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1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 三角形有关线段和角的综合 常考题型·精准突破 题型1 三角形的三边关系 题型2 根据三角形中线求长度 题型3 三角形中线与面积问题 题型4 根据三角形的三边关系化简 题型5 与三角形的高有关的计算问题 题型6 与平行线有关的三角形内角和问题 题型7 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型8 三角形折叠中的角度问题 题型9 三角形内角和定理的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形的三边关系 1．以下各组线段中，能组成三角形的是（ ） A．2，2，4 B．3，2，6 C．1，2，2 D．1，2，3 【答案】C 【分析】找出每组线段的最长边，通过比较两条较短线段的和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：对于A 选项：∵2 + 2 = 4， ∴不能组成三角形； 对于B 选项：∵2 + 3 = 5 < 6， ∴不能组成三角形； 对于C 选项：∵1 + 2 = 3 > 2， ∴能组成三角形； 对于D 选项：∵1 + 2 = 3， 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴不能组成三角形． 2．由三条线段𝑎，𝑏，𝑐可以组成一个三角形，其中𝑎= 2cm，𝑏= 5cm，那么𝑐的长度可以是（ ） A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm 【答案】C 【分析】先利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边𝑐的取值范围， 再匹配选项得到答案． 【详解】解：∵𝑎= 2 cm，𝑏= 5 cm， ∴𝑏−𝑎< 𝑐< 𝑎+ 𝑏，解得3 cm < 𝑐< 7 cm， 观察选项，只有5 cm在此范围内． 3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第 三根小棒的长度可以是（ ） A．3 B．3 或4 C．4 或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得3 < 𝑥< 17，再由图中挡板高度进一步确 定3 < 𝑥≤5，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知10 −7 < 𝑥< 10 + 7，即3 < 𝑥< 17， 由图中挡板高度为5，则3 < 𝑥≤5， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4 或5，即C 选项符合题意． 4．已知三角形三边长分别为2，x，5，则奇数𝑥=_________． 【答案】5 【分析】根据三角形三边关系求出𝑥的取值范围，再找出范围内的奇数即可得到结果． 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，𝑥，5， ∴5 −2 < 𝑥< 5 + 2，即3 < 𝑥< 7， 又∵𝑥为奇数， ∴𝑥= 5． 3 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．如图，小明为估计池塘岸边𝐴，𝐵间的距离，在池塘一侧选取了一点𝑂，测得𝑂𝐴= 20 m，𝑂𝐵= 15 m， 那么𝐴，𝐵间的距离可能是（ ） A．5 m B．35 m C．40 m D．23 m 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边𝐴𝐵的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵在△𝑂𝐴𝐵中，𝑂𝐴= 20 m，𝑂𝐵= 15 m， ∴根据三角形的三边关系可得：𝑂𝐴−𝑂𝐵< 𝐴𝐵< 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵 ， 即 5m < 𝐴𝐵< 35m，选项中只有23 m符合该范围． ◆题型2·根据三角形中线求长度 6．如图，若𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 12，则𝐵𝐷为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形中线的定义，掌握三角形的顶点与对边中点的之间的线段叫做三角形的中 线，是解题的关键． 根据中线的定义，即可求解． 【详解】解：𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 12， 𝐵𝐷= 1 2 𝐴𝐵= 6， 故选：D． 7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 15，𝐵𝐶= 9，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线，若△𝐴𝐵𝐷的周长为30，则△𝐵𝐶𝐷的周长 是（ ） A．20 B．24 C．26 D．2 【答案】B 4 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，根据三角形中线的定义可得𝐴𝐷= 𝐶𝐷，由△𝐴𝐵𝐷的周长为 30，𝐴𝐵= 15，求出𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 15，进而得出△𝐵𝐶𝐷的周长． 【详解】解：∵𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线， ∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷， ∵△𝐴𝐵𝐷的周长为30，𝐴𝐵= 15， ∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 30 −𝐴𝐵= 30 −15 = 15， ∴𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 15， ∵𝐵𝐶= 9， ∴△𝐵𝐶𝐷的周长= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 9 + 15 = 24． 故选：B． 8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线．若𝐴𝐸= 2，则𝐴𝐶的长度为 ___________________． 【答案】8 【分析】由𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线可得𝐴𝐷= 2𝐴𝐸，由𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线可得𝐴𝐶= 2𝐴𝐷，结合已知条件𝐴𝐸= 2即可求解． 【详解】解：∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线 ∴𝐴𝐷= 2𝐴𝐸， ∵𝐴𝐸= 2 ∴𝐴𝐷= 4， ∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线 ， ∴𝐴𝐶= 2𝐴𝐷， ∴𝐴𝐶= 8． 9．如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷，𝐵𝐸是中线，若𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐶= 7cm，则△𝐵𝐶𝐸的周长比△𝐵𝐷𝐸的 周长长___________cm． 【答案】4 5 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念．根据三角形的中线的概念得到𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 3, 𝐷𝐸= 𝐶𝐸，根 据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷，𝐵𝐸是中线， ∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 3, 𝐷𝐸= 𝐶𝐸， △𝐵𝐶𝐸的周长−△𝐵𝐷𝐸的周长= (𝐵𝐶+ 𝐸𝐶+ 𝐵𝐸) −(𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐸) = 𝐵𝐶+ 𝐸𝐶+ 𝐵𝐸−𝐵𝐷−𝐷𝐸−𝐵𝐸 = 𝐵𝐶−𝐵𝐷 = 7 −3 = 4cm 故答案为：4． ◆题型 3·三角形中线与面积问题 10．如图，△𝐴𝐵𝐶的面积为6，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的中线，则△𝐴𝐵𝐷的面积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线等分三角形面积，据此即可求解． 【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶的面积为6，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的中线， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 × 6 = 3， 故选：C． 11．如图所示， 在△𝐴𝐵𝐶中， D、E、F 分别为𝐵𝐶、𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点， 且𝑆△𝐷𝐹𝐸=8cm2（阴影部分），则△𝐴𝐵𝐶 的面积等于（ ） A．32cm2 B．64cm2 C．72cm2 D．80cm2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用𝐹点为𝐶𝐸的中点得到𝑆△𝐷𝐶𝐸= 2𝑆△𝐷𝐸𝐹= 16cm2， 再利用𝐸点为𝐴𝐷的中点得到𝑆△𝐴𝐷𝐶= 2𝑆△𝐷𝐶𝐸= 32cm2，然后利用𝐷点为𝐵𝐶的中点得到𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐶𝐷 6 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即可求解． 【详解】解：∵𝐹点为𝐶𝐸的中点，且𝑆△𝐷𝐹𝐸= 8cm2（阴影部分）， ∴𝑆△𝐷𝐶𝐸= 2𝑆△𝐷𝐸𝐹= 16cm2， ∵𝐸点为𝐴𝐷的中点， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐶= 2𝑆△𝐷𝐶𝐸= 32cm2， ∵𝐷点为𝐵𝐶的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐶𝐷= 64cm2． 故选：B． 12．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D，E，F，分别为𝐵𝐶，𝐴𝐷，𝐵𝐸的中点，𝑆△𝐵𝐹𝐷= 1，则𝑆△𝐴𝐵𝐶的值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形的中线把三 角形分成面积相等的两个三角形． 先根据点𝐹是𝐵𝐸的中点，𝑆△𝐵𝐹𝐷= 1，得出𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2𝑆△𝐵𝐹𝐷= 2，根据点𝐸为𝐴𝐷的中点，得出𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2 × 2 = 4，根据点D 为𝐵𝐶的中点，得出𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2 × 4 = 8． 【详解】解：∵𝐹是𝐵𝐸的中点，𝑆△𝐵𝐹𝐷= 1， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2𝑆△𝐵𝐹𝐷= 2， ∵点𝐸为𝐴𝐷的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2 × 2 = 4， ∵点D 为𝐵𝐶的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2 × 4 = 8． 故选：B． 13．如图是一块面积为42 的三角形纸板，点𝐷，𝐸，𝐹分别是线段𝐴𝐹，𝐵𝐷，𝐶𝐸的中点，则阴影部分（△𝐷𝐸𝐹） 的面积为（ ） A． 14 3 B． 21 4 C．6 D．7 7 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质．由三角形中线的性质可得△𝐴𝐵𝐶被分为7个面积相同的三角形， 中间阴影部分的三角形的面积是△𝐴𝐵𝐶的 1 7，据此解答即可求解． 【详解】解：连接𝐴𝐸，𝐵𝐹，𝐶𝐷， ∵点𝐷、𝐸、𝐹分别是线段𝐴𝐹、𝐵𝐷、𝐶𝐸的中点， ∴𝐴𝐷= 𝐷𝐹，𝐵𝐸= 𝐸𝐷，𝐸𝐹= 𝐹𝐶， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐶= 𝑆△𝐶𝐷𝐹，𝑆𝐴𝐸𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐸，𝑆△𝐵𝐸𝐹= 𝑆△𝐸𝐹𝐷，𝑆△𝐸𝐵𝐹= 𝑆△𝐵𝐹𝐶，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐵𝐷𝐹，𝑆△𝐴𝐸𝐹= 𝑆△𝐴𝐹𝐶， ∴△𝐴𝐵𝐶被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是△𝐴𝐵𝐶的 1 7， ∴阴影部分的面积是42 × 1 7 = 6， 故选：C． 14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D，E，F 分别是𝐴𝐶，𝐵𝐷，𝐴𝐸的中点，若△𝐴𝐵𝐶的面积为32，则阴影部分的面 积是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点D 为𝐴𝐶的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 16， ∵点E 为𝐵𝐷的中点， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐸= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 8， ∵点F 为𝐴𝐸的中点， ∴𝑆阴影= 1 2 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 4， 故选：A． 8 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型 4·根据三角形的三边关系化简 15．已知三角形三边为𝑎，𝑏，𝑐，则|𝑎+ 𝑏+ 𝑐| −|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑎−𝑐−𝑏| =___________． 【答案】𝑎+ 𝑏+ 𝑐 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的意义，整式的加减等知识﹒先根据三角形三边关系得 到𝑎−𝑏< 𝑐, 𝑎−𝑐< 𝑏，再化简绝对值，进行整式加减运算即可求解﹒ 【详解】解：∵三角形三边为𝑎，𝑏，𝑐， ∴𝑎−𝑏< 𝑐, 𝑎−𝑐< 𝑏， ∴|𝑎+ 𝑏+ 𝑐| −|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑎−𝑐−𝑏| = (𝑎+ 𝑏+ 𝑐) −[−(𝑎−𝑏−𝑐)] + [−(𝑎−𝑐−𝑏)] = (𝑎+ 𝑏+ 𝑐) + (𝑎−𝑏−𝑐) −(𝑎−𝑐−𝑏) = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑎−𝑏−𝑐−𝑎+ 𝑐+ 𝑏 = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐﹒ 故答案为：𝑎+ 𝑏+ 𝑐﹒ 16．若𝑎，𝑏，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边，试化简|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑎+ 𝑏−𝑐| =______． 【答案】2𝑏 【分析】本题考查了三角形的三边关系和绝对值化简，整式的加减，解题关键是牢记三角形任意两边 之和大于第三边． 根据三角形的三边关系化简绝对值后再相加即可求解． 【详解】解：∵𝑎，𝑏，𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长， ∴𝑎−𝑏< 𝑐, 𝑎+ 𝑏> 𝑐， ∴𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑎+ 𝑏−𝑐> 0， ∴|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑎+ 𝑏−𝑐| = −𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑎+ 𝑏−𝑐= 2𝑏． 故答案为：2𝑏． 17．已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边长，则化简|𝑎+ 𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| −|𝑐−𝑎+ 𝑏|的结果是________ 【答案】3𝑎−𝑏−𝑐 【分析】本题考査了三角形三边关系以及绝对值的意义，根据三角形三边关系可得𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑏< 𝑐+ 𝑎， 𝑏+ 𝑐> 𝑎，然后根据绝对值的意义化简即可. 【详解】根据三角形三边关系𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑏< 𝑐+ 𝑎，𝑏+ 𝑐> 𝑎， 可得𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，𝑏−𝑐−𝑎< 0，𝑏+ 𝑐−𝑎> 0， ∴|𝑎+ 𝑏−𝑐| = 𝑎+ 𝑏−𝑐，|𝑏−𝑐−𝑎| = 𝑎+ 𝑐−𝑏，|𝑐−𝑎+ 𝑏| = 𝑐+ 𝑏−𝑎， ∴|𝑎+ 𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| −|𝑐−𝑎+ 𝑏| = 𝑎+ 𝑏−𝑐+ 𝑎+ 𝑐−𝑏−(𝑏+ 𝑐−𝑎) = 3𝑎−𝑏−𝑐， 故答案为：3𝑎−𝑏−𝑐. 9 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18．𝑎, 𝑏, 𝑐为三角形三边长，化简|𝑎+ 𝑏+ 𝑐| −|𝑎−𝑏−𝑐| −|𝑎−𝑏+ 𝑐| −|𝑎+ 𝑏−𝑐|的结果是___． 【答案】0 【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问 题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即 可． 【详解】解：解：因为a，b，c 是三角形的三边长， 所以𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0，𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，𝑎+ 𝑏−𝑐> 0， |𝑎+ 𝑏+ 𝑐| −|𝑎−𝑏−𝑐| −|𝑎−𝑏+ 𝑐| −|𝑎+ 𝑏−𝑐|， = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑎−𝑏−𝑐−𝑎+ 𝑏−𝑐−𝑎−𝑏+ 𝑐， = 0． 故答案为：0． ◆题型 5·与三角形的高有关的计算问题 19．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是边𝐴𝐵上的高，∠𝐵𝐶𝐷= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，𝐴𝐸是∠𝐶𝐴𝐵的平分线，则∠𝐴𝐸𝐵的 度数为________． 【答案】100° 【分析】先根据角的和差关系求出∠𝐴𝐶𝐷的度数，再在Rt △𝐴𝐷𝐶中，利用三角形的内角和定理求出∠𝐶𝐴𝐵， 结合角平分线的定义求出∠𝐶𝐴𝐸，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：∵ ∠𝐵𝐶𝐷= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐶𝐷= 50°， ∵𝐶𝐷是边𝐴𝐵上的高， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐶𝐴𝐵= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐶𝐷= 40°， ∵𝐴𝐸是∠𝐶𝐴𝐵的平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐶𝐴𝐵= 20°， ∴∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐴𝐶𝐵= 180° −20° −80° = 80°, ∴∠𝐴𝐸𝐵= 180° −∠𝐴𝐸𝐶= 100°． 20．如图，𝐴𝐷、𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高线、中线，若𝑆△𝐴𝐵𝐸= 8，𝐵𝐶= 8，则高线𝐴𝐷长为________． 10 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】4 【分析】因为𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据𝑆△𝐴𝐵𝐸求出 𝑆△𝐴𝐵𝐶．因为𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，所以三角形面积公式为𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷，将已知的𝑆△𝐴𝐵𝐶和𝐵𝐶的 长度代入公式，即可求解𝐴𝐷的长度． 【详解】解：∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝑆△𝐴𝐵𝐸= 8， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝐸= 2 × 8 = 16． ∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 ⋅𝐵𝐶⋅𝐴𝐷， 将𝑆△𝐴𝐵𝐶= 16、𝐵𝐶= 8代入， 得16 = 1 2 × 8 × 𝐴𝐷， 解得𝐴𝐷= 4． 21．如图，𝐴𝐷，𝐴𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的中线和高，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷交𝐴𝐷于点E． (1)若∠𝐶𝐸𝐷= 49°，∠𝐶𝐴𝐹= 56°，求∠𝐴𝐷𝐶的度数； (2)若𝐷𝐸: 𝐴𝐸= 3: 4，△𝐴𝐵𝐷的面积是42，求△𝐴𝐶𝐸的面积． 【答案】(1)∠𝐴𝐷𝐶= 114° (2)24 【分析】（1）先求出∠𝐴𝐶𝐷的度数，再求出∠𝐷𝐶𝐸的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出△𝐴𝐶𝐷的面积，再得出𝑆△𝐷𝐶𝐸: 𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝐷𝐸: 𝐴𝐸= 3: 4，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐶的高， ∴𝐴𝐹⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐹𝐶= 90°， ∵∠𝐶𝐴𝐹= 56°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 180° −∠𝐴𝐹𝐶−∠𝐶𝐴𝐹= 34°， ∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝐷𝐶𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷= 17°， 11 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠𝐶𝐸𝐷= 49°， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° −(∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷) = 180° −(17° + 49°) = 114°． （2）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐷的面积是42， ∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 42， ∵△𝐷𝐶𝐸的𝐷𝐸边上的高与△𝐴𝐶𝐸的𝐴𝐸边上的高相等，且𝐷𝐸: 𝐴𝐸= 3: 4， ∴𝑆△𝐷𝐶𝐸: 𝑆△𝐴𝐶𝐸= 3: 4， 又∵𝑆△𝐷𝐶𝐸+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 42， ∴𝑆△𝐴𝐶𝐸= 4 3+4 × 42 = 24， 即△𝐴𝐶𝐸的面积为24． 22．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 为BC 边上任意一点，连接AD．已知DE，DF 分别是△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐶𝐷的 高． 作图： （1）请在图①上作出△𝐴𝐵𝐶中AC 边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG 之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG 之间的数量关系，小明是这样做的： 因为𝑆△𝐴𝐵𝐶= _________ + 𝑆△𝐴𝐶𝐷， 所以 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐺= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+ ____________． 因为𝐴𝐵= 𝐴𝐶， 所以________________________． 拓展：（4）当点D 在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG 之间的数量关系是否仍然成立，并 说明理由． 【答案】（1）如图①，𝐵𝐺即为所求．（2）𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹；（3）𝑆△𝐴𝐵𝐷 1 2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹； （4）不成立．理由如下： 如图②，过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐴𝐶于点𝐺． ∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷， ∴ 1 2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐺+ 1 2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹． ∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶， ∴𝐷𝐸= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐹， ∴𝐵𝐺= 𝐷𝐸−𝐷𝐹． 12 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶于点𝐺，即可作答； （2）通过观察、测量，即可得到𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间的数量关系； （3）将△𝐴𝐵𝐶分成△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷，根据三角形的面积公式结合𝐴𝐵= 𝐴𝐶即可得到𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间 的数量关系； （4）将△𝐴𝐵𝐷分成△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐶𝐷，根据三角形的面积公式结合𝐴𝐵= 𝐴𝐶即可得到𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间 的数量关系． 【详解】解：（1） 略 （2）𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹 （3）因为𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷， 所以 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐺= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+ 1 2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹． 因为𝐴𝐵= 𝐴𝐶， 所以𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹． 故答案为：𝑆△𝐴𝐵𝐷， 1 2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹 ，𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹． （4） 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，解答 本题的关键是熟练运用数形结合思想． ◆题型6·与平行线有关的三角形内角和问题 23．如图，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，∠𝐵𝐹𝐷= ∠1． (1)证明：𝐷𝐹∥𝐴𝐶； (2)若∠1 = 65°，𝐷𝐹平分∠𝐵𝐷𝐸，直接写出∠𝐶的度数． 【答案】(1)证明：∵ 𝐴𝐵∥𝐷𝐸， ∴ ∠𝐵𝐹𝐷= ∠2， 13 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∠𝐵𝐹𝐷= ∠1， ∴∠1 = ∠2， ∴ 𝐷𝐹∥𝐴𝐶； (2)65° 【分析】（1）根据平行线性质推出∠𝐵𝐹𝐷= ∠2，再结合题意进行等量代换推出∠1 = ∠2，进而即可证明 𝐷𝐹∥𝐴𝐶； （2）利用角平分线定义求出∠𝐵𝐷𝐹= ∠2 = ∠1 = 65°，进而得到∠𝐸𝐷𝐶，再根据∠𝐶= 180° −∠1 −∠𝐸𝐷𝐶 求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 𝐷𝐹平分∠𝐵𝐷𝐸， ∴∠𝐵𝐷𝐹= ∠2， ∵ ∠1 = 65°， 结合（1）可知∠𝐵𝐷𝐹= ∠2 = ∠1 = 65°， ∴∠𝐸𝐷𝐶= 180° −2 × 65° = 50°， ∴ ∠𝐶= 180° −∠1 −∠𝐸𝐷𝐶= 65°． 24．如图，已知直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵，𝐶𝐷于点𝐸，𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷交𝐴𝐵于点𝐺，𝐸𝑀平分∠𝐺𝐸𝐹交 𝐹𝐺于点𝑀，过点𝐺作𝑁𝐺⊥𝐺𝐹，𝐺为垂足，交直线𝐸𝐹于点𝑁． (1)若∠𝐸𝐺𝐹= 27°，求∠𝐴𝐸𝐹的度数． (2)求证：∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝑁． 【答案】(1)54°； (2)证明：∵𝐸𝑀平分∠𝐺𝐸𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷， ∴∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐺𝐸𝑀= 1 2 ∠𝐺𝐸𝐹，∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐸𝐹𝐷 ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°， ∴∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐺𝐸𝐹+ 1 2 ∠𝐸𝐹𝐷= 1 2 (∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷) = 90°， ∴∠𝐸𝑀𝐹= 180° −(∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺) = 180° −90° = 90°， ∴𝐸𝑀⊥𝐺𝐹， ∵𝑁𝐺⊥𝐺𝐹， ∴𝐸𝑀∥𝑁𝐺 14 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝑁= ∠𝐹𝐸𝑀，∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝐺𝐸𝑀， ∴∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝑁． 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠𝐷𝐹𝐺，再由角平分线的定义求出∠𝐸𝐹𝐷，最后由平行线的性质即 可求解； （2）由角平分线的定义得到∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐺𝐸𝑀= 1 2 ∠𝐺𝐸𝐹，∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐸𝐹𝐷，由平行线的性质得到∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°，因此∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺= 90°，从而可推出𝐸𝑀⊥𝐺𝐹，从而得到𝐸𝑀∥𝑁𝐺，因此∠𝑁= ∠𝐹𝐸𝑀， ∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝐺𝐸𝑀，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐸𝐺𝐹= 27°， ∴∠𝐷𝐹𝐺= ∠𝐸𝐺𝐹= 27° ∵𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷， ∴∠𝐸𝐹𝐷= 2∠𝐷𝐹𝐺= 2 × 27° = 54°， ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷= 54°． （2）略 25．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，点D 在𝐴𝐶边上，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若∠𝐴𝐷𝐸= 155°，求∠𝐵的度数． 【答案】65° 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出∠𝐶的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠𝐵的度数． 【详解】解：∵∠𝐴𝐷𝐸= 155°， ∴∠𝐸𝐷𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐸= 180° −155° = 25°， ∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶， ∴∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 25°， 又∵∠𝐴= 90°， ∴∠𝐵= 90° −∠𝐶= 65°． 26．如图，𝐴𝑃∥𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点O，交𝐴𝑃于点P，且∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 30°，求∠𝑃的度数． 【答案】35° 【分析】此题考查平行线的性质，三角形内角和，先根据三角形内角和求出∠𝐴𝐵𝐶= 70°，再根据角平 15 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 分线得到∠𝐶𝐵𝑃= 35°，最后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 30°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −80° −30° = 70°， ∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 35°． ∵𝐴𝑃∥𝐵𝐶， ∴∠𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃= 35°． 27．如图，𝐴𝑀∥𝐵𝑁, ∠𝐴= 40°，点𝑃是射线𝐴𝑀上一动点(不与点𝐴重合)，𝐵𝐶, 𝐵𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝑃和∠𝑃𝐵𝑁， 交射线𝐴𝑀于𝐶, 𝐷两点． (1)求∠𝐶𝐵𝐷的度数； (2)当点𝑃运动到使∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷时，求∠𝐴𝐵𝐶的度数； (3)当点𝑃运动时，∠𝐴𝑃𝐵与∠𝐴𝐷𝐵的度数之比是否随之发生变化?若不变，求出∠𝐴𝑃𝐵与∠𝐴𝐷𝐵的度数之比； 若变化，请说明变化规律． 【答案】(1)∠𝐶𝐵𝐷= 70° (2)∠𝐴𝐵𝐶= 35° (3)∠𝐴𝑃𝐵: ∠𝐴𝐷𝐵= 2: 1 【分析】 （1）根据平行线的性质可得∠𝐴𝐵𝑁= 140°，再根据角平分线的定义可得∠𝐶𝐵𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐵𝑁即可； （2）根据三角形内角和定理得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵，再根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝑃𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝑁，即可得结论； （3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝑃𝐵𝑁，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝑁，结合角平分线定义 可得结论． 【详解】（1）解：∵𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝑁，∠𝐴= 40°， ∴∠𝐴𝐵𝑁= 180° −∠𝐴= 140°， ∵𝐵𝐶，𝐵𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝑃和∠𝑃𝐵𝑁， ∴∠𝐶𝐵𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐵𝑃，∠𝑃𝐵𝐷= 1 2 ∠𝑃𝐵𝑁， ∵∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐷， ∴∠𝐶𝐵𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐵𝑃+ 1 2 ∠𝑃𝐵𝑁= 1 2 ∠𝐴𝐵𝑁= 70°； （2）当∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷时， 又∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵， 16 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐵𝑃，∠𝑃𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝑃𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐷+ ∠𝐷𝐵𝑁 = 1 4 ∠𝐴𝐵𝑁 = 1 4 × 140° = 35°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 35°； （3）当点𝑃运动时，∠𝐴𝑃𝐵：∠𝐴𝐷𝐵= 2：1， 理由：∵𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝑃𝐵𝑁，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝑁， ∵𝐵𝐷平分∠𝑃𝐵𝑁， ∴∠𝑃𝐵𝑁= 2∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝑃𝐵：∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝑃𝐵𝑁：∠𝐷𝐵𝑁= 2：1． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，其中理解题意，熟悉角之 间的关系是解决问题的关键． 28．如图，已知∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐹𝐺，∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°． (1)∠𝐵𝐴𝐶与哪个角相等？为什么？ (2)试判断𝐴𝐷与𝐹𝐺有怎样的位置关系，请说明理由． (3)若𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐹𝐺= 30°，求∠𝐵的度数． 【答案】(1) ∠𝐷𝐸𝐶，理由如下： ∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°， ∴𝐴𝐵∥𝐷𝐸． ∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶； (2) 17 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 𝐴𝐷∥𝐹𝐺，理由如下： ∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸． ∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐹𝐺， ∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐹𝐺． ∴𝐴𝐷∥𝐹𝐺． (3)60° 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行，证明𝐴𝐵∥𝐷𝐸，即可作答； （2）根据两直线平行，内错角相等，以及同位角相等，两直线平行，即可证明； （3）两直线平行，同位角相等，以及三角形内角和定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°． ∵𝐴𝐷∥𝐹𝐺， ∴∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐴𝐷𝐵= 90°． ∵∠𝐵𝐹𝐺= 30°， ∴∠𝐵= 60°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． ◆题型 7·与角平分线有关的三角形内角和问题 29．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于𝐸，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵． (1)求证：𝐸𝐹 ∥ 𝐶𝐷； (2)若∠𝐴= 65°，求∠𝐹𝐸𝐶的度数． 【答案】(1)见解析 (2)20° 【分析】（1）由𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵即可判断𝐸𝐹与𝐶𝐷平行； （2）由𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，可得∠𝐴𝐶𝐸的度数，由𝐶𝐷⊥𝐴𝐵可求得∠𝐴𝐶𝐷的度数，从而可得∠𝐷𝐶𝐸的度数， 再由𝐸𝐹∥𝐶𝐷即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 18 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵= 90° ∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷 （2）解：∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 90° ∴∠𝐴𝐶𝐸= 45° ∵∠𝐴= 65° ∴∠𝐴𝐶𝐷= 90° −∠𝐴= 25° ∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐷= 20° ∵𝐸𝐹∥𝐶𝐷 ∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸= 20°； 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，掌握这些知 识是解决本题的关键． 30．如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸、𝐵𝐹是角平分线且交于点𝑂，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 70°． (1)求∠𝐷𝐴𝐶的度数； (2)求∠𝐵𝑂𝐸的度数． 【答案】(1)∠𝐷𝐴𝐶= 40° (2)∠𝐵𝑂𝐸= 65° 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得∠𝐶= 50°，再利用垂直的定义结合三角形的内角和即可得 到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 70°， ∴∠𝐶= 180° −60° −70° = 50°， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐷𝐴𝐶= 180° −90° −50° = 40°； （2）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 70°， 又∵𝐵𝐹是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线， ∴∠𝐴𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 35°，∠𝐵𝐴𝑂= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°， 19 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐴𝑂𝐵= 180° −∠𝐴𝐵𝑂−∠𝐵𝐴𝑂= 115°， ∴∠𝐵𝑂𝐸= 180° −∠𝐴𝑂𝐵= 65°． 31．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，𝐸为𝐵𝐶上一点，连结𝐴𝐸． (1)当𝐵𝐸= 𝐶𝐸时，若𝐴𝐷= 8，△𝐴𝐵𝐶的面积为40，求𝐶𝐸的长； (2)当∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸时，若∠𝐶= 68°，∠𝐵= 36°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数． 【答案】(1)5 (2)16° 【分析】（1）根据三角形的面积公式，结合𝐵𝐸= 𝐶𝐸即可得到答案． （2）根据三角形内角和为180°以及∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，得到∠𝐶𝐴𝐸= 38°，继续根据三角形内角和为180°得 到∠𝐶𝐴𝐷= 22°，继而得到∠𝐷𝐴𝐸= 16°． 【详解】（1）解：∵𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，△𝐴𝐵𝐶的面积为40， ∴ 1 2 𝐵𝐶· 𝐴𝐷= 40， ∵𝐴𝐷= 8， ∴𝐵𝐶= 10， ∵𝐵𝐸= 𝐶𝐸， ∴𝐶𝐸= 1 2 𝐵𝐶= 5； （2）解：∵∠𝐶= 68°，∠𝐵= 36°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐵= 76°， ∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 38°， ∵∠𝐴𝐷𝐶= 90°，∠𝐶= 68°， ∴∠𝐶𝐴𝐷= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐶= 22°， ∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 16°． 32．如图1、2、3 所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝑃． 20 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1 所示，若∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°，则∠𝐵𝑃𝐶的度数为 ． (2)如图1 所示，如果∠𝐴= 80°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数； (3)如图2 所示，作△𝐴𝐵𝐶外角∠𝑀𝐵𝐶，∠𝑁𝐶𝐵 的平分线交于点 𝑄，试探索∠𝑄，∠𝐴 之间的数量关系； (4)如图3 所示，延长线段𝐵𝑃，𝑄𝐶交于点𝐸，在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请 写出∠𝐴的度数． 【答案】(1)135° (2)130° (3)∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴 (4)45°或60°或120°或135° 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠𝑃𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝑃，再利用三角形内角和定理进行计 算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把∠𝑃𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝑃用∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵表示出来，再利用∠𝐴表示出 来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠𝐶𝐵𝑄和∠𝐵𝐶𝑄，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出∠𝐸𝐵𝑄的度数，然后由（3）求出的∠𝑄，利用三角形内角和求出∠𝐸，再分4 种 情况讨论，求出∠𝐴的度数． 【详解】（1）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 21°，∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 24°， ∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝑃= 135°； （2）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝑃 = 180° −1 2 ∠𝐴𝐵𝐶−1 2 ∠𝐴𝐶𝐵 = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) 21 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = 180° −1 2 (180° −∠𝐴) = 90° + 1 2 ∠𝐴 = 90° + 1 2 × 80° = 130°； （3）解：∵𝐵𝑄，𝐶𝑄分别是∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑁的角平分线， ∴∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 ∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑄= 1 2 ∠𝐵𝐶𝑁， ∵∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑁= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑄= 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶， ∵∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐵𝐶𝑄+ ∠𝑄= 180°， ∴ 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴+ 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) + ∠𝑄= 180°， ∴∠𝐴+ 1 2 (180° −∠𝐴) + ∠𝑄= 180°， ∴∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴； （4）解：∵𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐵𝑄是∠𝐶𝐵𝑀的角平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 ∠𝐶𝐵𝑀， ∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀= 180°， ∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀) = 90°， ∴∠𝑄𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 90°， 由（3）知∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴， ∴∠𝐸+ ∠𝑄= 90°， ∴∠𝐸= 1 2 ∠𝐴， ∵在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，∠𝑄𝐵𝐸= 90°， ∴∠𝑄，∠𝐸都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①∠𝑄= 3∠𝐸， ∴90° − 1 2 ∠𝐴= 3 × 1 2 ∠𝐴， ∴2∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 45°； ②∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝐸， ∴3 × 1 2 ∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 60°； 22 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ③∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝑄， ∴3 (90° − 1 2 ∠𝐴) = 90°， ∴270° −1.5∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 120°， ④∠𝐸= 3∠𝑄， ∴3 (90° − 1 2 ∠𝐴) = 1 2 ∠𝐴， 解之得：∠𝐴= 135°， 综上可知：∠𝐴的度数为45°或60°或120°或135°． 33．【教材呈现】以下是华师版数学七下第92 页的部分内容． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 80°．∠𝐴𝐶𝐵= 50°，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，求∠𝐵𝑃𝐶的度数． 解：∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶（已知）， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 2 × 80° = 40°， 同理可得∠𝑃𝐶𝐵=___________°． ∵∠𝐵𝑃𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 180°（___________）， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵（等式的性质）=___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝑃，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠，使得点𝐴与 点𝑃重合，若∠1 + ∠2 = 100°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数； (3)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，角平分线𝐵𝑂、𝐶𝑂交于点𝑂，𝑂𝐷⊥𝑂𝐵，交边𝐵𝐶于点𝐷，点𝐸在𝐶𝐵的延长线上， 作∠𝐴𝐵𝐸的平分线交𝐶𝑂的延长线于点𝐹．若∠𝐹= 24°，则∠𝐷𝑂𝐶=_______°． 【答案】(1)25；三角形内角和定理；115° (2)115° (3)24 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 130°，进而求出∠𝐴= 50°，同（1）即可得到 答案； （3）根据角平分线得到∠𝐴𝐵𝑂= ∠𝑂𝐵𝐶，∠𝐹𝐵𝐴= ∠𝐹𝐵𝐸，进而可知∠𝐹𝐵𝑂= 90°，即可求出∠𝐹𝑂𝐵= 66°， 23 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据𝑂𝐷⊥𝑂𝐵得到∠𝐷𝑂𝐵= 90°，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶（已知）， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 2 × 80° = 40°． 同理可得∠𝑃𝐶𝐵= 25°． ∵∠𝐵𝑃𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 180°（三角形内角和定理）， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵（等式的性质） = 180° −40° −25° = 115°． （2）由折叠的性质可得∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝑃𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝑃𝐷𝐸， ∵∠1 + ∠𝐴𝐷𝑃= 180°，∠2 + ∠𝐴𝐸𝑃= 180°，∠1 + ∠2 = 100°， ∴2∠𝐴𝐸𝐷+ 2∠𝐴𝐷𝐸= 260°， ∴∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 130°， ∴∠𝐴= 180° −∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴𝐷𝐸= 50°， ∵∠𝐴= 50°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 130°， ∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝑃𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝑃𝐶𝐵， ∴2∠𝑃𝐵𝐶+ 2∠𝑃𝐶𝐵= 130°， 即∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 65°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵= 115°； （3）∵𝐵𝑂是∠𝐴𝐵𝐶角平分线，𝐵𝐹是∠𝐴𝐵𝐸角平分线 ∴∠𝐴𝐵𝑂= ∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐹𝐵𝐴= ∠𝐹𝐵𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐸， ∵∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°， ∴∠𝐹𝐵𝑂= ∠𝐹𝐵𝐴+ ∠𝐴𝐵𝑂= 90°， ∵∠𝐹= 24°， ∴∠𝐹𝑂𝐵= 180° −90° −24° = 66°， ∵𝑂𝐷⊥𝑂𝐵， ∴∠𝐷𝑂𝐵= 90°， ∴∠𝐷𝑂𝐶= 180° −90° −66° = 24°． ◆题型 8·三角形折叠中的角度问题 34．如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 65°，∠𝐵= 75°．将纸片的一角对折，使点C 落在△𝐴𝐵𝐶内， 若∠2 = 25°，则∠1的度数为（ ） 24 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理并结合折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 65°，∠𝐵= 75°， ∴∠𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 40°， 如图： 由折叠的性质可得∠3 = 180°−∠2 2 = 77.5°，∠𝐶′ = ∠𝐶= 40°，∠4 = 180°−∠1 2 ， ∵∠4 = 180° −∠𝐶′ −∠3 = 62.5°， ∴∠1 = 180° −2∠4 = 55°． 35．如图，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐷𝐸折叠，使点𝐵与点𝐶重合，若∠𝐴= 76°，∠𝐶= 32°，则∠𝐴𝐵𝐸的度数为（ ） A．40° B．32° C．30° D．45° 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶= 72°，根据折叠的性质得到∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶= 32°，即可求出∠𝐴𝐵𝐸的 度数． 【详解】解：∵∠𝐴= 76°，∠𝐶= 32°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐶= 180° −76° −32° = 72°， ∵将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐷𝐸折叠，使点𝐵与点𝐶重合， ∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶= 32°， ∴∠𝐴𝐵𝐸= 40°． 故选：A． 25 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 36．如图，将三角形纸片𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠，点𝐴落在点𝐹处，已知∠1 + ∠2 = 110°，则∠𝐴的度数是（ ） A．55° B．50° C．70° D．65° 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 125°，最后利用三角形的内角和 定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐷， ∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐹𝐷𝐸= 180° −∠1， ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐹𝐸𝐷= 180° −∠2， ∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷 = 1 2 × (180° −∠1 + 180° −∠2) = 1 2 × [360° −(∠1 + ∠2)] = 125°， ∴∠𝐴= 180° −(∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 55°， 故选：A． 37．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°，沿𝐵𝐸将此三角形对折，又沿𝐵𝐴′再一次对折，点𝐶落在𝐵𝐸上的𝐶′处，此时 ∠𝐶′𝐷𝐵= 64°，则原三角形的∠𝐶的度数为（ ） A．75° B．76° C．98° D．99° 【答案】D 26 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得∠1 = ∠2，∠2 = ∠3，∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶′𝐷𝐵= 64°，则∠1 = ∠2 = ∠3，即∠𝐴𝐵𝐶= 3∠3，根据三角形内角和定理得 ∠3 + ∠𝐶= 116°，在△𝐴𝐵𝐶中，利用三角形内角和定理得∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°，则30° + 2∠3 + 116° = 180°，可计算出∠3 = 17°，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐸将此三角形对折，又沿𝐵𝐴′再一次对折，点C 落在𝐵𝐸上的𝐶′处， ∴∠1 = ∠2，∠2 = ∠3，∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶′𝐷𝐵= 64°， ∴∠1 = ∠2 = ∠3， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 3∠3， 在△𝐵𝐶𝐷中，∠3 + ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐵= 180°， ∴∠3 + ∠𝐶= 180° −64° = 116°， 在△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°， ∴30° + 2∠3 + (∠3 + ∠𝐶) = 180°， 即30° + 2∠3 + 116° = 180°， ∴∠3 = 17°， ∴∠𝐶= 116° −17° = 99°， 故选：D． 38．如图所示，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸翻折，点𝐵落到了点𝐵′处，若∠1 + ∠2 = 80°，则∠𝐵′的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．80° 【答案】A 【分析】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题 27 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的关键． 由折叠的性质可知∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵′𝐸𝐷，∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵′𝐷𝐸，再利用平角的定义可求出∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐸的度数， 进而利用三角形内角和可求∠𝐵′的度数． 【详解】由折叠的性质可知∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵′𝐸𝐷，∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵′𝐷𝐸， ∵∠1 + ∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐵′𝐸𝐷= 180°，∠2 + ∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐵′𝐷𝐸= 180° ∴∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐸= 1 2 (360° −∠1 −∠2) = 1 2 × (360° −80°) = 140° ∴∠𝐵′ = ∠𝐵= 180° −(∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐸) = 180° −140° = 40°． 故选：A． 39．如图，∠𝐴= 65°, ∠𝐵= 75°，将纸片的一角折叠，使点𝐶落在△𝐴𝐵𝐶外，若∠2 = 15°，则∠1的度数为（ ） 度． A．95 B．100 C．105 D．120 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到∠𝐶= 180° − ∠𝐴−∠𝐵= 40°，由折叠的性质可得∠𝐶′𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶′，则2∠𝐷𝐸𝐶−15° = 180°，据此 求出∠𝐷𝐸𝐶= 97.5°，进而求出∠𝐶𝐷𝐸= 42.5°，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵∠𝐴= 65°, ∠𝐵= 75°， ∴∠𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 40°， 由折叠的性质可得∠𝐶′𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶′， ∵∠2 = 15°，∠𝐷𝐸𝐶+ ∠𝐷𝐸𝐶′ −∠2 = 180°， ∴2∠𝐷𝐸𝐶−15° = 180°， ∴∠𝐷𝐸𝐶= 97.5°， ∴∠𝐶𝐷𝐸= 180° −40° −97.5° = 42.5°， ∴∠1 = 180° −42.5 × 2 = 95°， 故选：A． ◆题型 9·三角形内角和定理的应用 40．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（ ） 28 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．10° B．40° C．50° D．80° 【答案】C 【分析】本题目考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为180°即可求出撕掉的角的度数． 【详解】根据三角形内角和定理，三角形撕掉的角的度数是：180° −50° −80° = 50°． 41．一副直角三角板按如图放置，点𝐸在边𝐵𝐶的延长线上，𝐵𝐸∥𝐷𝐹，∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹= 90°，则∠𝐶𝐷𝐸的度数为 （ ） A．25° B．20° C．15° D．10° 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出∠𝐸𝐷𝐹= 45°、∠𝐴𝐶𝐵= 60°，根据平行线的性质求出∠𝐶𝐸𝐷= 45°， 结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：∠𝐸𝐷𝐹= 45°，∠𝐴𝐶𝐵= 90° −∠𝐴= 90° −30° = 60°， ∵𝐵𝐸∥𝐷𝐹， ∴∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐹= 45°， ∵∠𝐷𝐶𝐸= 180° −∠𝐴𝐶𝐵= 180° −60° = 120°， ∴∠𝐶𝐷𝐸= 180° −∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐷𝐶𝐸= 180° −45° −120° = 15°． 42．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠𝐶= ∠𝐹= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐷= 30°，则∠𝛼+ ∠𝛽 等于（ ） A．180° B．210° C．360° D．270° 【答案】B 【分析】设𝐷𝐹分别交𝐴𝐶、𝐵𝐶于点H，点Q，先根据三角形的内角和定理和对顶角相等得到∠𝐷𝐻𝐴= ∠𝐶𝐻𝑄= 180° −∠𝛽，再根据三角形的内角和定理求解即可． 29 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：如图，设𝐷𝐹分别交𝐴𝐶、𝐵𝐶于点H，点Q， ∵∠𝐶𝑄𝐻= ∠𝐹𝑄𝐵，∠𝐶= ∠𝐹= 90°， ∴∠𝐶𝐻𝑄= 180° −∠𝛽， ∵∠𝐷𝐻𝐴= ∠𝐶𝐻𝑄= 180° −∠𝛽，∠𝐷+ 180° −∠𝛼+ ∠𝐷𝐻𝐴= 180°，∠𝐷= 30° ∴30° + 180° −∠𝛼+ 180° −∠𝛽= 180°， ∴∠𝛼+ ∠𝛽= 210°． 43．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点𝑀，𝑁分别落在𝐴𝐵，𝐵𝐶边上， 并与𝐴𝐶交于点𝑃和𝑄，若∠𝐵𝑀𝑁= 60°，∠𝐴= 100°，则∠𝑁𝑄𝐶的度数为（ ） A．130° B．100° C．60° D．50° 【答案】A 【分析】根据题意得出∠𝑃𝑀𝑁= 90°，𝑀𝑃∥𝑁𝑄，再由平角得出∠𝐴𝑀𝑃= 30°，利用三角形内角和定理得 出∠𝐴𝑃𝑀= 50°，再由平行线的性质得出∠𝐴𝑃𝑀= ∠𝐴𝑄𝑁= 50°，即可求解 【详解】解：根据题意得：∠𝑃𝑀𝑁= 90°， ∴∠𝐵𝑀𝑁+ ∠𝐴𝑀𝑃= 90°， ∵∠𝐵𝑀𝑁= 60°， ∴∠𝐴𝑀𝑃= 30°， ∵∠𝐴= 100°， ∴∠𝐴𝑃𝑀= 50°， ∵𝑀𝑃∥𝑁𝑄， ∴∠𝐴𝑃𝑀= ∠𝐴𝑄𝑁= 50°， ∴∠𝑁𝑄𝐶= 180° −50° = 130° 44．如图，把一块三角尺𝑋𝑌𝑍放置在△𝐴𝐵𝐶上，使三角尺的两条直角边𝑋𝑌，𝑋𝑍恰好经过点𝐵，𝐶，若∠𝐴= 50°， 则∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋的度数是（ ） 30 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【分析】利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 130°， ∵三角尺𝑋𝑌𝑍的两条直角边𝑋𝑌，𝑋𝑍分别经过点𝐵，𝐶， ∴∠𝐵𝑋𝐶= 90°， ∴在△𝑋𝐵𝐶中，∠𝑋𝐵𝐶+ ∠𝑋𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝑋𝐶= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋= (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) −(∠𝑋𝐵𝐶+ ∠𝑋𝐶𝐵) = 130° −90° = 40°． 综合攻坚·知能拔高 1．下面给出的四个三角形都有一部分被挡板遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型，故本选项不 合题意； B、露出的角是直角，因此是直角三角形，故本选项不合题意； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型，故本选项符合题意； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形，故本选项不合题意． 2．如图，为估计沙堆两侧点𝐴, 𝐵间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点𝐶，测得𝐴𝐶= 5m, 𝐵𝐶= 7m，那么𝐴, 𝐵 两点之间的距离可能是（ ） 31 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．14m B．12m C．10m D．2m 【答案】C 【分析】连接𝐴𝐵，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，连接𝐴𝐵， 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶−𝐴𝐶< 𝐴𝐵< 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶， ∵𝐴𝐶= 5m, 𝐵𝐶= 7m， ∴7 −5 < 𝐴𝐵< 7 + 5，即2 < 𝐴𝐵< 12， ∴𝐴, 𝐵两点之间的距离可能是10m． 3．一副三角板如图放置，直线𝐵𝐶∥𝐸𝐹，则∠𝐴𝐷𝐸的度数是（ ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【分析】两直线平行，内错角相等，得到∠𝐵𝐻𝐹的度数，再利用平角得到∠𝐷𝐻𝐵的度数，根据三角形内 角和得到∠𝐹𝐷𝐵的度数，最后利用平角即可得出结果． 【详解】 解： ∵𝐵𝐶∥𝐸𝐹， ∴∠𝐵𝐻𝐹= ∠𝐹= 45°， ∴∠𝐷𝐻𝐵= 180° −∠𝐵𝐻𝐹= 180° −45° = 135°， ∴∠𝐹𝐷𝐵= 180° −∠𝐵−∠𝐷𝐻𝐵= 180° −30° −135° = 15°， ∴∠𝐴𝐷𝐸= 180° −∠𝐸𝐷𝐹−∠𝐹𝐷𝐵= 180° −90° −15° = 75°． 4．如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线，若△𝐴𝐵𝐶的面积为30，𝐵𝐷= 5，则△𝐵𝐷𝐸中𝐵𝐷边上 的高是（ ） 32 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，过点E 作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，利用面积 公式即可求得答案． 【详解】解：过点E 作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶于点F，如下图， ∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐷， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 4 𝑆△𝐴𝐵𝐶， ∵△𝐴𝐵𝐶的面积为30，𝐵𝐷= 5， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 2 ⋅𝐷𝐵⋅𝐸𝐹= 1 2 × 5 × 𝐸𝐹= 1 4 × 30， 解得𝐸𝐹= 3， 即△𝐵𝐷𝐸中𝐵𝐷边上的高为3． 5．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶边上的一点（不与点𝐵，𝐶重合），点𝐸，𝐹是线段𝐴𝐷的三等分点，记△𝐵𝐷𝐹的 面积为𝑆1，△𝐴𝐶𝐸的面积为𝑆2，若𝑆1 + 𝑆2 = 4，则△𝐴𝐵𝐶的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点𝐸，𝐹是线段𝐴𝐷的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出𝑆△𝐴𝐵𝐷= 3𝑆1， 𝑆△𝐴𝐷𝐶= 3𝑆2，最后便可以求出△𝐴𝐵𝐶的面积． 【详解】解：∵点𝐸，𝐹是线段𝐴𝐷的三等分点， ∴𝐷𝐹= 1 3 𝐴𝐷， 33 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 3𝑆1 同理𝑆△𝐴𝐷𝐶= 3𝑆2， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐶 = 3𝑆1 + 3𝑆2 = 3(𝑆1 + 𝑆2)， ∵𝑆1 + 𝑆2 = 4， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3 × 4 = 12． 6．如图，𝐶𝐷∥𝐴𝐵，𝐵𝐶平分∠𝐴𝐶𝐷，𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐺，点𝐺、𝐶、𝐷共线，点𝐵、𝐸、𝐴、𝐹共线，∠𝐵𝐴𝐶= 40°，∠1 = ∠2， 则下列结论：①𝐶𝐵⊥𝐶𝐹；②∠1 = 70°；③∠3 = 2∠4；④∠𝐴𝐶𝐸= 2∠4，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得 出∠𝐴𝐹𝐶= ∠4 = ∠𝐴𝐶𝐹= 20°，∠𝐵𝐶𝐷= ∠2，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可 判断③；根据外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐶𝐷，𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐺， ∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐴= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷, ∠4 = ∠𝐴𝐶𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐺， ∵∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐺= 180°， ∴∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹= ∠4 + 𝐵𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷+ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐺= 90° = ∠𝐵𝐶𝐹， ∴𝐶𝐵⊥𝐶𝐹，①正确； ∵𝐶𝐷∥𝐴𝐵， ∴∠4 = ∠𝐴𝐹𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐺= 40°，∠𝐵𝐶𝐷= ∠2， ∴∠4 = ∠𝐴𝐶𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐺= 20°， ∴∠𝐵𝐶𝐷= 90° −∠4 = 70° = ∠2， ∴∠1 = ∠2 = 70°，②正确； ∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， ∴∠3 = 180° −∠1 −∠2 = 40°， ∴∠3 = 2∠4，③正确； ∵∠1 = ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸， ∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠1 −∠𝐵𝐴𝐶= 30° ≠2∠4，④错误； 34 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综上：正确的为①②③． 7．如图，∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，𝐶𝐸∥𝐴𝐵，若∠𝐴= 40°，∠𝐵𝐶𝐴= 105°，则∠𝐸𝐶𝐷为______°． 【答案】35 【分析】利用三角形内角和定理求出∠𝐵的度数，再根据平行线的性质得出∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐵即可求解． 【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 40°，∠𝐵𝐶𝐴= 105°， ∴∠𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵𝐶𝐴= 180° −40° −105° = 35°， ∵𝐶𝐸∥𝐴𝐵， ∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐵= 35°． 8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点，若△𝐴𝐵𝐶的面积为16，△𝐷𝐸𝐹（阴影部分） 的面积为________． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可． 【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶的面积为16，点𝐷是𝐵𝐶的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8， ∵点𝐸是𝐴𝐷的中点， ∴𝑆△𝐴𝐸𝐶= 𝑆△𝐷𝐸𝐶= 1 2 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 4， ∵点𝐹是𝐶𝐸的中点， ∴𝑆△𝐷𝐸𝐹= 𝑆△𝐷𝐶𝐹= 1 2 𝑆△𝐷𝐸𝐶= 2， 即△𝐷𝐸𝐹（阴影部分）的面积为2． 9．定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．若△𝐴𝐵𝐶为“反直角三角形”，且∠𝐴= ∠𝐵， 则∠𝐶的度数为___________． 【答案】120°/120 度 【分析】设∠𝐴= ∠𝐵= 𝑥，根据三角形内角和定理可得∠𝐶= 180° −2𝑥，再分两种情况，列方程求解即 可． 35 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：设∠𝐴= ∠𝐵= 𝑥，根据三角形内角和定理可得∠𝐶= 180° −2𝑥， ∵∠𝐴= ∠𝐵， ∴∠𝐴与∠𝐵的差为不可能为90° 当∠𝐶−∠𝐴= 90°时， 代入得(180° −2𝑥) −𝑥= 90° 解得𝑥= 30°， ∴∠𝐶= 180° −2 × 30° = 120°，符合三角形内角定义， 当∠𝐴−∠𝐶= 90°时， 代入得𝑥−(180° −2𝑥) = 90°， 解得𝑥= 90°， ∴∠𝐶= 180° −2 × 90° = 0°，不符合三角形内角的定义，舍去， 综上所述，∠C 的度数为120°． 10．如图，𝑎∥𝑏，直线𝑎, 𝑏被直线𝑐所截，𝐴𝐶1, 𝐵𝐶1分别平分∠𝐸𝐴𝐵, ∠𝐹𝐵𝐴, 𝐴𝐶2,𝐵𝐶2分别平分 ∠𝐸𝐴𝐶1, ∠𝐹𝐵𝐶1,𝐴𝐶3, 𝐵𝐶3分别平分∠𝐸𝐴𝐶2,∠𝐹𝐵𝐶2交于点𝐶3 …依此规律，得角∠𝐶𝑛，则∠𝐶3 =__________ 度，∠𝐶𝑛=__________度． 【答案】 22.5° 180° 2𝑛 【分析】根据𝑎∥𝑏以及𝐴𝐶1，𝐵𝐶1分别平分∠𝐸𝐴𝐵，即可得出∠𝐶1 = 90°，写出部分∠𝐶𝑛的度数，根据数 据的变化找出变化规律∠𝐶𝑛= 180° 2𝑛，依此规律即可得出结论． 【详解】解：∵𝑎∥𝑏， ∴∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°， ∵𝐴𝐶1，𝐵𝐶1分别平分∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐹𝐵𝐴， ∴∠𝐵𝐴𝐶1 = ∠𝐸𝐴𝐶1 = 1 2 ∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐶1 = ∠𝐹𝐵𝐶1 = 1 2 ∠𝐹𝐵𝐴， ∴∠𝐵𝐴𝐶1 + ∠𝐴𝐵𝐶1 = 1 2 (∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐹) = 90° ∴∠𝐶1 = 180° −(∠𝐵𝐴𝐶1 + ∠𝐴𝐵𝐶1) = 90°， ∵𝐴𝐶2,𝐵𝐶2分别平分∠𝐸𝐴𝐶1, ∠𝐹𝐵𝐶1， ∴设∠𝐸𝐴𝐶2 = ∠𝐶1𝐴𝐶2 = 𝑥，∠𝐹𝐵𝐶2 = ∠𝐶1𝐵𝐶2 = 𝑦， ∴∠𝐸𝐴𝐶1 = 𝐵𝐴𝐶1 = 2𝑥, ∠𝐹𝐵𝐶1 = ∠𝐴𝐵𝐶1 = 2𝑦， ∴∠𝐵𝐴𝐶2 = 2𝑥+ 𝑥= 3𝑥，∠𝐴𝐵𝐶2 = 2𝑦+ 𝑦= 3𝑦， ∵∠𝐵𝐴𝐶1 + ∠𝐴𝐵𝐶1 = 2𝑥+ 2𝑦= 90°， 36 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝑥+ 𝑦= 45°， ∴∠𝐶2 = 180° −(∠𝐵𝐴𝐶2 + ∠𝐴𝐵𝐶2) = 180° −3(𝑥+ 𝑦) = 45° 即∠𝐶2 = 1 2 ∠𝐶1 = 45° = 180° 22 ， 同理∠𝐶3 = 1 2 ∠𝐶2 = 180° 23 = 22.5°， ∠𝐶4 = 1 2 ∠𝐶3 = 11.25° = 180° 24 ， ⋯ ∴∠𝐶𝑛= 180° 2𝑛． 11．如图，已知，∠1 + ∠2 = 180°，∠3 = ∠𝐵． (1)求证：𝐷𝐸∥𝐵𝐶； (2)若∠𝐴𝐸𝐷= 55°，∠𝐵= 45°，求∠𝐴的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长𝐸𝐹交𝐵𝐶于点H， 因为∠1 + ∠2 = 180°（已知），∠1 = ∠4（对顶角相等）， 所以∠2 + ∠4 = 180°（等量代换）， 所以𝐴𝐵∥𝐸𝐹（同旁内角互补，两直线平行）， 所以∠3 = ∠𝐴𝐷𝐸（两直线平行，内错角相等）， 又因为∠3 = ∠𝐵（已知）， 所以∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸（等量代换）， 所以𝐷𝐸∥𝐵𝐶（同位角相等，两直线平行）； (2)80° 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明𝐴𝐵∥𝐸𝐹，再证明∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，即可证明𝐷𝐸∥𝐵𝐶； （2）利用平行线的性质求得∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵= 45°，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 37 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：因为𝐷𝐸∥𝐵𝐶（已知）， 所以∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵= 45°（两直线平行，同位角相等）． 因为∠𝐴𝐸𝐷= 55°， 所以∠𝐴= 180° −45° −55° = 80°． 12．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐶𝐷的延长线于点𝐸，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐷，交𝐷𝐶的延长线于点𝐹， 𝐵𝐸与𝐴𝐹相交于点𝑂，∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹= 180°，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐸． (1)求证：𝐴𝐵∥𝐸𝐹． (2)判断∠𝐸与∠𝐹之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐸， 又∵∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸， ∴𝐴𝐵∥𝐸𝐹． (2)∠𝐸+ ∠𝐹= 90°， 理由：∵∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹= 180°，∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐹= 180°， ∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹． ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶． ∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°． ∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷． ∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶+ 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷) = 1 2 × 180° = 90°． ∴∠𝐸𝑂𝐹= ∠𝐴𝑂𝐵= 180° −90° = 90°． ∴∠𝐸+ ∠𝐹= 180° −∠𝐸𝑂𝐹= 90°． 【分析】（1）根据角平分线以及平行线的判定方法证明即可； （2）先证明𝐴𝐷∥𝐵𝐶，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义得到∠𝐸𝑂𝐹= ∠𝐴𝑂𝐵= 180° −90° = 90°，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．已知𝐴𝑀∥𝐶𝑁，点B 为平面内一点，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶于B． 38 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，直接写出∠𝐴和∠𝐶之间的数量关系______； (2)如图2，过点B 作𝐵𝐷⊥𝐴𝑀于点D，求证：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶； (3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F 在𝐷𝑀上，连接𝐵𝐸、𝐵𝐹、𝐶𝐹，𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷， 若∠𝐵𝐹𝐶= 45°，则𝐵𝐸与𝐶𝐹有什么位置关系，说明理由． 【答案】(1)∠𝐴+ ∠𝐶= 90° (2)见解析 (3)𝐵𝐸∥𝐶𝐹，见解析 【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解； （2）过点𝐵作𝐵𝐺∥𝐷𝑀，根据平行线的性质即可证得∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶； （3）利用（2）的结论，结合角平分线的定义求得∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐵𝐹𝐶= 45°，再根据平行线的判定定理即 可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵𝐴𝑀∥𝐶𝑁， ∴∠𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵， ∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴+ ∠𝐴𝑂𝐵= 90°， ∴∠𝐴+ ∠𝐶= 90°； （2）解：如图， 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 过点𝐵作𝐵𝐺∥𝐷𝑀， ∵𝐵𝐷⊥𝐴𝑀， ∴𝐷𝐵⊥𝐵𝐺，即∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐺= 90°， 又∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐺+ ∠𝐶𝐵𝐺= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐺， ∵𝐴𝑀∥𝐶𝑁，𝐵𝐺∥𝐷𝑀， ∴𝐵𝐺∥𝐶𝑁， ∴∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐺， ∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶； （3）解：𝐵𝐸∥𝐶𝐹，理由如下， 如图， 过点B 作𝐵𝐺∥𝐷𝑀， ∵𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹，∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸， 由（2）可得∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐺， ∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐺𝐵𝐹， 设∠𝐷𝐵𝐸= 𝛼，∠𝐴𝐵𝐹= 𝛽， 则∠𝐴𝐵𝐸= 𝛼，∠𝐴𝐵𝐷= 2𝛼= ∠𝐶𝐵𝐺，∠𝐺𝐵𝐹= 𝛽= ∠𝐴𝐵𝐹， ∴∠𝐴𝐵𝐺= 𝛽+ 𝛽= 2𝛽， ∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶可得2𝛽+ 2𝛼= 90°， ∴𝛼+ 𝛽= 45°， ∴∠𝐸𝐵𝐹= 𝛼+ 𝛽= 45°， ∵∠𝐵𝐹𝐶= 45°， ∴∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐵𝐹𝐶= 45°， ∴𝐵𝐸∥𝐶𝐹．
