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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27.3 实际问题与反比例函数 （第2 课时 结合反比例函数图象分析实际问题) （导学案） （1）能根据生活实际问题准确建立反比例函数模型，写出自变量的实际取值范围；掌握反比例函数实际图 像的特征，能读懂实际问题中函数图像的横纵坐标、增减趋势、特殊点的实际意义；能利用数形结合的方 法，结合图像解决实际问题中的取值范围、最值、变化规律、参数求解等问题. （2）经历“审题建模、画图识图、用图解题、回归实际”的完整探究过程，掌握数形结合解决反比例实际 问题的通用步骤，提升几何直观、数学建模、数据分析和逻辑推理能力. （3）通过具体真实场景的探究，感受反比例函数在生产生活中的广泛应用，体会数形结合思想的直观性与 简洁性，提升数学应用意识，培养严谨的实际问题解题思维. 重点:反比例函数实际问题的建模与自变量取值范围确定；利用数形结合思想，结合函数图像解决实际应用 问题. 难点:准确理解实际问题中函数图像、特殊点、增减性的现实意义；根据实际限制条件，结合图像确定自变 量、函数值的取值范围，区分纯函数图像与实际问题受限图像的区别. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 知识回顾：（1）生活中哪些等量关系可以建立反比例函数模型？（积为定值：总工程量=人数×效率、路程 =速度×时间、压力=压强×面积等） （2）反比例函数y= k x(k>0)的图像和增减性是什么？ 设疑导入：我们之前通过列式计算解决了反比例实际问题，但很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、 最优方案，仅靠计算不够直观。今天我们学习数形结合解决反比例实际问题，通过图像直观解读实际问题的 变化规律. 【学法指导】 新知自研：自研课本第77-78页的内容 (一)从函数图象中探究力F所做的功W 问题1：在力F（单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W(单位： J）满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1）当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围. 追问1.从图象中你能得出当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为多少？此时F所做的功是多少？ 追问2.当W为定值时，如何用反比例函数描述s与F之间的关系？ 追问3.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，如何求力的范围？ 具体解答如下： (二)从函数图象中探究行程问题 问题2.一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t（单位：h)的函数关 系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 追问1.甲地到乙地的路程为定值,平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t之间的关系? 追问2.怎样确定t的取值范围 追问3.在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围？ 具体解答如下： 总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤： 典型例题 例1.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 ( ) P Pa 是它的受力面积( ) 2 S m 的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)P关于S的函数关系式为 ． (2)求当 2 0.25m S = 时，物体所受的压强是 Pa ． (3)当1000 4000 P 时，求受力面积S的变化范围． 第二环节 合作探究 1.讨论从函数图象中探究力F所做的功W的关系. 2.讨论从函数图象中探究行程问题. 3.讨论总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 拓展提升： 1.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20 C ，加热到100 C 时，停止加热，水温开始下降， 此时水温( ) C y 是通电时间( ) min x 的反比例函数．若在水温为20 C 时开始加热，水温y与通电时间x之间的 函数关系如图2所示． (1)将水从20 C 加热到100 C 需要 min ． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于40 C 的时间有多长？ 课本P78课堂练习. 1．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反 比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R 大于9Ω 时，电流I 可能是（ ） A．3A B．4A C．5A D．6A 2．（2025·贵港·九年级统考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单 位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示： (1)求电流I关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 么范围？ 3．（2025·永州·九年级期中）为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物 燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y ( ) mg 与时间( ) min x 之间成一次函数关系；燃烧完后y ( ) mg 与时 间( ) min x 之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题： (1)求药物燃烧完后y ( ) mg 与时间( ) min x 的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人 员不能停留在教室里？ 知识技能：（1）结合函数图象，能根据 的实际关系，建立 解析式，并结合实际确定 ； （2）识图技能：掌握实际反比例函数图像 ，能 ；（3）解题技能：可利 用 ，结合函数图像解决实际问题中的 、 、 . 思想方法：（1）数形结合思想：将实际 ， 、 ；（2）模型思想：提炼生活 中的 ，用 问题；（3）转化思想：将实际限制条件（工期、效率、压强等）转化 为 问题. 易错提醒：（1）忽略实际限制，画出 ，实际问题中 ，图像 ；（2）直接套 用 ，不考 ，导致 ；（3）由图像范围解题时，混淆 ， 最值 ；（4）求解实际问题后，不 意义.
