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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27.3 实际问题与反比例函数 （第2 课时 结合反比例函数图象分析实际问题) （导学案） （1）能根据生活实际问题准确建立反比例函数模型，写出自变量的实际取值范围；掌握反比例函数实际图 像的特征，能读懂实际问题中函数图像的横纵坐标、增减趋势、特殊点的实际意义；能利用数形结合的方 法，结合图像解决实际问题中的取值范围、最值、变化规律、参数求解等问题. （2）经历“审题建模、画图识图、用图解题、回归实际”的完整探究过程，掌握数形结合解决反比例实际 问题的通用步骤，提升几何直观、数学建模、数据分析和逻辑推理能力. （3）通过具体真实场景的探究，感受反比例函数在生产生活中的广泛应用，体会数形结合思想的直观性与 简洁性，提升数学应用意识，培养严谨的实际问题解题思维. 重点:反比例函数实际问题的建模与自变量取值范围确定；利用数形结合思想，结合函数图像解决实际应用 问题. 难点:准确理解实际问题中函数图像、特殊点、增减性的现实意义；根据实际限制条件，结合图像确定自变 量、函数值的取值范围，区分纯函数图像与实际问题受限图像的区别. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 知识回顾：（1）生活中哪些等量关系可以建立反比例函数模型？（积为定值：总工程量=人数×效率、路程 =速度×时间、压力=压强×面积等） （2）反比例函数y= k x(k>0)的图像和增减性是什么？ 设疑导入：我们之前通过列式计算解决了反比例实际问题，但很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、 最优方案，仅靠计算不够直观。今天我们学习数形结合解决反比例实际问题，通过图像直观解读实际问题的 变化规律. 【学法指导】 新知自研：自研课本第77-78页的内容 (一)从函数图象中探究力F所做的功W 问题1：在力F（单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W(单位： J）满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1）当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围. 追问1.从图象中你能得出当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为多少？此时F所做的功是多少？ 当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). 追问2.当W为定值时，如何用反比例函数描述s与F之间的关系？ 由（1）W=Fs=10×50=500(J)，可知其解析式为s= 500 F . 追问3.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，如何求力的范围？ 将s=100代入s= 500 F ，可求F的值,因为s随着F的增大而减小，可以确定力F范围. 具体解答如下： 解：（1）由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功 W=Fs=10×50=500(J). (2）当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.由（1） 可知其解析式为s= 500 F . (3）将s=100代入s= 500 F ，可得F=5(N), 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m，力F要大于5N. (二)从函数图象中探究行程问题 问题2.一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t（单位：h)的函数关 系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 追问1.甲地到乙地的路程为定值,平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t之间的关系? 平均速度v=路程÷行驶全程所用时间t. 追问2.怎样确定t的取值范围 根据60≤v≤120，和函数的增减性质确定. 追问3.在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围？ 根据函数的增减性质确定客车平均速度v的范围. 具体解答如下： 解：（1）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的 关系.由上面的图象可知，当t=2时，v=120，于是有 v= 240 t ① 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当v=60时，由①得t=4. 因为60≤v≤120，并且平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以2≤t≤4. （2）客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=2 2 3h，代入①，可得 v=90(km/h)；若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3h，代人①，可得v=80(km/h). 因为平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以客车平均速度的范围是 80≤v≤90. 总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤： 1.根据函数图象，确定固定总量（定值）、两个变化的变量； 2. 建立函数关系式，确定反比例关系； 3. 设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式； 4. 结合实际，确定自变量、函数值取值范围，分析解决实际问题. 典型例题 例1.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 ( ) P Pa 是它的受力面积( ) 2 S m 的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)P关于S的函数关系式为 ． (2)求当 2 0.25m S = 时，物体所受的压强是 Pa ． (3)当1000 4000 P 时，求受力面积S的变化范围． 【分析】（1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设 k P S = ，依据图象上点A的坐标可以 求得P与S之间的函数关系式． （2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强． （3）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围． 【详解】（1）解：设 k P S = ， 由图象可知：点( ) 0.1,1000 在函数图象上， ∴ 1000 0 1 k . = ， ∴ 100 = k ； ∴ ( ) 100 = 0 P S S ； 故答案为： ( ) 100 = 0 P S S ． （2）当 2 0.25m S = ， a 0.2 0 5 100 40 P P = = ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：400； （3）当 1000Pa P = 时， 2 100 0.1m 1000 S = = ； 当 4000Pa P = 时， 2 100 0.025m 4000 S = = ； ∴当1000 4000 P 时，0.025 0.1 S ． 第二环节 合作探究 1.讨论从函数图象中探究力F所做的功W的关系. 2.讨论从函数图象中探究行程问题. 3.讨论总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤. 拓展提升： 1.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20 C ，加热到100 C 时，停止加热，水温开始下降， 此时水温( ) C y 是通电时间( ) min x 的反比例函数．若在水温为20 C 时开始加热，水温y与通电时间x之间的 函数关系如图2所示． (1)将水从20 C 加热到100 C 需要 min ． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于40 C 的时间有多长？ 【分析】( ) 1 依题得开机加热时每分钟上升20 C ，则水温从20 C 加热到100 C 所需时间用热量差每分钟加 热的温度即( ) 100 20 20 − 即可求解； ( ) 2 结合( ) 1 中可得点( ) 4,100 在反比例函数 k y x = 的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； ( ) 3 分类讨论，加热过程中水温不低于40 C 的时间+降温过程中水温不低于40 C 的时间即为加热一次水温不 低于40 C 的时间，其中降温过程中水温不低于40 C 的时间利用( ) 2 中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解：开机加热时每分钟上升20 C ， 水温从20 C 加热到100 C ，所需时间为 ( ) 100 20 4 min 20 − = ， 故答案为：4． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为 k y x = ， 由题意得，点( ) 4,100 在反比例函数 k y x = 的图象上， 4 100 k = ， 解得： 400 k = ， 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 400 y x = ． （3）解：在加热过程中，水温为40 C 时， 所需时间为 40 20 1min 20 − = ， 即1 4min − 温度都高于40 C ； 在降温过程中，水温为40 C 时， 400 40 x = ， 解得： 10 x = ， 即4 10min − 内温度都高于40 C ， 10 1 9min −= ， 一个加热周期内水温不低于40 C 的时间为9min ． 课本P78课堂练习. 1．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反 比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R 大于9Ω 时，电流I 可能是（ ） A．3A B．4A C．5A D．6A 【详解】解：根据图象，当R＞9 时，I＜4， ∴当电阻R 大于9Ω 时，电流I 可能是3A，不可能是4A、5A 或6A， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴A 符合题意，BCD 不符合题意． 故选：A． 2．（2025·贵港·九年级统考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单 位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示： (1)求电流I关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什 么范围？ 【详解】（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为 k I R = , ∵函数图象过点（9，4）， ∴ 4 9 k = ， 解得： 36 k = ， ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为 36 I R = ． （2）解：∵限制电流不能超过10A， ∴ 36 10 R ， 解得： 3.6 R ， ∴用电器的可变电阻应大于或等于3.6Ω ． 3．（2025·永州·九年级期中）为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物 燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y ( ) mg 与时间( ) min x 之间成一次函数关系；燃烧完后y ( ) mg 与时 间( ) min x 之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求药物燃烧完后y ( ) mg 与时间( ) min x 的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人 员不能停留在教室里？ 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为y kx b = + ， 把( ) 1,3 和( ) 3,5 代入，得： 3 3 5 k b k b + = + = ， 解得： 1 2 k b = = ， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为 2 y x = + ， 当 4 x = 时， 4 2 6 y = + = ， 设药物燃烧后y关于x的函数表达式为 m y x = ， 把( ) 4,6 代入， ∴ 6 4 m = ， ∴ 24 m = ， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为 ( ) 24 4 y x x = ； （2）解：对于 2 y x = + ，当 4 y = 时， 解得： 2 x = ； 对于 24 y x = ，当 4 y = 时， 解得： 6 x = ， ∴从消毒开始，第2分钟到第6分钟学生不能停留在教室里． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检 验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）结合函数图象，能根据积为定值的实际关系，建立反比例函数解析式，并结合实际确定自 变量取值范围；（2）识图技能：掌握实际反比例函数图像仅为第一象限双曲线分支，能解读图像增减趋势、 特殊点的实际意义；（3）解题技能：可利用数形结合思想，结合函数图像解决实际问题中的变化规律、取 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 值范围、最值问题. 思想方法：（1）数形结合思想：将实际代数问题转化为函数图像问题，以形助数、直观解题；（2）模型思 想：提炼生活中的反比例定值模型，用函数知识解决实际问题；（3）转化思想：将实际限制条件（工期、 效率、压强等）转化为函数的取值范围问题. 易错提醒：（1）忽略实际限制，画出完整双曲线，实际问题中自变量多为正数，图像只有第一象限分支； （2）直接套用纯函数增减性，不考虑实际取值范围，导致结论不符合生活实际；（3）由图像范围解题时， 混淆自变量与函数值的增减对应关系，最值判断错误；（4）求解实际问题后，不检验结果是否符合实际意 义.
