ABC
S
S
a
a
a
−
−
=
−
=
△
扇形
．
（2）解：①圆弧三角形ABC 沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，
如图所示：
∵AP
CP
BP
a
=
=
=
，
∴无论切点P 的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，
∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，
∴最高点形成的图形是一条直线；
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②略
（3）解：如图，画正五边形ABCDE ，使其对角线AD
BD
BE
CA
CE
a
=
=
=
=
=
，分别以A
B
C
D
E
、、、、
为圆心，以a 为半径画
DC 、DE 、AE 、AB 、BC ，这五段圆弧组成圆弧五边形，
连接AC ，分别过点A、点C 作AC 的垂线，过点B 作AC 的平行线，与过点A、点C 作的AC 的垂线分别
交于点F
G
、
，过点B 作AC 的垂线交DE 于点M ，过点M 作AC 的平行线，与过点A、点C 作AC 的垂线
分别交于点I
H
、
，
∴FG
AC
IH
a
=
=
=
，GH
BM
FI
a
=
=
=
，
90
F
G
H
I
=
=
= =
，
∴四边形FGHI 是边长为a 的正方形，
∴圆弧五边形可以在正方形FGHI 中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图
形符合题意．
36．（24-25 九年级下·广西桂林·阶段检测）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散
的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
【探究发现】如图①，在等边三角形ABC 内部有一点,
2,
3,
1
P PA
PB
PC
=
=
= ，求
BPC
的度数．爱动
脑筋的小明发现：将线段BP绕点B 逆时针旋转60得到线段BP，连接
,
AP PP
，则
BPC
BP A
△
≌△
，然
后利用BPP
和APP
形状的特殊性求出
BPA
的度数，就可以解答这道题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段BP绕点B 逆时针旋转60得到线段BP，连接
,
AP PP
．
,
60
BP
BP
P BP
=
=
，
P BP
是等边三角形，
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60 ,
3
BP P
PP
PB
=
=
=
，
ABC
是等边三角形，
60 ,
ABC
BC
BA
=
=
，
ABC
ABP
P BP
ABP
−
=
−
，即
PBC
P BA
=
．
（1）请你补全余下的解答过程．
【类比迁移】
（2）如图②，在正方形ABCD内有一点P ，且
17,
2 2,
1
PA
PB
PC
=
=
= ，求
BPC
的度数．
【拓展延伸】
（3）如图③，在（2）的条件下，连接DP，若正方形ABCD的边长为2 ，则线段PD的最小值为
________．
【答案】（1）150；（2）135；（3）10
2
−
【分析】（1）将线段BP绕点B 逆时针旋转60得到线段BP，连接
,
AP PP
，可证P BP
是等边三角形，
60 ,
3
BP P
PP
PB
=
=
=
，运用勾股定理逆定理得到APP
是直角三角形，
90
AP P
=
，由
60
90
150
BP A
BP P
AP P
=
+
=
+
=
，即可求解；
（2）如图所示，将线段BP绕点B 逆时针旋转90得到线段BE，连接
,
AE PE ，可证BEP
是等腰直角三
角形，
2
2 2 2
4
EP
PB
=
=
=
，
45
BEP
=
，再证
(
)
PBC
EBA SAS
≌
，
,
1
BPC
BEA PC
EA
=
=
= ，
运用勾股定理逆定理可得AEP
是直角三角形，
90
AEP
=
，由
45
90
135
BEA
BEP
AEP
=
+
=
+
=
即可求解；
（3）如图所示，以BC 为斜边在BC 下方作等腰直角BOC
，则
45
OBC
OCB
=
=
，以点O为圆心，
OB 为半径画圆，记为
O
，在BC 下方，
O
上取一点G ，连接
,
BG CG ，则四边形BGCP 是圆内接四边
形，可得作图符合（2）的条件，连接OD ，根据两点之间线段最短，当点P 在
O
上运动时，点P 在OD
上时有最小值，作OF
DC
⊥
延长线与点F ，由BOC
是等腰直角三角形，正方形ABCD的边长为2 ，即
2
BC
CD
=
=
，可得
2
OP
BO
=
=
，
180
180
90
45
45
OCF
BCD
OCB
=
−
−
=
−
−
=
，
2
1
2
FC
FO
OC
=
=
= ，由勾股定理得到
10
OD =
，根据DP
OD
OP
=
−
即可求解．
【详解】解：（1）将线段BP绕点B 逆时针旋转60得到线段BP，连接
,
AP PP
，
,
60
BP
BP
P BP
=
=
，
P BP
是等边三角形，
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60 ,
3
BP P
PP
PB
=
=
=
，
ABC
是等边三角形，
60 ,
ABC
BC
BA
=
=
，
ABC
ABP
P BP
ABP
−
=
−
，即
PBC
P BA
=
，且BP
BP
=
，
∴
(
)
BPC
BP A SAS
≌
，
∴
BPC
BP A
=
，
1
PC
P A
=
= ，
在APP
中，(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
3,
1,
4
P P
AP
AP
=
=
=
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
P P
AP
AP
+
=
，
∴APP
是直角三角形，
90
AP P
=
，
∴
60
90
150
BP A
BP P
AP P
=
+
=
+
=
，
∴
150
BPC
=
；
（2）如图所示，将线段BP绕点B 逆时针旋转90得到线段BE，连接
,
AE PE ，
∴
,
90
BP
BE
EBP
EBA
ABP
=
=
=
+
，
∴BEP
是等腰直角三角形，
∴
2
2 2 2
4
EP
PB
=
=
=
，
45
BEP
=
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
ABC
=
，即
90
ABP
PBC
+
=
，
∴
ABC
ABP
EBP
ABP
−
=
−
，即
PBC
EBA
=
，且BP
BE
=
，
∴
(
)
PBC
EBA SAS
≌
，
∴
,
1
BPC
BEA PC
EA
=
=
= ，
在AEP
中，
(
)
2
2
2
2
2
17
17,
4
16,
1
PA
PE
AE
=
=
=
=
= ，
∴
2
2
2
PE
AE
PA
+
=
，
∴AEP
是直角三角形，
90
AEP
=
，
∴
45
90
135
BEA
BEP
AEP
=
+
=
+
=
，
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∴
135
BPC
=
；
（3）如图所示，以BC 为斜边在BC 下方作等腰直角BOC
，则
45
OBC
OCB
=
=
，以点O为圆心，
OB 为半径画圆，记为
O
，在BC 下方，
O
上取一点G ，连接
,
BG CG ，则四边形BGCP 是圆内接四边
形，
∵
90
BOC
=
，
∴
1
45
2
BGC
BOC
=
=
，
∴
135
BPC
=
，符合（2）的条件，
连接OD ，根据两点之间线段最短，当点P 在
O
上运动时，点P 在OD 上时有最小值，作OF
DC
⊥
延长
线与点F ，
∵BOC
是等腰直角三角形，正方形ABCD的边长为2 ，即
2
BC
CD
=
=
，
∴
2
2
2
OB
OC
BC
=
=
=
，
90
BCD
=
，
∴
2
OP
BO
=
=
，
180
180
90
45
45
OCF
BCD
OCB
=
−
−
=
−
−
=
，
∴
2
1
2
FC
FO
OC
=
=
= ，
在Rt DOF
中，
1,
2 1
3
FO
DF
DC
FC
=
=
+
=
+ =
，
∴
2
2
2
2
1
3
10
OD
FO
DF
=
+
=
+
=
，
∴
10
2
DP
OD
OP
=
−
=
−
，
故答案为：10
2
−
．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质，等
腰直角三角形的性质，圆的基础知识，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识的综合运用，掌握以上知
识，数形结合分析是关键．
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37．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形ABCDE 内接于
O
，P 为BC 上的一点（点P 不与点C 重
合），则
CPD
的度数为（ ）
A．36
B．45
C．60
D．72
【答案】A
【分析】先求得中心角
72
COD
=
，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵正五边形ABCDE 内接于
O
，
∴
1 360
72
5
COD
=
=
，
∵
CPD
与
COD
分别是
CD所对的圆周角和圆心角，
∴
1
36
2
CPD
COD
=
=
．
38．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF 的中心为O、边心距
3
OM =
，分别以
F 、C 为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB ，DE 所围成的阴影部分面积是
________．
【答案】
8
6 3
3
−
【分析】连接AD、BE、CF ，由题意可得AD、BE、CF 交于点O，得出ODE
是等边三角形，利用等
边三角形的性质和三角函数可计算出
2
DE =
．由正多边形的内角公式可得
120
BCD
AFE
=
=
，用正六
边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
小学
初中
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【详解】解：如图，连接AD、BE、CF ，
在正六边形ABCDEF 中，
(
)
6
2
180
120
6
BCD
AFE
−
=
=
=
，AF
BC
DE
=
=
，
∵点O为正六边形ABCDEF 的中心，
∴AD、BE、CF 交于点O，
∴
360
6
60 ,
DOE
DO
EO
=
=
=
，
∴ODE
是等边三角形，
∴DE
OD
=
，
60
ODE
=
，
根据题意，OM
DE
⊥
，
在Rt ODM
中，
3
2
sin ∠
sin 60
OM
OD
ODE
=
=
=
，
∴
2
AF
BC
DE
OD
=
=
=
=
，
∵
正六边形
△
1
6
6
6 3
2
ABCDEF
ODE
S
S
DE
OM
=
=
=
，
∴
阴影
正六边形
扇形
扇形
ABCDEF
FAE
CBD
S
S
S
S
=
−
−
2
2
120π 2
120π 2
6 3
360
360
=
−
−
4
4
6 3
3
3
=
−
−
8
6 3
3
=
−
．
39．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形ABCDE 的边长为10，连接AC ，以AB 为直径作
O
，与
AC 交于点F ，与CB 的延长线交于点G ，则阴影部分扇形GOF 的面积为__________．
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【答案】15 π
2
【分析】根据正五边形的定义得出AB
CB
=
，
108
ABC
=
，根据等边对等角和三角形内角和定理求出
36
ACB
=
，根据直径所对的圆周角是直角得出
90
AGB
=
，最后根据直角三角形的性质求解即可
90
54
FAG
ACG
=
=
－
，进而得
2
108
GOF
GAF
=
=
，然后，再求扇形的面积即可．
【详解】解：如图，连接AG ，
∵在正五边形ABCDE 中，
∴
10
AB
CB
=
=
，
(
)
5
2
180
108
5
ABC
−
=
=
，
∴
(
)
1 180
36
2
BAC
ACB
ABC
=
=
−
=
，
∵AB 为
O
的直径，
∴
90
AGB
=
，
1
5
2
OG
OB
AB
=
=
=
，
∴
90
54
FAG
ACB
=
−
=
，
∴
2
108
GOF
GAF
=
=
．
∴
2
108π 5
15 π
360
2
GOF
S
=
=
扇形
．
40．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF 中，点G，H 分别在边AF ，CD
上，且不同于正六边形的顶点，CH
FG
=
．
(1)证明：四边形BGEH 为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB 为半径的扇形BOF 与正六边形形成阴影部分，求图中阴影
部分的面积．
【答案】(1)证明：∵六边形ABCDEF 是正六边形，
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∴BC
EF
CD
AF
AB
DE
=
=
=
=
=
，
C
D
DEF
EFA
FAB
ABC
=
=
=
=
=
，
又CH
FG
=
，
∴
(
)
BCH
EFG SAS
≌
，
∴BH
EG
=
，
∵CD
AF
=
，CH
FG
=
，
∴CD
CH
AF
FG
−
=
−
，即DH
AG
=
，
∴
(
)
DEH
ABG SAS
≌
，
∴EH
BG
=
，
∴四边形BGEH 是平行四边形；
(2)16
8 3
3
−
【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根
据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键．
（1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用
两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据正六边形的概念，确定
BAF
的度数，进而确定
BOF
的度数和OB 的长，再通过作差法计算阴
影部分的面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接OB ，OA，OF ，
∵O是正六边形ABCDEF 的中心，
∴OB
OA
OF
=
=
，
(
)
5 1
180
120
6
BAE
−
=
=
，
∴
(
)
AOB
AOF SSS
≌
，
∴
1
60
2
OAB
OAE
BAE
=
=
=
，
∴OAB
和OAF
都是等边三角形，
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∴
4
OB
OA
OF
AB
AF
=
=
=
=
=
，
60
AOB
AOF
=
=
，
∴
120
BOF
AOB
AOF
=
+
=
，
2
3
4 3
4
AOB
AOF
S
S
AB
=
=
=
，
∴
2
120 4
π
16
360
3
BOF
S
=
=
扇形
，
∴阴影部分的面积为
16
16
4 3
4 3
8 3
3
3
AOB
AOF
BOF
S
S
S
−
−
=
−
−
=
−
扇形
．
