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专题03 全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型
常考题型·精准突破
题型1 全等三角形之一线三等角模型（难）
题型2 全等三角形之倍长中线模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等三角形之一线三等角模型
1．
【答案】(1)
ABD
CAF
≌
△
△
理由：
BD
AE
⊥
，CF
AE
⊥
，
90
ADB
CFA
=
=
．
90
BAD
ABD
+
=
．
90
MAN
=
，
90
BAD
CAF
+
=
．
ABD
CAF
=
．
在ABD
与CAF
中，
ADB
CFA
ABD
CAF
AB
AC
=
=
=
，
(
)
AAS
ABD
CAF
≌
．
(2)
△
≌△
ABE
CAF 理由：
在ABE
中，
180
BAE
ABE
AEB
+
+
=
，1
180
AEB
+
=
，
1
BAE
ABE
=
+
．
BAC
BAE
FAC
=
+
，
1
BAC
=
，
ABE
FAC
=
．
同理可得
BAE
ACF
=
．
在ABE
与CAF
中，
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ABE
FAC
BAE
ACF
AB
AC
=
=
=
，
(
)
ABE
CAF ASA
≌
．
2．
【答案】(1)证明：∵AD
l
⊥，BE
l
⊥，
∴
90
ADC
BEC
=
=
，
又
90
ACB
=
，
∴
90
ACD
CBE
BCE
=
=
−
，
在ADC
和CEB
中，
90
ACD
CBE
ADC
BEC
CA
CB
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ADC
CEB
≌
△
△
．
(2)①
AEC
CFB
△
≌△
；
理由：∵AE
CD
⊥
，BF
CD
⊥
，
∴
90
E
BFC
=
=
，
又
90
ACB
=
，
∴
90
ACE
CBF
BCF
=
=
−
，
在
AEC
△
和CFB
中，
90
ACE
CBF
AEC
BFC
CA
CB
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AEC
CFB
△
≌△
．
②∵AE
CD
⊥
，BF
CD
⊥
，
∴
90
E
BFC
=
=
，
又
90
ACB
=
，
∴
90
ACE
CBF
BCF
=
=
−
，
在
AEC
△
和CFB
中，
90
ACE
CBF
AEC
BFC
CA
CB
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AEC
CFB
≌
，
∴
1,
3
CE
BF
AE
CF
=
=
=
=
，
∴
3 1
4
EF
CF
CE
=
+
= + =
．
3．
【答案】(1)∵BD
l
⊥，CE
l
⊥，
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∴
90
ADB
CEA
=
=
，
∴
90
DBA
DAB
+
=
，
又∵
90
BAC
=
，
∴
90
DAB
CAE
+
=
，
∴
DBA
CAE
=
．
在ABD
和CAE
中，
ADB
CEA
ABD
CAE
AB
AC
=
=
=
，
∴
ABD
CAE
≌
△
△
（AAS）．
(2) DE
BD
CE
=
+
．理由如下：
∵
CEA
ADB
BAC
=
=
，且
180
DBA
ADB
BAD
+
+
=
，
180
BAD
BAC
CAE
+
+
=
，
∴
DBA
CAE
=
．
在ABD
和CAE
中，
ADB
CEA
ABD
CAE
AB
AC
=
=
=
，
∴
ABD
CAE
≌
△
△
（AAS），
∴BD
AE
=
，AD
CE
=
，
∴DE
AD
AE
CE
BD
=
+
=
+
，
即DE
BD
CE
=
+
．
(3)
1
2
S
S
=
，理由如下：
过点D作DM
GH
⊥
延长线于M ，过点E 作EN
GH
⊥
于N ，则
90
M
ANE
=
=
．
∵AG 是BC 边上的高，
∴
90
AGB
=
，
∴
90
BAG
ABG
+
=
，
∵
90
BAD
=
，
∴
90
DAM
BAG
+
=
，
∴
DAM
ABG
=
．
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在
ADM
△
和
BAG
△
中，
M
BGA
DAM
ABG
AD
AB
=
=
=
，
∴
ADM
BAG
≌
△
△
（AAS），
∴DM
AG
．
同理可证：
AEN
CAG
≌
△
△
（AAS），
得EN
AG
=
，
∴DM
EN
=
．
∵ADH
的面积
1
1
2
S
AH DM
=
，AEH
的面积
2
1
2
S
AH EN
=
，
∴
1
2
S
S
=
．
◆题型2 全等三角形之倍长中线模型
【答案】（1）解：∵AD是BC 边上的中线，
∴CD
BD
=
，
在ADC
和EDB
中，
CD
BD
CDA
BDE
AD
DE
=
=
＝
，
∴
(SAS)
ADC
EDB
≌
；
（2）解：∵AB
BE
AE
AB
BE
−
+
，即10 6
10
6
AE
−
+ ，
∴4
16
AE
，
∵
1
2
AD
AE
=
，
∴2
8
AD
；
（3）解：延长AD到M，使AD
DM
=
，连接BM ，如图2 所示：
∵AE
EF
=
，
6
EF =
，
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∴
6
4
10
AC
AE
EC
=
+
= +
=
，
∵AD是ABC
的中线，
∴CD
BD
=
，
∵在ADC
和MDB
中，
CD
BD
ADC
MDB
AD
DM
=
=
＝
，
∴
(SAS)
ADC
MDB
≌
，
∴BM
AC
=
，
CAD
M
=
，
∵AE
EF
=
，
∴
CAD
AFE
=
，
∵
AFE
BFD
=
，
∴
BFD
CAD
M
=
=
，
∴BF
BM
AC
=
=
，
即
10
BF =
．
5．
【答案】(1)
解：如图，延长AD到点E ，使DE
AD
=
，连接BE，
AD
是ABC
的中线，
,
CD
BD
=
,
ADC
EDB
=
DE
AD
=
，
(SAS),
ADC
EDB
≌
5,
BE
AC
=
=
,
8,
AB
BE
AE
AB
BE AB
−
+
=
8
5
8
5,
AE
−
+
3
13,
AE
,
DE
AD
=
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2
,
AE
AD
=
3
2
13,
AD
解得：3
13,
2
2
AD
即AD 的取值范围为：3
13
2
2
AD
；
(2)
证明：如图2，延长AD至G ，使DG
AD
=
，连接BG ，则
2
AG
AD
=
，
D
为BC 的中点，
,
CD
BD
=
,
ADC
GDB
=
DG
AD
=
，
(SAS),
ADC
GDB
≌
,
,
C
GBD AC
BG
=
=
,
AC
BG
∥
180
ABG
BAC
+
=
，
,
AC
AF
=
,
BG
AF
=
90 ,
BAE
CAF
=
=
180
EAF
BAC
+
=
，
,
ABG
EAF
=
在EAF
和ABG
中，
EA
AB
EAF
ABG
AF
BG
=
=
=
(
),
EAF
ABG SAS
≌
,
AG
EF
=
2
;
EF
AD
=
（3）解：如图3，延长EF 到G ，使得EF
FG
=
，连接CG ，延长CA 到H ，使得AH
AD
=
，连接BH ，
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F
是BC 的中点，
,
CF
BF
=
,
EFB
CFG
=
EF
FG
=
，
(
),
BEF
CGF SAS
≌
,
,
BE
CG
G
BEF
=
=
,
CG
BE
,
BEH
GCE
=
180 ,
180 ,
BAC
BAH
BAC
BAD
+
=
+
=
,
BAH
BAD
=
在BAH
和BAD
中，
AB
AB
BAH
BAD
AH
AD
=
=
=
(
),
BAH
BAD SAS
≌
,
,
BH
BD
H
ADB
=
=
,
ADB
CEF
=
,
H
CEF
=
又∵
,
BAH
BAD
=
,
BE
CG
=
(
),
HBE
EGC AAS
≌
2
2 6
12,
EG
BH
BD
EF
=
=
=
=
=
即
12
BD =
．
6．
【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长FE至点G ，使GE
FE
=
，连接CG ，
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在
DFE
△
和CGE
中，
DE
CE
DEF
CEG
EF
EG
=
=
=
，
(
)
SAS
DFE
CGE
≌
，
DF
CG
=
，
DFE
G
=
，
DF
AC
=
，
CG
AC
=
，
CAG
G
=
，
DF
AB
∥
，
BAE
DFE
=
，
BAE
CAG
=
，
AE
平分
BAC
；
方法②：证明：如图，延长AE 至点G ，使GE
AE
=
，连接DG ，
在
ACE
△
和
GDE
△
中，
AE
GE
AEC
GED
CE
DE
=
=
=
，
(
)
SAS
ACE
GDE
≌
，
AC
DG
=
，
CAE
G
=
，
DF
AC
=
，
DG
DF
=
，
DFG
G
= ，
DF
AB
∥
，
DFG
BAE
=
，
BAE
CAE
=
，
AE
平分
BAC
；
(2)如图，延长AD至点G ，使GD
AD
=
，连接BG ，
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AD
是BC 边上的中线，
BD
CD
=
，
在ACD
和GBD
中，
CD
BD
ADC
GDB
AD
GD
=
=
=
，
(
)
SAS
ACD
GBD
≌
，
BG
AC
=
，
ACD
GBD
=
，
∴BG
AC
∥
，
∴
180
ABG
BAC
+
=
，
AC
AF
=
，
BG
AF
=
，
90
BAE
CAF
=
=
，
360
180
EAF
BAE
CAF
BAC
BAC
=
−
−
−
=
−
，
180
ABG
ABC
GBD
ABC
ACD
BAC
=
+
=
+
=
−
，
EAF
ABG
=
，
在AEF
和
BAG
△
中，
AE
AB
EAF
ABG
AF
BG
=
=
=
，
(
)
SAS
AEF
BAG
≌
，
∴
AEF
BAG
=
，
设AD与EF 交于点H，
∵
90
BAE
=
，
∴
90
BAG
EAH
+
=
，
又∵
AEF
BAG
=
，
∴
90
AEF
EAH
+
=
，
∴
90
AHE
=
，
即
⊥
AD
EF ．
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(3) ABC
与AEF
面积相等，理由如下；
由（2）可知ACD
GBD
≌
，
∴
ACD
GBD
S
S
=
，
∵
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
，
ABG
ABD
GBD
S
S
S
=
+
，
∴
ABC
ABG
S
S
=
△
△
，
由（2）可知AEF
BAG
≌
，
∴
AEF
ABG
S
S
=
，
∴
AEF
ABC
S
S
=
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．A
2．C
3．C
二、填空题
4．1
7
AD
5．6
6．①④⑤
三、解答题
7．
【答案】
（1）证明：∵
90
BAD
=
∴
90
BAC
DAE
+
=
，
∵BC
AC
⊥
，DE
AC
⊥
，
∴
90
ACB
DEA
=
=
，
∴
90
BAC
ABC
+
=
，
∴
ABC
DAE
=
，
在ABC
和DAE
中，
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ABC
DAE
ACB
DEA
BA
AD
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ABC
DAE
≌
，
∴BC
AE
=
；
（2）解：由（1）中模型可知，AEP
BAG
≌
，CBG
DCH
≌
，
∴
3
AP
BG
=
=
，
6
AG
EP
=
=
，
4
CG
DH
=
= ，
3
CH
BG
=
= ，
则
(
) (
)
1
1
1
1
1
4
6
3 6
4
3
3 6
3 6
3 4
3 4
50
2
2
2
2
2
ABCDE
S
=
+
+ + +
−
−
−
−
=
实线围成的图形
；
（3）解：过点D 作DP
AG
⊥
于P ，过点E 作EQ
AG
⊥
交AG 的延长线于Q ，
由（1）中模型可知，
AFB
DPA
≌
△
△
，
AFC
EQA
≌
△
△
，
∴DP
AF
=
，EQ
AF
=
，BF
AP
=
，FC
AQ
=
，
∴
12
DP
EQ
AF
=
=
=
，
∵
,
DP
AG EQ
AG
⊥
⊥
，
∴
90
DPG
EQG
=
=
，
∵
DGP
EGQ
=
∴
(
)
AAS
DPG
EQG
≌
，
∴DG
GE
=
，PG
GQ
=
，
∵BF
AP
=
，FC
AQ
=
，
∴BC
BF
FC
AP
AQ
=
+
=
+
，
∵
21
BC =
，
∴
21
AP
AQ
+
=
，
∴
21
AP
AP
PG
GQ
+
+
+
=
，
∴
21
AP
AP
PG
PG
+
+
+
=
，
∴
10.5
AP
PG
+
=
，
∴
10.5
AG =
，
∴
1
1 10.5 12
63
2
2
ADG
S
AG DP
=
=
=
．
8．
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【答案】（1）证明：
AD
是BC 边上的中线，
BD
CD
=
，
在ACD
和MBD
中，
CD
BD
ADC
BDM
AD
MD
=
=
=
，
(
)
SAS
ACD
MBD
≌
，
AC
BM
=
、
C
DBM
=
，
AC
BM
∥
；
（2）解：延长AD到点M ，使DM
AD
=
，连接BM ，如图：
由（1）知
ACD
MBD
△
≌△
，
8
AC
BM
=
= ，
在ABM
中，AB
BM
AM
AB
BM
−
+
、
12
AB =
，
12 8
12 8
AM
−
+ ，即4
2
20
AD
，
即2
10
AD
，
BC
边上的中线AD的取值范围为2
10
AD
；
（3）解：
2
EF
AD
=
且EF
AD
⊥
，
如图，延长AD到点M ，使DM
AD
=
，连接BM ，
由（1）得
ACD
MBD
△
≌△
，
AC
BM
=
、
C
DBM
=
，
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180
ABM
ABC
DBM
ABC
ACB
BAC
=
+
=
+
=
−
，
AE
AB
⊥
，AF
AC
⊥
，
90
BAE
CAF
=
=
，
180
EAF
BAC
=
−
，
ABM
EAF
=
，
AF
AC
=
，
BM
AF
=
，
AB
AE
=
，
(
)
SAS
ABM
EAF
≌
，
AM
EF
=
、
BAM
E
= ，
2
AM
AD
=
，
2
EF
AD
=
，
EAM
BAM
BAE
E
APE
=
+
=
+
，
90
APE
BAE
=
=
，
EF
AD
⊥
．
9．
【答案】（1）证明：∵BD ⊥直线l，CE ⊥直线l，
∴
90
BDA
AEC
=
=
，
∴
90
DAB
DBA
+
=
．
∵
90
BAC
=
，
∴
90
DAB
EAC
+
=
．
∴
DBA
EAC
=
．
在ABD
和CAE
中，
90
BDA
AEC
DBA
EAC
AB
AC
=
=
=
=
，
(
)
ABD
CAE AAS
≌
；
（2）证明：∵
EAB
是ABD
的外角，
∴EAB
ADB
DBA
?
?
?
．
∴EAC
BAC
ADB
DBA
?
?
?
?
．
∵
ADB
BAC
=
，
∴
EAC
DBA
=
．
在EAC
和DBA
中，
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EAC
DBA
CEA
ADB
AC
AB
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
EAC
DBA
≌
．
∴CE
AD
=
，EA
BD
=
．
∴ED
EA
AD
BD
CE
=
+
=
+
；
（3）
1S ，
2
S 大小关系是：
1
2
S
S
=
理由如下：
过点D 作DM
AH
⊥
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
⊥
于点N，如图所示：
∵AG
BC
⊥
，
∴
90
AGB
M
=
=
．
∴
90
ABG
BAG
+
=
．
∵
90
BAD
=
，
∴
90
BAG
DAM
+
=
．
∴
ABG
DAM
=
．
在ABG
和
DAM
△
中，
90
AGB
M
ABG
DAM
AB
AD
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABG
DAM AAS
≌
．
∴AG
DM
=
．
同理可证明：AGC
ENA
≌
．
∴AG
EN
=
．
∴DM
EN
=
．
∵
1
1
2
S
AH DM
=
?
，
2
1
2
S
AH EN
=
?
，
∴
1
2
S
S
=
．
10．
【答案】（1）解：∵
,
,
AD
DE
ADC
EDB CD
BD
=
=
=
，
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∴ADC
EDB
≌
（SAS ）
∴
3
BE
AC
=
=
，
∵AB
BE
AE
AB
BE
−
+
∴5 3
5 3
AE
−
+
即：2
8
AE
∵
1
2
AD
AE
=
∴1
4
AD
故答案为：1
4
AD
；
（2）证明：延长OE 到H ，使得HE
OE
=
，连接CH ，
∵E 是AC 的中点，
∴EC
EA
=
，
∵
CEH
AEO
=
，
∴CEH
AEO
≌
（SAS ），
HCA
CAH
=
，CH
AO
=
，
∴
HCA
ACO
CAO
ACO
+
=
+
，即
CAO
ACO
HCO
+
=
，
∵
180
AOB
COD
+
=
，
∴
180
AOC
BOD
+
=
，
∵
180
AOC
CAO
ACO
+
+
=
，
∴
BOD
HCO
=
，
∵
,
OA
OB OC
OD
=
=
，
∴CH
OB
=
，
∴HCO
BOD
≌
（SAS ），
∴OH
BD
=
，
∴
1
2
OE
BD
=
；
（3）解：由（2）可得：
2
10
BD
HO
OE
=
=
=
，
H
B
=，
,
CHE
AEO
HCO
BOD
S
S
S
S
=
=
，
∴
AOC
AOE
COE
HCO
BOD
S
S
S
S
S
=
+
=
=
，
∵
90
AOB
=
，
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∴
90
AOE
BOF
+
=
，
∵
AOE
H
=
，
∴
90
B
BOF
+
=
，即：OF
BD
⊥
，
∴
1
1 10 2
10
2
2
BOD
S
BD OF
=
=
=
，
∴
10
AOC
S
=
．
11．
【答案】（1）解：DE 、BD、CE 的数量关系为：DE
BD
CE
=
+
，理由如下：
如图1 所示：
∵
,
BD
l CE
l
⊥
⊥，
∴
90
BDA
AEC
=
=
，
∴1
2
90
+=
，
在ABC
中，
90
BAC
=
，
∴1
3
90
+=
，
∴
2
3
= ，
∵AB
AC
=
，
∴
(
)
ABD
CAE AAS
≌
，
∴
,
BD
AE AD
CE
=
=
，
∴DE
AE
AD
BD CE
=
+
=
+
；
故答案为：DE
BD
CE
=
+
；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2 所示：
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∵
BDA
AEC
BAC
=
=
=
，AB
AC
=
，
∴1
3 180
180
BAC
+=
−
=
−
，
在ABD
中，1
2
180
180
BDA
+ =
−
=
−
，
∴
2
3
= ，
∵
BDA
AEC
=
=
，AB
AC
=
，
∴
(
)
ABD
CAE AAS
≌
，
∴
,
BD
AE AD
CE
=
=
，
∴DE
AE
AD
BD CE
=
+
=
+
；
（3）解：证明：过点E 作EN
AG
∥
，交AM 的延长线于点N ，如图3 所示：
∵ABE
和ACG
都是等腰直角三角形，且
90
BAE
CAG
=
=
，
∴
,
AB
AE AC
AG
=
=
，
∵AH
BC
⊥
，
∴
90
ABC
HAB
+
=
，
∵
90
BAE
=
，
∴
90
HAB
EAN
+
=
，
∴
ABC
EAN
=
，
∵
90
BAE
CAG
=
=
，
∴
180
BAC
EAG
+
=
，
∵EN
AG
∥
，
∴
180
AEN
EAG
+
=
，
∴
BAC
AEN
=
，
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∴
(
)
ASA
ABC
EAN
≌
，
∴AC
EN
=
，
∵AC
AG
=
，
∴EN
AG
=
，
∵EN
AG
∥
，
∴
,
N
MAG
MEN
MGA
=
=
，
∴
(
)
ASA
EMN
GMA
≌
，
∴EM
GM
=
，
∴点M 是EG 的中点．
12．
【答案】（1）解：①延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接BE，如图，
∵AD是中线，
∴BD
CD
=
，
在ADC
和EDB
中，
AD
ED
ADC
EDB
CD
BD
=
=
=
，
(
)
ADC
EDB SAS
≌
，
ADC
EDB
≌
的依据是SAS B ；
②
ADC
EDB
≌
，
6
AC
BE
=
=
，
8
AB =
，
8 6
8 6
AE
−
+
，
2
2
14
AD
，
1
7
AD
；
（2 ）证明：延长DE 至点F ，使FE
ED
=
，连接BF ，如图，
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∵E 是BC 的中点，
∴BE
CE
=
，
在EDC
和EFB
中，
DE
FE
DEC
FEB
CE
BE
=
=
=
，
(
)
EDC
EFB SAS
≌
，
DC
FB
=
，
D
F
= ，
BAE
CDE
=
，
F
BAE
=
，
BA
BF
=
，
AB
CD
=
；
（3）证明：延长BP交AD于点H ，过点P 作EF
m
⊥
于点E ，EF
n
⊥
于点F ，如图，
则
4
EF =
，
//
m n
，
EDP
FCP
=
，
在CPF
和DPE
中，
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CPF
DPE
CP
DP
FCP
EDP
=
=
=
(
)
CPF
DPE ASA
≌
，
1
2
2
FP
EP
EF
=
=
=
，
在BPF
和HPE
中，
90
BFP
HEP
PE
PE
BPF
HPE
=
=
=
=
，
(
)
BPF
HPE ASA
≌
，
BP
HP
=
，
AP
BP
⊥
，
AP
为BH 的垂直平分线，
AB
AH
=
，
1
1
·
·
2
2
APH
S
AH PE
AP PH
=
=
，
·
·
AH PE
AP PH
＝
，
2
?
AB
PAPB
=
，
·
2
PAPB
AB
=
．
