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专题02 三角形的中线、角平分线与高
（题型突破·举一反三）
题型01 利用三角形的中线求线段长
题型02 利用三角形的中线求周长差
题型03 利用三角形的中线求面积
题型04 利用角平分线求角度
题型05 角高模型求角度
题型06 角平分线与平行线的性质
题型07 识别高线
题型08 利用面积法求高或线段
题型09 利用高线求角度
题型10 根据高线位置分情况讨论
题型11 尺规作图
▌题型01 利用三角形的中线求线段长
1．定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
2．如图，AD 为△ABC 的中线，则BD=CD。
【典例1】（2025 秋•北流市期末）如图，若AD 是△ABC 的中线，BD＝4，则BC 的长度为（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．8
【分析】根据三角形中线的性质可知BC＝2BD．
【解答】解：∵AD 是△ABC 的中线，BD＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故选：D．
【变式1-1】（2025 秋•迪庆州校级期末）如图，AP 是△ABC 的中线，AQ 是△ABP 的中线．若BC＝8，则
BQ 的长为 2 ．
【分析】由AP 是△ABC 的中线可得P 是BC 的中点，得𝐵𝑃= 1
2 𝐵𝐶= 4；由AQ 是△ABP 的中线得𝐵𝑄=
1
2 𝐵𝑃= 2．
【解答】解：∵AP 是△ABC 的中线，
∴P 是BC 的中点，
∴𝐵𝑃= 1
2 𝐵𝐶，
∵BC＝8，
∴BP= 1
2BC= 1
2 ×8＝4；
又AQ 是△ABP 的中线，
∴BQ= 1
2BP= 1
2 ×4＝2．
故答案为：2．
【变式1-2】在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为15 和12 两部分，则这个等腰三角形
的底边长为 ．
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【分析】分两种情况讨论，列出方程即可解决问题．
【解答】解：根据题意，
①当AC+
1
2AC=15，解得AC=10，
所以底边长=12-×10=7；
②当AC+
1
2AC=12，解得AC=8，
所以底边长=15-×8=11．
所以底边长等于7 或11．
故答案为：7 或11．
【变式1-3】如图，在周长为20cm 的△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，已知CD=4cm,AC=7cm,则AB 的长
为（ ）
A．6cm
B．5cm
C．4cm
D．3cm
【分析】由AD 是边BC 上的中线，得到BC=2CD=8（cm），根据AB+AC+BC=20（cm），求得AB=20-
7-8=5（cm）．
【解答】解：∵AD 是边BC 上的中线，
∴BC=2CD=8（cm），
∵△ABC 的周长=20cm,
∴AB+AC+BC=20（cm），
∴AB=20-7-8=5（cm），
故选：B．
▌题型02 利用三角形的中线求周长差
如图，AD 为△ABC 的中线，则BD=CD，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差为|𝐴𝐶−𝐴𝐵|。
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【典例1】如图，AD 是△ABC 的一条中线，△ABD 的周长是10，△ACD 的周长是12，那么AC﹣AB＝ 2 ．
【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB 与AC 的差．
【解答】解：∵AD 是△ABC 的一条中线，
∴BD＝DC（三角形中线定理）．
∵△ABD 的周长为10，△ACD 的周长为12，
∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝12﹣10，
AC+AD+CD﹣AB﹣AD﹣BD＝2，
即AC﹣AB＝2，
所以AC﹣AB 的值为2，
故答案为：2．
【变式1-1】（2025 秋•关岭县期末）如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，AD 为中线，则△ABD 与△ACD
的周长之差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据三角形中线的定义，可得BD＝DC，进而计算△ABD 与△ACD 的周长即可求得答案．
【解答】解：△ABD 的周长为AB+AD+BD，△ACD 的周长为AC+AD+DC，
∵AD 为△ABC 的中线，
∴BD＝DC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴△ABD 与△ACD 的周长之差为
AB+AD+BD﹣（AC+AD+DC）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣DC＝AB﹣AC＝8﹣6＝2．
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故选：B．
【变式1-2】（2025 秋•三亚期末）如图，CM 是△ABC 的中线，BC＝8cm，若△BCM 的周长比△ACM 的周
长大2cm，则AC 的长为（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【分析】根据CM 是△ABC 的中线可知AM＝BM，再由BC＝8cm，△BCM 的周长比△ACM 的周长大2cm
即可得出结论．
【解答】解：∵CM 是△ABC 的中线，BC＝8cm，
∴AM＝BM，
∴△BCM 的周长＝BC+BM+CM，△ACM 的周长＝AC+AM+CM，
∵△BCM 的周长比△ACM 的周长大2cm，
∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2，
∴8﹣AC＝2，
解得AC＝6（cm）．
故选：D．
【变式1-3】（2025 秋•林芝市期末）如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为28cm，AB 比AC 长
6cm，则△ACD 的周长为（ ）
A．34cm
B．31cm
C．22cm
D．20cm
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD 和△ACD 周长的差就是AB、AC 的差，
然后计算即可．
【解答】解：∵AD 是BC 边上的中线，
∴BD＝CD= 1
2BC，
∴△ABD 和△ACD 周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD 的周长为28cm，AB 比AC 长6cm，
∴28﹣6＝22cm．即△ACD 周长为22cm，
故选：C．
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▌题型03 利用三角形的中线求面积
如图，AD 为△ABC 的中线，则BD=CD，△ABD 与△ACD 的面积相等，即𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷。
【典例1】（2025 秋•赤坎区期末）如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，𝑆△𝐴𝐸𝐶= 3𝑐𝑚2，则三
角形ABC 的面积是（ ）
A．6cm2
B．9cm2
C．12cm2
D．18cm2
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可．
【解答】解：∵AD 是△ABC 的中线，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵CE 是△ACD 的中线，
∴S△ACD＝2S△ACE，
∴S△ABC＝4S△ACE，
∵𝑆△𝐴𝐸𝐶= 3𝑐𝑚2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 4𝑆△𝐴𝐶𝐸= 12𝑐𝑚2．．
故选：C．
【变式1-1】（2025 秋•滨江区期末）如图，AD 是△ABC 的中线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，DF＝
2DE，则AB 是AC 的 2 倍．
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【分析】根据三角形的中线的概念得到S△ABD＝S△ACD，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：∵AD 是△ABC 的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴
1
2AB•DE= 1
2AC•DF，
∵DF＝2DE，
∴AB＝2AC，
∴AB 是AC 的2 倍，
故答案为：2．
【变式1-2】（2025 春•昌黎县期末）如图是一块面积为10 的三角形纸板，点D、E、F 分别是线段AF、
BD、CE 的中点，则阴影部分的面积为 .
【分析】连接AE，BF，CD，根据三角形面积公式、三角形的中线的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接AE，BF，CD，
∵点D、E、F 分别是线段AF、BD、CE 的中点，
∴AD=DF，BE=ED，
∴S△ADE=S△ABE，S△FBE=S△FDE，
同理可得：△ABC 被分为7 个面积相同的三角形，
∴阴影部分的三角形的面积是△ABC 的面积的
1
7，
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∵△ABC 的面积为10，
∴阴影部分的面积是
10
7 ，
故答案为：
10
7 ．
【变式1-3】如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．
（1）作图：在△BED 中作出BD 边上的高EF；BE 边上的高DG；
（2）若△ABC 的面积为40，BD＝5，则△BED 中BD 边上的高EF 为多少？
【分析】（1）根据高线的定义，画高即可；
（2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，EF、DG 即为所求作；
（2）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∵△ABC 的面积为 40，BD＝5，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
2 𝐵𝐷⋅𝐸𝐹= 1
2 × 5 ⋅𝐸𝐹= 1
4 × 40 =10，
∴EF＝4，
即△BED 中BD 边上的高EF 为4．
▌题型04 利用角平分线求角度
1．定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平
分线。任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部。
2．如图，AD 为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，则∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶。
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【典例1】如图，在△ABC 中，AE 为边BC 上的高，点D 为边BC 上的一点，连接AD．
（1）当AD 为∠BAC 的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE 的度数．
（2）当AD 为边BC 上的中线时，若AB＝10，△ADC 的周长比△ABD 的周长少2，求AC 的长度．
【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD，然后根据两锐角互余求出∠BAE，
最后利用角的和差关系即可求解；
（2）首先结合已知条件和中线的性质确定AB，AC 的数量关系，继而可以求解．
【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°．
由角平分线定义可知：
∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 78° = 39°．
∵AE 为边BC 上的高，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°．
（2）∵AD 为边BC 上的中线，∴BD＝CD．
又∵△ADC 的周长比△ABD 的周长少2，
∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2，
∴AB﹣AC＝2，
∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8．
【变式1-1】（2026 春•虹口区期末）如图，已知在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=45°，AD 是△ABC 的角平
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分线，那么∠ADB 的度数是（ ）
A．80°
B．60°
C．65°
D．75°
【分析】根据角平分线的定义求得∠𝐷𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，进而根据三角形的外角性质即可求得∠ADB 的度数．
【解答】解：∵∠BAC=60°，AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠𝐷𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=30°（角平分线的定义），
又∠C=45°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=30°+45°=75°，
那么∠ADB 的度数是75°，
故选：D．
【变式1-2】如图，AD 是△ABC 的角平分线，点O 在AD 上，且OE⊥BC 于点E，∠BAC=60°，
∠EOD=20°，则∠C 的度数为（ ）
A．80°
B．75°
C．70°
D．65°
【分析】根据OE⊥BC 可知∠OED=90°，再由∠EOD=20°可得出∠ODE 的度数，再由AD 是△ABC 的角平
分线，点O 在AD 上，∠BAC=60°求出∠CAD 的度数，进而得出结论．
【解答】解：∵OE⊥BC，
∴∠OED=90°，
∵∠EOD=20°，
∴∠ODE=90°-20°=70°，
∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠CAD=
1
2∠BAC=30°，
∴∠C=180°-∠CAD-∠ODE=180°-30°-70°=80°．
故选：A．
【变式1-3】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，CE 平分∠ACD 交AD 于点E，若∠BAC：∠CAD＝
3：2，∠DCE＝35°．
（1）求∠CAD 的度数；
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（2）求∠B 的度数．
【分析】（1）根据角平分线得到∠DCA＝2∠DCE＝70°，根据三角形的性质求出∠CAD；
（2）根据∠BAC：∠CAD＝3：2 可以求出∠BAC 的度数，再利用直角三角形两锐角互余求∠B 的度数．
【解答】解：（1）∵CE 平分∠ACD，
∴∠DCA＝2∠DCE，
∵∠DCE＝35°，
∴∠DCA＝2∠DCE＝2×35°＝70°，
∵AD 为BC 边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠DCA＝20°；
（2）∵∠BAC：∠CAD＝3：2，∠CAD＝20°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝20°+30°＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
▌题型05 角高模型求角度
如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD⊥BC 于点D，则∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 |∠𝐶−∠𝐵|。
【典例1】如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD 和AE 分别是△ABC 的高和角平分线，求∠DAE
的度数．
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【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE= 1
2∠BAC，
而∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD 进行计算即可．
【解答】解：在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝30°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°
∵AE 是△ABC 的角平分线，
∴∠BAE= 1
2∠BAC＝45°，
∵AD 是△ABC 的高，
∴∠ADB＝90°
∴在△ADB 中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°
【变式1-1】（2025 春•德州期末）如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是角平分线，BC＞AC．若
∠BAC=α，∠B=β，则∠DCE= ．（用含有α，β 的式子表示）
【分析】三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分
线的性质求出∠BCE，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而
求出∠DCE 的度数．
【解答】解：∵∠ACB=180°-（∠BAC+∠B）=180°-（α+β），
∵CE 是∠ACB 的平分线，
∴∠ACE=
1
2∠ACB．
∵CD 是高线，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠BAC=90°-α，
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∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=90°-
1
2（α+β）-90°+α=
1
2（α-β）．
故答案为：
1
2（α-β）．
【变式1-2】（2025 春•隆昌市校级期末）如图，AD 和BF 分别是△ABC 的高和角平分线，AE 是边BC 的中
线．
（1）若△ABE 的面积为6，则△ABC 的面积为 12 ；
（2）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，求∠DAC 和∠AFB 的度数．
【分析】（1）根据线段中点的定义得到BE＝CE，再根据三角形面积公式解答即可；
（2）根据三角形的高的定义得到∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DAC，再根据角平分线的
定义计算．
【解答】解：（1）∵AE 是△ABC 的边BC 的中线，
∴BE＝CE，
∴S△ACE＝S△ABE＝6，
∴S△ABC＝12，
故答案为：12；
（2）∵AD 是△ABC 的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝90°﹣70°＝20°，
∵∠C＝70°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∵BF 是△ABC 的角平分线，
∴∠𝐶𝐵𝐹= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 25°，
∴∠AFB＝∠CBF+∠C＝25°+70°＝95°．
【变式1-3】如图，在△ABC 中，AE 为边BC 上的高，点D 为边BC 上的一点，连接AD．
（1）当AD 为∠BAC 的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE 的度数．
（2）当AD 为边BC 上的中线时，若AB＝10，△ADC 的周长比△ABD 的周长少2，求AC 的长度．
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【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD，然后根据两锐角互余求出∠BAE，
最后利用角的和差关系即可求解；
（2）首先结合已知条件和中线的性质确定AB，AC 的数量关系，继而可以求解．
【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°．
由角平分线定义可知：
∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 78° = 39°．
∵AE 为边BC 上的高，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°．
（2）∵AD 为边BC 上的中线，∴BD＝CD．
又∵△ADC 的周长比△ABD 的周长少2，
∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2，
∴AB﹣AC＝2，
∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8．
▌题型06 角平分线与平行线的性质
1．如图，AD 为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，则∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶。
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2．平行线的性质
两直线平行，同位角相等；
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐹𝑀，∠𝑀𝐸𝐵= ∠𝑀𝐹𝐷.
两直线平行，内错角相等；
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶.
两直线平行，同旁内角互补；
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐶= 180°，∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°.
【典例1】如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线交AC 于点E，过点E 作DF∥BC，交AB 于点D，且EC
平分∠BEF．
（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC 的度数；
（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝ 90°−1
4α （含α 的代数式表示）．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠ADE＝50°，根据角平分线的定义∠EBC＝25°，根据
角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC＝∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∠CEF＝∠C，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBC＝25°，
∵EC 平分∠BEF，
∴∠CEF＝∠BEC＝∠C，
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∵∠BEC+∠C+∠EBC＝180°，
∴∠BEC＝77.5°；
（2）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝α，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBC= 1
2α，
∵EC 平分∠BEF，
∴∠AED＝∠CEF= 1
2（180°−1
2α）＝90°−1
4α．
故答案为：90°−1
4α．
【变式1-1】（2026 春•锦江区校级期末）图1 是一盏可折叠台灯．图2 是其平面示意图，支架AB，BC 为
固定支撑杆，支架OC 可绕点C 旋转调节．已知灯体顶角∠DOE＝40°，顶角平分线OP 始终与OC 垂
直．当支架OC 旋转至水平位置时（如图2），OD 恰好与BC 平行，则支架BC 与水平方向的夹角∠θ 的
度数为（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵OP 平分∠DOE，∠DOE＝40°，
∴∠DOP= 1
2∠DOE＝20°．
∵OP⊥OC，
∴∠POC＝90°，
∴∠DOC＝90°+20°＝110°．
∵OD∥BC，
∴∠DOC+∠C＝180°，
∴∠C＝70°．
∵OC∥BF，
∴∠θ＝∠C＝70°．
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故选：A．
【变式1-2】如图，点O，P，Q 分别在AB，AC，BC 上，OQ 与BP 交于M 点，连接OP，已知∠OMB+∠
BPC＝180°，∠C＝∠POQ；
（1）求证：OP∥BC；
（2）若PO 是∠APB 的平分线，∠BPC＝2∠C，请判断BP 与OQ 的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据邻补角的性质，得出∠BPC＝∠OMP，证明QO∥AC，结合∠C＝∠POQ，即可作
答；
（2）由角平分线的定义得出∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝑂= 1
2 ∠𝐴𝑃𝐵，再进行角的等量代换，得出∠BPC＝2∠C，且∠
APB+∠BPC＝180°，得出∠C＝45°，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答．
【解答】解：（1）∵∠OMB+∠BPC＝180°，∠OMB+∠OMP＝180°，
∴∠BPC＝∠OMP，
∴QO∥AC，
∴∠C＝∠OQB，
∵∠C＝∠POQ，
∴∠OQB＝∠POQ，
∴OP∥BC；
（2）BP⊥OQ，理由如下：
∵PO 是∠APB 的平分线，
∴∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝑂= 1
2 ∠𝐴𝑃𝐵，
∵OP∥BC，
∴∠APO＝∠C，
∵∠BPC＝2∠C，且∠APB+∠BPC＝180°，
∴4∠C＝180°，
∴∠C＝45°，
∴∠APO＝∠BPO＝∠C＝45°，
∵OP∥BC，
∴∠PBQ＝∠BPO＝45°，
∵QO∥AC，
∴∠OQB＝∠C＝45°，
∴在△BMQ 中，∠BMQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
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∴BP⊥OQ．
【变式1-3】（2026 春•蜀山区校级期末）已知直线a∥b，点A、B 在直线a 上（B 在A 左侧），点C 在直
线b 上，E 点在直线b 的下方，连接AE 交直线b 于点D．
（1）如图1，若∠BAD＝110°，∠DEC＝65°，∠DCE＝ 45° （填度数）．
（2）如图2，∠BAD 的邻补角的角平分线与∠DEC 的角平分线所在的直线交于点M，设∠ECD＝β，则
∠AME＝ 90°+ 1
2 𝛽 （用含有β 的代数式表示）．
【分析】（1）根据平行线的性质进行计算即可；
（2）根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，
∵a∥b，∠BAD＝110°，
∴∠HDE＝∠BAD＝110°．
∵∠DEC＝65°，
∴∠DCE＝∠HDE﹣∠DEC＝110°﹣65°＝45°．
故答案为：45°；
（2）由（1）知，
∠BAD＝∠DEC+∠DCE．
∵∠BAD 的邻补角的角平分线与∠DEC 的角平分线所在的直线交于点M，
∴∠BAD＝180°﹣2∠MAE，∠DEC＝2∠MEA．
又∵∠ECD＝β，
∴180°﹣2∠MAE＝2∠MEA+β，
∴∠MAE+∠MEA＝90°−1
2 𝛽，
∴∠AME＝180°﹣（∠MAE+∠MEA）＝90°+ 1
2 𝛽．
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故答案为：90°+ 1
2 𝛽．
▌题型07 识别高线
1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
2．三角形的三条高的特性
名称
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
图示
高在三角形内部的数量
3
1
1
高之间是否相交
相交
相交
不相交
高所在直线是否相交
相交
相交
相交
交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
【典例1】（2025 秋•广南县期末）画△ABC 的BC 边上的高，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据高的画法可知，画△ABC 的BC 边上的高，即过点A 作BC 边的垂线．
【解答】解：画△ABC 的BC 边上的高，即过点A 作BC 边的垂线．
故选：C．
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【变式1-1】（2025 秋•黄岩区期末）作△ABC 的AB 边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、没有摆出△ABC 的AB 边上的高，不符合题意；
B、没有摆出△ABC 的AB 边上的高，不符合题意；
C、能够摆出△ABC 的AB 边上的高，符合题意；
D、没有摆出△ABC 的AB 边上的高，不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、E、F，△ABC 中BC 边上的高是（ ）
A．CF
B．BE
C．CD
D．AD
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
【解答】解：根据图形，AD 是△ABC 中BC 边上的高．
故选：D．
【变式1-3】如图，将三角形纸片ABC 按下面四种方式折叠，则CM 是△ABC 的高的是（ ）
A．
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B．
C．
D．
【分析】根据高是过顶点垂直底面的线段即可判断解答．
【解答】解：A、将△ANM 沿NM 折叠后，CM 并不垂直AB，故此CM 不是△ABC 的高，
B、将△CMB 沿CM 折叠后，CM 并不垂直AB，故此CM 不是△ABC 的高，
C、将△CBM 沿CM 折叠后，CM 垂直AB，故此CM 是△ABC 的高，
D、将△ANM 沿NM 折叠后，CM 并不垂直AB，故此CM 不是△ABC 的高，
综上所述：C 选项符合题意，
故选：C．
▌题型08 利用面积法求高或线段长
1．利用三角形的面积公式求高。
面积公式𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶∙𝐵𝐷，则𝐵𝐷=
2𝑆△𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐶
。
2．利用等面积法求高。
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面积公式𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶∙𝐵𝐸=
1
2 𝐵𝐶∙𝐴𝐷=
1
2 𝐴𝐵∙𝐶𝐹。
【典例1】（2025 秋•绵阳期末）如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．若△ABC 的面积为30，
BD＝5，则△BDE 中BD 边上的高是（ ）
A．3
B．6
C．12
D．1.5
【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，过点E 作EF⊥BC，利用面积
公式即可求得答案．
【解答】解：过点E 作EF⊥BC 交BC 于点F，如图，
由题意可知：𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∵△ABC 的面积为30，BD＝5，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
2 ⋅𝐷𝐵⋅𝐸𝐹= 1
2 × 5 × 𝐸𝐹= 1
4 × 30，
解得EF＝3，
故△BDE 中BD 边上的高为3．
故选：A．
【变式1-1】如图，在△ABC 中，AE⊥BC 于点E，AD 为BC 边上的中线．DF 为△ABD 中AB 边上的高线．已
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知AB＝12cm，AC＝10cm，△ABC 的面积为48cm2．
（1）求△ABD 与△ACD 的周长之差；
（2）求DF 的长．
【分析】（1）根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算；
（2）根据三角形的中线的性质求出△ABD 的面积，再根据三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）∵AD 为BC 边上的中线，
∴BD＝DC，
则△ABD 与△ACD 的周长之差为：（AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝12﹣10＝2（cm）；
（2）∵△ABC 的面积为48cm2，AD 为BC 边上的中线，
∴△ABD 的面积为24cm2，
∵DF 为△ABD 中AB 边上的高线，
∴S△ABD= 1
2AB•DF，
∴
1
2 ×12×DF＝24，
∴DF＝4．
【变式1-2】如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．
（1）作图：在△BED 中作出BD 边上的高EF；BE 边上的高DG；
（2）若△ABC 的面积为40，BD＝5，则△BED 中BD 边上的高EF 为多少？
【分析】（1）根据高线的定义，画高即可；
（2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，EF、DG 即为所求作；
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（2）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∵△ABC 的面积为 40，BD＝5，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
2 𝐵𝐷⋅𝐸𝐹= 1
2 × 5 ⋅𝐸𝐹= 1
4 × 40 =10，
∴EF＝4，
即△BED 中BD 边上的高EF 为4．
【变式1-3】如图，△ABC 的边BC 上的高为AF，中线为AD，AC 边上的高为BG，已知AF＝6，BD＝10，
BG＝5．
（1）求△ABC 的面积；
（2）求AC 的长．
【分析】（1）利用面积公式进行计算即可；
（2）利用面积公式进行求解即可；
【解答】解：（1）∵△ABC 的边BC 上的高为AF，中线为AD，AF＝6，BD＝10，
∴BC＝2BD＝20，
△ABC 的面积= 1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐹= 1
2 × 20 × 6 = 60；
（2）∵△ABC 的面积= 1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐺= 60，
∵BG＝5，
∴AC＝24．
▌题型09 利用高线求角度
小学
初中
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已知BD 为△ABC 的BC 边上的高，则∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，∠𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 90°。
【典例1】如图，AD 是△ABC 的高，CE 是△ABC 的角平分线，BF 是△ABC 的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC 的度数；
（2）若BC﹣AB＝9，求△BCF 与△BAF 的周长之差．
【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠ABD＝25°，由角平分线的定义得到∠BCE= 1
2∠ACB＝25°，
由三角形的外角性质得到∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°；
（2）由三角形的中线定义得到AF＝CF，因此△BCF 与△BAF 的周长之差＝BC﹣AB＝9．
【解答】解：（1）∵AD 是△ABC 的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE 是△ABC 的角平分线，
∴∠BCE= 1
2∠ACB= 1
2 ×50°＝25°，
∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°；
（2）∵BF 是△ABC 的中线，
∴AF＝CF，
∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9，
∴△BCF 与△BAF 的周长之差为9．
【变式1-1】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，CE 平分∠ACD 交AD 于点E，若∠BAC：∠CAD＝
3：2，∠DCE＝35°．
（1）求∠CAD 的度数；
（2）求∠B 的度数．
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【分析】（1）根据角平分线得到∠DCA＝2∠DCE＝70°，根据三角形的性质求出∠CAD；
（2）根据∠BAC：∠CAD＝3：2 可以求出∠BAC 的度数，再利用直角三角形两锐角互余求∠B 的度数．
【解答】解：（1）∵CE 平分∠ACD，
∴∠DCA＝2∠DCE，
∵∠DCE＝35°，
∴∠DCA＝2∠DCE＝2×35°＝70°，
∵AD 为BC 边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠DCA＝20°；
（2）∵∠BAC：∠CAD＝3：2，∠CAD＝20°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝20°+30°＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
【变式1-2】如图，BD、CE 是△ABC 的高，BD 和CE 相交于点O．
（1）图中有哪几个直角三角形？
（2）图中有与∠2 相等的角吗？请说明理由．
（3）若∠4＝55°，∠ACB＝65°，求∠3，∠5 的度数．
【分析】（1）根据直角三角形的定义，从直角顶点找出即可；
（2）根据同角的余角相等解答；
（3）根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据三角形的内角和定理求出∠BOC，然后根据对顶角相等
可得∠5＝∠BOC．
【解答】解：（1）直角三角形有：△BOE、△BCE、△ACE、△BCD、△COD、△ABD；
（2）与∠2 相等的角是∠1．
理由如下：∵BD、CE 是△ABC 的高，
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∴∠1+∠A＝90°，∠2+∠A＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴与∠2 相等的角是∠1；
（3）∵∠ACB＝65°，BD 是高，
∴∠3＝90°﹣∠ACB＝90°﹣65°＝25°，
在△BOC 中，∠BOC＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣25°﹣55°＝100°，
∴∠5＝∠BOC＝100°．
【变式1-3】如图，AD 是△ABC 的角平分线，点E 在边AC 上（不与点A，C 重合），连接BE，交AD 于
点O．
（1）如图1，若BE 是△ABC 的中线，AB＝8，BC＝5，则△ABE 与△BCE 的周长差为 3 ．
（2）如图2，若∠BAC＝28°，BE 是△ABC 的高，则∠AOB 的度数为 104° ．
（3）如图3，若∠C＝64°，BE 是△ABC 的角平分线，求∠AOB 的度数．
【分析】（1）由中线的定义得AE＝CE，然后利用周长公式求解即可；
（2）先求出∠ABO＝62°，再根据角平分线的定义求出∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 14°，然后利用三角形内角和
定理即可求解；
（3）先由三角形内角和定理求出∠BAC+∠ABC＝116°，再根据∠𝐴𝑂𝐵= 180° −1
2 (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶)求解
即可．
【解答】解：（1）∵BE 是△ABC 的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE 与△BCE 的周长差为：AB+BE+AE﹣（BC+BE+CE）
＝AB+BE+AE﹣BC﹣BE﹣CE
＝AB﹣BC
＝8﹣5
＝3．则△ABE 与△BCE 的周长差为3，
故答案为：3；
（2）∵BE 是△ABC 的高，
∴∠AEB＝90°．
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∵∠BAC＝28°，
∴BO＝90°﹣28°＝62°，
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠BAD= 1
2BAC= 1
2 ×28°＝14°，
∴∠AOB＝180°﹣62°﹣14°＝104°．
则∠AOB 的度数为104°．
故答案为：104°；
（3）∵∠C＝64°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣64°＝116°，
∵AD 是△ABC 的角平分线，BE 是△ABC 的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝑂= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝑂= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）
= 180° −1
2 (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶)
= 180° −1
2 × 116° = 122°，
即∠AOB 的度数为122°．
▌题型10 根据高线位置分情况讨论
一般分高在三角形的内部和外部两种情况讨论。
【典例1】（2025 秋•松北区期末）已知在△ABC 中，∠A=38°，BD 是AC 边上的高，若∠CBD=∠A，则
∠ABC= ．
【分析】依照题意画出图形，根据三角形内角和定理求出∠ABD，分当高BD 在三角形外部时和当高BD
在三角形内部时两种情况，求出∠ABC 即可．
【解答】解：依照题意画出图形，如图，
∵BD⊥AC，
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∴∠BDA=90°，
∴∠ABD=180°-∠BDA-∠A=180°-90°-38°=52°，
∵∠CBD=∠A，
∴当高BD 在三角形外部时，∠ABC=∠ABD-∠CBD=52°-38°=14°；
当高BD 在三角形内部时，∠ABC=∠ABD+∠CBD=52°+38°=90°；
故答案为：14°或90°．
【变式1-1】已知△ABC 的面积为14，AD 是BC 边上的高，若AD＝4，CD＝2，则BD 的长为 5 或9 ．
【分析】分两种情况，利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：如图1，
∵AD 为BC 边上的高，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= 1
2BC•AD= 1
2（BD+CD）•AD，
∴14= 1
2（BD+2）×4，
∴BD＝5；
如图2，∵AD 为BC 边上的高，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= 1
2BC•AD= 1
2（BD﹣CD）•AD，
∴14= 1
2（BD﹣2）×4，
∴BD＝9；
故BD 的长度为5 或 9；
故答案为：5 或 9．
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【变式1-2】在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，∠CAD＝20°，则∠ACB 的度数为 ．
【分析】本题需分两种情况讨论，AD 为BC 边上的高时，垂足D 的位置有两种：D 在线段BC 上，或D
在线段BC 的延长线上，结合直角三角形两锐角互余的性质计算即可得到结果．
【解答】解：在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，∠CAD＝20°，分两种情况讨论：
情况1：垂足D 在线段BC 上，
∵AD 是BC 边上的高，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC 中，∠CAD＝20°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣20°＝70°，
情况2：垂足D 在线段BC 的延长线上，此时点C 在B、D 之间，
∵AD 是BC 边上的高，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ADC 中，∠CAD＝20°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝70°，
∵∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：70°或110°．
【变式1-3】如图，在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，∠BAC＝90°，∠CAD＝35°．
（1）求∠ABC 的度数．
（2）若斜边BC 在直线EF 上，请直接写出∠ACF 的度数．
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【分析】（1）根据三角形高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，根据∠CAD＝35°得出∠ACB＝90°﹣
∠CAD＝55°，根据∠BAC＝90°，求出结果即可；
（2）分两种情况：当点F 在点C 的右侧时，当点F 在点C 的左侧时，分别求出结果即可．
【解答】解：（1）∵AD 为边BC 上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝35°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣35°＝55°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣55°＝35°；
（2）当点F 在点C 的右侧时，
∠ACF＝180°﹣∠ACB＝180°﹣55°＝125°；
当点F 在点C 的左侧时，∠ACF＝∠ACB＝55°，
综上所述，∠ACF 的度数为125°或55°．
▌题型11 尺规作图
1.定义
在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图。其中直尺只能用来
作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧。由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图
可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允
许度量成分的。
2.熟练掌握尺规作图题的规范语言
（1）用直尺作图的几何语言：
①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；
（2）用圆规作图的几何语言：
①在××上截取××＝××；
②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；
③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；
④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×。
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【典例1】下列尺规作图的语句错误的是（ ）
A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α
B．延长射线AB
C．以点A 为圆心，以线段a 的长为半径画弧
D．过点D 作射线OD
【分析】根据尺规作图的要求一一判断即可．
【解答】解：A、作∠AOB，使∠AOB＝3∠α，正确，本选项不符合题意；
B、延长射线AB，错误，射线不需要延长，本选项符合题意；
C、以点A 为圆心，以线段a 的长为半径画弧，正确，本选项不符合题意；
D、过点D 作射线OD，正确，本选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】如图，点A，B，C 是不在一条直线上的三个点，且AB＝AC，过B，C 两点作直线，并连接AB，
AC．
（1）尺规作图：延长CA 至D，使得点A 为CD 的中点，作射线AC，在射线AC 上截取AE＝3AB；（作
图工具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写作法）
（2）若CD＝8cm，求DE 的长．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用线段和差定义求解．
【解答】解：（1）图形如图所示：
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（2）∵CD＝8cm，A 为CD 中点，
∴AC＝AD＝4cm，
∴AB＝AC＝4cm，AE＝3AB＝3×4＝12cm，
∴DE＝AD+AE＝4+12＝16（cm）．
【变式1-2】如图所示，已知△ABC，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法）
①∠C 的角平分线CE；
②BC 边上的中线AF．
【分析】（1）根据角平分线的作法作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）如图所示．
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【变式1-3】如图，已知△ABC．
（1）用直尺和圆规作△ABC 的角平分线BD；（保留作图痕迹）
（2）画△ABC 的BC 边上的高AE；
（3）画△ABC 的AB 边上的中线．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据垂线的作图方法作图即可．
（3）作线段AB 的垂直平分线，交AB 于点F，连接CF 即可．
【解答】解：（1）如图，BD 即为所求．
（2）如图，AE 即为所求．
（3）如图，CF 即为所求．
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