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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27.3 实际问题与反比例函数 （第1 课时 建立反比例函数模型) （导学案） （1）能准确识别生活中乘积为定值的反比例数量关系，理解实际问题中反比例函数的现实意义；掌握实际 问题建立反比例函数模型的基本步骤，能熟练求解反比例函数解析式；能根据实际情境限制条件，正确确定 自变量和函数值的取值范围，并利用模型解决简单实际求值问题. （2）经历“分析实际情境—寻找定量与变量—抽象函数关系—建立模型—求解验证”的完整探究过程，掌 握实际问题建模的通用方法，提升信息提取、抽象概括和运算求解能力. （3）感受反比例函数在生产、生活、工程中的广泛应用，体会数学与现实生活的紧密联系，破除函数学习 的抽象感，培养主动用数学解决实际问题的意识，养成严谨的解题习惯. 重点:从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型；根据实际情境确定自变量的取值范围， 利用模型求解实际问题. 难点:准确区分实际问题中的定量与变量，识别隐藏的反比例乘积定值关系；结合生活实际，合理限定自变 量、函数值的取值范围，避免数学解与实际情境脱节. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习旧知、类比导入 复习回顾：反比例函数k>0、k<0的图像象限与增减性. 提问设疑：① 若两个点不在同一个象限，还能用增减性比大小吗？ ② 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的图形面积有什么规律？ 导入课题：本节课综合运用反比例函数图像性质，探究对称性、函数值比较、k几何意义综合应用. 【学法指导】 新知自研：自研课本第74-76页的内容 【学法指导】自研课本P74-76 页内容 复习旧知、类比导入 师生活动：展示两组生活化情境，引导学生分析数量关系： 情境1：一段总路程为600m的道路，行走速度x（m/min）和行走时间y（min），二者存在怎样的数量关系？ 情境2：一批总质量固定的货物，平均分派给运输车辆，车辆数x（辆）和每辆车装载质量y（t），存在怎样 的数量关系？ 设置问题链引导探究：1. 两个情境中，哪些量是固定不变的？哪些量是变化的？2. 变量之间的乘积是否 为定值？符合我们学过的哪种函数关系？3. 能否用含x的式子表示y？ 学生自主思考、小组交流后得出：两个情境均满足“两个变量的乘积为定值”，变量成反比例函数关系. 小结导入新课：生活中大量“总量固定、此增彼减”的问题，都可以用反比例函数刻画.今天我们重点学习 如何从实际问题中建立反比例函数模型，用函数知识解决生活问题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【自研自探】 自研课本P74-76 页内容 (一)探究货物装载问题，总结建模通用步骤 问题1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单 位：h）之间有怎样的函数关系？ （2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货 物？ 追问1.怎样求出轮船装载货物的总量？ 根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量. 追问2.怎样建立起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间的函数关 系？ 根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到v关于t的函数解析式. 追问3.轮船上的货物不超过6h卸载完毕，怎样求出起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 根据函数的增减性来确定. 具体解答如下： 解：(1）轮船上的货物总量为700×9=6300(t)，所以v关于t的函数解析式为 v= 6300 t (2)把t=6代入v= 6300 t 得 v= 6300 6 = 1050 (t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1 050 t. 对于函数v= 6300 t ，当t>0 时，t越小，v越大，因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 总结建模通用步骤： 1. 审：审题，确定固定总量（定值）、两个变化的变量； 2. 判：判断变量乘积为定值，确定反比例关系； 3. 列：设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式； 4. 定：结合实际，确定自变量、函数值取值范围. (二)探究并应用“杠杆原理” “杠杆原理”简介：古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与 其所受重力成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为：阻力×阻力臂-动力×动 力臂. 问题2.某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5 m. (1）动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大 的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少? 追问1.怎样建立动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？ 根据杠杆原理为：阻力×阻力臂-动力×动力臂，得到F关于l的函数解析式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 追问2.想使动力F不超过（1）中所用力的一半，怎样求动力臂1至少要加长多少? 结合函数解析式,根据函数的增减性来确定. 具体解答如下： 解：（1)根据“杠杆原理”，得 Fl=1 200×0.5, 所以F关于l的函数解析式为F= 600 l 当l=1.5 m时，F= 600 1.5=400 (N). 对于函数F= 600 l ,当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此，撬动石头至少需要400N的力. (2)对于函数F= 600 l ，当l>0时，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的/的值，就能确定动力臂l 至少应加长的量. 将F=400× 1 2=200,代人F= 600 l ，得 200= 600 l l= 600 200=3 (m) 因此，若想用力不超过400N的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5 (m). 讨论:用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 典型例题 例1.某车间需要完成总工作量固定的零件加工任务，总零件数为1200个。设每天加工零件的数量为x（个/ 天），完成全部任务所需的天数为y（天）。 （1）求y关于x的函数解析式； （2）写出自变量x的取值范围； （3）若车间每天至少加工40个零件，需要多少天完成任务？ 【分析】 核心关系：总零件数=日加工数量×加工天数，总工作量1200为定值，x·y=1200，符合反比例函 数模型； 解题关键：先根据定量关系列等式，整理解析式，再结合生产实际确定自变量取值（加工数量为正整数）； 第（3）问为模型应用，代入求值，实现建模到解题的完整闭环，贴合课时基础应用要求. 【详解】（1）由题意可知：总零件数量固定，可得等量关系：每天加工数量×加工天数=总零件数，即 xy=1200 变形整理得y关于x的函数解析式：y= 1200 x . （2）① 每天加工零件数量不能为0或负数，即x>0；② 零件为整数个，因此自变量x为正整数； 综上，自变量取值范围：x>0,且x为正整数. （3）已知每天至少加工40个零件，即x=40,将x=40代入解析式：y= 1200 x = 1200 40 =30 答：需要30天完成任务。 拓展追问:若要求工期不超过20天，每天至少需要加工多少个零件？（引导学生初步利用模型反向求值，深 化应用） 例2.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)要求4天完成，每天应完成几页? 【分析】（1）运用每天完成的页数所需天数= 总页数进行求解； （2）将 4 y = 代入（1）所得函数关系式进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， 100 8 xy = ， 整理，得 800 y x = ， 每天完成的页数y 与所需天数x 之间是反比例函数关系； （2）由（1）题所得， 800 y x = ， 由题意得 800 4 x = ， 解得 200 x = ， 每天应完成200页． 第二环节 合作探究 1.讨论货物装载问题，总结建模通用步骤. 2.讨论并应用“杠杆原理”. 拓展提升： 1．反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电阻 R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻 6 R = 欧姆时，电流 2 I = 安培． (1)求出函数解析式． (2)当0.5安培时，求出R的值． (3)如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 【详解】（1）解：由题意设 U I R = ， ∵当电阻 6 R = 欧姆时，电流 2 I = 安培， ∴ 6 2 12 U = = ， ∴I与R之间的函数关系式为： 12 I R = ； （2）解：把 0.5 I = 代入 12 I R = 得： 12 0.5 R = ， 解得： 24 R = （欧姆）； （3）解：∵不得超过10安培， ∴ 12 10 R ， ∴R的取值范围是： 1.2 R （欧姆）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 课本P76课堂练习. 1．（2025•德阳）公元前3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成 反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻 力臂分别为600N 和1m，当动力为1200N 时，动力臂是 m． 【解答】解：600×1÷1200＝0.5（m）， ∴动力臂是0.5m． 故答案为：0.5． 2．（2025•连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是 气球体积V（m3）的反比例函数．当V＝1.2m3 时，p＝20000Pa．则当V＝1.5m3 时，p＝ Pa． 【解答】解：设p 与V 之间的函数关系式为p= 𝑘 𝑉（k 为常数，且k≠0）， 将V＝1.2，p＝20000 代入p= 𝑘 𝑉， 得20000= 𝑘 1.2， 解得k＝24000， ∴p 与V 之间的函数关系式为p= 24000 𝑉 ， 当V＝1.5 时，p= 24000 1.5 =16000， ∴当V＝1.5m3 时，p＝16000Pa． 故答案为：16000． 3．（2025·娄底·九年级统考）某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? (2)要求4天完成，每天应完成几页? 【详解】（1）解：由题意得， 100 8 xy = ， 整理，得 800 y x = ， 每天完成的页数y 与所需天数x 之间是反比例函数关系； （2）由（1）题所得， 800 y x = ， 由题意得 800 4 x = ， 解得 200 x = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 每天应完成200页． 知识技能：（1）模型识别：实际问题中，两个变量乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系；（2）建 模步骤：审题找定值→判断反比例关系→列写解析式→确定实际取值范围；（3）应用技能：能利用建立的 反比例函数模型，代入已知量求解实际问题. 思想方法：（1）数学建模思想：将生活化的复杂实际问题，抽象为标准化的反比例函数数学模型，用数学 方法解决实际问题；（2）对应思想：数学解析式、变量取值必须与生活实际一一对应，保证结果合理；（3） 转化思想：文字语言描述的数量关系，转化为函数解析式的符号语言. 易错提醒：（1）核心易错：照搬纯数学函数取值范围，忽略实际情境限制，忘记自变量为正数、整数等实 际要求；（2）审题易错：无法区分题目中的定量与变量，误将变化量当作定值，建模错误；（3）解题易错： 建模成功后，求解结果不检验实际意义，出现负数、小数等不符合生活实际的答案；（4）书写易错：未将 等式整理为标准反比例函数y= k x的形式，格式不规范.
