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专题 12.3 全等三角形的九大经典模型【九大题型】
【人教版】
【题型1 平移模型】..................................................................................................................................................1
【题型2 轴对称模型】..............................................................................................................................................3
【题型3 旋转模型】..................................................................................................................................................4
【题型4 一线三等角模型】......................................................................................................................................6
【题型5 倍长中线模型】..........................................................................................................................................8
【题型6 截长补短模型】........................................................................................................................................10
【题型7 手拉手模型】............................................................................................................................................12
【题型8 角平分线模型】........................................................................................................................................15
【题型9 半角全等模型】........................................................................................................................................16
【知识点1 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，
图②是常见的平移型全等三角线.
【常见模型】
【题型1 平移模型】
【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应
点E恰好落在边BC的中点上，点C的对应点F在BC的延长线上，连接AD，AC、DE交于点O．下列结
论一定正确的是（ ）A．∠B=∠F B．AC⊥DE C．BC=DF D．AC、DE互相平分
【变式1-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点
C为AE的中点，AB =CD，BC = DE．
(1)求证：△ABC≌△CDE；
(2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△A'B'C' ，边B'C'与边CD的交点为F ，连接EF，若EF将CDE分
为面积相等的两部分，且AB = 4，则 CF =
【变式1-2】（2023春·重庆·八年级校考期中）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，连接BD
交AC于点F．
(1)求证：△AFB≌ △CFD；
(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范围．
【变式1-3】（2023春·八年级课时练习）已知△ABC，AB=AC,∠ABC=∠ACB，将△ABC沿BC方向
平移得到△DEF．如图，连接BD、AF，则BD__________AF（填“>”“<”或“=”），并证明．
【知识点2 轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对
称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.
【常见模型】
【题型2 轴对称模型】
【例2】（2023春·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿
BM翻折至△MBE，若∠AME=α，∠ABE=β，则α与β之间的数量关系为（ ）
A．α+3β=180° B．β-α=20° C．α+β=80° D．3β-2α=90°
【变式2-1】（2023·全国·八年级专题练习）如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为
1
DC，BC边上的点，且∠EAF= ∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
2
【变式2-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，将ΔABC沿AB向下
翻折后，再绕点A按顺时针旋转α度（α＜∠ABC）．得到RtΔADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边
DE分别AB、BC于点G,H
(1)请根据题意用实线补全图形；（不得用铅笔作图）．(2)求证：ΔAFB≅ΔAGE
【变式2-3】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）阅读材料，并回答下列问题
如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；
如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角
形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．
班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论
（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外）， ．
（2）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC＝5，则DC＝
．
（3）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′
的位置，且得出一个结论：2∠A′＝∠1+∠2．请你对这个结论给出证明．
（4）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部点A′的位
置，此时∠A′与∠1、∠2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明．
【知识点3 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋
转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.
【常见模型】
【题型3 旋转模型】
【例3】（2023春·全国·八年级期末）（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直
线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长
线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，
CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）
【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）如图，等边△ABC中，∠AOB=115°,∠BOC=125°，则以线
段OA,OB,OC为边构成的三角形的各角的度数分别为 ．
【变式3-2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边
BC、CD上，且∠EAF=45°．
(1)在图1中，连接EF，为了证明结论“EF=BE+DF ”，小亮将ΔADF绕点A顺时针旋转90°后解答
了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？
【变式3-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接
MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系，
并证明你的猜想．
【知识点4 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.
【题型4 一线三等角模型】
【例4】（2023春·山东菏泽·八年级校联考阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝
AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有
∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给
出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F
为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝
∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．【变式4-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂
线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
9 9
A．3 B．2 C． D．
4 2
【变式4-2】（2023春·上海·八年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究
学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．
求证：BC=AE．
[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中
实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，
DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为_____________．
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，∠ACB=90°，AC=BC，
AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的长”，请直接写出此题
答案：BE的长为________．
（2）探索证明：如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB=AC，点E，F在∠MAN内部的射
线AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌ΔCAF．
（3）拓展应用：如图③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在
线段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面积为15，则ΔACF与ΔBDE的面积之和为
________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【知识点5 倍长中线模型模型】
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加
辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形
的有关知识来解决问题的方法．
【常见模型】
【题型5 倍长中线模型】
【例5】（2023春·甘肃庆阳·八年级校考期末）小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，
AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知
识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造
△BED≅△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)小明证明△BED≅△CAD用到的判定定理是： (用字母表示)；(2)AD的取值范围是 ；
(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考
问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：
AB=AC．
【变式5-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，△ABC中，点D在AC上，
AD=3,AB+AC=10，点E是BD的中点，连接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，则CD=
．
【变式5-2】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点
M为BC的中点，AM=3，DE= ．
【变式5-3】（2023·江苏·八年级假期作业）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC
的中点，求AD的取值范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中¿
∴△ABD≅△ECD（SAS）
∴AB＝ ．
又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，
∴ ＜AE＜ ．
又∵AE＝2AD．
∴ ＜AD＜ ．
【探索应用】如图②，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为
．（直接写答案）【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：
AP⊥DP．
【知识点6 截长补短模型】
【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长: 指在长线段中截取一段等于已知线
段: 补短: 指将短线段延长, 延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词
句, 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程, 截长补短法(往往需证2次全等) 。
【模型图示】
(1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。
例: 如图, 求证BE+DC=AD；
方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE
(2)补短:将短线段延长,证与长线段相等
【题型6 截长补短模型】
【例6】（2023·浙江·八年级假期作业）如图①，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，
∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接
EF．（1）探究BE、EF、FC之间的关系，并说明理由；
（2）若点E、F分别在AB、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则BE、EF、FC之间存在什么
样的关系？并说明理由．
【变式6-1】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点
D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点
F．
1
（1）求证：∠BFC=90°+ ∠A；
2
（2）已知∠A=60°．
①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；
②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△
DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD
的长．
【知识点7 手拉手模型】
【模型解读】 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE= 。结论：△BAD≌△CAE。
E
A A A
E
E D
D
D
B C B C B C
图1 图 2 图 3
【模型分析】手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。
【题型7 手拉手模型】
【例7】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE≌△ADC；
(2)求∠EFC的度数；
(3)求证：AF平分∠DFE．
【变式7-1】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶
点重合在点C处，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
【变式7-2】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，若△ACB 和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若CM＝2，BE＝3，求AE的长．
【变式7-3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且
AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．(1)如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝ ；
(2)如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ ；
(3)如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．
【知识点8 角平分线模型】
模型一：如图一，角平分线+对称型
利用角平分线图形的对称性, 在角的两边构造对称全等三角形, 可以得到对应边、对应角相等。利用对称
性把一些线段或角进行转移, 这是经常使用的---种解题技巧。
【理论依据】: 三边对应相等的三角戏是全等三角形(SSS)、全等三角形对应角相等
模型二：如图二，角平分线+垂直两边型
【几何语言】:∵OC为∠AOB的角平分线, D为OC上一点DE⊥OA, DF⊥OB
∴△CED ≌△OFD(AAS),
∴DE=DF
模型三：如图三，角平分线+垂直平分线型【说明】构造此模型可以利用等腰三角形的 三线合一, 也可以得到两个全等的直角三角形, 进而
得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型四：如图四，角平分线+平行线型
【说明】 有角平分线时, 常过角平分线上一点作角的有边的平行线, 构造等腰三角形, 为证明结论提供更
多的条件,体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【题型8 角平分线模型】
【例8】（2023春·浙江·八年级期中）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，
PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
【变式8-1】（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线
BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP= ．【变式8-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分
1
∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝ CD．
2
【变式8-3】（2023春·八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截
取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分
∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【知识点9 半角模型】
1
【模型解读】 如图：已知∠2= ∠AOB，OA=OB
2
O
1 2 3
F
E
B
A
O
4
F' 1 2 3
F
E
B
A【说明】连接F′B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF
【题型9 半角全等模型】
【例9】（2023春·四川达州·八年级统考期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，
1
AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD．请直接写出线
2
段EF，BE，FD之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
2
（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ．
2
【变式9-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S =15，则△ABD与△AEC的面积之
△ADE
和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【变式9-2】（2023春·上海·八年级专题练习）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝
120°，BD＝DC．特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间
的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）如图，CA=CB，CA⊥CB，∠ECF=45°，CD=CF，
∠ACD=∠BCF．
（1）求∠ACE+∠BCF的度数；
（2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐
角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．
