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上海九上数学压轴题解题技巧
及常考几何模型
二次函数图象、性质与系数的关系................................................................... 2
题型一、二次函数图像与系数关系......................................................... 2
题型二、二次函数与一次函数的关系....................................................... 2
题型三、二次函数与反比例函数的关系..................................................... 3
题型四、二次函数图像判断代数式符号..................................................... 3
题型五、二次函数与一元二次方程......................................................... 3
题型六、二次函数解不等式............................................................... 3
题型七、二次函数性质的综合推理......................................................... 4
二次函数与实际问题........................................................................................ 4
题型一、二次函数的实际应用——面积问题................................................. 4
题型二、二次函数的实际应用——动点问题................................................. 4
题型三、二次函数的实际应用——销售问题................................................. 5
题型四、二次函数的实际应用——拱桥问题................................................. 5
题型五、二次函数的实际应用——投球问题................................................. 5
题型六、二次函数的实际应用——喷水问题................................................. 6
二次函数的最值问题........................................................................................ 6
题型一、定轴定区间求最值............................................................... 6
题型二、动轴定区间求最值............................................................... 7
题型三、定轴动区间求最值............................................................... 7
题型四、求线段最值..................................................................... 7
题型五、求线段和最值................................................................... 7
题型六、求面积最值..................................................................... 7
相似三角形的判定与性质................................................................................. 8
类型一、灵活证明两个三角形相似......................................................... 8
类型二、相似三角形的有关计算与证明..................................................... 8
相似三角形的常用模型.....................................................................................9
类型一、A 字型相似..................................................................... 9
类型二、8 字型相似..................................................................... 9
类型三、三角形内解矩形................................................................ 10
类型四、一线三角模型.................................................................. 11
类型五、母子型相似.................................................................... 11
类型六、手拉手相似.................................................................... 12
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锐角三角函数与实际应用............................................................................... 13
类型一、仰角俯角问题.................................................................. 13
类型二、方位角问题.................................................................... 13
类型三、坡度坡比问题.................................................................. 13
二次函数图象、性质与系数的关系
二次函数图像综合类问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕图像系数特征、函数交点、方程根、
不等式解集、图像代数式符号、多函数联立、性质综合应用七大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是
分析图像开口、对称轴、交点时，必须同步结合a、b、c 各自几何意义判断，不可单独凭单一系数下结论；
二是图像与坐标轴、直线交点问题需联立方程结合判别式分析
题型归纳
题型一、二次函数图像与系数关系
题型模版
1.特征：给出二次函数图像，结合图像开口方向、对称轴、与坐标轴交点、特殊点位置，判断a、b、c、Δ
正负，或推导含a、b、c 式子的大小关系。
2.方法：由开口判断a 符号；对称轴x =−
b
2a结合a 判断b；与y 轴交点纵坐标判断c；图像与x 轴交点个数
判断Δ；取x = 1、−1、2、−2 等特殊点代入函数，得到对应代数式数值辅助判断。
题型二、二次函数与一次函数的关系
题型模版
1.特征：同一坐标系给出二次函数与一次函数图像，或给出两个函数解析式，求解交点坐标、判断交点个数、
比较函数值大小、求参数取值。
2.方法：联立两个函数解析式得到一元二次方程，利用判别式判断交点数量；解方程求出交点横坐标，再代
回求纵坐标；根据图像上下位置直接比较相同自变量下函数值大小。
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题型三、二次函数与反比例函数的关系
题型模版
1.特征：同一坐标系内同时出现二次函数、反比例函数图像，考查交点、图像位置、根据图像解不等式、求
参数范围。
2.方法：联立两个函数解析式构造方程求解交点；区分反比例函数两支所在象限，结合二次函数开口、对称
轴对比图像；函数值大小问题直接看图像上下位置分段写出解集。
题型四、二次函数图像判断代数式符号
题型模版
1.特征：仅给出二次函数完整图像，无解析式，判断a + b + c、a −b + c、4a + 2b + c、2a + b 等复合型代数
式的正负。
2.方法：x = 1 对应a + b + c，x =−1 对应a −b + c，代入图像对应点纵坐标判断正负；结合对称轴公式−
b
2a
变形判断2a + b、2a −b；结合c 与Δ综合判断多系数组合式子。
题型五、二次函数与一元二次方程
题型模版
1.特征：给出二次函数图像或解析式，求函数与x 轴交点、已知交点求参数、判断根的个数、已知根的范围
求参数取值。
2.方法：令y = 0，把二次函数转化为一元二次方程求解根；利用判别式Δ判断图像与x 轴交点数量；已知交
点坐标直接代入解析式列方程计算参数，结合图像验证根的区间。
题型六、二次函数解不等式
题型模版
1.特征：给出二次函数图像或解析式，求解ax2 + bx + c > 0、ax2 + bx + c < 0 的解集，或结合一次函数求解
函数值大小对应的自变量范围。
2.方法：先求出二次函数与x 轴交点横坐标；根据开口方向划分区间，图像在x 轴上方对应大于0 的解集，
图像在x 轴下方对应小于0 的解集；多函数不等式对比图像高低分段写范围。
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题型七、二次函数性质的综合推理
题型模版
1.特征：综合考查开口、对称轴、顶点、最值、增减性、交点、特殊点符号，多选辨析结论正误，或结合动
点、参数综合推理取值范围。
2.方法：分步拆解图像信息，依次分析a、b、c、Δ；结合对称轴判断增减区间，顶点纵坐标确定最值；每
个推导结论代入特殊值、联立方程双重验证，排除矛盾选项。
二次函数与实际问题
二次函数实际应用类问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕面积最值、线段动点、利润销售、
抛物线拱桥、球类投掷、喷泉喷水六大实际场景展开，解题贯穿两条底线原则：一是实际问题自变量存在
现实取值范围，不能直接套用全体实数下的顶点最值；二是求出函数最值、交点后必须检验数值是否符合
生活实际意义.
题型归纳
题型一、二次函数的实际应用——面积问题
题型模版
1.特征：给出长方形、矩形、围栏、分割图形等场景，设边长为自变量，求图形面积最大值或最小值，常附
带材料总长、边长限制条件。
2.方法：用含未知数的代数式表示图形长、宽，列出面积二次函数；根据实际边长大于0 确定自变量取值范
围；结合顶点求最值，若顶点横坐标不在取值区间内，则取区间端点计算面积。
题型二、二次函数的实际应用——动点问题
题型模版
1.特征：几何图形边上存在匀速动点，用运动时间表示线段长度，求解图形面积、线段长度的最值，或满足
特定面积时的运动时间。
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2.方法：设运动时间为x，表示出动点移动后相关线段长度，构建面积二次函数；结合图形边长限制锁定x
取值范围；对比顶点横坐标与取值区间，分情况计算最值，结果需保证线段长度为正数。
题型三、二次函数的实际应用——销售问题
题型模版
1.特征：商品涨价/降价改变销量，已知单件成本、原价、销量变化规律，求销售总利润的最大值，或给定
利润求对应售价。
2.方法：设涨价或降价金额为自变量，分别表示单件利润、销售数量，总利润=单件利润×销量，列出二次函
数；自变量需满足售价、销量均为正数；在取值范围内求利润最值，舍去不符合实际的价格。
题型四、二次函数的实际应用——拱桥问题
题型模版
1.特征：拱桥轮廓为抛物线，给出跨度、拱高、水面宽度等条件，求抛物线解析式，或计算特定高度下水面
宽度、船只通行高度限制。
2.方法：以拱桥顶点或水面中点为原点建立平面直角坐标系，设顶点式抛物线解析式；代入已知点坐标求出
参数；将高度/宽度数值代入函数，求解对应横纵坐标，结合实际场景取舍正负解。
题型五、二次函数的实际应用——投球问题
题型模版
1.特征：篮球、铅球抛出轨迹是抛物线，给出出手高度、落地点水平距离、最高点高度，求解析式，或判断
能否到达指定高度、是否投进篮筐。
2.方法：建立平面直角坐标系，以出手点地面位置为横轴，竖直高度为纵轴；利用顶点式设抛物线，代入已
知点求解析式；将目标水平距离代入函数，对比计算高度与目标高度。
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题型六、二次函数的实际应用——喷水问题
题型模版
1.特征：喷泉喷水轨迹为抛物线，已知喷水口高度、最远喷水距离、水流最高点高度，求水流解析式，或计
算特定水平位置的水流高度。
2.方法：以喷水口底部为坐标原点建立坐标系，设抛物线顶点式；带入喷水落点、最高点坐标求解函数参数；
代入水平距离计算对应高度，判断遮挡物是否会阻挡水流。
二次函数的最值问题
二次函数区间与几何最值类问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕轴与区间动静分类、单线段
最值、线段和最值、图形面积最值六大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是二次函数求最值必须先锁
定对称轴与自变量取值区间的相对位置，不能直接套用顶点纵坐标；二是几何类最值需结合图像坐标转化
函数表达式，求出结果后验证自变量取值是否符合区间限制.
题型归纳
题型一、定轴定区间求最值
题型模版
1.特征：二次函数解析式固定，对称轴位置确定，同时给出明确、不变的自变量取值范围，求函数最大值或
最小值。
2.方法：先算出函数顶点纵坐标，对比对称轴与给定区间的位置；若对称轴落在区间内，顶点处取一个最值，
区间两个端点取另一最值；若对称轴在区间外侧，最值直接在区间左右端点取得，最后对比数值确定最大、
最小值。
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题型二、动轴定区间求最值
题型模版
1.特征：自变量取值范围固定不变，二次函数解析式含参数，对称轴随参数变化左右移动，已知最值情况反
过来求参数取值。
2.方法：写出含参数的对称轴表达式，分三类讨论对称轴位置：对称轴在区间左侧、对称轴落在区间内部、
对称轴在区间右侧；结合每类情况对应的最值列方程求解参数，检验参数是否满足该分类前提条件。
题型三、定轴动区间求最值
题型模版
1.特征：二次函数对称轴固定，自变量取值区间含有参数、位置可左右平移，根据最值结果求参数范围。
2.方法：固定对称轴，分区间整体在对称轴左侧、区间包含对称轴、区间整体在对称轴右侧三种情况讨论；
根据每种区间对应的最值规律建立等式或不等式，求出参数后验证区间范围符合分类要求。
题型四、求线段最值
题型模版
1.特征：抛物线图像上存在动点，用动点横坐标表示竖直线段、水平线段或斜线段长度，求线段长度的最大、
最小值。
2.方法：设动点横坐标为x，用上下两点纵坐标差值表示竖直线段、横坐标差值表示水平线段；斜线段利用
两点间距离公式构造二次函数；确定动点x 的取值范围，结合对称轴与区间位置求线段最值。
题型五、求线段和最值
题型模版
1.特征：抛物线背景下，定点与抛物线上动点相连，求两条线段之和最小，常见将军饮马模型。
2.方法：利用抛物线对称轴作其中一个定点的对称点，连接对称点与另一个定点，连线与抛物线交点即为取
最小值的动点；求出交点坐标，再代入计算线段和的最小值，注意动点存在的取值限制。
题型六、求面积最值
题型模版
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1.特征：坐标系内，以抛物线动点为顶点构成三角形、四边形，设动点横坐标，求图形面积的最大值或最小
值。
2.方法：用横坐标表示各关键点坐标，采用割补法、底乘高表示图形面积，整理得到关于x 的二次函数；确
定动点x 实际取值区间，对比对称轴与区间位置求解面积最值，舍去超出范围的结果。
相似三角形的判定与性质
类型一、灵活证明两个三角形相似
相似三角形的判定
判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；
判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的
夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
类型二、相似三角形的有关计算与证明
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一：ABC
A B C
∽
，则AB
BC
CA
k
A B
B C
C A
由比例性质可得：
AB
BC
CA
kA B
kB C
kC A
k
A B
B C
C A
A B
B C
C A
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，ABC
A B C
∽
，则AB
BC
CA
k
A B
B C
C A
分别作出ABC
与A B C
的高AD 和A D
，则
2
1
1
2
2
=
1
1
2
2
ABC
A B C
BC AD
k B C k A D
S
k
S
B C
A D
B C
A D
△
△
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
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相似三角形的常用模型
类型一、A 字型相似
“ A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角
相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
图1
图2
图3
①“ A ”字模型
条件：如图1，
//
DE BC ；结论：ADE
ABC
∽
⇔AD
AE
DE
AB
AC
BC
②反“ A ”字模型
条件：如图2，
AED
B
；结论：ADE
ACB
∽
⇔AD
AE
DE
AC
AB
BC
③同向双“ A ”字模型
条件：如图3，
//
EF BC ；结论：AEF
ABC
AEG
ABD
∽
，
∽
，AGF
ADC
∽
⇔
EG
FG
AG
BD
CD
AD
类型二、8 字型相似
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这
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两个三角形相似．
图1
图2
图3
图4
①“8”字模型
条件：如图1，
//
AB CD ；结论：AOB
COD
∽
⇔AB
OA
OB
CD
OC
OD
②反“8”字模型
条件：如图2，
A
D
；结论：AOB
DOC
∽
⇔AB
OA
OB
CD
OD
OC
③平行双“8”字模型
条件：如图3，
//
AB CD ；结论：AE
BE
AB
DF
CF
CD
④斜双“8”字模型
条件：如图4，1
2
；结论：AOD
BOC
AOB
DOC
∽
，
∽
⇔
3
4.
类型三、三角形内解矩形
三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形．
若四边形DEFG 为矩形，则：
~
AI
EF
AEF
ABC
AH
BC
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类型四、一线三角模型
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，
再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两
个三角形相似．
①一线三等角模型（同侧型）
（锐角型）
（直角型）
（钝角型）
条件：如图，
1
2
3
＝
，结论：ACE
BED
∽
.
②一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，
1
2
3
＝
，结论：
.
ADE
BEC
∽
类型五、母子型相似
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，
恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定
这两个三角形相似．
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图1
图2
①“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1
C
ABD
，
，结论：
2
ABD
ACB
AB
AD AC
∽
，
.
②双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，
90 ,
ACB
CD
AB
，结论：ACD
ABC
CBD
∽
∽
；
2
2
CA
AD AB
BC
BD BA
，
，
2
.
CD
DA DB
类型六、手拉手相似
“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的
图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
①手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，
BAC
DAE
，AD
AE
k
AB
AC
；结论：
ADE
ABC
ABD
ACE
∽
，
∽
；EC
k
BD
.
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锐角三角函数与实际应用
类型一、仰角俯角问题
仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
类型二、方位角问题
双重非负性:
0,
0
a
a
类型三、坡度坡比问题
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，用字母i 表示，则
tan
h
i
l
，如图，坡度通常写成
:
i
h l
的形式.
