1 / 51
学科网（北京）股份有限公司
5.3 一次函数的图象与性质
课标要点
1.掌握一次函数、正比例函数的图象特征，知晓其图象为直线，熟练掌握两点法画函数
图象。
2.理解系数k、b 的几何意义，能根据k、b 正负判断函数增减性、图象经过的象限。
3.掌握正比例函数的图象性质与增减规律，明确其过原点的图象特征。
4.能利用一次函数图象与性质比较函数值大小、求解简单取值范围，初步运用数形结合
思想解题。
学习重难点
重点：
1.掌握一次函数图象的画法与基本特征；
2.理解k、b 对函数图象和增减性的影响；
3.熟练根据解析式判断图象象限与函数变化趋势。
难点：
1.结合k、b 综合判断函数图象位置，易混淆参数对应的图象特征；
2.利用函数增减性比较大小、分析取值范围；
3.数形结合转化图象信息，解决基础图象分析题型。
第五章
一次函数
2 / 51
学科网（北京）股份有限公司
知识点
正比例函数的图象与性质
1. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜
率是k（k 表示正比例函数与x 轴的夹角大小），正比例函数的图象是一条过原点的直线。
2. 正比例函数图象的性质：正比例函数y＝kx（k 是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx
当k＞0 时，直线y＝kx 依次经过第一、三象限，从左向右上升，y 随x 的增大而增大；
当k＜0 时，直线y＝kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x 的增大而减小；
|𝑘|越大，y 随x 的增大而增大（或减小）的速度越快。
随学随练
1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）关于函数𝑦= −2𝑥，下列结论错误
．．的是（ ）
A．它是正比例函数
B．函数图象经过点(1,2)
C．函数图象经过第二、四象限
D．𝑦随𝑥的增大而减小
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义和性质逐一判断即可．
【详解】解：A、形如𝑦= 𝑘𝑥（𝑘为常数，𝑘≠0）的函数是正比例函数，𝑦= −2𝑥中𝑘= −2 ≠0，符合该形
式，是正比例函数，结论正确；
B、把𝑥= 1代入𝑦= −2𝑥，得𝑦= −2 × 1 = −2 ≠2，故函数图象不经过点(1,2)，结论错误；
C 和D、∵𝑘= −2 < 0，
∴函数图象经过第二、四象限，𝑦随𝑥的增大而减小，故C、D 结论正确；
2．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）若函数𝑦= 𝑘𝑥的图象如图所示，则k 的值可能
．．为（ ）
A．2
B．0
C．−
1
2
D．−2
易错提醒
1）混淆𝑘> 0、𝑘< 0的图象经过象限；
2）误认为正比例函数图象不过原点；
3）增减性判断错误。
3 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【答案】A
【分析】根据正比例函数的图象解答即可．
【详解】解：根据图象得：函数𝑦= 𝑘𝑥的图象过一、三象限，
∴𝑘> 0，
∴k 的值可能为2．
知识点
一次函数的图象与性质（重点）
1. 一次函数图象的形状与特征：
①一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可；
②一般一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象必经过点(0, 𝑏)（y轴交点）和点(−
𝑏
𝑘, 0)（x轴交点）。
2. 截距：直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦轴相交于点(0, 𝑏)，𝑏叫作直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏在𝑦轴上的截距，简称截距。
3. 一次函数的性质：
y＝kx+b
k＞0，b＞0
k＞0，b＜0
k＜0，b＞0
k＜0，b＜0
经过象限
第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
增减性
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
直线趋势
函数从左到右上升
函数从左到右下降
与y 轴交点的位置 在y 轴的正半轴上
在y 轴的负半轴
在y 轴的正半轴上
在y 轴的负半轴
倾斜程度
|𝑘|越大，y 随x 的增大而增大（或减小）的速度越快
随学随练
1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）对于一次函数𝑦= 2𝑥−1，下列结论正确的是（ ）
A．当𝑥>
1
2时，𝑦< 0 B．𝑦随𝑥的增大而减小
C．它的图象与𝑦轴交于点(0,−1) D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与性质逐一判断即可．
特别提醒
1）一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)图象是直线；
2）𝑘定增减、定倾斜方向，𝑏定与y 轴交点；
3）𝑘绝对值越大，直线越陡。
4 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：A、当𝑥>
1
2时，2𝑥> 1，∴2𝑥−1 > 0，即𝑦> 0，故选项不符合题意；
B、∵一次函数𝑦= 2𝑥−1中𝑥的系数为2 > 0，∴𝑦随𝑥的增大而增大，故选项不符合题意；
C、当𝑥= 0时，𝑦= 2 × 0 −1 = −1，∴它的图象与𝑦轴交于点(0,−1)，故选项符合题意；
D、∵一次函数𝑦= 2𝑥−1中𝑥的系数为2 > 0，常数项为−1 < 0，∴它的图象经过第一、三、四象限，故选
项不符合题意．
2．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数𝑦= 2𝑥−3的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据 𝑘、𝑏 的符号确定图象经过的象限及与 𝑦 轴交点位置，即可解题．
【详解】解：∵𝑦= 2𝑥−3 中 𝑘= 2 > 0，
∴图象经过第一、三象限，
∵𝑏= −3 < 0，
∴图象与 𝑦 轴的负半轴相交，
综上，图象经过第一、三、四象限，
即一次函数𝑦= 2𝑥−3的图象大致是
．
3．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）若一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘（𝑘是常数，𝑘≠0）的图象经过第一、三、四
象限，则𝑘满足的条件是（ ）
A．𝑘< 0
B．𝑘> 0
C．𝑘≤0
D．𝑘≥0
【答案】B
【详解】解：一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘的常数项为−𝑘
∵ 其图象经过第一、三、四象限，
∴ 𝑘> 0，且−𝑘< 0
解得𝑘> 0．
知识点
一次函数的平移（重点）
1. 图象的平移规律：对于一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，平移时𝑘值不变，仅𝑏发生变化
①上下平移：向上平移𝑚个单位 → 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏+ 𝑚；
5 / 51
学科网（北京）股份有限公司
向下平移𝑚个单位 → 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏−𝑚（上加下减）。
②左右平移：向左平移𝑚个单位 → 𝑦= 𝑘(𝑥+ 𝑚) + 𝑏；
向右平移𝑚个单位 → 𝑦= 𝑘(𝑥−𝑚) + 𝑏（左加右减）。
随学随练
1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）将直线𝑦= 2𝑥+ 1向上平移2 个单位后所得图象对应的函数表达式为
（ ）
A．𝑦= 2𝑥+ 5
B．𝑦= 2𝑥+ 3
C．𝑦= 2𝑥−2
D．𝑦= 2𝑥−3
【答案】B
【分析】利用“左加右减，上加下减”的规则即可求出平移后的函数表达式．
【详解】将直线𝑦= 2𝑥+ 1向上平移2 个单位后，所得函数表达式为：𝑦= 2𝑥+ 1 + 2 = 2𝑥+ 3．
2．（25-26 八年级下·上海崇明·期末）将直线𝑦= 2𝑥向上平移1 个单位，平移后的新直线一定不经过的象限
是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据一次函数图象平移规则求出平移后的解析式，再利用一次函数𝑘和𝑏的符号判断直线经过的
象限，即可得到不经过的象限．
【详解】解：直线𝑦= 2𝑥向上平移1个单位，根据平移“上加下减”的规则，可得平移后的解析式为𝑦= 2𝑥+
1，
∵𝑘= 2 > 0，
∴直线经过第一，三象限，
∵ 𝑏= 1 > 0，
∴ 直线与𝑦轴交于正半轴，经过第二象限，
因此平移后的直线经过第一，第二，第三象限，一定不经过第四象限．
3．（25-26 八年级下·山东德州·期末）将函数𝑦1 = 2𝑥的图象向上平移3 个单位长度后，得到另一个函数𝑦2
的图象，则函数𝑦2的解析式为_________．
【答案】𝑦2 = 2𝑥+ 3
特别提醒
1）平移口诀：上加下减、左加右减；
2）上下平移改变𝑏，𝑘不变，直线平行；
3）左右平移改变x 本身，𝑘依然不变。
6 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【分析】一次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减．
【详解】解：将函数𝑦1 = 2𝑥的图象向上平移3 个单位长度后，得到另一个函数𝑦2的图象，则函数𝑦2的解析
式为𝑦2 = 2𝑥+ 3．
知识点
一次函数的对称
1. 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）：
①关于x 轴对称：𝑦＝−𝑘𝑥−𝑏（关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y 轴对称：𝑦＝−𝑘𝑥+ 𝑏（关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称：𝑦＝𝑘𝑥−𝑏（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）。
随学随练
1．（25-26 八年级上·广西贺州·期末）将函数𝑦= 2𝑥−3的图象沿𝑥轴对折，对折后的函数表达式为（ ）
A．𝑦= 2𝑥−3
B．𝑦= −2𝑥−3
C．𝑦= 2𝑥+ 3
D．𝑦= −2𝑥+ 3
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x 轴对折即关于x 轴对称，纵坐
标变为相反数．
【详解】解：∵原函数为𝑦= 2𝑥−3，对折后点(𝑥, 𝑦)变为(𝑥, −𝑦)，
∴−𝑦= 2𝑥−3，
即𝑦= −2𝑥+ 3
故选：D
拓展
正比例函数与一次函数图象、性质对比
特别提醒
1）直线对称核心：找两点对称再求新解析式；
2）关于x 轴对称：x 不变、y 变号；
3）关于y 轴对称：y 不变、x 变号；
4）关于原点对称：x、y 同时变号；
5）对称后直线倾斜方向改变，𝑘通常变号。
7 / 51
学科网（北京）股份有限公司
1. 正比例函数是特殊的一次函数，二者图象均为直线，但定点、象限分布、截距存在明显差异，核心对
比归纳如下：
函数
正比例函数 𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)
一次函数 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)
图象定点
必过原点(0,0)、定点(1,𝑘)
必过(0,𝑏)、(−
𝑏
𝑘, 0)
截距特征
无截距，直线过坐标原点
𝑏为y 轴截距，决定与y 轴交点位置
象限规律
𝑘> 0过一、三象限；𝑘< 0过二、四象限
由𝑘、𝑏正负共同决定，四种象限分布情况
增减性
仅由𝑘决定，与其他参数无关
活学活用
1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）关于函数𝑦= −3𝑥，下列说法错误的是（ ）
A．当𝑥= −1时，𝑦= 3
B．它的图象是一条过原点的直线
C．𝑦随𝑥的增大而减小
D．它的图象经过第一、第三象限
【答案】D
【分析】根据正比例函数的性质对各选项逐一判断，选出说法错误的选项即可．
【详解】解：A、当𝑥= −1时，𝑦= −3 × (−1) = 3，故A 说法正确，不符合题意；
B、正比例函数的图象是一条过原点的直线，故B 说法正确，不符合题意；
C、∵𝑘= −3 < 0，∴𝑦随𝑥的增大而减小，故C 说法正确，不符合题意；
D、∵𝑘= −3 < 0，∴𝑦= −3𝑥的图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限，故D 说法错误，符合题
意．
2．下列有关一次函数𝑦= −3𝑥+ 4的说法中，错误的是（ ）
A．y 的值随着x 增大而减小
B．函数图象经过第一、二、四象限
C．函数图象与y 轴的交点坐标为(0,4)
D．当𝑥> 0时，y 大于4
【答案】D
【详解】解：对于A 选项，∵𝑘= −3 < 0，∴𝑦的值随着𝑥增大而减小，A 说法正确，不符合题意；
对于B 选项，∵𝑘= −3 < 0，𝑏= 4 > 0，∴函数图象经过第一、二、四象限，B 说法正确，不符合题意；
对于C 选项，∵当𝑥= 0时，𝑦= −3 × 0 + 4 = 4，∴函数图象与𝑦轴的交点坐标为(0,4)，C 说法正确，不符
合题意；
对于D 选项，∵𝑦随𝑥增大而减小，且𝑥= 0时𝑦= 4，∴当𝑥> 0时，𝑦< 4，D 说法错误，符合题意．
8 / 51
学科网（北京）股份有限公司
拓展
一次函数k、b 参数图象规律拓展
1. 斜率k 的核心作用：唯一决定函数增减性与倾斜程度。𝑘> 0图象上升，y 随x 增大而增大；𝑘< 0图象
下降，y 随x 增大而减小。|𝑘|越大，直线倾斜程度越陡，函数变化速度越快。
2. 截距b 的核心作用：唯一决定直线与y 轴交点位置，不改变增减性。𝑏> 0交于y 轴正半轴，𝑏< 0交于
y 轴负半轴，𝑏= 0即为正比例函数。
3. 象限组合规律：k 定升降、b 定上下，二者组合可唯一判定直线经过的象限，是识图必考规律。
4. 两直线位置与斜率、截距的关系：
直线𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏1与𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏2平行 𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 ≠𝑏2
直线𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏1与𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏2重合 𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 = 𝑏2
直线𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏1与𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏2垂直 𝑘1 ∙𝑘2 = −1
活学活用
1．直线𝑦= 3𝑥+ 2与𝑦轴的交点坐标为（ ）
A．(0,2)
B．(0,−2)
C．(2,0)
D．(−2,0)
【答案】A
【详解】解：∵y 轴上所有点的横坐标都为0，直线与y 轴的交点在y 轴上，
∴将𝑥= 0代入𝑦= 3𝑥+ 2，得𝑦= 3 × 0 + 2 = 2，
∴直线𝑦= 3𝑥+ 2与𝑦轴的交点坐标为(0,2)．
2．一次函数的图象与直线𝑦= −3𝑥+ 1平行，且过点(1,3)，求这个一次函数的关系式．
【答案】𝑦= −3𝑥+ 6
【分析】设这个一次函数的关系式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，根据一次函数的图象与直线𝑦= −3𝑥+ 1平行得到𝑘=
−3，进而将(1,3)代入关系式求出𝑏= 6即可．
【详解】解：设这个一次函数的关系式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
∵一次函数的图象与直线𝑦= −3𝑥+ 1平行，
∴𝑘= −3，
∵过点(1,3)，
∴3 = −3 × 1 + 𝑏，
解得：𝑏= 6，
即𝑦= −3𝑥+ 6．
3．已知直线𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦2 = 2𝑥−6相交于𝑥轴上的点A 处，且直线𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦3 =
1
3 𝑥+ 4互相垂
直．
9 / 51
学科网（北京）股份有限公司
(1)求点A 的坐标；
(2)求𝑘，𝑏的值．
【答案】(1)𝐴(3,0)
(2)𝑘= −3, 𝑏= 9
【分析】（1）将𝑦= 0代入𝑦2 = 2𝑥−6计算即可；
（2）根据直线𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦3 =
1
3 𝑥+ 4互相垂直可知𝑘= −3，将𝐴(3,0)代入直线𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏的方程中计
算即可．
【详解】（1）解：当𝑦2 = 2𝑥−6 = 0时，
解得：𝑥= 3，
即𝐴(3,0)；
（2）解：∵直线𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦3 =
1
3 𝑥+ 4互相垂直，
∴𝑘⋅
1
3 = −1，
∴𝑘= −3，
∵直线𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦2 = 2𝑥−6相交于𝑥轴上的点A 处，
∴将点𝐴(3,0)代入𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏得0 = 𝑘⋅3 + 𝑏，
即3 × (−3) + 𝑏= 0，
解得：𝑏= 9．
拓展
一次函数平移与对称核心规律
变换类型
变换规则（𝑚> 0）
核心特征
上下平移
上移𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏+ 𝑚
下移𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏−𝑚（上加下减）
k 值不变，仅截距b 改变，直线倾斜程度不
变
左右平移
左移𝑦= 𝑘(𝑥+ 𝑚) + 𝑏
右移𝑦= 𝑘(𝑥−𝑚) + 𝑏（左加右减）
k 值不变，整体水平移动，形状趋势不变
关于x 轴对称
𝑦= −𝑘𝑥−𝑏
k、b 全部变号
关于y 轴对称
𝑦= −𝑘𝑥+ 𝑏
k 变号、b 不变
关于原点对称
𝑦= 𝑘𝑥−𝑏
k 不变、b 变号
10 / 51
学科网（北京）股份有限公司
活学活用
1．（25-26 八年级下·上海·期末）把一次函数𝑦=
2
3 𝑥+ 1的图像向左平移3 个单位长度，那么所得图像的函
数表达式是____________．
【答案】𝑦=
2
3 𝑥+ 3
【分析】根据一次函数解析式平移规律“上加下减，左加右减”，对原解析式进行变换即可得到结果．
【详解】解：将𝑦=
2
3 𝑥+ 1的图像向左平移3 个单位长度，所得图像的函数表达式为𝑦=
2
3 (𝑥+ 3) + 1，
展开整理得𝑦=
2
3 𝑥+ 3．
2．已知一次函数的图像与直线𝑦= 𝑥+ 2关于x 轴对称，则一次函数的表达式为________．
【答案】𝑦= −𝑥−2
【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线𝑦= 𝑥+ 2与y 轴的交
点为(0,2)，与x 轴的交点为(−2,0)，然后根据题意求出一次函数与y 轴的交点为(0,−2)，与x 轴的交点为
(−2,0)，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：𝑦= 𝑥+ 2，当𝑥= 0时，𝑦= 2，
当𝑦= 0时，𝑥= −2，
∴直线𝑦= 𝑥+ 2与y 轴的交点为(0,2)，与x 轴的交点为(−2,0)，
∵一次函数的图像与直线𝑦= 𝑥+ 2关于x 轴对称，
∴一次函数与y 轴的交点为(0, −2)，与x 轴的交点为(−2,0)，
设一次函数的解析式为𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛，
把(0, −2)，(−2,0)代入得，{
𝑛= −2
−2𝑚+ 𝑛= 0
，
解得：{𝑚= −1
𝑛= −2
，
所以，一次函数的解析式为：𝑦= −𝑥−2．
故答案为：𝑦= −𝑥−2．
3．已知2𝑦+ 1与3𝑥−3成正比例，且𝑥= 6时，𝑦= 17．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)将（1）中函数图象向上平移5 个单位后得到直线𝑙1，求直线𝑙1对应的函数表达式，并回答：点𝑃(4,3)是
否在直线𝑙1上？
【答案】(1)𝑦=
7
3 𝑥−4
(2)𝑦=
7
3 𝑥+ 1，不在
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，体现数学中的转化思想，掌握方法很重要：
（1）根据2𝑦+ 1与3𝑥−3成正比例，则2𝑦+ 1 = 𝑘(3𝑥−3)，将𝑥= 6时，𝑦= 17代入计算即可；
（2）根据（1）中函数式和图象平移规律：“上加下减”写出直线𝑙1对应的函数表达式，进行验证即可．
11 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：∵2𝑦+ 1与3𝑥−3成正比例，
∴设2𝑦+ 1 = 𝑘(3𝑥−3)(𝑘≠0)，
当𝑥= 6时，𝑦= 17,
所以34 + 1 = 𝑘(18 −3),
解得，𝑘=
7
3，
∴2𝑦+ 1 =
7
3 (3𝑥−3)
∴𝑦=
7
2 𝑥−4，
故y 与x 之间的函数关系式：𝑦=
7
2 𝑥−4；
（2）解：由（1）知：𝑦=
7
2 𝑥−4，
所以将图象向上平移5 个单位后得到直线𝑙1，
∴直线𝑙1对应的函数解析式为𝑦=
7
2 𝑥−4 + 5，即𝑦=
7
2 𝑥+ 1，
当𝑥= 4时，𝑦=
7
2 × 4 + 1 = 15 ≠3,故点𝑃(4,3)不在直线𝑙1上．
题型
正比例函数的图象与性质
▌例1．（25-26 八年级下·山东聊城·期中）正比例函数𝑦＝𝑘𝑥经过第二、四象限，则下列函数𝑦= (𝑘−3)𝑥+
𝑘图象正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据𝑦= 𝑘𝑥经过的象限，可以判断𝑘的符号，从而判断出𝑦= (𝑘−3)𝑥+ 𝑘中𝑘−3和𝑘的正负性，
最后便能判断该函数所经过的象限．
【详解】解：∵𝑦= 𝑘𝑥经过第二、四象限，
解题贴士
易错：①忘记正比例函数必过原点；②k 的正负与增减性、象限对应记反；③混淆k 的正负和绝对值的
作用，误判倾斜程度；④认为正比例函数可以不过原点。
12 / 51
学科网（北京）股份有限公司
∴𝑘< 0，
∴𝑘−3 < 0，𝑘< 0，
∴𝑦= (𝑘−3)𝑥+ 𝑘经过二、三、四象限，
∴ A 正确．
▌例2．（25-26 八年级下·河南新乡·期末）对于正比例函数𝑦= (𝑚−1)𝑥，𝑦随𝑥的增大而增大，则𝑚的值可
以是__________．（写一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据正比例函数的性质，当比例系数大于0时，𝑦随𝑥的增大而增大，据此列出关于𝑚的不等式，
求解得到𝑚的取值范围，在取值范围内任取一个值即可．
【详解】解：在正比例函数𝑦= (𝑚−1)𝑥中，比例系数𝑘= 𝑚−1，
由𝑦随𝑥的增大而增大，得𝑚−1 > 0，
解得𝑚> 1，
任取满足𝑚> 1的值即可，例如𝑚= 2（答案不唯一）．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数𝑦= 2𝑥的说法中，正确的是（ ）
A．自变量的取值范围是𝑥≥0
B．它的图象是一条经过原点的射线
C．它的图象不经过第三象限
D．𝑦随𝑥的增大而增大
【答案】D
【详解】解：∵正比例函数𝑦= 2𝑥的自变量𝑥可以取任意实数，图象是过原点的一条直线，
∴A 选项自变量取值范围是𝑥≥0的说法错误；B 选项图象是经过原点的射线的说法错误；
∵该函数的比例系数𝑘= 2 > 0，
∴函数图象经过第一，三象限，且𝑦随𝑥的增大而增大，因此C 选项图象不经过第三象限的说法错误，D 选
项说法正确．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数𝑦= 𝑘1𝑥, 𝑦= 𝑘2𝑥, 𝑦= 𝑘3𝑥, 𝑦= 𝑘4𝑥的图象
如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．𝑘1 > 𝑘2 > 𝑘3 > 𝑘4
B．𝑘1 > 𝑘2 > 𝑘4 > 𝑘3
C．𝑘2 > 𝑘1 > 𝑘3 > 𝑘4
D．𝑘2 > 𝑘1 > 𝑘4 > 𝑘3
【答案】D
13 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此
此题可根据对于正比例函数𝑦= 𝑘𝑥，当𝑘> 0时，图象经过第一、三象限，k 越大，图象越靠近y 轴；当
𝑘< 0时，图象经过第二、四象限，|𝑘|越大，图象越靠近y 轴，然后根据函数图象可进行求解．
【详解】解：由图象可知：
𝑦= 𝑘1𝑥, 𝑦= 𝑘2𝑥的图象都经过第一、三象限，所以𝑘1 > 0, 𝑘2 > 0，且𝑦= 𝑘2𝑥的图象更靠近y 轴，所以
𝑘1 < 𝑘2；
𝑦= 𝑘3𝑥, 𝑦= 𝑘4𝑥的图象都经过第二、四象限，所以𝑘3 < 0, 𝑘4 < 0，且𝑦= 𝑘3𝑥的图象更靠近y 轴，所以
|𝑘3| > |𝑘4|，所以𝑘3 < 𝑘4
综上所述：𝑘2 > 𝑘1 > 𝑘4 > 𝑘3；
故选D．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）已知𝑦= (𝑚−1)𝑥是关于𝑥的正比例函数，且图象过第一、
三象限，则𝑚的取值为________________．
【答案】𝑚> 1
【分析】根据正比例函数的定义和性质，正比例函数的比例系数大于0 时图象经过第一、三象限，据此列
不等式求解𝑚的取值范围即可．
【详解】解：∵𝑦= (𝑚−1)𝑥是关于𝑥的正比例函数，且图象过第一、三象限 ，
∴ 𝑚−1 > 0 ，
∴ 𝑚> 1 ．
▌对点练1-4．（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）已知正比例函数𝑦= 𝑘𝑥，𝑦随𝑥的增大而增大，请写出一个
符合条件的𝑘值：_________．
【答案】𝑘= 1(答案不唯一，任意𝑘> 0均可)
【分析】根据正比例函数的性质，当𝑘> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大，因此只需写出一个大于0的𝑘即可．
【详解】解：∵正比例函数𝑦= 𝑘𝑥中，𝑦随𝑥的增大而增大，
∴𝑘> 0，
∴任意大于0的𝑘都符合条件，
故答案为𝑘= 1(答案不唯一)．
题型
一次函数的图象与性质
14 / 51
学科网（北京）股份有限公司
▌例1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）对于一次函数𝑦= −2𝑥+ 1，下列说法错误的是（ ）
A．图象是经过两点(0,1)，(1,−1)的一条直线 B．图象不经过第一象限
C．y 随x 的增大而减小 D．图象与x 轴的交点坐标为(
1
2 , 0)
【答案】B
【分析】将两点(0,1)，(1, −1)代入直线表达式判断A；根据𝑘, 𝑏的符号判断直线经过的象限，即可判断B；
根据一次函数的性质分析C；令𝑦= 0求解直线与x 轴的交点坐标．
【详解】解：当𝑥= 0时，𝑦= 1，
∴点(0,1)在图象上；
当𝑥= 1时，𝑦= −1，
∴点(1, −1)在图象上，故A 选项正确；
∵𝑘< 0，𝑏> 0，∴图象经过第一、二、四象限，故B 选项错误；
∵𝑘= −2 < 0，
∴y 随x 的增大而减小，故C 选项正确；
令𝑦= 0，得0 = −2𝑥+ 1，解得𝑥=
1
2，
∴图象与x 轴的交点坐标为(
1
2 , 0)，故D 选项正确．
▌例2．（25-26 八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数𝑦= 4𝑥+ 7，当𝑥> 2时，则函数值y 的取值范围是
_______
【答案】𝑦> 15
【分析】先判断一次函数的增减性，再代入𝑥= 2计算边界函数值，即可得到𝑦的取值范围．
【详解】解：∵ 一次函数𝑦= 4𝑥+ 7中，4 > 0，
∴ 𝑦随𝑥的增大而增大，
当𝑥= 2时，𝑦= 4 × 2 + 7 = 15，
∵ 𝑥> 2，
∴ 𝑦> 15．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0）的图象不经过第二象
限，则下列说法正确的是（ ）．
A．𝑘> 0
B．𝑘< 0
C．𝑏> 0
D．𝑏< 0
解题贴士
易错：①混淆k、b 功能，用b 判断增减性；②象限判断遗漏、错判；③忽略𝑘≠0前提；④无法根据
图象反推k、b 正负。
15 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【答案】A
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象不经过第二象限，
若𝑘< 0，当𝑏> 0时，图象经过一、二、四象限；当𝑏< 0时，图象经过二、三、四象限；两种情况均经过
第二象限，不符合题意，
∴𝑘> 0，B 错误，A 正确．
当𝑘> 0时，若图象不经过第二象限，可得𝑏≤0，故C、D 错误．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏−1的图像经过第一、二、三象
限，那么（ ）
A．𝑏> 1；
B．𝑏> −1；
C．𝑏< 1；
D．𝑏< −1．
【答案】A
【分析】一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑐中，𝑘> 0时图象经过第一、三象限，截距𝑐> 0时图象与𝑦轴交于正半轴，经
过第二象限．
【详解】解：将函数整理为𝑦= 2𝑥+ (𝑏−1)，可得𝑘= 2 > 0，截距为𝑏−1，
∵函数图象经过第一、二、三象限，𝑘= 2 > 0已经满足图象过第一、三象限，要经过第二象限，需图象与
𝑦轴交于正半轴，即𝑏−1 > 0，
解得𝑏> 1．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·山东潍坊·期中）当−1 ≤𝑥≤4时，一次函数𝑦= −
2
3 𝑥−2的最大值是
________．
【答案】−
4
3/−1
1
3
【分析】根据−
2
3 < 0可知一次函数𝑦= −
2
3 𝑥−2中，𝑦随𝑥的增大而减小，因此𝑥取最小值时，𝑦取得最大
值，代入计算即可得到结果.
【详解】解：∵−
2
3 < 0,
∴一次函数𝑦= −
2
3 𝑥−2中，𝑦随𝑥的增大而减小.
∵−1 ≤𝑥≤4,
∴当𝑥= −1时，𝑦取得最大值.
此时𝑦= −
2
3 × (−1) −2 =
2
3 −2 = −
4
3.
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·新疆克孜勒苏·期末）若一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 3的函数值y 随x 的增大而减小，
请写出一个符合上述条件的函数解析式______．
【答案】𝑦= −𝑥+ 3（答案不唯一，任意满足𝑘< 0的一次函数均可）
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 3中，函数值𝑦随𝑥的增大而减小，
∴𝑘< 0，
16 / 51
学科网（北京）股份有限公司
∴任意取一个小于0的实数作为𝑘，例如取𝑘= −1，可得符合条件的函数解析式为𝑦= −𝑥+ 3．（答案不唯
一）
题型
一次函数图象的判断
▌例1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数𝑦= 2𝑥−3
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对于一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘, 𝑏为常数，𝑘≠0)，当𝑘> 0时，y 随x 的增 大而增大，当𝑘< 0时，y
随x 的增大而减小；当𝑏> 0时，图象与y 轴的正半轴相交，当𝑏< 0时，图象与y 轴的负 半轴相交，当
𝑏= 0时，图象经过原点，根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 2𝑥−3，𝑘= 2 > 0，
∴y 随x 的增大而增大，
∴C、D 选项不符合题意；
∵𝑏= −3 < 0，
∴函数图象与y 轴的负半轴相交，
∴B 选项不符合题意，
综上，A 选项符合题意．
▌对点练1-1．（2026·广西南宁·一模）已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（ ）．
解题贴士
1)根据解析式，先由k 定升降趋势，再由b 定纵截距，双重匹配排除错误图像；
2)逆向题型由图像特征，反推k、b 的正负性。
17 / 51
学科网（北京）股份有限公司
A．𝑦= 𝑥−2
B．𝑦= |𝑥−2|
C．𝑦= |𝑥| −2
D．𝑦= |𝑥| + 2
【答案】C
【详解】解：对于选项A：𝑦= 𝑥−2是一次函数，图象是一条直线，不符合题意；
对于选项B：当𝑥= 0时，𝑦= 2，不符合题意；
对于选项C：𝑦= |𝑥| −2的图象为“V”型，且交𝑦轴于点(0, −2)，符合题意；
对于选项D：当𝑥= 0时，𝑦= 2，不符合题意．
▌对点练1-2．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥−1(𝑘≠0)的函数值𝑦随𝑥的增大而增大，则该
函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一次函数表达式𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏中的𝑘值、𝑏值进行判断函数图象的大致趋势．
【详解】解：∵𝑦随𝑥的增大而增大，
∴函数图象呈上升趋势，
又∵当𝑥= 0时，𝑦= −1，
即函数与𝑦轴交点位于𝑦轴负半轴，
故选项A 满足函数图象．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b 满足𝑎𝑏< 0，𝑎> 𝑏，则函数𝑦= −𝑎𝑥+ 𝑏的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
18 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用𝑎𝑏< 0，𝑎> 𝑏得到𝑎> 0，𝑏< 0，然后根据一次函
数图象与系数的关系进行判断．
【详解】解：∵实数a，b 满足𝑎𝑏< 0，𝑎> 𝑏，
∴𝑎> 0，𝑏< 0，
∴−𝑎< 0，
∴函数𝑦= −𝑎𝑥+ 𝑏的图象经过第二、四象限，且与y 轴的交点在x 轴下方．
故选：B．
题型
一次函数图象共存问题
▌例1．下列选项中，表示一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛与正比例函数𝑦= 𝑚𝑛𝑥（𝑚，𝑛为常数，且𝑚𝑛≠0）图像的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合正比例函数图象和一次函数图象判断即可．
【详解】解：图中过原点直线为正比例函数𝑦= 𝑚𝑛𝑥，不过原点直线为一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛，
①当𝑚𝑛> 0时，正比例函数𝑦= 𝑚𝑛𝑥过第一、三象限，
∴𝑚，𝑛同号，同正时， 一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛过第一、二、三象限，同负时过第二、三、四象限；
②当𝑚𝑛< 0时，正比例函数𝑦= 𝑚𝑛𝑥过第二、四象限，
∴𝑚，𝑛异号，则𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛过第一、三、四象限或第一、二、四象限，
解题贴士
1)同一坐标系中两个一次函数，两个解析式的k、b 参数必须相互不矛盾；
2)逐一验证选项中两条直线的增减趋势、截距是否符合参数逻辑，排除冲突选项。
19 / 51
学科网（北京）股份有限公司
结合图象可知，其中A,B选项𝑚𝑛< 0，C,D选项𝑚𝑛> 0，
所以A选项正确．
▌对点练1-1．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数𝑦= −𝑎𝑥与𝑦= 2𝑥+ 𝑎的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：∵𝑦= 2𝑥+ 𝑎中2 > 0
∴函数𝑦= 2𝑥+ 𝑎经过第一，三象限，故C 选项不符合题意；
当𝑎> 0时，−𝑎< 0
∴函数𝑦= −𝑎𝑥经过第二，四象限，函数𝑦= 2𝑥+ 𝑎经过第一，二，三象限，故A 选项符合题意；B 选项不
符合题意；
当𝑎< 0时，−𝑎> 0
∴函数𝑦= −𝑎𝑥经过第一，三象限，函数𝑦= 2𝑥+ 𝑎经过第一，三，四象限，故D 选项不符合题意．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数𝑦= 𝑘𝑥与一次函数𝑦=
−𝑘𝑥+ 𝑘(𝑘≠0)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
20 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，解题的关键是用数形结合的思想进行解答．根据正比
例函数图象所在的象限判定k 的符号，根据−𝑘的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
【详解】解∶∵正比例函数𝑦= 𝑘𝑥与一次函数𝑦= −𝑘𝑥+ 𝑘(𝑘≠0)的自变量系数分别是k 和−𝑘，则两直线相
交·故A、C 不符合题意；
B、正比例函数图象经过第二、四象限，则𝑘< 0．则一次函数𝑦= −𝑘𝑥+ 𝑘(𝑘≠0)的图象应该经过第一、
三、四象限，故本选项不符合题意；
D、正比例函数图象经过第一、三象限，则𝑘> 0．则一次函数𝑦= −𝑘𝑥+ 𝑘(𝑘≠0)的图象应该经过第一、
二、四象限，故本选项符合题意；
故选∶D．
▌对点练1-3．（25-26 七年级上·山东烟台·期末）在同一平面直角坐标系中，函数𝑦= 𝑘𝑥和𝑦= 𝑥+ 𝑘的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布，理解题意是解决本题的关键．
在函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏中，当𝑘> 0时，图象经过第一、三象限；当𝑘< 0时，图象经过第二、四象限”，再进行
讨论b 的情况即可判断．
【详解】解：A 由𝑦= 𝑥+ 𝑘图象得𝑘< 0，由𝑦= 𝑘𝑥图象得𝑘> 0，故不符合题意；
B 由𝑦= 𝑥+ 𝑘图象得𝑘> 0，由𝑦= 𝑘𝑥图象得𝑘> 0，故符合题意；
C 由𝑦= 𝑥+ 𝑘得，1 > 0，∴图象经过第一、三象限，故不符合题意；
D 由𝑦= 𝑥+ 𝑘得，1 > 0，∴图象经过第一、三象限，故不符合题意；
故选：B．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象与正比
21 / 51
学科网（北京）股份有限公司
例函数𝑦= −
𝑏
𝑘𝑥（𝑘，𝑏为常数，且𝑘𝑏≠0）的图象错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数与正比例函数的图象与性质；根据一次函数的图象判断𝑘, 𝑏的正负，再判
断正比例函数的图象即可解答．
【详解】解：A、由一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象得：𝑘> 0, 𝑏> 0，此时−
𝑏
𝑘< 0，由正比例函数𝑦= −
𝑏
𝑘𝑥的
图象得：−
𝑏
𝑘< 0，相符合，故本选项不符合题意；
B、由一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象得：𝑘> 0, 𝑏> 0，此时−
𝑏
𝑘< 0，由正比例函数𝑦= −
𝑏
𝑘𝑥的图象得：−
𝑏
𝑘>
0，相矛盾，故本选项不符合题意；
C、由一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象得：𝑘< 0, 𝑏< 0，此时−
𝑏
𝑘< 0，由正比例函数𝑦= −
𝑏
𝑘𝑥的图象得：−
𝑏
𝑘<
0，相符合，故本选项不符合题意；
D、由一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象得：𝑘< 0, 𝑏> 0，此时−
𝑏
𝑘> 0，由正比例函数𝑦= −
𝑏
𝑘𝑥的图象得：−
𝑏
𝑘>
0，相符合，故本选项不符合题意；
故选：B
题型
画一次函数图象
▌例1．（25-26 八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图象经过点(3,1)和(0, −2)．
解题贴士
采用两点法作图：取直线与坐标轴的两个交点，描点后连接成直线并双向延长。
22 / 51
学科网（北京）股份有限公司
(1)求该一次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象．
【答案】(1)𝑦= 𝑥−2
(2)见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可．
【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
则{3𝑘+ 𝑏= 1
𝑏= −2
，
∴{ 𝑘= 1
𝑏= −2
，
∴该一次函数的解析式为𝑦= 𝑥−2；
（2）解：列表如下：
𝑥
…
3
0
…
𝑦= 𝑥−2
…
1
−2
…
函数图象如下所示：
23 / 51
学科网（北京）股份有限公司
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过𝐴(−1,1)和𝐵(3,7)．
(1)求𝑦关于𝑥的函数解析式；
(2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点(2,5)是否在该函数图象上．
【答案】(1)𝑦=
3
2 𝑥+
5
2
(2)点(2,5)不在函数图象上
如下图：
【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可得出答案；
（2）根据列表，描点，连线得出函数图象，再将𝑥= 2代入关系式验证即可．
【详解】（1）解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝐴(−1,1), 𝐵(3,7)，
∴{−𝑘+ 𝑏= 1
3𝑘+ 𝑏= 7
，解得{
𝑘=
3
2
𝑏=
5
2
，
∴一次函数关系式为𝑦=
3
2 𝑥+
5
2；
（2）解：当𝑥= 2时，𝑦=
3
2 × 2 +
5
2 =
11
2 ，
∴点(2,5)不在一次函数𝑦=
3
2 𝑥+
5
2的图象上．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·北京延庆·期中）一次函数的图象经过点(1,−2)和(3,2)．
24 / 51
学科网（北京）股份有限公司
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求该函数的图象与𝑥轴，𝑦轴的交点坐标：
(3)画出该函数图象．
【答案】(1)这个一次函数的表达式为𝑦= 2𝑥−4
(2)该函数的图象与𝑥轴，𝑦轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,−4)
(3)
一次函数𝑦= 2𝑥−4的图象如图所示：
【分析】（1）这个一次函数的表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，代入点(1, −2)和(3,2)，得到{𝑘+ 𝑏= −2
3𝑘+ 𝑏= 2
，解
得{ 𝑘= 2
𝑏= −4
，即可求解；
（2）当𝑦= 0时，2𝑥−4 = 0，解得𝑥= 2，得到该函数的图象与𝑥轴的交点坐标为(2,0)；当𝑥= 0时，𝑦=
2 × 0 −4 = −4，得到该函数的图象与𝑦轴的交点坐标为(0,−4)；
（3）利用两点法即可画出函数图象．
【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
∵一次函数的图象经过点(1,−2)和(3,2)，
∴将点(1,−2)和(3,2)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏中，得
{𝑘+ 𝑏= −2
3𝑘+ 𝑏= 2
，解得{ 𝑘= 2
𝑏= −4
，
∴这个一次函数的表达式为𝑦= 2𝑥−4；
（2）解：由（1）知这个一次函数的表达式为𝑦= 2𝑥−4，
∵当𝑦= 0时，2𝑥−4 = 0，
25 / 51
学科网（北京）股份有限公司
解得𝑥= 2，
∴该函数的图象与𝑥轴的交点坐标为(2,0)；
∵当𝑥= 0时，𝑦= 2 × 0 −4 = −4，
∴该函数的图象与𝑦轴的交点坐标为(0, −4)；
（3）略
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知一次函数𝑦= −2𝑥+ 4，并完成下列问题
(1)画出这个函数的图象；
(2)观察图象，当0 ≤𝑥≤4时，y 的取值范围是 ．
【答案】(1)
画出函数图象如下：
(2)−4 ≤𝑦≤4
【分析】（1）求出直线与𝑥轴，𝑦轴的交点坐标，画出函数图象即可；
（2）根据图象，写出y 的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵𝑦= −2𝑥+ 4，
∴当𝑥= 0时，𝑦= 4，当𝑦= −2𝑥+ 4 = 0时，𝑥= 2，
∴直线与坐标轴的交点坐标为(0,4),(2,0)．
（2）解：由图象可知，当0 ≤𝑥≤4时，y 的取值范围是−4 ≤𝑦≤4．
26 / 51
学科网（北京）股份有限公司
题型
比较一次函数值的大小
▌例1．（25-26 八年级下·广东江门·期末）已知两点𝐴(1, 𝑦1)，𝐵(3, 𝑦2)都在直线𝑦= −2𝑥+ 𝑏（𝑏为常数）
上，则𝑦1，𝑦2的大小关系是（ ）
A．𝑦1 > 𝑦2
B．𝑦1 = 𝑦2
C．𝑦1 < 𝑦2
D．不能确定
【答案】A
【分析】先根据一次函数解析式的比例系数判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系即可比较纵
坐标的大小．
【详解】解：∵在𝑦= −2𝑥+ 𝑏中，一次项系数𝑘= −2 < 0，
∴𝑦随𝑥的增大而减小，
∵1 < 3，
∴𝑦1 > 𝑦2．
▌例2．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）一次函数𝑦= −
1
3 𝑥+ 𝑏的图象过点(𝑥1, 𝑦1)，(𝑥1 −2, 𝑦2)，则𝑦1和
𝑦2的大小关系是__________．
【答案】𝑦1 < 𝑦2
【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结
合增减性即可得到𝑦1和𝑦2的大小关系．
【详解】解：在一次函数𝑦= −
1
3 𝑥+ 𝑏中，一次项系数𝑘= −
1
3 < 0，
根据一次函数的性质，当𝑘< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小，
两个点的横坐标分别为𝑥1和𝑥1 −2，
∵𝑥1 −(𝑥1 −2) = 2 > 0，
∴𝑥1 > 𝑥1 −2，
∴𝑦1 < 𝑦2．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东潮州·期末）若点𝐴(2, 𝑚)，𝐵(−3, 𝑛)在一次函数𝑦= 3𝑥−1的图象上，
则𝑚，𝑛的大小关系是（ ）
A．𝑚= 𝑛
B．𝑚< 𝑛
C．𝑚> 𝑛
D．2𝑚= 𝑛
【答案】C
【详解】解：∵一次函数𝑦= 3𝑥−1中，3 > 0，
解题贴士
易错：①k<0 时增减规律记反，大小比较颠倒；②跨函数乱比较，未区分不同函数；③忽略自变量取值
范围盲目比较。
27 / 51
学科网（北京）股份有限公司
∴𝑦随𝑥的增大而增大.
∵点𝐴(2,𝑚)，𝐵(−3,𝑛)在该函数图象上，且2 > −3，
∴𝑚> 𝑛．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·甘肃庆阳·期末）点𝐴(1,𝑦1), 𝐵(2,𝑦2)在一次函数𝑦= 2𝑥−1的图象上，则
𝑦1, 𝑦2的大小关系是（ ）
A．𝑦1 < 𝑦2
B．𝑦1 = 𝑦2
C．𝑦1 > 𝑦2
D．不能确定
【答案】A
【分析】根据函数解析式可得一次函数的增减性，再根据增减性可得答案．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 2𝑥−1中，一次项系数𝑘= 2 > 0，
∴𝑦随𝑥的增大而增大，
∵点𝐴横坐标为1，点𝐵横坐标为2，且1 < 2，
∴𝑦1 < 𝑦2．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）已知点𝐴(−2,𝑦1)和𝐵(3,𝑦2)在直线𝑦= −6𝑥+ 𝑚上，则𝑦1与
𝑦2的大小关系为________．
【答案】𝑦1 > 𝑦2/𝑦2 < 𝑦1
【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关
系．
【详解】解：在直线𝑦= −6𝑥+ 𝑚中，一次项系数𝑘= −6 < 0，
根据一次函数的性质，当𝑘< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小，
∵点𝐴(−2, 𝑦1)和𝐵(3, 𝑦2)，可得横坐标−2 < 3，
∴𝑦1 > 𝑦2．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·新疆·期末）点𝑀(1,𝑚)和点𝑁(2,𝑛)是一次函数𝑦= −
1
2 𝑥的图象上的两点，则
𝑚________𝑛（填“>”或“<”）．
【答案】>
【分析】根据一次函数解析式确定𝑘的符号，利用一次函数的性质判断函数的增减性，再结合两点横坐标
的大小关系比较纵坐标的大小．
【详解】解：∵ 在一次函数𝑦= −
1
2 𝑥中，𝑘= −
1
2 < 0．
∴ 𝑦随𝑥的增大而减小．
∵ 1 < 2．
∴ 𝑚> 𝑛．
28 / 51
学科网（北京）股份有限公司
题型
一次函数图象与坐标轴交点问题
▌例1．（25-26 八年级下·重庆巴南·期末）一次函数𝑦= 2𝑥−1的图象与𝑦轴的交点坐标是（ ）
A．(
1
2 , 0)
B．(−
1
2 , 0)
C．(0,1)
D．(0,−1)
【答案】D
【分析】y 轴上所有点的横坐标为0，将𝑥= 0代入一次函数解析式，即可求出对应的y 值，得到交点坐
标．
【详解】解：将𝑥= 0代入𝑦= 2𝑥−1得：𝑦= 2 × 0 −1 = −1，
∴一次函数𝑦= 2𝑥−1的图象与y 轴的交点坐标是(0,−1)．
▌例2．（25-26 八年级下·湖南永州·期末）已知一次函数的解析式为𝑦= 𝑥+ 5，求这个函数与两条坐标轴的
交点坐标．
【答案】𝑦= 𝑥+ 5与𝑥轴交点(−5,0)，与𝑦轴交点(0,5)
【分析】分别求出当𝑥= 0时，𝑦= 5，当𝑦= 0时，𝑥= −5，进而可得答案．
【详解】解：对于𝑦= 𝑥+ 5，当𝑥= 0时，𝑦= 5，
当𝑦= 0时，由𝑥+ 5 = 0得𝑥= −5，
∴函数𝑦= 𝑥+ 5与𝑥轴交点(−5,0)，与𝑦轴交点(0,5)．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）一条直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏与x 轴交于点(3,0)，则该直线与y 轴
的交点坐标为（ ）
A．(0,6)
B．(0,3)
C．(0,−6)
D．(0,−3)
【答案】C
【分析】先求出函数解析式，再将𝑥= 0代入计算即可．
【详解】解：∵直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏过点(3,0)，
∴0 = 2 × 3 + 𝑏，
解得𝑏= −6，
∴直线表达式为𝑦= 2𝑥−6，
令𝑥= 0，得𝑦= −6，
即直线与𝑦轴的交点坐标为(0,−6)．
解题贴士
1）与y 轴交点：令x=0，得(0,b)；
2）与x 轴交点：令y=0，解方程得横坐标；
3）可进一步求直线与坐标轴围成的三角形周长、面积。
29 / 51
学科网（北京）股份有限公司
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·黑龙江鸡西·期末）函数的图象如图所示，当𝑥= 0时，𝑦=_________．
【答案】3
【详解】解：由图象可知：当𝑥= 0时，𝑦= 3．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）填空：直线𝑦= 4𝑥−3经过点(
______, 0)、
(0, ______
)．
【答案】
3
4 −3
【分析】由一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将题中已知坐标代入解析式，解方程求出未知坐标
即可．
【详解】解：对于直线𝑦= 4𝑥−3，当𝑦= 0时，代入解析式得0 = 4𝑥−3，解得𝑥=
3
4；当𝑥= 0时，代入
解析式得𝑦= 4 × 0 −3 = −3，
综上所述，直线𝑦= 4𝑥−3经过点(
3
4 , 0)、(0,−3)．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·江西吉安·期中）如图，直线𝑦= 2𝑥+ 3与𝑥轴相交于点𝐴，与𝑦轴相交于点
𝐵．
(1)求点𝐴，𝐵的坐标；
(2)求△𝐴𝑂𝐵的面积．
【答案】(1)点𝐴的坐标为(−
3
2 , 0)，点𝐵的坐标为(0,3)
(2)
9
4
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解
析式．
（1）根据𝐴、𝐵两点分别在𝑥、𝑦轴上，令𝑦= 0求出𝑥的值；再令𝑥= 0求出𝑦的值即可得出结论；
30 / 51
学科网（北京）股份有限公司
（2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意得，对于直线𝑦= 2𝑥+ 3，
当𝑦= 0时，2𝑥+ 3 = 0，解得𝑥= −
3
2，则点𝐴的坐标为(−
3
2 , 0)，
当𝑥= 0时，𝑦= 2 × 0 + 3 = 3，则点𝐵的坐标为(0,3)．
（2）∵点𝐴的坐标为(−
3
2 , 0)，点𝐵的坐标为(0,3)，
∴𝑂𝐴=
3
2，𝑂𝐵= 3．
∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=
1
2 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=
1
2 ×
3
2 × 3 =
9
4．
题型
一次函数图象平移问题
▌例1．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）将直线𝑦= 2𝑥+ 4向左平移2个单位长度，则平移后的直线解析式
是（ ）
A．𝑦= 2𝑥
B．𝑦= 2𝑥+ 6
C．𝑦= 2𝑥+ 2
D．𝑦= 2𝑥+ 8
【答案】D
【分析】根据一次函数平移规律“左加右减，上加下减”对原解析式进行变换即可得到结果．
【详解】解：∵将直线𝑦= 2𝑥+ 4向左平移2个单位长度，
∴平移后的直线解析式是𝑦= 2(𝑥+ 2) + 4，即𝑦= 2𝑥+ 8．
▌例2．（25-26 八年级下·上海静安·期末）如果一次函数的图像可以由函数𝑦= 3𝑥的图像平移得到，且该一
次函数图像与𝑦轴的交点坐标为(0,−3)，那么这个一次函数的表达式为________．
【答案】𝑦= 3𝑥−3/𝑦= −3 + 3𝑥
【详解】解：设所求一次函数的表达式为𝑦= 3𝑥+ 𝑏，
将点(0,−3)代入𝑦= 3𝑥+ 𝑏得：𝑏= −3，
则这个一次函数的表达式为：𝑦= 3𝑥−3．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线𝑦= 2𝑥−1向右平移一个单位
长度后得到的直线表达式为（ ）
A．𝑦= 2𝑥
B．𝑦= 2𝑥+ 1
C．𝑦= 2𝑥−2
D．𝑦= 2𝑥−3
【答案】D
【分析】利用一次函数平移规律“左加右减，上加下减”即可求解．
【详解】解：∵直线𝑦= 2𝑥−1沿𝑥轴向右平移1 个单位长度，根据“右减”的平移规律，需要将原式中𝑥替换
解题贴士
平移口诀：上加下减常数项，左加右减自变量。
31 / 51
学科网（北京）股份有限公司
为𝑥−1，
∴𝑦= 2(𝑥−1) −1 = 2𝑥−2 −1 = 2𝑥−3，
∴平移后得到的直线表达式为𝑦= 2𝑥−3．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）已知一次函数的图象𝑦= 𝑘𝑥−2与直线𝑦= 4𝑥+ 1平行，则
𝑘=________．
【答案】4
【分析】根据平行一次函数的性质，平行的两个一次函数的一次项系数相等，据此即可求出𝑘的值．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥−2的图象与直线𝑦= 4𝑥+ 1平行，
∴𝑘= 4．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）将直线𝑦= 3𝑥−1向上平移𝑚个单位长度，若平移后的直
线经过第一、二、三象限，则𝑚的范围是__________．
【答案】𝑚> 1
【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的性质列出不等
式，求解得到𝑚的范围．
【详解】解：将直线𝑦= 3𝑥−1向上平移𝑚个单位长度，平移后的直线解析式为𝑦= 3𝑥−1 + 𝑚，
∵平移后的直线经过第一、二、三象限，
∴−1 + 𝑚> 0，
解得𝑚> 1．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·福建泉州·期中）将直线𝑦= −𝑥−3向上平移m 个单位长度，得到的直线经
过点(5,−3)，求m 的值．
【答案】5
【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再将已知点的坐标代入解析式即可计算出𝑚的值．
【详解】解：由题意可得，平移后得到的直线解析式为𝑦= −𝑥−3 + 𝑚，
将点(5,−3)代入𝑦= −𝑥−3 + 𝑚得−3 = −5 −3 + 𝑚，
解得𝑚= 5．
题型
一次函数图象对称问题
32 / 51
学科网（北京）股份有限公司
▌例1．（25-26 九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏的图象关于𝑥轴对称，对称后所得的图象
经过点(2,1)，则𝑏的值是（ ）
A．−3
B．3
C．−5
D．5
【答案】C
【分析】根据题意得出一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏的图象经过点(2, −1)，代入计算即可．
【详解】解：∵将一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏的图象关于𝑥轴对称，对称后所得的图象经过点(2,1)，
∴一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏的图象经过点(2, −1)，
∴2 × 2 + 𝑏= −1，
解得𝑏= −5．
▌对点练1-1．（2026·广东东莞·三模）若直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏与直线𝑦= 𝑘𝑥+ 3关于直线𝑦= 𝑥对称，则k、b 值
分别为（ ）
A．𝑘=
1
2 , 𝑏= −6
B．𝑘=
1
2 , 𝑏= 6
C．𝑘= −
1
2，𝑏= −6
D．𝑘= −
1
2，𝑏= 6
【答案】A
【分析】由题意易得直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏与x 轴、y 轴的交点坐标为(−
𝑏
2 , 0) , (0,𝑏)，然后可得点(−
𝑏
2 , 0) , (0, 𝑏)
关于直线𝑦= 𝑥的对称点坐标分别为(0, −
𝑏
2) , (𝑏, 0)，进而问题可求解．
【详解】解：当𝑦= 0时，则有0 = 2𝑥+ 𝑏，解得：𝑥= −
𝑏
2，当𝑥= 0时，则有𝑦= 𝑏，
∴直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏与x 轴、y 轴的交点坐标为(−
𝑏
2 , 0) , (0,𝑏)，
∴点(−
𝑏
2 , 0) , (0,𝑏)关于直线𝑦= 𝑥的对称点坐标分别为(0, −
𝑏
2), (𝑏, 0)，
∵直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏与直线𝑦= 𝑘𝑥+ 3关于直线𝑦= 𝑥对称，
∴把点(0, −
𝑏
2) , (𝑏, 0)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 3得：
{ −
𝑏
2 = 3
𝑏𝑘+ 3 = 0
，
解得：{
𝑏= −6
𝑘=
1
2
．
▌对点练1-2．（2026·江苏南京·一模）一次函数𝑦= 2𝑥−3的图象关于𝑦轴对称的直线的表达式是
解题贴士
易错：①各类对称后k、b 变化规律记混；②仅凭直觉改写解析式，不取点验证；③对称后忘记保留
𝑘≠0条件。
33 / 51
学科网（北京）股份有限公司
_____________．
【答案】𝑦= −2𝑥−3
【分析】先在原一次函数图象上选取两个点，利用关于𝑦轴对称的点的坐标规律得到对称点的坐标，再利
用待定系数法求出对称后直线的函数表达式．
【详解】解：在一次函数𝑦= 2𝑥−3的图象上取两点：
当𝑥= 0时，𝑦= 2 × 0 −3 = −3，可得点(0, −3)
当𝑥= 1时，𝑦= 2 × 1 −3 = −1，可得点(1, −1)
关于𝑦轴对称的点的坐标规律为：横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此上述两点关于𝑦轴对称的点分别为
(0,−3)，(−1, −1)
设所求直线的表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
将(0, −3)，(−1,−1)代入表达式得{
𝑏= −3
−𝑘+ 𝑏= −1
把𝑏= −3代入−𝑘+ 𝑏= −1，得−𝑘−3 = −1
解得𝑘= −2
因此所求直线的表达式为𝑦= −2𝑥−3
题型
一次函数图象规律探究问题
▌例1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线𝑙的函数表达式为𝑦= 𝑥−1，在直线𝑙上顺次取点𝐴1(2,1)，
𝐴2(3,2)，𝐴3(4,3)，𝐴4(5,4)，…，𝐴𝑛(𝑛+ 1, 𝑛)，构成形如“
”的图形的阴影部分面积分别表示为𝑆1，𝑆2，
𝑆3，…，𝑆𝑛，则𝑆2026 =______．
【答案】4054
【分析】根据题意，分别求出𝑆1，𝑆2，𝑆3，然后找出规律，即可求出结果．
解题贴士
依次求出前几组交点坐标、线段长度、面积，观察横纵坐标、数值的等差、周期、奇偶规律，归纳通用
公式，求解指定项结果。
34 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：∵𝐴1(2,1)，𝐴2(3,2)，𝐴3(4,3)，𝐴4(5,4)，…，𝐴𝑛(𝑛+ 1, 𝑛)，
∴𝑆1 = 3 × 2 −2 × 1 = 4 = 2 × 1 + 2，
𝑆2 = 4 × 3 −3 × 2 = 6 = 2 × 2 + 2，
𝑆3 = 5 × 4 −4 × 3 = 8 = 2 × 3 + 2，
……
∴𝑆𝑛= 2𝑛+ 2，
∴𝑆2026 = 2 × 2026 + 2 = 4054．
▌对点练1-1．在直角坐标系中，等腰直角三角形𝐴1𝐵1𝑂、𝐴2𝐵2𝐵1、𝐴3𝐵3𝐵2、⋯、𝐴𝑛𝐵𝑛𝐵𝑛−1按如图所示的
方式放置，其中点𝐴1、𝐴2、𝐴3、⋯、𝐴𝑛均在一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象上，点𝐵1、𝐵2、𝐵3、⋯、𝐵𝑛均在
x 轴上．若点𝐵1的坐标为(1,0)，点𝐵2的坐标为(3,0)，则点𝐴2023的坐标为（ ）
A．(22022, 22022) B．(22022, 22022 −1)
C．(22022, 22022 + 1)
D．(22022 −1, 22022)
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一
次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．
首先，根据等腰直角三角形的性质求得点𝐴1，𝐴2的坐标；然后，将点𝐴1，𝐴2的坐标代入一次函数解析式，
利用待定系数法求得该直线的解析式为𝑦= 𝑥+ 1；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点
𝐵𝑛−1(2𝑛−1 −1,0)，𝐴𝑛的横坐标为2𝑛−1 −1，即可求得点𝐴𝑛的坐标，进一步可得答案．
【详解】解：∵点𝐵1的坐标为(1,0)，点𝐵2的坐标为(3,0)，
∴ 𝑂𝐵1 = 1，𝑂𝐵2 = 3，
∴ 𝐵1𝐵2 = 3 −1 = 2，
∵ △𝐴1𝐵1𝑂是等腰直角三角形，∠𝐴1𝑂𝐵1 = 90°，
∴ 𝑂𝐴1 = 𝑂𝐵1 = 1，
∴点𝐴1的坐标为(0,1)，
同理，在等腰直角三角形𝐴2𝐵2𝐵1中，∠𝐴2𝐵1𝐵2 = 90°，𝐴2𝐵1 = 𝐵1𝐵2 = 2，则𝐴2(1,2)，
∵ 𝐴1和𝐴2均在一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象上，
∴ {𝑘+ 𝑏= 2
𝑏= 1
，
35 / 51
学科网（北京）股份有限公司
解得{𝑘= 1
𝑏= 1
，
∴该直线的解析式为𝑦= 𝑥+ 1，
∵ 𝐴3和𝐵2的横坐标相同，都是3，
∴当𝑥= 3时，𝑦= 4，即𝐴3(3,4)，则𝐴3𝐵2 = 4，
∴ 𝐵3(7,0)，
……
以此类推，𝐵𝑛−1(2𝑛−1 −1,0)，𝐴𝑛的横坐标为2𝑛−1 −1，
∴当𝑥= 2𝑛−1 −1时，𝑦= 2𝑛−1 −1 + 1 = 2𝑛−1，
∴点𝐴𝑛的坐标为(2𝑛−1 −1, 2𝑛−1)．
∴点𝐴2023的坐标为(22022 −1, 22022)．
故选：D．
▌对点练1-2．（2026·山东济宁·二模）如图，直线𝑦= −
3
2 𝑥+ 3与𝑥轴，𝑦轴分别交于A，B 两点，一动点从
点𝑀1(0,2)出发，沿平行于𝑥轴的直线运动，到达直线𝐴𝐵上的点𝑀2处，再沿平行于𝑦轴的直线运动，到达直
线𝑂𝐴上的点𝑀3处，再沿平行于𝐴𝐵的直线运动，到达直线𝑂𝐵上的点𝑀4处，再沿平行于𝑥轴的直线运动，到
达直线𝐴𝐵上的点𝑀5处……如此运动下去，则点𝑀2026的坐标为______．
【答案】(0,1)
【分析】首先求出𝐵(0,3)，如图，根据题意作出点𝑀6，连接𝑀1𝑀6，求出𝑀2 (
2
3 , 2)，得到𝑀2𝑀3 = 2，得到
四边形𝐵𝑀2𝑀3𝑀4，𝑂𝑀1𝑀2𝑀3，𝑂𝑀4𝑀5𝑀6都是平行四边形，得到𝑀6𝑀1 ∥𝐴𝐵，动点每运动6次为一个循
环，然后结合2026 = 337 × 6 + 4求解．
【详解】解：对于𝑦= −
3
2 𝑥+ 3，
令𝑥= 0，得𝑦= 3，
∴𝐵(0,3)，
如图，根据题意作出点𝑀6，连接𝑀1𝑀6，
36 / 51
学科网（北京）股份有限公司
∵𝑀1(0,2)
将𝑦= 2代入𝑦= −
3
2 𝑥+ 3得，2 = −
3
2 𝑥+ 3
解得𝑥=
2
3
∴𝑀2 (
2
3 , 2)
∴𝑀2𝑀3 = 2
根据题意得，四边形𝐵𝑀2𝑀3𝑀4，𝑂𝑀1𝑀2𝑀3，𝑂𝑀4𝑀5𝑀6都是平行四边形，
∴𝐵𝑀4 = 𝑀2𝑀3 = 𝑂𝑀1 = 2
∴𝑂𝑀4 = 𝐵𝑀1 = 𝑂𝐵−𝑂𝑀1 = 3 −2 = 1，即
∴𝑀5𝑀6 = 𝑂𝑀4 = 1 = 𝐵𝑀1
∵𝑀5𝑀6 ∥𝐵𝑀1
∴四边形𝑀5𝑀6𝑀1𝐵是平行四边形，𝑀4(0,1)
∴𝑀6𝑀1 ∥𝐴𝐵
∴点𝑀7与点𝑀1重合，
∴动点每运动6次为一个循环，
∵2026 = 337 × 6 + 4，
∴点𝑀2026与点𝑀4重合，即点𝑀2026的坐标为(0,1)．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·河北衡水·期中）如图，直线𝑙1: 𝑦=
1
2 𝑥+
1
2与直线𝑙2: 𝑦= 𝑥+ 1分别与𝑦轴交
于点𝐴, 𝐵．一动点𝐶从点𝐴出发，先沿垂直于𝑥轴的方向运动，到达直线𝑙2上的点𝐵处后，改为平行于𝑥轴的
方向运动，到达直线𝑙1上的点𝐴1处；再沿垂直于𝑥轴的方向运动，到达直线𝑙2上的点𝐵1处后，又改为平行于
𝑥轴的方向运动，到达直线𝑙1上的点𝐴2处…照此规律运动，动点𝐶依次经过点𝐴, 𝐵, 𝐴1, 𝐵1, 𝐴2,𝐵2…则
𝐴2026𝐵2026的长度为______．
【答案】22025
37 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【分析】先根据题意求出𝐴(0,
1
2)，𝐵(0,1)，根据平行于𝑥轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于𝑥轴的直线上
点的横坐标相等及直线𝑙1, 𝑙2的函数表达式可知，𝐴1(1,1),𝐵1(1,2)，𝐴2(3,2), 𝐵2(3,4)，𝐴3(7,4),𝐵3(7,8)，求出
𝐴1𝐵1 = 1，𝐴2𝐵2 = 2；𝐴3𝐵3 = 4；…，可得规律𝐴𝑛𝐵𝑛= 2𝑛−1，即可解答
【详解】解：在直线𝑙1: 𝑦=
1
2 𝑥+
1
2中，令𝑥= 0，则𝑦=
1
2，故𝐴(0,
1
2)，
在直线𝑙2: 𝑦= 𝑥+ 1中，令𝑥= 0，则𝑦= 1，故𝐵(0,1)，
根据题意将𝑦= 1代入直线𝑙1: 𝑦=
1
2 𝑥+
1
2中得𝑥= 1，故𝐴1(1,1)，
将𝑥= 1代入直线𝑙2: 𝑦= 𝑥+ 1中得𝑦= 2，故𝐵1(1,2)，
∴𝐴1𝐵1 = 1，
同理可得𝐴2(3,2),𝐵2(3,4)，𝐴3(7,4), 𝐵3(7,8)，
∴𝐴2𝐵2 = 2；𝐴3𝐵3 = 4；…，
由此可得，𝐴𝑛𝐵𝑛= 2𝑛−1，
∴𝐴2026𝐵2026的长度为22025．
基础通关
1．（25-26 八年级下·陕西安康·期末）若点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)都在正比例函数𝑦= −2𝑥的图象上，且𝑥1 >
𝑥2，则𝑦1与𝑦2的大小关系是（ ）
A．𝑦1 ≥𝑦2
B．𝑦1 > 𝑦2
C．𝑦1 ≤𝑦2
D．𝑦1 < 𝑦2
【答案】D
【详解】解：∵正比例函数𝑦= −2𝑥中，−2 < 0，
∴𝑦随𝑥的增大而减小，
又∵点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)都在正比例函数𝑦= −2𝑥的图象上，且𝑥1 > 𝑥2，
∴𝑦1 < 𝑦2．
2．（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）已知一次函数的解析式为𝑦= 2𝑥−5，下列说法正确的是（ ）
A．𝑦随𝑥的增大而减小
B．图象经过第二象限
C．图象与𝑦轴交于点(0, −5)
D．图象与𝑥轴交于点(−5,0)
【答案】C
【详解】解：A、对于一次函数𝑦= 2𝑥−5，∵ 𝑘= 2 > 0，∴ 𝑦随𝑥的增大而增大，该选项不符合题意；
B、∵ 𝑘= 2 > 0，𝑏= −5 < 0，∴ 函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项不符合题
意；
38 / 51
学科网（北京）股份有限公司
C、令𝑥= 0，得𝑦= −5，∴ 图象与𝑦轴交于点(0,−5)，该选项符合题意；
D、令𝑦= 0，得2𝑥−5 = 0，解得𝑥=
5
2，∴ 图象与𝑥轴交于点(
5
2 , 0)，该选项不符合题意；
故答案为C．
3．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数𝑦= 2𝑥的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数𝑦= 𝑘𝑥的图象性质：图象必过原点，当𝑘> 0时经过第一、三象限，并结合特殊点
坐标进行判断．
【详解】解：∵函数𝑦= 2𝑥是正比例函数，
∴其图象是一条经过原点(0,0)的直线，故排除D，
∵𝑘= 2 > 0，
∴图象经过第一、三象限，故排除A，
又∵当𝑥= 1时，𝑦= 2 × 1 = 2，
∴图象必经过点(1,2)，
观察选项可知，B 选项经过点(2,1)，C 选项经过点(1,2)，
∴C 选项符合题意．
4．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数𝑦= 𝑘1𝑥，𝑦= 𝑘2𝑥，𝑦= 𝑘3𝑥，𝑦= 𝑘4𝑥的图象如图所
示，则比例系数中最大的是（ ）
39 / 51
学科网（北京）股份有限公司
A．𝑘1
B．𝑘2
C．𝑘3
D．𝑘4
【答案】A
【分析】根据正比例函数的图像与系数的关系及直线越陡，|𝑘|越大，可得答案．
【详解】解：∵正比例函数𝑦= 𝑘1𝑥，𝑦= 𝑘2𝑥经过一、三象限，𝑦= 𝑘3𝑥，𝑦= 𝑘4𝑥经过二、四象限，
∴𝑘1 > 0，𝑘2 > 0，𝑘3 < 0，𝑘4 < 0，
∵直线越陡，|𝑘|越大，
∴𝑘1 > 𝑘2，即比例系数中最大的是𝑘1．
5．（25-26 八年级下·甘肃庆阳·期末）一次函数𝑦= −3𝑥+ 2的图象经过（ ）
A．第一、二、四象限
B．第二、三、四象限
C．第一、二、三象限
D．第一、三、四象限
【答案】A
【详解】解：∵一次函数解析式为𝑦= −3𝑥+ 2，可得𝑘= −3 < 0，𝑏= 2 > 0，
∴该一次函数图象经过第一、二、四象限．
6．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若点𝐴(0, 𝑦1)，𝐵(2, 𝑦2)，𝐶(3,𝑦3)在正比例函数𝑦= 2𝑥的图象上，
则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系为_____________．（用“<”连接）
【答案】𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3
【分析】根据正比例函数的性质，由比例系数的符号判断函数的增减性，再比较三个点横坐标的大小，即
可得到纵坐标的大小关系．
【详解】解：正比例函数𝑦= 2𝑥中，比例系数𝑘= 2 > 0，由正比例函数的性质可得，
当𝑘> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大；
三个点的横坐标分别为0，2，3，
∵0 < 2 < 3，
∴𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3．
7．（25-26 八年级下·河南濮阳·期末）一次函数𝑦= −𝑥+ 𝑏的图象与𝑦轴正半轴相交，则𝑏的值可以是
________．（写出一个即可）
【答案】1（答案不唯一）
40 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【分析】根据一次函数与y 轴交点的坐标特征判断𝑏的取值范围，选取符合范围的一个值即可.
【详解】解：对于一次函数𝑦= −𝑥+ 𝑏，它的图象与𝑦轴交点坐标为(0,𝑏).
∵该一次函数图象与𝑦轴正半轴相交，
∴𝑏> 0，
∴𝑏= 1（答案不唯一）.
8．在平面直角坐标系中，若直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘，𝑏是常数，𝑘≠0）与直线𝑦= 3𝑥+ 4关于𝑦轴对称，则
3𝑘+ 𝑏的值为______．
【答案】−5
【分析】本题考查一次函数解析式、关于𝑦轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关
于𝑦轴对称点的坐标特征是解题的关键．
根据直线𝑦= 3𝑥+ 4求得其关于y 轴的对称点，然后利用待定系数法求出k 和b 的值，再计算3𝑘+ 𝑏的值．
【详解】解：∵直线𝑦= 3𝑥+ 4
令𝑦= 0得3𝑥+ 4 = 0，解得𝑥= −
4
3，
令𝑥= 0得，𝑦= 4，
则直线𝑦= 3𝑥+ 4与x 轴的交点为(−
4
3 , 0)，与y 轴的交点为(0,4)，
点(−
4
3 , 0)关于y 轴的对称点为(
4
3 , 0)，
∵直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘，𝑏是常数，𝑘≠0）与直线𝑦= 3𝑥+ 4关于𝑦轴对称，
将点(
4
3 , 0)和(0,4)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，得方程组：
{
4
3 𝑘+ 𝑏= 0
𝑏= 4
，
解得{𝑘= −3
𝑏= 4
，
则3𝑘+ 𝑏= 3 × (−3) + 4 = −5，
故答案为：−5．
9．（25-26 八年级下·吉林·期末）已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏经过点𝐴(0, −1)，𝐵(−1, −2)．
(1)求此直线的解析式；
(2)求该一次函数的图象与𝑥轴的交点坐标．
【答案】(1)𝑦= 𝑥−1
(2)(1,0)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当𝑦= 0时，𝑥的值即可．
【详解】（1）解：∵直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏经过点𝐴(0,−1)，𝐵(−1,−2)，
∴{
𝑏= −1
−𝑘+ 𝑏= −2
，
41 / 51
学科网（北京）股份有限公司
解得{ 𝑘= 1
𝑏= −1
，
∴此直线的解析式为𝑦= 𝑥−1．
（2）解：将𝑦= 0代入函数𝑦= 𝑥−1得：𝑥−1 = 0，
解得𝑥= 1，
则该一次函数的图象与𝑥轴的交点坐标为(1,0)．
10．（25-26 八年级下·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，平行于𝑦= 2𝑥的直线经过点(1,3)，求这条直
线的解析式．
【答案】𝑦= 2𝑥+ 1
【分析】平行直线的一次项系数相等，得到所求直线的一次项系数，再用待定系数法代入已知点坐标求出
常数项，即可得到直线解析式．
【详解】解：设平行于𝑦= 2𝑥的直线解析式为𝑦= 2𝑥+ 𝑏，
∵直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏经过点(1,3)，
∴2 × 1 + 𝑏= 3，
∴𝑏= 1，
∴这条直线的解析式为𝑦= 2𝑥+ 1．
11．（25-26 八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数𝑦= |𝑥| −1的图象与性质．小彤根据学习函数
的经验，对函数𝑦= |𝑥| −1的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：
(1)函数𝑦= |𝑥| −1的自变量𝑥的取值范围是_________；
(2)表格是𝑦与𝑥的几组对应值：
𝑥
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
𝑦
…
3
𝑚
1
0
−1
0
1
2
3
…
则𝑚的值为_________；
(3)请在下面的平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，画出函数𝑦= |𝑥| −1的图象；
(4)观察图象，写出该函数的两条性质．
42 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)全体实数
(2)2
(3)见解析
(4)当𝑥≥0时，y 随x 的增大而增大，当𝑥< 0时，y 随x 的增大而减小；当𝑥= 0时，函数有最小值，最小
值为−1．
【分析】（1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数；
（2）把𝑥= −3代入𝑦= |𝑥| −1中求出y 的值即可得到答案；
（3）先描点，再连线即可得到答案；
（4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数；
（2）解：在𝑦= |𝑥| −1中，当𝑥= −3时，𝑦= |−3| −1 = 3 −1 = 2，
∴𝑚= 2；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：由函数图象可知，当𝑥≥0时，y 随x 的增大而增大，当𝑥< 0时，y 随x 的增大而减小；当𝑥= 0
时，函数有最小值，最小值为−1．
12．（25-26 八年级下·上海闵行·期中）已知正比例函数𝑦= 2𝑥的图像经过点𝐴，且点𝐴的横坐标为2．
(1)求点𝐴的坐标；
(2)已知点𝑃在𝑥轴上，且𝑆△𝐴𝑂𝑃= 8，求点𝑃的坐标．
【答案】(1)𝐴(2,4)
(2)(4,0)或(−4,0)
【分析】（1）将点𝐴的横坐标代入解析式即可；
（2）根据三角形的面积列方程求解．
【详解】（1）解：当𝑥= 2时，𝑦= 2𝑥= 4，
∴𝐴(2,4)；
（2）解：如图，设𝑃(𝑚, 0)，
43 / 51
学科网（北京）股份有限公司
则有𝑆△𝐴𝑂𝑃=
1
2 𝑂𝑃· 𝑦𝐴= 2|𝑚| = 8，
解得𝑚= ±4，
∴点𝑃的坐标为(4,0)或(−4,0)．
13．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）已知一次函数𝑦= (2𝑚+ 4)𝑥+ 𝑚−3．
(1)当𝑚为何值时，𝑦随𝑥的增大而增大；
(2)当𝑚为何值时，函数图象经过原点；
(3)当𝑚为何值时，图象经过第二、三、四象限．
【答案】(1)𝑚> −2
(2)𝑚= 3
(3)𝑚< −2
【分析】（1）根据一次函数的增减性，𝑦随𝑥的增大而增大列不等式，求解即可；
（2）由一次函数图象过原点的特征，代入原点坐标列方程，求解即可；
（3）由一次函数图象经过的象限与系数的关系，列不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：∵ 𝑦随𝑥的增大而增大，
∴ 2𝑚+ 4 > 0，
∴ 𝑚> −2；
（2）解：∵函数图象经过原点，
∴当𝑥= 0时，𝑚−3 = 0，
∴ 𝑚= 3；
（3）解：∵图象经过第二、三、四象限，
∴ {2𝑚+ 4 < 0
𝑚−3 < 0
，
∴ 𝑚< −2．
素养提升
1．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）若𝑎、𝑏为常数，且𝑎𝑏≠0，则一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏与𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑎在同
44 / 51
学科网（北京）股份有限公司
一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一次函数中𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，𝑘，𝑏的符号，结合图象逐一判断即可．
【详解】解：A、①如图，由𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏图象可得𝑎> 0，𝑏> 0，由𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑎图象可得𝑎> 0，𝑏< 0，不
符合题意；
②如图，由𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏图象可得𝑎< 0，𝑏> 0，由𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑎图象可得𝑎> 0，𝑏> 0，不符合题意；
B、①如图，由𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏图象可得𝑎> 0，𝑏< 0，由𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑎图象可得𝑎> 0，𝑏< 0，符合题意；
②如图，由𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏图象可得𝑎< 0，𝑏> 0，由𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑎图象可得𝑎< 0，𝑏> 0，符合题意；
45 / 51
学科网（北京）股份有限公司
C、由图象可知有一条直线经过原点，则𝑎= 0或𝑏= 0，不合题意，故选项不正确，不符合题意；
D、①如图，由𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏图象可得𝑎< 0，𝑏< 0，由𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑎图象可得𝑎> 0，𝑏< 0，不符合题意；
②如图，由𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏图象可得𝑎< 0，𝑏> 0，由𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑎图象可得𝑎< 0，𝑏< 0，不符合题意．
2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）若点𝐴(2, 𝑚)、𝐵(3,5)都在一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘，𝑏为常数，𝑘>
0）的图象上，则𝑚的取值范围为（ ）
A．𝑚< 2
B．𝑚< 3
C．𝑚< 5
D．𝑚> 5
【答案】C
【分析】由一次函数中𝑘> 0得出𝑦随𝑥的增大而增大，由此性质即可得出结果．
【详解】解：∵𝑘> 0，
∴一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏中𝑦随𝑥的增大而增大，
∵点𝐴(2,𝑚)，𝐵(3,5)在函数图象上，2 < 3，
∴𝑚< 5．
3．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将直线𝑦1 = 𝑘𝑥（k 为常数，且𝑘≠0）先向右
平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，得到直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏（b 为常数），则下列说法错误
．．的是
（ ）
A．𝑏= −𝑘+ 3
B．若点𝐴(𝑎−1, 𝑚)，𝐵(𝑎+ 3, 𝑛)在直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏上，且𝑚< 𝑛，则𝑘> 0
C．直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏一定经过第一象限
小学
初中
46 / 51
学科网（北京）股份有限公司
D．若直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏不经过第四象限，则𝑘> 3
【答案】D
【分析】由一次函数平移规律得出平移后解析式，得到𝑏与𝑘的关系式，再结合一次函数性质判断各选项.
【详解】解：将直线𝑦1 = 𝑘𝑥向右平移1 个单位长度，得𝑦= 𝑘(𝑥−1)，再向上平移3 个单位长度，得𝑦2 =
𝑘(𝑥−1) + 3 = 𝑘𝑥−𝑘+ 3，
∴𝑏= −𝑘+ 3，A 正确；
∵点𝐴(𝑎−1, 𝑚)，𝐵(𝑎+ 3, 𝑛)在直线𝑦2上，
∴𝑚= 𝑘(𝑎−1) + 𝑏，𝑛= 𝑘(𝑎+ 3) + 𝑏，
∴𝑛−𝑚= 𝑘(𝑎+ 3) −𝑘(𝑎−1) = 4𝑘，
∵𝑚< 𝑛，
∴4𝑘> 0，
即𝑘> 0，B 正确；
将𝑥= 1代入𝑦2 = 𝑘𝑥−𝑘+ 3，得𝑦2 = 𝑘−𝑘+ 3 = 3，
∴直线𝑦2恒过定点(1,3)，该点在第一象限，
∴直线𝑦2一定经过第一象限，C 正确；
若直线𝑦2不经过第四象限，则需满足𝑘> 0且𝑏≥0，即𝑘> 0且−𝑘+ 3 ≥0，
解得0 < 𝑘≤3，故D 错误．
4．（25-26 八年级下·河南洛阳·期末）点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)在一次函数𝑦= 𝑎𝑥−3的图像上，当 𝑥1 > 𝑥2
时， 𝑦1 < 𝑦2，则a 的取值范围是_______．
【答案】𝑎< 0
【分析】由已知条件𝑥1 > 𝑥2时𝑦1 < 𝑦2，可得𝑦随𝑥的增大而减小，结合一次函数性质即可得到𝑎的取值范
围．
【详解】解：已知一次函数解析式为𝑦= 𝑎𝑥−3，
由题意可知，当𝑥1 > 𝑥2时，𝑦1 < 𝑦2，
说明函数值𝑦随𝑥的增大而减小，
当𝑦随𝑥的增大而减小时， 𝑘< 0，
因此𝑎< 0．
5．（2026·山东济宁·二模）正方形𝑁1𝑀1𝑀2𝑄1，𝑁2𝑀2𝑀3𝑄2，𝑁3𝑀3𝑀4𝑄3 …按如图所示的方式放置，点𝑁1，
𝑁2，𝑁3 …和点𝑀1，𝑀2，𝑀3，𝑀4 …分别在直线𝑦= 𝑘𝑥（𝑘> 0）和𝑥轴上，已知点𝑄1(3,2)，点𝑄2026的坐标
是________．
47 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(32026, 2 × 32025)
【分析】首先求出𝑁1(1,2)，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出𝑁2(3,6)，𝑄2(9,6)，
𝑁3(9,18)，𝑄3(27,18)，得到点Q 横纵坐标的规律，进而求解即可．
【详解】解：∵𝑄1(3,2)
∴𝑁1𝑀1 = 𝑄1𝑀2 = 𝑀1𝑀2 = 2，𝑂𝑀2 = 3
∴𝑂𝑀1 = 𝑂𝑀2 −𝑀1𝑀2 = 3 −2 = 1
∴𝑁1(1,2)
将𝑁1(1,2)代入𝑦= 𝑘𝑥，得𝑘= 2
∴直线𝑁1𝑁2的解析式是𝑦= 2𝑥
将𝑥= 3代入𝑦= 2𝑥= 2 × 3 = 6
∴𝑁2(3,6)，
∴𝑁2𝑀2 = 𝑄2𝑀3 = 6，𝑂𝑀3 = 3 + 6 = 9，
∴𝑄2(9,6)，
同理可得，𝑁3(9,18)，𝑄3(27,18)
．．．．．．，
∴𝑄𝑛(3𝑛,2 × 3𝑛−1)．
∴点𝑄2026的坐标是(32026, 2 × 32025)．
6．（25-26 八年级下·河南周口·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过𝑀(0,2)，𝑁(1,3)两点．
(1)求k，𝑏的值；
(2)若一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象与x 轴的交点为A，求一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象与坐标轴围成三角形的面
积；
(3)当−3 ≤𝑥≤2时，求y 的取值范围．
48 / 51
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)𝑘的值为1，𝑏的值为2
(2)2
(3)−1 ≤𝑦≤4
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点𝐴的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）先分别求出当𝑥= −3时和当𝑥= 2时，𝑦的值，再根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过𝑀(0,2)，𝑁(1,3)两点，
∴{
𝑏= 2
𝑘+ 𝑏= 3
，
解得{𝑘= 1
𝑏= 2
，
∴𝑘的值为1，𝑏的值为2．
（2）解：由（1）可知，直线𝑀𝑁的解析式为𝑦= 𝑥+ 2，
将𝑦= 0代入函数𝑦= 𝑥+ 2得：𝑥+ 2 = 0，解得𝑥= −2，
∴𝐴(−2,0)，
∴𝑂𝐴= 2，
∵𝑀(0,2)，
∴𝑂𝑀= 2，
又∵𝑥轴⊥𝑦轴，
∴一次函数𝑦= 𝑥+ 2的图象与坐标轴围成的△𝐴𝑂𝑀的面积为
1
2 𝑂𝐴⋅𝑂𝑀= 2．
（3）解：∵一次函数的解析式为𝑦= 𝑥+ 2，
∴当𝑥= −3时，𝑦= −3 + 2 = −1；当𝑥= 2时，𝑦= 2 + 2 = 4，
又∵在一次函数𝑦= 𝑥+ 2中，𝑘= 1 > 0，
∴𝑦随𝑥的增大而增大，
∴当−3 ≤𝑥≤2时，−1 ≤𝑦≤4．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·河南焦作·期末）在音乐中，音高的频率与数学中的函数存在密切联系，已知在十二平
均律中，相邻半音的频率满足等比关系，但在简单旋律中，音高变化常呈现线性规律．
(1)问题1：用函数表示音高变化
某段旋律的音高𝑦（简谱用数字1~7 表示音高，1 对应最低音，7 对应最高音）随时间𝑥（单位：秒，假设
旋律持续到8 秒）变化的部分数据如下：
时间𝑥（秒）
0
2
4
6
49 / 51
学科网（北京）股份有限公司
音高𝑦
2
3
4
5
观察数据，判断𝑦与𝑥之间是否满足一次函数关系，若满足，求出𝑦关于𝑥的函数解析式，并写出𝑥的取值范
围．
(2)问题2：旋律中的函数图象与音乐情感
①若另一段旋律的音高关于时间的函数解析式为𝑦= −0.5𝑥+ 6，请在同一坐标系中画出问题
．．．．．．．．．．．．1．中的函数
．．．．
和该函数的大致图象
．．．．．．．．．，并对比两段旋律的变化趋势：
·问题1 的旋律音高____________（填上升下降或平稳）；
·函数𝑦= −0.5𝑥+ 6对应的旋律音高____________（填上升下降或平稳）．
②结合数学中比例系数的意义，当比例系数为正数时，试说明为什么比例系数较大的旋律常给人急促上升
的感觉．
【答案】(1)𝑦= 0.5𝑥+ 2(0 ≤𝑥≤8)
(2)①
上升，下降
②比例系数越大，音高变化速度越快且音高上升，故比例系数较大的旋律常给人急促上升的感觉．
【分析】（1）先通过表格两组自变量差值、对应函数值差值恒定，完成一次函数的判断；再设一次函数解
析式，代入表格坐标列方程组求解系数，结合旋律时长确定自变量取值范围．
（2）①分别对两个一次函数列表取值，根据表格坐标在同一坐标系描点连线画出函数图象；根据一次函
数比例系数正负判断增减趋势，完成填空．②结合一次函数比例系数𝑘的几何意义，从函数值变化快慢角
度解释比例系数为正且数值大时音高急促上升的原因．
【详解】（1）解：∵表格自变量：0,2,4,6，相邻自变量差值：2 −0 = 2，4 −2 = 2，6 −4 = 2，自变量差
50 / 51
学科网（北京）股份有限公司
值恒定．
∵表格对应音高：2,3,4,5，相邻函数值差值：3 −2 = 1，4 −3 = 1，5 −4 = 1，函数值差值恒定．
∴𝑦与𝑥满足一次函数关系．
设𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
将(0,2)，(2,3)代入，得
{
𝑏= 2
2𝑘+ 𝑏= 3
，
∴{𝑘= 0.5
𝑏= 2
．
∴𝑦= 0.5𝑥+ 2(0 ≤𝑥≤8)；
（2）①列表
函数1：
𝑥
0
2
𝑦= 0.5𝑥+ 2 (0 ≤𝑥≤8)
2
3
𝑦= −0.5𝑥+ 6
6
5
函数图象略；
问题1 的旋律音高上升；
函数𝑦= −0.5𝑥+ 6对应的旋律音高下降；
②略
2．（25-26 八年级下·安徽黄山·期末）对于实数𝑚 , 𝑛，定义min{𝑚, 𝑛}表示𝑚 , 𝑛两个数中的较小值．例如：
min{3, −5} = −5，min{8,8} = 8．
(1)填空：min{2√10,√52} = ．
(2)已知min{√52,𝑎} = 𝑎，min{√52, 𝑏} = √52，且𝑎和𝑏为两个连续的正整数，求2√7 × √𝑏
𝑎的值．
(3)求函数𝑦= min{𝑥+ 1, −3𝑥+ 5}的最大值．
【答案】(1)2√10
(2)4√2
(3)当𝑥= 1时，函数𝑦= min{𝑥+ 1, −3𝑥+ 5}的最大值为2
【详解】（1）解：∵2√10 = √40，40 < 52，
∴√40 < √52，即2√10 < √52，
∴min{2√10,√52} = 2√10；
（2）解：∵49 < 52 < 64，
∴7 < √52 < 8，
51 / 51
学科网（北京）股份有限公司
∵min{√52, 𝑎} = 𝑎，min{√52, 𝑏} = √52，
∴𝑎≤√52，𝑏≥√52，
∵𝑎和𝑏为两个连续的正整数，
∴𝑎= 7，𝑏= 8，
∴2√7 × √𝑏
𝑎= 2√7 × √
8
7 = 4√2；
（3）解：令𝑥+ 1 = −3𝑥+ 5，
解得𝑥= 1，
当𝑥≤1时，𝑥+ 1 ≤−3𝑥+ 5，
∴𝑦= min{𝑥+ 1, −3𝑥+ 5} = 𝑥+ 1，
∴𝑦= 𝑥+ 1 1，
此时比例系数为11，𝑦随𝑥的增大而增大，
当𝑥= 1时，𝑦= 𝑥+ 1取得最大值，最大值𝑦max = 1 + 1 = 2，
当𝑥≥1时，𝑥+ 1 ≥−3𝑥+ 5，
∴𝑦= −3𝑥+ 5，
此时比例系数为−3，𝑦随𝑥的增大而减小，
当𝑥= 1时，𝑦= min{𝑥+ 1, −3𝑥+ 5} = −3𝑥+ 5取得最大值，最大值𝑦max = −3 × 1 + 5 = 2，
综上所述，当𝑥= 1时，𝑦= min{𝑥+ 1, −3𝑥+ 5}的最大值为2．
