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1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 勾股定理 常考题型·精准突破 题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积（重） 题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长（高频） 题型3 等面积法求直接斜边上的高问题（高频） 题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型5 利用勾股定理证明线段平方关系（难） 题型6 勾股定理的验证方法（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．16 2．25 3．30 ◆题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长 4．5 5．40 6．10或8/8 或10 ◆题型3 等面积法求直接斜边上的高问题 7． 5cm 12 cm 5 8．25 或7 9．4.8 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 10．231 11．40 12．50 ◆题型5 利用勾股定理证明线段平方关系 13． 【答案】证明：在Rt ADC △ 中，根据勾股定理，得 2 2 2 AC h m = + ， 在Rt DBC 中，根据勾股定理，得 2 2 2 BC h n = + ， 在Rt ABC △ 中，根据勾股定理，得 2 2 2 AC BC AB = + ， ∵AB m n = + ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2 h m h n m n + + + = + ， ∴ 2h mn = ． 14． 【答案】(1) 解：猜想： 2 2 2 2 AD BC AB CD + = + ．理由如下： ∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC BD ⊥ ， ∴ 90 AOD AOB BOC COD = = = = ， 由勾股定理，得 2 2 2 2 2 2 AD BC AO DO BO CO + = + + + ， 2 2 2 2 2 2 AB CD AO BO CO DO + = + + + ， ∴ 2 2 2 2 AD BC AB CD + = + ； （2）连接CG ，BE，如图： ∵正方形ACFG 和正方形ABDE ， ∴ 90 CAG BAE = = ，AG AC = ，AB AE = ， ∴ CAG BAC BAE BAC + = + ，即 GAB CAE = ， 在GAB 和CAE 中，AG AC = ， GAB CAE = ，AB AE = ， 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ( ) SAS GAB CAE ≌ ， ∴ ABG AEC = ， 又∵ 90 AEC AME + = ， ∴ 90 ABG AME + = ， 又∵ BMC AME = ， ∴ 90 ABG BMC + = ， ∴CE BG ⊥ ， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（1）可知 2 2 2 2 CG BE CB GE + = + ， ∵ 4 AC = ， 5 AB = ， ∴由勾股定理，得 2 9 CB = ， 2 32 CG = ， 2 50 BE = ， ∴ 2 2 2 2 73 GE CG BE CB = + − = ． 15． 【答案】（1）证明：∵ BAC DAE = ， ∴ BAC CAE DAE CAE + = + ，即 BAE CAD = ． 又∵ , AB AC AD AE = = ， ∴ ( ) ACD ABE SAS ≌ ， ∴CD BE = ． （2） 2 2 2 2CA CD CE = + 如图，连接BE． ∵ , 90 AD AE DAE = = ． ∴ 45 D AED = = ． 同（1）法可得： ACD ABE △ ≌△ ． ∴ , 45 BE CD BEA CDA = = = ． ∴ 45 45 90 BEC BEA AED = + = + = ，即BE DE ⊥ ． 在Rt BEC 中，由勾股定理可知： 2 2 2 BC BE CE = + ． ∴ 2 2 2 BC CD CE = + ， ∵ , 90 AB AC BAC = = ， ∴ 2 2 2 BC CA = ， 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2 2 2CA CD CE = + ． ◆题型6 勾股定理的验证方法 16． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为( ) 2 a b + ，大的正方形的面积又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ， ∴ ( ) 2 2 1 4 2 c ab a b + = + ， ∴ 2 2 2 2 2 c ab a b ab + = + + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． （2）解：空白部分的面积= 边长为c 的正方形的面积2 −个直角三角形的面积 2 1 2 2 c ab = − ， ∵ 4 a = ， 6 b = ， ∴空白部分的面积 2 2 1 4 6 2 4 6 28 2 = + − = ； （3）解：根据题意得： 3 OB OC = = ，( ) 4 24 AB AC + = ，即 6 AB AC + = ， 在Rt AOB 中，根据勾股定理得： 2 2 2 AB OA OB = + ，即( ) ( ) 2 2 2 6 3 3 AC AC − = + + ， 解得： 1 AC = ， ∴ 3 1 4 OA = + = ， ∴ 1 1 3 4 6 2 2 AOB S OA OB = = = △ ， ∴该风车状图案的面积 4 24 AOB S = = △ ． 17． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为 2 ( ) a b + ，又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ， ∴( ) 2 2 1 4 2 a b c ab + = + ， ∴ 2 2 2 2 2 a b ab c ab + + = + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． （2）解：∵ABC 是直角三角形， 90 C = ． ∴ 2 2 2 AC BC AB + = ， 又∵AB 的长比AC 的长大1， ∴ 1 AC AB = −， ∴ 2 2 2 5 ( 1) AB AB = + − ， 解得 13 AB = ． 5 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：根据题意可得AD BC ⊥ ， 设BD x = 米，则 ( ) 14 CD x − = 米， 在Rt ABD 中， 2 2 2 AD BD AB + = ， 在Rt ACD 中， 2 2 2 AD CD AC + = ， ∴ 2 2 2 2 2 AD AB BD AC CD = − = − ，则 2 2 2 2 13 15 (14 ) x x − = − − ， 解得 5 x = ， ∴ 5 BD = 米， ∴ 2 2 2 2 13 5 12 AD AB BD = − = − = （米）， 学校修建这道栅栏需要投资：50 12 600 = （元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600 元． 18． 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ， ∴大正方形的面积可表示为 2 ( ) a b + ，也可表示为 2 1 4 2 ab c + ， ∴ 2 2 1 ( ) 4 2 a b ab c + = + ，即 2 2 2 2 2 a ab b ab c + + = + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为a ，b ， ∴ 2 2 2 AD a b = + ，EH b a = − ， ∵正方形ABCD的面积为13，中间空白处的正方形EFGH 的面积为1， ∴ 2 2 2 13 AD a b = + = ， 2 2 2 2 ( ) 2 13 2 1 EH b a a ab b ab = − = − + = − = ， ∴ 6 ab = ， ∴ 2 2 2 ( ) 2 13 2 6 25 a b a ab b + = + + = + = ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．C 3．A 4．A 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．C 二、填空题 6．12 7．10 8．13 9． 2 2 2 2 AE AD BC + = 10．8 3 三、解答题 11． 【答案】（1）解： 90 ACB = ， 5cm AB = ， 3cm BC = ， ( ) 2 2 4 , AC AB BC c m = − = ． （2）解： 5cm AB = ， 4cm AC = ， 3cm BC = ， 90 ACB CDA = = ， 1 1 2 2 AC BC CD AB = ， 1 1 4 3 5 2 2 CD = ， 解得 12 cm 5 CD = ． 12． 【答案】（1）解：∵ 50cm AB = ， 30cm BC = ， 90 C = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 50 30 40 cm AC AB BC = − = − = ， 由题意得 2 cm AP t = ， ( ) 40 2 cm PC t = − ； （2）解：∵PCB 的面积等于ABC 面积的一半， ∴PCB 的面积等于APB 面积， ∴AP PC = ， ∴2 40 2 t t = − ， 解得 10 t = ， 答：t 为10 秒时，PCB 的面积等于ABC 面积的一半． 13． 【答案】（1）解：四边形ABCD是“垂美”四边形， AC BD ⊥ ， ∴ 90 AOB BOC COD AOD = = = = ， ∴在Rt AOB 中， 2 2 2 2 2 2 3 13 AB AO BO = + = + = ， 在Rt BOC △ 中， 2 2 2 2 2 3 4 25 BC BO CO = + = + = ， 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt COD 中， 2 2 2 2 2 4 5 41 C CO DO D = + = + = ， 在Rt AOD 中， 2 2 2 2 2 2 5 29 AD AO DO = + = + = ． （2）解：由（1）有 2 2 2 AB AO BO = + ， 2 2 2 BC BO CO = + ， 2 2 2 CD CO DO = + ， 2 2 2 AD AO DO = + ． ∴ 2 2 BC AD + ( ) ( ) 2 2 2 2 BO CO AO DO = + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 BO AO CO DO = + + + 2 2 AB CD = + ， 6 AB = ， 10 CD = ， 2 2 2 2 6 10 136 BC AD + = + = ． 14． 【答案】（1）解：梯形ABCD的面积为( )( ) 2 2 1 1 1 2 2 2 a b a b a ab b + + = + + ，也可以表示为 2 1 1 1 2 2 2 ab ab c + + ， 2 2 2 1 1 1 2 2 2 a ab b ab c + + = + ，即 2 2 2 a b c + = ； （2）解：设AB AC x = = ， 0.6 AH AB BH x = − = − ， 在Rt ACH 中， 2 2 2 AH CH AC + = ，即( ) 2 2 2 0.6 0.8 x x − + = ， 解得 5 6 x = ， 即 5 6 AC = （千米）， 5 1 0.8 6 30 AC CH − = − = （千米）， 答：新路CH 比原路CA 少1 30 千米； (3)设AH x = ，则 21 BH AB AH x = − = −， 在Rt ACH 中， 2 2 2 CH AC AH = − ， 在Rt BCH △ 中， 2 2 2 CH BC BH = − ， 2 2 2 2 AC AH BC BH − = − ，即 ( ) 2 2 2 2 10 17 21 x x − = − − ， 解得 6 x = ， 2 2 2 100 6 8 CH AC AH = − = − = ． 15． 【答案】（1）解：由题可得： 2 2 2 a b c + = ， 2 2 1 1 1 · 2 2 8 a S a = = ， 2 2 2 1 1 · 2 2 8 b S b = = ， 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2 2 1 2 3 1 1 1 8 8 8 S S a b c S + = + = = ， 故答案为： 1 2 3 S S S + = ； （2）解：设OA a = ，AB c = ，由题可得： 5 OB OC = = ， ∴ ( ) 4 4 5 80 c a + − = ， 2 2 2 5 a c + = ， ∴ 25 c a = − ， ∴ ( ) 2 2 2 5 25 a a + = − ， 解： 12 a = ， ∴飞镖状图案的面积为 1 4 12 5 120 2 = ， （3）解：设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，则： 2 2 2 c a b = + ， 由题意得： ( ) 2 1S a b = + ， 2 2 S c = ， ( ) 2 3 S a b = − ， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 S S S a b c a b + + = + + + − 2 2 2 2 2 2 2 a ab b c a ab b = + + + + − + 2 2 2 c c c = + + 2 3c = 16 = ∴ 2 16 3 c = ， ∴ 2 2 16 3 S c = = ， 故答案为：16 3 ．
