文档内容
期中卷B 卷
考试范围：反比例函数和相似；考试时间：100分钟；命题人：书生宝剑；满分:120分
第I卷（选择题）
一、单选题
1．点(4，-1)在反比例 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点(4，-1)在反比例 的图象上即可直接判断．
【详解】
∵点(4，-1)在反比例函最 的图象上，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2．已知反比例函数 ，下列各点不在反比例函数的图像上的是( )
A．(2，3) B．(-2，-3) C．(1，6) D．(2，-3)
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是 的，就在此函数图象上．
【详解】
反比例函数 中， ，
只需把各点横纵坐标相乘，结果为 的点在函数图象上，
四个选项中只有D选项符合．故选：D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3．如图，反比例函数y＝－ 的图象与直线y＝－ x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作
的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】
试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，
则△ABC的面积=2|k|=2×4=8．
故选A．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
4．如图，函数y＝kx（k＞0）与函数 的图象相交于A，C两点，过A作AB⊥y轴于B，连结BC，则
三角形ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．k2 D．2k2
【答案】B
【分析】设点A坐标 ，根据点A，C关于原点对称，可得出点C坐标，最后根据三角形的面积计算即可．
【详解】
设点A坐标 ，则点C坐标 ，
∵AB⊥y轴，
∴ ，
故选B．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握双曲线是关于原点对称，两个分支上的点也是关于原
点对称是解题的关键．
5．在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠BAC＝90°，AB2＝BD•BC，那么AD⊥BC
B．如果AD⊥BC，AD2＝BD•CD，那么∠BAC＝90°
C．如果AD⊥BC，AB2＝BD•BC，那么∠BAC＝90°
D．如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD⊥BC
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理证明相应的三角形相似，根据相似三角形的性质判断即可．
【详解】
如图：
A、∵AB2=BD•BC，
∴ ，
又∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA=∠BAC=90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；B、∵AD2=BD•CD，
∴ ，
又∠ADC=∠BDA=90°，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠BAD=∠C，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，故B选项说法正确，不符合题意；
C、∵AB2=BD•BC，
∴ ，
又∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAC=∠BDA=90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；
D、如果∠BAC=90°，AD2=BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，则 =（ ）.
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：9
【答案】D．
【解析】
试题分析：AD：DB=1：2，则 ，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ =1：9．
故选：D．
考点：相似三角形的判定与性质．7．如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到
△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1 B．△A1B1C1的周长为6+
C．△A1B1C1的面积为3 D．点B1的坐标可能是(6，6)
【答案】C
【分析】
根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边
之比等于位似比，据此判断即可.
【详解】
A. △ABC∽△A B C ，故A正确；
1 1 1
B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC= ，所以△ABC的周长为2+ ，由周长比等于位似比可得
△AB C 的周长为△ABC周长的3倍，即6+ ，故B正确；
1 1 1
C. S = ,由面积比等于位似比的平方，可得△AB C 的面积为△ABC周长的9倍，即 ，
△ABC 1 1 1
故C错误；
D. 在第一象限内作△AB C 时，B 点的横纵坐标均为B的3倍，此时B 的坐标为（6,6），故D正确；
1 1 1 1 1
故选C.
【点睛】
本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.
8．如图，在 为 内一点， ， ， 分别是 ， ， 上的点，且 ，则A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据 可知 = ，由∠BOC是公共角可证明△OEF∽△OBC，根据相似三角形的性质
即可得答案.
【详解】
∵ ，
∴ = ，
在△OEF和△OBC中，
= ，∠BOC=∠BOC，
∴△OEF∽△OBC，
∴ ,
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，根据对应边成比例且夹角相等得出两三角形相似是解题关键．
9．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出
以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④ ．其中正确结论的序号是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【解析】
①∵AB是半圆直径，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，∴①正确．
②过点E作EF⊥AC，∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，∴CE＞OE，∴②错误．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，∴不能证明△ODE和△ADO相似，∴③错误；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD= ×45°=22.5°，∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=67.5°∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，∴△CED∽△COD，∴ ，
∴CD2=OD•CE= AB•CE，∴2CD2=CE•AB．∴④正确．综上所述，只有①④正确．故选B．
10．如图，在正方形 中， 分别为 的中点， 交于点 ，连接 ，则
（ ）
A．1:8 B．2:15 C．3:20 D．1:6
【答案】A
【分析】延长 交 延长线于点 ,可证 , ,
,
【详解】
解: 延长 交 延长线于点
在 与 中
故选A
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质.
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．已知函数 是反比例函数，则 的值为__________．
【答案】1
【分析】
根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可．【详解】
解：根据题意得，n2﹣2＝﹣1且n+1≠0，
整理得，n2＝1且n+1≠0，
解得n＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式 （k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）
的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
12．在反比例函数 的图像上有两点 、 ．若 ， 则k的取值范围是
________．
【答案】k＜
【分析】
利用反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，于是得到1-3k＞0，然后解不等式即可．
【详解】
解：∵x＜0＜x，y＜y，
1 2 1 2
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴1-3k＞0，
∴k＜ ，
故答案为：k＜ ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上
的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
13．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子
AM长为___米．【答案】5
【详解】
根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 ，即 ，解得AM=5．
∴小明的影长为5米．
14．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下 A处前进3米到达B处时，测得影子BC
长的1米，已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D处，此时影子DE长为____米．
【答案】2
【分析】
根据题意可知，本题考查相似三角形性质，根据中心投影的特点和规律以及相似三角形性质，运用相似三
角形对应边成比例进行求解．
【详解】
解：根据题意可知
当小颖在BG处时，
∴ ，即
∴AP=6
当小颖在DH处时,
∴ ，即
∴
∴DE=2故答案为：2
【点睛】
本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题关键是运用相似三角形对应边相等．
15．如图，平行四边形 中， 是 中点，在 上截取 ， 交 于 ，则 的值
为______．
【答案】
【分析】
延长EF和CD交于点H，利用平行可证△EAF∽△HDF，列出比例式可得HD=2AE，从而得出HC= 4AE，
然后利用平行可证△AEG∽△CHG，列出比例式即可得出结论．
【详解】
解：延长EF和CD交于点H
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴HC∥AE，AB=CD
∴△EAF∽△HDF
∴
∴HD=2AE
∵ 是 中点，∴AB=2AE
∴CD=2AE
∴HC=HC＋CD=4AE
∵HC∥AE，
∴△AEG∽△CHG
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握构造相似三角形的方法和相似三角形的
性质是解决此题的关键．
16．某食堂现有煤炭 500 吨，这些煤炭能烧的天数 y 与平均每天烧煤的吨数 x 之间的函数关系式是
___________________________．
【答案】y= ．
【分析】
这些煤能烧的天数=煤的总吨数÷平均每天烧煤的吨数，把相关数值代入即可．
【详解】
∵煤的总吨数为500，平均每天烧煤的吨数为x，
∴这些煤能烧的天数为y= ，
故答案为y= ．
【点睛】
考查列反比例函数关系式，得到这些煤能烧的天数的等量关系是解决本题的关键．
17．如图，格点图中有 2 个三角形，若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为 1，则 AB=____，
BC=_______，DE=______，EF=_____，计算 =______， =_____，我们会得到AB与DE这两条线
段的比值与BC，EF这两条线段的比值______（填相等或不相等），即 ，那么这四条线段叫做________，简称比例线段．
【答案】 3 6 相等 成比例线段
【解析】
试题分析：两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．掌握勾股定理的内容．
解：根据已知，得BC=3，EF=6．根据勾股定理，得AB= = ，DE= =2 ．
所以 = ， = ．根据比例线段的概念即可判断．
故填 ，3，2 ，6， ， ，相等，成比例线段．
考点：比例线段．
点评：不是水平线或铅垂线的线段要能够熟练运用勾股定理求解，进一步求得两条线段的比值，根据两个
比值判断是否是成比例线段．
18．如图是函数 和函数 的图象，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们
分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形 的周长为8，则点B的
坐标为________．
【答案】 或
【分析】设点A的坐标为 ，则点B的坐标为 ，表示出AB与AC的长，根据矩形的周长列出方程即可
求解．
【详解】
设点A的坐标为 ，则点B的坐标为 ，
∵四边形 的周长为8，
∴ ，
∴ ，
解得 ，∴ ，
当 时， ；B点坐标为 ；
当 时， ；B点坐标为 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的综合题：点在反比例函数图像上，点的横纵坐标满足解析式；利用矩形的性质
建立方程求解是解答本题的关键．
19．如图，E为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，且D为AE的黄金分割点，BE交DC于点F，
若 ，且 ，则CF的长为________．
【答案】2【分析】
先证明△ABE和△DFE相似，根据相似三角形对应边成比例及黄金分割点的条件求出 的值，然后求出
的值，即可求出CF的长度．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中， AB∥CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∵D为AE的黄金分割点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵AB=CD，
∴
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割的知识及三角形相似的判定和性质，求出相应的比是解题的关键，难度不大．
20．如图，平行四边形 ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于
6,△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于___________
【答案】11【解析】
【分析】
利用三角形面积公式得到AF：FE=3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S =S ，则可判断
△ABD △CBD
△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S =9，所以S =S =15，然后用△BCD的面积减去
△AFD △ABD △CBD
△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．
【详解】
解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，
即S ：S =6：4=3：2，
△ABF △BEF
∴AF：FE=3：2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，S =S ，
△ABD △CBD
∴△AFD∽△EFB，
∴
S
△AFD=
(AF) 2
=
(3) 2
=
9
，
S EF 2 4
ΔBEF
9
∴S = ×4=9，
△AFD 4
∴S =S =6+9=15，
△ABD △CBD
∴四边形CDFE的面积=15-4=11．
故答案为11．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共
边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，
灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
三、解答题
21．如图,已知 , , ,点 是射线 上的一个动点(点 与点 不重合),点 是
线段 上的一个动点(点 与点 不重合),连接 ,过点 作 的垂线，交射线 于点 连接 .设(1)当 时，求 关于 的函数关系式，并写出它的定义域；
(2)在(1)的条件下，取线段 的中点 ,连接 ,若 ,求 的长；
(3)如果动点 在运动时,始终满足条件 那么请探究： 的周长是否随着动点 的运
动而发生变化?请说明理由。
【答案】（1） ；（2） ；（3） 的周长不变，理由见解析
【分析】
（1）由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式；
（2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；
（3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE=AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周
长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．
【详解】
(1)由题中条件可得△AED∽△BCE，
∴ ，
∵AE=x,BC=y,AB=4,AD=1
∴BE=4−x，
∴ ，
∴ ；
(2)∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
又∵DF=FC，
∴DC=2EF=2×2.5=5，
如图所示，过D点作DH⊥BN于H，则DH=AB=4，
∴Rt△DHC中, ，∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，
∴
解得： ，
∴AE=2；
(3)△BCE的周长不变. 理由如下：
，BE=4−x，
设AD=m，则DE=4−m，
∵∠A=90∘，
∴DE2=AE2+AD2即,(4−m)2=x2+m2
∴ ，
由(1)知：△AED∽△BCE，
∴
∴
∴△BCE的周长不变.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合应用，需要熟练掌握相似三角形的判定和性质，得出比例关系是关键.
22．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，2），若
∠ACB=90°，BC= ．试求：（1）A、B两点的坐标；
（2）二次函数的表达式．
【答案】（1） A（-4，0），B（1，0）；（2） y=- x2- x+2．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可知，BC= ，OC=2，由勾股定理可求OB，再由△AOC∽△COB，利用相似
比求OA，可确定A、B两点坐标；
（2）根据A、B两点坐标，设抛物线解析式的交点式，将C（0，2）代入求a即可．
试题解析：（1）在Rt△OBC中，BC= ，OC=2，
由勾股定理得OB= =1，
由△AOC∽△COB，得 ，
即 ，解得AO=4，
∴A（-4，0），B（1，0）；
（2）∵抛物线与x轴交于A（-4，0），B（1，0）两点，
∴设抛物线解析式y=a（x+4）（x-1），
将C（0，2）代入解得a=- ，
∴y=- （x+4）（x-1），即y=- x2- x+2．
考点：待定系数法求二次函数解析式．
23．如图，在平面直角坐标系中有 , , , , .
(1)求点 的坐标;(2)将 沿 轴的正方向平移，在第一象限内 、 两点的对应点 、 正好落在某反比例函数图像
上.请求出这个反比例函数和此时的直线 的解析式.
【答案】（1）C点坐标为（-3，2）．（2）反比例函数解析式为y= ．y=- x+3．
【解析】
试题分析：（1）作CN⊥x轴于点N，通过角的计算得出∠NAC=∠OBA，结合相等的直角以及AC=AB即
可证出Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），进而得出ON和CN的长度，此题得解；
（2）设反比例函数解析式为y= ，C′（c，2），根据平移的性质结合点B、C的坐标即可得出点B′的
坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、c的二元一次方程组，解方程组即可得出
k、c值，由此即可得出反比例函数解析式与点B′、C′坐标，根据点B′、C′坐标利用待定系数法即可求出直
线B′C′的解析式.
试题解析：（1）作CN⊥x轴于点N，如图所示．
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠OAB=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠NAC=∠OBA．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
，∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴AN=BO=1，NO=NA+AO=3，CN=AO=2，
∴C点坐标为（-3，2）．
（2）设反比例函数解析式为y= ，
∵C（-3，2），B（0，1），
∴设C′（c，2），则B′（c+3，1）．
∵点B′和C′在反比例函数图象上，
∴ ，解得： ，
∴反比例函数解析式为y= ．
∵c=3，
∴C′（3，2），B′（6，1），
设直线B′C′的解析式为y=mx+n，
则 ，解得： ，
∴直线B′C′的解析式位y=- x+3．
24．如图1，在正方形 中， 平分 ，交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于
点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 、 ，求证： 平分 ；
(3)如图3，连接 交 于点 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .
【分析】(1)由正方形性质得出 ， ，根据直角三角形两锐角互余的关系可得 ，利
用 可证得 ，即可得出结论；(2)由正方形性质与角平分线的定义得出
，利用 可证得 得出 ，由直角三角形斜边中线的性质得
出 ，根据角的和差关系可得 ，即可得出结论；(3)连接 ，由正方形的性
质得出 ， ， ，推出 ，根据角的和差关系可得
，利用 可证得 ，得出 ，推出 ，
即可证得△DCM∽△ACE，即可得出结果．
【详解】
(1)∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ .
(2)证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 .
(3)解：连接 ，如图3所示：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ =22.5°，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，
熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解题的关键．
25．如图，四边形 是平行四边形，在边 的延长线上截取 ，点 在 的延长线上，
和 交于点 ， 和 交于 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据对应边成比例且夹角相等证得 ∽ ，根据平行四边形的性质和等量代换得到
，结合 ，可以证明 ∽ ，因此对应边成比例，又因为
，所以可以证明题目．
【详解】
（1）证明： ∵四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ， ；
∵ ，
∴ ；
又 ∥ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2） 证明：∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ∽ ，
∴ ；
∵ ∥ ，
∴ ；
∵四边形 是平行四边形，∴ ∥ ，
∴ ；
∵四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ，
∴ ；
∴ ；
又 ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练掌握两部分的相关性质和定理是本
题的关键．
