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专题01 等腰三角形重难点八大题型汇编
常考题型·精准突破
题型1 腰和底不明时需分类（高频）
题型2 顶角和底角不明时需讨论（重点）
题型3 涉及高位置的讨论
题型4 等腰三角形个数的讨论（重点）
题型5 等腰三角形中动点引起的分类（难）
题型6 等边三角形中动点综合问题（难）
题型7 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（高频）
题型8 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 腰和底不明时需分类(高频)
1．若一个等腰三角形的周长是36cm，且其中一边的长为8cm，则这个等腰三角形的腰长是（ ）
A．8cm
B．14cm
C．8cm或14cm
D．无法确定
【答案】B
【分析】未明确8cm的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系.
【详解】解：当8cm为腰长时，底边长为36 −2 × 8 = 20，
∵8 + 8 < 20，不能构成三角形，
∴此情况不成立；
当8cm为底边长时，腰长为
36−8
2
= 14，
∵8 + 14 > 14，能构成三角形，
∴腰长为14cm.
2．若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，且它的周长是23cm，𝐵𝐶= 4cm，则△𝐷𝐸𝐹必有一条边等于
（ ）
A．9.5cm
B．9.5cm或15cm
C．15cm
D．4cm或15cm
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【答案】A
【分析】本题需分情况讨论𝐵𝐶为等腰三角形的腰或底，结合三角形三边关系舍去不能构成三角形的情况，
再利用全等三角形对应边相等得到结论．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，周长为23cm，𝐵𝐶= 4cm，分两种情况讨论：
情况1：若𝐵𝐶为腰，则另一腰长为4cm，底边长为23 −4 −4 = 15cm，
∵4 + 4 = 8 < 15，不满足三角形三边关系，
∴此情况不成立，舍去；
情况2：若𝐵𝐶为底，则两腰长相等，
∴腰长为
23−4
2
= 9.5cm，此时三边长为4cm，9.5cm，9.5cm，满足三角形三边关系，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴△𝐷𝐸𝐹的边长与△𝐴𝐵𝐶对应相等，
∴△𝐷𝐸𝐹必有一条边等于9.5cm或4cm，
综上，△𝐷𝐸𝐹必有一条边等于9.5cm或4cm，没有一条边等于15cm，
故选项A 符合题意．
3．在等腰△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 120°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．120°
B．30°
C．30°或120°
D．60°
【答案】B
【详解】解：∵三角形内角和为180°，若120°为底角，则两个底角的和为120° + 120° = 240° > 180°，
不符合三角形内角和定理，
∴∠𝐴= 120°只能是等腰△𝐴𝐵𝐶的顶角，
∴底角为
180°−120°
2
= 30°．
4．设𝑎，𝑏是一个等腰三角形的两边长，且满足(𝑎−3)2 + |7 −𝑏| = 0，则该三角形的周长是_______．
【答案】17
【分析】先根据非负数的性质求出𝑎，𝑏的值，再分情况结合三角形三边关系讨论，计算符合条件的三角
形周长即可
【详解】解：∵(𝑎−3)2 + |7 −𝑏| = 0，且平方与绝对值均为非负数，
∴𝑎−3 = 0，7 −𝑏= 0，
解得𝑎= 3，𝑏= 7，
分两种情况讨论：① 当3为腰长时，三角形三边长分别为3，3，7，
∵3 + 3 < 7，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，故此情况舍去；
② 当7为腰长时，三角形三边长分别为3，7，7，
3 + 7 > 7，满足三角形三边关系，能组成三角形，
此时三角形的周长为3 + 7 + 7 = 17
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◆题型2 顶角和底角不明时需讨论(重点)
5．等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．80°
D．40°或80°
【答案】A
【分析】分情况讨论100°内角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理排除不符合的情况，即可得到结
果．
【详解】解：分两种情况讨论：
若100°为底角，则两个底角和为100° × 2 = 200°，∵三角形内角和为180°，200° > 180°，不符合题意，
舍去；
若100°为顶角，∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，∴底角度数为
1
2 (180° −100°) = 40°；
综上，该等腰三角形的底角度数为40°．
6．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1: 4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ）
A．75°
B．90°
C．105°或75°
D．120°或20°
【答案】D
【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1 份和顶角为比例中
的4 份，再利用三角形内角和为180°列方程求解．
【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为𝑥、4𝑥，
情况1：当顶角为𝑥时，两个底角均为4𝑥，
∵三角形内角和为180°，
∴𝑥+ 4𝑥+ 4𝑥= 180°，
解得𝑥= 20°，即顶角度数为20°；
情况2：当顶角为4𝑥时，两个底角均为𝑥，
∵三角形内角和为180°，
∴4𝑥+ 𝑥+ 𝑥= 180°，
解得𝑥= 30°，4𝑥= 120°，即顶角度数为120°；
因此该等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
7．等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（ ）
A．70°
B．55°或70°
C．40°或70°
D．40°
【答案】B
【分析】分该外角对应的是顶角还是底角两种情况讨论，进而求出底角的度数．
【详解】解：①当顶角的外角为110°时， 则顶角为180° −110° = 70°，
∴等腰三角形的底角度数为
180°−70°
2
= 55°；
②当底角的外角为110°时， 则底角为180° −110° = 70°；
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综上所述，底角可能为55°或70°．
8．等腰三角形的一个内角为40°，则它的另外两个内角分别为（ ）
A．40°，100°
B．70°，70°
C．40°，100°或70°，70°
D．40°，70°或70°，100°
【答案】C
【分析】分40°内角是顶角或底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解
即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为40°，未说明是顶角还是底角，因此分两种情况讨论；
①当40°为顶角时，∵三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，
∴另外两个底角的度数都为
180°−40°
2
= 70°，即另外两个内角为70°，70°；
②当40°为底角时，另一个底角为40°，
∴顶角为180° −2 × 40° = 100°，即另外两个内角为40°，100°；
综上，另外两个内角为40°，100°或70°，70°．
9．若一个等腰三角形的一个内角为80°，则它的顶角的度数为（ ）
A．20°
B．80°或50°
C．20°或50°
D．80°或20°
【答案】D
【分析】由于不能确定已知的等腰三角形的内角80°是顶角还是底角，需分是顶角或底角两种情况，分
别利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
∴分两种情况讨论：
①当80°为顶角时，顶角度数即为80°．
②当80°为底角时，顶角度数为180° −2 × 80° = 20°．
综上，该等腰三角形的顶角度数为80°或20°．
【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（ ）
A．65°
B．65°或115°
C．75°或115°
D．75°或105°
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，分两种情况：高在
三角形的内部和外部进行讨论求解即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当高在等腰三角形𝐴𝐵𝐶的内部时，如图，
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由题意，得：∠𝐴𝐷𝐵= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= 25°，
∴∠𝐴= 180° −∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝐵𝐷= 65°；
②当高在等腰三角形𝐴𝐵𝐶的外部时，如图：
由题意，得：∠𝐴𝐷𝐵= 90°, ∠𝐴𝐵𝐷= 25°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐷= 115°；
综上所述，顶角的度数为65°或115°．
故选：B．
◆题型3 涉及腰高位置的讨论
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ ）
A．55°
B．130°
C．50°或130°
D．55°或130°
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当等腰三角形为锐角三角
形时；当等腰三角形为钝角三角形时；分别求解即可．
【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷= 40°，
∴∠𝐴= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 50°，即顶角为50°；
当等腰三角形为钝角三角形时，
，
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∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵𝐴𝐷= 130°，即顶角为130°；
综上所述，其顶角为50°或130°，
故选：C．
12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．34°
B．146°
C．56°或146°
D．34°或146°
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，通过分该等腰三角形为锐角三角
形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键．
【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
由题意得：∠𝐴𝐵𝐷= 56°，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴= 90° −56° = 34°，
∴此等腰三角形的顶角的度数为34°；
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
由题意得：∠𝐴𝐵𝐷= 56°，𝐵𝐷⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −56° = 34°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −34° = 146°，
∴此等腰三角形的顶角的度数为146°；
综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为146°或34°，
故选：D．
13．已知𝐵𝐷是等腰△𝐴𝐵𝐶中一腰上的高，∠𝐴𝐵𝐷= 50°，则顶角的度数可能有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
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【分析】根据等腰三角形的顶角不同，对△𝐴𝐵𝐶进行分类讨论即可解答．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐷= 50°，𝐵𝐷是腰上的高，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 90° −50° = 40°，
①如图1，若∠𝐴为顶角，
则∠𝐴= 40°，两底角为70°，
此时三角形的三个内角为：40°，70°，70°，
②如图2，∠𝐵𝐴𝐶为顶角，
则顶角为∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷= 140°，
此时三角形的三个内角为：140°，20°，20°，
③如图3，若∠𝐵𝐶𝐴为顶角时，
∠𝐴= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 40°，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶= 40°，
即顶角∠𝐵𝐶𝐴= 100°，
此时三角形的三个内角为：100°，40°，40°，
顶角的度数可能有100°，140°，40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键．
◆题型4 等腰三角形个数的讨论(重点)
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 70°，∠𝐶= 35°，点𝐷在𝐵𝐶边上，连接𝐴𝐷，若点𝐷在𝐴𝐶边的垂直平分线
上，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和、外角的性质解题即可．
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【详解】解：由题意知，𝐷𝐴= 𝐷𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶= 35°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 70°，∠𝐶= 35°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −70° −35° = 75°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= 70° = ∠𝐵，
∴等腰三角形有△𝐴𝐷𝐶、△𝐴𝐵𝐷两个．
15．如图，在由边长为1 的小正方形组成的5 × 5的网格中，点A、B 都在格点上，现要在图中确定格点C，
连接𝐴𝐶和𝐵𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．则满足条件的格点C 的个数有（ ）个．
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可．
【详解】解：如图所示，
当点C 在𝐶1或𝐶2或𝐶3或𝐶4的位置上时，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
当点C 在𝐶5或𝐶6位置上时，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴满足条件的格点C 的个数有6 个．
16．如图，在4 × 4的正方形网格中有两个格点𝐴，𝐵，连接𝐴𝐵，在网格中再找一个格点C，使得△𝐴𝐵𝐶是等
腰直角三角形，则满足条件的格点C 的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
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【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形
结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①𝐴𝐵为等腰直角△𝐴𝐵𝐶底边；②𝐴𝐵为等腰直角△𝐴𝐵𝐶其中的
一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①𝐴𝐵为等腰直角△𝐴𝐵𝐶底边时，符合条件的𝐶点有0 个；
②𝐴𝐵为等腰直角△𝐴𝐵𝐶其中的一条腰时，符合条件的𝐶点有3 个．
故共有3 个点，
故选：C．
◆题型5 等腰三角形中动点引起的分类(难)
17．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 20cm, 𝐴𝐶= 12cm，点P 以每秒2cm速度从B 处向A 处运动，同时点2
以每秒1cm速度从A 处向C 处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当∠𝐵𝑃𝑄= ∠𝐶𝑄𝑃
时，运动时间为________秒．
【答案】
20
3
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据平角的定义，推出∠𝐴𝑃𝑄= ∠𝐴𝑄𝑃，进而得到𝐴𝑃= 𝐴𝑄，
列出方程进行求解即可．
【详解】解：设运动时间为𝑡秒，由题意，得：𝐵𝑃= 2𝑡cm,𝐴𝑄= 𝑡cm，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝐵−𝐵𝑃= (20 −2𝑡)cm，
∵∠𝐵𝑃𝑄= ∠𝐶𝑄𝑃，
∴180° −∠𝐵𝑃𝑄= 180° −∠𝐶𝑄𝑃，
∴∠𝐴𝑃𝑄= ∠𝐴𝑄𝑃，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝑄，
∴20 −2𝑡= 𝑡，
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∴𝑡=
20
3 ；
故答案为：
20
3 ．
18．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 16cm，𝐵𝐶= 12cm，𝐴𝐶= 20cm，P、Q 是△𝐴𝐵𝐶边上的两个动
点，其中点P 从点A 开始沿𝐴→𝐵方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B 开始沿𝐵𝐶→𝐶𝐴方向运动，
且速度为每秒2cm，P、Q 两点同时出发，当点P 运动到点B 时两点停止运动，设运动时间为t 秒．当
点Q 在边𝐶𝐴上运动时，当△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶或𝐵𝑄为底边的等腰三角形时，𝑡=______．
【答案】11 或12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，理解题意是解决本题的关键．
利用等腰三角形的性质可分为：以𝐵𝐶或𝐵𝑄为底边两种情况，分别求得𝑡的值．
【详解】解：设运动时间为t 秒．
由题意可知，当点P 运动到点B 时两点停止运动，则0 ≤𝑡≤16，
当点Q 在边𝐶𝐴上运动时，此时6 ≤𝑡≤16，
①当△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶为底边的等腰三角形时：𝐵𝑄= 𝐶𝑄，如图所示，
则∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝑄，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐴𝐵𝑄= 90°，∠𝐴+ ∠𝐶= 90°．
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝑄，
∴𝐵𝑄= 𝐴𝑄，
∴𝐶𝑄= 𝐴𝑄=
1
2 𝐴𝐶= 10(cm)，
∴𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 22(cm)，
∴𝑡= 22 ÷ 2 = 11(s)；
②当△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝑄为底边的等腰三角形时：𝐶𝑄= 𝐵𝐶，如图所示，
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则𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 24(cm)，
∴𝑡= 24 ÷ 2 = 12(s)．
故答案为：11 或12．
19．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 30°．点𝐷在边𝐵𝐶上运动（𝐷不与𝐵，𝐶重合），连接𝐴𝐷，作∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
使𝐷𝐸交边𝐴𝐵于点𝐸．在点𝐷的运动过程中，当△𝐴𝐷𝐸是等腰三角形时，∠𝐶𝐷𝐴=________．
【答案】60°或105°
【分析】本题主要考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是等腰三角形的性质．
根据等腰三角形的性质分类讨论，①当𝐴𝐷= 𝐴𝐸时；②当𝐷𝐴= 𝐷𝐸时；③当𝐸𝐴= 𝐸𝐷时；分情况求解即
可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶= 30°．
当△𝐴𝐷𝐸为等腰三角形时分三种情况：①当𝐴𝐷= 𝐴𝐸时，∠𝐴𝐷𝐸= 30°，∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 180° −∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐸𝐷= 120°．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 120°，点𝐷不与点𝐵，𝐶重合，
∴不合题意；
②当𝐷𝐴= 𝐷𝐸时，∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐸𝐴
= 1
2 (180° −∠𝐴𝐷𝐸)
= 75°，
∴∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵
= 30° + 75°
= 105°；
③当𝐸𝐴= 𝐸𝐷时，∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐸𝐷𝐴= 30°，
∴∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵
= 30° + 30°
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= 60°．
综上所述，∠𝐶𝐷𝐴为60°或105°．
故答案为：60°或105°．
20．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 40°，点𝐷在线段𝐵𝐶上运动（𝐷不与𝐵, 𝐶重合），连接𝐴𝐷，作∠𝐴𝐷𝐸= 40°，
𝐷𝐸交线段𝐴𝐶于𝐸，在点𝐷的运动过程中，△𝐴𝐷𝐸的形状也在改变，当△𝐴𝐷𝐸是等腰三角形时，∠𝐵𝐷𝐴的
度数是_______．
【答案】110°或80°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解决本题的关键在于根据等腰三角形
的性质和已知条件求出∠𝐵𝐷𝐴的度数．
需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为180°求解角度即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶= 40°，∠𝐵𝐴𝐶= 100°，
①当𝐴𝐷= 𝐴𝐸时，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 40°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 100°，此时不符合；
②当𝐷𝐴= 𝐷𝐸时，即∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐸𝐴=
1
2 × (180° − 40°) = 70°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 100° −70° = 30°，
∴∠𝐵𝐷𝐴= 180° −30° −40° = 110°；
③当𝐸𝐴= 𝐸𝐷时，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 100° −40° = 60°，
∴∠𝐵𝐷𝐴= 180° −60° −40° = 80°；
综上所述，当△𝐴𝐷𝐸是等腰三角形时，
∠𝐵𝐷𝐴的度数是110°或80°．
故答案为：110°或80°．
21．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 16cm，𝐵𝐶= 12cm，𝐴𝐶= 20cm，𝑃、𝑄是△𝐴𝐵𝐶边上的两个动
点，其中点𝑃从点𝐴开始沿𝐴→𝐵的方向运动，且速度为1cm/s，点𝑄从点𝐵开始沿𝐵→𝐶→𝐴的方向运动，
且速度为2cm/s，𝑃，𝑄两点同时出发，设运动的时间为𝑡秒．
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(1)𝐵𝑃=_____________cm，𝐵𝑄=_____________cm（用含𝑡的代数式表示）；
(2)当点𝑄在边𝐵𝐶上运动时，
①出发几秒后，△𝑃𝑄𝐵是等腰三角形？
②通过计算说明𝑃𝑄能否把△𝐴𝐵𝐶的周长平分？
(3)当点𝑄在边𝐶𝐴上运动时，若△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶或𝐵𝑄为底边的等腰三角形，直接写出此时𝑡的值．
【答案】(1)𝐵𝑃= (16 −𝑡)cm， 𝐵𝑄= 2𝑡cm；
(2)①
16
3 秒，
②能，当点𝑄在𝐵𝐶上时，
∵𝐵𝑄= 2𝑡，𝐵𝑃= (16 −𝑡)，𝐴𝑃= 𝑡
∴𝐵𝑃+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 𝐴𝑄+ 𝐴𝑃
即2𝑡+ 16 −𝑡= 𝑡+ 20 −(2𝑡−12)
解得：𝑡= 8秒
∴当运动的时间为8 秒时，𝑃𝑄能否把△𝐴𝐵𝐶的周长平分
(3)𝑡为11 秒或12 秒时，△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶或𝐵𝑄为底边的等腰三角形
【分析】（1）设运动的时间为𝑡秒，其中点𝑃从点𝐴开始沿𝐴→𝐵的方向运动，且速度为1cm/s，点𝑄从点
𝐵开始沿𝐵→𝐶→𝐴的方向运动，且速度为2cm/s，𝑃，𝑄两点同时出发，即可求解；
（2）① 当点𝑄在边𝐵𝐶上运动时，△𝑃𝑄𝐵是等腰三角形时，则𝐵𝑃= 𝐵𝑄 ，联立方程即可求解；②根据
题意得𝐵𝑃+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 𝐴𝑄+ 𝐴𝑃，联立方程即可；
（3）当点𝑄在边𝐶𝐴上运动时，分类讨论，①若△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶为底边的等腰三角形； ②若△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝑄
为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解.
【详解】（1）解：∵设运动的时间为𝑡秒，其中点𝑃从点𝐴开始沿𝐴→𝐵的方向运动，且速度为1cm/s，
点𝑄从点𝐵开始沿𝐵→𝐶→𝐴的方向运动，且速度为2cm/s，𝑃，𝑄两点同时出发，
∴𝐴𝑃= 𝑡，𝐵𝑃= (16 −𝑡)cm，𝐵𝑄= 2𝑡cm
故答案为：𝐵𝑃= (16 −𝑡)cm， 𝐵𝑄= 2𝑡cm；
（2）①当点𝑄在边𝐵𝐶上运动时，△𝑃𝑄𝐵是等腰三角形时，则𝐵𝑃= 𝐵𝑄
∴16 −𝑡= 2𝑡
解得：𝑡=
16
3 ；
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∴出发
16
3 秒后；
②略
（3）当点𝑄在边𝐶𝐴上运动时，
①若△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶为底边的等腰三角形
则𝐵𝑄= 𝐶𝑄= 𝐴𝑄=
1
2 𝐴𝐶= 10
∴𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶−𝐴𝑄
∴2𝑡= 32 −10
解得：𝑡= 11
②若△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝑄为底边的等腰三角形
则𝐵𝐶= 𝐶𝑄= 12
2𝑡= 12 + 12
解得：𝑡= 12
综上所述：𝑡为11 秒或12 秒时，△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶或𝐵𝑄为底边的等腰三角形.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解
题关键.
◆题型6 等边三角形中动点综合问题(难)
22．如图，在边长为18 的等边△𝐴𝐵𝐶中，设点D 在𝐴𝐵边上，且𝐴𝐷= 2𝐵𝐷，已知点P 从点B 出发，以
每秒2 个单位长度速度沿𝐵→𝐶方向运动；点Q 从点C 出发，以每秒a 个单位长度速度沿𝐶→𝐴→𝐷方
向运动．若点P、Q 同时出发，设运动时间为t 秒．
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(1)若点P 运动到点C 时，点Q 恰好到达点D，求a 的值；
(2)当点Q 沿𝐶→𝐴方向运动时，△𝐵𝑃𝐷≌△𝐶𝑃𝑄能否成立，若成立，求a 和t 的值；若不成立，请说明
理由．
【答案】(1)𝑎=
10
3
(2)成立，𝑡=
9
2，𝑎=
4
3
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）根据速度等于路程除以时间，进行求解即可；
（2）根据全等三角形的判定方法，得到当𝐵𝑃= 𝐶𝑃, 𝐵𝐷= 𝐶𝑄时，△𝐵𝑃𝐷≌△𝐶𝑃𝑄，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵边长为18 的等边△𝐴𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 18，∠𝐵= ∠𝐶= 60°，
∵𝐴𝐷= 2𝐵𝐷，
∴𝐵𝐷=
1
3 𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 12，
∵点P 运动到点C 时，点Q 恰好到达点D，
∴
18
2 𝑎= 18 + 12，
∴𝑎=
10
3 ；
（2）解：成立；
由（1）知：∠𝐵= ∠𝐶= 60°，𝐵𝐷= 6，
∴当𝐵𝑃= 𝐶𝑃, 𝐵𝐷= 𝐶𝑄时，△𝐵𝑃𝐷≌△𝐶𝑃𝑄，
∴𝐵𝑃=
1
2 𝐵𝐶= 9，𝐶𝑄= 6，
∴𝑡=
9
2，𝑎= 6 ÷
9
2 =
4
3．
23．如图，△𝐴𝐵𝐶是边长为10cm的等边三角形，动点P 从点B 出发以3cm/s的速度沿着路线𝐵→𝐴→𝐶→𝐵
向终点B 运动，同时动点Q 从点C 出发以2cm/s的速度沿着路线𝐶→𝐵→𝐴→𝐶向终点C 运动，设运
动的时间为𝑡s．
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(1)当P 在𝐴𝐵边上运动时，𝐵𝑃=______，𝐵𝑄=______；
(2)当△𝐵𝑃𝑄是等边三角形时，求t 的值．
【答案】(1)3𝑡cm；(10 −2𝑡)cm
(2)2 或8
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的
关键．
（1）根据等边三角形的性质得到𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 10cm，再进一步可得到结论；
（2）当点P 在𝐴𝐵边上运动时，当点P 在𝐵𝐶边上时，根据等边三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是边长为10cm的等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 10cm，
由题意可得：𝐵𝑃= 3𝑡cm，𝐶𝑄= 2𝑡cm，
∴𝐵𝑄= (10 −2𝑡)cm；
（2）解：∵△𝐵𝑃𝑄是等边三角形，
∴𝐵𝑄= 𝐵𝑃．
当点𝑃在𝐴𝐵边上时（此时点𝑄在𝐵𝐶边上），
有10 −2𝑡= 3𝑡，解得𝑡= 2；
当点𝑃在𝐵𝐶边上时（此时点𝑄在𝐴𝐵边上），
有30 −3𝑡= 2𝑡−10，解得𝑡= 8．
综上所述，当△𝐵𝑃𝑄是等边三角形时，𝑡的值为2 或8．
24．如图1，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝑃、𝑄分别是边𝐴𝐵、𝐵𝐶所在直线上的动点（端点𝐵、𝐶除外），点𝑃从
顶点A、点𝑄从顶点𝐵同时出发，且它们的运动速度相同，连接𝐴𝑄、𝐶𝑃交于点𝑀．
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(1)试说明：△𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃的理由；
(2)当点𝑃、𝑄分别在线段𝐴𝐵、𝐵𝐶上运动时，∠𝐴𝑀𝐶的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改
变，求出它的度数；
(3)如图2，当点𝑃、𝑄分别运动到𝐵、𝐶后，继续在射线𝐴𝐵、𝐵𝐶上运动，直线𝐴𝑄、𝐶𝑃交点为𝑀，则∠𝐴𝑀𝐶
的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】(1)理由见解析
(2)不改变，∠𝐴𝑀𝐶= 120°
(3)不改变，∠𝐴𝑀𝐶= 60°
【分析】
（1）由题意易得，∴ 𝐴𝐵= 𝐶𝐴，∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐶= 60°，𝐴𝑃= 𝐵𝑄 ，然后利用SAS证明△𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃；
（2）由（1）可知：△𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃，则有∠𝐵𝐴𝑄= ∠𝐴𝐶𝑃，然后根据三角形外角的性质可进行求解；
（3）由题意易得∴ 𝐵𝑃= 𝐶𝑄，∴ 𝐵𝐶= 𝐶𝐴，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，则有∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑄𝐶𝐴= 120°，然后
根据SAS可得△𝑃𝐵𝐶≌△𝑄𝐶𝐴，进而根据全等三角形的性质及三角形外角的性质进行求解．
【详解】（1）证明：∵点𝑃、点𝑄是同时以相同的速度运动，
∴ 𝐴𝑃= 𝐵𝑄，
∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴ 𝐴𝐵= 𝐶𝐴，∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐶= 60°，
∴ △𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃(SAS)；
（2）解：不改变，
理由：∵ △𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃，
∴ ∠𝐵𝐴𝑄= ∠𝐴𝐶𝑃，
∵ ∠𝐴𝑀𝐶= 180° −(∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐴𝐶𝑃) = 180° −(∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐴𝑄)，
∵ ∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐴𝑄= 60°，
∴ ∠𝐴𝑀𝐶= 180° −60° = 120°；
（3） 解：∠𝐴𝑀𝐶的度数不改变 ，
∵点𝑃、点𝑄是同时以相同的速度运动，
∴ 𝐵𝑃= 𝐶𝑄，
∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴ 𝐵𝐶= 𝐶𝐴，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
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∴ ∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑄𝐶𝐴= 120°，
∴ △𝑃𝐵𝐶≌△𝑄𝐶𝐴(SAS)，
∴ ∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐶𝐴𝑄，∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐴𝑄𝐶即∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑀𝑄𝐶，
∴ ∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐴𝑄𝐶+ ∠𝑀𝐶𝑄= ∠𝐴𝑄𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐴𝑄𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑄，
∵ ∠𝐴𝑄𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑄= 180° −∠𝑄𝐶𝐴= 60°，
∴ ∠𝐴𝑀𝐶= 60°．
◆题型7 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题(高频)
25．如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐶都是等边三角形，当点B，C，D 在一条直线上时，连接𝐴𝐷，𝐵𝐸交于点M，
连接𝐶𝑀，
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸．
(2)试探究线段𝐵𝑀与线段𝐴𝑀，𝐶𝑀之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)𝐵𝑀= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀，见解析
【分析】（1）利用SAS可证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷即可；
（2）在𝐷𝐴上取点F，使𝐷𝐹= 𝑀𝐸，连接𝐶𝐹，由全等三角形的性质得𝐵𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，同理
可证△𝑀𝐸𝐶≌△𝐹𝐷𝐶，由全等三角形的性质得𝑀𝐶= 𝐹𝐶，∠𝑀𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷，由等边三角形的判定得△
𝑀𝐶𝐹是等边三角形，结合等边三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐸𝐷𝐶都是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐴𝐵，𝐶𝐸= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐸𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 180° −∠𝐵𝐶𝐴−∠𝐸𝐶𝐷 = 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷 = 60° + 60° = 120°，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐴𝐶𝐷中
{
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐶𝐸= 𝐶𝐷
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷（SAS），
（2）解：𝐵𝑀= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀；
理由如下：
如图，在𝐷𝐴上取点F，使𝐷𝐹= 𝑀𝐸，连接𝐶𝐹，
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∵△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝑀𝐸𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶，
同理可证：△𝑀𝐸𝐶≌△𝐹𝐷𝐶（SAS），
∴𝑀𝐶= 𝐹𝐶，∠𝑀𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷，
∴∠𝑀𝐶𝐹= ∠𝑀𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐹 = ∠𝐹𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐹 = ∠𝐸𝐶𝐷 = 60°，
∴△𝑀𝐶𝐹是等边三角形，
∴𝐶𝑀= 𝑀𝐹，
∴𝐵𝑀= 𝐵𝐸−𝑀𝐸 = 𝐴𝐷−𝐷𝐹 = 𝐴𝑀+ 𝑀𝐹 = 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀．
26．已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，点𝐷在𝐵𝐶上，连接𝐴𝐷．
(1)设𝛼= 120°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，点𝐸在射线𝐴𝐷上，连接𝐵𝐸．
①如图1，若𝐴𝐵= 𝐵𝐸，试说明𝐵𝐸∥𝐴𝐶；
②如图2，若∠𝐸𝐵𝐶= 60°，试说明𝐴𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶；
(2)如图3，若𝛼= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，作点𝐶关于射线𝐴𝐷的对称点𝐶′，连接𝐵𝐶′并延长交射线𝐴𝐷于点𝐹，连
接𝐶𝐹，若𝐶𝐹= 3，△𝐴𝐶𝐹的面积为7，求𝐵𝐹的长．
【答案】(1)证明：①∵ ∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，𝛼= 120°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∵ 𝐴𝐵= 𝐵𝐸，
∴ △𝐴𝐵𝐸是等边三角形，
∴ ∠𝐸= 60°，
∴ ∠𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶，
∴ 𝐵𝐸∥𝐴𝐶；
②如图，在𝐴𝐸上取一点H，使𝐴𝐻= 𝐴𝐵，连接𝐵𝐻，
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由（1）知∠𝐵𝐴𝐸= 60°，
∴ △𝐴𝐵𝐻是等边三角形，
∴ 𝐵𝐻= 𝐵𝐴= 𝐴𝐻，∠𝐵𝐻𝐴= 60°，
∴ ∠𝐵𝐻𝐸= 180° −∠𝐵𝐻𝐴= 120° = ∠𝐵𝐴𝐶，
∵ ∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶= 60°，
∴ 180° −∠𝐵𝐷𝐸−∠𝐸𝐵𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐸𝐴𝐶，
即∠𝐸= ∠𝐶，
在△𝐵𝐻𝐸和△𝐵𝐴𝐶中，
{
∠𝐵𝐻𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶
∠𝐸= ∠𝐶
𝐵𝐻= 𝐵𝐴
，
∴ △𝐵𝐻𝐸 ≌△𝐵𝐴𝐶(AAS)，
∴ 𝐻𝐸= 𝐴𝐶，
∴ 𝐴𝐸= 𝐴𝐻+ 𝐻𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶；
(2)
19
3
【分析】（1）①根据角平分线的定义得∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，结合𝐴𝐵= 𝐵𝐸证明△𝐴𝐵𝐸是等
边三角形，推出∠𝐸= 60° = ∠𝐸𝐴𝐶，即可证明𝐵𝐸∥𝐴𝐶；②在𝐴𝐸上取一点H，使𝐴𝐻= 𝐴𝐵，连接𝐵𝐻，构
造等边△𝐴𝐵𝐻，再证△𝐵𝐻𝐸 ≌△𝐵𝐴𝐶(AAS)，推出𝐻𝐸= 𝐴𝐶，可得𝐴𝐸= 𝐴𝐻+ 𝐻𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶；
（2）连接𝐴𝐶′，作𝐴𝑀⊥𝐵𝐹于点M，𝐴𝑁⊥𝐹𝐶交𝐹𝐶的延长线于点N，由轴对称的性质得𝐴𝐶′ = 𝐴𝐶，𝐹𝐶′ =
𝐹𝐶= 3，∠𝐹𝐴𝐶′ = ∠𝐹𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐶𝐴𝐶′，𝑆△𝐹𝐴𝐶′ = 𝑆△𝐹𝐴𝐶= 7，根据三角形面积公式计算出𝐴𝑀= 𝐴𝑁=
2𝑆△𝐴𝐶𝐹
𝐹𝐶
=
14
3 ，根据等腰三角形三线合一推出𝑀𝐶′ = 𝑀𝐵，∠𝑀𝐴𝐶′ = ∠𝑀𝐴𝐵=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶′，进而证明△𝐴𝑀𝐹
是等腰直角三角形，推出𝐴𝑀= 𝑀𝐹=
14
3 ，即可求解．
【详解】（1）①略．②略．
（2）解：如图，连接𝐴𝐶′，作𝐴𝑀⊥𝐵𝐹于点M，𝐴𝑁⊥𝐹𝐶交𝐹𝐶的延长线于点N，
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∵点𝐶与𝐶′关于射线𝐴𝐷对称，
∴ 𝐴𝐶′ = 𝐴𝐶，𝐹𝐶′ = 𝐹𝐶= 3，∠𝐹𝐴𝐶′ = ∠𝐹𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐶𝐴𝐶′，𝑆△𝐹𝐴𝐶′ = 𝑆△𝐹𝐴𝐶= 7，
∴
1
2 𝐹𝐶′ ⋅𝐴𝑀=
1
2 𝐹𝐶⋅𝐴𝑁= 7，
∴ 𝐴𝑀= 𝐴𝑁=
2𝑆△𝐴𝐶𝐹
𝐹𝐶
=
2×7
3 =
14
3 ，
∵ 𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐶′ = 𝐴𝐶，
∴ 𝐴𝐶′ = 𝐴𝐵，
∵ 𝐴𝑀⊥𝐵𝐹，
∴ 𝑀𝐶′ = 𝑀𝐵，∠𝑀𝐴𝐶′ = ∠𝑀𝐴𝐵=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶′，
∴ ∠𝑀𝐴𝐶′ + ∠𝐹𝐴𝐶′ =
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶′ +
1
2 ∠𝐶𝐴𝐶′ =
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 90° = 45°，
∴ △𝐴𝑀𝐹是等腰直角三角形，
∴ 𝐴𝑀= 𝑀𝐹=
14
3 ，
∴ 𝑀𝐶′ = 𝑀𝐹−𝐹𝐶′ =
14
3 −3 =
5
3，
∴ 𝑀𝐵= 𝑀𝐶′ =
5
3，
∴ 𝐵𝐹= 𝐵𝑀+ 𝑀𝐹=
5
3 +
14
3 =
19
3 ．
27．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是边𝐴𝐶上一点，点𝐸在𝐵𝐷的延长线上，且𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐸交𝐷𝐸于
点𝐹，连接𝐹𝐶．
(1)如图1，写出与∠𝐴𝐵𝐸相等的角；
(2)如图2，当∠𝐵𝐴𝐶= 60°时，在𝐵𝐸上取点𝑀，使𝐵𝑀= 𝐸𝐹，连接𝐴𝑀．
①补全图形；
②求∠𝐶𝐹𝐸；
(3)如图3，当∠𝐵𝐴𝐶= 90°，且𝐴𝐸∥𝐵𝐶，直接写出𝐸𝐹与𝐵𝐷之间的数量关系．
【答案】(1)∠𝐴𝐸𝐵和∠𝐴𝐶𝐹
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(2)①
；②∠𝐶𝐹𝐸= 120°；
(3)𝐵𝐷= 2𝐸𝐹
【分析】（1）利用“边角边”定理证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹，根据全等三角形的性质得到∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹，根
据等腰三角形的性质得到∠𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸，等量代换证明结论；
（2）①在𝐹𝐵上截取𝐵𝑀= 𝐶𝐹，连接𝐴𝑀，
②证明△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐶𝐹，根据全等三角形的性质得到𝐴𝑀= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝐹，进而证明△𝐴𝑀𝐹为
等边三角形，可得∠𝐴𝑀𝐹= 60°，进而可得∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 120°，由（1）可得△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹，则
∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐶= 120°，进而可得∠𝐶𝐹𝐸= 120°；
（3）延长𝐵𝐴、𝐶𝐹交于N，证明△𝐵𝐹𝑁≌△𝐵𝐹𝐶，得到𝐶𝑁= 2𝐶𝐹= 2𝐸𝐹，再证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝑁，得
到𝐵𝐷= 𝐶𝑁，等量代换得到答案．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
在△𝐴𝐶𝐹和△𝐴𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐸= 𝐴𝐶
∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹；
∴与∠𝐴𝐵𝐸相等的角是∠𝐴𝐸𝐵和∠𝐴𝐶𝐹
（2）①图略；
②如图2，在𝐹𝐵上截取𝐵𝑀= 𝐶𝐹，连接𝐴𝑀，
∵△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹，
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐹, ∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝑀，
在△𝐴𝐵𝑀和△𝐴𝐶𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐴𝐶𝐹
𝐵𝑀= 𝐶𝐹
，
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∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐶𝐹(SAS)，
∴𝐴𝑀= 𝐴𝐹, ∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝐹，∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝑀𝐴𝐹= ∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∵𝐴𝑀= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝑀𝐹为等边三角形；
∴∠𝐴𝑀𝐹= 60°
∴∠𝐴𝑀𝐵= 120°
∵∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 120°
由（1）可得△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐶= 120°
∴∠𝐶𝐹𝐸= 360° −∠𝐴𝐹𝐶−𝐴𝐹𝐸= 120°
（3）证明：如图3，延长𝐵𝐴、𝐶𝐹交于N，
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹= 22.5°, ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∴由（1）可得△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐸= ∠𝐴𝐵𝐹= 22.5°,𝐶𝐹= 𝐸𝐹
∴∠𝐵𝐹𝐶= 180° −22.5° −45° −22.5° = 90°，
∴∠𝐵𝐹𝑁= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
在△𝐵𝐹𝑁和△𝐵𝐹𝐶中，
{
∠𝑁𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹
𝐵𝐹= 𝐵𝐹
∠𝐵𝐹𝑁= ∠𝐵𝐹𝐶
，
∴△𝐵𝐹𝑁≌△𝐵𝐹𝐶(ASA)，
∴𝐶𝐹= 𝐹𝑁，
即𝐶𝑁= 2𝐶𝐹= 2𝐸𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
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在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝑁中，
{
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝑁
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝑁
，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝑁(ASA)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝑁，
∴𝐵𝐷= 2𝐸𝐹．
28．阅读理解：
问题：如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴+ ∠𝐶= 180°．求证：𝐷𝐴= 𝐷𝐶．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀= 𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长𝐵𝐴到点N，使得𝐵𝑁= 𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，得到全等三角形，进而解决问题．
(1)方法积累：结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接𝐴𝐶，当∠𝐷𝐴𝐶= 60°时，探究线段𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐵𝐷之间的数量
关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，𝐷𝐴= 𝐷𝐶，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为点
E，请写出线段𝐴𝐵、𝐶𝐸、𝐵𝐶之间的数量关系．
(4)实际运用：在（3）的条件下，已知𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐶𝐸𝐷= 5: 3，𝐶𝐸= 6，𝐷𝐸= 8，动点P 从B 出发，沿线
段𝐵𝐶以2 个单位每秒向C 运动，到达C 后立即原路原速度返回至B 停止，运动时间为t 秒，请直接写
出使得𝑆△𝐵𝑃𝐷= 32的所有t 的值．
【答案】(1)解：选择方法1，证明如下：
如图所示，在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀= 𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，
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∵对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑀𝐵𝐷，
又∵𝐵𝐴= 𝐵𝑀, 𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝑀𝐵𝐷(SAS)，
∴𝐷𝐴= 𝑀𝐷, ∠𝐴= ∠𝐵𝑀𝐷，
∵∠𝐴+ ∠𝐶= 180°, ∠𝐵𝑀𝐷+ ∠𝐷𝑀𝐶= 180°，
∴∠𝐶= ∠𝐷𝑀𝐶，
∴𝐷𝑀= 𝐷𝐶，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐶；
选择方法2，证明如下：
如图所示，延长𝐵𝐴到点N，使得𝐵𝑁= 𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，
∵对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝑁𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
又∵𝐵𝑁= 𝐵𝐶, 𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐵𝐷𝑁≌△𝐵𝐷𝐶(SAS)，
∴𝐷𝑁= 𝐷𝐶, ∠𝐶= ∠𝐷𝑁𝐵，
∵∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°, ∠𝐷𝐴𝑁+ ∠𝐷𝐴𝐵= 180°，
∴∠𝐶= ∠𝐷𝐴𝑁，
∴∠𝐷𝐴𝑁= ∠𝐷𝑁𝐴，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝑁，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐶；
(2)解：𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶，理由如下：
如图所示，在𝐵𝐷上截取𝐵𝐹= 𝐴𝐵，连接𝐴𝐹，
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由（1）得𝐷𝐴= 𝐷𝐶，
∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，
∴△𝐴𝐶𝐷是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷, ∠𝐴𝐷𝐶= 60°；
∵∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°,∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 360°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 360°，
又∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 120°，
∵对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
又∵𝐵𝐹= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐹是等边三角形，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐵, ∠𝐵𝐴𝐹= 60° = ∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐹−∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐷，
∴△𝐵𝐴𝐶≌△𝐹𝐴𝐷(SAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐹，
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐹+ 𝐷𝐹，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶；
(3)𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 2𝐶𝐸
(4)4 或18
【分析】（1）方法1：证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝑀𝐵𝐷，得到𝐷𝐴= 𝑀𝐷, ∠𝐴= ∠𝐵𝑀𝐷，再证明∠𝐶= ∠𝐷𝑀𝐶，得到
𝐷𝑀= 𝐷𝐶，即可证明𝐷𝐴= 𝐷𝐶；方法2：证明△𝐵𝐷𝑁≌△𝐵𝐷𝐶，得到𝐷𝑁= 𝐷𝐶, ∠𝐶= ∠𝐷𝑁𝐵，再证明
∠𝐷𝐴𝑁= ∠𝐷𝑁𝐴，得到𝐷𝐴= 𝐷𝑁，即可证明𝐷𝐴= 𝐷𝐶；
（2）在𝐵𝐷上截取𝐵𝐹= 𝐴𝐵，连接𝐴𝐹，证明△𝐴𝐶𝐷是等边三角形，得到𝐴𝐶= 𝐴𝐷, ∠𝐴𝐷𝐶= 60°；可求出
∠𝐴𝐵𝐶= 120°，得到∠𝐴𝐵𝐷= 60°，则可证明△𝐴𝐵𝐹是等边三角形，得到𝐴𝐹= 𝐴𝐵, ∠𝐵𝐴𝐹= 60° = ∠𝐷𝐴𝐶，
证明△𝐵𝐴𝐶≌△𝐹𝐴𝐷，得到𝐵𝐶= 𝐷𝐹，据此可得𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶；
（3）过点D 作𝐷𝐹⊥𝐵𝐴交𝐵𝐴的延长线于点F，连接𝐵𝐷，证明△𝐷𝐹𝐴≌△𝐷𝐸𝐶，得到𝐷𝐹= 𝐷𝐸，𝐴𝐹= 𝐶𝐸；
再证明Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐷𝐹，得到𝐵𝐹= 𝐵𝐸，据此可得𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 2𝐶𝐸；
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（4）求出𝑆△𝐶𝐷𝐸= 24，得到𝑆△𝐴𝐵𝐷= 40；根据全等三角形的性质得到𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 24，𝑆△𝐵𝐷𝐸=
𝑆△𝐵𝐷𝐹= 64，则可求出𝐵𝐸= 16，进而得到𝐵𝐶= 22；可求出𝐵𝑃= 8，再分两种情况：点P 从B 向点C
运动和点P 从点C 向点B 运动，讨论求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图所示，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐵𝐴交𝐵𝐴的延长线于点F，连接𝐵𝐷，
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶= 180°，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐹𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐶= ∠𝐹𝐴𝐷，
∵𝐷𝐹⊥𝐵𝐴，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐹= ∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶= 90°，
又∵𝐷𝐴= 𝐷𝐶，
∴△𝐷𝐹𝐴≌△𝐷𝐸𝐶(AAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，𝐴𝐹= 𝐶𝐸；
又∵𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐷𝐹(HL)，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐸，
∵𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐹+ 𝐶𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐶𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐴𝐵+ 2𝐶𝐸，即𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 2𝐶𝐸；
（4）解：如图所示，
∵𝐷𝐸⊥𝐶𝐸, 𝐷𝐸= 8, 𝐶𝐸= 6，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2 𝐷𝐸⋅𝐶𝐸= 24，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷: 𝑆△𝐶𝐸𝐷= 5: 3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 40；
由（3）可得△𝐷𝐹𝐴≌△𝐷𝐸𝐶，Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐷𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 24，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐹= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐹= 64，
∴
1
2 𝐵𝐸⋅𝐷𝐸= 64，
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∴𝐵𝐸= 16，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 22；
∵𝑆△𝐵𝑃𝐷=
1
2 𝐵𝑃⋅𝐷𝐸= 32，
∴𝐵𝑃= 8，
∴当点P 从B 向点C 运动时，则𝑡=
8
2 = 4，
当点P 从点C 向点B 运动时，则𝑡=
22×2−8
2
= 18，
综上所述，t 的值为4 或18．
◆题型8 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题(难)
29．问题解决
△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐷是直线𝐴𝐶上一点（不与𝐴，𝐶重合），点𝐸在𝐵𝐶射线上（不与𝐵，𝐶重合），且
𝐴𝐷= 𝐶𝐸，连接𝐷𝐸，探究𝐵𝐷与𝐷𝐸的数量关系．
(1)【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点𝐷在边𝐴𝐶的中点时，请你直接写出
线段𝐵𝐷与𝐷𝐸的数量关系________________；
(2)【数学思考】如图2，当点𝐷是边𝐴𝐶上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小
颖的思路是通过作𝐷𝐹∥𝐶𝐵，然后证明△𝐷𝐶𝐸和△𝐵𝐹𝐷全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出
完整的证明过程；
类比延伸：
(3)【拓展应用】如图3，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝑀在边𝐵𝐶上，点𝐷在𝐵𝐶的延长线上，∠𝐴𝑀𝑁= 60°，
𝑀𝑁与∠𝐴𝐶𝐷的平分线𝐶𝑁所在的直线相交于点𝑁，请写出𝐶𝑀，𝐶𝑁，𝐴𝐶的数量关系并证明．
【答案】(1)𝐵𝐷= 𝐷𝐸
(2)证明：如图2，过点𝐷作𝐷𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵于点𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°, ∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐷𝐹= 60°，
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∴△𝐴𝐹𝐷是等边三角形，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐹= 𝐴𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐹= 𝐴𝐶−𝐴𝐷，
∴𝐹𝐵= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐷𝐹= 𝐶𝐸，
又∵∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷= 180° −60° = 120°．
在△𝐹𝐵𝐷和△𝐶𝐷𝐸中，
𝐹𝐵= 𝐶𝐷，∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷，𝐷𝐹= 𝐶𝐸，
∴△𝐹𝐵𝐷≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)，
∴𝐷𝐵= 𝐸𝐷；
(3)结论：
𝐴𝐶= 𝐶𝑀+ 𝐶𝑁证明：过𝑀作𝑀𝐹∥𝐴𝐶交𝐴𝐵于𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴同理可得△𝐵𝑀𝐹是等边三角形，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝑀, 𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶, ∠𝐵= 60°，
∴𝐴𝐵−𝐵𝐹= 𝐵𝐶−𝐵𝑀，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝑀，
∵在△𝐴𝐵𝑀中，∠𝑀𝐴𝐵= 180° −∠𝐵−∠𝐴𝑀𝐵，∠𝑁𝑀𝐶= 180° −∠𝐴𝑀𝑁−∠𝐴𝑀𝐵，∠𝐵= ∠𝐴𝑀𝑁= 60°，
∴∠𝑁𝑀𝐶= ∠𝑀𝐴𝐹，
∵𝐶𝑁平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝑁=
180°−60°
2
= 60°，
∴∠𝑀𝐶𝑁= ∠𝐴𝐶𝑁+ ∠𝐴𝐶𝐵= 120°,∠𝐴𝐹𝑀= 180° −∠𝐵𝐹𝑀= 120°，
∴∠𝑀𝐶𝑁= ∠𝐴𝐹𝑀，
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在△𝐴𝐹𝑀与△𝑀𝐶𝑁中，{
∠𝑀𝐴𝐹= ∠𝑁𝑀𝐶
𝐴𝐹= 𝑀𝐶
∠𝐴𝐹𝑀= ∠𝑀𝐶𝑁
，
∴△𝐴𝐹𝑀≌△𝑀𝐶𝑁(ASA)，
∴𝐹𝑀= 𝐶𝑁= 𝐵𝑀，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐶𝑀+ 𝐵𝑀= 𝐶𝑀+ 𝐶𝑁．
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合等角对等边即可得到𝐵𝐷与𝐷𝐸的数量关系；
（2）添加辅助线，结合等边三角形的性质证明△𝐹𝐵𝐷和△𝐶𝐷𝐸全等，由此可证明𝐷𝐵= 𝐷𝐸；
（3）添加辅助线，证明△𝐴𝐹𝑀与△𝑀𝐶𝑁全等，由此可得𝐹𝑀= 𝐶𝑁= 𝐵𝑀，再由边的关系证明即可．
【详解】（1）解：𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点D 在边𝐴𝐶的中点，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，且𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 30°，∠𝐷𝐶𝐸= 120°
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴∠𝐸=
180°−120°
2
= 30°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐸= 30°，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐸；
（2）略；
（3）略．
30．综合实践
数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无
穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自
然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点𝐸在𝐴𝐵上，
点𝐷在𝐶𝐵的延长线上，且𝐸𝐷= 𝐸𝐶，试确定线段𝐴𝐸与𝐷𝐵的大小关系，并说明理由．
小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答：
(1)【特殊情况，归纳猜想】如图1，当𝐸为𝐴𝐵的中点时，确定线段𝐴𝐸与𝐵𝐷的大小关系，请你直接写出
你的结论：𝐴𝐸 𝐵𝐷（选填“>”、“<”或者“=”）；
(2)【特例启发，推理证明】如图2，当𝐸不是𝐴𝐵的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，
所以他们尝试过点E 作𝐸𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下
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来的证明过程；
(3)【拓展延伸，问题解决】当点E 在𝐵𝐴的延长线上时，点D 在𝐵𝐶边上，且𝐶𝐸= 𝐷𝐸，请自己画图，并
探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】(1)=
(2)如图，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐹，
则∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∵∠𝐴= 60°，
∴△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐴𝐸= 𝐹𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐴𝐹𝐸= 60°，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸= 120°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹，
∵𝐸𝐷= 𝐸𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹，
在△𝐷𝐵𝐸和△𝐸𝐹𝐶中，
{
∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸𝐹𝐶
∠𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹
𝐵𝐸= 𝐹𝐶
，
∴△𝐷𝐵𝐸≌△𝐸𝐹𝐶(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐹𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸；
(3)不发生变化，证明如下：
如图，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐶𝐴的延长线于点𝐹，
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∴∠1 = ∠𝐹，∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐹= 180°，
∵∠𝐵= ∠1 = ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠2 = ∠𝐹= 60°，
∴△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐹，∠𝐹= ∠𝐵= 60°，
∵𝐷𝐸= 𝐶𝐸，
∴∠3 = ∠𝐵𝐶𝐸，
∵∠3 + ∠4 = 180°，
∴∠4 = ∠𝐶𝐸𝐹，
在△𝐵𝐷𝐸与△𝐹𝐸𝐶中，
{
∠4 = ∠𝐶𝐸𝐹
∠𝐵= ∠𝐹
𝐷𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐹𝐸𝐶(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐸𝐹，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐷．
【分析】（1）证明∠𝐷= ∠𝐵𝐸𝐷= 30°，得到𝐵𝐷= 𝐵𝐸，即可求证；
（2）过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐹，可证△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，得到𝐴𝐸= 𝐹𝐸= 𝐴𝐹，再证明△𝐷𝐵𝐸≌
△𝐸𝐹𝐶(AAS)，得到𝐵𝐷= 𝐹𝐸，即可求证；
（3）过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐶𝐴的延长线于点𝐹，同理（2）证明即可求证；
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐸为𝐴𝐵的中点，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸= 30°，𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∵𝐸𝐷= 𝐸𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷= 30°，
∵∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐷+ ∠𝐵𝐸𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐵𝐸𝐷= 30°，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐷；
（2）略
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（3）略
31．如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点𝐸是边𝐴𝐶上一定点，点𝐷是直线𝐵𝐶上一动点，以𝐷𝐸为一边作等边△𝐷𝐸𝐹，
连接𝐶𝐹．
【问题思考】
如图1，若点𝐷与点𝐵重合时，求证：𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 𝐶𝐷；
【类比探究】
如图2，若点𝐷在边𝐵𝐶上，求证：𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 𝐶𝐷；
【拓展归纳】
如图3，若点𝐷在边𝐵𝐶的延长线上，请直接写出线段𝐶𝐸、𝐶𝐹与𝐶𝐷之间存在的数量关系的结论是：______
（不证明）．
【答案】
问题思考：证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 60°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∵△𝐵𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐹，∠𝐸𝐵𝐹= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐸𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐵𝐹中，
{
𝐸𝐵= 𝐵𝐹
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(𝑆𝐴𝑆)，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐵= 𝐶𝐴= 𝐶𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹，
∴𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 𝐶𝐷；
类比探究：作𝐷𝐺//𝐴𝐵交𝐴𝐶于点𝐺，如图所示：
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∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵𝐷𝐺//𝐴𝐵
∴∠𝐺𝐷𝐶= ∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐺𝐶= ∠𝐴= 60°
∴∠𝐺𝐷𝐶= ∠𝐷𝐺𝐶= ∠𝐺𝐶𝐷= 60°
∴△𝐶𝐷𝐺是等边三角形，
∴𝐷𝐺= 𝐷𝐶= 𝐶𝐺，
∵△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹= 60°，
∴∠𝐺𝐷𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐸𝐷𝐶= 60°，
∴∠𝐺𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，
在△𝐷𝐸𝐺和△𝐶𝐷𝐹中，
{
𝐺𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐺𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
∴△𝐺𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)
∴𝐺𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐺= 𝐶𝐸+ 𝐸𝐺= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹，
∴𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 𝐶𝐷；
【拓展归纳】𝐹𝐶= 𝐶𝐷+ 𝐶𝐸．
【分析】问题思考：利用等边三角形的性质证明：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐹,可得𝐴𝐸= 𝐶𝐹，再利用𝐶𝐷= 𝐶𝐵=
𝐶𝐴= 𝐶𝐸+ 𝐴𝐸，从而可得结论；
类比探究：作𝐷𝐺//𝐴𝐵交𝐴𝐶于点𝐺，如图所示：证明△𝐶𝐷𝐺是等边三角形，利用等边三角形的性质再证
明：△𝐺𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，可得𝐺𝐸= 𝐶𝐹，从而可得结论；
拓展归纳：过D 作𝐷𝐺//𝐴𝐵，交AC 的延长线于点G，如图所示：证明△𝐶𝐷𝐺为等边三角形，再证明△
EGD≌△FCD，可得EG=FC，从而可得结论．
【详解】拓展归纳：线段CE，CF 与CD 之间的等量关系是FC=CD+CE； 理由如下：
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=60°，
过D 作𝐷𝐺//𝐴𝐵，交AC 的延长线于点G，如图所示：
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∵𝐷𝐺//𝐴𝐵，
∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，
∴∠𝐺𝐷𝐶= ∠𝐷𝐺𝐶= 60°，
∴△GCD 为等边三角形，
∴DG=CD=CG，
∵△EDF 为等边三角形，
∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，
∴∠EDG=∠FDC，
在△EGD 和△FCD 中，
{
𝐸𝐷= 𝐷𝐹
∠𝐸𝐷𝐺= ∠𝐹𝐷𝐶
𝐷𝐺= 𝐶𝐷
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG=FC，
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE．
故答案为：𝐹𝐶= 𝐶𝐷+ 𝐶𝐸．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，掌握作出适当的辅助线
构建全等三角形是解题的关键．
综合攻坚·知能拔高
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 50°，点𝐷是𝐵𝐶边上一点，点𝐸是𝐴𝐶的中点，连接𝐴𝐷、𝐷𝐸，若𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，
则∠𝐶𝐷𝐸的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
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【答案】B
【分析】根据题意可得𝐴𝐷= 𝐷𝐶，因为点𝐸是𝐴𝐶的中点，可得𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，已知∠𝐶= 50°，则题目可求．
【详解】解：∵𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐶，
∵点𝐸是𝐴𝐶的中点，
∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∵∠𝐶= 50°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= 90° −50° = 40°．
2．如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，以点𝐴为圆心，适当长为半径画弧，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝑀，𝑁，再分别以点𝑀，𝑁为圆
心，大于
1
2 𝑀𝑁长为半径画弧，两弧相交于点𝑃，画射线𝐴𝑃交𝐶𝐷于点𝐸．若𝐴𝐶= 5，𝐴𝐸= 6，则△𝐴𝐶𝐸的
周长为（ ）
A．16
B．17
C．18
D．无法确定
【答案】A
【分析】由平行线得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶，然后结合角平分线得到∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸，推出𝐶𝐸= 𝐴𝐶= 5，即
可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶
由作图得，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐶= 5
∴△𝐴𝐶𝐸的周长为𝐴𝐶+ 𝐶𝐸+ 𝐴𝐸= 5 + 5 + 6 = 16．
3．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆𝐶𝐷与支杆𝐵𝐶，𝐶𝐷= 𝐵𝐶且∠𝐵𝐶𝐸= 120°．若𝐶𝐷的长度
为60 cm，则此时𝐵，𝐷两点之间的距离为（ ）
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A．40 cm
B．50 cm
C．60 cm
D．70 cm
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接𝐵𝐷，利用邻补角定义求出∠𝐵𝐶𝐷的度数，结合𝐵𝐶= 𝐶𝐷
判定△𝐵𝐶𝐷为等边三角形，从而得出𝐵𝐷的长．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐷，
∵∠𝐵𝐶𝐸= 120°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 180° −∠𝐵𝐶𝐸= 60°，
∵𝐶𝐷= 𝐵𝐶，
∴△𝐵𝐶𝐷为等边三角形，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 60cm．
4．如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝐸和𝐶𝐷交于点F，𝐹𝐺平分𝐵𝐶交𝐵𝐶于点G．分
析以下结论：①∠𝐵𝐹𝐶= 115°；②𝑆△𝐵𝐹𝐺= 𝑆△𝐶𝐹𝐺；③△𝐵𝐷𝐹≌△𝐵𝐺𝐹；④当𝐴𝐵= 𝐴𝐶时，𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，其
中结论正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】C
【分析】根据∠𝐵𝐹𝐶= 180° −(∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹)可对①进行判断；由𝐹𝐺平分𝐵𝐶交𝐵𝐶于点G 即可判断②；
根据全等三角形的判定即可判断③；根据题意可证得𝐵𝐹= 𝐶𝐹，结合𝐺是𝐵𝐶的中点即可证明𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，
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继而判断④．
【详解】解：∵ ∠𝐵𝐴𝐶= 50°，𝐵𝐸、𝐶𝐷为△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴ ∠𝐶𝐵𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐶= 130°，
∴ ∠𝐵𝐹𝐶= 180° −(∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹) = 180° −
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 115°，故①正确；
∵ 𝐹𝐺平分𝐵𝐶交𝐵𝐶于点G，
∴𝐵𝐺= 𝐶𝐺，
∴𝑆△𝐵𝐹𝐺= 𝑆△𝐶𝐹𝐺，故②正确；
已知𝐵𝐹公共边，∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐺𝐵𝐹（𝐵𝐸是角平分线），
但题目没有给出𝐵𝐷= 𝐵𝐺或∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐺𝐹这类条件，故无法证明全等，故③错误；
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
又∵𝐵𝐸、𝐶𝐷是底角的角平分线，
∴ ∠𝐶𝐵𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐹，
又𝐺是𝐵𝐶的中点，
∴𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，故④正确．
5．下列关系图中，①处可以填的条件是_______．
【答案】𝐴𝐵= 𝐵𝐶或𝐴𝐶= 𝐵𝐶 或 ∠𝐴= 60° 或∠𝐵= 60°或∠𝐶= 60°
【分析】根据等边三角形的判定，解答即可；
【详解】解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填𝐴𝐵= 𝐵𝐶或𝐴𝐶= 𝐵𝐶；
根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，也可以填∠𝐴= 60°或∠𝐵= 60°或∠𝐶= 60°．
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，以点𝐴为圆心，𝐴𝐶的长为半径作圆弧交𝐵𝐶于点𝐷，再分别以点𝐵和点𝐷为圆心，大于
1
2 𝐵𝐷的长为半径作圆弧，两弧分别交于点𝑀和点𝑁，作直线𝑀𝑁交𝐴𝐵于点𝐸，若𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 6，则△𝐴𝐷𝐸
的周长为___________．
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【答案】16
【分析】根据作图可得𝐴𝐷= 𝐴𝐶，𝑀𝑁是𝐵𝐷的垂直平分线，得到𝐸𝐵= 𝐸𝐷，再通过线段等量代换将△𝐴𝐷𝐸
的周长转化为𝐴𝐵+ 𝐴𝐷，进而求出三角形周长．
【详解】解：由作图可知，𝐴𝐷= 𝐴𝐶，
∵𝐴𝐶= 6，
∴𝐴𝐷= 6，
由作图可知，直线𝑀𝑁是𝐵𝐷的垂直平分线，
∵点𝐸在直线𝑀𝑁上，
∴𝐸𝐵= 𝐸𝐷，
𝐶△𝐴𝐷𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸，
将𝐷𝐸= 𝐸𝐵代入得，𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐸𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 10，𝐴𝐷= 6，
∴𝐶△𝐴𝐷𝐸= 6 + 10 = 16．
7．如图，△ 𝐷𝐴𝐶和△ 𝐸𝐵𝐶 均是等边三角形， 𝐴、𝐶、𝐵在一条直线上，𝐴𝐸、𝐵𝐷分别与𝐶𝐷、𝐶𝐸交于点 𝑀、
𝑁，有如下结论：①△ 𝐴𝐶𝐸≌△ 𝐷𝐶𝐵 ；②𝐶𝑀= 𝐶𝑁；③𝐴𝐶= 𝐷𝑁④△ 𝐴𝐶𝑀≌△𝐷𝐶𝑁⑤∠𝑀𝑁𝐶= 60°．其
中正确的结论是_______________(填序号) ．
【答案】①②④⑤
【分析】①利用等边三角形的边、角性质，通过SAS判定△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵，证明结论①正确；②由等边
三角形角度计算得∠𝐷𝐶𝐵与∠𝐸𝐵𝐶互补，根据同旁内角互补，两直线平行，证明𝐷𝐶∥𝐸𝐵，在证明△𝐴𝐶𝑀≌
△𝐷𝐶𝑁后，由全等三角形对应边相等得到𝐶𝑀= 𝐶𝑁，据此判定结论②正确；③先通过ASA证△𝐴𝐶𝑀≌△
𝐷𝐶𝑁得𝐴𝑀= 𝐷𝑁，再用三角形外角性质推出𝐴𝐶> 𝐴𝑀，从而证𝐴𝐶> 𝐷𝑁，说明原结论错误；④在证得
△𝐴𝐶𝑀≌△𝐷𝐶𝑁后直接判定结论④正确；⑤先由𝐶𝑀= 𝐶𝑁、∠𝑀𝐶𝑁= 60∘判定△𝐶𝑀𝑁为等边三角形，再
根据等边三角形性质得到∠𝑀𝑁𝐶= 60∘，判定结论⑤正确．
【详解】解：∵△𝐷𝐴𝐶和△𝐸𝐵𝐶都是等边三角形，
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∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸= 60°，𝐴𝐶= 𝐷𝐶, 𝐶𝐸= 𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵= 120°，
在△𝐴𝐶𝐸与△𝐷𝐶𝐵中，
{
𝐴𝐶= 𝐷𝐶
∠𝐴𝐶𝐸= 𝐷𝐶𝐵
𝐶𝐵= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵(SAS)，故①正确；
∵∠𝐷𝐶𝐵= 120°，∠𝐸𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐶= 180°，
∴𝐷𝐶∥𝐸𝐵，故②正确；
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸= 60°, 𝐴𝐶= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐶𝑀和△𝐷𝐶𝑁中 ，
{
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶
𝐷𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝑀≌△𝐷𝐶𝑁(ASA)，
∴𝐴𝑀= 𝐷𝑁，
根据三角形外角性质得到∠𝐴𝑀𝐶> ∠𝑀𝐶𝐸，则∠𝐴𝑀𝐶> ∠𝐴𝐶𝑀，
∴𝐴𝐶> 𝐴𝑀，
∴𝐴𝐶> 𝐷𝑁，故③错误；
∵由②中△𝐴𝐶𝑀≌△𝐷𝐶𝑁，
可得𝐴𝑀= 𝐷𝑁，
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵 ，
∴𝐴𝐸= 𝐷𝐵，
∴𝐸𝑀= 𝐵𝑁，故④正确；
⑤∠𝐶𝑀𝑁= 60°，𝐶𝑀= 𝐶𝑁，∠𝑀𝐶𝑁= 60°，
因此△𝐶𝑀𝑁是等边三角形，∠𝐶𝑀𝑁= 60°，⑤正确；
综上，正确结论为①②④⑤．
8．如图，已知C 为线段𝐴𝐵上一点，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为边在线段𝐴𝐵同侧作等腰△𝐴𝐶𝐷和等腰△𝐵𝐶𝐸，使𝐶𝐷= 𝐶𝐴，
𝐶𝐸= 𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸．连接𝐴𝐸，交𝐶𝐷于点G，连接𝐵𝐷，分别交𝐴𝐸，𝐶𝐸于点F，H．下列结论：
①∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐹𝐵𝐶；
②若C 是𝐴𝐵的中点，则𝐶𝐺= 𝐶𝐻；
③若𝐴𝐷∥𝐶𝐸，则𝐶𝐷∥𝐵𝐸；
④若∠𝐴𝐶𝐷= 40°，则∠𝐴𝐹𝐵= 120°．
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正确的是________．（填写序号）
【答案】①②③
【分析】证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵可得∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐵𝐷，据此可判断①；若C 是𝐴𝐵的中点，则𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐶𝐸，
则可证明∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，进而可证明△𝐴𝐶𝐺≌△𝐵𝐶𝐻得到𝐶𝐺= 𝐶𝐻，据此可判断②；若𝐴𝐷∥𝐶𝐸，则
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，可证明∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷= 60°，进而可证明△𝐶𝐵𝐸是等边三角形，得到∠𝐶𝐵𝐸=
60° = ∠𝐴𝐶𝐷，据此可判断③；若∠𝐴𝐶𝐷= 40°，则∠𝐴𝐶𝐸= 140°，可证明∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸= 140°，据此
可判断④．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵，
又∵𝐶𝐷= 𝐶𝐴，𝐶𝐸= 𝐶𝐵，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵(SAS)，
∴∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐵𝐷，即∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐹𝐵𝐶，故①正确；
若C 是𝐴𝐵的中点，则𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐸𝐴，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，
又∵∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐵𝐶𝐻，
∴△𝐴𝐶𝐺≌△𝐵𝐶𝐻(ASA)，
∴𝐶𝐺= 𝐶𝐻，故②正确；
若𝐴𝐷∥𝐶𝐸，则∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷，
∵𝐶𝐴= 𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 60°，
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐵，
∴△𝐶𝐵𝐸是等边三角形，
∴∠𝐶𝐵𝐸= 60° = ∠𝐴𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷∥𝐵𝐸，故③正确；
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若∠𝐴𝐶𝐷= 40°，则∠𝐵𝐶𝐸= 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 180° −40° = 140°，
∵∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐴= 180°，∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐹𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°，
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸= 140°，故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐹中，点D、C 在𝐵𝐹上，连接𝐴𝐷、𝐴𝐶，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，过点F 作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于E．
(1)求证：△𝐴𝐷𝐹是等腰三角形；
(2)求证：𝐴𝐸= 𝐷𝐸．
【答案】(1)证明：∵∠𝐴𝐷𝐹是△𝐴𝐵𝐷的外角，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠1 + ∠4，
∵∠𝐷𝐴𝐹= ∠2 + ∠3，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐷𝐹是等腰三角形．
(2)证明：由（1）得𝐴𝐹= 𝐷𝐹，
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐷，
∴𝐴𝐸= 𝐷𝐸．
【分析】
（1）根据三角形外角的性质可得∠𝐴𝐷𝐹= ∠1 + ∠4，再由∠𝐷𝐴𝐹= ∠2 + ∠3，可证明∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹，
得到𝐴𝐹= 𝐷𝐹，则△𝐴𝐷𝐹是等腰三角形
（2）由三线合一定理即可证明𝐴𝐸= 𝐷𝐸．
【详解】（1）略
（2）略
10．【问题呈现】
如图，在△𝐷𝐸𝐹中，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，点𝐵在𝐸𝐹边上，且∠𝐸𝐵𝐷= 60°，𝐶是线段𝐵𝐷上的一个动点（不与点𝐵重
合，且𝐵𝐶≠𝐵𝐸），在线段𝐵𝐸上截取𝐵𝐴= 𝐵𝐶，连接𝐴𝐶．
【问题发现】
(1)若点𝐶与点𝐷重合，请根据题意补全图1，线段𝐴𝐸与𝐵𝐹有怎样的数量关系？
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【拓展延伸】
(2)如图2，若点C 不与点D 重合，请证明𝐴𝐸= 𝐵𝐹+ 𝐶𝐷．
【答案】(1)解：如图，线段𝐴𝐸与𝐵𝐹的数量关系：𝐴𝐸= 𝐵𝐹．
理由：∵𝐵𝐴= 𝐵𝐶，∠𝐸𝐵𝐷= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐵𝐶= 120°，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴∠𝐸= ∠𝐹，
在△𝐴𝐶𝐸与△𝐵𝐶𝐹中，
{
∠𝐸= ∠𝐹
∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐵𝐶
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐹(AAS)，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐹；
(2)证明：如图，在𝐵𝐸上截取𝐵𝐻= 𝐵𝐷，连接𝐷𝐻，
∵∠𝐸𝐵𝐷= 60°，𝐵𝐻= 𝐵𝐷，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，
∴△𝐵𝐷𝐻、△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝐻−𝐴𝐵= 𝐵𝐷−𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐻𝐵= ∠𝐷𝐵𝐻= 60°，𝐴𝐻= 𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹= 120°，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴∠𝐸= ∠𝐹，
在△𝐷𝐻𝐸与△𝐷𝐵𝐹中，
{
∠𝐸= ∠𝐹
∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹
𝐷𝐻= 𝐷𝐵
，
∴△𝐷𝐻𝐸≌△𝐷𝐵𝐹(AAS)，
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∴𝐻𝐸= 𝐵𝐹，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐻+ 𝐴𝐻= 𝐵𝐹+ 𝐶𝐷．
【分析】
（1）按题中条件补全图形，证明△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，推出∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐵𝐶= 120°，证明△𝐴𝐶𝐸≌
△𝐵𝐶𝐹(AAS)，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）如图，在𝐵𝐸上截取𝐵𝐻= 𝐵𝐷，连接𝐷𝐻，推出𝐴𝐻= 𝐶𝐷，证明△𝐵𝐷𝐻、△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，推
出∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹= 120°，证明△𝐷𝐻𝐸≌△𝐷𝐵𝐹(AAS)，得𝐻𝐸= 𝐵𝐹，即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
11．综合与探究
(1)【问题发现】如图①，在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐶𝐸𝐷中，∠𝐵= ∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，𝐴𝐶= 𝐶𝐷，B，C，E
三点在同一直线上，𝐴𝐵= 3，𝐸𝐷= 4，则𝐵𝐸的长为________．
(2)【问题提出】如图②，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐵𝐶= 4，过点C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐶，且𝐶𝐷= 𝐴𝐶，求
△𝐵𝐶𝐷的面积．
(3)【问题解决】如图③，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐶𝐵，∠𝐴𝐷𝐶= 45°，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，𝐶𝐷= 6．求
△𝐵𝐶𝐷的面积（提示：在一个三角形中，相等的角所对的边也相等）．
【答案】(1)7
(2)8
(3)6
【分析】（1）证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐸𝐷(𝐴𝐴𝑆)，则𝐴𝐵= 𝐶𝐸，𝐵𝐶= 𝐸𝐷，由𝐵𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸求得𝐵𝐸的长；
（2）过𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶延长线于点𝐸，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐸𝐷(AAS)，则𝐵𝐶= 𝐸𝐷，由𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐸
求出面积；
（3）过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝐷𝐶交𝐷𝐶的延长线于点𝐹，证明△𝐴𝐷𝐸是等腰直角三角形，
△𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(AAS)，则𝐵𝐹= 𝐶𝐸，由𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐵𝐹求出面积．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸= 90°
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90° −∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐸𝐷中，
{
∠𝐵= ∠𝐸
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷
𝐴𝐶= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐸𝐷(AAS)，
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∴𝐴𝐵= 𝐶𝐸= 3，𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 4，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸= 7；
（2）解：过𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶延长线于点𝐸，如图，
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90° −∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐸𝐷中，
{
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸= 90∘
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸
𝐴𝐶= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 4，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐸= 8；
（3）解：过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝐷𝐶交𝐷𝐶的延长线于点𝐹，如图，
∵△𝐴𝐶𝐷的面积为12，𝐶𝐷的长为6，
∴
1
2 × 6 × 𝐴𝐸= 12，
∴𝐴𝐸= 4．
∵∠𝐴𝐷𝐶= 45°，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐸是等腰直角三角形，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸= 4，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 2．
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 90° −∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹．
∵𝐴𝐶= 𝐶𝐵，
∴{
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐹
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(AAS)，
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∴𝐵𝐹= 𝐶𝐸= 2，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐵𝐹= 6．
12．如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵为锐角，点D 为射线𝐵𝐶上一动点，连接𝐴𝐷，以𝐴𝐷为直角边且在𝐴𝐷的上方
作等腰直角△𝐴𝐷𝐹，连接𝐶𝐹，
(1)若𝐴𝐵= 𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝐶= 90°；
①当点D 在线段𝐵𝐶上时（与点B 不重合），试探讨𝐶𝐹与𝐵𝐷的数量关系和位置关系；
②当点D 在线段𝐵𝐶的延长线时，①中的结论是否仍然成立，请在图2 中画出相应图形并直接写出你的
猜想
(2)如图3，若𝐴𝐵≠𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝐶≠90°, ∠𝐵𝐶𝐴= 45°，点D 在线段𝐵𝐶上运动，试探究𝐶𝐹与𝐵𝐶的位置关系
【答案】(1)①𝐶𝐹= 𝐵𝐷, 𝐶𝐹⊥𝐵𝐷；
②成立，画图如下：
(2)解：𝐶𝐹⊥𝐵𝐶，理由如下：
作𝐴𝐸⊥𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，则∠𝐶𝐴𝐸= 90° = ∠𝐷𝐴𝐹，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸= 90° −∠𝐶𝐴𝐷，
∵∠𝐵𝐶𝐴= 45°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 45° = ∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
又∵𝐴𝐷= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶= 45°，
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐶𝐹⊥𝐵𝐷.
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【分析】（1）①证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐵𝐷，即可得出结论；②根据题意，补全图形，证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐵𝐷，
即可得出结论；
（2）作𝐴𝐸⊥𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，推出∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，即可.
【详解】（1）解：①∵等腰直角△𝐴𝐷𝐹，𝐴𝐷为直角边，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐹, ∠𝐷𝐴𝐹= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐹= 90° −∠𝐶𝐴𝐷，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐵𝐷(SAS)，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐷, ∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵= 45°，
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐶𝐹⊥𝐵𝐷；
②理由如下：
同①法可得：△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐵𝐷(SAS)，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶，
设𝐴𝐷, 𝐶𝐹交于点𝐸，则∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐷𝐴𝐹= 90°，
∴𝐶𝐹⊥𝐵𝐷；
（2）略
