文档文本内容
专题01 与三角形有关的线段
常考题型·精准突破
题型1 判断三边是否构成三角形（高频）
题型2 确定第三边的取值范围（重）
题型3 三角形三边关系的应用（重）
题型4 根据三角形的中线求解（高频）
题型5 重心的概念及有关应用（难）
题型6 根据三角形的角平分线求解（重）
题型7 画三角形的高（难）
题型8 根据三角形的高线求解（重）
题型9 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线（高频）
题型10 三角形中高线、中线、角平分线综合求解（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 判断三边是否构成三角形
1．（25-26 八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1，2 ，4
B．8 ，6 ，4
C．15，5 ，6
D．1，3，4
2．（25-26 八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．1cm 2cm 3cm
，
，
B．2cm 3cm 4cm
，
，
C．3cm 4cm 5cm
，
，
D．5cm 6cm 10cm
，
，
3．（25-26 八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是
（ ）
A．4cm 4cm 8cm
，
，
B．8cm 16cm 7cm
，
，
C．11cm 5cm 5cm
，
，
D．13cm 10cm 20cm
，
，
◆题型2 确定第三边的取值范围
4．（25-26 八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x 的取值范围为
_______．
5．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c 为三角形的三边，且a，b 满足
2
9
2
0
a
b
-
+
-
=
，第三边
c 为奇数，则c = _____ ．
6．（25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，x ，且x 是整数，则满足条件的三角形
有___________个．
◆题型3 三角形三边关系的应用
7．（24-25 八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c 为三角形的三边，则式子|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
+
-
-
-
-
= （ ）
A．2a
B．2b
C．0
D．2
2
a
c
-
8．已知
ABC
V
的三边分别为a、b、c，化简：a
b
c
a
b
c
c
b
a
+
-
- - +
+
-
-
-
=
．
9．（24-25 八年级上·云南文山·期中）若a ，b ，c 分别为
ABC
V
三边，化简：a
b
c
a
b
c
c
a
b
-
-
+
+
-
+
-
+
．
◆题型4 根据三角形的中线求解
10．（2026 八年级·全国·专题练习）在
ABC
V
中，AB
AC
=
，
ABC
V
的中线BD 将
ABC
V
的周长分为12和
15，则
ABC
V
的边BC 的长为_____．
11．（25-26 八年级上·陕西西安·期末）如图，AD 是
ABC
V
的中线，BE ，CE 分别是
,
ABD
ACD
△
△
的中线，
若阴影部分的面积为
2
3cm ，则
ABC
V
的面积为__________
2
cm ．
12．（25-26 八年级上·四川广安·期末）如图，
1
AP 为
ABC
V
的中线，
2
AP 为
1
APC
V
的中线，
3
AP 为
2
VAPC 的中
线，L，按此规律，
n
AP 为
1
-
V
n
AP C 的中线．
（1）若
12cm
AB =
，
16cm
AC =
，则
1
ACP
△
的周长与
1
△ABP 的周长相差_____cm ．
（2）若
ABC
V
的面积为64，则
5
APC
V
的面积为_____．
◆题型5 重心的概念及有关应用
13．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点D 是
ABC
V
的重心，连接BD 并延长，交AC 于点
E ，若
4
AE =
，则AC 的长度为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
14．（25-26 八年级上·安徽芜湖·期末）如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关
于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（ ）
A．画出三角形薄板的三条高，取其交点
B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点
C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点
D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点．
15．（25-26 八年级上·广东广州·期末）如图，在
ABC
V
中，AD 经过
ABC
V
的重心G 交BC 于点D ，若
ABC
V
的面积为
2
16cm ，则阴影部分的面积为（ ）
A．
2
8cm
B．
2
7cm
C．
2
6cm
D．
2
16 cm
5
◆题型6 根据三角形的角平分线求解
16．（25-26 八年级上·重庆九龙坡·月考）如图，在
ABC
V
中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，且
3
AC
CD
=
，
3
BE
EC
=
，连接BD 、AE 交于点F
BAF
Ð
，
的平分线交BD 于点G ，且
:
1: 2
AF AB =
，若AGB
V
的面积为16，则
AGD
△
的面积为___________．
17．（25-26 八年级上·浙江杭州·月考）
ABC
V
中，
50
BAC
Ð
=
°，AD 是BC 边上的高，AE 是
BAC
Ð
的角平
分线，若
40
DAE
Ð
=
°，则
BAD
Ð
为__________度．
18．（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，在锐角
ABC
V
中，BC 边上有E，D，F 三点，
,
BD
CD
BAE
DAE
=
Ð
= Ð
，AF
BC
^
，垂足为F．
（1）以AD 为中线的三角形有______；以AE 为角平分线的三角形有______；以AF 为高的钝角三角形有
______．
（2）若
88 ,
35
BAC
B
Ð
=
° Ð
=
° ，则
CAF
Ð
的度数为______．
◆题型7 画三角形的高
19．（25-26 八年级上·安徽安庆·期中）下面四个图形中，线段BD 是
ABC
V
的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（25-26 八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段AD 是
ABC
V
的高线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（25-26 八年级上·云南昭通·期末）如图，关于
CBA
△
边上的高，下列说法正确的是（ ）
A．线段AF 是AB 边上的高
B．线段DB 是AC 边上的高
C．线段DB 是BC 边上的高
D．线段BE 是AC 边上的高
◆题型8 根据三角形的高线求解
22．（25-26 八年级上·安徽合肥·月考）如图，在
ABC
V
中,
,
AB
AC P
=
是射线BC 上一点，过点P 作
,
PD
AB PE
AC
^
^
，垂足分别为
,
D E ，过点B 作BF
AC
^
，垂足为F，连接AP ．
(1)如图1，点P 在边BC 上，写出线段
,
,
PD PE BF 之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点P 在BC 的延长线上．当
10,
5,
2
ABC
S
AB
PE
=
=
=
V
时，求线段PD 的长．
23．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，D 为BC 边上任意一点，连接AD．已
知DE，DF 分别是
ABD
△
，ACD
V
的高．
作图：
（1）请在图①上作出
ABC
V
中AC 边上的高BG．
探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG 之间的数量关系为________________________．
填空：（3）为了说明DE，DF，BG 之间的数量关系，小明是这样做的：
因为
_________
ABC
ACD
S
S
=
+
△
△
，
所以1
1
2
2
____________
BG
DE
AC
AB
+
×
=
×
．
因为AB
AC
=
，
所以________________________．
拓展：（4）当点D 在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG 之间的数量关系是否仍然成立，并说明
理由．
24．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．
(1)如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
Ð
=
°，
6
AB =
，
8
BC = ，
10
AC =
，BD
AC
^
，垂足为点D ，则BD 的
长是_______；
(2)如图2，在
ABC
V
中，
3
AB = ，
6
BC =
，则
ABC
V
的高AD 与CE 的比是________；
(3)如图3，在
ABC
V
中，
90
A
Ð
=
°，
45
ABC
Ð
>
° ，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BE
EC
=
，
DM
BE
^
，DN
AC
^
，垂足分别为点M ，N ．若
8
AB =
，
3
DM =
，求DN 的值．
◆题型9 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线
25．（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形
的顶点为格点，点A 、B 、C 都是格点．
(1)仅用直尺过点C 画CD ，使CD
AB
∥
；
(2)仅用直尺画出
ABC
V
的高CH ；
(3)比较大小：CH _____CA （填“>”、“=”或“<”），理由是__________．
26．（25-26 七年级下·全国·周测）如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 在小正方形的顶
点上．
(1)画出
ABC
V
中边BC 上的高AD ，边AC 上的中线BE ；
(2)若ABE
V
的周长比BCE
V
的周长长4.5，则AB 比BC 长____________；
(3) ABE
V
的面积为____________．
27．（25-26 九年级上·湖北武汉·月考）只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，
保留作图痕迹．
(1)在图（1）中画
ABC
V
的角平分线BD ，标出点D；
(2)在图（2）中，作
ABC
V
的BC 边上的高AD ．
◆题型10 三角形中高线、中线、角平分线综合求解
28．（24-25 七年级下·江苏泰州·期中）如图，在
ABC
V
中，AD 是BC 上的中线，点E 是AD 的中点，连接
CE ，EF
BC
^
．
(1)若
20
DEF
Ð
=
° ，
37
BAD
Ð
=
° ，求
B
Ð
的度数；
(2)若
ABC
V
的面积为24 ，
4
CD =
，求线段EF 的长度．
29．（25-26 八年级上·河南信阳·期中）如图，在
ABC
V
中，BE 是角平分线，点D 在边AB 上（不与点A，B
重合），CD 与BE 交于点O．
(1)若CD 是中线，
7,
5
BC
AC
=
=
，则
BCD
△
与ACD
V
的周长差为______．
(2)若
64
ABC
Ð
=
° ，CD 是
ABC
V
的高，求
BOC
Ð
的度数．
30．（25-26 八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，
自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知
ABC
V
的高
cm
AD
ab
=
，面积为
2
2
2
2
cm
a b
ab
+
，求BC 的长度．
(2)小涵：如图2，已知D 是BC 中点，
2cm
AB
AC
-
=
，
16cm
ABD
C
=
△
，求
ACD
CV
．
(3)小宇：如图3，已知AD 平分
BAC
Ð
，
40
B
Ð
=
°，
60
C
Ð
=
°，求
DAC
Ð
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·辽宁鞍山·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（ ）
A．2
,2
,5
cm
cm
cm
B．3
,4
,7
cm
cm
cm
C．4
,6
,1
cm
cm cm
D．6
,7
,5
cm
cm
cm
2．（25-26 七年级下·山西运城·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
Ð
=
° ，点D 是BC 上一点，DE
AB
^
，垂
足为E ，点F 是AB 上一点，连接DF ，且DF
BC
^
，下列说法中不正确的是（ ）
A．线段DE 是ABD
V
中AB 边上的高
B．线段DE 是ADF
V
中AF 边上的高
C．线段DF 是ABD
V
中BD 边上的高
D．线段AC 是ABD
V
中BD 边上的高
3．（25-26 七年级下·广东揭阳·阶段检测）若a ，b ，c 是ABC
V
的三边，化简：a
b
c
a
c
b
+
-
-
- -
= （ ）
A．0
B．2
2
a
c
-
C．2
2
a
c
-
+
D．2b
4．
（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，BE 是ABC
V
的中线，AD 是ABC
V
的BC 边上的高，
6
DC = ，
4
BD =
，
3
AD =
，则ABE
V
的面积是（ ）
A．1.5
B．2
C．3
D．4.5
5．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐
比”．若等腰ABC
V
的周长为20 ，其中一边长为6 ，则它的“和谐比”为（ ）
A．3
4
B．7
6
C．4
3 或6
7
D．3
4 或7
6
二、填空题
6．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）一个三角形的三边长分别为3，9，x，若x 为偶数，则x 的值为
________．（写出一个即可）
7．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，AD 与BC 交于点E ，
3
AE =
，
2
EC =
，
2.5
AB =
，则CD的长是______．
8．（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）如图，ABC
V
中，点D 是边BC 的中点，E 是边AB 上靠近点B 的三等
分点，点F 在BC 上，且满足3DF
BD
=
，连接AF 、ED ，若四边形AEDF 的面积为5 ，则ABC
V
的面积为
______．
9．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在ABC
V
中，
9
AB = ，
8
BC = ，AE 为BC 边上的高，
7
AE =
，
P 为AB 上一动点．给出下面四个结论：①
28
ABC
S
=
△
；②BP
EC
=
；③当CP
AB
^
时，
BAE
PCB
Ð
= Ð
；
④CP 的最小值为56
9 ；上述结论中，正确结论的序号是_______．
10．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在ABC
V
中，AD 为BC 边上的中线．
（1）若ABD
V
的周长比ACD
V
的周长大4，
14
AB
AC
+
=
，则AC = ___________；
（2）若ABC
V
的面积为17，则ACD
V
的面积为___________；
（3）若
6
BC =
，
4
AD =
，则ABC
V
的面积的最大值为___________．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·河南周口·期中）已知a ，b ，c 是ABC
V
的三边长．
(1)若
2
0
a
b
b
c
-
+
-
=
，试判断ABC
V
的形状．
(2)化简：a
b
c
b
c
a
c
a
b
-
-
+
+ -
+
-
-
．
12．（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题．
(1)在ABC
V
中，
6
AB =
，
2
BC =
，AC 的长为偶数，求ABC
V
的周长；
(2)已知ABC
V
的三边长分别为3，7，m，化简
2
10
2
4
m
m
m
+
-
-
+
-
．
13．
（25-26 七年级下·辽宁·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，点A
B
C
，，
均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出ABC
V
的边AB 上的高CD；
(2)画出ABC
V
的边AB 上的中线CE ；
(3)过点A 作线段AF
BC
P
且AF
BC
=
；
(4)线段
5
AC =
，则点B 到直线AC 的距离为___________个单位长度．
14．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其
悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对
三角形重心的几何性质展开探究．
【观察发现】
(1)如图2，小组成员在ABC
V
上画出中线AD ，可以得到
ABD
SV
ACD
S△
（填“ >”“ = ”或“<”）；
【初步探究】
(2)如图3，AD 、BE 、CF 是ABC
V
的三条中线，三者相交于点O ，猜想
AOB
SV
与
BOC
SV
的数量关系并证明你
的结论；
【拓展应用】
(3)如图4，在ABC
V
中，点O 是ABC
V
的重心．连接BO ，CO 并延长分别交AC ，AB 于点E ，F ．若
BO
CO
^
，
9
BE =
，
15
CF =
，求四边形AEOF 的面积．
15．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】
八年级上册课本上有一道题：如图1，在ABC
V
中，
2
AB =
，
4
BC =
，则ABC
V
的高AD 与CE 的比是多少？
(1)请解答上述问题；
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图
2 ，若ABC
V
中，D 是边BC 上的点，则
ABD
ACD
S
BD
S
CD
=
△
△
．
(2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
【拓展应用】
(3)如图3，ABC
V
中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，AD 与BE 交于点O ．若BD
CD
=
，
2
AE
CE
=
，
请直接写出AO
AD 的值．
