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专题01 勾股定理与逆定理常见题型
（题型突破·举一反三）
▌题型01 利用勾股定理求线段长度
【典例1】
【答案】B
【分析】考查了勾股定理在实际生活中的应用．利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速
度，再求小明家距离书店的距离．
【详解】解：∵小明家到书店所用的时间为√62 + 82 = 10分钟，
又∵小明的速度为
660
6 = 110米/分钟，
故小明家距离书店的距离为110 × 10 = 1100米．
故选：B．
【变式1-1】
【答案】C
【分析】根据勾股定理可计算给出线段的长，则可得出答案．
【详解】解：由勾股定理得，𝐴𝐵= √22 + 42 = 2√5，𝐵𝐶= √32 + 42 = 5，𝐴𝐸= √12 + 42 = √17，𝐶𝐷=
√32 + 32 = 3√2，
∴5 > 2√5 > 3√2 > √17，
∴最短的线段是AE．
故选：C．
【变式1-2】
【答案】D
【分析】根据勾股定理和题意分类讨论即可．
【详解】解：①当一直角三角形两条直角边的长为12 和5 时，
由勾股定理得，第三边的长的平方为13，
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②当一直角三角形的斜边和一条直角边分别为12 和5 时，
由勾股定理得，第三边的长的平方为119，
故选：D．
【变式1-3】
【答案】
12
5
【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是𝑎，𝑏，斜边长为𝑐，
那么𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．过点𝐶作𝐶𝑃⊥𝐴𝐵于𝑃，根据勾股定理求出𝐴𝐵，根据三角形的面积公式求出𝑃𝐶即可．
【详解】解：过点𝐶作𝐶𝑃⊥𝐴𝐵于𝑃，
由垂线段最短可知，此时𝑃𝐶最小，
由勾股定理得，𝐴𝐵= √𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = √42 + 32 = 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝑃𝐶，即
1
2 × 3 × 4 =
1
2 × 5 × 𝑃𝐶，
解得，𝑃𝐶=
12
5 ，
故答案为：
12
5 ．
【变式1-4】
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，由勾股定理分别求出每个三角形的边长，再根据全等三
角形的判定方法SSS逐一判断即可求解，掌握勾股定理和全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理可得，𝐵𝐶= √2，𝐴𝐶= √5，𝐴𝐵= 3，
A、在△𝐴𝐸𝐺中，𝐸𝐺= √2，𝐴𝐺= 2，𝐴𝐸= √10，与△𝐴𝐵𝐶三边不对应相等，故和△𝐴𝐵𝐶不会全等，该选项
不合题意；
B、在△𝐴𝐷𝐹中，𝐴𝐷= √2，𝐷𝐹= 3，𝐴𝐹= √17，与△𝐴𝐵𝐶三边不对应相等，故和△𝐴𝐵𝐶不会全等，该选项
不合题意；
C、在△𝐷𝐹𝐺中，𝐷𝐺= √2，𝐹𝐺= √5，𝐷𝐹= 3，与△𝐴𝐵𝐶三边对应相等，故和△𝐴𝐵𝐶会全等，该选项符合
题意；
D、在△𝐷𝐸𝐺中，𝐷𝐺= √2，𝐸𝐺= √2，𝐷𝐸= 2，与△𝐴𝐵𝐶三边不对应相等，故和△𝐴𝐵𝐶不会全等，该选项
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不合题意；
故选：C．
【变式1-5】
【答案】(1)见详解；(2)
16
13
【分析】（1）利用勾股定理及数形结合的思想画出三角形即可；
（2）利用面积法即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，先作𝐴𝐶= 2，再作取点𝐵，使𝐴𝐵2 = 5，𝐵𝐶2 = 13，
∴△𝐴𝐵𝐶即为所求；
（2）解:如图，𝐴𝐶= 2, 𝐴𝐶边上的高为2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶× 2 =
1
2 × 2 × 2 = 2，
𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷，所以𝐴𝐷2 = 16
13．
答：𝐴𝐷的长为
16
13．
【变式1-6】
【答案】C
【分析】过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑀𝐷于𝐸，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑀𝐷于𝐸，如图所示：
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由题意可知，𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 2，𝐴𝐸= 𝐵𝐷= 8, 𝐶𝐸= 6，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为𝐴𝐶，由勾股定理可得𝐴𝐶= √𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 =
√62 + 82 = 10，
∴它要飞回巢中所需的时间至少是10 ÷ 2.5 = 4（m/s），
故选：C．
【变式1-7】
【答案】(1)25 米；(2)8 米
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
（1）设𝐴𝐵= 𝑥米，则𝑂𝐵= (𝑥−18)米，根据勾股定理可得：𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 𝐴𝐵2，列出方程求解即可；
（2）根据题意可得：𝐴𝐶= 4米，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 25米，𝑂𝐵= 𝐴𝐵−18 = 7米，则𝑂𝐶= 𝑂𝐴−𝐴𝐶= 20米，根据
勾股定理可得𝑂𝐷= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐶2 = 15米，最后根据𝐵𝐷= 𝑂𝐷−𝑂𝐵即可求解．
【详解】（1）解：设𝐴𝐵= 𝑥米，则𝑂𝐵= (𝑥−18)米，
根据勾股定理可得：𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 𝐴𝐵2，
∴242 + (𝑥−18)2 = 𝑥2，
解得：𝑥= 25，
∴云梯𝐴𝐵的长度为25 米．
（2）解：根据题意可得：𝐴𝐶= 4米，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 25米，𝑂𝐵= 𝐴𝐵−18 = 7米，
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐴−𝐴𝐶= 20米，
根据勾股定理可得：𝑂𝐷= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐶2 = √252 −202 = 15（米），
∴𝐵𝐷= 𝑂𝐷−𝑂𝐵= 15 −7 = 8（米）．
即云梯底端在水平方向上滑动距离𝐵𝐷为8 米．
【变式1-8】
【答案】30．
【分析】根据△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝑇得𝐴𝐶= 𝐵𝑇= 5 ，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝑇= 90°，进而利用勾股定理即可求得𝐶𝑇= 12，
从而即可求解．
【详解】解：如图2 中，延长𝐶𝐷 到T，使得𝐷𝑇= 𝐶𝐷 ，连接𝐵𝑇 ．
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由（1）可知△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝑇，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝑇= 5 ，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝑇= 90°，
∴𝐶𝑇= √𝐵𝐶2 −𝐵𝑇2 = 12，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝑇= 6，
∴𝑆△
𝐴𝐶𝐵= 𝑆△
𝐴𝐷𝐶+ 𝑆△
𝐶𝐷𝐵=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐶+
1
2 𝐵𝑇⋅𝐶𝐷=
1
2 × 5 × 6 +
1
2 × 5 × 6 = 30．
【变式1-9】
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，存在2种情况，△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形和钝角三角形时，高𝐴𝐷分别在△𝐴𝐵𝐶的内
部和外部，结合勾股定理即可求解．
【详解】如下图，△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形，
∵𝐴𝐷是高，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∵𝐴𝐵= 15，𝐴𝐷= 12，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐷中，𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √152 −122 = 9，
∵𝐴𝐶= 13，𝐴𝐷= 12，
∴在Rt △𝐴𝐶𝐷中，𝐷𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √132 −122 = 5，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为：15 + 13 + 9 + 5 = 42；
如下图，△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形，
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则△𝐴𝐵𝐶的周长为：15 + 13 + 9 −5 = 32；
故选C．
【变式1-10】
【答案】(1)受影响，理由见解析
(2)火箭发射塔受影响的时间为36 分钟
【分析】（1）过点Q 作𝑄𝐻⊥𝐴𝑃于点H，只要计算𝑄𝐻的长与150 作比较，若比150 小，则受影响，反之，
则不受影响；
（2）设龙卷风行至点E 处开始影响火箭发射塔，在点F 处结束影响，连接𝑄𝐸，𝑄𝐹，勾股定理求出𝐸𝐻的长，
则可得𝐸𝐹的长，再除以其速度即得时间．
【详解】（1）受影响．理由如下：
过点Q 作𝑄𝐻⊥𝐴𝑃于点H，
∵∠𝐴𝑃𝐶= 45°，
∴∠𝐻𝑄𝑃= 90° −45° = 45°．
∴∠𝐻𝑄𝑃= ∠𝐴𝑃𝐶．
∴𝑃𝐻= 𝑄𝐻．
∵𝑃𝑄= 120√2km，在Rt △𝑃𝐻𝑄中，𝑃𝐻2 + 𝑄𝐻2 = 𝑃𝑄2，
∴𝑃𝐻= 𝑄𝐻= 120km < 150km．
∴火箭发射塔会受到大风的影响．
（2）设龙卷风行至点E 处开始影响火箭发射塔，在点F 处结束影响，连接𝑄𝐸，𝑄𝐹，则𝑄𝐸= 𝑄𝐹= 150km，
在Rt △𝑄𝐸𝐻中，𝐸𝐻= √𝑄𝐸2 −𝑄𝐻2 = √1502 −1202 = 90(km)．
∵𝑄𝐸= 𝑄𝐹，𝑄𝐻⊥𝐴𝑃，
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∴𝐹𝐻= 𝐸𝐻= 90km，
∴𝐸𝐹= 180km，
∴𝑡=
180
300 = 0.6（小时）= 36（分钟）．
∴火箭发射塔受影响的时间为36 分钟．
▌题型02 勾股定理的逆定理
【典例2】
【答案】B
【分析】由平方数，绝对值，算术平方根的非负性求解待定参数值，根据勾股定理逆定理判断．
【详解】由(𝑎−5)2 + |𝑏−12| + √𝑐−13 = 0，得𝑎−5 = 0, 𝑏−12 = 0, 𝑐−13 = 0，
∴𝑎= 5, 𝑏= 12, 𝑐= 13．
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
故选：B
【变式2-1】
【答案】B
【分析】根据勾股定理逆定理直接判断即可．
【详解】解：A．22 + 32 = 13 ≠42，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
B．32 + 42 = 52，故此选项能构成直角三角形，符合题意；
C．42 + 52 = 41 ≠62，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
D．(
1
3)2 + (
1
4)2 ≠(
1
5)2，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【变式2-2】
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股数．关键是掌握勾股数的定义：若𝑎, 𝑏, 𝑐满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2的三个正整数，称为
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勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、42 + 52 ≠62，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、52 + 72 ≠82，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、32 + 42 = 52，不是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、52 + 102 ≠132，是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2-3】
【答案】17，144，145
【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数= 2 ×组数+1，第二个数
= 2 ×组数× (组数+1)，第三个数= 2 ×组数× (组数+1) + 1，再把𝑛代入，整理即可得到答案．
【详解】第一组：3，4 =
32−1
2 ，5 = 4 + 1；
第二组：5，12 =
52−1
2 ，13 = 12 + 1；
…，
第四组为：11，
112−1
2
= 60，61.
…，
则第𝑛组第一个数为：2𝑛+ 1，第二个数为：2 × 𝑛× (𝑛+ 1) = 2𝑛(𝑛+ 1)，第三个数为：2 × 𝑛× (𝑛+ 1) + 1 =
2𝑛2 + 2𝑛+ 1．
∴第八组：17，
172−1
2
= 144，145
故答案为：17，144，145．
【变式2-4】
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也
可以利用勾股定理的逆定理．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：①∠𝐴= ∠𝐶−∠𝐵，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
∴2∠𝐶= 180°
∴∠𝐶= 90°，故△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
②𝑎2 = 𝑏2 −𝑐2，则𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2，故△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
③𝑎: 𝑏: 𝑐= 2: 3: 4，则𝑎2 + 𝑏2 ≠𝑐2，故△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形；
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④𝑎=
3
4 , 𝑏=
5
4 , 𝑐= 1，因为(
3
4)
2
+ 12 = (
5
4)
2
，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
⑤∵∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 2: 3，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
∴∠𝐶= 180° ×
3
1+2+3 = 90°，故△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
⑥∵∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，
∴∠𝐵=
1
2 ∠𝐴，∠𝐶=
1
3 ∠𝐴
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
∴∠𝐴+
1
2 ∠𝐴+
1
3 ∠𝐴= 180°
∴∠𝐴= (
1080
11 ) °，故不是直角三角形；
综上所述，是直角三角形的个数有4 个，
故选：C．
【变式2-5】
【答案】B
【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理判定①②④，根据三角形内角和定理判断③，即可求解．
【详解】①错误，因为没有说明3、4是直角边，还是斜边；
②错误，三角形的三边𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2，则∠𝐵= 90°；
③正确，∵∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶= 1：5：6，∴∠𝐶= 90°，所以是直角三角形；
④正确，设𝑎= 𝑘，𝑏= 2𝑘，𝑐= √5𝑘，
则𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
∴是直角三角形．
故选B．
【变式2-6】
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出
ABC
各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出
ABC
的形状即可．
【详解】解：由图形可知：
2
2
2
4
3
25
AB
；
2
2
2
2
4
20
AC =
+
=
；
2
2
2
2
1
5
BC =
+
=
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
∴
ABC
是直角三角形．
故选：A．
【变式2-7】
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小
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边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A．
2
2
2
7
24
25
+
=
，
2
2
2
15
20
24
+
，故A 不正确；
B．
2
2
2
7
24
25
+
=
，
2
2
2
15
20
25
+
=
，故B 正确；
C．
2
2
2
7
20
25
+
，
2
2
2
24
15
25
+
，故C 不正确；
D．
2
2
2
7
15
20
+
，
2
2
2
20
24
25
+
，故D 不正确．
故选：B．
【变式2-8】
【答案】A
【分析】连接𝐴𝐶，先根据勾股定理求出𝐴𝐶的长，再由勾股定理的逆定理判断出△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，进而
可得出结论．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐶．
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，即∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 5．
∵𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 13，𝐴𝐶= 5，
∴𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2，
∴△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，
∴𝑆阴影= 𝑆△𝐴𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 5 × 12 −
1
2 × 3 × 4 = 30 −6 = 24．
故选：A．
【变式2-9】
【答案】B
【分析】在△𝐴𝐵𝐶中，利用勾股定理求出𝐴𝐶的长，再由勾股定理逆定理判断△𝐴𝐶𝐷的形状，由三角形面积
公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 9m，𝐵𝐶= 12m，，
𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √92 + 122 = 15(m)
在△𝐴𝐶𝐷中，𝐶𝐷= 8m，𝐴𝐷= 17m，
𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 64 + 225 = 289，𝐴𝐷2 = 172 = 289
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∴𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2
∴△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，且∠𝐴𝐶𝐷= 90°．
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+
1
2 𝐴𝐶⋅𝐶𝐷=
1
2 × 9 × 12 +
1
2 × 8 × 15 = 114(m2)
∴这块菜地的面积是114m2
故选：B
▌题型03 勾股定理的证明
【典例3】
【答案】C
【分析】根据等面积法证明即可．
【详解】解：A．∵4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑏−𝑎)2 = 𝑐2，∴整理得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，即能证明勾股定理，故本选项不符合
题意；
B．∵
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2 +
1
2 𝑎𝑏=
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏)，∴整理得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题
意；
C．2𝑎𝑏+ 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)2， 根据图形不能证明勾股定理；
D．∵4 ×
1
2 𝑎𝑏+ 𝑐2 = (𝑎+ 𝑏)2，∴整理得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式3-1】
【答案】A
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的
值，然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解．
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【详解】根据勾股定理可得a2+b2=13
四个直角三角形的面积是：
1
2ab×4=13−1=12，即：2ab=12
则(a−b)2=a2−2ab+b2=13−12=1
故选：A
【变式3-2】
【答案】D
【分析】利用SAS可证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，故①正确；由全等三角形的性质可得出∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵=
∠𝐶𝐸𝐷，求出∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据𝑆梯形𝐴𝐵𝐷𝐸−
𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸列式，可得④正确；整理后可得𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，即⑤正确．
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，
∴𝐷𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐷= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸中，{
𝐴𝐵＝𝐶𝐷
∠𝐵＝∠𝐷＝90°
𝐵𝐶＝𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)，故①正确；
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，
∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 90°，故②正确；
∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，
∴梯形𝐴𝐵𝐷𝐸的面积是
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 (𝑎+ 𝑏)2，故③正确；
∵𝑆梯形𝐴𝐵𝐷𝐸−𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴
1
2 (𝑎+ 𝑏)2 −
1
2 𝑐2 = 2 ×
1
2 𝑎𝑏，故④正确；
整理得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；
正确的结论个数是5 个，
故选：D．
【变式3-3】
【答案】（1）𝑐2 ，4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2 ；（2）𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ；（3）1.
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【分析】（1）方法1、根据正方形面积公式求出即可；
方法2、根据大正方形面积等于4 个直角三角形面积加小正方形的面积，即可得出答案；
（2）根据大正方形面积相等，即可得出等式；
（3）由大正方形的面积是25 可得𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2=25，利用完全平分公式，可得(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 49 ，
则2ab=24，根据小正方形的面积(𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2 ，即可解答．
【详解】解：（1）方法1：大正方形的边长是𝑐，面积是𝑐2 ，
方法2：大正方形面积等于4 个直角三角形面积加小正方形的面积，即4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2 ；
（2）4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2=𝑐2
2𝑎𝑏+ (𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2) =𝑐2
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ；
（3）∵正方形的面积是25，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2=25，
∵(𝑎+ 𝑏)2 = 49
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 49，2ab=24，
∴小正方形的面积：(𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2=25-24=1.
故答案为（1）𝑐2 ，4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2 ；（2）𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ；（3）1.
【变式3-4】
【答案】（1）见解析；（2）
12
5 ；
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积
相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
【详解】（1）S 梯形ABCD=
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 𝑎2 + 𝑎𝑏+
1
2 𝑏2，S 梯形ABCD=2 ×
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2
∴
1
2a2＋ab＋
1
2b2=2×
1
2ab＋
1
2c2
即a2＋b2=c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为√32 + 42=5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为
1
2×3×4＝
1
2×5×h，
∴h＝
12
5
故答案为
12
5 ；
【变式3-5】
【答案】D
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【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为𝑎、𝑏，斜边为𝑐，根据题意“空白部分的面积是11，整个
图形（连同空白部分）的面积是25”可得{
𝑐2 −2 ×
1
2 𝑎𝑏= 11
𝑐2 + 2 ×
1
2 𝑎𝑏= 25
，将两式相加并求解即可获得答案．
【详解】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为𝑎、𝑏，斜边为𝑐，
∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，
∴可有{
𝑐2 −2 ×
1
2 𝑎𝑏= 11
𝑐2 + 2 ×
1
2 𝑎𝑏= 25
，
解得𝑐2 = 18，
解得𝑐= 3√2或𝑐= −3√2（不合题意，舍去），
∴大正方形的边长是3√2．
故选：D．
