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专题18 等腰三角形中的分类讨论
1．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足 +|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长
为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得，a-3=0，b-4=0，
解得a=3，b=4，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、3，
∵4+4＞3，
∴能组成三角形，4+4+3=11，
②4是底边时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长=3+3+4=10，
所以，三角形的周长为11或10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于
0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的
三边关系进行判断．
2．已知 ， 是等腰三角形的两边长，且 ， 满足 ，则此等腰三
角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵ ，
∴
解得 ，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每
一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关
系进行判断．
3．等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是 （ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
【详解】
解：①若70°是底角，则顶角为：180°-70°×2=40°；
②若70°为顶角，则顶角的度数是70°；
综上所述，顶角的度数为40°或70°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题
时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
4．等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是( )
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【解析】【分析】
首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情况
进行讨论 ．
【详解】
解： 本题可分两种情况：
①当 角为底角时， 顶角为 ；
② 角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为 或 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数， 做题
时要注意分情况进行讨论， 这是十分重要的， 也是解答问题的关键 ．
5．等腰三角形的一个角比另一个角的 倍少 度，则等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】D
【解析】
【分析】
设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，
2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出
方程求解即可．
【详解】
设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，
①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，
解得x=44°，
∴顶角是44°；
②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，
解得x=50°，
∴顶角是2×50°-20°=80°；
③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，
解得x=20°，
∴顶角是180°-20°×2=140°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是
这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．
6．若等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．40°或80° D．50°或80°
【答案】D
【解析】
【分析】
分情况讨论：当这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可；
【详解】
当80°为底角时，则底角为80°，
当80°为顶角时，则底角为：
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，本题有两种情况，注意不要漏掉；
7．若等腰三角形的一个角是80°，则此等腰三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
可分两种情况：当 角为顶角时；当 角为底角时，结合等腰三角形的性质，利用三角形的内
角和定理分别求解即可．
【详解】
解：当 角为顶角时，则等腰三角形的顶角为 ；
当 角为底角时，等腰三角形的顶角为 ，
即此等腰三角形的顶角为 或 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
8．在 中， ， 的垂直平分线与 所在直线相交所得的锐角为 ，则 的度
数为（ ）A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，画出相应图形，求出∠BAC的度数，进而根
据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：如图1，当∠A为锐角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠A＝40°，
又∵ ，
∴∠B＝ ＝ ＝70°；
如图2，当∠A为钝角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠NAB＝40°，
∴∠BAC＝140°，
又∵ ，
∴∠B＝∠C＝ ＝20°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的应用，关键是运用分类讨论思想画出图形，求出∠BAC的度数．
9．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，则该三角形底角的度数为（ ）
A．20° B．20°或70° C．70° D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：①若 ；②若 ；先求出顶角 ，即可求出底角的度数．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①若 ，如图1所示：
，
，
，
，
，
；
②若 ，如图2所示：
同①可得： ，
，
，
；综上所述：等腰三角形底角的度数为 或 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义，解题的关键是注意分类讨论方法的运用，
避免漏解．
10．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度
A．25或60 B．40或60 C．25或40 D．40
【答案】C
【解析】
【分析】
当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．
【详解】
当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．
此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．
当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想．
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则其顶角度数为（ ）．
A．60°或120° B．30°或150° C．30° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质分析，即可得到答案．
【详解】
分两种情况讨论；
如下图，过点B作 交AC于点D∴
根据题意得：
∴
如下图，过点B作 交CA延长线于点D
∴
根据题意得：
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形两
锐角互余的性质，从而完成求解．
12．在△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点O，如果∠BOC=100°，则∠A等于（ ）
A．50°或120° B．60°或130° C．60°或120° D．50°或130°
【答案】D
【解析】
【分析】
画出符合条件的两种情况，根据线段垂直平分线性质得出AO＝BO、AO＝OC，推出∠BAO＝
∠ABO，∠CAO＝∠ACO，根据三角形内角和定理和四边形内角和定理求出即可．
【详解】
解：分为两种情况：如图1，当∠BAC为锐角时，连接AO，∵在 ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点O，
∴AO＝BO，CO＝AO，
∴∠BAO＝∠ABO，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC＋∠OCB＝180°－100°＝80°，
∵∠BOC＝100°，∠BAC＝∠BAO＋∠CAO，∠BAO＋∠CAO＋∠ACO＋∠OCB＋∠OBC＋∠ABO
＝180°，
∴2∠BAC＝180°－80°＝100°，
∴∠BAC＝50°；
如图2，当∠BAC为钝角时，
同理，2∠BAC＝360°－∠BOC＝360°－100°＝260°，
∴∠BAC＝130°；
即∠BAC＝50°或130°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，多边形的内角和定理的应用，注意：线段垂
直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
13．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角45°，那么这个等腰三角形的底角为（ ）
A．67°50′ B．22° C．67.5° D．22.5°或67.5°
【答案】D
【解析】
【分析】
先知三角形有两种情况（1）（2），求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两
底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
【详解】
有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB=90°，
已知∠ABD=45°，
∴∠A=90°-45°=45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= ×（180°-45°）=67.5°；
（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE=90°，
已知∠HFE=45°，
∴∠HEF=90°-45°=45°，
∴∠FEG=180°-45°=135°，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠G= ×（180°-135°）=22.5°，
综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°，
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的高，三角形内角和定理等，解题的关键是能否利用三角
形的内角和定理和等腰三角形的性质，知三角形的一个角能否求其它两角．
14．在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则
这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
【答案】B
【解析】【分析】
题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关
系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【详解】
解：设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b．
∵D为AC的中点，
∴AD＝DC＝ AC＝ a．
根据题意得 或
解得 或
又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．
∴这个等腰三角形的底边长为7或11．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12
中包含着中线 的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其
中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．
15．等腰三角形 中， 边上的垂直平分线与 边所在的直线相交所得的锐角为
，则 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
当△ABC为锐角三角形时，在Rt ADE中可求得∠A,再由三角形内角和定理可求得∠A;当△ABC
为钝角三角形时，求得△BAC的外△角，利用外角的性质求得∠A.
【详解】
解:当△ABC为锐角三角形时，如图,设AB的垂直平分线交线段AC于点D,交AB于点E,∵∠ADE=40°, DE⊥AB,
∴∠A=90°-40°=50°，
当△ABC为钝角三角形时，如图，设AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,
∵∠ADE=40°，DE⊥AB,
∴∠DAB=50°,
∴∠BAC=180°-∠DAB=130°
故选：D
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题
的关键.
16．在平面直角坐标系中，A（2，3），O为原点，若点B为坐标轴上一点，且△AOB为等腰三角
形，则这样的B点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【解析】
【分析】
分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA的垂直平
分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】
解：如图，满足条件的点B有8个，
故选：C．【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没
有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
17．已知等腰 中， 于点 ，且 ，则 底角的度数为（ ）
A．30°或45° B．30°或45°或75° C．15°或45°或75° D．45°或75°
【答案】C
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，①当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；
②当AB=BC，∠B为锐角时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；③当
AB=BC，∠CBA为钝角时，根据AD BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数．
【详解】
①如图1，当AB=AC时．
∵AD⊥BC，
∴BD=CD．
∵AD BC，
∴AD=BD=CD，
∴底角为45°；
②如图2，当AB=BC，∠B为锐角时．
∵AD BC，∴AD AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠BCA=75°，
∴底角为75°．
③如图3，当AB=BC，∠CBA为钝角时．
∵AD BC，AB=BC，
∴AD AB，
∴∠DBA=30°，
∴∠BAC=∠BCA=15°，
∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏
解．
18．在△ABC中，AB=AC， 若过△ABC的一个顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则
∠BAC的度数为（ ）
A．90°或108°或36°或 B．90°或108°或36°
C．90°或54°或36°或 D．90°或54°或36°
【答案】A
【解析】
【分析】
分别以点A、点B、点C为顶点做直线将△ABC分成两个等腰三角形，由于AB=AC，故以点B和
以点C为顶点作的等腰三角形结果是一样的，所以讨论点A、点B为顶点的情况，根据等腰三角形的性质找出角的关系，由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】
如图1，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使 ，
设 ，
，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
；
如图2，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使 ， ，
设 ，
，
，
，
，，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
；
如图3，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使 ，
设 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
；如图4，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使 ， ，
设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
，
综上， 可为90°或108°或36°或 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理，画出符合条件的图形，根据等腰三角形的判定
以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．
