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专题03 二次函数图象问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数图象与各项系数的关系
题型2、一次函数与二次函数图象的交点问题
题型3、用图象法确定方程的根
题型4、利用二次函数图象对称轴求解
题型5、平移后的二次函数图象问题
题型6、旋转后的二次函数图象问题
题型7、对称后的二次函数图象
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
研究二次函数图象的问题，核心在于把图象特征与解析式中的系数建立对应关系；要紧紧抓住开口方
向、对称轴、顶点、与坐标轴交点以及特殊点函数值等关键量，利用数形结合思想分析图象变换前后解析
式与图象的联系；解题中必须注意平移、旋转、对称等变换规律，以及分类讨论与临界状态，所有结果均
需回代检验．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数图象与各项系数的关系
典例1 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象经过点( 1,2)
−
，
且与x 轴交点的横坐标分别为
1x ，
2x 且
1
2
x
x
．下列结论：①
0
abc
；②
2
8
4
b
a
ac
+
；③
1
a
c
+ ；④若
m ，(
)
n m
n
是方程
2
(
2)
ax
b
x
x
c
+
+
=
−
的两个根，则
1
m
−
，
0
n
．其中正确的结论有（ ）
目 录
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线的顶点坐标公式，二次方程根的分布，熟练掌握
二次函数图象与a 、b 、c 的关系是解题关键．
①由开口方向、y 轴交点、对称轴分别得
0
a
、
0
c
、
0
b
，推得
0
abc
；②由顶点坐标公式和顶点纵
坐标值大于2，结合
0
a
变形得
2
8
4
b
a
ac
+
；③代入(
)
1,2
−
得
2
b
a
c
=
+ −
，再代入
1
x = 时
0
y
，化简得
1
a
c
+ ；④整理方程为函数，结合开口方向、对称轴、当
0
x =
和
1
x = −时的函数值，判断根的范围．
【详解】解：①抛物线开口向下，
0
a
，
抛物线与y 轴交于正半轴，
0
c
，
对称轴
0
2
b
a
−
，
0
b
，
0
abc
，
故①正确；
②由图可知，抛物线顶点纵坐标大于2 ，
2
4
2
4
ac
b
a
−
，
2
4
8
ac
b
a
−
，
2
8
4
b
a
ac
+
，
故②正确；
二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象经过点( 1,2)
−
，
2
a
b
c
−
+
=
，
2
b
a
c
=
+ −
，
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由图可知，当
1
x = ，
2
2
2
2
0
a
b
c
a
a
c
c
a
c
+ + =
+
+ −+ =
+
−
，
1
0
a
c
+ −
，即
1
a
c
+ ，
故③正确；
已知
2
(
2)
ax
b
x
x
c
+
+
=
−
，则
(
)
2
1
0
ax
b
x
c
+
+
+
=
，
令
(
)
2
1
y
ax
b
x
c
=
+
+
+ ，
可知抛物线开口向下，对称轴为
1
2 1
1
2
2
2
b
a
c
a
c
y
a
a
a
+
+ −+
+ −
= −
= −
= −
，
由③知
1
a
c
+ ，
故
1
0
2
a
c
a
+ −
−
，
当
0
x =
，
0
y
c
=
，则
0
n
，
当
1
x = −，
(
)
1
2
1
1
0
y
a
b
c
a
a
c
c
=
−
−+
=
−
+
−
−+
=
，则
1
m
−
．
故④正确．
综上，正确答案有4 个．
故选：D ．
题型模版
1.特征：题目给出抛物线图象或部分信息，要求判断 a、b、c 及相关代数式的符号或范围．
2.方法：由开口方向定 a 的符号，对称轴位置定 b 的符号及 2a+b、2a-b 等关系，与 y 轴交点定 c；结
合特殊点函数值、判别式综合判断，注意赋值验证．
变式1-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
图象的对称轴为直线
1
x = −，部分图象如图所示，下列结论中：
①
0
abc
；②
2
0
b
a
−
= ；③3
0
a
c
+
；④若m 为任意实数，则有
2
a
bm
am
b
−
+ ；⑤当图象经过点1 ,2
2
时，方程
2
2
ax
bx
c
+
+
=
的两根为
(
)
1
2
1
2
1
2
,
,
3
1
x x
x
x
x
x
+
= −，其中正确的结论有（ ）
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A．①②③
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题
可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可．
【详解】解：由图象可知：
0,
0
a
c
，对称轴为直线
1
2
b
x
a
= −
= −，
∴
2
0
b
a
=
，即
2
0
b
a
−
= ，故②正确；
∴
0
abc
，故①错误；
由图象可知：当
1
x = 时，则有
2
3
0
y
a
b
c
a
a
c
a
c
=
+
+
=
+
+
=
+
，故③正确；
若m 为任意值，当x
m
=
时，则
2
y
am
bm
c
=
+
+ ，
当
1
x = −时，y 有最小值，最小值为y
a
b
c
=
−
+ ，
∴
2
am
bm
c
a
b
c
+
+
−
+
，
∴
2
am
bm
a
b
+
−，
∴
2
am
b
a
bm
+
−
≥
，故④错误；
方程
2
2
ax
bx
c
+
+
=
的两根可看作是直线
2
y =
与二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的交点问题，如图，
∵二次函数的图象经过点1 2
2
，，对称轴为直线
1
x = −，
∴二次函数也过点
5 2
2
−
，，
∴方程
2
2
ax
bx
c
+
+
=
的两个根分别为
1
2
5
1
,
2
2
x
x
= −
=
，
∴
1
2
1
5
1
3
2
2
3
x
x = −
+
+
= −
；故⑤正确；
综上所述：正确的有②③⑤；
故选：B．
变式1-2 （25-26 九年级上·全国·期中）二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的部分图象如图所示，有下列结论：
①
0
abc
；
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②
2
4
0
b
ac
−
；
③2
0
a
b
+
=
；
④9
3
0
a
b
c
+
+
；
⑤对任意实数m，不等式
2
am
bm
a
b
+
+ 总成立．
其中正确的结论有__________.( 填序号)
【答案】①③⑤
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐
一分析即可解答．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线
1
x = ，
∴
0
1
2
b
a
a
−
=
，
，
∴
2
0
b
a
= −
，
∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方，
∴
0
c
，
∴
0
abc
，故①正确；
②根据图形可得二次函数图象与x 轴有两个交点，
∴
2
4
0
b
ac
−
，故②错误；
③∵
1
2
b
a
−
=
∴
2
b
a
= −
∴2
0
a
b
+
=
，故③正确；
④由图可得，当
1
x = −时，
0
y
，
∵抛物线对称轴为直线
1
x = ，
∴当
3
x = 时，
0
y
，即9
3
0
a
b
c
+
+
，故④错误；
⑤当
1
x = 时，y 取最小值a
b
c
+ + ，
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∴
2
am
bm
c
a
b
c
+
+
+
+
，
∴
2
am
bm
a
b
+
+ ，故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
变式1-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，直线y
kx
c
=
+
与抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 都经过y 轴上
的点D，抛物线与x 轴交于A，B 两点，其对称轴为直线
1
x = ，且OA
OD
=
，直线y
kx
c
=
+
与x 轴交于点C
（点C 在点B 的右侧），则下列命题中正确的_________．
①
0
abc
，②
0
a
b
+
，③1
0
k
−
，④k
a
b
+
．
【答案】③④
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解决本题的关键是运用数形结合思想．由抛
物线的开口判断a 的符号，由对称轴判断b 的符号及b 与2a 的关系，由一次函数的图象和性质可判断k 的
取值范围，由一次函数与二次函数的交点可判断k 与a
b
+
的关系，进而得解．
【详解】解：抛物线开口向上，
0
a
，
抛物线对称轴是直线
1
2
b
x
a
−
=
= ，
0,
2
b
b
a
= −
，
抛物线与y 轴交于正半轴，
0
c
，
<0
abc
，故①不正确；
( 2 )
0
a
b
a
a
a
+
=
+ −
= −
，故②不正确；
直线y
kx
c
=
+
经过一、二、四象限，
0
k
．
当
0
x =
时，y
c
= ，
)
,
(0
D
c
，
OD
c
=
，
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OA
OD
=
，
OA
c
= ，
点A 的坐标为( ,0)
c
．
当直线y
kx
c
=
+
的x
c
= 时，
0
y
，
0
kc
c
+ ，
1
k −．
1
0
k
−
，故③正确；
联立得
2
ax
bx
c
kx
c
+
+
=
+
，
整理得
(
)
2
0
ax
b
k x
+
−
=
，
解得
1
2
0,
k
b
x
x
a
−
=
=
，
由图象知：
2
1
x ，
1
k
b
a
−
，
k
a
b
+ ，故④正确．
综上，正确的命题有③④．
故答案为：③④．
题型2、一次函数与二次函数图象的交点问题
典例2 函数
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
与y
ax
b
=
+
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b 与0 的大小关系以及交点情况
进行讨论．
根据二次函数开口向上，对称轴在y 轴右侧判断出a，b 与0 的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、
三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断．
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【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y 轴右侧，
∴
0
a
，
0
b
，
∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限，
当
2
0
ax
bx
+
=
时，即
1
0
x =
，
2
b
x
a
= −
，
当
0
ax
b
+
=
时，即
b
x
a
= −
，
则二次函数与一次函数在x 轴上有一交点，且为(
,0)
b
a
−
A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x 轴上，故本选项符合题意．
C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x 轴上，故本选项不符合题意．
D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
题型模版
1.特征：两个函数图象相交、相切或无交点，要求确定参数取值范围或交点坐标．
2.方法：联立一次函数与二次函数解析式消元得一元二次方程；用判别式判断交点个数；结合图象趋势、临
界位置列不等式并回代检验．
变式2-1 已知a，b 是非零实数，且a
b
，在同一个坐标系中，二次函数
2
y
ax
bx
=
+
与一次函数y
ax
b
=
+
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx 与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数
的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b 的正负情况，从而可以解答本题．
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【详解】解：
2
1
0
b
x
x
y
ax
bx
a
y
a
b
y
ax
b
y
=
= −
=
+
=
+
=
+
=
解得
或
．
故二次函数y＝ax2+bx 与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（
b
a
−
，0）
或点（1，a+b）．
在A 中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，
∵a
b
∴
b
a
−
-1＜
＜0，
∴（
b
a
−
，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项A 不可能；
在B 中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，
∵a
b
∴
b
a
−
-1＜
＜0，
∴（
b
a
−
，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项B 有可能；
在C 中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选
项C 不可能；
在D 中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选
项D 不可能；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．
变式2-2 若
0
a
，已知一次函数y
ax
b
=
+
的图象经过(
)
1,m
−
和(
)
, 1
m −
两点，则二次函数
2
y
ax
bx
m
=
+
+
的图
象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【详解】解：∵一次函数y
ax
b
=
+
的图象经过(
)
1,m
−
和(
)
, 1
m −
两点，
∴
1
a
b
m
am
b
−+
=
+
= −
，消去b 得(
)
(
)
1
1
a m
m
+
= −
+
，
∵
0
a
，
∴当
1
0
m+ =
，即
1
m = −；或当
1
0
m+
时，
1
a = −，
当
1
m = −时，
1
b
a−
=
；
当
1
a = −时，
1
b
m
=
−；
抛物线的对称轴为直线
2
b
x
a
= −
，
当
1
m = −，
1
b
a−
=
时，对称轴为直线
1
1
2
2
a
a
x
a
a
−
−
= −
=
，
当
1
a = −，
1
b
m
=
−时，对称轴为直线
(
)
1
1
2
1
2
m
m
x
−
−
= −
=
−
，
当
1
m = −时，只有选项C 符合抛物线与y 轴交点在原点下方，且开口向下，则
0
a
，
1
0
2
a
x
a
−
=
，与对称
轴在原点右侧相矛盾，不符合题意；
当
1
a = −时，开口向下，排除选项B；
对于选项A，由图象知
1
m ，∴
1
0
2
m
x
−
=
，符合题意；
对于选项C，由图象知
0
m
，∴
0
1
2
x
m
=
−
，与对称轴在原点右侧相矛盾，不符合题意；
对于选项D，由图象知
1
m ，∴
1
0
2
m
x
−
=
，与对称轴在原点左侧相矛盾，不符合题意；
综上，只有选项A 符合题意．
变式2-3 （25-26 九年级上·湖北荆州·期中）二次函数
2
2
3
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图像如图所示，那么一次函数
y
ax
b
=
−
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质，结合二次函数图像确定,a b 的取值
范围，然后结合一次函数的图像与性质，即可获得答案．
【详解】解：对于二次函数
2
2
3
y
ax
bx
c
=
+
+ ，由题意可知，
其图像开口向下，则2
0
a
，
∴
0
a
，
该二次函数图像的对称轴在y 轴左侧，
则
3
3
0
2 2
4
b
b
a
a
−
= −
，
结合
0
a
可得
0
b
，
∴
0
b
−
，
∴对于一次函数y
ax
b
=
−
，可知y 随x 的增大而减小，
当
0
x =
时，则
0
y
b
= −
，即该一次函数的图像与y 轴交于正半轴，
∴选项A、C、D 不符合题意，选项B 符合题意．
故选：B．
题型3、用图象法确定方程的根
典例3 （25-26 九年级上·安徽安庆·阶段检测）三个关于x 的方程：(
)(
)
1
1
2
1
a
x
x
+
−
= ，
(
)(
)
2
1
2
1
a
x
x
+
−
= ，
(
)(
)
3
1
2
1
a
x
x
+
−
= ，已知常数
1
2
3
0
a
a
a
，若
1x 、
2x 、
3x 分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列
判断正确的是（ ）
A．
1
2
3
x
x
x
B．
1
2
3
x
x
x
C．
1
3
2
x
x
x
D．
1
2
3
x
x
x
=
=
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解，根据
1
2
3
0
a
a
a
可知二次函数
(
)(
)
1
1
1
2
y
a
x
x
=
+
−
，
(
)(
)
2
2
1
2
y
a
x
x
=
+
−
，
(
)(
)
3
3
1
2
y
a
x
x
=
+
−
的开口向上，且开口大小为：
1
2
3
y
y
y
，作出函数图象，结合函
数图象作出判断．
【详解】解：
1
2
3
0
a
a
a
，
二次函数
(
)(
)
1
1
1
2
y
a
x
x
=
+
−
，
(
)(
)
2
2
1
2
y
a
x
x
=
+
−
，
(
)(
)
3
3
1
2
y
a
x
x
=
+
−
的开口向上，且开口大小为：
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1
2
3
y
y
y
，
其函数图象大致为：
．
由图象可知：
1
2
3
x
x
x
．
故选：A．
题型模版
1.特征：不直接解方程，而是借助二次函数图象与 x 轴或水平直线的交点来确定方程的根或其近似值、范
围．
2.方法：将方程变形为两个函数相等的形式，画出相关函数图象；交点的横坐标即为方程的根；利用对称轴、
区间端点函数值估算根的分布．
变式3-1 小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程
2
2
3
x
x
n
−
−
=
的根，他发现方程有四个不等实数根，则n 的值可能是（ ）
A．0
B．1
C．4
D．5
【答案】B
【分析】，将方程转化为
2
2
3
y
x
x
=
−
−
与y
n
=
的交点问题，画出函数图象得到n 的取值范围，再判断选项
即可.
【详解】解：画出
2
2
3
y
x
x
=
−
−
的图象如图：
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∵方程
2
2
3
x
x
n
−
−
=
有四个不等实数根，
∴0
4
n
，
故n 的值可能是1.
变式3-2 （25-26 九年级上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数
4
2
1
4
3
3
y
x
x
=
−
．她类比二
次函数对其进行探究，请回答下列问题：
(1)函数
4
2
1
4
3
3
y
x
x
=
−
的自变量x 的取值范围是___________；
(2)小君写出该函数x 与y 的部分对应值如下表：
x
…
1
−
1
2
−
0
1
2
1
3
2
2
9
4
…
y
…
1
−
m
0
5
16
−
1
−
63
48
−
0
459
…
①m 的值为___________；
②小君发现该函数的图象关于y 轴对称，并用软件画出了该函数在
0
x
时的图象，请在平面直角坐标系
xOy 中补全该函数的图象；
(3)写出方程
4
2
1
4
9
3
3
10
x
x
−
= −
最小的解的近似值：___________（精确到0.1）；
(4)过点(
)
0,n 作垂直于y 轴的直线l ，若直线l 与函数
4
2
1
4
3
3
y
x
x
=
−
的图象有两个公共点，则n 的取值范围是
___________．
【答案】(1)所有实数
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(2)①
5
16
−
；
②补图如下：
；
(3) 1.8
−
(4)
4
3
n = −
或
0
n
【分析】本题考查了二次函数的性质，求函数值，画函数图象等知识，解题的关键是：
（1）根据函数解析式可知自变量x 的取值范围是任意实数；
（2）①把
1
2
x = −
代入解析式计算即可；
②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象；
（3）利用图象求解即可；
（4）根据配方法可求出
(
)
2
2
1
4
2
3
3
y
x
=
−
−
，则当
2
2
x =
，即
2
x =
时，y 有最小值为
4
3
−
，然后利用函数
图象求解即可．
【详解】（1）解：函数
4
2
1
4
3
3
y
x
x
=
−
的自变量x 的取值范围是所有实数，
故答案为：所有实数；
（2）解：①当
1
2
x = −
时，
4
2
1
1
4
1
5
3
2
3
2
16
y
=
−
−
−
= −
，
故答案为：
5
16
−
；
②略
（3）解：令
9
0.9
10
y = −
= −
，如下图所示：
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方程
4
2
1
4
9
3
3
10
x
x
−
= −
最小的解接近2
−，
∵当
1.7
x = −
时，
(
)
(
)
4
2
1
4
1.7
1.7
1.07
3
3
y =
−
−
−
−
；
当
1.8
x = −
时，
(
)
(
)
4
2
1
4
1.8
1.8
0.83
3
3
y =
−
−
−
−
；
当
1.9
x = −
时，
(
)
(
)
4
2
1
4
1.9
1.9
0.46
3
3
y =
−
−
−
−
，
∴由图象可知：方程
4
2
1
4
9
3
3
10
x
x
−
= −
最小的解的近似值1.8
−
，
故答案为：1.8
−
；
（4）解：
4
2
1
4
3
3
y
x
x
=
−
(
)
4
2
1
4
3 x
x
=
−
(
)
2
2
1
4
2
3
3
x
=
−
−
，
∴当
2
2
x =
，即
2
x =
时，y 有最小值为
4
3
−
，
如图，
由图象可知，当
4
3
n = −
或
0
n
时，直线l 与函数
4
2
1
4
3
3
y
x
x
=
−
的图象有两个公共点，
故答案为：
4
3
n = −
或
0
n
．
变式3-3 （25-26 九年级上·山东临沂·阶段检测）操作与探究：已知点P 是抛物线
2
2
3
y
x
x−
=
+
上的一个动
点．
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(1)在如图的平面直角坐标系xOy 中画出函数
2
2
3
y
x
x−
=
+
的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值
0
y
时，自变量x 的取值范围是______；
②方程
1
2
x
x
−
= −的根是______（结果保留一位小数）；
③当x
m
时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是______；
④当2
x
n
−
时，函数值4
3
y
−
−，直接写出n 的取值范围______．
【答案】(1)图见解析
(2)①
3
x
−
或
1
x ②
1
2
2.4,
0.4
x
x
−
③
1
m
−
④1
0
n
−
【分析】本题考查画二次函数的图象，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题
的关键：
（1）五点法作图即可；
（2）根据二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想逐一进行求解即可．
【详解】（1）解：列表如下：
x
3
−
2
−
1
−
0
1
y
0
3
−
4
−
3
−
0
描点，连线，画图如下：
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（2）①由图象可知，当函数值
0
y
时，自变量x 的取值范围是
3
x
−
或
1
x ；
②
1
2
x
x
−
= −，整理，得
2
2
1
0
x
x
+
−=
，即：
2
2
3
2
x
x
+
−
= −，
方程的解可以看作是二次函数
2
2
3
y
x
x−
=
+
与
2
y = −的交点的横坐标，
观察图象可知，
1
2
2.4,
0.4
x
x
−
；
③由图象可知：当
1
x
−
时，y 随x 的增大而减小，
∴m 的取值范围是
1
m
−
；
④由图象可知：1
0
n
−
．
题型4、利用二次函数图象对称轴求解
典例4 （24-25 九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，则下列说法中正确的是（ ）
①当
0
ac
时，则方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点(
)
2,c ，则该图象的对称轴为直线
1
x = −；
③当
0
a
时，若二次函数的图象与x 轴负半轴交于
(
)
,0
A m
和
(
)
,0
B n
，且m
n
，方程
2
3x
ax
bx
c
−
=
+
+
的
解为
1x
p
=
，
2x
q
=
，若p
q
，则有m
p
q
n
．
④当
1
a = −时，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 图象与一次函数y
x
=
图象有两个交点(
)
1
1
,
x
y
，(
)
2
2
,
x
y
，且
1
2
2
x
x
，则2
4
b
c
+
．
A．①②
B．①④
C．①③
D．③④
【答案】B
【分析】题目主要考查二次函数的性质及与一元二次方程的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是
解题关键．
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根据二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的性质，作出相应草图，依次判断即可．
【详解】解：①
2
0
ax
bx
c
+
+
=
，
0
ac
，
∴
2
4
0
b
ac
=
−
，
∴方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个不同的实数根，正确；
②
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，当
0
x =
时，y
c
= ，
∵二次函数的图象过点(
)
2,c ，
∴该图象的对称轴为直线
0
2
1
2
x
+
=
= ，错误；
③如图所示，画草图如下：
方程
2
3x
ax
bx
c
−
=
+
+ 的解可看作
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与
3
y
x
= −
交点的横坐标，
由图可得：p
m
n
q
，错误；
④当
1
a = −时，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 图象与一次函数y
x
=
图象有两个交点(
)
1
1
,
x y
，(
)
2
2
,
x
y
，
∴当
2
ax
bx
c
x
+
+
=
时，即
2
(
1)
0
x
b
x
c
−
+
−
+
=
有两个根，
对应的二次函数为
2
(
1)
y
x
b
x
c
= −
+
−
+ ，开口向下，
∵
1
2
2
x
x
，
∴当
2
x =
时，
2
2
(
1) 2
0
y
b
c
= −
+
−
+
，整理得2
6
4
b
c
+
，正确；
综上可得：正确的有①④，
故选：B．
题型模版
1.特征：题目涉及抛物线上对称点的函数值比较、最值或参数范围，要求利用对称轴性质．
2.方法：先由解析式或两点对称关系求出对称轴；利用对称点到对称轴距离相等时函数值相等的性质，把各
点转化到同侧比较；结合开口方向与单调性求解．
变式4-1 （2025·浙江杭州·一模）已知二次函数
(
)
2
2
1
3
y
mx
m
x
=
+
+
+ 的图象上有四个点：
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(
)
(
)
(
)
,
,
A a
p
B b
p
C c
q
，
，
，
，
(
)
D d
q
，
，其中p
q
，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．若
1
m ，则
0
a
b
c
d
+ + +
B．若
1
m ，则d
a
b
c
C．若
1
m
−
，则
0
a
b
c
d
+ + +
D．若
1
m
−
，则c
b
a
d
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据
1
m 或
1
m
−
来判断出对称轴在x 轴的负半轴，再结
合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答．
【详解】解：∵
(
)
2
2
1
3
y
mx
m
x
=
+
+
+ ，
∴对称轴为直线
(
)
2
1
1
2
m
m
x
m
m
+
−
−
= −
=
，
当
1
m 时，则
1
0
m
−
−
，
∴
1
0
m
m
−
−
，
此时对称轴在x 轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的x 所对应的函数值越小，
∵
(
)
(
)
(
)
,
,
A a
p
B b
p
C c
q
，
，
，
，
(
)
D d
q
，
，
∴点A与点B 关于对称轴对称，点C 与点D 关于对称轴对称，
∴
0
0
2
2
a
b
c
d
+
+
,
，
∴
0
2
2
a
b
c
d
+
+
+
，
即
0
a
b
c
d
+ + +
，故A 选项不符合题意；
∵p
q
，越靠近对称轴的x 所对应的函数值越小，
∴d
a
b
c
或d
b
a
c
或c
b
a
d
或c
a
b
d
，
故B 选项不符合题意；
当
1
m
−
时，则0
1
m
−
−，
∴
1
0
m
m
−
−
，
此时对称轴在x 轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的x 所对应的函数值越大，
∵
(
)
(
)
(
)
,
,
A a
p
B b
p
C c
q
，
，
，
，
(
)
D d
q
，
，
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∴点A与点B 关于对称轴对称，点C 与点D 关于对称轴对称，
∴
0
0
2
2
a
b
c
d
+
+
,
，
∴
0
2
2
a
b
c
d
+
+
+
，
即
0
a
b
c
d
+ + +
，故C 选项不符合题意；
∵p
q
，越靠近对称轴的x 所对应的函数值越大，
∴a
d
c
b
或a
c
d
b
或b
c
d
a
或b
d
c
a
，
故D 选项符合题意；
故选：D．
变式4-2 （25-26 九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的y 与x 的部分对应值如表：
x
4
−
3
−
1
−
1
4
y
0
5
9
5
16
−
下列结论：
①对称轴为直线
1
x = −；
②方程
2
9
0
ax
bx
c
−
+
−
=
有两个不相等的实数根；
③若点(
)
1
,
m y
，(
)
2
2,
m
y
−
−
均在二次函数图象上，则
1
2
y
y
=
；
④满足
(
)
2
2
8
ax
b
x
c
+
+
+
−的x 的取值范围是<
4
x −
或
4
x
．
其中正确结论的序号为______．
【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出a
b
c
、、的值，再根据对称轴公式求出
对称轴即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断③；画
出函数图形可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：把(
) (
) (
)
4,0
1,9
1,5
−
−
，
，
代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 得，
16
4
0
9
5
a
b
c
a
b
c
a
b
c
−
+
=
−
+
=
+
+
=
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解得：
1
2
8
a
b
c
= −
= −
=
∴
2
2
8
y
x
x
= −
−
+
∴对称轴为直线
(
)
2
1
2
1
x
−
= −
= −
−
，故①正确；
∵
1
2
8
a
b
c
= −
= −
=
，
，
∴
2
9
0
ax
bx
c
−
+
−
=
，即为
2
2
8
9
0
x
x
−
+
+ −
=
，
∴
2
2
1
0
x
x
−
+
−=
，
∵
(
) (
)
2
Δ
2
4
1
1
0
=
−−
−
=
∴关于x 的一元二次方程
2
9
0
x
bx
c
−
+ −
=
有两个相等的实数根，故②错误；
∵
(
)
2
1
2
m
m
+ −
−
= −，
∴点(
)
1
,
m y
，(
)
2
2,
m
y
−
−
关于对称轴
1
x = −对称，
∴
1
2
y
y
=
，故③正确；
由
(
)
2
2
8
ax
b
x
c
+
+
+
−得
2
2
8
ax
bx
c
x
+
+
−
−，
即
2
2
8
2
8
x
x
x
−
−
+
−
−
则
2
2
8
y
x
x
= −
−
+ 和
2
8
y
x
= −
−：
由
2
2
8
2
8
y
x
y
x
x
= −
−
= −
−
+
解得：
1
2
1
2
4
4
0
16
x
x
y
y
= −
=
=
= −
，
，
∴
(
)
4,0
A −
，
(
)
4, 16
B
−
由图形可得，当
4
x −或
4
x
时，
2
2
8
4
x
x
x
−
−
+
+
，即
(
)
2
1
4
ax
b
x
c
+
−
+
，故④正确；
综上，正确的结论为①③④，
故答案为：①③④．
变式4-3 （25-26 九年级上·山东济宁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
4,3 在抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+
（
0
a
）上．
(1)①该抛物线的对称轴为_______；
②若该抛物线与x 轴没有交点，求a 的取值范围；
(2)已知
0
m
，当2
2
2
m
x
m
−
+
时，y 的取值范围是1
3
y
−
，求a，m 的值；
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(3)在（2）的条件下，是否存在实数n，当
2
n
x
n
−
时，y 的取值范围是3
3
3
5
n
y
n
−
+ ，若存在，求出n
的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①直线
2
x =
；②
3
0
4
a
(2)
1
a = ，
1
m =
(3)存在，
1
n =
【分析】（1）①利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2 倍，即可求出该抛物线
的对称轴；
②由抛物线的对称轴为直线
2
x =
得到
4
b
a
−
=
，根据抛物线与x 轴没有交点得到
(
)
2
Δ
4
4
3
0
a
a
= −
−
，求
解即可；
（2）分别讨论2
2
2
m
x
m
−
+
的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y 取最大值与最小值时，
对应的x 的取值，进而求出a ，m 的值；
（3）由于y 的取值范围是3
3
3
5
n
y
n
−
+ ，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论
2
n
x
n
−
在对称轴的左右两侧即可．
【详解】（1）解：①抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ ，
0
x
=
时，
3
y =
，
抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 过点(0,3) ，
抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 过点(4,3) ，
该抛物线的对称轴为直线
2
x =
．
故答案为：
2
x =
．
②∵抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
∴
2
2
b
a
−
=
，
∴
4
b
a
−
=
，
∴抛物线为
2
4
3
y
ax
ax
=
−
+ ，
∵该抛物线与x 轴没有交点，
∴
(
)
2
Δ
4
4
3
0
a
a
= −
−
，
∴
3
4
a
，
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∵
0
a
，
∴a 的取值范围是
3
0
4
a
．
（2）解：
0
m
，
2
2
2
2
m
m
−
+
．
0
a
，抛物线开口向上，
当
2
x =
时，函数值在2
2
2
m
x
m
−
+
上取得最小值1
−．
即4
2
3
1
a
b
+
+ = −．
∵
4
b
a
−
=
，
∴
1
a = ，
4
b = −．
抛物线的表达式为
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ，即
2
(
2)
1
y
x
=
−
−．
0
m
，
当2
2
m
x
−
时，y 随x 的增大而减小，当
2
x
m
=
−
时取得最大值，
当2
2
2
x
m
+
时，y 随x 的增大而增大，当
2
2
x
m
=
+
时取得最大值，
对称轴为
2
x =
，
2
x
m
=
−
与
2
x
m
=
+
时的函数值相等．
2
2
2
2
m
m
+
+
，
当
2
2
x
m
=
+
时的函数值大于当
2
x
m
=
+
时的函数值，即
2
x
m
=
−
时的函数值．
当
2
2
x
m
=
+
时，函数值在2
2
2
2
m
m
−
+
上取得最大值3．
代入有
2
4
1
3
m −= ，舍去负解，得
1
m = ．
（3）解：存在，
1
n = ．
当
2
n
x
n
−
时，y 的取值范围是3
3
3
5
n
y
n
−
+ ，y 无法取到最大值与最小值，
关于x 的取值范围一定不包含对称轴，
①当
2
n 时，
2
n
x
n
−
在对称轴的左侧，
二次函数开口向上，
∴
2
=
−
x
n
时，y 有最大值，x
n
=
时，y 有最小值，
由题意可知：
2
2
(
2)
4(
2)
3
3
5
4
3
3
3
n
n
n
n
n
n
−
−
−
+
=
+
−
+
=
−
，解得：
1
n = ，
故
1
n = ，
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②当
2
2
n −
时，
2
n
x
n
−
在对称轴的右侧，
二次函数开口向上，
∴
2
=
−
x
n
时，y 有最小值，x
n
=
时，y 有最大值，
由题意可知：
2
2
(
2)
4(
2)
3
3
3
4
3
3
5
n
n
n
n
n
n
−
−
−
+
=
−
−
+
=
+
，此时n 无解，
故不符合题意，
1
n
= ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象与x 轴的交点，二次函数的最值，
解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．
题型5、平移后的二次函数图象问题
典例5 已知抛物线
2
2
3
y
x
ax
=
−
+ （a 为常数）．
(1)若抛物线经过点(
)
2, 1
−
．
①求a 的值；
②将抛物线向右平移b(
0
b
)个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A，若点A 的横坐标为4，求b
的值；
(2)若点
(
)
1,
B
m ，
(
)
2,
C
n 都在抛物线
2
2
3
y
x
ax
=
−
+ 上，
3
m
n
，求a 的取值范围．
【答案】(1)①
2
a =
；②
4
b =
(2)
3
1
2
a
【分析】（1）①将(
)
2, 1
−
代入
2
2
3
y
x
ax
=
−
+ ，待定系数法求解析式，即可求解；
②由①可得
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ，对称轴为直线
2
x =
，根据对称性即可求解；
（2）将
(
)
1,
B
m ，(
)
2,
C
n 分别代入
2
2
3
y
x
ax
=
−
+ ，根据
3
m
n
，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：①将(
)
2, 1
−
代入
2
2
3
y
x
ax
=
−
+ ，
得4
4
3
1
a
−
+
= −．
解得
2
a =
．
②因为
2
a =
，
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所以
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ．
所以抛物线
2
4
3
y
x
x
=
−
+ 的对称轴为直线
2
x =
因为点A 的横坐标为4，
所以抛物线
2
4
3
y
x
x
=
−
+ 上与点A 对称的点的横坐标为0．
所以
4
0
4
b =
−
=
．
（2）将(
)
1,m 代入
2
2
3
y
x
ax
=
−
+ ，
得
4
2
m
a
=
−
．
将(
)
2,n 代入
2
2
3
y
x
ax
=
−
+ ，
得
7
4
n
a
=
−
．
因为
3
m
n
，
所以
4
2
7
4
7
4
3
a
a
a
−
−
−
解得
3
1
2
a
．
题型模版
1.特征：抛物线按某方向平移若干单位后，要求新图象的解析式、顶点、与坐标轴交点或参数范围．
2.方法：平移遵循“左加右减、上加下减”原则，先确定原顶点，再按平移向量得到新顶点，从而写出新解析
式；也可直接在解析式中用 x±h、y±k 替换，注意自变量范围．
变式5-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）若抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a 是常数，
0
a
）经过点(
)
1,0
−
，(
)
3,0 ．
(1)求a 与b 之间的关系式．
(2)若将此抛物线向上平移1 个单位长度，该抛物线与x 轴没有交点，求a 的取值范围．
(3)已知点(
)
1
1
,
x
y
，(
)
2
2
,
x
y
在抛物线上，满足
2
1
1
x
x
．当对于任意的
1x ，
2x 满足
2
1
1
x
x
−
= 时，都有
2
1
4
y
y
−
．求证：
4
a
．
【答案】(1)
2
b
a
= −
(2)
1
0
a
4
(3)
证明：∵
2
1
1
x
x
−
= ，
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∴
2
1
= +1
x
x
，
∴
2
1
1
1
2
3
y
ax
ax
a
=
−
−
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
2
1
3
2
1
2
2
3
2
2
2
3
4
y
ax
ax
a
a x
a x
a
a x
x
ax
a
a
ax
ax
a
ax
a
a
ax
a
=
−
−
=
+
−
+
−
=
+
+
−
−
−
=
+
+
−
−
−
=
−
，
∴
(
) (
)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
4
2
3
4
2
3
2
4
y
y
ax
a
ax
ax
a
ax
a
ax
ax
a
ax
a
−
=
−
−
−
−
=
−
−
+
+
=
−
，
∴(
)
1
2
1
4
a
x −
，
∵
1
1
x ，
∴
1
2
1 1
0
x −
，
∴
1
4
2
1
−
a
x
，
∵
1
2
1 1
x −，
∴
1
1
0
1
2
1
x
−
，
∴
1
4
0
4
2
1
x
−
，
∵对于任意的
1x ，
2x 满足
2
1
1
x
x
−
= 时，都有
2
1
4
y
y
−
，
∴
4
a
．
【分析】（1）利用抛物线与x 轴的两个交点求得对称轴
1
x = 即可求解；
（2）由a 与b 的关系及经过(
)
1,0
−
，可得抛物线解析式为
2
2
3
y
ax
ax
a
=
−
−
，再由抛物线向上平移1 个单位
长度，抛物线与x 轴没有交点，可得
0
即可求解；
（3）由
2
1
1
x
x
−
= 得
2
1
= +1
x
x
，则可用
1x 表示出
1y ，
2y ，再代入
2
1
4
y
y
−
即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a 是常数，
0
a
）经过点(
)
1,0
−
，(
)
3,0 ，
∴对称轴为直线
1 3
1
2
x
−+
=
= ，
∴
1
2
b
a
−
= ，
∴
2
b
a
= −
．
（2）解：∵
2
b
a
= −
，
∴
2
2
y
ax
ax
c
=
−
+ ，
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将(
)
1,0
−
代入得
2
0
a
a
c
+
+ =
，
∴
3
c
a
= −
，
∴抛物线为
2
2
3
y
ax
ax
a
=
−
−
，
将此抛物线向上平移1 个单位长度可得
2
2
3
1
y
ax
ax
a
=
−
−
+ ，
∵抛物线与x 轴无交点，
∴
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
2
4
3
1
4
12
4
16
4
4
4
1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= −
−
−
+
=
+
−
=
−
=
−
，
∴
0
4
1
0
a
a
−
或
0
4
1
0
a
a
−
，
解得
1
0
a
4
或无解，
∴
1
0
a
4
．
（3）略
变式5-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ （b，c 为常数）的图象经过点(
)
3,9
A −
，
对称轴为直线
1
2
x = −
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点
(
)
1,7
B
向下平移4 个单位长度，向左平移
(
)
0
m m
个单位长度后，恰好落在
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象上，
求m 的值；
(3)当3
x
n
−
时，二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的最大值与最小值的差为25
4 ，求n 的取值范围．
【答案】(1)
2
3
y
x
x
=
+
+
(2)
1
m = 或2
(3)
1
2
2
n
−
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质．
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B 的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为
1
3
2
n
−
−
，
1
2
2
n
−
时，
2
n
时，建立方程解题即可．
【详解】（1）解：由对称轴为直线
1
2
x = −
，
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则可设二次函数的解析式为
2
1
2
y
x
k
=
+
+
，
把
(
)
3,9
A −
代入得
2
1
3
9
2
k
−+
+
=
，
解得
2.75
k =
．
∴
2
2
1
2.75
3
2
y
x
x
x
=
+
+
=
+
+
；
（2）解：点
(
)
1,7
B
两次平移后坐标为(
)
1
,7
4
m
−
−
，即(
)
1
,3
m
−
，
由（1）可知
2
3
y
x
x
=
+
+ ．
两次平移后落在
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象上，
(
)
(
)
2
1
1
3
3
m
m
−
+
−
+
=
．
解得
1
1
m = ，
2
2
m =
．
（3）解：由（1）可知
2
3
y
x
x
=
+
+
．
当
1
3
2
n
−
−
时，
最大值与最小值的差为(
)
(
)
2
2
25
3
3
3
3
4
n
n
−
+ −
+
−
+
+
=
，
解得：
1
2
n = −
不符合题意；
当
1
2
2
n
−
时，
最大值与最小值的差为(
)
(
)
2
2
1
1
25
3
3
3
3
2
2
4
−
+ −
+
−
−
+ −
+
=
，符合题意；
当
2
n
时，
最大值与最小值的差为
2
2
1
1
25
3
3
2
2
4
n
n
+
+
−
−
+ −
+
=
，
解得
1
2
n =
，
2
3
n = −（不符合题意，舍去）；
综上，n 的取值范围为
1
2
2
n
−
．
变式5-3 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线为
2
4
3
1
y
ax
ax
a
=
−
+
+ ．（a 为常数，
0
a
）
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(1)当
1
a = −时，求抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线向下平移1个单位后与x 轴交于A，B 两点，求AB 的长．
(3)当
2
t
x
t
+
（0
1
t
）时，y 的最大值与最小值之差为5，求a 的取值范围．
【答案】(1)(
)
2,2
(2)
2
AB =
(3)
5
5
4
a
−
−
≤≤
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，解题
关键是掌握二次函数的图象与性质．
（1）将
1
a = −代入抛物线解析式中，化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据平移的特征写出平移后的解析式，令
0
y =
，解方程即可求得抛物线与x 轴的交点坐标，即可得解；
（3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合
0
a
，0
1
t
，
2
t
x
t
+
，可得到抛物线的最值情况，
根据最大值与最小值之差为5列式计算即可．
【详解】（1）解：当
1
a = −时，抛物线为
(
)
2
2
4
2
2
2
y
x
x
x
= −
+
−
= −
−
+
.
抛物线的顶点坐标为(
)
2,2 ；
（2）解：抛物线向下平移1个单位后为
2
4
3
y
ax
ax
a
=
−
+
，
令
0
y =
，即
2
4
3
0
ax
ax
a
−
+
=
，
(
)
2
4
3
0
a x
x
−
+
=
(
)(
)
1
3
0
a x
x
−
−
=
，
解得
1
x = 或
3
x = ，
抛物线与x 轴的交点分别为(
)
1,0 ，(
)
3,0 ，
3 1
2
AB
= −=
；
（3）解：
(
)
2
2
4
3
1
2
1
y
ax
ax
a
a x
a
=
−
+
+ =
−
−
+ ，
对称轴为直线
2
x =
，
0
a
，
抛物线开口向下，
0
1
t
，
2
t
x
t
+
，
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当
2
x =
时，y 取到最大值为1 a
−
，
当x
t
= 时，y 取到最小值，最小值为
2
4
3
1
at
at
a
−
+
+ ，
y
的最大值与最小值之差为5，
(
) (
)
2
1
4
3
1
5
a
at
at
a
−
−
−
+
+
=
，
化简得：(
)
2
2
5
a t −
= −，即
(
)
2
5
2
a
t
= −
−
，
0
1
t
，
2
2
1
t
−−
−，
(
)
2
1
2
4
t
−
，
5
5
4
a
−
−
.
题型6、旋转后的二次函数图象问题
典例6 （25-26 九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数C 的图像绕点
(
)
0,
P
n 旋转180，得到新的函数
1
C 的
图像，我们称函数
1
C 是函数C 关于点P 的相关函数．例如：当
1
n = 时，函数
(
)
2
1
6
3
2
y
x
=
−
+ 关于点
(
)
0,1
P
的相关函数为
(
)
2
1
6
1
2
y
x
= −
+
−．
(1)当
0
n =
时，①二次函数
2
y
x
=
关于点P 的相关函数为________________．
②点
(
)
2,3
A
在二次函数
(
)
2
2
0
y
ax
ax
a a
=
−
+
关于点P 的相关函数的图像上，求a 的值．
(2)函数
2
5
2
3
y
x
= −
+
关于点P 的相关函数是
2
7
2
4
y
x
=
−
，求点P 的坐标．
(3)当3
3
1
3
4
4
n
x
n
−
+ 时，二次函数
2
2
9
2
8
y
x
nx
n
= −
+
−
的相关函数的最小值为3，求n 的值．
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【答案】(1)①
2
y
x
−
=
；②
1
3
a = −
(2)
2
0,
2
4
P
−
(3)
3
n = −或
1
n = ．
【分析】本题主要考查了新定义函数以及二次函数的性质，关键是根据中点公式求出相关函数的顶点坐标，
进而求出相关函数．
（1）①直接根据相关函数的定义求解即可；
②根据二次函数的性质可知顶点坐标为(
)
1,0 ，由相关函数的定义可知新函数的顶点为(
)
1,0
−
，可得新函数
的表达式为：
(
)
2
1
y
a x
= −
+
，最后将点A 的坐标代入解析式求得a 的值即可；
（2）先分别求出两个函数的顶点坐标，然后运用中点公式确定中点坐标即可解答；
（3）求出相关函数分3
3
4
4
n
n+ −
、3
1
4
4
n
n −−
、3
3
4
4
n
n+ −
三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：①当
0
n =
时，点
(
)
0,0
P
，相关函数顶点坐标为(
)
0,0
则相关函数为：
2
y
x
−
=
，
故答案为：
2
y
x
−
=
；
②∵二次函数
2
2
y
ax
ax
a
=
−
+
的顶点坐标为(
)
1,0 ，
∴相关函数的顶点坐标为(
)
1,0
−
，
∴新函数的表达式为
2
(
1)
y
a x
= −
+
，
将点
(
)
2,3
A
代入上式并解得
1
3
a = −
；
（2）解：函数
2
5
2
3
y
x
= −
+
和函数
2
7
2
4
y
x
=
−
的顶点坐标分别为
5 2
0,
3
，
7 2
0,
4
−
，
由中点公式得：
4
5 2
7 2
2
3
2
4
2
n
−
=
= −
，
即
2
0,
24
P
−
；
（3）
2
2
2
2
9
2
2
8
4
n
y
x
nx
n
x
n
= −
+
−
= −
−
−
的顶点为：
2
,
4
n
n
−
，
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设相关函数顶点为：(
)
,e f ，
由中点公式得：
2
4
0,
2
2
n
e
f
n
n
+
−
=
=
，
解得：
2
,
2
4
n
e
f
n
n
= −
=
+
，
则相关函数顶点为：
2
,
2
4
n n
n
−
+
，
则相关函数的表达式为：
2
2
2
2
4
n
y
x
n
n
=
+
+
+
；
可知开口向上，对称轴为直线
4
n
x = −
，
如图：
①当3
3
4
4
n
n+ −
即
3
n
−
≤
时，
函数在
3
3
4
x
n
=
+ 时，取得最小值，即
2
2
3
2
3
2
3
4
4
n
n
n
n
+ +
+
+
=
，
(
)
2
2
2
3
2
3
n
n
n
+
+
+
=
，
2
2
2
12
18
2
3
n
n
n
n
+
+
+
+
= ，
2
3
14
15
0
n
n
+
+
=
，
2
14
4 3 15
196 180
16
=
−
=
−
=
，
14
16
14
4
7
2
2 3
6
3
n
−
−
−
=
=
=
解得：
1
7
2
3
3
n
−−
=
= −，
2
7
2
5
3
3
n
−+
=
= −
（舍去），
故
3
n = −；
②当3
1
4
4
n
n −−
即
1
n 时，
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函数在
3
1
4
x
n
=
−时，取得最小值，即
2
2
3
2
1
2
3
4
4
n
n
n
n
−+
+
+
=
，
(
)
2
2
2
1
2
3
n
n
n
−
+
+
= ，
2
2
2
4
2
2
3
n
n
n
n
−
+
+
+
= ，
2
3
2
1
0
n
n
−
−=
，
(
)
(
)
2
Δ
2
4 3
1
4 12
16
= −
−−
=
+
=
，
(
)
2
16
2
4
2 3
6
n
−−
=
=
解得：
3
2
4
1
6
n
+
=
= ，
4
2
4
1
6
3
n
−
=
= −
（舍去），
故
1
n = ；
③当3
3
4
4
n
n+ −
且3
1
4
4
n
n −−
即3
1
n
−
时，
函数在顶点处取得最小值，即
2
2
3
n
n
+
= ，
2
2
3
0
n
n
+
−
=
，
(
)
2
Δ
2
4 1
3
4 12
16
=
−−
=
+
=
，
2
16
2
4
2 1
2
n
−
−
=
=
解得：
5
2
4
1
2
n
−+
=
= （舍去），
6
2
4
3
2
n
−−
=
= −（舍去）；
综上所述，
3
n = −或
1
n = ．
题型模版
1.特征：抛物线绕某点旋转 180° 后，开口方向、顶点、对称轴均发生变化．
2.方法：旋转 180° 后开口方向相反，a 变号，顶点变为关于旋转中心的对称点；根据新顶点和新开口方向
写出解析式；注意旋转后定义域与图象范围的变化．
变式6-1 （25-26 九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
经过点
(
)
3,4
A −
，
直线l 与x 轴相交于点B ，与
AOB
的平分线相交于点C ，直线l 的解析式为
(
)
5
0
y
kx
k k
=
−
，BC
OB
=
．
(1)直接写出点B 坐标；
(2)若点C 在此抛物线上，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，把抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
的图像绕点(
)
,0
P m
旋转180，得到相关抛物线
2
C 图像，
2
C 图
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像的对称轴与x 轴交点坐标为(
)
,0
t
，当
1
2
x
t
−
时，函数
1
C 最大值为
1y ，最小值为
2y ，且
1
2
6
y
y
−
=
，求
2
C 的解析式并直接写出m 的值．
【答案】(1)
(
)
5,0
B
(2)
2
2
2
3
3
y
x
x
=
+
(3)
2
2
5
1
3
2
6
y
x
= −
−
+
，
1
m =
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定，旋转的
性质．
（1）对于直线
(
)
5
0
y
kx
k k
=
−
，令
0
y =
，得出
5
x = ，即可求出点B 坐标；
（2）过
,
A C 两点作x 轴的垂线，垂足分别为
,
D E ，先证明BC
OA
∥
，再证明
(
)
AAS
AOD
CBE
≌
，得到
点C 的坐标，进而利用待定系数法求解析式，即可求解；
（3）根据（2）的解析式，可得
1
C 的顶点坐标为
1
1
,
2
6
−
−
，当
1
2
x
−
时，y 随着x 的增大而增大，进而根
据题意得出
2 :
C
2
2
1
1
2
3
2
6
y
x
m
= −
−
−
+
，顶点坐标为
1 1
2
,
2 6
m
+
，根据
1
2
x
t
−
时，函数最大值为
1y ，
最小值为
2y ，得出
2
1
2
2
3
3
y
t
t
+
=
，
2
1
6
y = −
，根据
1
2
6
y
y
−
=
，解方程得出
5
2
t =
，进而求得
2
C 的顶点坐标为
5 1
,
2 6
，代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：直线l 与x 轴相交于点B ，
当
0
y =
时，
0
5
kx
k
−
=
，解得
5
x = ，
(
)
5,0
B
；
（2）解：如图所示，过
,
A C 两点作x 轴的垂线，垂足分别为
,
D E ，
得到
90
ADO
CEB
=
=
，
直线l 与x 轴相交于点B ，与
AOB
的平分线相交于点C ，
AOC
BOC
=
．
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BC
OB
=
，
BOC
BCO
=
，
AOC
BCO
=
，
BC
OA
，
CBO
AOD
=
．
(
)
3,4
A −
，即
3,
4
=
=
OD
AD
，
2
2
2
2
4
3
5
OA
AD
OD
=
+
=
+
=
．
又由（1）得
(
)
5,0
B
，即
5
OB
BC
=
=
，
OA
BC
=
．
在AOD
和△CBE 中，
90
ADO
CEB
CBO
AOD
OA
BC
=
=
=
=
，
(
)
AAS
AOD
CBE
≌
，
4
CE
AD
=
=
，
3
=
=
BE
OD
，
5 3
2
OE
OB
BE
=
−
= −=
，
(
)
2,4
C
．
抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
经过点
(
)
3,4
A −
，
(
)
2,4
C
，
4
9
3
4
4
2
a
b
a
b
=
−
=
+
，解得
2
3
a
b
=
=
，
抛物线
1
C 的解析式为
2
2
2
3
3
y
x
x
=
+
；
（3）解：由（2）得抛物线
1
C 的解析式为
2
2
2
2
2
1
1
3
3
3
2
6
y
x
x
x
=
+
=
+
−
，
其顶点坐标为
1
1
,
2
6
−
−
，且开口向上，
当
1
2
x
−
时，y 随着x 的增大而增大．
把抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
的图像绕点(
)
,0
P m
旋转180，得到相关抛物线
2
C 图像，如图所示，
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抛物线
2
C 的顶点坐标为
1 1
2
,
2 6
m
+
，且开口向下，
抛物线
2
C 的解析式为
2
2
1
1
2
3
2
6
y
x
m
= −
−
−
+
．
2
C 图像的对称轴与x 轴交点坐标为(
)
,0
t
，
1
2
2
m
t
+
= ，即抛物线
2
C 的顶点坐标为
1
, 6
t
．
当
1
2
x
t
−
时，函数
1
C 最大值为
1y ，最小值为
2y ，
2
1
2
2
3
3
y
t
t
+
=
，
2
1
6
y = −
，
1
2
6
y
y
−
=
，
2
2
2
1
6
3
3
6
t
t
+
+
=
，
解得
5
2
t =
或
7
2
t = −
（舍去），
抛物线
2
C 的顶点坐标为5 1
,
2 6
，
1
5
2
2
2
m
+
=
，解得
1
m = ，
抛物线
2
C 的解析式为
2
2
5
1
3
2
6
y
x
= −
−
+
．
变式6-2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
经过点
(
)
3,4
A −
，直线l 与x 轴相交于点B ，与
AOB
的平分线相交于点C ，直线l 的解析式为
5 (
0)
y
kx
k k
=
−
，BC
OB
=
．
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(1)直接写出B 点坐标；
(2)若点C 在此抛物线上，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，把抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
的图象绕点
(
)
0
P m,
旋转180，得到相关抛物线
2
C 图象，
2
C 图
象的对称轴与x 轴交点坐标为(
)
,0
t
，当
1
2
x
t
−
时，函数
1
C 最大值为
1y ，最小值为
2y ，且
1
2
6
y
y
−
=
，求
2
C 的解析式．
【答案】(1)(
)
5,0
(2)
2
2
2
3
3
y
x
x
=
+
(3)
2
2
5
1
3
2
6
y
x
= −
−
+
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定，旋转的
性质；
（1）对于直线
5 (
0)
y
kx
k k
=
−
，令
0
y =
，得出
5
x = ，即可得出B 点的坐标；
（2）先证明OA
BC
∥
，过点
,
A C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为
,
D E ，证明
(
)
AAS
AOD
CBE
≌
得出
(
)
2,4
C
的坐标，进而利用待定系数法求解析式，即可求解；
（3）根据（2）的解析式，可得
1
C 的顶点坐标为：
1
1
,
2
6
−
−
，当
1
2
x
−
时，y 随x 的增大而增大，进而根
据题意得出
2
2
2
1
1
:
2
3
2
6
C
y
x
m
= −
−
−
+
，对称轴为直线
1
2
2
x
m
=
+
，根据
1
2
x
t
−
时，函数
1
C 最大值为
1y ，
最小值为
2y ，得出
2
1
2
1
1
3
2
6
y
t
+
−
=
，
2
1
6
y = −
，根据
1
2
6
y
y
−
=
，解方程得出
5
2
t =
，进而求得
2
C 的顶点坐
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标为：5 1
,
2 6
，代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线l ：
5 (
0)
y
kx
k k
=
−
与x 轴相交于点B ，
当
0
y =
时，
0
5
kx
k
−
=
，解得
5
x = ，
∴
(
)
5,0
B
；
（2）解;∵直线l 与x 轴相交于点B ，与
AOB
的平分线相交于点C ，
∴
AOC
BOC
=
，
∵BC
OB
=
，
∴
BCO
BOC
=
，
∴
AOC
BOC
=
，
∴OA
BC
∥
，
如图，过点
,
A C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为
,
D E ，则
90
ADO
CEB
=
=
，
∵OA
BC
∥
，
∴
AOD
CBE
=
，
∵
(
)
3,4
A −
，
∴
2
2
3
4
5
OA =
+
=
，
4
AD =
，
3
OD = ，
∵
(
)
5,0
B
，BC
OB
=
，
∴
5
BC
OB
OA
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AOD
CBE
≌
，
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∴
4
AD
CE
=
=
，
3
=
=
BE
OD
，
∴
5 3
2
OE
OB
BE
=
−
= −=
，
∴
(
)
2,4
C
，
将点
(
)
3,4
A −
，
(
)
2,4
C
代入
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
得
4
9
3
4
4
2
a
b
a
b
=
−
=
+
，
解得：
2
3
2
3
a
b
=
=
，
∴
2
2
2
3
3
y
x
x
=
+
（3）解：∵
2
2
2
2
2
1
1
3
3
3
2
6
y
x
x
x
=
+
=
+
−
∴
1
C 的顶点坐标为：
1
1
,
2
6
−
−
，当
1
2
x
−
时，y 随x 的增大而增大，
∵把抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
的图象绕点
(
)
0
P m,
旋转180，得到相关抛物线
2
C 图象，
∴
2
C 的顶点坐标为：
1 1
2
,
2 6
m
+
，
∴
2
2
2
1
1
:
2
3
2
6
C
y
x
m
= −
−
−
+
，对称轴为直线
1
2
2
x
m
=
+
，
∵
2
C 图象的对称轴与x 轴交点坐标为(
)
,0
t
，
∴
1
2
2
t
m
=
+
，则
2
C 的顶点坐标为：
1
, 6
t
，
当
1
2
x
t
−
时，函数
1
C 最大值为
1y ，最小值为
2y ，
∴
2
1
2
1
1
3
2
6
y
t
+
−
=
，
2
1
6
y = −
，
1
2
t −
，
∵
1
2
6
y
y
−
=
∴
2
2
1
1
1
6
3
2
6
6
t
+
−
+
=
解得：
7
2
t = −
（舍去）或
5
2
t =
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∴
2
C 的顶点坐标为：
5 1
,
2 6
，
∴
2
2
5
1
3
2
6
y
x
= −
−
+
．
变式6-3 （24-25 九年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，若关于x 的函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c x
=
+
+
的图像记为
1
Q ，将
1
Q 的图像绕着原点旋转180得到图像
2
Q ，我们把
1
Q 和
2
Q 合起来的总图像称为
²
y
ax
bx
c
=
+
+
的“青一对称”图像．
(1)若
(
)
1010,
A
m
−
在
2
4
y
x
=
+
的“青一对称”图像上，则 m = ；
(2)若
(
)
,7
B n
在
2
4
5
y
x
x
=
−
−的“青一对称”图像上，求n 的值；
(3)当二次函数
2
2
y
x
x
t
=
−
+ 的“青一对称”图像与直线
1
y
x
=
+ 有且只有三个交点时，请求出t 的值或取值范
围．
【答案】(1) 2024
−
(2) n 的值为6 或2
2
−或
2
2
−
−
(3)t 的值或取值范围是
5
4
t =
或1
1
t
−
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解题题意，
并掌握相关知识．
（1）根据“青一对称”图像的定义求解即可；
（2）根据题意可求出
2
Q 的解析式为
(
)
2
2
2
9
4
5
y
x
x
x
= −
+
+
= −
−
+
，根据当
0
n
时，2
4
5
7
n
n
−
−
=
，当
0
n
时，
2
4
5
7
n
n
−
−
+
=
，即可求解；
（3）先求出
2
Q 的解析式为
(
)
2
2
1
1
2
y
x
t
x
x
t
= −
+
+ −= −
−
−，分情况讨论：①当直线
1
y
x
=
+ 与
2
Q ：
2
2
y
x
x
t
= −
−
−相切时，②.a 当
1
t = −时，.b 当
1
t = 时，分别求出直线
1
y
x
=
+ 与二次函数
2
2
y
x
x
t
=
−
+ 的“青
一对称”图像的交点情况即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：图像
2
Q 的函数解析式为
2
4
y
x−
=
，
当
1010
x = −
时，
(
)
2
1010
4
2024
y =
−
−
= −
，
2024
m = −
，
故答案为：2024
−
；
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（2）解：
(
)
2
² 4
5
2
9
y
x
x
x
=
−
−
=
−
−，
顶点坐标为(
)
2, 9
−
，
图像
2
Q 的顶点坐标为(
)
2,9
−
，
2
Q 的解析式为
(
)
2
2
2
9
4
5
y
x
x
x
= −
+
+
= −
−
+
，
(
)
,7
B n
在
2
4
5
y
x
x
=
−
−的“青一对称”图像上，
当
0
n
时，
2
4
5
7
n
n
−
−
=
，
解得：
6
n =
或
2
n = −（舍去），
当
0
n
时，
2
4
5
7
n
n
−
−
+
=
，
解得：
2
2
n =
−或
2
2
x = −
−，
n 的值为6 或2
2
−或
2
2
−
−；
（3）解：
(
)
2
2
2
1
1
y
x
x
t
x
t
=
−
+ =
−
+ −，
顶点坐标为(
)
1,
1
t −
，
将
1
Q 的图像绕着原点旋转180得到图像
2
Q ，
2
Q 的顶点坐标为(
)
1,1 t
−
−
，
2
Q 的解析式为
(
)
2
2
1
1
2
y
x
t
x
x
t
= −
+
+ −= −
−
−，
①当直线
1
y
x
=
+ 与
2
Q ：
2
2
y
x
x
t
= −
−
−相切时，即直线
1
y
x
=
+ 与
2
Q 的图像只有一个交点，则
2
2
1
x
x
t
x
−
−
−=
+ ，
整理得：
2
3
1
0
x
x
t
+
+ + =
，
(
)
2
Δ
3
4
1
0
t
=
−
+
=
，
解得：
5
4
t =
，
此时
1
Q 的解析式为：
2
5
2
4
y
x
x
=
−
+
，
联立直线
1
y
x
=
+ 与
1
Q 的解析式得：
2
5
2
1
4
x
x
x
−
+
=
+ ，
整理得：
2
1
3
0
4
x
x
−
+
=
，
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此时
(
)
2
1
Δ
3
4 1
8
0
4
= −
−
=
，
直线
1
y
x
=
+ 与
1
Q 的图像只有两个交点，
当
5
4
t =
时，二次函数
2
2
y
x
x
t
=
−
+ 的“青一对称”图像与直线
1
y
x
=
+ 有且只有三个交点；
②.a 当
1
t = −时，
1
Q 的解析式为
2
2
1
y
x
x
=
−
−，
2
Q 的解析式为
2
2
1
y
x
x
= −
−
+ ，
联立直线
1
y
x
=
+ 与
1
Q 的解析式得：
2
2
1
1
y
x
x
y
x
=
−
−
=
+
，
解得：
17
3
2
17
5
2
x
y
+
=
+
=
或
17
3
2
17
5
2
x
y
−
+
=
−
+
=
（不合题意，舍去），
此时直线
1
y
x
=
+ 与
1
Q 的图像只有一个交点
17
3
17
5
,
2
2
+
+
，
联立直线
1
y
x
=
+ 与
2
Q 的解析式得：
2
2
1
1
y
x
x
y
x
= −
−
+
=
+
，
解得：
0
1
x
y
=
=
或
3
2
x
y
= −
= −
，
当
1
t = −时，
2
Q 的图像与直线
1
y
x
=
+ 有两个交点(
)
0,1 和(
)
3, 2
−
−
，
当
1
t = −时，二次函数
2
2
y
x
x
t
=
−
+ 的“青一对称”图像与直线
1
y
x
=
+ 只有三个交点；
.b 当
1
t = 时，
1
Q 的解析式为
2
2
1
y
x
x
=
−
+ ，
2
Q 的解析式为
2
2
1
y
x
x
= −
−
−，
联立直线
1
y
x
=
+ 与
1
Q 的解析式得：
2
2
1
1
y
x
x
y
x
=
−
+
=
+
，
解得：
0
1
x
y
=
=
或
3
4
x
y
=
=
，
此时直线
1
y
x
=
+ 与
1
Q 的图像只有两个交点(
)
0,1 和(
)
3,4 ，
联立直线
1
y
x
=
+ 与
2
Q 的解析式得：
2
2
1
1
y
x
x
y
x
= −
−
−
=
+
，
解得：
1
0
x
y
= −
=
或
2
1
x
y
= −
= −，
此时直线
1
y
x
=
+ 与
2
Q 的图像只有两个交点(
)
1,0
−
和(
)
2,1
−
，，
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当
1
t = 时，二次函数
2
2
y
x
x
t
=
−
+ 的“青一对称”图像与直线
1
y
x
=
+ 有四个交点；
当1
1
t
−时，二次函数
2
2
y
x
x
t
=
−
+ 的“青一对称”图像与直线
1
y
x
=
+ 有且只有三个交点；
综上所述，t 的值或取值范围是
5
4
t =
或1
1
t
−．
题型7、对称后的二次函数图象
典例7 抛物线
2
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 过
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
两点，交y 轴于点C ，连结BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若OCB
以每秒2 5 个单位长度的速度沿射线BC 方向运动，设运动时间为t ，点O，B ，C 的
对应点分别为D ，P ，Q ，DP交抛物线于点M ．当点M 为DP的中点时，求t 的值；
（3）如图2，将抛物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点E ，直接写出点E 的坐标．
【答案】（1）
2
2
4
6
y
x
x
= −
+
+ ；（2）
15
4
；（3）E（0，97
32 ）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由已知得：OC=2OB，连接OD，过D 作DF⊥x 轴，垂足为F，求出点D 坐标，从而得到点P 坐标，
即可得到点M 坐标，代入抛物线表达式即可解出t 值；
（3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式，如图3，在BC 上方的抛物线图象取点E 的对称点E′，过点E′
作y 轴的平行线交直线BC 于点G．构造等腰三角形E′CG，则E′C=E′G．故设点E（n，-2n2+4n+6），则G
（n，-2n+6）．由此得到方程：n2+（-2n2+4n）2=（-2n2+6n）2．通过解方程求得n 的值，代入求得E 的坐标
即可．
【详解】解：（1）∵抛物线
2
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 过
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，
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则
2
0
2
0
2 3
3
b
c
b
c
= −−+
= −
+
+
，解得：
4
6
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为：
2
2
4
6
y
x
x
= −
+
+ ；
（2）∵
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，
(
)
0,6
C
，
∴OC=2OB，
连接OD，过D 作DF⊥x 轴，垂足为F，
由题意可知：BC∥OD，
∴∠OBC=∠FOD，
即tan∠OBC=tan∠FOD，
则OC
DF
OB
OF
=
，
∴DF=2OF，
∵△OCB 以每秒2 5 个单位长度沿射线BC 方向运动，
∴BP=OD= 2 5 t，
在△ODF 中，DF2+OF2=OD2，
∴（2OF）2+OF2=（2 5 t）2，
解得：OF=2t，
∴DF=4t，
当运动时间为t 秒时，则D（-2t，4t），
∵DP∥x 轴，
∴P（3-2t，4t），
∵点M 为DP 的中点，
∴M（3
2
2
t
−
，4t），
∵M 点在抛物线上，代入，
∴
2
3
3
4
2
2
4
2
6
2
2
t
t
t
，
解得：t=
15
4
或
15
4
−
（舍）；
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（3）∵B（3，0），C（0，6），
设直线BC 的表达式为：y=mx+n，
则
0=3
6
m
n
n
+
=
，
解得：
2
6
m
n
= −
=
，
∴直线BC 的表达式为y=-2x+6，
如图3，在BC 上方的抛物线图象取点E 的对称点E′，过点E′作y 轴的平行线交直线BC 于点G．
由题意得：∠ECB=∠E′CB，E′C=EC．
∵CO∥E′G，
∴∠ECB=∠CGE′．
∵∠ECB=∠E′CB，∠ECB=∠CGE′．
∴∠E′CB=∠CGE′．
∴E′C=E′G．
设点E′（n，-2n2+4n+6），则G（n，-2n+6）．
∴E′G=-2n2+6n，E′C2=n2+（-2n2+4n）2．
∵E′C=E′G，
∴E′C2=E′G2，
即：n2+（-2n2+4n）2=（-2n2+6n）2．
解得：n=19
8 或0（舍），
∴E′G= 95
32 ，
∴E′C=E′G=EC= 95
32 ，
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∴E（0，97
32 ）．
【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数的解析式的求法以及与几何图形结合的综合能力的培养；要
会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段
之间的关系．
题型模版
1.特征：抛物线关于 x 轴、y 轴或某条竖直线对称后，求新解析式或利用对称性质求参数．
2.方法：关于 x 轴对称：a、c 变号，对称轴不变；关于 y 轴对称：b 变号，对称轴相反；关于直线 x=m
对称：顶点横坐标变为 2m−h，开口方向不变；结合图象验证．
变式7-1 已知抛物线
2
5
6
y
x
x
= −
+
−
，在1
5
x
之间的部分记为图象
1T ，将图象
1T 沿直线
1
x = 对折得到图
象
2
T ，图象
1T 和
2
T 合成图象T .若过y 轴上的点
(
)
0
M
m
，
且与y 轴垂直的直线l 与图象T 有且只有两个公共
点，则m 的取值范围是____________．
【答案】
1
4
m =
或6
2
m
−
−
【分析】将抛物线化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线
5
2
x =
，顶点为5 1
2 4
，，分别求出
1
x = 和
5
x = 时y
的值，从而可得在1
5
x
时，y 的最大值为1
4 ，最小值为6
−，根据题意画出图象T ，再根据若过y 轴上的
点
(
)
0
M
m
，
且与y 轴垂直的直线l 与图象T 有且只有两个公共点，结合图象即可得到答案．
【详解】解：
(
)
2
2
2
2
25
25
5
1
5
6
5
6
5
6
4
4
2
4
y
x
x
x
x
x
x
x
= −
+
−
= −
−
−
= −
−
+
+
−
= −
−
+
，
抛物线的对称轴为直线
5
2
x =
，顶点为5 1
2 4
，，
当
1
x = 时，
2
y = −，当
5
x = 时，
6
y = −，
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在1
5
x
时，y 的最大值为1
4 ，最小值为6
−，
在1
5
x
之间的部分记为图象
1T ，将图象
1T 沿直线
1
x = 对折得到图象
2
T ，图象
1T 和
2
T 合成图象T ，
画出图形如图所示：
若过y 轴上的点
(
)
0
M
m
，
且与y 轴垂直的直线l 与图象T 有且只
有两个公共点，
由图象可知：
1
4
m =
或6
2
m
−
−，
m 的取值范围为：
1
4
m =
或6
2
m
−
−
故答案为：
1
4
m =
或6
2
m
−
−．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想
解题，是解此题的关键．
变式7-2 在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
3
y
ax
x
=
+
+ 与x 轴相交于点
(
)
1,0
A −
和点B ．
(1)求a 的值；
(2)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2 倍，我们称这个点为“倍值点”．求
抛物线
2
2
3
y
ax
x
=
+
+ 上的“倍值点”的坐标；
(3)如图1，将此抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新
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函数的图象（如图2）记为M ．
①直接写出新函数图象M 对应的函数解析式；
②当0
x
m
时，图象M 上函数的最小值是
1
2
t
−
，最大值是9
2
t
−，求m 的取值范围．
【答案】(1) 1
−
(2)(
)
3,2 3 和(
)
3, 2 3
−
−
(3)①
(
)
(
)
2
2
2
3
1
3
2
3
1
3
x
x
x
y
x
x
x
x
−
+
+
−
=
−
−
−
或
；②3
1 2 2
m
+
【分析】（1）把
(
)
1,0
A −
代入
2
2
3
y
ax
x
=
+
+ ，即可求解；
（2）设这个“倍值点”的坐标为(
)
,2
m
m ，将(
)
,2
m
m 代入
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，求出m 的值，即可求解；
（3）①根据折叠的性质，即可求解；②根据二次函数的图象和性质解答即可．
【详解】（1）解：把
(
)
1,0
A −
代入
2
2
3
y
ax
x
=
+
+ ，得：
2 3
0
a−+ =
，
1
a
= −．
（2）解：由（1）得该抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
设这个“倍值点”的坐标为(
)
,2
m
m ，
将(
)
,2
m
m 代入
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，得
2
2
3
2
m
m
m
−
+
+
=
．
解得
3
m =
．
∴抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 上的“倍值点”的坐标是(
)
3,2 3 和(
)
3, 2 3
−
−
．
（3）解：①对于
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
当
0
y =
时，
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
，
解得：
1
2
1,
3
x
x
= −
=
，
∴点
(
)
3,0
B
，
∵
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
∴原函数图象的顶点坐标为(
)
1,4 ，
∴折叠后的抛物线的顶点坐标为(
)
1, 4
−
，
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∵将此抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，
∴当
1
x
−
或
3
x 时，该部分函数解析式为
(
)
2
2
1
4
2
3
y
x
x
x
=
−
−
=
−
−，
当1
3
x
−
时，该部分函数解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
综上所述，新函数图象M 对应的函数解析式为
(
)
(
)
2
2
2
3
1
3
2
3
1
3
x
x
x
y
x
x
x
x
−
+
+
−
=
−
−
−
或
；
②由①得
(
)
3,0
B
，
(
)
(
)
2
2
2
3
1
3
2
3
1
3
x
x
x
y
x
x
x
x
−
+
+
−
=
−
−
−
或
，
如图所示，
当0
1
x
时，y 随x 的增大而增大；
当1
3
x
时，y 随x 的增大而减小；
当
3
x
时，y 随x 的增大而增大，且当
3
x = 时，y 取得最小值为0．
∵当0
x
m
时，图象M 上函数的最小值是
1
2
t
−
，
1
2
0
t
−
=
，
1
2
t
=
，
此时，图象M 上函数的最大值是9
4
2
t
−=
，
在
2
2
3
y
x
x
=
−
−中，令
4
y =
，得
2
2
3
4
x
x
−
−
=
，
解得，
1
1
2 2
x = +
，
2
1
2 2
x = −
（舍去）．
m
的取值范围是3
1 2 2
m
+
．
变式7-3 （25-26 九年级上·江苏无锡·阶段检测）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m ，当自变量x
≥m 时，函数y 关于x 的函数图象为
1
G ，将
1
G 沿直线x
m
=
翻折后得到的函数图象为
2
G ，函数G 的图象由
1
G
和
2
G 两部分共同组成，则函数G 为原函数的“对折函数”，如函数
(
)
2
y
x x
=
的对折函数为
(
2)
4(
2)
x x
y
x
x
= −+
．
(1)求函数
2
(
2)
16(
2)
y
x
x
=
−
−
−
的对折函数；
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(2)若点
( ,4)
P m
在函数
2
(
2)
16(
2)
y
x
x
=
−
−
−
的对折函数的图象上，求m 的值；
(3)当函数
2
(
2)
16(
)
y
x
x
n
=
−
−
的对折函数与x 轴有两个不同的交点时，直接写出n 的取值范围为 ．
【答案】(1)
(
)
2
2
(
2)
16
2
(
6)
16
(
2)
x
x
y
x
x
−
−
−
=
+
−
−
；
(2)
2
2 5
m =
+
或
6
2 5
m = −−
．
(3) 2
6
n
−
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数图象的翻折变换、函数与x 轴的交点问题，熟练掌握
函数图象的翻折规律及分类讨论思想是解题的关键．
（1）先求原函数与x 轴的交点，确定翻折后的顶点坐标，进而得到翻折后的函数表达式，从而写出对折函
数．
（2）分两种情况（
2
m −和
2
m −），将点(
)
,4
P m
代入对折函数的对应表达式求解．
（3）分析原函数与x 轴的交点，结合翻折后的图象，分类讨论n 的取值范围，使对折函数与x 轴有两个不同
交点．
【详解】（1）解：∵函数
2
(
2)
16(
2)
y
x
x
=
−
−
−
，
∴顶点为(
)
2, 16
−
，
∴函数
2
(
2)
16(
2)
y
x
x
=
−
−
−
沿直线
2
x = −翻折后，顶点坐标变为(
)
6, 16
−
−
，
∴翻折后的函数表达式为
2
(
6)
16
y
x
=
+
−
．
∴对折函数为
(
)
2
2
(
2)
16
2
(
6)
16
(
2)
x
x
y
x
x
−
−
−
=
+
−
−
；
（2）解：当
2
m −时，把点
( ,4)
P m
代入
2
(
2)
16
y
x
=
−
−
得
∵
2
4
(
2)
16
m
=
−
−
，
∴
2
(
2)
20
m−
=
，
∴
2
2 5
m =
+
或
2
2 5
m =
−
（舍去，因2
2 5
2
−
−）．
当
2
m −时，把点
( ,4)
P m
代入
2
(
6)
16
y
x
=
+
−
得
∵
2
4
(
6)
16
m
=
+
−
，
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∴
2
(
6)
20
m+
=
，
∴
6
2 5
m = −+
（舍去，因6
2 5
2
−+
−）或
6
2 5
m = −−
．
综上，
2
2 5
m =
+
或
6
2 5
m = −−
．
（3）解：令
2
(
2)
16
0
y
x
=
−
−
=
，
解得
6
x =
或
2
x = −．
∴原函数
2
(
2)
16
y
x
=
−
−
与x 轴交点为
(
)
6,0
A
、
(
)
2,0
B −
．
如图，由图可得
当
2
n −时，对折函数与x 轴有4 个交点；
当
2
n = −时，有3个交点；
当2
6
n
−
时，对折函数与x 轴有2 个交点；
当
6
n =
时，有1个交点；
当
6
n
时，无交点；
∴当函数
2
(
2)
16(
)
y
x
x
n
=
−
−
的对折函数与x 轴有两个不同的交点时，n 的取值范围是2
6
n
−
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
29．
（25-26 九年级上·安徽黄山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数y
bx
a
=
−（,a b 为常数，
0
ab
）
的图像与二次函数
2
y
ax
bx
c
=
−
+ 的图像可能是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图像的性质，掌握一次函数图像与比例系数、常数项的关系，
二次函数图像与二次项系数、一次项系数、常数项的关系是关键．
根据一次函数图像所在象限判定,a b 的符号，从而得到二次函数图像的开口，对称轴的位置，由此即可求解．
【详解】解：A、一次函数y
bx
a
=
−
的图像经过第一、三、四象限，y 随x 的增大而增大，则
0,
0
b
a
−
，
即
0,
0
b
a
−
，
∴二次函数
2
y
ax
bx
c
=
−
+ 中，
0,
0
2
b
a
a
−
−
，图像开口向上，对称轴直线在y 轴右侧，故该选项不符合题
意；
B、一次函数y
bx
a
=
−
的图像经过第一、二、三象限，y 随x 的增大而增大，则
0,
0
b
a
−
，即
0,
0
b
a
−
，
∴二次函数
2
y
ax
bx
c
=
−
+ 中，
0,
0
2
b
a
a
−
−
，图像开口向下，对称轴直线在y 轴左侧，故该选项不符合题
意；
C、一次函数y
bx
a
=
−
的图像经过第一、二、四象限，y 随x 的增大而减小，则
0,
0
b
a
−
，即
0,
0
b
a
−
，
∴二次函数
2
y
ax
bx
c
=
−
+ 中，
0,
0
2
b
a
a
−
−
，图像开口向下，对称轴直线在y 轴右侧，故该选项符合题意；
D、一次函数y
bx
a
=
−
的图像经过第一、二、四象限，y 随x 的增大而减小，则
0,
0
b
a
−
，即
0,
0
b
a
−
，
∴二次函数
2
y
ax
bx
c
=
−
+ 中，
0,
0
2
b
a
a
−
−
，图像开口向下，对称轴直线在y 轴左侧，故该选项不符合题
意；
故选：C．
30．如图，抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x，y 轴的交点分别为点A 和点B，其对称轴为直线
1
x = ，点P 是其对
称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2
0
a
b
+
=
；②
3
x = 是
2
3
0
ax
bx
+
+
=
的一个根；
③PAB
周长的最小值是10
3
+ ；④此函数的最大值为5．其中正确的是（ ）
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A．①②③④
B．①②③
C．①②
D．②③④
【答案】C
【分析】根据对称轴公式可判断①；根据对称性可求出抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(
)
3,0 ，据此可
判断②；设
(
)
3,0
C
，连接
,
BC PC ，由对称性可得AP
CP
=
，则当B、P、C 三点共线时，PAB
周长有最
小值，最小值是AB
BC
+
，求出点B 的坐标，再利用两点间的距离公式求出
,
AB BC 的长即可判断③；把点
A 的坐标代入二次函数的解析式结合
2
b
a
= −
求出a、b 的值，再把解析式化为顶点式即可判断④．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线
1
x = ，
∴
1
2
b
a
−
= ，
∴
2
b
a
= −
，
2
0
a
b
+
= ，故①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(
)
1,0
−
，对称轴为直线
1
x = ，
∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(
)
3,0 ，即
3
x = 是方程
2
3
0
ax
bx
+
+
=
的一个根，故②正确；
如图所示，设
(
)
3,0
C
，连接
,
BC PC ，
由对称性可得AP
CP
=
，
∴PAB
的周长
AP
BP
AB
CP
BP
AB
BC
AB
=
+
+
=
+
+
+
，
∴当B、P、C 三点共线时，PAB
周长有最小值，最小值是AB
BC
+
，
在
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 中，当
0
x =
时，
3
y =
，
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∴
(
)
0,3
B
，
∵
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
C
，
∴
(
)
(
)
2
2
1 0
0
3
10
AB =
−−
+
−
=
(
)
(
)
2
2
3
0
0
3
3 2
BC =
−
+
−
=
，
PAB
周长的最小值是10
3 2
+
，故③不正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(
)
1,0
−
，
∴当
1
x = −时，
0
y =
，
∴
3
0
a
b
−+ =
，
又∵
2
b
a
= −
，
∴
(
)
2
3
0
a
a
−−
+
=
1
a
= −，
∴
2
b = ，
∴二次函数的关系式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
∴当
1
x = 时，y 的最大值为4，故④不正确；
综上所述，正确的有①②．
31．已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象关于直线
0
x
x
=
对称．若该抛物线与直线y
x
=
交于点(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
，且
1
2
1
0
x
x
a
，则下列说法正确的是（ ）
A．
1
0
2
x
x
B．
1
2
0
2
2
x
x
x
C．
2
0
2
2
x
x
x
D．
0
2
x
x
【答案】A
【分析】先联立抛物线与直线的方程得到一元二次方程，利用根与系数关系得到两根和的表达式，结合抛
物线对称轴公式推导
0x 的表达式，再结合已知条件比较大小即可．
【详解】解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与直线y
x
=
交于
,
A B 两点，
∴联立得
2
ax
bx
c
x
+
+
=
，
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整理得
(
)
2
1
0
ax
b
x
c
+
−
+
=
，
∵该方程的两个根为
1
2
,
x x ，
∴
1
2
1 b
x
x
a
−
+
=
，
整理得
(
)
1
2
1
b
a x
x
= −
+
，
又∵抛物线对称轴为
0
2
b
x
a
= −
，
将b 代入得：
(
)
1
2
1
2
0
1
1
2
2
2
a x
x
x
x
x
a
a
−
+
+
= −
=
−
，
∵
1
2
1
0
x
x
a
，
∴
2
1
x
a
，即
2
1
2
2
x
a
，
∴
1
2
1
2
2
1
0
1
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
a
+
+
=
−
−
=
，即
1
0
2
x
x
．
32．（25-26 九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与对称
轴直线x
m
=
交于点A，与x、y 轴交于B、C、D 三点，下列命题正确的是（ ）
①
0
abc
；
②若OD
OC
=
，则
1
0
ac
b
+ + =
；
③对于任意
0x （
0x
m
），始终有
2
2
0
0
ax
bx
am
bm
+
+
；
④若OB
m
=
，
1x ，
2x （
1
2
x
x
）为方程(
)(
)
3
3
0
a x
m
x
m
+
−
−
=
的两个根，则
1x
m
−
且
2
3
x
m
．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与x 轴的交点问题及二次函数与一元二次方程的关系．判断
命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．根据二次函数的性质和图象得出信息进行判
断即可．
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【详解】解：由图象得：
0
a
，
0
c
，
0
2
b
a
−
，
∴
0
b
，
∴
0
abc
，
故①正确；
OD
OC
=
，
cx
c
= −，
2
(
)
(
)
0
a
c
b
c
c
−
+
−
+
=
，
1
0
ac
b
−+ = ，故②错误，
0
a
，
当x
m
=
时，函数的值最小，
对于任意
0
0
(
)
x x
m
，始终有
2
2
0
0
ax
bx
am
bm
+
+
，故③正确，
OB
m
=
，对称轴为直线x
m
=
，
函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴交点坐标为
(
)
(
)
,0 ,
3 ,0
B
m
C
m
−
，
将方程(
)(
)
3
3
0
a x
m
x
m
+
−
−
=
变形为(
)(
)
3
3
a x
m
x
m
+
−
= ，如图所示，
可得
1x
m
−
且
2
3
x
m
，故④正确，
故选：C ．
33．如图所示，已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直
线
1
x = ，直线y
x
c
= −+ 与抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 交于C 、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列
结论：①2
0
a
b
c
+ +
；②
0
a
b
c
−+ =
；③(
)
x ax
b
a
b
+
+ ；④
1
a
−
．其中正确的有（ ）
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A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象的判断．结合抛物线的开口方向、与y 轴的交点位置即
可判断a、c 的符号，根据对称轴即可判断a、b 的关系，此时即可判断①；根据当
1
x = 时，二次函数值取
最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D 的横坐标，根据该横坐标小于3 即可判
断④；根据对称性可知
1
x = −与
3
x = 时的函数值相等，再结合
3
x = 时函数值的符号，即可判断②．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y 轴正半轴交于点(
)
0,c ，
∴
0
a
，
0
c
，
∵对称轴为直线
1
x = ，
∴
1
2
b
a
−
= ，即
2
b
a
= −
，
∴
(
)
2
2
2
0
a
b
c
a
a
c
c
+
+
=
+ −
+
=
，①正确；
当
1
x = 时，
2
y
ax
bx
c
a
b
c
=
+
+
=
+
+
∵抛物线开口向下，对称轴为直线
1
x = ，
∴当
1
x = 时，二次函数值取最大值，
∴
2
ax
bx
c
a
b
c
+
+
+
+ ，即
2
ax
bx
a
b
+
+
，
∴(
)
x ax
b
a
b
+
+ ，③正确；
对于直线y
x
c
= −+ ，当
0
y
x
c
= −+
=
时，x
c
=
即直线与x 轴交于点(
)
,0
c
，
联立：
2
2
y
ax
ax
c
y
x
c
−
=
−
+
=
+
，即
(
)
2
1 2
0
ax
a x
+
−
=
，
解得：
1
2
0
1
2
x
x
a
=
=
−
，即
1
2
D
x
a
=
−
，
∵结合图象有：
D
c
x
，
0
a
，
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∴
1
2
3
a
−
，解得：
1
a
−
，④正确；
对于抛物线，当
3
x = 时，结合图象有函数值
0
y
，
∵抛物线对称轴为直线
1
x = ，
∴
1
x = −与
3
x = 时的函数值相等，
∴当
1
x = −时，
0
y
a
b
c
−
=
+
，②错误，
正确的有①③④．
34．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a ，b ，c 为常数，
0
a
）的对
称轴为直线
1
x = −，且该抛物线与x 轴相交于点(
)
1,0
A
，与y 轴的交点B 在(
)
0, 2
−
和(
)
0, 3
−
之间（不含端点），
有下列结论：①
0
abc
；②9
3
0
a
b
c
−
+
；③2
1
3
a
；④若方程
2
1
ax
bx
c
x
+
=
+
+
两根为m ，(
)
n m
n
，
则3
1
m
n
−
．其中正确的是（ ）
A．④
B．③④
C．①②④
D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，
掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与x 轴的
交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可．
【详解】解：由图可知抛物线开口向上，
0
a
，对称轴为直线
1
2
b
x
a
= −
= −，即
2
b
a
=
，
∴
0
b
，
∵与y 轴的交点B 在(
) (
)
0, 2 , 0, 3
−
−
之间（不含端点），
∴3
2
0
c
−
−
，
∴
0
abc
，故①不正确；
对称轴为直线
1
x = −，且该抛物线与x 轴交于点(
)
1,0
A
，
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∴与x 轴交于另一点为(
)
3,0
−
，
∴当
3
x
−
=
时，
9
3
0
y
a
b
c
=
−
+
=
，故②不正确；
由题意可得方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
的两个根为
1
2
1,
3
x
x
=
= −，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可知：
1 2
3
c
x x
a
=
= −，
∴
3
c
a
= −
，
∵3
2
c
−
−，
∴3
3
2
a
−−
−，解得：2
1
3
a
，故③正确；
由方程
2
1
ax
bx
c
x
+
=
+
+
的两个根，可看作直线
1
y
x
=
+ 与函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的交点，如图，
由图象可知：若方程
2
1
ax
bx
c
x
+
=
+
+
两根为
(
)
,
m n m
n
，则3
1
m
n
−
，故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，
故答案为：B．
35．（25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如下表格是抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 上部分点(
)
,x y 的横、纵坐标信
息．
x
…
2
−
1
−
0
1
2
3
…
y
…
m
p
1
q
n
t
…
(1)若
0
m
t
= =
，请求出抛物线的表达式；
(2)若m
n
=
，且p
t
，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值；
(3)若
1
t = ，且对于符合
1
1
0
x
−
，
2
4
5
x
的任意实数
1x ，
2x ，其对应的函数值
1y ，
2y 始终满足
1
2
0
y y
，
求a 的值．
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【答案】(1)
2
1
1
1
6
6
y
x
x
= −
+
+
(2)该函数有最小值，最小值为1
(3)
1
4
a = −
【分析】（1）若
0
m
t
= =
，则抛物线与x 轴的交点坐标为(
)
2,0
−
，(
)
3,0 ，可设成交点式
(
)(
)
2
3
y
a x
x
=
+
−
，
将将点(
)
0,1 代入，求得
1
6
a = −
，进而可得抛物线的表达式．
（2）由m
n
=
可得该抛物线的对称轴为
0
x =
，设
2
1
y
ax
=
+ ，则可得
1
p
a
=
+ ，
9
1
t
a
=
+ ，
由p
t
可求得
0
a
，由此可得抛物线开口向上，该函数有最小值，最小值为1；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线
1.5
x =
，不妨设该抛物线的函数表达式为
(
)(
)
1
4
y
a x
x
=
+
−
，代入(
)
0,1
求得
1
4
a = −
．
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关
键．
【详解】（1）解：若
0
m
t
= =
，则抛物线与x 轴的交点坐标为(
)
2,0
−
，(
)
3,0 ，
设抛物线的表达式为
(
)(
)
2
3
y
a x
x
=
+
−
，
将点(
)
0,1 代入，得6
1
a
−
= ，
解得
1
6
a = −
，
∴抛物线的表达式
(
)(
)
1
2
3
6
y
x
x
= −
+
−
，即
2
1
1
1
6
6
y
x
x
= −
+
+ ；
（2）解：∵m
n
=
，
∴抛物线的对称轴为
2
2
0
2
x
−
+
=
=
，且过点(
)
0,1 ，
设
2
1
y
ax
=
+ ，
当y
p
=
时，
(
)
2
1
1
1
p
a
a
=
−
+ =
+ ，
当y
t
= 时，
23
1
9
1
t
a
a
=
+ =
+ ，
∵p
t
，
∴
1
9
1
a
a
+
+ ，
解得
0
a
，
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∴抛物线开口向上，该函数有最小值，最小值为1；
（3）解：当
1
t = 时，抛物线经过点(
)
0,1 和(
)
3,1 ，
∴该抛物线的对称轴为直线
1.5
x =
，
∵点(
)
0,1 关于该对称轴对称的点的坐标是(
)
3,1 ，点(
)
1,0
−
关于该对称轴对称的点的坐标是(
)
4,0 ，且对于符
合
1
1
0
x
−
，
2
4
5
x
的任意实数
1x ，
2x ，其对应的函数值
1y ，
2y 始终满足
1
2
0
y y
，
∴
1
1
0
x
−
时与
2
3
4
x
时，y 的符号相同，与
2
4
5
x
时y 的符号相反
∴该抛物线经过点(
)
1,0
−
和(
)
4,0 ，
设该抛物线的函数表达式为
(
)(
)
1
4
y
a x
x
=
+
−
，
代入(
)
0,1 ，得(
)(
)
0
1
0
4
1
a
+
−
= ，
解得
1
4
a = −
．
36．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数
2
2
3
y
ax
ax
a
=
+
−
（常数
0
a
）．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)若2
5
x
−
．
①当
0
a
时，该函数的最小值为8
−，求a 的值；
②当a 分别取
(
)
1
2
1
2
a
a
a
a
，
时，两个函数的最小值相等，求
1
2
，
a
a 的数量关系．
【答案】(1)直线
1
x = −
(2)①
2
a =
；②
1
2
8
a
a
= −
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当
1
x = −时，该函数最小值为
4
y
a
= −
求解即可；②由称轴在直线
2
x = −与
5
x = 之间可知当
1
2
0
a
a
或
2
1
0
a
a
时，则两条抛物线的顶点相同，即
1
2
a
a
=
（不合题意），则
1
2
0
,0
a
a
，分别求出最
小值即可求解．
【详解】（1）解：∵
2
2
3
y
ax
ax
a
=
+
−
，
∴对称轴为直线
2
1
2
a
x
a
= −
= −，
（2）解：①
0
a
，
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∴抛物选开口向上，
2
1
5
−−
，
∴当
1
x = −时，该函数最小值为
2
3
4
y
a
a
a
a
=
−
−
= −
∵该函数的最小值为8
−，
4
8
a
−
= −
，
∴
2
a =
，
②∵抛物线对称轴在直线
2
x = −与
5
x = 之间，且两个函数的最小值相等
当
1
2
0
a
a
或
2
1
0
a
a
时，则两条抛物线的顶点相同，即
1
2
a
a
=
（不合题意）
1
2
0,
0
a
a
当
1
0
a
时，
(
)
(
)
2
1
1
1
1
1
2
1
3
4
y
a
a
a
a
=
−
+
−
−
= −
最小
当
2
0
a
时，
2
2
2
2
2
5
2
5
3
32
y
a
a
a
a
=
+
−
=
最小
∵两个函数的最小值相等，
1
2
4
32
a
a
−
=
，即
1
2
8
a
a
= −
【点睛】本题考查二次函数的对称轴与最值，涉及的知识点是二次函数的对称轴公式、顶点式变形、函数
的增减性．解题中用到的方法是 “顶点式分析法”，通过将函数化为顶点式，快速确定对称轴与最值；解题
关键是根据a 的符号判断函数的开口方向，进而确定最值的位置．易错点是忽略a 的符号对函数开口方向的
影响，误判最值的位置．
37．（2025 九年级·浙江·学业考试）在直角坐标系中，设函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a，b，c 是常数，
0
a
）．
(1)若
2
a = −，且函数图象经过( 1,0)
−
和(3, 8)
−
两点，求函数y 的表达式及其图象的对称轴；
(2)若将函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象先向左平移(
)
0
h h
个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到函数
2
2
y
x
=
的图象，求ab
c
+ 的最小值；
(3)若函数图象经过点(
) (
)
1,
,
4,
m
n
−
−
和( , )
t c ，且
,
0
c
n
m t
，求t 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
2
4
y
x
x
= −
+
+ ，对称轴：
1
2
x =
(2) 10
−
(3) 5
4
t
−
−
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移、不等式的性质：
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（1）利用待定系数法即可求解函数表达式，利用二次函数图象性质可求对称轴；
（2）根据图象平移对函数表达式的影响，逆推出函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的表达式，从而得到答案；
（3）将(
) (
)
1,
,
4,
m
n
−
−
代入函数表达式，再结合c
n
m
即可求
b
a
−
的范围，再根据(
) (
)
0,
,
,
c
t c 均在函数图
象上可求函数对称轴，据此即可求出t 的范围．
【详解】（1）解：
2
a = −
，
2
2
y
x
bx
c
= −
+
+ ．
将( 1,0)
−
和(3, 8)
−
两点坐标代入
2
2
y
x
bx
c
= −
+
+ ，得
0
2
8
18
3
b
c
b
c
= −−+
−= −
+
+
解得
2
4
b
c
=
=
函数表达式为
2
2
2
4
y
x
x
= −
+
+ ，
图象的对称轴为直线
1
2
x =
；
（2）解：由题意得，将函数
2
2
y
x
=
的图象先向右平移(
)
0
h h
个单位长度，再向下平移2 个单位长度得到
函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象，
函数
2
2
y
x
=
图象平移后所得的函数图象的表达式为
(
)
2
2
2
y
x
h
=
−
−
，
即
2
2
2
4
2
2
y
x
hx
h
=
−
+
−，
2
2,
4 ,
2
2
a
b
h c
h
=
= −
=
−，
(
)
2
2
8
2
2
2
2
10
ab
c
h
h
h
+
= −
+
−
=
−
−
，
当
2
h =
时，ab
c
+ 的最小值为10
−
；
（3）解：∵函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象经过点(
) (
)
1,
,
4,
m
n
−
−
，
∴
16
4
m
a
b
c
n
a
b
c
=
−+
=
−
+
，
c
n
m
，
16
4
c
a
b
c
a
b
c
−
+
−+ ，
即
0
16
4
16
4
a
b
a
b
a
b
−
−
−
，
解得5
4
a
b
a
，
∴
0
a
，
∴
0
a
−
，
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∴5
4
a
b
a
a
a
a
−
−
−，即5
4
b
a
−−
−．
∵当
0
x =
时，y
c
=
，且当x
t
= 时，y
c
=
，
∴二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的对称轴为
0
2
2
t
t
x
+
=
=
，
又∵
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的对称轴也为
2
b
x
a
= −
，
∴2
2
t
b
a
= −
，
∴
b
t
a
−
=
，
t
的取值范围为5
4
t
−
−
．
38．抛物线
2
2
8
y
x
x
= −
+
+ 交x 轴于A，B 两点(A 在B 的左边)，交y 轴于点C．
(1)直接写出A，B，C 三点的坐标；
(2)如图（1），作直线
(
)
0
4
x
t
t
=
，分别交x 轴，线段BC ，抛物线于D，E，F 三点，连接CF ，若BDE
与CEF
相似，求t 的值；
(3)如图（2），将抛物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点G，求点G 的坐标．
【答案】(1) (
)
2,0
A −
，
(
)
4,0
B
，
(
)
0,8
C
(2)2 或3
2
(3)
73
0,16
G
【分析】（1）分别令
0
y =
、
0
x =
解方程即可求解；
（2）分两种情况：若
1
1
1
1
BD E
CF E
∽
时，根据坐标与图形得
1F 和C 的纵坐标相等，进而列方程求解即可；
若
2
2
2
2
BD E
F CE
∽
时，过
2
F 作
2F T
y
⊥
轴于T，证明
2
F TC
COB
∽
，根据相似三角形的性质和坐标与图形
性质列方程求解即可；
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（3）先求得直线BC 的表达式，设
(
)
0,
G
t ，
(
)
,
G
x y
，证明GCH
BCO
∽
，CTH
COB
∽
得到CG
CH
BC
OC
=
，
HT
CH
OB
BC
=
，解得
16
2
5
t
HT
−
=
，即H 的横坐标为
16
2
5
H
t
x
−
=
，进而求得点H 的坐标为16
2
8
4
,
5
5
t
t
−
+
，利
用对称性质和中点坐标公式求得
32
4
16
3
,
5
5
t
t
G
−
+
，代入抛物线解析式中求解m 值即可上．
【详解】（1）解：当
0
y =
时，由
2
0
2
8
x
x
= −
+
+ 得
1
2
x = −，
2
4
x =
，
当
0
x =
时，
8
y =
，
∴(
)
2,0
A −
，
(
)
4,0
B
，
(
)
0,8
C
；
（2）解：如图，根据题意，设(
)
2
,
2
8
F t
t
t
−
+
+
，
若
1
1
1
1
BD E
CF E
∽
时，则
1
1
1
1
90
CF E
BD E
=
=
，
∴
2
2
8
8
t
t
−
+
+
= ，解得
2
t =
或
0
t =
（舍去）；
若
2
2
2
2
BD E
F CE
∽
时，则
2
2
2
2
90
F CE
BD E
BOC
=
=
=
，过
2
F 作
2
F T
y
⊥
轴于T，
∴
2
90
TCF
OBC
OCB
=
=
−
，
∴
2
F TC
COB
∽
，则
2
F T
CT
OC
OB
=
，
∵
(
)
4,0
B
，
(
)
0,8
C
，
∴
4
OB =
，
8
OC =
，又
2
F T
t
= ，
2
2
2
8
8
2
CT
t
t
t
t
= −
+
+ −
= −
+
，
∴
2
2
8
4
t
t
t
−
+
=
，解得
3
2
t =
或
0
t =
（舍去），
综上，满足题意的t 值为2 或3
2 ；
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（3）解：设直线BC 的表达式为y
kx
b
=
+
，
将
(
)
4,0
B
，
(
)
0,8
C
代入得
8
4
8
0
b
k
=
+
=
，解得
8
2
b
k
=
= −
，
∴直线BC 的表达式为
2
8
y
x
= −
+
，
作G 关于直线BC 的对称点G，连接GG交BC 于H，过H 作HT
y
⊥
轴于T，
设
(
)
0,
G
t ，
(
)
,
G
x y
，
∴
90
GHC
BOC
HTC
=
=
=
，又
HCG
OCB
TCH
=
=
，
∴GCH
BCO
∽
，CTH
COB
∽
，
∴CG
CH
BC
OC
=
，HT
CH
OB
BC
=
，又
2
2
4
8
4 5
BC =
+
=
，
∴8
8
4 5
t
CH
−
=
，4
4 5
HT
CH
=
，
解得
16
2
5
t
HT
−
=
，即H 的横坐标为
16
2
5
H
t
x
−
=
，
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将
16
2
5
H
t
x
−
=
代入
2
8
y
x
= −
+
得
8
4
5
t
y
+
=
，
∴点H 的坐标为16
2
8
4
,
5
5
t
t
−
+
，
∵G 关于直线BC 的对称点为G，
∴
0
16
2
2
5
8
4
2
5
x
t
t
y
t
+
−
=
+
+
=
，则
32
4
5
16
3
5
t
x
t
y
−
=
+
=
，
∴
32
4
16
3
,
5
5
t
t
G
−
+
，
∵G在抛物线上，
∴
2
16
3
32
4
32
4
2
8
5
5
5
t
t
t
+
−
−
= −
+
+
，整理得
2
16
201
584
0
t
t
−
+
=
，
解得
8
t =
或
73
16
t =
，
由题意，点G 在C 的下方，
∴
73
16
t =
，则
73
0,16
G
．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数图象与坐标轴的交点、二次函数的性质、待定系数法
求函数解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、对称性质、解一元二次方程等知识，涉及知识点
较多，综合性强，熟练掌握相关联知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
39．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数
2
1
1
1
y
a x
b x
c
=
+
+
（
1
0
a
，
1a ，1b ，1c 是常数）与
2
2
2
2
y
a x
b x
c
=
+
+
（
2
0
a
，
2a ，2b ，
2c 是常数）满足
1
2
0
a
a
+
=
，
1
2
b
b
=
，
1
2
0
c
c
+
=
，则称这两个函数互为“旋转函数”．求
2
3
2
y
x
x
= −
+
−
函数
的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由
2
3
2
y
x
x
= −
+
−
函数可知
1
1
a = −，1
3
b =
，1
2
c = −，根据
1
2
0
a
a
+
=
，1
2
b
b
=
，1
2
0
c
c
+
=
求出
2a ，
2b ，
2c ，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
(1)写出函数
2
3
2
y
x
x
= −
+
−
的“旋转函数”；
(2)若函数
2
1
4
3
n
y
x
x
n
=
−
+
与
2
2
3
y
x
mx
= −
+
−互为“旋转函数”，求
2023
(
)
m
n
+
的值；
(3)已知函数
1 (
1)(
4)
2
y
x
x
=
−
+
的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C ，点A、B 、C 关于原点的对
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称点分别是
1A 、
1
B 、
1
C ．试证明经过点
1A 、
1
B 、
1
C 的二次函数与函数
1 (
1)(
4)
2
y
x
x
=
−
+
互为“旋转函数”．
【答案】(1)
2
3
2
y
x
x
=
+
+
(2) 1
−
(3)
证明：当
0
x =
时，
1 (
1)(
4)
2
2
y
x
x
=
−
+
= −，则
(0, 2)
C
−
，
当
0
y =
时，1 (
1)(
4)
0
2 x
x
−
+
=
，
解得
1
1
x = ，
2
4
x = −，
则
(1,0)
A
，
( 4,0)
B −
，
点A、B 、C 关于原点的对称点分别是
1A ，
1
B ，
1
C ，
1( 1,0)
A
−
，
1(4,0)
B
，
1(0,2)
C
，
设经过点
1A ，
1
B ，
1
C 的二次函数解析式为
2(
1)(
4)
y
a
x
x
=
+
−
，
把
1(0,2)
C
代入得
2 1 ( 4)
2
a
−
=
，
解得
2
1
2
a = −
，
经过点
1A ，
1
B ，
1
C 的二次函数解析式为
2
1
1
3
(
1)(
4)
2
2
2
2
y
x
x
x
x
= −
+
−
= −
+
+
，
而
2
1
1
3
(
1)(
4)
2
2
2
2
y
x
x
x
x
=
−
+
=
+
−
，
1
2
1
1
(
)
0
2
2
a
a
+
=
+ −
=
，
1
2
3
2
b
b
=
=
，
1
2
2
2
0
c
c
+
= −+
=
，
经过点
1A 、
1
B 、
1
C 的二次函数与函数
1 (
1)(
4)
2
y
x
x
=
−
+
互为“旋转函数”．
【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出
2a ，
2b ，
2c ，从而得到原函数的“旋转函数”；
（2）根据“旋转函数”的定义得到
4
3
n
m
−
=
，3
0
n
−+
=
，再解方程组求出m 和n 的值，然后根据乘方的意义
计算；
（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定
(1,0)
A
，
( 4,0)
B −
，
(0, 2)
C
−
，再利用关于原点对称的点的坐标
特征得到
1( 1,0)
A −
，
1(4,0)
B
，
1(0,2)
C
，则可利用交点式求出经过点
1A ，
1
B ，
1
C 的二次函数解析式为
2
1
1
3
(
1)(
4)
2
2
2
2
y
x
x
x
x
= −
+
−
= −
+
+
，再把
1 (
1)(
4)
2
y
x
x
=
−
+
化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行
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判断．
【详解】（1）解：
1
1
a
−
=
，
1
3
b =
，
1
2
c = −，
2
1
0
a
−+
=
，
2
3
b =
，
2
2
0
c
−+
=
，
2
1
a
= ，
2
3
b =
，
2
2
c =
，
函数
2
3
2
y
x
x
= −
+
−
的“旋转函数”为
2
3
2
y
x
x
=
+
+
；
（2）解：根据题意得
4
3
n
m
−
=
，3
0
n
−+
=
，解得
4
m = −，
3
n = ，
2023
2023
(
)
( 4
3)
1
m
n
+
= −+
= −；
（3）略
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二
次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．
40．（24-25 九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象
与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点C ，且抛物线的顶点D 的坐标为(
)
1,4 ，连接BC ，拋物线
的对称轴与BC 交于点H ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上B 、D两点之间的部分（不包含B 、D 两点），是否存在点G ，使得
3
BGH
DGH
S
S
=
△
△
，若存在，
求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将拋物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点E ，M 为直线x =1 上一个动点，在平面
内是否存在一个点N ，使得以B 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，求出N 点
坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)存在，(
)
3,2 3
G
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(3) N 点坐标为(
)
2, 1
−
或(
)
2,2 ．
【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可；
（2）求出直线BC 的解析式，过点G 作GM
x
∥轴交对称轴于点M ，过点G 作GN
y
∥
轴交直线BC 于点N ，
分别表达出G ，M ，N 的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可；
（3）设点E 关于直线BC 的对称点为E，利用折叠和等腰三角形的性质求得
(
)
0,1
E
．设
(
)
1,
M
n ，求得
2
2
2
2
EM
n
n
=
−
+
，
2
2
4
BM
n
=
+
，
2
10
BE =
，从而得出
2
2
2
2
4
10
n
n
n
−
+
+
+
=
，求得n 的值，进一步得出
结果．
【详解】（1）解：∵拋物线的顶点D 的坐标为(
)
1,4 ，
∴设抛物线的解析式为
2
(
1)
4
y
a x−
=
+
，
∵抛物线过点
(
)
1,0
A −
，
∴(
)
2
1 1
4
0
a −−
+
=
，
解得
1
a = −，
∴抛物线的解析式为
(
)
2
2
1
4
2
3
y
x
x
x
−
−
−
=
+
=
+
+ ；
（2）解：存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
令
0
x =
，则
3
y =
，
∴
(
)
0,3
C
，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，代入
(
)
0,3
C
和
(
)
3,0
B
可得：
3
3
0
b
k
b
=
+
=
，
解得：
1
3
k
b
−
=
=
，
∴直线BC 的解析式为：
3
y
x
= −+
，
∵抛物线的对称轴与BC 交于点H ，
∴把
1
x = 代入
3
y
x
= −+
可得：
2
y =
，
∴
(
)
1,2
H
，
∴
2
DH =
，
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过点G 作GM
x
∥轴交对称轴于点M ，过点G 作GN
y
∥
轴交直线BC 于点N ，如图所示：
设点G 的坐标为(
)(
)
2
,
2
3 1
3
m
m
m
m
−
+
+
，则
(
)
,
3
N m
m
−
+
，
(
)
2
1,
2
3
M
m
m
−
+
+
，
∴
1
GM
m
=
−，
(
)
2
2
2
3
3
3
GN
m
m
m
m
m
= −
+
+ −−
+
= −
+
，
∴
(
) (
)
2
2
1
3 1
3
3
2
BGH
S
m
m
m
m
=
−
−
+
= −
+
，
(
)
1
2
1
1
2
DGH
S
m
m
=
−
=
−
，
∵
3
BGH
DGH
S
S
=
△
△
，
∴
(
)
2
3
3
1
m
m
m
−
+
=
−
，
解得
3
m =
或
3
m = −
（舍去），
∴(
)
3,2 3
G
；
（3）解：由（2）知，
3
OB
OC
=
= ，又
90
BOC
=
，
∴
45
OCB
=
，
设点E 关于直线BC 的对称点为E，如图所示，
则CE
CE
=
，EE
BC
⊥
，
∵
45
OCB
=
，
∴
45
CEE
=
，
∴
45
CE E
=
，
即
ECE
△
是等腰直角三角形，
∴
90
ECE
=
，
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由抛物线的对称性可知，
(
)
2,3
E
，
∴
2
CE=
，
∴
2
CE =
，
∴
1
OE = ，
∴
(
)
0,1
E
．
∵BE是以B、E、M、N 为顶点的矩形的对角线，
∴
90
BME
=
，
设
(
)
1,
M
n ，
∵
(
)
2
2
2
2
1
1
2
2
EM
n
n
n
=
+
−
=
−
+
，
(
)
2
2
2
2
3 1
4
BM
n
n
=
−
+
=
+
，
2
2
2
1
3
10
BE =
+
=
，
∴
2
2
2
2
4
10
n
n
n
−
+
+
+
=
，
∴
2
n =
或
1
n = −，
当
2
n =
时，
(
)
1,2
M
，
∴
(
)
2, 1
N
−
，
当
1
n = −时，
(
)
1, 1
M
−
，
∴
(
)
2,2
N
，
综上所述：N 点坐标为(
)
2, 1
−
或(
)
2,2 ．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函
数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关
键．
41．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（2，4），抛物线y=-2x2+bx+c 经过A、C 两点，
与x 轴的另一个交点为点D．
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（1）如图1，求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，连接AC、AD，将△ABC 沿AC 折叠后与AD、y 轴分别交于点交于E、G，求OG 的长度；
（3）如图3，将抛物线在AC 上方的图象沿AC 折叠后与y 轴交于点F，求点F 的坐标．
【答案】（1）y=-2x2+2x+4；（2）
3
OG
2
=
；（3）F（0，63
32 ）．
【分析】（1）先根据四边形ABCD 是矩形得出点A．C 坐标，再代入解析式求出b．c 的值，从而得出答案；
（2）由△ABC≌△AB′C 知∠BCA=∠B′CA．由AO∥BC 知∠BCA=∠B′CA，∠BCA=∠OAC，从而得
∠B′CA=∠OAC．据此知AG=CG．设OG=x，则AG=CG=4-x．在Rt△OGC 中，利用勾股定理可以求得x 的
值；
（3）在AC 上方的抛物线图象取点F 的对称点F′，过点F′作y 轴的平行线交直线AC 于点G，先证F′A=F′G，
继而得直线AC 的解析式为y=-2x+4，设点F（n，-2n2+2n+4），则G（n，-2n+4）．根据F′A2=F′G2 求出n 的
值，从而得出
65
FG
32
=
，F′A=F′G=FA= 65
32 ，从而得出点F 的坐标．
【详解】解：（1）如图1，
∵四边形OABC 是矩形，B（2，4），
∴A（0，4），C（2，0），
小学
初中
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∵抛物线y=-2x2+bx+c 经过A．C 两点，
∴
c
4
8
2b
c
0
=
−+
+
=
，
∴
b
2
c
4
=
=
，
∴抛物线的函数表达式为：y=-2x2+2x+4；
（2）如图2，
由题意得：△ABC≌△AB′C．
∴∠BCA=∠B′CA．
∵AO∥BC，
∴∠BCA=∠B′CA，∠BCA=∠OAC，
∴∠B′CA=∠OAC．
∴AG=CG．
设OG=x，则AG=CG=4-x．
在Rt△OGC 中，22+x2=（4-x）2，
得
3
x
2
=
，
∴
3
OG
2
=
；
（3）如图3，在AC 上方的抛物线图象取点F 的对称点F′，过点F′作y 轴的平行线交直线AC 于点G．
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由题意得：∠FAC=∠F′AC，F′A=FA．
∵AO∥F′G，
∴∠FAC=∠AGF′．
∵∠FAC=∠F′AC，∠FAC=∠AGF′．
∴∠F′AC=∠AGF′，
∴F′A=F′G．
设直线AC 的解析式为y=kx+b，
把A（0，4），C（2，0）代入得
4
0
2
b
k
b
=
=
+
，解得
2
4
k
b
−
=
=
∴直线AC 的解析式为：y=-2x+4．
设点F（n，-2n2+2n+4），则G（n，-2n+4）．
∴F′G=-2n2+4n，F′A2=n2+（-2n2+2n）2．
∵F′A=F′G．
∴F′A2=F′G2．
即：n2+（-2n2+4n）2=（-2n2+2n）2，
解得：n1=0（舍去），
2
13
n
8
=
．
∴
65
FG
32
=
．
∴F′A=F′G=FA= 65
32 ，
∴F（0，63
32 ）．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．矩形的性质．折叠变
换的性质及勾股定理等知识点．
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42．（25-26 九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线
2
1 :
2
3
L
y
x
x
m
=
−
+
+ ，把此抛物线沿x 轴折叠，
得到抛物线
2L ．
(1)当抛物线
1L 经过原点时，直接写出m 的值；
(2)当抛物线
1L 和
2L 有且只有一个公共点，求m 的值；
(3)若抛物线
1L 经过(
)
2, 3
−
．
①求抛物线
2L 的函数解析式和顶点坐标；
②直线
3 :
L
y
n
=
与
1L 、
2L 分别交于点P 、Q 、M 、N ，如图2，直接写出
2
PQ
MN
=
时n 的值．
【答案】(1)
3
m
−
=
；
(2)
2
m = −；
(3)①
2
2
3
:
2
L y
x
x
= −
+
+
，顶点坐标为(
)
1,4 ；②
12
5
n =
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求得
2
2
2
3
:
L y
x
x
m
= −
+
−
−，根据抛物线
1L 和
2L 有且只有一个公共点，联立后利用根的判别式求解即
可；
（3）①先求得
2
1 :
2
3
L
y
x
x
=
−
−，利用折叠的性质求得
2
2
3
:
2
L
y
x
x
= −
+
+ ，化成顶点式即可求解；
②联立，利用根与系数的关系求得
16
4
PQ
n
=
+
，
16
4
MN
n
=
−
，根据
2
PQ
MN
=
列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
1 :
2
3
L
y
x
x
m
=
−
+
+ 经过原点，
∴
2
0
0
2 0
3
m
=
−+
+ ，
解得
3
m
−
=
；
（2）解：∵抛物线
2
1 :
2
3
L
y
x
x
m
=
−
+
+ 沿x 轴折叠，得到抛物线
2L ，
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∴
(
)
2
2
2
2
3
2
3
:
L y
x
x
m
x
x
m
= −
−
+
+
= −
+
−
−，
∵抛物线
1L 和
2L 有且只有一个公共点，
∴联立得
2
2
2
3
2
3
x
x
m
x
x
m
−
+
+
= −
+
−
−
，
整理得
2
2
3
0
x
x
m
−
+
+
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
4 1
3
4
4
12
4
8
0
m
m
m
= −
−
+
=
−
−
= −
−
=
，
解得
2
m = −；
（3）解：①∵抛物线
2
1 :
2
3
L
y
x
x
m
=
−
+
+ 经过(
)
2, 3
−
，
∴
2
3
2
2 2
3
m
−=
−+
+
，解得
6
m
−
=
；
∴
(
)
2
2
1 :
2
6
3
2
3
L
y
x
x
x
x
=
−
+ −
+
=
−
−，
∵抛物线
2
1 :
2
3
L
y
x
x
=
−
−沿x 轴折叠，得到抛物线
2L ，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
2
3
1
:
4
L
y
x
x
x
x
x
= −
−
−
= −
+
+
= −
−
+
，
∴顶点坐标为(
)
1,4 ；
②∵直线
3 :
L
y
n
=
与
1L 交于点P 、Q ，
∴
2
2
3
x
x
n
−
−
=
，
整理得
2
2
3
0
x
x
n
−
−−
=
，
设两根为
1x 和
2x ，
∴
1
2
2
x
x
+
=
，
1 2
3
x x
n
= −−
，
∴
(
)
2
1
2
1
2
1
2
4
PQ
x
x
x
x
x x
=
−
=
+
−
(
)
4
4
3
4 12
4
16
4
n
n
n
=
−
−−
=
+
+
=
+
，
∵直线
3 :
L
y
n
=
与
2L 交于点M 、N ，
∴
2
2
3
x
x
n
−
+
+
=
，整理得
2
2
3
0
x
x
n
−
−+
=
，
设两根为
3x 和
4x ，
∴
3
4
2
x
x
+
=
，
3
4
3
x x
n
= −+
，
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∴
(
)
4
4
3
4 12
4
16
4
MN
n
n
n
=
−
−+
=
+
−
=
−
，
∵
2
PQ
MN
=
，
∴16
4
2 16
4
n
n
+
=
−
，解得
12
5
n =
，
经检验
12
5
n =
是原方程的解，且符合题意，
∴
12
5
n =
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，根与系
数的关系等知识，解题的关键是掌握相关的知识．
43．二次函数
2
4
y
mx
mx
=
−
（
0
m
）的图象交x 轴于原点O及点A．
(1)求点A的坐标．
(2)若二次函数
2
4
y
mx
mx
=
−
（
0
m
）的图象经过(1, 3)
−
，求该二次函数的解析式．
(3)在（2）的条件下，二次函数
2
4
y
mx
mx
=
−
(
0,
4)
m
x
的图象记为
1L ，将
1L 绕点A旋转180后的图象记
为
2L ，将
1L ，
2L 合起来得到的图象记为L ，完成以下问题：
①抛物线
2L 的函数解析式为______（不用写自变量x 的取值范围）．
②若直线y
t
= 与L 有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为
1
2
x
x
，
与
3x ，且
1
2
3
25
2
x
x
x
+
+
=
，
求t 的值．
③若点
1
( ,
)
a y
，
2
(
2,
)
a
y
+
在L 上，且
1
2
y
y
，请直接写出a 的取值范围．
【答案】(1)
(4,0)
A
(2)
2
4
y
x
x
=
−
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(3)①
2
12
32
y
x
x
= −
+
−
；②
9
4
t = −
或
9
4
t =
；③
1
a 或
5
a
【分析】（1）求二次函数与x 轴交点，二次函数
2
4
y
mx
mx
=
−
，令
0
y =
对所得到的代数式进行因式分解，
求解
2
4
(
4)
0
mx
mx
mx x
−
=
−
=
，即可得出结果；
（2）将点(1, 3)
−
代入到二次函数解析式，即可得出
1
m = ；
（3）①利用顶点关于(4,0) 对称，且开口大小相同，方向相反即可得到
2L 解析式；
②分别讨论4
0
t
−
、0
4
t
和
0
t =
三种情况，然后，对
1
2
3
25
2
x
x
x
+
+
=
等式去绝对值进行计算，即可
得出结果；
③点
1
( ,
)
a y
，
2
(
2,
)
a
y
+
横坐标相距2 单位长度，结合
1L 和
2L 的对称轴
2
x =
和
6
x =
分别讨论点的横坐标位
置，即可得出a 的取值范围．
【详解】（1）解：令
2
4
0
mx
mx
−
=
，
得
1
2
0
4
x
x
=
=
，
，
(4,0)
A
．
（2）二次函数
2
4
y
mx
mx
=
−
（
0
m
）的图象经过(1, 3)
−
，
4
3
m
m
−
= −，解得
1
m = ，
该二次函数的解析式为
2
4
y
x
x
=
−
．
（3）①
2
12
32
y
x
x
= −
+
−
（或
(
)
2
6
4
y
x
= −
−
+
）
由（2）知，
1L 的函数解析式为
(
)
2
2
4
2
4
y
x
x
x−
=
−
=
−
，
1L 的顶点坐标为(2, 4)
−
．
∴
2L 由
1L 绕点
(4,0)
A
旋转180得到，
∵
2L 与
1L 的顶点关于点
(4,0)
A
对称，且
2L 与
1L 的开口大小相同、方向相反，
∴
2L 的顶点坐标为(6,4)，
∴
2L 的函数解析式为
(
)
2
2
6
4
12
32
y
x
x
x
= −
−
+
= −
+
−
．
② 直线y
t
= 与L 有三个交点，
由图象可知4
4
t
−
．
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当4
0
t
−
时，由图象可知直线y
t
= 与L 的三个交点的横坐标为
1
2
x
x
，
与
3x 均大于0 ，
不妨记这三个点从左至右依次为
,
,
.
B C D
1
2
3
25
2
x
x
x
+
+
=
，
1
2
3
25
2
x
x
x
+
+
=
．
由图象可知点B ，C 在
1L 上，点D 在
2L 上，
由抛物线的对称性可知
1
2
4
x
x
+
=
，
(
)
3
1
2
25
17
2
2
x
x
x
=
−
+
=
，
2
17
17
9
12
32
2
2
4
t
= −
+
−
= −
．
当0
4
t
时，由图象可知直线y
t
= 与L 的三个交点的横坐标为
1
0
x
，
2x 与
3x 均大于0 ，不妨记这三个点从左至右依次为
,
,
.
E F G
1
2
3
25
2
x
x
x
+
+
=
．
1
2
3
25
2
x
x
x
−
+
+
=
，
由图象可知点E 在
1L 上，点
,
F G 在
2L 上，
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由抛物线的对称性可知
2
3
12
x
x
+
=
，
1
2
3
25
1
2
2
x
x
x
=
+
−
= −
，
2
1
1
9
4
2
2
4
t
= −
−−
=
．
当
0
t =
时，易知
1
2
3
0
4
8
x
x
x
=
=
=
，
，
，
1
2
3
12
x
x
x
+
+
=
，不符合题意，舍去．
综上所述，
9
4
t = −
或
9
4
t =
．
③
1
a 或
5
a
方法一：结合图象可知，
当点
1
2
( ,
), (
2,
)
a y
a
y
+
均在
1L 上时，
1
2
y
y
，
1L 的对称轴为直线
2
x =
，
1L 的开口向上，
点
1
( ,
)
a y
到直线
2
x =
的距离大于点
2
(
2,
)
a
y
+
到直线
2
x =
的距离，
且点
1
( ,
)
a y
在直线
2
x =
的左侧．
当点
2
(
2,
)
a
y
+
在直线
2
x =
的左侧时，
由二次函数的性质可得，符合题意，此时
2
2
a+
，即
0
a
．
当点
2
(
2,
)
a
y
+
在直线
2
x =
的右侧时，2
2
2
a
a
−
+ −
，即
1
a ．
故当点
1
2
( ,
), (
2,
)
a y
a
y
+
均在
1L 上时，
1
a ．
当点
1
2
( ,
), (
2,
)
a y
a
y
+
均在
2L 上时，
1
2
y
y
，
2L 的对称轴为直线
6
x =
，
2L 的开口向下，
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点
1
( ,
)
a y
到直线
6
x =
的距离小于点
2
(
2,
)
a
y
+
到直线
6
x =
的距离，
且点
2
(
2,
)
a
y
+
在直线
6
x =
的右侧，
当点
1
( ,
)
a y
在直线
6
x =
的右侧时，由二次函数的性质可得，符合题意，此时
6
a
．
当点
1
( ,
)
a y
在直线
6
x =
的左侧时，6
1
a
−
，即
5
a
．
故当点
1
2
(
) (
,
,
2,
)
a y
a
y
+
均在
2L 上时，
5
a
．
当点
1
( ,
)
a y
在
1L 上，点
2
(
2,
)
a
y
+
在
2L 上时，易知
1
2
y
y
，不符合题意．
综上，a 的取值范围为
1
a 或
5
a
．
方法二：结合图象可知，当点
1
2
(
) (
,
,
2,
)
a y
a
y
+
均在
1L 上时，
1
2
y
y
，
1L 的对称轴为直线
2
x =
，
点
1
2
(
) (
,
,
2,
)
a y
a
y
+
连线的中点在直线
2
x =
的左侧，
2
4
a
a
+
+
，即
1
a ．
当点
1
2
(
) (
,
,
2,
)
a y
a
y
+
均在
2L 上时，
1
2
y
y
，
2L 的对称轴为直线
6
x =
，
点
1
2
(
) (
,
,
2,
)
a y
a
y
+
连线的中点在直线
6
x =
的右侧，
2
12
a
a
+
+
，即
5
a
．
当点
1
( ,
)
a y
在
1L 上，点
2
(
2,
)
a
y
+
在
2L 上时，易知
1
2
y
y
，不符合题意．
综上，a 的取值范围为
1
a 或
5
a
．
【点睛】本题关键是掌握二次函数图象的特征，开口方向、对称轴、顶点和图象与x 轴交点，注意求解过程
中运用分类讨论的方法．
