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1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 勾股定理 常考题型·精准突破 题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积（重） 题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长（高频） 题型3 等面积法求直接斜边上的高问题（高频） 题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型5 利用勾股定理证明线段平方关系（难） 题型6 勾股定理的验证方法（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，以ABC 的三边为边向外作正方 形， 1 2 3 , , S S S 分别表示这三个正方形的面积．若 1 3 6, 10 S S = = ，则 2 S 的值为_____． 【答案】16 【分析】根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵ 90 ACB = ， ∴由勾股定理可得 2 2 2 AC BC AB + = ， ∵以ABC 的三边为边向外作正方形， 1 2 3 , , S S S 分别表示这三个正方形的面积， ∴ 1 3 2 S S S + = ， ∵ 1 3 6, 10 S S = = ， ∴ 2 1 3 16 S S S = + = ． 2．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D 的面积分别是6 ，9，4 ，6 ，则正方形G 的面积是________． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】25 【分析】根据正方形的面积并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D 的面积分别是6 ，9，4 ， 6 ， ∴ 6 9 15 E A B S S S = + = + = 正方形 正方形 正方形 ， 4 6 10 F C D S S S = + = + = 正方形 正方形 正方形 ， ∴ 15 10 25 G E F S S S = + = + = 正方形 正方形 正方形 ． 3．（25-26 八年级下·福建南平·期中）如图，直角三角形ABC 两直角边长分别为5 和12，以直角三角形的三 边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以AC 为直径的半圆面积加上以 BC 为直径的半圆面积加上ABC 的面积，再减去以AB 为直径的半圆面积． 【详解】解：在Rt ABC △ 中， 5 AC = ， 12 BC = ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 5 12 13 AB AC BC = + = + = ， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 2 2 2 1 1 1 1 π π π 2 2 2 2 2 2 2 AC BC AB AC BC = + + − 2 2 2 1 5 1 12 1 1 13 π π 5 12 π 2 2 2 2 2 2 2 = + + − 169 169 π 30 π 8 8 = + − 3 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 30 = ． ◆题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长 4．（25-26 八年级下·河南开封·期中）已知ABC 中， 90 ABC = ， 3 AB = ， 4 BC = ，则AC =______． 【答案】 5 【分析】已知ABC 是直角三角形， 90 ABC = ，AC 是斜边，可根据勾股定理计算AC 的长度． 【详解】解：在ABC 中， 90 ABC = ， ∴由勾股定理得： 2 2 2 AC AB BC = + ， 将 3 AB = ， 4 BC = 代入得： 2 2 2 3 4 9 16 25 AC = + = + = ， ∵线段长度为正数， ∴ 25 5 AC = = ． 5．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是8和15，则这个三角形的周 长为_______． 【答案】40 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为x ， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为8和15， ∴由勾股定理得 2 2 2 8 15 x = + ，解得： 17 x = ， ∵边长为正数， ∴ 17 = x ， ∴三角形的周长为 8 15 17 40 + + = ． 6． （25-26 八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为6cm，8cm ，那么该直角三角形的斜边长为______ cm． 【答案】10或8/8 或10 【分析】分类讨论，分8cm 是直角边和8cm 是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可得到斜边长. 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当8cm 为直角边时，6cm也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ( ) 2 2 6 8 36 64 100 10 cm + = + = = ， ② 当8cm 为斜边时，斜边长即为8cm ，满足直角三角形三边关系，符合题意. ◆题型3 等面积法求直接斜边上的高问题 4 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7． （25-26 八年级上·全国·期末）在Rt ABC △ 中，两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，则第三边的长为______； 斜边上的高为______． 【答案】 5cm 12 cm 5 【分析】先利用勾股定理求解斜边长，再根据三角形面积的两种表示方法求解斜边上的高. 【详解】解：在Rt ABC △ 中，两条直角边长为3cm 和4cm ， ∴斜边长为 ( ) 2 2 3 4 9 16 25 5 cm + = + = = . 设斜边上的高为 cm h . 根据三角形面积公式，可得：1 1 3 4 5 2 2 h = ，解得 ( ) 12 cm 5 h = . 8．（25-26 八年级下·安徽淮南·期末）ABC 中． 20 AB = ， 15 AC = ，BC 边上的高为12，则BC 边的长为 ________． 【答案】25 或7 【分析】本题需分BC 边上的高在ABC 内部和外部两种情况讨论，利用勾股定理分别计算BD和DC 的长 度，即可求出BC 的长． 【详解】解：设BC 边上的高为AD，D 为垂足， ①当B 、C 在点D异侧时，高AD在ABC 内部， ∵AD是BC 边上的高， ∴ 90 ADB ADC = = ， ∵ 20 AB = ， 15 AC = ， 12 AD = ， ∴ 2 2 2 2 20 12 16 BD AB AD = − = − = ， 2 2 2 2 15 12 9 DC AC AD = − = − = ， ∴ 16 9 25 BC BD DC = + = + = ； ②当B 、C 在点D同侧时，高AD在ABC 外部， ∵ 20 AB = ， 15 AC = ， 12 AD = ， 90 ADB ADC = = ， 5 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2 16 BD AB AD = − = ， 2 2 9 DC AC AD = − = ， ∴ 16 9 7 BC BD DC = − = −= ； 综上，BC 的长为25 或7 ． 9． （2026·江苏无锡·模拟预测）如图在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，CD AB ⊥ 于D，若 6 AC = ， 8 BC = ，则CD = ______． 【答案】4.8 【分析】利用勾股定理得出AB ，利用等面积法即可求出CD． 【详解】解：∵在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ， ∴ 6 AC = ， 8 BC = ， ∴ 2 2 10 AB AC BC = + = ， ∵CD AB ⊥ ， ∴1 1 2 2 AC BC CD AB = ， 即1 1 6 8 10 2 2CD = ， ∴ 4.8 CD = ． ◆题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 10．（25-26 八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC 中， 13 AB = ， 20 AC = ，AD BC ⊥ 于点D，E 为AD上任意一点，则 2 2 CE BE − =______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 Rt ABD 、Rt BED 、Rt ACD 、Rt CED 中，由勾股定理得出 2 2 2 2 AB BE AC CE − − = ，再代入求解即可． 【详解】证明：在 Rt ABD 中，由勾股定理，得 2 2 2 AB AD BD = + ①， 在 Rt BED 中，由勾股定理，得 2 2 2 BE BD DE = + ②， − ① ②得 2 2 2 2 AB BE AD DE − = − ． 6 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在 Rt ACD 中，由勾股定理，得 2 2 2 AC AD CD = + ③， 在 Rt CED 中，由勾股定理，得 2 2 2 CE CD DE = + ④， − ③ ④得 2 2 2 2 AC CE AD DE − = − ， 所以 2 2 2 2 AB BE AC CE − − = ， ∵ 13 AB = ， 20 AC = ， ∴ 2 2 2 2 2 2 20 13 231 CE BE AC AB − − = − = = ． 故答案为：231． 11． （25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC BD ⊥ ，相交于点O．若 3 6 AB CD = = ， 则 2 2 AD BC + = ______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 AD BC AO DO BO CO AB CD + = + + + = + ，进 而可得到结论． 【详解】解：∵ 3 6 AB CD = = ， ∴ 2 CD = ， ∵AC BD ⊥ ， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 AD BC AO DO BO CO + = + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 AO BO DO CO = + + + 2 2 AB CD = + 2 2 6 2 = + 40 = ． 故答案为：40． 12．（25-26 八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角AOB ，等腰直角 COD △ ， 90 , 3, 4 AOB COD AO CO = = = = ，连接 , AD BC 相交于点M，则 2 2 AC BD + = ______． 【答案】50 7 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明 AOD BOC ≌ 是解题的关键．设BC 交OA于点F，由等腰直角三角形的性质得 3 AO BO = = ， 4 DO CO = = ， 90 AOB COD = = ，可证明 AOD BOC = ，求得 2 2 2 18 AB AO BO = + = ， 2 2 2 32 CD DO CO = + = ，再证明 △AOD BOC ≌ ，得 OAD OBC = ，则 90 AMC OAD AFM OBC BFO = + = + = ，推导出 2 2 2 2 2 2 2 2 AC BD AB CD AM BM CM DM + = + = + + + ，求得 2 2 2 2 50 AC BD AB CD + = + = ，于是得到问题的答 案． 【详解】解：设BC 交OA于点F， ∵AOB 和 COD △ 都是等腰直角三角形， 90 AOB COD = = ， 3 AO = ， 4 CO = ， ∴ 3 AO BO = = ， 4 DO CO = = ， 90 AOD BOC AOC = = + ， ∴ 2 2 2 2 2 3 3 18 AB AO BO = + = + = ， 2 2 2 2 2 4 4 32 CD DO CO = + = + = ， 在AOD 和BOC 中， AO BO AOD BOC DO CO = = = ， ∴ ( ) AOD BOC SAS ≌ ， ∴ OAD OBC = ， ∵ AFM BFO = ， ∴ 90 AMC OAD AFM OBC BFO = + = + = ， ∴ 90 BMD AMB CMD = = = ， ∵ 2 2 2 AC AM CM = + ， 2 2 2 BD BM DM = + ， 2 2 2 AB AM BM = + ， 2 2 2 CD CM DM = + ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 AC BD AB CD AM BM CM DM + = + = + + + ， ∴ 2 2 2 2 18 32 50 AC BD AB CD + = + = + = ， 故答案为：50． ◆题型5 利用勾股定理证明线段平方关系 13．（25-26 八年级上·江苏盐城·期中）如图，CD为Rt ABC △ 的斜边AB 上的高，设CD h = ，AD m = ， BD n = ．求证： 2h mn = ． 8 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出 ( ) 2 2 2 2 2 h m h n m n + + + = + ，则可得出答案． 【详解】证明：在Rt ADC △ 中，根据勾股定理，得 2 2 2 AC h m = + ， 在Rt DBC 中，根据勾股定理，得 2 2 2 BC h n = + ， 在Rt ABC △ 中，根据勾股定理，得 2 2 2 AC BC AB = + ， ∵AB m n = + ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2 h m h n m n + + + = + ， ∴ 2h mn = ． 14．（25-26 八年级上·全国·单元复习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形ABCD是垂美四边形，请探究两组对边 2 2 AB CD + 与 2 2 AD BC + 之间的数量关系，并 说明理由； (2)如图②，分别以Rt ACB △ 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接 BE CG EG ， ， ，已知 4 5 AC AB = = ， ，求 2 GE ． 【答案】(1) 解：猜想： 2 2 2 2 AD BC AB CD + = + ．理由如下： ∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC BD ⊥ ， ∴ 90 AOD AOB BOC COD = = = = ， 由勾股定理，得 2 2 2 2 2 2 AD BC AO DO BO CO + = + + + ， 2 2 2 2 2 2 AB CD AO BO CO DO + = + + + ， ∴ 2 2 2 2 AD BC AB CD + = + ； (2)73 9 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得 2 2 2 2 AD BC AB CD + + ， 即可证明； （2）连接CG ，BE，只要证明四边形CGEB是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）连接CG ，BE，如图： ∵正方形ACFG 和正方形ABDE ， ∴ 90 CAG BAE = = ，AG AC = ，AB AE = ， ∴ CAG BAC BAE BAC + = + ，即 GAB CAE = ， 在GAB 和CAE 中，AG AC = ， GAB CAE = ，AB AE = ， ∴ ( ) SAS GAB CAE ≌ ， ∴ ABG AEC = ， 又∵ 90 AEC AME + = ， ∴ 90 ABG AME + = ， 又∵ BMC AME = ， ∴ 90 ABG BMC + = ， ∴CE BG ⊥ ， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（1）可知 2 2 2 2 CG BE CB GE + = + ， ∵ 4 AC = ， 5 AB = ， ∴由勾股定理，得 2 9 CB = ， 2 32 CG = ， 2 50 BE = ， ∴ 2 2 2 2 73 GE CG BE CB = + − = ． 15．（25-26 八年级上·全国·期中）如图，ABC 和ADE 都是等腰三角形，其中 , AB AC AD AE = = ，且 BAC DAE = ． 10 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，连接BE CD 、 ，求证：BE CD = ． (2)如图2，若 90 BAC DAE = = ，且C 点恰好落在DE 上，试探究 2 2 CD CE 、 和 2 CA 之间的数量关系，并加 以说明． 【答案】(1)见解析 (2) 2 2 2 2CA CD CE = + ，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明 ( ) ACD ABE SAS ≌ ，即可得证； （2）同（1）法得到 ACD ABE △ ≌△ ，进而推出BE DE ⊥ ，勾股定理求出 2 2 2 BC BE CE = + ，进而推出 2 2 2 2CA CD CE = + 即可． 【详解】（1）证明：∵ BAC DAE = ， ∴ BAC CAE DAE CAE + = + ，即 BAE CAD = ． 又∵ , AB AC AD AE = = ， ∴ ( ) ACD ABE SAS ≌ ， ∴CD BE = ． （2） 2 2 2 2CA CD CE = + 如图，连接BE． ∵ , 90 AD AE DAE = = ． ∴ 45 D AED = = ． 同（1）法可得： ACD ABE △ ≌△ ． ∴ , 45 BE CD BEA CDA = = = ． ∴ 45 45 90 BEC BEA AED = + = + = ，即BE DE ⊥ ． 在Rt BEC 中，由勾股定理可知： 2 2 2 BC BE CE = + ． ∴ 2 2 2 BC CD CE = + ， ∵ , 90 AB AC BAC = = ， ∴ 2 2 2 BC CA = ， ∴ 2 2 2 2CA CD CE = + ． ◆题型6 勾股定理的验证方法 11 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也 是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方 式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 2 2 2 a b c + = ． (1)请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若 4 a = ， 6 b = ，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4 个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已 知外围轮廓（实线）的周长为24， 3 OC = ，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为( ) 2 a b + ，大的正方形的面积又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ， ∴ ( ) 2 2 1 4 2 c ab a b + = + ， ∴ 2 2 2 2 2 c ab a b ab + = + + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． (2)28 (3)24 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为( ) 2 a b + ，大的正方形的面积又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ，联 立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c 的正方形的面积2 −个直角三角形的面积 2 1 2 2 c ab = − ，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出AB AC + 的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AC 的长，进而 确定出OA的长，求出三角形AOB面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积= 边长为c 的正方形的面积2 −个直角三角形的面积 2 1 2 2 c ab = − ， ∵ 4 a = ， 6 b = ， ∴空白部分的面积 2 2 1 4 6 2 4 6 28 2 = + − = ； （3）解：根据题意得： 3 OB OC = = ，( ) 4 24 AB AC + = ，即 6 AB AC + = ， 在Rt AOB 中，根据勾股定理得： 2 2 2 AB OA OB = + ，即( ) ( ) 2 2 2 6 3 3 AC AC − = + + ， 解得： 1 AC = ， 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 3 1 4 OA = + = ， ∴ 1 1 3 4 6 2 2 AOB S OA OB = = = △ ， ∴该风车状图案的面积 4 24 AOB S = = △ ． 17．（26-27 八年级·全国·暑假作业）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究 策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三 角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即 可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明： 2 2 2 a b c + = ； (2)【结论运用】如图2，已知ABC 是直角三角形， 90 C = ．若 5 BC = ，AB 的长比AC 的长大1，求AB 的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3 所示的三角形花圃ABC ，其中 13 AB = 米， 14 BC = 米， 15 AC = 米， 计划在这块花圃中起一道栅栏AD，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边BC 互相垂直，预计 栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为 2 ( ) a b + ，又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ， ∴( ) 2 2 1 4 2 a b c ab + = + ， ∴ 2 2 2 2 2 a b ab c ab + + = + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． (2)13 (3)600 元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为 2 ( ) a b + ，又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ，联立等式即可求 解； （2）由 1 AC AB = −，根据勾股定理得 2 2 2 AC BC AB + = ，代入已知条件可得 2 2 2 5 ( 1) AB AB = + − ，进而求解； （3）根据题意可得AD BC ⊥ ，设BD x = 米，则 ( ) 14 CD x − = 米，根据勾股定理可得 2 2 2 2 2 AD AB BD AC CD = − = − ，由此列方程解得 5 BD = 米，进而求出 12 AD = 米，最后计算学校修建这道 栅栏需要的投资. 13 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）略 （2）解：∵ABC 是直角三角形， 90 C = ． ∴ 2 2 2 AC BC AB + = ， 又∵AB 的长比AC 的长大1， ∴ 1 AC AB = −， ∴ 2 2 2 5 ( 1) AB AB = + − ， 解得 13 AB = ． （3）解：根据题意可得AD BC ⊥ ， 设BD x = 米，则 ( ) 14 CD x − = 米， 在Rt ABD 中， 2 2 2 AD BD AB + = ， 在Rt ACD 中， 2 2 2 AD CD AC + = ， ∴ 2 2 2 2 2 AD AB BD AC CD = − = − ，则 2 2 2 2 13 15 (14 ) x x − = − − ， 解得 5 x = ， ∴ 5 BD = 米， ∴ 2 2 2 2 13 5 12 AD AB BD = − = − = （米）， 学校修建这道栅栏需要投资：50 12 600 = （元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600 元． 18． （25-26 八年级下·广西南宁·阶段检测）[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止， 全世界发现勾股定理的证明方法约有400 种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用 三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为 2 1 ( ) 2 a b + 或者是 2 1 1 2 2 2 ab c + ，因此得 到 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 a b ab c + = + ，运用乘法公式展开整理得到 2 2 2 a b c + = ． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2 ，用4 个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是 一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图3，用4 个全等直角三角形拼成如图的正方形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形ABCD 14 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的面积为13，中间空白处的正方形EFGH 的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，求 2 ( ) a b + 的 值． 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ， ∴大正方形的面积可表示为 2 ( ) a b + ，也可表示为 2 1 4 2 ab c + ， ∴ 2 2 1 ( ) 4 2 a b ab c + = + ，即 2 2 2 2 2 a ab b ab c + + = + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． (2)25 【分析】（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）分别用a 、b 表示出正方形ABCD和正方形EFGH ，根据两正方形的面积，利用完全平方公式求解即 可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为a ，b ， ∴ 2 2 2 AD a b = + ，EH b a = − ， ∵正方形ABCD的面积为13，中间空白处的正方形EFGH 的面积为1， ∴ 2 2 2 13 AD a b = + = ， 2 2 2 2 ( ) 2 13 2 1 EH b a a ab b ab = − = − + = − = ， ∴ 6 ab = ， ∴ 2 2 2 ( ) 2 13 2 6 25 a b a ab b + = + + = + = ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）在ABC 中， 90 C = ，a，b，c 分别是 A ， B ， C 的对边， 若 4 c = ，则 2 2 a b + 的值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：∵如图，在ABC 中， 90 C = ，a ，b ，c 分别是 A ， B ， C 的对边，且 4 c = ， 15 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2 2 2 4 16 a b c + = = = ． 2．（25-26 八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形A B ， 的面积分别是4 3 ，，则最大正方形C 的面积是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设正方形、、 A B C 的边长分别为a b c 、、，利用勾股定理建立三边平方关系，结合正方形面积公式 求解． 【详解】解：设正方形、、 A B C 的边长分别为a b c 、、， ∵正方形A B ，的面积分别是4 3 ，， ∴ 2 4 a = ， 2 3 b = ， ∵中间三角形为直角三角形，且a b 、为直角边，c 为斜边， ∴由勾股定理得 2 2 2 a b c + = ， ∴ 2 4 3 7 c = + = ， ∴正方形C 的面积是7 ． 3．（25-26 八年级下·全国·暑假作业）如图，ABC 中， 90 C = ， 5 AB = ， 4 BC = ，点P 是边BC 上的动 点，则AP 长不可能是（ ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用勾股定理可得 3 AC = ，然后利用垂线段最短即可解答． 【详解】解：∵ABC 中， 90 C = ， 5 AB = ， 4 BC = ， 16 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2 2 2 5 4 3 AC AB BC = − = − = ， 根据垂线段最短，可知AP 的长不可小于3，当P 和C 重合时， 3 AP = ， 由2.5 3 ，即AP 长不可能是2.5 ． 4．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能 ．．用来证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出 2 2 2 a b c + = ，若不能则符合题意． 【详解】解：A、大正方形的面积= 边长为a 的正方形面积+ 边长为b 的正方形面积2 + 个长宽分别为a 、b 的长方形面积， 2 2 2 ( ) 2 a b a b ab + = + + ，该式属于完全平方公式， 图中不涉及斜边c ，不能用来证明勾股定理，符合题意； B、梯形面积= 3 个三角形面积之和， 2 1 1 1 ( )( ) 2 2 2 2 a b a b ab c + + = + ， 整理得 2 2 2 a b c + = ， 能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形面积= 中间小正方形面积4 + 个直角三角形面积， 2 2 1 ( ) 4 2 a b c ab + = + ， 整理得 2 2 2 a b c + = ， 能证明勾股定理，不符合题意； D、大正方形面积= 中间小正方形面积4 + 个直角三角形面积， 2 2 1 ( ) 4 2 c b a ab = − + ， 整理得 2 2 2 a b c + = ， 能证明勾股定理，不符合题意． 故选A． 5．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（Rt ADE △ ，Rt DCH △ ， Rt CBG △ ，Rt BAF △ ）与一个小正方形EFGH 组成的一个大正方形ABCD，连接DF 交CH 于点M ，已知正 方形ABCD的面积为25 ， 2 DE AE = ，下列结论正确的是（ ） 17 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．正方形EFGH 的面积为4 B． 2 20 DF = C．M 是DF 的中点 D． 15 BG CG = 【答案】C 【分析】设AE x = ，则 2 2 DE AE x = = ，由题意及勾股定理列方程求出 2 5 x = 即可判断A、B；结合三角形 全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出 2 , BG DE x CG AE x = = = = ，直接计算BG CG 即可判 断D． 【详解】解：A、设AE x = ，则 2 2 DE AE x = = ， 在Rt ADE △ 中， 2 2 2 AD AE DE = + ， 正方形ABCD的面积为25 ， 2 25 AD = ，则 2 2 4 25 x x + = ， 解得 2 5 x = ， 四个相同的直角三角形（Rt ADE △ ，Rt DCH △ ，Rt CBG △ ，Rt BAF △ ）， DH AE x = = ， 则正方形EFGH 的面积为 2 5 4 x = ，选项结论错误； B、在Rt DEF △ 中， 2 2 2 2 5 25 20 DF DE EF x = + = = ，选项结论错误； C、在正方形EFGH 中， 90 EHG FGH = = ，则 90 DHM FGM = = ， DH FG ∥ ， HDM GFM = ， 由A 的推导过程可知DH FG = ，则 ( ) ASA DHM FGM ≌ ， DM FM = ，即M 是DF 的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知 2 , BG DE x CG AE x = = = = ， 2 5 x = ，则 2 2 2 2 5 10 15 BG CG x x x = = = = ， 选项结论错误． 二、填空题 6．（25-26 八年级下·西藏日喀则·期中）直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____． 【答案】12 【分析】熟练掌握勾股定理，直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：另一直角边长 2 2 13 5 169 25 144 12 = − = − = = ． 7．（25-26 八年级下·山东日照·期末）如图，在Rt ABC △ 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方 18 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 形，面积分别记为 1S ， 2 S ， 3 S ，若 3 2 1 40 S S S + − = ，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】10 【分析】由勾股定理可得 2 2 2 AC AB BC + = ，由题意可得 2 2 2 1 2 3 , , S AC S AB S BC = = = ，由此求出 2 20 S = ， 结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得： 2 2 2 AC AB BC + = ， 由题意可得： 2 2 2 1 2 3 , , S AC S AB S BC = = = ， 1 2 3 S S S + = ， 3 2 1 40 S S S + − = ， 2 20 S = ， 由图形可得：图中阴影部分的面积为 2 2 1 1 10 2 2 AB S = = ． 8．（25-26 七年级下·重庆·期末）如图，AD为ABC 的中线，AB AD ⊥ ， 5 AB = ， 6 AD = ，则AC =______． 【答案】13 【分析】延长AD至点E ，使DE AD = ，连接CE ，利用“边角边”证明ABD 与ECD 全等，从而得到CE AB = ， 90 E BAD = = ，在Rt ACE 中利用勾股定理即可求出AC 的长． 【详解】解：延长AD至点E ，使DE AD = ，连接CE ． AD 为ABC 的中线， BD CD = ． 在ABD 和ECD 中， BD CD ADB EDC AD ED = = = (SAS) ABD ECD ≌ ． 19 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 CE AB = = ， CED BAD = ． AB AD ⊥ ， 90 BAD = ． 90 CED = ． 6 AD = ， 2 12 AE AD DE AD = + = = ． 在Rt ACE 中，由勾股定理， 2 2 2 2 12 5 144 25 169 13 AC AE CE = + = + = + = = ． 9．（24-25 八年级下·广东汕头·期末）如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB = ，CE CD = ，点 A在DE 上（点A不与点D ，E 重合）．写出线段AE ，AD，BC 之间的数量关系式：__________． 【答案】 2 2 2 2 AE AD BC + = 【分析】连接BD，先证明 ( ) ACE BCD SAS ≌ ，根据全等三角形的性质可得AE BD = ， 45 CEA CDB = = ， 结合勾股定理可得结论． 【详解】解：如图，连接BD， ∵ACB 和ECD 都是等腰直角三角形， ∴CE CD = ，AC BC = ， 90 ECD ACB = = ， 45 CEA EDC = = ∵ 90 ACE ACD + = ， 90 ACD DCB + = ∴ ACE DCB = ， ∴ ( ) ACE BCD SAS ≌ ∴AE BD = ， 45 CEA CDB = = ∵ ADB EDC CDB = + ∴ 90 ADB = ， ∴ADB 为直角三角形 根据勾股定理可得： 2 2 2 AB AD DB = + ， 20 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2 2 AB AD AE = + ∵在Rt ACB △ 中，根据勾股定理有 2 2 2 AC BC AB + = ，AC BC = ， ∴ 2 2 2 AB BC = ， ∴ 2 2 2 2 AE AD BC + = . 10．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，点E 为边BC 上一点，将长方形纸片 ABCD沿过点E 的直线折叠，使点B 落在边CD上的点B处，点A落在点A处，折痕EF 交AD于点F ．若 9 AD = ， 7 CD = ， 5 BE = ，则线段AF 的长为__________． 【答案】8 3 【分析】由折叠的性质得出 7 A B AB CD = = = ， 5 BE B E = = ，A F AF ， 90 A A = = ， 90 A B E B = = ，由勾股定理求出B C ，进而得出 4 CE DB = = ，证明 ( ) ASA DB H CEB ≌ ，由全等三 角形的性质得出 5 B H EB = = ， 3 DH CB = = ， 由线段的和差关系得出 2 A H = ， 6 AH = ，设AF A F x = = ， 则 6 FH x = −， 由勾股定理得出 2 2 2 A F A H FH + = ，代入求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知： 7 A B AB CD = = = ， 5 BE B E = = ，A F AF ， 90 A A = = ， 90 A B E B = = ， ∵ 9 BC AD = = ， 5 BE = ， ∴ 4 CE BC BE = − = ， 在Rt B CE 中， 2 2 3 B C BE CE = − = ， ∴ 4 DB CD B C = − = ， ∴CE DB = ， ∵ 90 A B E = ， ∴ 90 DB H CB E B EC EB C + = = + ， ∴ DB H CEB = ， 在DB H 和CEB 中， 90 C D DB CE DB H CEB = = = = ， 21 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ( ) ASA DB H CEB ≌ ， ∴ 5 B H EB = = ， 3 DH CB = = ， ∴ 2 A H = ， 6 AH = ， 设AF A F x = = ，则 6 FH x = − ， 在 A FH △ 中， 2 2 2 A F A H FH + = ， 即 ( ) 2 2 2 2 6 x x + = − ， 解得： 8 3 x = ， 即 8 3 AF = ． 三、解答题 11．（25-26 八年级下·新疆巴州·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 ACB = ，CD AB ⊥ 于D ．若 5cm AB = ， 3cm BC = ， (1)求AC 的长度； (2)求CD的长度． 【答案】(1) 4cm AC = (2) 12 cm 5 CD = 【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边AC ； （2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高CD． 【详解】（1）解： 90 ACB = ， 5cm AB = ， 3cm BC = ， ( ) 2 2 4 , AC AB BC c m = − = ． （2）解： 5cm AB = ， 4cm AC = ， 3cm BC = ， 90 ACB CDA = = ， 22 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 1 2 2 AC BC CD AB = ， 1 1 4 3 5 2 2 CD = ， 解得 12 cm 5 CD = ． 12．（24-25 八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在ABC 中， 50cm AB = ， 30cm BC = ， 90 C = ，点P 从点A开始沿 AC 边向点C 以2cm/s的速度移动，设运动时间为t 秒． (1)用含t 的代数式表示AP =____，PC = ____ (2)t 为何值时，PCB 的面积等于ABC 面积的一半？ 【答案】(1)2 cm t ，( ) 40 2 cm t − (2)t 为10 秒时，PCB 的面积等于ABC 面积的一半． 【分析】（1）由勾股定理求得 40cm AC = ，再根据题意列式即可； （2）根据题意得到PCB 的面积等于 APC △ 面积，即AP PC = ，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵ 50cm AB = ， 30cm BC = ， 90 C = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 50 30 40 cm AC AB BC = − = − = ， 由题意得 2 cm AP t = ， ( ) 40 2 cm PC t = − ； （2）解：∵PCB 的面积等于ABC 面积的一半， ∴PCB 的面积等于APB 面积， ∴AP PC = ， ∴2 40 2 t t = − ， 解得 10 t = ， 答：t 为10 秒时，PCB 的面积等于ABC 面积的一半． 13．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂 美”四边形ABCD，对角线AC ，BD交于点O． 23 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 2 AO = ， 3 BO = ， 4 CO = ， 5 DO = ，请求出 2 AB ， 2 BC ， 2 CD ， 2 DA 的值； (2)若 6 AB = ， 10 CD = ，求 2 2 BC AD + 的值． 【答案】(1) 2 13 AB = ， 2 25 BC = ， 2 41 CD = ， 2 29 AD = (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到AC BD ⊥ ，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得 2 2 BC AD + ( ) ( ) 2 2 2 2 BO CO AO DO = + + + 2 2 AB CD = + ，即可求解． 【详解】（1）解：四边形ABCD是“垂美”四边形， AC BD ⊥ ， ∴ 90 AOB BOC COD AOD = = = = ， ∴在Rt AOB 中， 2 2 2 2 2 2 3 13 AB AO BO = + = + = ， 在Rt BOC △ 中， 2 2 2 2 2 3 4 25 BC BO CO = + = + = ， 在Rt COD 中， 2 2 2 2 2 4 5 41 C CO DO D = + = + = ， 在Rt AOD 中， 2 2 2 2 2 2 5 29 AD AO DO = + = + = ． （2）解：由（1）有 2 2 2 AB AO BO = + ， 2 2 2 BC BO CO = + ， 2 2 2 CD CO DO = + ， 2 2 2 AD AO DO = + ． ∴ 2 2 BC AD + ( ) ( ) 2 2 2 2 BO CO AO DO = + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 BO AO CO DO = + + + 2 2 AB CD = + ， 6 AB = ， 10 CD = ， 2 2 2 2 6 10 136 BC AD + = + = ． 14．（25-26 八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较 大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为 2 c ，也可以表 示为 ( ) 2 1 4 2 ab a b + − ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为,a b ，斜边长为c ，则 2 2 2 a b c + = ． 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形ABCD的面积可表示为：______，也可以表 示为：______，由此可以推出 2 2 2 a b c + = ； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A B 、，AB AC = ， 由于某种原因，由C 到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A H 、 、 B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH AB ⊥ ．测得 0.8 CH = 千米， 0.6 HB = 千米，求新路CH 比 原路CA 少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第 （2）问中若AB AC 时，CH AB ⊥ ， 10 AC = ， 17 BC = ， 21 AB = ，设AH x = ，可以求CH 的值，请帮小 明写出求CH 详细完整的过程． 【答案】(1) 2 2 2 1 2 1 b ab a + + ； 2 1 1 1 2 2 2 ab ab c + + (2)新路CH 比原路CA 少1 30 千米 (3)设AH x = ，则 21 BH AB AH x = − = −， 在Rt ACH 中， 2 2 2 CH AC AH = − ， 在Rt BCH △ 中， 2 2 2 CH BC BH = − ， 2 2 2 2 AC AH BC BH − = − ，即 ( ) 2 2 2 2 10 17 21 x x − = − − ， 解得 6 x = ， 2 2 2 100 6 8 CH AC AH = − = − = ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面 积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设AB AC x = = ，则 0.6 AH x = − ，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在Rt ACH 和Rt BCH △ 中，由勾股定理得求出 2 2 2 2 2 CH AC AH BC BH = − = − ，列出方程求解即可得 到结果． 【详解】（1）解：梯形ABCD的面积为( )( ) 2 2 1 1 1 2 2 2 a b a b a ab b + + = + + ，也可以表示为 2 1 1 1 2 2 2 ab ab c + + ， 2 2 2 1 1 1 2 2 2 a ab b ab c + + = + ，即 2 2 2 a b c + = ； （2）解：设AB AC x = = ， 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 0.6 AH AB BH x = − = − ， 在Rt ACH 中， 2 2 2 AH CH AC + = ，即( ) 2 2 2 0.6 0.8 x x − + = ， 解得 5 6 x = ， 即 5 6 AC = （千米）， 5 1 0.8 6 30 AC CH − = − = （千米）， 答：新路CH 比原路CA 少1 30 千米； （3）解：略. 15．（24-25 八年级下·广东汕头·阶段检测）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作 品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一 起完成． (1)如图①是以Rt ABC △ 的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为 1S ， 2 S ， 3 S ，请写出 1S ， 2 S ， 3 S 之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80， 5 OC = ，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形 EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ， 2 S ， 3 S ．若 1 2 3 16 S S S + + = ，则 2 S = ___________． 【答案】(1) 1 2 3 S S S + = (2)120 (3)16 3 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设OA a = ，AB c = ，则 5 OB OC = = ，由题可得 ( ) 4 4 5 80 c a + − = ，再由勾股定理可得 ( ) 2 2 2 5 25 a a + = − ， 从而求出 12 a = ，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，由勾股定理得 2 2 2 c a b = + ， 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 再根据题意 1 2 3 16 S S S + + = ，代入可求得 2 16 3 c = ，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得： 2 2 2 a b c + = ， 2 2 1 1 1 · 2 2 8 a S a = = ， 2 2 2 1 1 · 2 2 8 b S b = = ， ∴ 2 2 2 1 2 3 1 1 1 8 8 8 S S a b c S + = + = = ， 故答案为： 1 2 3 S S S + = ； （2）解：设OA a = ，AB c = ，由题可得： 5 OB OC = = ， ∴ ( ) 4 4 5 80 c a + − = ， 2 2 2 5 a c + = ， ∴ 25 c a = − ， ∴ ( ) 2 2 2 5 25 a a + = − ， 解： 12 a = ， ∴飞镖状图案的面积为 1 4 12 5 120 2 = ， （3）解：设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，则： 2 2 2 c a b = + ， 由题意得： ( ) 2 1S a b = + ， 2 2 S c = ， ( ) 2 3 S a b = − ， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 S S S a b c a b + + = + + + − 2 2 2 2 2 2 2 a ab b c a ab b = + + + + − + 2 2 2 c c c = + + 2 3c = 16 = ∴ 2 16 3 c = ， ∴ 2 2 16 3 S c = = ， 故答案为：16 3 ．
