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专题02 三角形的中线、角平分线与高
（题型突破·举一反三）
题型01 利用三角形的中线求线段长
题型02 利用三角形的中线求周长差
题型03 利用三角形的中线求面积
题型04 利用角平分线求角度
题型05 角高模型求角度
题型06 角平分线与平行线的性质
题型07 识别高线
题型08 利用面积法求高或线段
题型09 利用高线求角度
题型10 根据高线位置分情况讨论
题型11 尺规作图
▌题型01 利用三角形的中线求线段长
1．定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
2．如图，AD 为△ABC 的中线，则BD=CD。
【典例1】（2025 秋•北流市期末）如图，若AD 是△ABC 的中线，BD＝4，则BC 的长度为（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．8
【变式1-1】（2025 秋•迪庆州校级期末）如图，AP 是△ABC 的中线，AQ 是△ABP 的中线．若BC＝8，则
BQ 的长为 ．
【变式1-2】在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为15 和12 两部分，则这个等腰三角形
的底边长为 ．
【变式1-3】如图，在周长为20cm 的△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，已知CD=4cm，AC=7cm，则AB 的
长为（ ）
A．6cm
B．5cm
C．4cm
D．3cm
▌题型02 利用三角形的中线求周长差
如图，AD 为△ABC 的中线，则BD=CD，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差为|𝐴𝐶−𝐴𝐵|。
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【典例1】如图，AD 是△ABC 的一条中线，△ABD 的周长是10，△ACD 的周长是12，那么AC﹣AB＝ ．
【变式1-1】（2025 秋•关岭县期末）如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，AD 为中线，则△ABD 与△ACD
的周长之差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1-2】（2025 秋•三亚期末）如图，CM 是△ABC 的中线，BC＝8cm，若△BCM 的周长比△ACM 的周
长大2cm，则AC 的长为（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【变式1-3】（2025 秋•林芝市期末）如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为28cm，AB 比AC 长
6cm，则△ACD 的周长为（ ）
A．34cm
B．31cm
C．22cm
D．20cm
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▌题型03 利用三角形的中线求面积
如图，AD 为△ABC 的中线，则BD=CD，△ABD 与△ACD 的面积相等，即𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷。
【典例1】（2025 秋•赤坎区期末）如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，𝑆△𝐴𝐸𝐶= 3𝑐𝑚2，则三
角形ABC 的面积是（ ）
A．6cm2
B．9cm2
C．12cm2
D．18cm2
【变式1-1】（2025 秋•滨江区期末）如图，AD 是△ABC 的中线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，DF＝
2DE，则AB 是AC 的 倍．
【变式1-2】（2025 春•昌黎县期末）如图是一块面积为10 的三角形纸板，点D、E、F 分别是线段AF、
BD、CE 的中点，则阴影部分的面积为 .
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【变式1-3】如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．
（1）作图：在△BED 中作出BD 边上的高EF；BE 边上的高DG；
（2）若△ABC 的面积为40，BD＝5，则△BED 中BD 边上的高EF 为多少？
▌题型04 利用角平分线求角度
1．定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平
分线。任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部。
2．如图，AD 为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，则∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶。
【典例1】如图，在△ABC 中，AE 为边BC 上的高，点D 为边BC 上的一点，连接AD．
（1）当AD 为∠BAC 的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE 的度数．
（2）当AD 为边BC 上的中线时，若AB＝10，△ADC 的周长比△ABD 的周长少2，求AC 的长度．
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【变式1-1】（2026 春•虹口区期末）如图，已知在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=45°，AD 是△ABC 的角平分
线，那么∠ADB 的度数是（ ）
A．80°
B．60°
C．65°
D．75°
【变式1-2】如图，AD 是△ABC 的角平分线，点O 在AD 上，且OE⊥BC 于点E，∠BAC=60°，
∠EOD=20°，则∠C 的度数为（ ）
A．80°
B．75°
C．70°
D．65°
【变式1-3】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，CE 平分∠ACD 交AD 于点E，若∠BAC：∠CAD＝
3：2，∠DCE＝35°．
（1）求∠CAD 的度数；
（2）求∠B 的度数．
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▌题型05 角高模型求角度
如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD⊥BC 于点D，则∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 |∠𝐶−∠𝐵|。
【典例1】如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD 和AE 分别是△ABC 的高和角平分线，求∠DAE
的度数．
【变式1-1】（2025 春•德州期末）如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是角平分线，BC＞AC．若∠BAC=α，
∠B=β，则∠DCE= ．（用含有α，β 的式子表示）
【变式1-2】（2025 春•隆昌市校级期末）如图，AD 和BF 分别是△ABC 的高和角平分线，AE 是边BC 的中
线．
（1）若△ABE 的面积为6，则△ABC 的面积为 ；
（2）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，求∠DAC 和∠AFB 的度数．
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【变式1-3】如图，在△ABC 中，AE 为边BC 上的高，点D 为边BC 上的一点，连接AD．
（1）当AD 为∠BAC 的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE 的度数．
（2）当AD 为边BC 上的中线时，若AB＝10，△ADC 的周长比△ABD 的周长少2，求AC 的长度．
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▌题型06 角平分线与平行线的性质
1．如图，AD 为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，则∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶。
2．平行线的性质
两直线平行，同位角相等；
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐹𝑀，∠𝑀𝐸𝐵= ∠𝑀𝐹𝐷.
两直线平行，内错角相等；
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶.
两直线平行，同旁内角互补；
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐶= 180°，∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°.
【典例1】如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线交AC 于点E，过点E 作DF∥BC，交AB 于点D，且EC
平分∠BEF．
（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC 的度数；
（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝ （含α 的代数式表示）．
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【变式1-1】（2026 春•锦江区校级期末）图1 是一盏可折叠台灯．图2 是其平面示意图，支架AB，BC 为
固定支撑杆，支架OC 可绕点C 旋转调节．已知灯体顶角∠DOE＝40°，顶角平分线OP 始终与OC 垂
直．当支架OC 旋转至水平位置时（如图2），OD 恰好与BC 平行，则支架BC 与水平方向的夹角∠θ 的
度数为（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【变式1-2】如图，点O，P，Q 分别在AB，AC，BC 上，OQ 与BP 交于M 点，连接OP，已知∠OMB+∠
BPC＝180°，∠C＝∠POQ；
（1）求证：OP∥BC；
（2）若PO 是∠APB 的平分线，∠BPC＝2∠C，请判断BP 与OQ 的位置关系，并说明理由．
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【变式1-3】（2026 春•蜀山区校级期末）已知直线a∥b，点A、B 在直线a 上（B 在A 左侧），点C 在直
线b 上，E 点在直线b 的下方，连接AE 交直线b 于点D．
（1）如图1，若∠BAD＝110°，∠DEC＝65°，∠DCE＝ （填度数）．
（2）如图2，∠BAD 的邻补角的角平分线与∠DEC 的角平分线所在的直线交于点M，设∠ECD＝β，则
∠AME＝ （用含有β 的代数式表示）．
▌题型07 识别高线
1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
2．三角形的三条高的特性
名称
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
图示
高在三角形内部的数量
3
1
1
高之间是否相交
相交
相交
不相交
高所在直线是否相交
相交
相交
相交
交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
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【典例1】（2025 秋•广南县期末）画△ABC 的BC 边上的高，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2025 秋•黄岩区期末）作△ABC 的AB 边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、E、F，△ABC 中BC 边上的高是（ ）
A．CF
B．BE
C．CD
D．AD
【变式1-3】如图，将三角形纸片ABC 按下面四种方式折叠，则CM 是△ABC 的高的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
▌题型08 利用面积法求高或线段长
1．利用三角形的面积公式求高。
面积公式𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶∙𝐵𝐷，则𝐵𝐷=
2𝑆△𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐶
。
2．利用等面积法求高。
面积公式𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶∙𝐵𝐸=
1
2 𝐵𝐶∙𝐴𝐷=
1
2 𝐴𝐵∙𝐶𝐹。
【典例1】（2025 秋•绵阳期末）如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．若△ABC 的面积为30，
BD＝5，则△BDE 中BD 边上的高是（ ）
A．3
B．6
C．12
D．1.5
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【变式1-1】如图，在△ABC 中，AE⊥BC 于点E，AD 为BC 边上的中线．DF 为△ABD 中AB 边上的高线．已
知AB＝12cm，AC＝10cm，△ABC 的面积为48cm2．
（1）求△ABD 与△ACD 的周长之差；
（2）求DF 的长．
【变式1-2】如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．
（1）作图：在△BED 中作出BD 边上的高EF；BE 边上的高DG；
（2）若△ABC 的面积为40，BD＝5，则△BED 中BD 边上的高EF 为多少？
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【变式1-3】如图，△ABC 的边BC 上的高为AF，中线为AD，AC 边上的高为BG，已知AF＝6，BD＝10，
BG＝5．
（1）求△ABC 的面积；
（2）求AC 的长．
▌题型09 利用高线求角度
已知BD 为△ABC 的BC 边上的高，则∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，∠𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 90°。
【典例1】如图，AD 是△ABC 的高，CE 是△ABC 的角平分线，BF 是△ABC 的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC 的度数；
（2）若BC﹣AB＝9，求△BCF 与△BAF 的周长之差．
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【变式1-1】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，CE 平分∠ACD 交AD 于点E，若∠BAC：∠CAD＝
3：2，∠DCE＝35°．
（1）求∠CAD 的度数；
（2）求∠B 的度数．
【变式1-2】如图，BD、CE 是△ABC 的高，BD 和CE 相交于点O．
（1）图中有哪几个直角三角形？
（2）图中有与∠2 相等的角吗？请说明理由．
（3）若∠4＝55°，∠ACB＝65°，求∠3，∠5 的度数．
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【变式1-3】如图，AD 是△ABC 的角平分线，点E 在边AC 上（不与点A，C 重合），连接BE，交AD 于
点O．
（1）如图1，若BE 是△ABC 的中线，AB＝8，BC＝5，则△ABE 与△BCE 的周长差为 ．
（2）如图2，若∠BAC＝28°，BE 是△ABC 的高，则∠AOB 的度数为 ．
（3）如图3，若∠C＝64°，BE 是△ABC 的角平分线，求∠AOB 的度数．
▌题型10 根据高线位置分情况讨论
一般分高在三角形的内部和外部两种情况讨论。
【典例1】（2025 秋•松北区期末）已知在△ABC 中，∠A=38°，BD 是AC 边上的高，若∠CBD=∠A，则
∠ABC= ．
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【变式1-1】已知△ABC 的面积为14，AD 是BC 边上的高，若AD＝4，CD＝2，则BD 的长
为 ．
【变式1-2】在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，∠CAD＝20°，则∠ACB 的度数为 ．
【变式1-3】如图，在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，∠BAC＝90°，∠CAD＝35°．
（1）求∠ABC 的度数．
（2）若斜边BC 在直线EF 上，请直接写出∠ACF 的度数．
▌题型11 尺规作图
1.定义
在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图。其中直尺只能用来
作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧。由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图
可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允
许度量成分的。
2.熟练掌握尺规作图题的规范语言
（1）用直尺作图的几何语言：
①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；
（2）用圆规作图的几何语言：
①在××上截取××＝××；
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②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；
③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；
④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×。
【典例1】下列尺规作图的语句错误的是（ ）
A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α
B．延长射线AB
C．以点A 为圆心，以线段a 的长为半径画弧
D．过点D 作射线OD
【变式1-1】如图，点A，B，C 是不在一条直线上的三个点，且AB＝AC，过B，C 两点作直线，并连接AB，
AC．
（1）尺规作图：延长CA 至D，使得点A 为CD 的中点，作射线AC，在射线AC 上截取AE＝3AB；（作
图工具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写作法）
（2）若CD＝8cm，求DE 的长．
【变式1-2】如图所示，已知△ABC，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法）
①∠C 的角平分线CE；
②BC 边上的中线AF．
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【变式1-3】如图，已知△ABC．
（1）用直尺和圆规作△ABC 的角平分线BD；（保留作图痕迹）
（2）画△ABC 的BC 边上的高AE；
（3）画△ABC 的AB 边上的中线．
