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专题13.14 等腰三角形（直通中考）
【要点回顾】
【要点一】等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角
叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
【要点二】等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对
称轴．
【要点三】等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
一、单选题
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 中， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，直线 ，直线 与直线 分别相交于点 ，点 在直线
上，且 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为 ，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州·统考中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 ，腰长为
，则底边上的高是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川自贡·统考中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整
的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角 ，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在等腰 中， ，分别以点 点 为圆心，大于
为半径画弧，两弧分别交于点 和点 ，连接 ，直线 与 交于点 ，连接 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河北·统考中考真题）在 和 中， ．已
知 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．（2023·河北·统考中考真题）四边形 的边长如图所示，对角线 的长度随四边形形状的改变而
变化．当 为等腰三角形时，对角线 的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在四边形 中， ， ， ．按下列步骤作图：
①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于
的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接 并延长交 于点G．则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图， 是等边 的边 上的高，以点 为圆心， 长为
半径作弧交 的延长线于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·江西·统考中考真题）将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已 ，点
， 表示的刻度分别为 ，则线段 的长为 cm．12．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中，若 ， ， ，则
．
13．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在 中， ．点 ， 分别在边 ，
上，连接 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．若点 刚好落在边 上，
，则 的长为 ．
14．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
．若 ，则 的长是 ．
15．（2023·四川·统考中考真题）如图， ，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为
圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线 ，分别交直线a，b于点C，D，连接
AC，若 ，则 的度数为 ．16．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知 ，点D在 上，以点B为圆心， 长为半径画
弧，交 于点E，连接 ，则 的度数是 度．
17．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形 的边长为 ，动点P从点A出发以
的速度沿 向点B匀速运动，过点P作 ，交边 于点Q，以 为边作等边三角形 ，
使点A，D在 异侧，当点D落在 边上时，点P需移动 s．
18．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上，
，连接 ，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于
点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ；…；按
照如此规律操作下去，则点 的坐标为 ．三、解答题
19．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，△ 是等边三角形， 在直线 上， ．求证：
．
20．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在 中， 为 的角平分线．以点 圆心，
长为半径画弧，与 分别交于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．21．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图， 是等边 的中线，以 为圆心， 的长为半径画弧，
交 的延长线于 ，连接 ．求证： ．
22．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知：如图，点M在 的边 上．
求作：射线 ，使 ．且点N在 的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 ， 于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于 长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
③画射线 ．
④以点M为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点N．
⑤画射线 ．
射线 即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵ 平分 ．∴ ① ，
∵ ，
∴ ② ，（ ③ )．（括号内填写推理依据）
∴ ．
∴ ．( ④ )．（填写推理依据）
23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，点 在 的延长线
上，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，直接写出 的形状．
24．（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的
底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：
如图1，若 和 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： ；图1
（2）解决问题：如图2，若 和 均为等腰直角三角形， ，点A，D，E在
同一条直线上，CM为 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间
的数量关系并说明理由.
图2
参考答案
1．C
【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解： ，，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．
2．C
【分析】由 ， ，可得 ，由 ，可得 ，进而
可得 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的
数量关系．
3．C
【分析】先判断出 的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．
【详解】解： 等腰三角形有一个内角为 ，
∴这个等腰三角形的底角是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底
角相等．
4．B
【分析】作 于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得
，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作 于点D，中, ， ，
，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键
是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
5．D
【分析】根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出 ，然后可得每一个外角为 ，进而
即可求解．
【详解】解：依题意， ， ，
∴
∴
∴这个正多边形的一个外角为 ，
所以这个多边形的边数为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多
边的外角和等于360°是解题的关键．
6．B
【分析】先根据等边对等角求出 ，由作图方法可知， 是线段 的垂直平分线，则
，可得 ，由此即可得到 ．
【详解】解：∵在等腰 中， ， ，
∴ ，
由作图方法可知， 是线段 的垂直平分线，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，
灵活运用所学知识是解题的关键．
7．C
【分析】过A作 于点D，过 作 于点 ，求得 ，分两种情况讨论，利
用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
综上， 的值为 或 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．8．B
【分析】利用三角形三边关系求得 ，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，即 ，
当 时， 为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若 时， 为等腰三角形，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．A
【分析】先根据作图过程判断 平分 ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得 ，
进而可得 ，由此可解．
【详解】解：由作图过程可知 平分 ，
，
，
，
，
，
，
故选A．
【点拨】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断
出 平分 ．
10．C
【分析】由等边三角形的性质求解 ，再利用等腰三角形的性质可得
，从而可得答案．
【详解】解：∵ 是等边 的边 上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．
11．
【分析】根据平行线的性质得出 ，进而可得 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可
求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∵点 ， 表示的刻度分别为 ，
∴ ，
∴
∴线段 的长为 ,
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出 是解题的关键．
12．
【分析】根据等边对等角得出 ，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．
13．
【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出 ，即可求解．
【详解】解：∵将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．点 刚好落在边 上，在 中，
， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．4
【分析】由 可得 ，由 是 的垂直平分线可得 ，从而可得
．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的
关键．
15． /56度
【分析】先判断 为线段 的垂直平分线，即可得 ， ，再由 ，可得
，即有 ，利用三角形内角和定理可求 的度数．
【详解】解：由作图可知 为线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，
判断 为线段 的垂直平分线是解答本题的关键．
16．65
【分析】根据题意可得 ，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解
答．
【详解】解：根据题意可得： ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
故答案为：65．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等要点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的
关键．
17．1
【分析】当点D落在 上时，如图， ，根据 等边三角形， 是等边三
角形，证明 ，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为 ，由题意得 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：1．【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵
活运用等边三角形的性质是解题的关键．
18．
【分析】根据题意，结合图形依次求出 的坐标，再根据其规律写出 的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上， ，
是等腰直角三角形， ，
，
是等腰直角三角形，
同理可得： 均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形
的性质，解题的关键是依次求出 的坐标，找出其坐标的规律．
19．详见解析
【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得 ．
【详解】证明：∵△ 是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴ ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度
不大．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ，由作图可得 ，即可证明 ；
（2）根据角平分线的定义得出 ，由作图得出 ，则根据三角形内角和定理以及等腰三
角形的性质得出 ， ，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 为 的角平分线，
∴ ，
由作图可得 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）∵ ， 为 的角平分线，
∴
由作图可得 ，
∴ ，
∵ ， 为 的角平分线，
∴ ，
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等
腰三角形的性质与判定是解题的关键．
21．见解析【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出 ，再利用等边对等角即可．
【详解】证明： 为等边 的中线，
，
，
，
【点拨】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．
22．(1）见解析
(2)① ，② ，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行
【分析】（1）根据题意用尺规作图，依作法补全图形即可；
（2）由 平分 推导 ，由 推导 ，从而推出
，继而利用“内错角相等，两直线平行”判定 ．
【详解】（1）根据意义作图如下：射线 即为所求作的射线．
（2）证明：∵ 平分 ．∴ ，
∵ ，
∴ ，（ 等边对等角 ） ．（括号内填写推理依据）
∴ ．
∴ ．（ 内错角相等，两直线平行 ） ．（填写推理依据）
故答案为：① ，② ，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行．
【点拨】本题考查作尺规作图—作角平分线和相等线段，等边对等角，平行线的判定等知识，根据题意正
确画出图形是解题的关键．
23．(1）见解析
（2）等边三角形
【分析】（1）由平行线的性质得到 ，已知 则 ，可判定 即可得
到 ；
（2）由 ， 得到 ，由 平分 ，得到 ，
进一步可得 ，即可证明 是等边三角形．
【详解】（1）证明： ，
∴ ，
，
．
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形【点拨】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知
识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
24．(1）见解析
(2) ；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出 BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出 BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠A△DC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ △ 和 是顶角相等的等腰三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ， ，
理由如下：由（1）的方法得， ，
∴ ， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
