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专题01 反比例函数的图象和性质
常考题型·精准突破
题型1 根据反比例函数的定义求参数（重）
题型2 判断反比例函数的图象和性质（高频）
题型3 比较反比例函数值或自变量的大小（高频）
题型4 根据反比例函数图象和性质求参数（高频）
题型5 反比例函数的图象和性质综合（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 根据反比例函数的定义求参数
1．D
2．A
3．C
◆题型2 判断反比例函数的图象和性质
4．D
5．D
6．D
◆题型3 比较反比例函数值或自变量的大小
7．
8．
2
3
1
y
y
y
/
1
3
2
y
y
y
9．
◆题型4 根据反比例函数图象和性质求参数
10．1（答案不唯一，
2
k
即可）
11．
0
k
12．
1
m /1
m
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◆题型5 反比例函数的图象和性质综合
13．
【答案】(1)
8
y
x
= −
(2)是
【详解】（1）解：把
(
)
2,4
A −
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
得：4
2
k
= −，
解得：
8
k = −，
所以，反比例函数解析式为
8
y
x
= −
；
（2）解：当
4
x = 时，
8
2
4
y = −
= −，
所以，点
(
)
4, 2
B
−
在该函数图象上．
14．
【答案】(1)
3
k =
(2)
2
m
n
+
= −
(3)不变，
2
m
n
+
= −
【详解】（1）解：当
1
m = ，则
(
)
1,3
A
，
∵点
(
)
1,3
A
在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
上，
∴3
1
k
=
，
∴
3
k = ；
（2）解：当
3
k = 时，反比例函数为
3
y
x
=
，
∵点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
3
y
x
=
上，
∴
(
)
2
3
m m +
=
，(
)
2
3
n n +
=
，
∴m、n 为关于x 的一元二次方程(
)
2
3
x x +
=
的两个解，
方程整理得
2
2
3
0
x
x
+
−
=
，其中
(
)
2
Δ
2
4 1
3
16
0
=
−−
=
，方程有2 个不相等的实数根，
∴
2
m
n
+
= −；
（3）解：不变，
∵点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
上，
∴
(
)
2
m m
k
+
=
，(
)
2
n n
k
+
=
，
∴m、n 为关于x 的一元二次方程(
)
2
x x
k
+
=
的两个解，
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方程整理得
2
2
0
x
x
k
+
−
=
，其中
(
)
2
Δ
2
4 1
4
4
k
k
=
−−
=
+
，
∵
0
k
，
∴Δ
0
，方程有2 个不相等的实数根，
∴
2
m
n
+
= −．
15．
【答案】(1)
3
m
(2)①
5
m
−
=
，
2
n = −；②
8
y
【详解】（1）解：由题意可得
3
0
m−
，
解得
3
m
；
（2）解：①把(
)
1,2
A m +
，
(
)
4,
B
n 代入
3
m
y
x
−
=
中，
得到(
)
2
1
3
m
m
+
=
−，
解得
5
m
−
=
，
3
8
m
−= −，
4
8
n
= −，
2
= −
n
；
②∵
5
m
−
=
，
∴解析式为：
8
y
x
−
=
当
1
x = −时，
8
y =
,
作出大致函数图象如图：
由图象可得，当1
0
x
−
，
8
y
．
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．D
2．D
3．D
4．B
5．B
二、填空题
6．0
7．
1
a
8．20
9．
2
1
3
y
y
y
10．
2
a
−
a
−
三、解答题
11．
【答案】(1)
2
1
y
x
=
+
(2)
1
2
x = −
【详解】（1）解：∵y 与
1
x + 成反比例
∴设
(
)
0
1
k
y
k
x
=
+
∵函数图象经过点(
)
1,1
∴
1
1 1
k
=
+
解得
2
k =
∴y 关于x 的表达式为
2
1
y
x
=
+ ；
（2）解：当
4
y =
时，则
2
4
1
x
=
+
，
解得
1
2
x = −
．
12．
【答案】(1)
3
k =
(2)
2
m
n
+
= −
(3)不变，
2
m
n
+
= −
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【详解】（1）解：当
1
m = ，则
(
)
1,3
A
，
∵点
(
)
1,3
A
在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
上，
∴3
1
k
=
，
∴
3
k = ；
（2）解：当
3
k = 时，反比例函数为
3
y
x
=
，
∵点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
3
y
x
=
上，
∴
(
)
2
3
m m +
=
，(
)
2
3
n n +
=
，
∴m、n 为关于x 的一元二次方程(
)
2
3
x x +
=
的两个解，
方程整理得
2
2
3
0
x
x
+
−
=
，其中
(
)
2
Δ
2
4 1
3
16
0
=
−−
=
，方程有2 个不相等的实数根，
∴
2
m
n
+
= −；
（3）解：不变，
∵点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
上，
∴
(
)
2
m m
k
+
=
，(
)
2
n n
k
+
=
，
∴m、n 为关于x 的一元二次方程(
)
2
x x
k
+
=
的两个解，
方程整理得
2
2
0
x
x
k
+
−
=
，其中
(
)
2
Δ
2
4 1
4
4
k
k
=
−−
=
+
，
∵
0
k
，
∴Δ
0
，方程有2 个不相等的实数根，
∴
2
m
n
+
= −．
13．
【答案】(1)
6
y
x
=
(2)
2
4
1
y
x
x
= −
+
−
(3) 1
1
a
−
且
0
a
【详解】（1）解：∵反比例函数
k
y
x
=
过
(
)
3,2
A
，
∴
6
k =
，
∴
6
y
x
=
；
（2）∵点B 与点(
)
3,2
A
关于直线y
x
=
对称，
∴
(
)
2,3
B
．
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∵抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 过点(
)
3,2
A
和(
)
2,3
B
，抛物线的对称轴为
2
x =
，
∴
9
3
2
4
2
3
2
2
a
b
c
a
b
c
b
a
+
+
=
+
+
=
−
=
∴
1
4
1
a
b
c
= −
=
= −
∴
2
4
1
y
x
x
= −
+
−
（3）解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 过点(
)
3,2
A
∴
9
3
2
4
2
3
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
=
解得：
5
1
6
5
b
a
c
a
= −
−
=
+
∴
(
)
2
5
1
6
5
y
ax
a
x
a
=
+ −
−
+
+
反比例函数的解析式：
6
y
x
=
令
1
x = −时，
6
y = −，即(
)
1,
6
−
−
令
1
x = 时，
6
y =
，即(
)
1,6
当
(
)
2
5
1
6
5
y
ax
a
x
a
=
+ −
−
+
+ 过点(
)
1,
6
−
−
时，
1
a = −，
当
(
)
2
5
1
6
5
y
ax
a
x
a
=
+ −
−
+
+ 过点(
)
1,6 时，
1
a = ，
∴抛物线在1
1
x
−
的部分与反比例函数无公共点，此时a 的范围：1
1
a
−
且
0
a
．
14．
【答案】(1)①②
(2)①
2
3
y
x
x
= −
+
；②
5
1
2
t
−
．
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【详解】（1）解：①直线
3
y
x
=
上任意点(
)
,3
a
a 都满足纵坐标是横坐标的3 倍，有无数个“好点”，说法正确；
②二次函数
(
)
2
2
1
1
2
8
2
6
2
2
y
x
x
x
=
−
+ =
−
+ ，
顶点为(
)
2,6 ，6
3 2
= ，是“好点”，说法正确；
③设双曲线“好点”为(
)
,3
x
x ，代入
27
y
x
=
得
27
3x
x
=
，解得
3
x = ，
得到两个好点(
)
3,9 和(
)
3, 9
−
−
，不是只有一个，原说法错误；
所以正确的是①②；
（2）解：①设“好点”为(
)
,3
x
x ，代入
2
y
x
bx
= −
+
，
得
2
3x
x
bx
= −
+
，
整理得：
(
)
2
3
0
x
b x
+
−
=
，
∵图象上存在唯一一个好点，
∴该一元二次方程有两个相等实数根，判别式
0
=
，
∴
(
)
2
3
0
0
b
=
−
−
=
，
解得
3
b =
，
∴二次函数解析式为
2
3
y
x
x
= −
+
；
②
2
2
3
9
3
2
4
y
x
x
x
= −
+
= −
−
+
，
开口向下，当
3
2
x =
时，最大值为9
4 ，
当
10
y = −
时，
2
3
10
x
x
−
+
= −
，
解得
5
x = 或
2
x = −，
∵当
1
5
t
x
−
时，
9
10
4
y
−
，
结合函数图象得
1
2
3
1
2
t
t
−−
−
，
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解得
5
1
2
t
−
．
15．
【答案】(1)
1
x
−
(2)①5，
1
2
−
；②函数图象如下：
(3)(
)
1,1
−
；
2
y
x
=
+
和y
x
−
=
；
(4)5
【详解】（1）解：
1
1
x
y
x
−
=
+
，
1
0
x
+
，
1
x
−，
函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的自变量取值范围是
1
x
−
；
（2）解：①当
3
2
x = −
时，
3
1
2
5
3
1
2
y
m
−
−
=
=
=
−
+
，
当
3
y
−
=
时，
1
3
1
x
x
−
−
=
+
，
解得：
1
2
x = −
，即
1
2
n
−
=
；
②图象如答图；
（3）解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 转化为
2
1
1
y
x
= −
+ ，
他判断该函数图象就是反比例函数
2
y
x
= −
通过某种平移转化而来，反比例函数
2
y
x
= −
的图象是中心对称图
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形，对称中心为(
)
0,0 ，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称中心为(
)
1,1
−
；反比例函数
2
y
x
= −
的图象是轴对称图
形，对称轴为直线y
x
=
和y
x
−
=
，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称轴为直线
2
y
x
=
+
和y
x
−
=
．
（4）解：如图，令一次函数
1
2
2
y
x
−
=
+ 的图象与x 轴交于点C ，
联立
1
2
2
1
1
y
x
x
y
x
−
−
=
+
=
+
，
解得：
1
1
2
3
x
y
−
=
=
，
2
2
3
1
2
x
y
=
=
，
(
)
2,3
A
−
，
1
3, 2
B
，
令
0
y =
，则
1
2
0
2
y
x
= −
+
= ，解得：
4
x = ，
(
)
4,0
C
，
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1
1
1
4 3
4
6 1
5
2
2
2
AOB
AOC
BOC
S
S
S
=
−
=
−
=
−=
．
