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专题01 勾股定理与逆定理常见题型
（题型突破·举一反三）
题型01 利用勾股定理求线段长度
题型02 勾股定理的逆定理
题型03 勾股定理的证明
▌题型01 利用勾股定理求线段长度
1．勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
2．表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c ，那么
2
2
2
a
b
c
+
=
3．变式：①a²=c²- b²；②b²=c²- a²
4．适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在
应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
【典例1】（25-26 八年级上·重庆·期中）小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟
到达书店（如图所示），已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（ ）
A．880米
B．1100米
C．1540米
D．1760米
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【答案】B
【分析】考查了勾股定理在实际生活中的应用．利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速
度，再求小明家距离书店的距离．
【详解】解：∵小明家到书店所用的时间为√62 + 82 = 10分钟，
又∵小明的速度为
660
6 = 110米/分钟，
故小明家距离书店的距离为110 × 10 = 1100米．
故选：B．
【变式1-1】如图，在边长为1 个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（ ）
A．AB
B．BC
C．AE
D．CD
【答案】C
【分析】根据勾股定理可计算给出线段的长，则可得出答案．
【详解】解：由勾股定理得，𝐴𝐵= √22 + 42 = 2√5，𝐵𝐶= √32 + 42 = 5，𝐴𝐸= √12 + 42 = √17，𝐶𝐷=
√32 + 32 = 3√2，
∴5 > 2√5 > 3√2 > √17，
∴最短的线段是AE．
故选：C．
【变式1-2】若一直角三角形两边的长为12 和5，则第三边的平方为（ ）
A．13
B．169
C．169 或225
D．169 或119
【答案】D
【分析】根据勾股定理和题意分类讨论即可．
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【详解】解：①当一直角三角形两条直角边的长为12 和5 时，
由勾股定理得，第三边的长的平方为13，
②当一直角三角形的斜边和一条直角边分别为12 和5 时，
由勾股定理得，第三边的长的平方为119，
故选：D．
【变式1-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 4，𝑃为直线𝐴𝐵上一动点，连接𝑃𝐶，则线段𝑃𝐶
长度的最小值是 ．
【答案】
12
5
【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是𝑎，𝑏，斜边长为𝑐，
那么𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．过点𝐶作𝐶𝑃⊥𝐴𝐵于𝑃，根据勾股定理求出𝐴𝐵，根据三角形的面积公式求出𝑃𝐶即可．
【详解】解：过点𝐶作𝐶𝑃⊥𝐴𝐵于𝑃，
由垂线段最短可知，此时𝑃𝐶最小，
由勾股定理得，𝐴𝐵= √𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = √42 + 32 = 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝑃𝐶，即
1
2 × 3 × 4 =
1
2 × 5 × 𝑃𝐶，
解得，𝑃𝐶=
12
5 ，
故答案为：
12
5 ．
【变式1-4】如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个
点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△𝐴𝐵𝐶全等的三角形是（ ）
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A．△𝐴𝐸𝐺
B．△𝐴𝐷𝐹
C．△𝐷𝐹𝐺
D．△𝐷𝐸𝐺
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，由勾股定理分别求出每个三角形的边长，再根据全等三
角形的判定方法SSS逐一判断即可求解，掌握勾股定理和全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理可得，𝐵𝐶= √2，𝐴𝐶= √5，𝐴𝐵= 3，
A、在△𝐴𝐸𝐺中，𝐸𝐺= √2，𝐴𝐺= 2，𝐴𝐸= √10，与△𝐴𝐵𝐶三边不对应相等，故和△𝐴𝐵𝐶不会全等，该选项
不合题意；
B、在△𝐴𝐷𝐹中，𝐴𝐷= √2，𝐷𝐹= 3，𝐴𝐹= √17，与△𝐴𝐵𝐶三边不对应相等，故和△𝐴𝐵𝐶不会全等，该选项
不合题意；
C、在△𝐷𝐹𝐺中，𝐷𝐺= √2，𝐹𝐺= √5，𝐷𝐹= 3，与△𝐴𝐵𝐶三边对应相等，故和△𝐴𝐵𝐶会全等，该选项符合
题意；
D、在△𝐷𝐸𝐺中，𝐷𝐺= √2，𝐸𝐺= √2，𝐷𝐸= 2，与△𝐴𝐵𝐶三边不对应相等，故和△𝐴𝐵𝐶不会全等，该选项
不合题意；
故选：C．
【变式1-5】如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C 在正方形网格的格点上，𝐴𝐵2 = 5，𝐴𝐶= 2，
𝐵𝐶2 = 13，
(1)请在网格中画出△𝐴𝐵𝐶；
(2)过点C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，求𝐴𝐷2．
【答案】(1)见详解；(2)
16
13
【分析】（1）利用勾股定理及数形结合的思想画出三角形即可；
（2）利用面积法即可解决问题．
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【详解】（1）解：如图，先作𝐴𝐶= 2，再作取点𝐵，使𝐴𝐵2 = 5，𝐵𝐶2 = 13，
∴△𝐴𝐵𝐶即为所求；
（2）解:如图，𝐴𝐶= 2, 𝐴𝐶边上的高为2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶× 2 =
1
2 × 2 × 2 = 2，
𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷，所以𝐴𝐷2 = 16
13．
答：𝐴𝐷的长为
16
13．
【变式1-6】（25-26 八年级上·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树𝐴𝐵上觅食，它的巢筑
在与该树水平距离（𝐵𝐷）为8m的一棵9m高的大树𝐷𝑀上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的𝐶处，当它听到巢中
幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2.5m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A．1s
B．3s
C．4s
D．6s
【答案】C
【分析】过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑀𝐷于𝐸，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑀𝐷于𝐸，如图所示：
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由题意可知，𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 2，𝐴𝐸= 𝐵𝐷= 8, 𝐶𝐸= 6，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为𝐴𝐶，由勾股定理可得𝐴𝐶= √𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 =
√62 + 82 = 10，
∴它要飞回巢中所需的时间至少是10 ÷ 2.5 = 4（m/s），
故选：C．
【变式1-7】消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，
一架云梯𝐴𝐵斜靠在墙𝐴𝑂上，已知𝐴𝑂= 24米，云梯的长度比云梯底端到墙的距离长18 米．
(1)求云梯𝐴𝐵的长度．
(2)现云梯顶端下方4 米C 处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点C 处，则云梯底端在水平方向上滑动距
离𝐵𝐷为多少米？
【答案】(1)25 米；(2)8 米
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
（1）设𝐴𝐵= 𝑥米，则𝑂𝐵= (𝑥−18)米，根据勾股定理可得：𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 𝐴𝐵2，列出方程求解即可；
（2）根据题意可得：𝐴𝐶= 4米，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 25米，𝑂𝐵= 𝐴𝐵−18 = 7米，则𝑂𝐶= 𝑂𝐴−𝐴𝐶= 20米，根据
勾股定理可得𝑂𝐷= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐶2 = 15米，最后根据𝐵𝐷= 𝑂𝐷−𝑂𝐵即可求解．
【详解】（1）解：设𝐴𝐵= 𝑥米，则𝑂𝐵= (𝑥−18)米，
根据勾股定理可得：𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 𝐴𝐵2，
∴242 + (𝑥−18)2 = 𝑥2，
解得：𝑥= 25，
∴云梯𝐴𝐵的长度为25 米．
（2）解：根据题意可得：𝐴𝐶= 4米，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 25米，𝑂𝐵= 𝐴𝐵−18 = 7米，
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐴−𝐴𝐶= 20米，
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根据勾股定理可得：𝑂𝐷= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐶2 = √252 −202 = 15（米），
∴𝐵𝐷= 𝑂𝐷−𝑂𝐵= 15 −7 = 8（米）．
即云梯底端在水平方向上滑动距离𝐵𝐷为8 米．
【变式1-8】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 13，D 为𝐴𝐵的中点，𝐷𝐶⊥𝐴𝐶 ．求△𝐴𝐵𝐶 的面积．
【答案】30．
【分析】根据△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝑇得𝐴𝐶= 𝐵𝑇= 5 ，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝑇= 90°，进而利用勾股定理即可求得𝐶𝑇= 12，
从而即可求解．
【详解】解：如图2 中，延长𝐶𝐷 到T，使得𝐷𝑇= 𝐶𝐷 ，连接𝐵𝑇 ．
由（1）可知△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝑇，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝑇= 5 ，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝑇= 90°，
∴𝐶𝑇= √𝐵𝐶2 −𝐵𝑇2 = 12，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝑇= 6，
∴𝑆△
𝐴𝐶𝐵= 𝑆△
𝐴𝐷𝐶+ 𝑆△
𝐶𝐷𝐵=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐶+
1
2 𝐵𝑇⋅𝐶𝐷=
1
2 × 5 × 6 +
1
2 × 5 × 6 = 30．
【变式1-9】△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 15，𝐴𝐶= 13，高𝐴𝐷= 12，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ）
A．32
B．42
C．32 或42
D．38 或42
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，存在2种情况，△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形和钝角三角形时，高𝐴𝐷分别在△𝐴𝐵𝐶的内
部和外部，结合勾股定理即可求解．
【详解】如下图，△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形，
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∵𝐴𝐷是高，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∵𝐴𝐵= 15，𝐴𝐷= 12，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐷中，𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √152 −122 = 9，
∵𝐴𝐶= 13，𝐴𝐷= 12，
∴在Rt △𝐴𝐶𝐷中，𝐷𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √132 −122 = 5，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为：15 + 13 + 9 + 5 = 42；
如下图，△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形，
则△𝐴𝐵𝐶的周长为：15 + 13 + 9 −5 = 32；
故选C．
【变式1-10】（25-26 八年级上·河南周口·期中）如图，公路𝐴𝐵和公路𝐶𝐷在点P 处交汇，且∠𝐴𝑃𝐶= 45°，
点Q 处有一座火箭发射塔，𝑃𝑄= 120√2km，假设龙卷风来临时，周围150km 内都会受到大风影响．
(1)若龙卷风恰好沿公路𝐴𝐵由B 向A 处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由；
(2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？
【答案】(1)受影响，理由见解析
(2)火箭发射塔受影响的时间为36 分钟
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【分析】（1）过点Q 作𝑄𝐻⊥𝐴𝑃于点H，只要计算𝑄𝐻的长与150 作比较，若比150 小，则受影响，反之，
则不受影响；
（2）设龙卷风行至点E 处开始影响火箭发射塔，在点F 处结束影响，连接𝑄𝐸，𝑄𝐹，勾股定理求出𝐸𝐻的长，
则可得𝐸𝐹的长，再除以其速度即得时间．
【详解】（1）受影响．理由如下：
过点Q 作𝑄𝐻⊥𝐴𝑃于点H，
∵∠𝐴𝑃𝐶= 45°，
∴∠𝐻𝑄𝑃= 90° −45° = 45°．
∴∠𝐻𝑄𝑃= ∠𝐴𝑃𝐶．
∴𝑃𝐻= 𝑄𝐻．
∵𝑃𝑄= 120√2km，在Rt △𝑃𝐻𝑄中，𝑃𝐻2 + 𝑄𝐻2 = 𝑃𝑄2，
∴𝑃𝐻= 𝑄𝐻= 120km < 150km．
∴火箭发射塔会受到大风的影响．
（2）设龙卷风行至点E 处开始影响火箭发射塔，在点F 处结束影响，连接𝑄𝐸，𝑄𝐹，则𝑄𝐸= 𝑄𝐹= 150km，
在Rt △𝑄𝐸𝐻中，𝐸𝐻= √𝑄𝐸2 −𝑄𝐻2 = √1502 −1202 = 90(km)．
∵𝑄𝐸= 𝑄𝐹，𝑄𝐻⊥𝐴𝑃，
∴𝐹𝐻= 𝐸𝐻= 90km，
∴𝐸𝐹= 180km，
∴𝑡=
180
300 = 0.6（小时）= 36（分钟）．
∴火箭发射塔受影响的时间为36 分钟．
▌题型02 勾股定理的逆定理
1.概念内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边
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2.注意事项：
（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若
2
2
a
b
+
=
2c 则以a ，b ，c
为三边的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b ，c 及
2
2
2
a
b
c
+
=
只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满
足
2
2
2
a
c
b
+
=
，那么以a，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边
【典例2】
（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎, 𝑏, 𝑐,满足(𝑎−5)2 + |𝑏−12| + √𝑐−13 = 0，
则△𝐴𝐵𝐶是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【分析】由平方数，绝对值，算术平方根的非负性求解待定参数值，根据勾股定理逆定理判断．
【详解】由(𝑎−5)2 + |𝑏−12| + √𝑐−13 = 0，得𝑎−5 = 0, 𝑏−12 = 0, 𝑐−13 = 0，
∴𝑎= 5, 𝑏= 12, 𝑐= 13．
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
故选：B
【变式2-1】下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，3，4
B．3，4，5
C．4，5，6
D．
1
3，
1
4，
1
5
【答案】B
【分析】根据勾股定理逆定理直接判断即可．
【详解】解：A．22 + 32 = 13 ≠42，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
B．32 + 42 = 52，故此选项能构成直角三角形，符合题意；
C．42 + 52 = 41 ≠62，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
D．(
1
3)2 + (
1
4)2 ≠(
1
5)2，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【变式2-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，
是“勾股数”的是（ ）
A．4，5，6
B．5，7，8
C．3，4，5
D．5，10，13
【答案】C
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【分析】此题主要考查了勾股数．关键是掌握勾股数的定义：若𝑎, 𝑏, 𝑐满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2的三个正整数，称为
勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、42 + 52 ≠62，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、52 + 72 ≠82，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、32 + 42 = 52，不是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、52 + 102 ≠132，是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2-3】观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上
面的规律，写出第8 组勾股数： ．
【答案】17，144，145
【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数= 2 ×组数+1，第二个数
= 2 ×组数× (组数+1)，第三个数= 2 ×组数× (组数+1) + 1，再把𝑛代入，整理即可得到答案．
【详解】第一组：3，4 =
32−1
2 ，5 = 4 + 1；
第二组：5，12 =
52−1
2 ，13 = 12 + 1；
…，
第四组为：11，
112−1
2
= 60，61.
…，
则第𝑛组第一个数为：2𝑛+ 1，第二个数为：2 × 𝑛× (𝑛+ 1) = 2𝑛(𝑛+ 1)，第三个数为：2 × 𝑛× (𝑛+ 1) + 1 =
2𝑛2 + 2𝑛+ 1．
∴第八组：17，
172−1
2
= 144，145
故答案为：17，144，145．
【变式2-4】已知△𝐴𝐵𝐶中，a、b、c 分别是∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶的对边，下列条件能判断△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的
个数有（ ）
①∠𝐴= ∠𝐶−∠𝐵；②𝑎2 = 𝑏2 −𝑐2；③𝑎: 𝑏: 𝑐= 2: 3: 4；④𝑎=
3
4 , 𝑏=
5
4 , 𝑐= 1；⑤∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 2: 3；
⑥∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也
可以利用勾股定理的逆定理．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：①∠𝐴= ∠𝐶−∠𝐵，
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∴∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
∴2∠𝐶= 180°
∴∠𝐶= 90°，故△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
②𝑎2 = 𝑏2 −𝑐2，则𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2，故△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
③𝑎: 𝑏: 𝑐= 2: 3: 4，则𝑎2 + 𝑏2 ≠𝑐2，故△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形；
④𝑎=
3
4 , 𝑏=
5
4 , 𝑐= 1，因为(
3
4)
2
+ 12 = (
5
4)
2
，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
⑤∵∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 2: 3，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
∴∠𝐶= 180° ×
3
1+2+3 = 90°，故△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
⑥∵∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，
∴∠𝐵=
1
2 ∠𝐴，∠𝐶=
1
3 ∠𝐴
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
∴∠𝐴+
1
2 ∠𝐴+
1
3 ∠𝐴= 180°
∴∠𝐴= (
1080
11 ) °，故不是直角三角形；
综上所述，是直角三角形的个数有4 个，
故选：C．
【变式2-5】（25-26 八年级上·山东济宁·期中）给出下列命题：其中，正确命题的个数为( )
①在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；
②三角形的三边𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2，则∠𝐶= 90°；
③△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶= 1：5：6，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
④△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎：𝑏：𝑐= 1：2：√5，则这个三角形是直角三角形．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理判定①②④，根据三角形内角和定理判断③，即可求解．
【详解】①错误，因为没有说明3、4是直角边，还是斜边；
②错误，三角形的三边𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2，则∠𝐵= 90°；
③正确，∵∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶= 1：5：6，∴∠𝐶= 90°，所以是直角三角形；
④正确，设𝑎= 𝑘，𝑏= 2𝑘，𝑐= √5𝑘，
则𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
∴是直角三角形．
故选B．
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【变式2-6】如图，图中小正方形的边长都为1，
ABC
的顶点都在格点上，则
ABC
是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法判断
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出
ABC
各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出
ABC
的形状即可．
【详解】解：由图形可知：
2
2
2
4
3
25
AB
；
2
2
2
2
4
20
AC =
+
=
；
2
2
2
2
1
5
BC =
+
=
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
∴
ABC
是直角三角形．
故选：A．
【变式2-7】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小
边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A．
2
2
2
7
24
25
+
=
，
2
2
2
15
20
24
+
，故A 不正确；
B．
2
2
2
7
24
25
+
=
，
2
2
2
15
20
25
+
=
，故B 正确；
C．
2
2
2
7
20
25
+
，
2
2
2
24
15
25
+
，故C 不正确；
D．
2
2
2
7
15
20
+
，
2
2
2
20
24
25
+
，故D 不正确．
故选：B．
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【变式2-8】（25-26 八年级上·山东临沂·期中）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，
𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 13，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，则阴影部分的面积为（ ）
A．24
B．36
C．48
D．12
【答案】A
【分析】连接𝐴𝐶，先根据勾股定理求出𝐴𝐶的长，再由勾股定理的逆定理判断出△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，进而
可得出结论．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐶．
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，即∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 5．
∵𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 13，𝐴𝐶= 5，
∴𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2，
∴△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，
∴𝑆阴影= 𝑆△𝐴𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 5 × 12 −
1
2 × 3 × 4 = 30 −6 = 24．
故选：A．
【变式2-9】（25-26 八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地𝐴𝐵𝐶𝐷，测
得𝐴𝐵= 9m，𝐵𝐶= 12m，𝐶𝐷= 8m，𝐴𝐷= 17m，且∠𝐴𝐵𝐶= 90°，这块菜地的面积是（ ）
A．48m2
B．114m2
C．122m2
D．158m2
【答案】B
【分析】在△𝐴𝐵𝐶中，利用勾股定理求出𝐴𝐶的长，再由勾股定理逆定理判断△𝐴𝐶𝐷的形状，由三角形面积
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公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 9m，𝐵𝐶= 12m，，
𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √92 + 122 = 15(m)
在△𝐴𝐶𝐷中，𝐶𝐷= 8m，𝐴𝐷= 17m，
𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 64 + 225 = 289，𝐴𝐷2 = 172 = 289
∴𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2
∴△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，且∠𝐴𝐶𝐷= 90°．
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+
1
2 𝐴𝐶⋅𝐶𝐷=
1
2 × 9 × 12 +
1
2 × 8 × 15 = 114(m2)
∴这块菜地的面积是114m2
故选：B
▌题型03 勾股定理的证明
1.基本方法：等面积法，即用两种方法表示同一个图形的面积，得到两个不一样的式子，建立等式，得到结
论。
2.常见证明方法：
赵爽弦图
毕达哥拉斯证法
加菲尔德证法
【典例3】（25-26 八年级上·安徽六安·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证
明勾股定理的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等面积法证明即可．
【详解】解：A．∵4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑏−𝑎)2 = 𝑐2，∴整理得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，即能证明勾股定理，故本选项不符合
题意；
B．∵
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2 +
1
2 𝑎𝑏=
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏)，∴整理得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题
意；
C．2𝑎𝑏+ 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)2， 根据图形不能证明勾股定理；
D．∵4 ×
1
2 𝑎𝑏+ 𝑐2 = (𝑎+ 𝑏)2，∴整理得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式3-1】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一
个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，
b，那么(a-b)2 的值是( )
A．1
B．2
C．12
D．13
【答案】A
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的
值，然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解．
【详解】根据勾股定理可得a2+b2=13
四个直角三角形的面积是：
1
2ab×4=13−1=12，即：2ab=12
则(a−b)2=a2−2ab+b2=13−12=1
故选：A
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【变式3-2】（25-26 八年级上·河南驻马店·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐷𝐸中，𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐸，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，点𝐶是
边𝐵𝐷上一点，𝐵𝐶= 𝐷𝐸= 𝑎，𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 𝑏，𝐴𝐶= 𝐶𝐸= 𝑐．下列结论：①△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸；②∠𝐴𝐶𝐸= 90°；
③四边形𝐴𝐵𝐷𝐸的面积是
1
2 (𝑎+ 𝑏)2；④
1
2 (𝑎+ 𝑏)2 −
1
2 𝑐2 = 2 ×
1
2 𝑎𝑏；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确
的结论个数是（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】D
【分析】利用SAS可证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，故①正确；由全等三角形的性质可得出∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵=
∠𝐶𝐸𝐷，求出∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据𝑆梯形𝐴𝐵𝐷𝐸−
𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸列式，可得④正确；整理后可得𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，即⑤正确．
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，
∴𝐷𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐷= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸中，{
𝐴𝐵＝𝐶𝐷
∠𝐵＝∠𝐷＝90°
𝐵𝐶＝𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)，故①正确；
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，
∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 90°，故②正确；
∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，
∴梯形𝐴𝐵𝐷𝐸的面积是
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 (𝑎+ 𝑏)2，故③正确；
∵𝑆梯形𝐴𝐵𝐷𝐸−𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴
1
2 (𝑎+ 𝑏)2 −
1
2 𝑐2 = 2 ×
1
2 𝑎𝑏，故④正确；
整理得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；
正确的结论个数是5 个，
故选：D．
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【变式3-3】用图1 中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2 的大正方形．
解答下列问题：
（1）请用含𝑎、𝑏、𝑐的代数式表示大正方形的面积.
方法1： ；方法2： .
（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导𝑎、𝑏、𝑐之间满足的关系式.
（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且(𝑎+ 𝑏)2 = 49，求小正方形的面积.
【答案】（1）𝑐2 ，4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2 ；（2）𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ；（3）1.
【分析】（1）方法1、根据正方形面积公式求出即可；
方法2、根据大正方形面积等于4 个直角三角形面积加小正方形的面积，即可得出答案；
（2）根据大正方形面积相等，即可得出等式；
（3）由大正方形的面积是25 可得𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2=25，利用完全平分公式，可得(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 49 ，
则2ab=24，根据小正方形的面积(𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2 ，即可解答．
【详解】解：（1）方法1：大正方形的边长是𝑐，面积是𝑐2 ，
方法2：大正方形面积等于4 个直角三角形面积加小正方形的面积，即4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2 ；
（2）4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2=𝑐2
2𝑎𝑏+ (𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2) =𝑐2
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ；
（3）∵正方形的面积是25，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2=25，
∵(𝑎+ 𝑏)2 = 49
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 49，2ab=24，
∴小正方形的面积：(𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2=25-24=1.
故答案为（1）𝑐2 ，4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2 ；（2）𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ；（3）1.
【变式3-4】（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗
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称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角
边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×
1
2ab＋(a－b)2，所以4×
1
2ab＋
(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，
则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC 的两直角边长为3 和4，则斜边上的高为 ．
【答案】（1）见解析；（2）
12
5 ；
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积
相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
【详解】（1）S 梯形ABCD=
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 𝑎2 + 𝑎𝑏+
1
2 𝑏2，S 梯形ABCD=2 ×
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2
∴
1
2a2＋ab＋
1
2b2=2×
1
2ab＋
1
2c2
即a2＋b2=c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为√32 + 42=5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为
1
2×3×4＝
1
2×5×h，
∴h＝
12
5
故答案为
12
5 ；
【变式3-5】“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中
空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（ ）
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A．2√5
B．3√3
C．4√2
D．3√2
【答案】D
【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为𝑎、𝑏，斜边为𝑐，根据题意“空白部分的面积是11，整个
图形（连同空白部分）的面积是25”可得{
𝑐2 −2 ×
1
2 𝑎𝑏= 11
𝑐2 + 2 ×
1
2 𝑎𝑏= 25
，将两式相加并求解即可获得答案．
【详解】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为𝑎、𝑏，斜边为𝑐，
∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，
∴可有{
𝑐2 −2 ×
1
2 𝑎𝑏= 11
𝑐2 + 2 ×
1
2 𝑎𝑏= 25
，
解得𝑐2 = 18，
解得𝑐= 3√2或𝑐= −3√2（不合题意，舍去），
∴大正方形的边长是3√2．
故选：D．
