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专题 12.4 全等三角形中的经典模型【六大题型】
【人教版】
【题型1 平移模型】..................................................................................................................................................1
【题型2 轴对称模型】..............................................................................................................................................4
【题型3 旋转模型】..................................................................................................................................................6
【题型4 一线三等角模型】......................................................................................................................................9
【题型5 倍长中线模型】........................................................................................................................................13
【题型6 截长补短模型】........................................................................................................................................16
【知识点1 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图
①，图②是常见的平移型全等三角线.
【常见模型】
【题型1 平移模型】
【例1】（2022•义马市期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：
△ACF≌△BDE．【变式1-1】（2022•曾都区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还
添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言：
甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D．
（1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是 ；
（2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明．
【变式1-2】（2022春•东坡区校级期末）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是
BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的
周长为 cm．【变式1-3】（2022•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝
AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结
论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
【知识点2 轴对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对
称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.
【常见模型】【题型2 轴对称模型】
【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝
50°，∠F＝40°．
（1）求△DBE各内角的度数；
（2）若AD＝16，BC＝10，求AB的长．
【变式2-1】（2022•陇县一模）如图，在△ABC中，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∠DCB＝
∠EBC．求证：AD＝AE．
【变式2-2】（2022•句容市期末）如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC＝BD．【变式2-3】（2022•海珠区校级期中）如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点．求证：
∠BDP＝∠CDP．
【知识点3 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.
【常见模型】
【题型3 旋转模型】
【例3】（2022•环江县期中）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠1＝70°，∠D＝110°．
求证：△ABC≌△EAD．
证明：∵∠1＝70°，
∴ （ ）．
又∵∠D＝110°，
∴ （ ）．
∵AB∥DE，
∴ （ ）．
在△ABC和△EAD中，
{(ㅤㅤㅤㅤ)
，
(ㅤㅤㅤㅤ)
AB=AE
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
【变式3-1】（2022春•济南期末）如图 1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作
BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【变式3-2】（2022•高港区校级月考）已知，如图，AD、BF相交于O点，点E、C在BF上，且BE＝
FC，AC＝DE，AB＝DF．求证：
（1）AO＝DO；
（2）AC∥DE．
【变式3-3】（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1），△ABD不动．
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB
＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），
判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还
成立吗？说明理由．
【知识点4 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【题型4 一线三等角模型】
【例4】（2022春•香坊区期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝
9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 BD ＝ AE ，CE与AD的数量关系为 CE ＝
AD ；
（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点
E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存
在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2022•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有
∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．【变式4-2】（2022春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线
CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．
（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，
①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BE CF，EF |BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；
②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系
（不需要证明）．
【变式4-3】（2022•余杭区月考）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的
射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：
△ABE≌△CAF．
应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD
上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．【知识点5 倍长中线模型模型】
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添
加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法．
【常见模型】【题型5 倍长中线模型】
【例5】（2022秋•博兴县期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，求中线BD的取值范围．
【变式5-1】（2022•涪城区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝
AC，BE的延长线交AC于F，求证：∠AEF＝∠EAF．
【变式5-2】（2022•浠水县校级模拟）（1）在△ABC中，AD为△ABC的中线，AB＝6，AC＝4，则AD
的取值范围是 ；
（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，点E在中线AD上，且BE＝AC，连接并延长BE交AC
于点F．求证：AF＝FE．【变式5-3】（2022•丹阳市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他
们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角
形
【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是 ．
（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：
AQ＝2AD．
【知识点6 截长补短模型】
【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段;
补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可
以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程
【题型6 截长补短模型】
【例6】（2022秋•西岗区期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下
面的问题；
（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究
DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【变式6-1】（2022•蕲春县期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分线AD、CE
交于点O．
求证：AC＝AE+CD．【变式6-2】（2022•新抚区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB的中点，DE平
分∠ADC．
（1）求证：CE平分∠BCD；
（2）求证：AD+BC＝CD；
（3）若AB＝12，CD＝13，求S ．
△CDE【变式 6-3】（2022•黄石期末）已知△ABC和△DEF 为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝
∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；
（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．
