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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27.3 实际问题与反比例函数 （第3 课时 根据已知数据和图象特征建立函数模型) （导学案） （1）整合前两课时知识，熟练掌握反比例函数实际问题代数建模、数形结合两种解题方法；能解决 含多条件约束、双向设问、最值求解、方案优选的综合反比例实际问题；能准确区分实际问题中正比 例与反比例模型，精准限定自变量取值范围，规范完成综合题型解题与检验. （2）经历复杂情境拆解、模型判断、方法优选、数形联动、实际检验的综合探究过程，掌握反比例 综合应用题的通用解题流程，提升复杂问题的分析、转化、解决能力. （3）体会反比例函数在生活、工程、跨学科场景中的综合应用价值，克服复杂应用题畏难心理，养 成分层审题、规范解题、严谨验根的良好数学习惯，提升数学应用与综合探究意识. 重点:综合运用代数建模+数形结合解决复杂反比例实际问题；解决含取值范围约束、最值计算、方案优选的 反比例综合应用题. 难点:复杂文字情境中精准拆解变量、定量，准确判断反比例模型；根据多重复合实际条件，灵活选择最优 解题方法，结合图像与代数双重验证结论；综合题型中自变量隐性实际限制条件的挖掘与范围确定. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习旧知、类比导入 知识回顾：1.反比例实际问题核心特征是什么？（总量定值、变量乘积为定值、一增一减） 2.基础解题两种核心方法分别是什么？（代数建模求值；数形结合识图判范围） 3.体系梳理：单一建模、单纯识图只能解决基础题，中考及单元重点考查综合题型：需要结合列式计算、图 像分析、范围限定、最值决策多重技能. 导入课题：今天我们整合所有方法，综合解决反比例实际问题，攻克多设问、多条件、方案型综合难题. 【学法指导】 新知自研：自研课本第78-80页的内容 【学法指导】自研课本P78-80 页内容 (一)根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象 特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题. 问题：某物理实验小组研究气体的压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下， 通过实验得到了6组数据（如下表). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时， 气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 追问1.由表可知，压强p是体积V的函数，由于没有现成的函数模型，我们需要怎么办？ 由表可知，压强p是体积V的函数，由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 追问2.怎样选择函数模型？ 首先要根据数据发现规律，为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图，观察这些点的分布状况， 画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点，可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例 函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 追问3.怎样建立函数模型？ 设函数解析式为p== k V (V>0)，根据表中的数据，分别求出k的值，列出表如下： V 20 8 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 K= 1 6 (2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型 p== 1977 V ① 追问4.怎样检验函数模型？ 将已知数据代入函数解析式，或画出函数解析式的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻 合，说明它能较好地反映气体的压强力P 体积V 的关系. 追问5.压强为132kPa时，气体的体积为多少？ 将p=132代入①，求出V. 具体解答过程： 解：（1）描点画出图象.先画出散点图，观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些 点，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 设函数解析式为p== k V (V>0)，根据表中的数据，分别求出k的值，列出表如下： V 20 8 16 14 12 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 K= 1 6 (2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型 p= 1977 V ① 将已知数据代入函数解析式，或画出函数解析式的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻 合，说明它能较好地反映气体的压强力P 体积V 的关系. 将p=132 代入①，得132== 1977 V ， 解得，V= 1977 132 ≈15.13（mL） 因此，当压强为132kPa 时，气体的体积约为15.13 mL. (二)根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题的一般步骤 从以上根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题的解题过程，归纳其一般步骤： 1. 寻找规律：根据数据或图象寻找两变量之间的规律； 2. 建立模型：根据规律确定函数关系式； 3. 检验模型：验证函数关系式的正确性； 4. 求解问题：根据函数关系求解问题. 典型例题 例1.某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时 (汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足3.5 4 t ，求平均速度v的取值范围． 【分析】（1）根据表格建立直角坐标系，描点，画出图象，根据图象进行判断即可； （2）待定系数法求函数解析式，根据汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时，求出自变量 t的取值范围； （3）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由图可知：v与t之间成反比例函数； （2）设 k v t = ，将( ) 4,75 代入，得： 4 75 300 k = = ， ∴ 300 v t = ； ∵60 100 v ， ∴3 5 t ； （3）由图象可知，3.5 4 t 时，v 随着t 的增大而减小； ∴当 3.5 t = 时，v 取最大值为： 600 7 ；当 4 t = 时，v 取最小值为：75； ∴ 600 75 7 v ． 例2．某高铁线路全长420km，列车行驶的平均速度范围为200～350km/h．设列车行驶的平均速度为( ) km / h v ， 行驶全程所需的时间为( ) h t ． 小航根据学习函数的经验，对因变量t随自变量ν的变化而变化的规律进行探究，请将下面的探究过程补充 完整． (1)列表：通过列车的试行驶得到下列几组数据： 平均速度( ) km / h v 200 240 b 300 350 行驶时间( ) h t a 1.75 1.5 1.4 1.2 填空： = a ______，b = ______． (2)描点、连线：请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中剩余两组数据对应的点，并用平滑的曲线画出 t关于v的函数图象． (3)观察函数图象，写出一条函数的性质：_______________________________________________________． (4)列车能在80min内（含80min）行驶完全程吗？若能，请求出列车行驶的平均速度的范围；若不能，请说 明理由． 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系求解即可； （2）描点，连线，即可画出函数图象； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）观察函数图象，根据函数的增减性即可写出函数的一条性质； （4）求得最低速度，即可求解． 【详解】（1）解： 420 2.1 200 a = = ， 420 280 1.5 b = = 故答案为：2.1，280 ； （2）解：描点，连线，图象如图所示： ； （3）解：观察函数图象，函数的性质有：行驶时间t 随速度v 的增加而减少； 故答案为：行驶时间t 随速度v 的增加而减少； （4）解：80min就是 4 h 3 ， 当 4 h 3 t = 时， 420 315 4 3 v = = (km/h)，在正常速度范围内， 答：列车能在80min内（含80min）行驶完全程，列车行驶的平均速度是大于等于315km/h，小于或等于350km/h． 第二环节 合作探究 1.讨论根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题. 2.讨论根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题的一般步骤. 拓展提升： 1.心理学研究发现，一般情况下，在一节45 分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化． 开始学 习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力 开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x (分钟)的变化规律如下图所示(其中 AB BC 、 分别为线段，CD为双曲线的一部分)． (1)求注意力指标数y 与时间x (分钟)之间的函数表达式； (2)开始学习后第4 分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结 归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程 一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40 ，请问：这样的课堂学习 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 安排是否合理？并说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，当0 10 x 时， (0,20), (10,50) A B ，设直线的解析式为 ( 0) y kx b k = + ， ∴ 20 10 50 b k b = + = ，解得， 3 20 k b = = ， ∴直线AB 的解析式为 3 20(0 10) y x x = + ； 当10 30 x 时， (10,50), (30,50) B C ， ∴ 50(10 30) y x = ； 当30 45 x 时， (30,50) C ，设双曲线CD的解析式为 m y (m 0 ) x = ， ∴ 30 50 1500 m xy = = = ， ∴双曲线CD的解析式为 1500 (30 45) y x x = ； ∴注意力指标数y 与时间x (分钟)之间的函数表达式为 3 20,0 10 50,10 30 1500 ,30 45 x x y x x x + = ． （2）解：当 4 x = 时， 3 20 3 4 20 32 y x = + = + = ；当 35 x = 时， 1500 1500 300 35 7 y x = = = ； ∵ 300 32 7 ， ∴开始学习后第35分钟时注意力更集中． （3）解：根“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30 分钟才能完成， ∴当 40 x = 时， 1500 1500 37.5 40 40 y x = = = ， ∴这样安排不合理． 课本P80课堂练习. 1．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超 标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L ．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整 改过程中，所排污水中硫化物的浓度y( ) mg/L 与时间( x 天) 的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3天的 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4 mg/L 从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格 中的关系： 时间x(天) 3 5 6 8 …… 硫化物的浓度( ) mg/L y 4 2.4 2 1.5 …… (1)在整改过程中，当0 3 x 时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当 3 x 时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为0.8 mg/L ？ 【详解】（1）解：设线段AB 的函数表达式为y kx b = + ， ∵ ( ) ( ) 010 3 4 A B ，， ，在线段AB 上， ∴将A，B两点坐标代入函数表达式， 得 10 3 4 b k b = + = ，解得 10 2 b k = = − ， ∴当0 3 x 时，硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式为 ( ) 2 10 0 3 y x x = − + ； （2）解：∵3 4 5 2.4 6 2 8 1.5 12 = = = = ， ∴当 3 x 时，y 与x 成反比例， 设函数的表达式为： m y x = ， 将点B代入得： 4 3 m = ， 解得： 12 m = ， ∴当 3 x 时，硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式为 ( ) 2 3 1 y x x = ； （3）解：令 0 8 12 . y x = = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得 15 x = ． ∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为0.8 mg/L ． 2.（2025济南期中）为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到100℃）后再饮用．某款家用饮水机，具有 加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃．此后停止加热，水温开始下降， 达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可 以正常饮用．整个过程中，水温( ) y ℃与通电时间( ) min x 之间的函数关系如图所示． (1)水温从20℃加热到100℃，需要______min ；请直接写出加热过程中水温y 与通电时间x 之间的函数关系 式：______； (2)观察判断：在水温下降过程中，y 与x 的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式； (3)已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40℃．现将20℃ 的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶 粉？ 【详解】（1）解：由图可得：水温从20℃加热到100℃，需要4min ， 设加热过程中水温y 与通电时间x 之间的函数关系式为：y kx b = + ， 将( ) 0 20 ， ，( ) 4 100 ， 代入解析式得： 4 100 20 k b b + = = ， 解得： 20 20 k b = = ， 加热过程中水温y 与通电时间x 之间的函数关系式为： 20 20 y x = + ， 故答案为：4， 20 20 y x = + ； （2）解：观察判断：在水温下降过程中，y 与x 的函数关系是反函数， 设在水温下降过程中，y 与x 的函数关系为 1k y x = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 将( ) 5 80 ， 代入解析式得： 1 80 5 k = ， 解得： 1 400 k = ， 在水温下降过程中，y 与x 的函数关系为： 400 y x = ， 故答案为：反； （3）解：由题意得：在 400 y x = 中，当 40 y = 时， 400 40 x = ， 解得： 10 x = ， 从加入自来水开始，需要等待的时间为：4 10 14min + = ， 则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉． 知识技能：（1）模型技能：熟练识别工程、行程、物理、经济等各类反比例实际模型；（2）方法技能： 掌握代数建模精准求值、数形结合分析趋势与范围两种核心方法，能灵活择优使用；（3）综合技能：可独 立解决建模、求值、判趋势、定范围、最值约束类综合应用题，能挖掘题目隐性实际条件. 思想方法：（1）综合建模思想：整合知识，将复杂实际情境抽象为标准反比例函数模型；（2）数形结合 思想：以形助数、以数释形，双向验证，精准解决范围与最值问题；（3）分类转化思想：将复杂综合题拆 分为基础小问题，化繁为简、逐个突破；（4）严谨实证思想：所有数学结果必须结合实际意义检验，保证 结论合理. 易错提醒：（1）模型易错：复杂情境混淆正反比例，误判函数模型，导致全盘错误；（2）范围易错：忽 略体积、速度、人数等隐性正数、整数限制，取值范围不精准；（3）方法易错：综合题死板套用单一方法， 解题繁琐或无法求解；（4）逻辑易错：增减性与取值范围对应关系颠倒，最值边界判断错误；（5）检验易 错：只算数学结果，不结合实际验证，出现不符合生活、科学常识的答案.
