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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 三角形的中线、角平分线与高 （题型突破·举一反三） ▌题型01 利用三角形的中线求线段长 【典例1】D． 【变式1-1】2． 【变式1-2】7 或11． 【变式1-3】B． ▌题型02 利用三角形的中线求周长差 【典例1】2． 【变式1-1】B． 【变式1-2】D． 【变式1-3】C． ▌题型03 利用三角形的中线求面积 【典例1】C． 【变式1-1】2． 【变式1-2】 10 7 ． 【变式1-3】【解答】解：（1）如图所示，EF、DG 即为所求作； 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐷， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 4 𝑆△𝐴𝐵𝐶， ∵△ABC 的面积为 40，BD＝5， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 2 𝐵𝐷⋅𝐸𝐹= 1 2 × 5 ⋅𝐸𝐹= 1 4 × 40 =10， ∴EF＝4， 即△BED 中BD 边上的高EF 为4． ▌题型04 利用角平分线求角度 【典例1】【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°． 由角平分线定义可知： ∠𝐵𝐴𝐷= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 × 78° = 39°． ∵AE 为边BC 上的高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°． （2）∵AD 为边BC 上的中线，∴BD＝CD． 又∵△ADC 的周长比△ABD 的周长少2， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】D． 【变式1-2】A． 【变式1-3】【解答】解：（1）∵CE 平分∠ACD， ∴∠DCA＝2∠DCE， ∵∠DCE＝35°， ∴∠DCA＝2∠DCE＝2×35°＝70°， ∵AD 为BC 边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠DCA＝20°； （2）∵∠BAC：∠CAD＝3：2，∠CAD＝20°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝20°+30°＝50°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°． ▌题型05 角高模型求角度 【典例1】【解答】解：在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝30° ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90° ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAE= 1 2∠BAC＝45°， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADB＝90° ∴在△ADB 中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15° 【变式1-1】 1 2（α-β）． 【变式1-2】【解答】解：（1）∵AE 是△ABC 的边BC 的中线， ∴BE＝CE， ∴S△ACE＝S△ABE＝6， ∴S△ABC＝12， 故答案为：12； 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝90°﹣70°＝20°， ∵∠C＝70°，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°， ∵BF 是△ABC 的角平分线， ∴∠𝐶𝐵𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 25°， ∴∠AFB＝∠CBF+∠C＝25°+70°＝95°． 【变式1-3】【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°． 由角平分线定义可知： ∠𝐵𝐴𝐷= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 × 78° = 39°． ∵AE 为边BC 上的高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°． （2）∵AD 为边BC 上的中线，∴BD＝CD． 又∵△ADC 的周长比△ABD 的周长少2， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． ▌题型06 角平分线与平行线的性质 【典例1】【解答】解：（1）∵DF∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∠CEF＝∠C， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠DEB＝∠EBC＝25°， 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵EC 平分∠BEF， ∴∠CEF＝∠BEC＝∠C， ∵∠BEC+∠C+∠EBC＝180°， ∴∠BEC＝77.5°； （2）∵DF∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝α， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠DEB＝∠EBC= 1 2α， ∵EC 平分∠BEF， ∴∠AED＝∠CEF= 1 2（180°−1 2α）＝90°−1 4α． 故答案为：90°−1 4α． 【变式1-1】A． 【变式1-2】【解答】解：（1）∵∠OMB+∠BPC＝180°，∠OMB+∠OMP＝180°， ∴∠BPC＝∠OMP， ∴QO∥AC， ∴∠C＝∠OQB， ∵∠C＝∠POQ， ∴∠OQB＝∠POQ， ∴OP∥BC； （2）BP⊥OQ，理由如下： ∵PO 是∠APB 的平分线， ∴∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝑂= 1 2 ∠𝐴𝑃𝐵， ∵OP∥BC， ∴∠APO＝∠C， ∵∠BPC＝2∠C，且∠APB+∠BPC＝180°， ∴4∠C＝180°， ∴∠C＝45°， ∴∠APO＝∠BPO＝∠C＝45°， ∵OP∥BC， ∴∠PBQ＝∠BPO＝45°， ∵QO∥AC， 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠OQB＝∠C＝45°， ∴在△BMQ 中，∠BMQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴BP⊥OQ． 【变式1-3】【解答】解：（1）如图所示， ∵a∥b，∠BAD＝110°， ∴∠HDE＝∠BAD＝110°． ∵∠DEC＝65°， ∴∠DCE＝∠HDE﹣∠DEC＝110°﹣65°＝45°． 故答案为：45°； （2）由（1）知， ∠BAD＝∠DEC+∠DCE． ∵∠BAD 的邻补角的角平分线与∠DEC 的角平分线所在的直线交于点M， ∴∠BAD＝180°﹣2∠MAE，∠DEC＝2∠MEA． 又∵∠ECD＝β， ∴180°﹣2∠MAE＝2∠MEA+β， ∴∠MAE+∠MEA＝90°−1 2 𝛽， ∴∠AME＝180°﹣（∠MAE+∠MEA）＝90°+ 1 2 𝛽． 故答案为：90°+ 1 2 𝛽． ▌题型07 识别高线 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】D． 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】C． ▌题型08 利用面积法求高或线段长 【典例1】A． 【变式1-1】【解答】解：（1）∵AD 为BC 边上的中线， ∴BD＝DC， 则△ABD 与△ACD 的周长之差为：（AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝12﹣10＝2（cm）； （2）∵△ABC 的面积为48cm2，AD 为BC 边上的中线， ∴△ABD 的面积为24cm2， ∵DF 为△ABD 中AB 边上的高线， ∴S△ABD= 1 2AB•DF， ∴ 1 2 ×12×DF＝24， ∴DF＝4． 【变式1-2】【解答】解：（1）如图所示，EF、DG 即为所求作； （2）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐷， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 4 𝑆△𝐴𝐵𝐶， ∵△ABC 的面积为 40，BD＝5， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 2 𝐵𝐷⋅𝐸𝐹= 1 2 × 5 ⋅𝐸𝐹= 1 4 × 40 =10， ∴EF＝4， 即△BED 中BD 边上的高EF 为4． 【变式1-3】【解答】解：（1）∵△ABC 的边BC 上的高为AF，中线为AD，AF＝6，BD＝10， ∴BC＝2BD＝20， △ABC 的面积= 1 2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐹= 1 2 × 20 × 6 = 60； 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）∵△ABC 的面积= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐺= 60， ∵BG＝5， ∴AC＝24． ▌题型09 利用高线求角度 【典例1】【解答】解：（1）∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BCE= 1 2∠ACB= 1 2 ×50°＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）∵BF 是△ABC 的中线， ∴AF＝CF， ∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9， ∴△BCF 与△BAF 的周长之差为9． 【变式1-1】【解答】解：（1）∵CE 平分∠ACD， ∴∠DCA＝2∠DCE， ∵∠DCE＝35°， ∴∠DCA＝2∠DCE＝2×35°＝70°， ∵AD 为BC 边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠DCA＝20°； （2）∵∠BAC：∠CAD＝3：2，∠CAD＝20°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝20°+30°＝50°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°． 【变式1-2】【解答】解：（1）直角三角形有：△BOE、△BCE、△ACE、△BCD、△COD、△ABD； （2）与∠2 相等的角是∠1． 理由如下：∵BD、CE 是△ABC 的高， 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠1+∠A＝90°，∠2+∠A＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴与∠2 相等的角是∠1； （3）∵∠ACB＝65°，BD 是高， ∴∠3＝90°﹣∠ACB＝90°﹣65°＝25°， 在△BOC 中，∠BOC＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣25°﹣55°＝100°， ∴∠5＝∠BOC＝100°． 【变式1-3】【解答】解：（1）∵BE 是△ABC 的中线， ∴AE＝CE， ∴△ABE 与△BCE 的周长差为：AB+BE+AE﹣（BC+BE+CE） ＝AB+BE+AE﹣BC﹣BE﹣CE ＝AB﹣BC ＝8﹣5 ＝3．则△ABE 与△BCE 的周长差为3， 故答案为：3； （2）∵BE 是△ABC 的高， ∴∠AEB＝90°． ∵∠BAC＝28°， ∴BO＝90°﹣28°＝62°， ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD= 1 2BAC= 1 2 ×28°＝14°， ∴∠AOB＝180°﹣62°﹣14°＝104°． 则∠AOB 的度数为104°． 故答案为：104°； （3）∵∠C＝64°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣64°＝116°， ∵AD 是△ABC 的角平分线，BE 是△ABC 的角平分线， ∴∠𝐵𝐴𝑂= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO） = 180° −1 2 (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 180° −1 2 × 116° = 122°， 即∠AOB 的度数为122°． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型10 根据高线位置分情况讨论 【典例1】14°或90°． 【变式1-1】5 或9． 【变式1-2】70°或110°． 【变式1-3】【解答】解：（1）∵AD 为边BC 上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠CAD＝35°， ∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣35°＝55°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣55°＝35°； （2）当点F 在点C 的右侧时， ∠ACF＝180°﹣∠ACB＝180°﹣55°＝125°； 当点F 在点C 的左侧时，∠ACF＝∠ACB＝55°， 综上所述，∠ACF 的度数为125°或55°． ▌题型11 尺规作图 【典例1】B． 【变式1-1】【解答】解：（1）图形如图所示： 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）∵CD＝8cm，A 为CD 中点， ∴AC＝AD＝4cm， ∴AB＝AC＝4cm，AE＝3AB＝3×4＝12cm， ∴DE＝AD+AE＝4+12＝16（cm）． 【变式1-2】【解答】解：（1）如图所示； （2）如图所示． 【变式1-3】【解答】解：（1）如图，BD 即为所求． （2）如图，AE 即为所求． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）如图，CF 即为所求．
