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猜想 02 全等三角形（5 种解题模型专练）
题型一：一线三等角构造全等模型 题型二：手拉手模型-旋转型全等
题型三：倍长中线模型 题型四：角平分线+垂直构造全等模型
题型五：对角互补且一组邻边相等的半角模型
题型一：一线三等角构造全等模型
1．（2022秋•南陵县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点
D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝ cm．
2．（2022秋•香坊区期末）如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接
DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝ ．
3．（2022秋•射洪市期末）如图，△ABF和△DCE中，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与
AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：OE＝OF．
4．（2022秋•嘉峪关期末）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了
两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．
（1）求证：△ABP≌△PEF；
（2）求BE的长．5．（2022秋•大安市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，
BN⊥MN于点N．
（1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN；
（2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1，则MN＝ ．
6．（2022秋•新乡期末）已知在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象
限内作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．求点C坐标．
7．（2022秋•榆树市校级期末）如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．
（1）求证：CE＝AB．
（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是 ．8．（2022秋•榆树市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，
BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图（3）的位置时，请直接写出 DE，AD，BE 之间的等量关系．9．（2023春•济南期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满
足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝ ．
（1）如图1，当 ＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
α
（2）如图2，当0＜ ＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请
α
说明理由；
α
（3）拓展与应用：如图3，当 ＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，
FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
α
10．（2022秋•赣县区期末）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．
所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于
D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于
D，BE⊥CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，
∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标.
11．（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系 xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A
（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证
CD+DN＝AM；
（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限
作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x
轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．12．（2022秋•剑阁县期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD
＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．
（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝ °；
（2）过D点作DG⊥AE，垂足为G．
①填空：△DEG≌△ ；
②求证：AE＝AF+BC；
（3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关
系，并简要说明理由．13．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，平面直角坐标系中点 B（﹣2，0），点A（0，5），以点A为直角顶
点在第二象限内作等腰直角三角形ABC，过点C作CE垂直于y轴，垂足为点E，
（1）证明：△ABO≌△CAE，并求点C的坐标．
（2）在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
题型二：手拉手模型-旋转型全等
1．（2022秋•沙依巴克区校级期末）如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别
作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①AE＝
DB；②∠APB＝2∠ADC；③当AC＝BC时，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正确的是 ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
2．（2022秋•江岸区期末）如图所示，在四边形 ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD且AC＝5，将
BC沿BA方向平移至AE，连接CE、DE，若以AC、BD和DE为边构成的三角形面积是 ，则DE＝
．3．（2022秋•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作
BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的
中点，下列结论：①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD ＝
2S△DNE ．其中正确的结论有 ．（填写序号即可）
4．（2022秋•海口期末）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠MDN＝90°，将
∠MDN绕点D顺时针旋转，它的两边分别交AB、AC于点E、F.
（1）求证：△BDE≌△ADF；
（2）如图2，若DM＝DN，连接BM、NA，求证：BM＝AN．
5．（2022秋•夏邑县期末）如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点
E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．
求证：（1）∠CAF＝∠CBE；
（2）△CEF是等边三角形．
6．（2022秋•汝阳县期末）如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．AC＝41，
DE＝18，将△DCE绕着顶点C旋转，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）在△DCE的旋转过程中，探求：点A，D，E在同一直线上时，AE的长．
7．（2022秋•舒兰市期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE，以BE为一边作等边
△BED，连接AD．
（1）求证：CE＝AD．
（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，则△ADE的周长为 cm．
8．（2022秋•五莲县期末）如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．
（1）求证：EC＝BF；
（2）求证：EC⊥BF．9．（2022秋•西湖区校级期末）已知，∠MON＝90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，∠OAP＝
．以线段AP为边在AP上方作等边△ABP，连接OB、BP，再以线段OB为边作等边△OBC（点C、P在
OB的同侧），作CH⊥ON于点H．
α
（1）如图1， ＝60°．①依题意补全图形；②求∠BPH的度数；
（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．
α
10．（2022秋•湖北期末）已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠BAC＝∠BDC＝ ．
（1）【特例体验】
α
如图1，AB＝BC， ＝60°，则∠ADB的度数为 ；
（2）【类比探究】
α
如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；
（3）【拓展迁移】
如图3， ＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出 的值（用k的代数式
α表示）．
11．（2022秋•垫江县期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．
（1）求证：AC＝BD．
（2）求∠APB的度数．
12．（2022秋•临淄区期末）阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．
操作与证明：
（1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2
中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．
（2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度 （60°＜ ＜180°），连接
AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？
α α
∠EMD的度数是多少？证明你的结论．猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明
你的结论．
13．（2022秋•重庆期末）△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．
（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；
（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结
论；
（3）如图 3，当 A，E，D 在同一直线时（A，D 在点 E 的异侧），CE 与 AB 交于点 G，∠BAD＝
∠ACE，求证：BG+AB＝AC．14．（2022秋•德州期末）（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一
条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为 ；
②线段AE、BD之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在
同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之
间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一
条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．
15．（2022秋•金牛区期末）△ABC中，∠BAC＝135°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝135°，
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求 的值．
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，BC＝4，∠DAE＝67.5°，求DE的长．16．（2022秋•高邑县期末）如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点
（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：
．
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和
CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝12，CE＝4，求线段ED的长．17．（2022秋•大名县期末）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长；
（3）若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为
．
18．（2022秋•惠民县校级期末）（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分
别是底边，求证：BD＝CE；（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：∠AEB的度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ．
（3）拓展探究
如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM
为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明
理由．题型三：倍长中线模型
1．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连结 DC，作
DM⊥DC交AC于点M．若AB＝10，AM＝2，则CM＝ ．
2．（2022秋•中山市期末）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，当点D为BC中点时，求证：△ABC是等腰三角形．
3．（2022秋•梅里斯区期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证
明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝
CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
4．（2022秋•常德期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在
△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得
△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条
件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE
＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：
BE+CF＞EF．5．（2022秋•南沙区校级期末）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为腰向△ABC外作
等腰三角形ABM和等腰三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝120°，∠NBC＝60°，连接
MN．
（1）请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
