文档文本内容
专题01 与三角形有关的线段
常考题型·精准突破
题型1 判断三边是否构成三角形（高频）
题型2 确定第三边的取值范围（重）
题型3 三角形三边关系的应用（重）
题型4 根据三角形的中线求解（高频）
题型5 重心的概念及有关应用（难）
题型6 根据三角形的角平分线求解（重）
题型7 画三角形的高（难）
题型8 根据三角形的高线求解（重）
题型9 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线（高频）
题型10 三角形中高线、中线、角平分线综合求解（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 判断三边是否构成三角形
1．B
2．A
3．D
◆题型2 确定第三边的取值范围
4．3
9
x
<
<
5．9
6．5
◆题型3 三角形三边关系的应用
7．D
8．a
b
c
-
-
9．
3
a
b
c
- +
+
◆题型4 根据三角形的中线求解
10．7 或11
11．6
12． 4
2
◆题型5 重心的概念及有关应用
13．B
14．B
15．A
◆题型6 根据三角形的角平分线求解
16．40
3
17．65或15/15 或65
18．
ABC
V
ABD
△
,
,
ABE
ABD
ADE
V
V
V
33°/33度
◆题型7 画三角形的高
19．D．
20．A
21．D
◆题型8 根据三角形的高线求解
22．
【答案】（1）解：BF
PD
PE
=
+
，理由如下：
∵
,
,
PD
AB PE
AC BF
AC
^
^
^
，
∴
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
+
V
V
V
，即1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PE
×
=
×
+
×
，
∵AB
AC
=
，
∴BF
PD
PE
=
+
；
（2）解：∵
,
,
PD
AB PE
AC BF
AC
^
^
^
，
∴
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
-
V
V
V
，即1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PE
×
=
×
-
×
，
∵AB
AC
=
，
∴BF
PD
PE
=
-
．
∵
10
S ABC =
V
，
∴1
·
10
2 AC BF =
，
∵
5
AC
AB
=
=
，
所以1
5
10
2
BF
´ ×
=
，
整理得：5
20
BF =
，
解得
4
BF =
，
∴
4
2
6
PD
BF
PE
=
+
=
+
=
，
所以线段PD 的长为6．
23．
【答案】解：（1）如图①，BG 即为所求．
（2）BG
DE
DF
=
+
（3）因为
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
所以1
1
1
2
2
2
AC BG
AB DE
AC DF
×
=
×
+
×
．
因为AB
AC
=
，
所以BG
DE
DF
=
+
．
故答案为：
ABD
SV
，1
2 AC DF
×
，BG
DE
DF
=
+
．
（4）不成立．理由如下：
如图②，过点B 作BG
AC
^
于点G ．
ABD
ABC
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
Q
，
1
1
1
2
2
2
AB DE
AC BG
AC DF
\
×
=
×
+
×
．
AB
AC
=
Q
，
DE
BG
DF
\
=
+
，
BG
DE
DF
\
=
-
．
24．
【答案】
【详解】（1）解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
Ð
=
°， BD
AC
^
，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB BC
AC BD
=
×
=
×
△
，
∵
6
AB =
，
8
BC = ，
10
AC =
，
∴
6 8
5
24
10
AB BC
BD
AC
×
´
=
=
=
；
故答案为：24
5 ；
（2）解：∵
1
1
2
2
ABC
S
AB CE
BC AD
=
×
=
×
V
，
3
6
AB
BC
=
=
，
，
∴1
1
3
6
2
2
CE
AD
´
=
´
，
∴2AD
CE
=
，
∴
:
1: 2
AD CE =
；
故答案为：1: 2；
（3）解：∵
1
1
1
2
2
2
BCE
BDE
CDE
S
AB CE
S
DM BE
S
DN CE
=
×
=
×
=
×
V
V
V
，
，
，
且
BCE
BDE
CDE
S
S
S
=
+
V
V
V
，
∴1
1
1
2
2
2
AB CE
DM BE
DN CE
×
=
×
+
×
，
又∵BE
CE
=
，
∴AB
DM
DN
=
+
，
∵
8
AB =
，
3
DM =
，
∴
5
DN = ．
◆题型9 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线
25．
【答案】（1）如图所示，直线CD 即为所求．
（2）如图所示，线段CH 即为所求．
如图所示，可知
ACG
HAG
Ð
= Ð
．
因为
90
ACG
AGC
Ð
+ Ð
=
° ，
所以
90
HAG
AGC
Ð
+ Ð
=
° ．
所以
90
AHG
Ð
=
°．
所以
AB
CH ^
．
（3）根据图形可知，CH
CA
<
，理由是垂线段最短．
故答案为：<，垂线段最短
26．
【答案】（1）解：如图所示，线段AD 、线段BE 即为所求．
（2）解：∵BE 是
ABC
V
的中线，
∴AE
CE
=
．
∵ABE
V
的周长比BCE
V
的周长长4.5 ，
∴
4.5
AB
AE
BE
BC
CE
BE
+
+
-
+
+
=
，
4.5
AB
BC
\
-
=
．
（3）解：∵
1
1
4 4
8
2
2
ABC
S
BC AD
=
×
=
´ ´
=
V
，BE 是
ABC
V
的中线，
∴
1
4
2
ABE
ABC
S
S
=
=
△
△
．
27．
【答案】（1）解：如图所示，线段BD 即为所求；
（2）解：如图所示，线段AD 即为所求．
◆题型10 三角形中高线、中线、角平分线综合求解
28．
【答案】
【详解】（1）解：
EF
BC
^
Q
，
90
DEF
EDF
\Ð
+ Ð
=
° ，
20
DEF
Ð
=
°
Q
，
70
EDF
\Ð
=
° ，
180
B
BAD
EDF
Ð + Ð
+ Ð
=
°
Q
，
37
BAD
Ð
=
° ，
180
70
37
73
B
\Ð
=
°-
°-
° =
° ；
（2）解：
AD
Q
是
ABC
V
的中线，
1
1
24
12
2
2
ACD
ABC
S
S
\
=
=
´
=
V
V
，
Q点E 是AD 的中点，
1
1 12
6
2
2
CDE
ACD
S
S
\
=
=
´
=
V
V
，
1
2
CDE
CD EF
S
×
×
=
V
Q
，
1
4
6
2
EF
\
´ ×
=
，
3
EF
\
= ．
29．
【答案】（1）解：∵CD 是
ABC
V
的中线，
∴AD
BD
=
，
∵
7,
5
BC
AC
=
=
，
∴
BCD
△
与ACD
V
的周长差为
2
BC
CD
BD
AC
CD
AD
BC
AC
+
+
-
+
+
=
-
=
；
（2）解：∵BE 是角平分线，
64
ABC
Ð
=
° ，
∴
1
32
2
ABE
ABC
Ð
=
Ð
=
° ，
∵CD 是
ABC
V
的高，
∴
=90
BDC
Ð
° ，
∴
90
58
BOD
ABE
Ð
=
°- Ð
=
°，
∴
180
122
BOC
BOD
Ð
=
°- Ð
=
° ．
30．
【答案】（1）解：∵
1
2
ABC
S
BC
AD
=
´
´
△
，
又∵
cm
AD
ab
=
，
2
2
2
2
cm
S
a b
ab
=
+
，
∴
2
2
2
a b
ab
+
= 1
2
BC
ab
´
´
，
∴
2
4
BC
ab
=
+
；
（2）解：∵D 是BC 中点，
∴BD
CD
=
，
∵
16cm
ABD
C
AB
AD
BD
=
+
+
=
△
，
∴
16cm
AB
AD
CD
+
+
=
，
∵
ACD
C
AC
AD
CD
=
+
+
△
，
2cm
AB
AC
-
=
，
∴
2
2
14cm
ACD
C
AB
AD
CD
AB
AD
CD
=
-
+
+
=
+
+
-
=
V
；
（3）解：∵
40
B
Ð
=
°，
60
C
Ð
=
°，
∴
180
40
60
80
BAC
Ð
=
°-
°-
° =
° ，
∵AD 平分
BAC
Ð
，
∴
1
40
2
DAC
BAC
Ð
=
Ð
=
° ．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．D
2．C
3．B
4．A
5．D
二、填空题
6．8 （答案不唯一）
7．5
3
8．10
9．①③④
10． 5
8.5
12
三、解答题
11．
【答案】
【详解】（1）解：∵
2
0
a
b
b
c
-
+
-
=
，
0
a
b
\ -
=
，且
0
b
c
-
=
，
a
b
c
\
=
=
，
ABC
\V
为等边三角形．
（2）解：∵a ，b ，c 是ABC
V
的三边长，
∴
0
a
b
c
-
- ＜，
0
b
c
a
+ -
>
，
0
c
a
b
-
- ＜，
∴：
3
a
b
c
b
c
a
c
a
b
a
b
c
b
c
a
c
a
b
a
b
c
-
-
-
-
-
+
+
+
= - +
+ +
+ -
- +
+
= - +
+ ．
12．
【答案】（1）解：∵ AB
BC
AC
AB
BC
-
<
<
+
，
6
AB =
，
2
BC =
，
∴ 6
2
6
2
AC
-
<
<
+
，即4
8
AC
<
<
．
又∵AC 为偶数，
∴
6
AC =
．
∴ABC
V
的周长为
6
14
=
6+2+
．
（2）解：∵ABC
V
的三边长分别为3，7 ，m ，
∴7
3
7
3
m
-
<
<
+ ，即4
10
m
<
<
．
∴
2
0
m +
>
，
10
0
m -
<
，
4
0
m -
>
．
∴原式
(
2)
(10
)
2(
4)
m
m
m
-
-
=
+
-
+
2 10
2
8
m
m
m-
=
+
-
+
+
4
16
m
=
-
．
13．
【答案】（1）解：ABC
V
的边AB 上的高CD如图所示；
（2）解：ABC
V
的边AB 上的中线CE 如图所示；
（3）解：如图，线段AF 即为所作；
（4）解：ABC
V
的面积
1
2 4
4
2
=
´ ´
=
，
设点B 到直线AC 的距离为h，则1
4
2
AC h
´
×
=
，即1
5
4
2
h
´ ×
=
解得
8
1.6
5
h =
=
．
14．
【答案】（1）解：∵AD 是ABC
V
的中线，
∴BD
CD
=
，
∵ABD
V
和ACD
V
的高相等，
则两个三角形的面积相等；
(2)
AOB
BOC
S
S
=
△
△
；
证明：∵AD 是ABC
V
的中线，
∴OD 是
OBC
△
的中线，
∴
OBD
OCD
S
S
=
V
V
,
同理可得：
OAE
OCE
S
S
=
V
V
,
OAF
OBF
S
S
=
V
V
,
设
OBD
OCD
S
S
a
=
=
V
V
，
OAE
OCE
S
S
b
=
=
V
V
，
OAF
OBF
S
S
c
=
=
V
V
∴
2
ABD
OAF
OBF
OBD
S
S
S
S
c
a
=
+
+
=
+
V
V
V
V
,
2
ADC
OAE
OEC
ODC
S
S
S
S
b
a
=
+
+
=
+
V
V
V
V
∵
ABD
ADC
S
S
=
V
V
∴2
2
c
a
b
a
+
=
+
∴b
c
=
同理可知，
,
a
b a
c
=
=
，
∴
OBD
OCD
OAE
OCE
OAF
OBF
S
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
V
V
V
V
V
V
∴
AOB
OAF
OBF
S
S
S
=
+
V
V
V
,
BOC
OBD
ODC
S
S
S
=
+
V
V
V
,
∴
AOB
BOC
S
S
=
△
△
（3）连接AO ，延长AO 交BC 于点D ，
由（2）可知
OBD
OCD
OAE
OCE
OAF
OBF
S
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
V
V
V
V
V
V
，
∵BO
CO
^
，
∴
1
1
2
1
2
2
EOC
COB
OC
OE
S
OE
S
OB
OB OC
´
´
=
=
=
´
´
V
V
,
同理可知
1
2
BOF
COB
S
OF
S
OC
=
=
V
V
,
∵
9
BE =
，
15
CF =
，
∴
1
3
1
2
OE
BE
=
=
+
,
2
10
1
2
OC
CF
=
=
+
,
∴
1
15
2
OCE
S
OE
OC
=
´
´
=
V
，
∴
15
OBD
OCD
OAE
OCE
OAF
OBF
S
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
=
V
V
V
V
V
V
，
∴四边形AEOF 的面积为：
15 15
30
OAE
OAF
S
S
+
=
+
=
V
V
．
15．
【答案】（1）解：∵
1
1
2
2
ABC
S
BC AD
AB CE
=
×
=
×
V
，
∴1
1
4
2
2
2
AD
CE
´ ´
=
´ ´
，
∴2AD
CE
=
，
∴
1
2
AD
CE =
．
(2)猜想正确，
证明：如图，过点A 作AE
BC
^
于点E ，
∴
1
2
ABD
S
BD AE
=
×
△
，
1
2
ACD
S
CD AE
=
×
△
．
∴
1
2
1
2
ABD
ACD
BD AE
S
BD
S
CD
CD AE
×
=
=
×
V
V
．
（3）连接CO ，
设
COE
S
a
=
V
，
COD
S
b
=
V
．
∵
2
AE
CE
=
，
∴
2
2
AOE
COE
S
S
a
=
=
△
△
，
∵BD
CD
=
，
∴
BOD
COD
S
S
b
=
=
△
△
．
∴
2
3
ABD
ACD
AOE
COE
COD
S
S
S
S
S
a
a
b
a
b
=
=
+
+
=
+
+
=
+
△
△
△
△
△
．
∴
3
3
AOB
ABD
BOD
S
S
S
a
b
b
a
=
-
=
+
-
=
△
△
△
．
∵
2
AE
CE
=
，
∴
2
ABE
BCE
S
S
=
△
△
．即
2
AOB
AOE
BOD
COD
COE
S
S
S
S
S
+
=
+
+
△
△
△
△
△
，
∴
3
2
2
a
a
b
b
a
+
=
+
+
，
∴
3
4
b
a
=
．
∴
3
4
BOD
S
a
=
△
，
3
15
3
4
4
ABD
S
a
a
a
=
+
=
△
．
∴
3
4
15
5
4
AOB
ABD
S
AO
a
AD
S
a
=
=
=
△
△
．
∴AO
AD 的值为4
5 ．
