文档内容
专题 12.4 全等模型专题：全等三角形中的常见五大解题模型
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【解题模型一 四边形中构造全等三角形解题】............................................................................................1
【解题模型二 一线三等角模型】....................................................................................................................8
【解题模型三 三垂直模型】..........................................................................................................................15
【解题模型四 倍长中线模型】......................................................................................................................23
【解题模型五 旋转模型】..............................................................................................................................30
【典型例题】
【解题模型一 四边形中构造全等三角形解题】
例题：（2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试）已知如图，四边形 中， ， ，
求证： ．
【答案】见解析
【分析】连接 ，已知两边对应相等，加之一个公共边 ，则可利用 判定 ，根据
全等三角形的对应角相等即可证得．
【详解】证明：连接 ，， ， ，
．
．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有 ， ， ，
等．
【变式训练】
1.如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，F分别在AB，AD上， ，
．
(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S ＝S ，根据三角形面积公式求得S 与S ，根据S
ACE ACF ACF ACE 四边形
△ △ △ △
＝S ＋S 求解即可；
AECF ACF ACE
△ △
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角
形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋
∠ECF＝2∠DFC
(1)解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S ACE＝S ACF，∠FAC＝∠EAC．
△ △
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S ＝S ＝ AE·CB＝ ×8×6＝24．
ACF ACE
△ △
∴S ＝S ＋S ＝24＋24＝48．
四边形AECF ACF ACE
△ △
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
2．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）已知：如图1，四边形中， 平分 ， 和 都
是直角．(1)试说明： ．
(2)若将原题中的已知条件“ 和 都是直角”改为“ 和 互为补角”，其余条件不变，如图
2，猜想： 边和邻边 的长度是否一定相等？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 边和邻边 的长度一定相等，理由见解析
【分析】（1）连接 ，由 平分 得到 ，由 和 都是直角得到 ，
根据 即可得到结论；
（2）过点C作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F，证明 ，
则 ，再证明 ，即可得到 ．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 和 都是直角，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： 边和邻边 的长度一定相等，理由如下：过点C作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F，
则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质、添加适当的辅助线是
解题的关键
3．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上
一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么
条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；
(2)CE+BG=EG，理由见解析；
(3)当∠EDG=90°- α时，（2）中结论仍然成立．
【解析】
【分析】
（1）首先判断出 ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出 ，即可判断出
．
（2）猜想 、 、 之间的数量关系为： ．首先根据全等三角形判定的方法，判断出
，即可判断出 ；然后根据 ，可得 ，
，再根据 ，判断出 ，据此推得 ，所以
，最后根据 ，判断出 即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使 仍然成立，则 ，即
，据此解答即可．
(1)
证明： ， ， ，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
．
(2)
解：如图，连接 ，猜想 、 、 之间的数量关系为： ．
证明：在 和 中，
，
，
，
又 ，
， ，
由（1），可得 ，
，
，
即 ，
，
在 和 中，
，
，
又 ， ，
；
(3)
解：要使 仍然成立，则 ，
即 ，
当 时， 仍然成立．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意
推出规律是解此题的关键．
【解题模型二 一线三等角模型】
例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在 的边 上，点E、F在
内部的射线 上， 分别是 、 的外角．若 ， ，求证：
．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中， ， ，点D在边 上， ，点E、F
在线段 上， ，若 的面积为9，则 与 的面积之和为 ．
【答案】探究：见解析；应用：6
【分析】探究：根据 ， ，得出 ，根据 ，
得出 ，再根据 证明即可；
应用：根据全等三角形的性质得出： ，进而得出 ，根据 ，的面积为9，得出 ，即可得出答案．
【详解】探究
证明：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ；
应用
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 的面积为9，
∴ ，
∴ 与 的面积之和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）（1）问题发现：如图1，射线 在
的内部，点B、C分别在 的边 、 上，且 ，若
，求证： ；
（2）类比探究：如图 2， ，且 ． （1）中的结论是否仍然成立，请说明
理由；（3）拓展延伸：如图3，在 中， ， ．点E在 边上， ，点D、F在线
段 上， ．若 的面积为 ， ，求 与 的面积之比．
【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）
【分析】（1）根据 即可得到 ， ，
从而得到 ，即可得到证明；
（2）根据 得到 ，即可得到 ，即可
得到证明；
（3）根据 的面积为 ， ，即可得到 ， ，结合 可得
， ，根据 ， 得到 ，即可得到 ，
即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ；
（2）解：成立，理由如下，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，在 与 中，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ 的面积为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得
到三角形全等的条件．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图， 是经过 顶点C的一条直线， ，E、F分
别是直线 上两点，且 ．(1)若直线 经过 的内部，且E、F在射线 上．
①如图1，若 ， ，试判断 和 的数量关系，并说明理由．
②如图2，若 ，请添加一个关于 与 关系的条件______，使①中的结论仍然成立；
(2)如图3，若直线 经过 的外部， ，请提出关于 ， ， 三条线段数量关系的合
理猜想，并说明理由．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】（1）①由 ， ，可得 ，从而可证
，故 ；
②添加 ，可证明 ，则 ，根据 可证明 ，即
可得证①中的结论仍然成立；
（2）题干已知条件可证 ，故 ， ，从而可证明 ．
【详解】（1）解：① ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②添加 ，使①中的结论仍然成立，理由如下：
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定
是解题的关键．
3．在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有 ，且满足
．(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说
明理由；
(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ， ，直线
与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是12，求 与 的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE
(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析
(3)△FBD与△ACE的面积之和为4
【解析】
【分析】
（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝
∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝
∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，
得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结
果．
(1)
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
(2)
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
(3)
解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC＝ BC•h＝12，S△ABF＝ BF•h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三
角形的判定与性质．
【解题模型三 三垂直模型】例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，
AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请
写出这个等量关系，并说明理由．
【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见解析．
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出
∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到
DE、AD、BE之间的等量关系．
【详解】解：（1）AD＝EC；
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC；
（2）DE+BE＝AD；
由（1）已证△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD
∴CE=CD+DE=BE+DE=AD
即DE+BE＝AD；
（3）DE＝AD+BE．
证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CD+CE＝DC，
∴DE＝AD+BE．
【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的
条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
【变式训练】
1．（2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）已知： ， ， ， ，
垂足分别为D，E．(1)如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
①线段CD和BE的数量关系是： ；
②请写出线段 ， ， 之间的数量关系并证明．
解：①结论： ．
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ （ ）
在 ACD和 CBE中， ，
∴ ，（ ）
∴ ．
②结论： ．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)① ；同角的余角相等； ， ， ； ；②
(2)不成立， ，见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理；
（2）根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理，注意观察图形，得出线段间的数量关
系；
【详解】（1）∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ （ 同角的余角相等 ）
在 ACD和 CBE中， ， ， ，
∴ ，（ ）
∴ ．
②结论： ．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）不成立，结论： ．
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
在 和 中， ，
∴ ，（ ）
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，能够由图形的位置关系得出线段之间、角之间的数量关系是
解题的关键．
2．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到 90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据
AAS可证 DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（△2）易证 DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE +
DE． △
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
(2)
证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴△ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △
∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴△ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线
段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
3．如图，已知：在 中， ， ，直线 经过点 ， ， ．
（1）当直线 绕点 旋转到图（1）的位置时，求证： ；
（2）当直线 绕点 旋转到图（2）的位置时，求证： ；（3）当直线 绕点 旋转到图（3）的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请直接写出
这个等量关系：____________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出
∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，
CD=BE，即可得到答案．
（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．
【详解】解：（1）证明：如图1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）DE=BE-AD；
如图3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE
是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
【解题模型四 倍长中线模型】
例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图， 是 的中线， ， ，求中线
的取值范围．
【答案】
【分析】延长 到 ，使 ,证明两边之和大于 ，两边之差小于 ，证明三角形
全等，得到线段相等，等量代换得 ．
【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，∵ 为 中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全
等三角形．
【变式训练】
1．如图，在 中， 是 边上的中线．延长 到点 ，使 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2) 与 的数量关系是：____________，位置关系是：____________；
(3)若 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析
(2) ，
(3) ，证明见解析
【分析】(1)根据三角形全等的判定定理 ，即可证得；
(2)由 ，可得 ， ，据此即可解答；
(3)根据三角形全等的判定定理 ，可证得 ，据此即可解答．
【详解】（1）证明： 是BC边上的中线，
，
在 与 中
，
；
（2）解： ，
， ，
，
故答案为： ， ；
（3）解：
证明： ，
， ，
，
在 和 中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
2．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝
OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证： OAC和 OBD是兄弟三角形．
(2)“取BD△的中点P，△连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课
讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．
①请在图中通过作辅助线构造 BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；
②求证：AC＝2OP． △
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明 BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明 EBO≌△COA（SAS），由全等三△角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
【详解△】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，∵P为BD的中点，
∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，
∴∠E=∠DOP，
∴BE OD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC，
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC，
又∵OB=OA，
∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE=AC，
又∵OE=2OP，
∴AC=2OP．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是
解题的关键．
3．阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1， 是 的中线， ， ，求 的取值范围．我们可以延长 到点 ，使，连接 ，易证 ，所以 ．接下来，在 中利用三角形的三边关
系可求得 的取值范围，从而得到中线 的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形 中， ，点 是 的中点．若 是 的平分线，试判断 ， ，
之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点 ，点 是 的中点，若 是
的平分线，试探究 ， ， 之间的数量关系，请直接写出你的结论．
【答案】阅读理解：
类比应用：
拓展创新：
【分析】阅读理解：由全等的性质推出 ，再根据 ，可得结论．
类比应用：延长 ， 交于点F，先证 得 ，再由 是 的平分线知
，从而得 ，据此知 ，结合 可得答案．
拓展创新：延长 ， 交于点 ，根据平行和角平分线可证 ，也可证得 ，从
而可得 ，即可得到结论．
【详解】阅读理解：由题可知， ，
∴ ．
∵ ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
类比应用： ．理由如下：如图1，延长 ， 交于点 ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
拓展创新：如图2，延长 ， 交于点 ．∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定
义、平行线的性质，三角形三边关系等知识点，综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线，倍长中线
构造全等三角形是解题的关键．
【解题模型五 旋转模型】
例题：如图， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明；
（3）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA
【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠ =90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠ =90°，
∴ CE⊥BD．
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=∴∠DFC=180°-
∴∠CFA= ∠DFC=
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题
的关键；
【变式训练】
1．如图，在 ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转
120°能与BE重△合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，∴∠BED＝∠BDE＝ （180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是
解题的关键．
2．问题发现：如图1，已知 为线段 上一点，分别以线段 ， 为直角边作等腰直角三角形，
， ， ，连接 ， ，线段 ， 之间的数量关系为______；位置关系
为_______．
拓展探究：如图2，把 绕点 逆时针旋转，线段 ， 交于点 ，则 与 之间的关系是
否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现： ， ；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证 ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证 ，△根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵ ，
∴ ，
又∵ ,
∴ （SAS），
，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为： ， ；
拓展探究：成立．
理由如下：设 与 相交于点 ，如图1所示：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ （SAS），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ， 依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定
和手拉手模型是解决本题的关键．
3．（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2， ABC绕点B逆时
针旋转60°得到 DBE，连接AE． △
（1）求证： A△BC≌△ABE；
（2）连接AD△，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，根据全等三角形的判定定理
即可得到结论；
（2）连接AD，根据旋转的性质得到DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，根据全等三角形的性质得到
∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到 DBE，
∴∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC， △
∵∠DBC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
在 ABC与 ABE中， ，
△ △
∴△ABC≌△ABE（SAS）；
（2）解：连接AD，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到 DBE，
∴DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC△＝2，
∵△ABC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，
∵∠C＝45°，
∴∠BED＝∠BEA＝∠C＝45°，
∴∠AED＝90°，DE＝AE，
∴AD＝ AE＝2 ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋
转的性质是解题的关键．
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时
针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关
系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两
种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；
（3）72或2
【分析】（1）首先通过SAS证明 ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；
（2）仿照（1）中证明 ACD≌△B△CE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；
△
（3）首先求出BE的长度，然后利用S AED •AD•EB即可求解．
△【详解】解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S AED •AD•EB 12×12＝72．
△
如图3中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，
∴S AED •AD•EB 2×2＝2．
△
【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．
