文档内容
【模型二 一线三等角模型】
【模型展示】
【模型条件】如图，∠B=∠ACD=∠E，AB=CE
△ABC≃△CED.
【模型结论】
【结论证明】请选取图1和图5分别证明
全等变化模型二 一线三等角模型
【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等三角形绕某一点旋转三角形
的一个内角大小得到的，当一组非对应边共线时就会形成等角。
从图形的结构分析，一线三等角是一条直线上的三个等角加一
组对应边相等组成的.【知识链接】三角形外角定理
【模型总结】 ①一线三等角证明常用外角证明，一线三垂直用余角证明亦
可。
②一线三等角会形成等腰三角形，解题时要考虑。
③三等角模型，对应边夹角相等，都等于旋转角。
【模型巩固】
【例2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝
DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
【证明】：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝DE，AC＝CD，
∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC，
∴∠C+∠2＝∠B+∠1，
∴∠1＝∠2，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，
∵AC＝AB，
∴AC＝5，
∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．
【例2-2】如图， 是经过 顶点 的一条直线， ， 、 分别是直线 上两点，
且 ．
（1）若直线 经过 的内部，且 、 在射线 上．
①如图1，若 ， ，则 _____ ；
②如图2，若 ，请添加一个关于 与 关系的条件 ，使①中的结论仍然成
立，并说明理由；
（2）如图3，若直线 经过 的外部， ，请提出关于 ， ， 三条线段数量
关系的合理猜想，并简述理由．【解答】解：（1）① ，
．
又 ，
．
在 和 中，
．
．
② ，理由如下：
，
．
又 ，
．
又 ， ．
．
．
在 和 中，
． ．
（2） ，理由如下：
，
．
又 ，
．
．
在 和 中，．
， ．
.
【例2-3】如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点
A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理
由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q
的运动速度与运动时间t．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针
沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC的 边上相遇？（在横线
上直接写出答案，不必书写解题过程）
【解答】解：（1）①全等，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5（厘米），
∵AB＝9cm，点D为AB的中点，
∴BD＝4.5cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，
∴PC＝6﹣1.5＝4.5（cm），
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△BDP和△CPQ中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
②假设△BPD与△CQP，
∵v ≠v ，
P Q
∴BP≠CQ，
又由∠B＝∠C，则只能是BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5，∴点P，点Q运动的时间t＝BP÷1.5＝3÷1.5＝2（秒），
∴v ＝CQ÷t＝4.5÷2＝2.25（cm/s）；
Q
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 2.25x＝1.5x+2×9，
解得x＝24，
∴点P共运动了24×1.5＝36（cm）．
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇
【例2-4】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ，CE与AD的数量关系为 ；
（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点
D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t
（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明
理由．
【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
故答案为：BD＝AE，CE＝AD；
（2）DE＝BD+CE，
由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
∴DE＝BD+CE；
（3）存在，当△DAB≌△ECA时，
∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，
∴t＝1，此时x＝2；
当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，
∴t＝ ，x＝7÷ ＝ ，综上：t＝1，x＝2或t＝ ，x＝ ．
【例2-5】已知，M是等边△ABC边BC上的点．
（1）如图1，过点M作MN∥AC且交于点N，求证：BM＝BN；
（2）如图2，连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H
作HD⊥BC于点D．求证：MA＝MH．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC．
∵MN∥AC，
∴∠BMN＝∠C＝60°，∠BNM＝∠A＝60°．
∴∠BMN＝∠BNM＝∠B＝60°，
∴△BNM是等边三角形，
∴BM＝BN；
（2）过点M作MN∥AC交AB于N，
∴BM＝BN，∠ANM＝120°．
∵∠AMH＝60°，
∴∠AMB+∠HMC＝120°．
∵∠B＝60°，
∴∠AMB+∠BAM＝120°．
∴∠HMC＝∠BAM．
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝120°．
∵CH平分∠ACD，
∴∠ACH＝ ∠ACD＝60°，
∴∠MCH＝120°，
∴∠ANM＝∠MCH．
∵AB＝BC，
∴AB﹣BN＝BC﹣BM，
∴AN＝BC．
在△ANM和△MCH中，
，
∴△ANM≌△MCH（ASA），∴MA＝MH．
