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函数图像| 性质分析| 压轴综合
2026 九上数学·二次函数专题讲义
答案与解析
九年级数学二次函数专题培优讲义
2026 九上数学二次函数压轴讲义答案与解析
参考答案与试题解析
1.【解答】解：如图，
由解析式可知：两抛物线的形状完全相
同，
∴两条抛物线是上下平移得到，平移的距
离为：
2 - (-1) = 3，
∴S阴影= (y1 - y2) × |3 - (-1)| = 3 × 4 =
12，
故答案为：12．
2.【解答】解：抛物线y = 2x 2 的顶点坐标为
(0，0)，
∵x 轴、y 轴分别向上、向右平移2 个单
位，
∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标
为(-2，-2)，
∴新坐标系下抛物线的解析式是y = 2(x +
2)2- 2．
故答案为：y = 2(x + 2)2- 2．
3.【解答】解：∵y =-x 2 - 2x + 3 =- (x + 1)2 +
4，
将抛物线y =-x 2 - 2x + 3 沿直线y =-x + 1 方
向平移2 2 个单位长度后的解析式为y =
- (x + 1 + 2)2 + 4 + 2 或y =- (x + 1 - 2)2 + 4 -
2，即y =- (x + 3)2+ 6 或y =- (x - 1)2+ 2，
故答案为：y =- (x + 3)2 + 6 或y =- (x - 1)2
+ 2．
4.【解答】解：由题意，设抛物线L1：y =-x 2
随其顶点沿直线y = 1
2 x 平移一定距离后的
顶点为m，1
2 m
，
∴抛物线L2：y =- (x - m)2+ 1
2 m．
令y =-1，
∴-1 =- (x - m)2+ 1
2 m．
∴x = m ±
1+ 1
2 m (m ≥-2)．
∴“反碟长” = 2
1+ 1
2 m = 4．
∴m = 6．
∴抛物线L2：y =- (x - 6)2+ 3．
故答案为：y =- (x - 6)2+ 3．
5.【解答】解：∵抛物线关于y 轴对称，
∴对称轴为y 轴，
∴- -2(k-1)
2k
= 0，
∴k = 1；
此时抛物线关于x 轴对称的图象解析式为
-y = x 2+ 2，即y =-x 2- 2，
故答案为：1，y =-x 2- 2．
6.【解答】解：∵两条抛物线关于x 轴对称，
且顶点相距10 个单位长度．
∴两条抛物线顶点的纵坐标分别为5 和
-5．
∵其中一条抛物线的函数表达式为y = x 2
+ 6x + m，开口向上．
下面进行讨论：
当抛物线y = x 2 + 6x + m 与x 轴有交点，则
抛物线的顶点纵坐标为-5．
将y = x 2 + 6x + m 变为顶点式y = (x + 3)2 + m
- 9，可得m - 9 =-5，解得m = 4．
当抛物线y = x 2 + 6x + m 与x 轴无交点，则
抛物线的顶点纵坐标为5．
有m - 9 = 5，解得m = 14．
故答案为：4 或14．
7.【解答】解：(1) 当函数y = |x 2 - 2x - 3| 的
图象与直线y = 4 有三个交点时，方程|x 2 -
2x - 3| = m 有三个实数根，
所以m 的值为4；
(2) 当函数y = |x 2 - 2x - 3| 的图象与直线y
= 4 有四个交点时，方程|x 2 - 2x - 3| = m 有
四个不相等的实数根
所以m 的取值范围为0 < m < 4；
故答案为：0 < m < 4；
(3) 当函数y = |x 2 - 2x - 3| 的图象与直线y
= 4 有两个交点时，方程|x 2 - 2x - 3| = m 有
两个不相等的实数根，
所以m 的值为0．
8.【解答】解：(1) ∵函数y1 = a(x + 2)2 + 3(x
≤0) 的图象过原点，
∴0 = a(0 + 2)2+ 3，
解得：a =- 3
4 ，
∴y1=- 3
4 (x + 2)2+ 3(x ≤0)，
∵将函数y1 沿y 轴翻折，得到函数y2 的图
象，
∴y2=- 3
4 (x - 2)2+ 3(x ≥0)，
故答案为：- 3
4 ，y2 =- 3
4 (x - 2)2 + 3(x ≥
0)；
(2) 函数y2 =- 3
4 (x - 2)2 + 3(x ≥0) 与y = x
+ b 联立得：- 3
4 (x - 2)2+ 3(x ≥0) = x + b，
整理得：3x 2- 8x + 4b = 0，
当Δ = (-8)2 - 48b = 0 时，b = 4
3 ，此时直
线y = x + b 与函数L 的图象有3 个交点，如
图1，
把O(0，0) 代入y = x + b 得：0 + b = 0，
解得：b = 0，此时直线y = x + b 与函数L
的图象有3 个交点，
∴当直线y = x + b 与函数L 的图象有4 个
交点时，0 < b < 4
3 ．
故答案为：0 < b < 4
3 ．
9.【解答】证明：(1) 点参法：令x 2 - 2x - 3 =
0，
解得x1=-1，x2= 3，
∴点A(-1，0)，B(3，0)，
设点P (a，a 2 - 2a - 3)，Q (b，b 2 - 2b -
3)，
根据点A(-1，0)，
设AP 的解析式为y = k(x + 1)，
将点P 的坐标代入，可得k = a - 3，
∴AP 的解析式为y = (a - 3) (x + 1)．
令x = 0 得M (0，a - 3)，
同理可得N (0，b - 3)，
∴OM = |a - 3|，ON = |b - 3|．
∵直线PQ 过点(3，2)，
∴设PQ 的解析式为y = m(x - 3) + 2，
联立y=m(x-3)+2
y=x 2-2x-3
，
整理得x 2- (2 + m)x + 3m - 5 = 0，
利用根与系数的关系得a + b = 2 + m，ab =
3m - 5，
∴OM •ON = |a - 3|•|b - 3| = |(a - 3) (3 -
b)1 = |3(a + b) - ab - 9| = |3(2 + m) - (3m -
5) - 9| = 2，是一个定值．
∴OM •ON 是一个定值．
(2) 线参法：令x 2- 2x - 3 = 0，
解得x1=-1，x2= 3，
∴点A(-1，0)，B(3，0)，
设AP 的解析式为y = k1(x + 1)，
AQ 的解析式为y = k2(x + 1)，
PQ 的解析式为y = k(x - 3) + 2，
∴点M (0，k1)，N (0，k2)，
∴OM = |k1|，ON = |k2|，
∴OM •ON = |k1k2|，
联立y=k1(x+1)
y=x 2-2x-3
，
整理得x 2- (2 + k1)x - k1- 3 = 0，
∴x + xp = 2 + k1，
∵xA =-1，xP = 3 + k1，
同理可得xQ = 3 + k2．
联立y=k(x-3)+2
y=x 2-2x-3
，
整理得x 2- (2 + k)x + 3k - 5 = 0，
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函数图像| 性质分析| 压轴综合
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答案与解析
九年级数学二次函数专题培优讲义
利用根与系数的关系得xP + xQ = 2 + k ，
xPxQ = 3k - 5，
∴xP + xQ = 3 + k1 + 3 + k2 = 2 + k ①，xPxQ =
(3 + k1) (3 + k2) = 3k - 5 ②，
由①得k1+ k2= k - 4 ③，
整理②得9 + 3(k1+ k2) + k1k2= 3k - 5 ④，
将③代入④得k1k2=-2，
∴OMON = |k1k2| = 2，是一个定值．
∴OM •ON 是一个定值．
10.【解答】解：(1) 在平面直角坐标系中，直
线y = x + 2 与坐标轴交于A、B 两点，点A
在x 轴上，点B 在y 轴上，
当x = 0，y = 0 + 2 = 2，
当y = 0，x + 2 = 0，
解得x =-2，
∴A(-2，0)，B(0，2)，
C 点的坐标为(1，0)，抛物线y = ax 2 + bx
+ c 经过点A、B 、C ，把把点A，点B ，
点C 的坐标代入得
4a-2b+c=0
a+b+c=0
c=2
，
解得
a=-1
b=-1
c=2
，
该抛物线的解析式为：y =-x 2- x + 2；
(2) 作PE ⊥x 轴于点E ，交AB 于点D ，作
PQ ⊥AB 于Q，如图，当P 在AB 上方时，
在Rt△OAB 中，OA = OB = 2，
∴∠OAB = 45°，
∴∠PDQ = ∠ADE = ∠AED = 45°，
在Rt△PDQ 中，∠DPQ = ∠PDQ = 45°，
∴PQ = DQ =
2
2 ，
∴PD =
PO 2+DC 2 = 1，
设点P (x ，-x 2 - x + 2)，则点D (x ，x +
2)，
∴PD =-x 2- x + 2 - (x + 2) =-x 2- 2x，
即-x 2- 2x = 1，
解得x =-1，则-x 2- x + 2 = 2，
∴P 点坐标为(-1，2)．
11.【解答】解：(1) ∵抛物线图象经过点B
(4，0) 和C (0，4)，
∴- 1
2 ×42+4b+c=0
c=4
，
解得b=1
c=4
，
∴抛物线的解析式为y =- 1
2 x 2+ x + 4；
(2) 设直线BC 的解析式为y = kx + 4，则0
= 4k + 4，
解得k =-1，
∴直线BC 的解析式为y =-x + 4，
设E x，- 1
2 x 2+x+4
，且0 < x < 4，则F
(x，-x + 4)，
∴GH = EF =- 1
2 x 2 + x + 4 - (-x + 4) =- 1
2 x 2 +
2x，
∵抛物线的对称轴为直线x =-
1
2× - 1
2
= 1，
∴H 2-x，- 1
2 x 2+x+4
，
∴GF = EH = 2x - 2，
依题意得2 - 1
2 x 2+2x+2x-2
= 11，
解得x = 5(舍去) 或x = 3，
∴EH = 2 × 3 - 2 = 4．
12.【解答】解：(1) ∵抛物线C ：y = x 2 + bx +
c 交x 轴于点A(1，0)，B(-3，0)，
∴抛物线为y = (x - 1) (x + 3) = x 2+ 2x - 3；
(2) 设直线BC 的解析式为y = mx + n，
将B ( - 3 ，0 ) ，C ( 0 ，4 ) 代入，得
-3m+n=0
n=4
，
解得m= 4
3
n=4
，
∴直线BC 的解析式为y = 4
3 x + 4，
设P x，4
3 x+4
(x > 0)，而PH ∥y 轴，
∴H (x，x 2+ 2x - 3)，
∴PB =
(x+3)2+
4
3 x+4
2
= 5
3 x + 5，
PH = 4
3 x + 4 - x 2- 2x + 3 =-x 2- 2
3 x + 7，
∵PB = PH ，
∴5
3 x + 5 =-x 2- 2
3 x + 7，
即x 2+ 7
3 x - 2 = 0，
解得x1= 2
3 ，x2=-3(不符合题意舍去)，
∴y =
2
3
2
+ 2 × 2
3 - 3 =- 11
9 ，
∴H
2
3 ，- 11
9
．
13.【解答】解：(1) ∵抛物线y = ax 2 + 2
3 x + c
过点B(6，0)，C (0，8)，
∴36a+ 2
3 ×6+c=0
c=8
，
解得a=- 1
3
c=8
，
∴抛物线解析式为y =- 1
3 x 2+ 2
3 x + 8；
(2) ∵y =- 1
3 x 2 + 2
3 x + 8 =- 1
3 (x - 1)2 +
25
3 ，
∴抛物线的对称轴为直线x = 1，
设直线BC ：y = kx + b(k ≠0)，
∵B (6，0)，C (0，8) 在y = kx + b(k ≠
0) 上，
∴b=8
6k+8=0
，
解得
b=8
k=- 4
3
，
∴直线BC 为：y =- 4
3 x + 8；
由题意可设设P m，- 1
3 m 2+ 2
3 m+8
，且
1 < m < 6，
则
M
1，- 1
3 m 2+ 2
3 m+8
，
N m，- 4
3 m+8
，
∴PN =- 1
3 m 2+ 2m，PM = m - 1，
∵PM = 2
3 PN ，
∴m - 1 = 2
3
- 1
3 m 2+2m
，
解得m1= 3，m2=- 3
2 (舍去)，
当m = 3 时，- 1
3 m 2+ 2
3 m + 8 = 7，
∴P (3，7)；
(3) ∵抛物线y =- 1
3 x 2 + 2
3 x + 8 的对称轴
为直线x = 1，A(-4，0)，B (6，0)，C
(0，8)，
∴A、B 两点关于直线x = 1 成轴对称，设
点C (0，8) 关于直线x = 1 的对称点为D
(x0，8)，
∴x0+0
2
= 1，
∴x0= 2，
∴点C (0，8) 关于直线x = 1 的对称点为
D(2，8)，
∵A、B 两点关于直线x = 1 成轴对称，点
C (0，8) 关于直线x = 1 的对称点为D (2，
8)，连接AC ，AD，BD，
∴△ABC 与△BAD 关于直线x = 1 成轴对
称，
∴∠ABC = ∠BAD，
当点P 在AB 上方时，过点A 作AP 平分
∠BAD 交抛物线于点P ，交BD 于点H ，则
∠PAB = 1
2 ∠BAD = 1
2 ∠ABC ，点P 为所求
的点，
∵A(-4，0)，B(6，0)，D(2，8)，
∴AB = 4 + 6 = 10，AD =
(2+4)2+82 = 10，
∴AB = AD，
∵AP 平分∠BAD 交抛物线于点P ，交BD
于点H ，
∴AH ⊥BD，HD = HB，
∴B(6，0)，D(2，8)，
∴H (4，4)，
设直线AP 为：y = mx + n，
∵直线AP 为：y = mx + n 过H (4，4)，A(
-4，0)，
∴0=-4m+n
4=4m+n
，
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答案与解析
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解得m= 1
2
n=2
，
∴直线AP 为：y = 1
2 x + 2，
联立直线AP 与抛物线解析式得，
y= 1
2 x+2
y=- 1
3 x 2+ 2
3 x+8
，
解得
x= 9
2
y= 17
4
或x=-4
y=0
(舍去)，
∴P
9
2 ，17
4
．
当点P 在AB 下方时，此时直线AP 经过
9
2 ，- 17
4
，
由A(-4，0) 和
9
2 ，- 17
4
可得直线AP
解析式为y =- 1
2 x - 2，
联立直线和抛物线解析式得，
y=- 1
2 x-2
y=- 1
3 x 2+ 2
3 x+8
，
解得
x= 15
2
y=- 19
4
或x=-4
y=0
(舍去)，
∴P
15
2 ，- 19
4
；
综上，点P 坐标为
9
2 ，17
4
或
15
2 ，- 19
4
．
14.【解答】解：(1) ∵二次函数的图象与x 轴
交于A(-3，0) 和B(1，0) 两点，
∴设二次函数的解析式为y = a(x + 3) (x -
1) (a ≠0)，
将点C (0，3) 代入二次函数解析式可得
a(0 + 3) × (0 - 1) = 3，
解得a =-1，
∴二次函数解析式为y =-1 × (x + 3) (x -
1) =-x 2- 2x + 3．
(2) 设直线AC 的解析式为y = kx + b(k ≠
0)，
将点A(-3，0)，C (0，3) 代入解析式可
得-3k+b=0
b=3
，
解得k=1
b=3
，
∴直线AC 的解析式为y = x + 3，
设点P (m ，-m 2 - 2m + 3)，则点D (m ，m +
3)，
∴PD =-m 2 - 2m + 3 - (m + 3) =-m 2 - 3m =
- m+ 3
2
2
+ 9
4 ，
∵-1 < 0，
∴当m =- 3
2 时，PD 有最大值为9
4 ．
15.【解答】解：(1) ∵抛物线y = ax 2 + bx + 2
与x 轴交于点A(-1，0)，点B(4，0)，
∴把点A(-1，0)B (4，0) 分别代入y =
ax 2+ bx + 2，得：
a-b+2=0
16a+4b+2=0
，
解得
a=- 1
2
b= 3
2
，
∴抛物线的解析式为y =- 1
2 x 2+ 3
2 x + 2；
(2) ∵A(-1，0)B(4，0)，
∴对称轴为直线x = -1+4
2
= 3
2 ，
点A 关于对称轴的对称点为点B ，连接BC
交对称轴于点D ，连接AD ，如图1，此时
AD + CD 最小，
当x = 0 时，y = 2，
∴点C (0，2)．
设直线BC 的解析式为y = kx + 2，代入B
(4，0) 得4k + 2 = 0，
∴k =- 1
2 ，
∴直线BC 的解析式为y =- 1
2 x + 2，
当x = 3
2 时，y = 5
4 ，
∴点D
3
2 ，5
4
．
16.【解答】解：设抛物线解析式为：y = a(x -
x1) (x - x2)，
∵抛物线经过A(-1，0)，B (3，0)，C
(0，-3) 三点，
∴-3 = a(0 + 1) (0 - 3)，
∴a = 1，
∴设抛物线解析式为：y = (x + 1) (x - 3)，
设点P 坐标(x，y)，
∵S△POB = S△PCO，
∴OB•y = OC •|x|，
∴3y = 3|x|，
∴(x + 1) (x - 3) =-x，
解得x = 1±
13
2
，
∵点P 在第二象限的抛物线上，
∴x < 0，
∴x = 1-
13
2
，
∴y =
13-1
2
，
∴点P
1-
13
2
，
13-1
2
．
17.【解答】解：(1) 令y = 0，
则y = ax 2 - ax - 6a = a(x 2 - x - 6) = a(x - 3)
(x + 2) = 0，
∴x1=-2，x2= 3，
∴OA = 2，OB = 3，
∵y = ax 2- ax - 6a，x = 0，y =-6a，
∴OC =-6a，
∴OC = 2OB，
∴-6a = 6，
∴a =-1，
∴抛物线L 的解析式为y =-x 2+ x + 6；
(2) ∵过定点G 的直线y = kx - 1
2 k + 33
4 (k
< 0)，
∴y = 33
4 = k x- 1
2
，
∴
x= 1
2
y= 33
4
，
∴定点坐标为G
1
2 ，33
4
，
∴y =- x 2 + x + 6 =- x- 1
2
2
+ 25
4
，
D
1
2 ，25
4
，
设E (x1，-x 2
1 + x1 + 6)，F (x2，-x 2
2 + x2 +
6)，
∴DG = 2，
∵S△DEF = S△DGF - S△DGE = 1
2 DG • (x2 - 2) -
1
2 DG • (x1 - 2) = 1
2 DG • (x2 - x1) = 1
2 × 2
× (x2- x1) = 1，
∴x2- x1= 1，
联立方程组y=kx- 1
2 k+ 33
4
y=-x 2+x+6
，
得：x 2+ (k - 1)x - 1
2 k + 9
4 = 0，
解得：x 1 =
1-k-
k2-8
2
，x 2 =
1-k+
k2-8
2
，
∴x2- x1=
k2-8 = 1，
解得k =±3，
∵k < 0，
∴k =-3；
(3) 设抛物线L1 的解析式为y =-x 2 + x - 6 -
m，m > 0，
∴M ( 0 ，6 - m ) 、N ( 1 ，6 - m ) ，
G
1
2 ，0
，
设P (0，x)，
①当△PMN ∽△GOP 时，
PM
MN =
1
PO
OG = OG
PO ，
∴6-m-x
1
=
1
2
x ，
即-x 2+ (6 - m)x = 1
2 ①，
②当△PMN ∽△POG 时，
PM
MN = PO
OG ，
6-m-x
1
= x
1
2
，
即1
2 (6 - m - x) = x ②，
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函数图像| 性质分析| 压轴综合
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答案与解析
九年级数学二次函数专题培优讲义
当方程①有两个相等的实根时，
Δ = 0，(6 - m)2 - 2 = 0，m = 6 -
2 ，(6 +
2 > 6，舍去)，
x1= x2=
2
2 ，
方程②中x =
2
3 ，
∴m = 6 -
2 ，P 的坐标为0，
2
2
或
0，
2
3
，
当方程①有两种不同实根时，
将②代入①得：
8 - 8
3 m + 2
9 m 2= 1
2 ，
m = 9
2 或15
2 (舍去)，m = 15
2 > 6(不符合题
意)，
∴方程①的解：
x1= 1，x2=- 1
2 (舍去)，
方程②的解：x = 1
2 ，
当m = 9
2 时，点P 的坐标为0，1
2
或
(0，1)，
综上所述，当m = 6 -
2 时，点P 的坐标
为0，
2
2
或0，
2
3
；当m = 9
2 时，
点P 的坐标为0，1
2
或(0，1)，此时
△PMN 和△GOP 相似．
18.【解答】解：(1) 设直线AB 的解析式为y =
kx + b，
把A (-5，3)，B (4，0) 分别代入得
-5k+b=3
4k+b=0
，
解得
k=- 1
3
b= 4
3
，
∴直线AB 的解析式为y =- 1
3 x + 4
3 ，
当x = 0 时，y = 4
3 ，
∴直线AB 与y 轴的交点D 的坐标为
0，4
3
，
∴△ABC 的水平宽为4 - (-5) = 9，铅垂高
为6 - 4
3 = 14
3 ，
∴△ABC 的面积= 1
2 × 9 × 14
3 = 21；
故答案为：9，14
3 ，21；
(2) 当x = 0 时，-x 2+ 2x + 3 = 0，
解得x1=-1，x2= 3，
∴C (3，0)，
当x = 0 时，y =-x 2+ 2x + 3 = 3，
∴A(0，3)，
∵y =-x 2+ 2x + 3 =- (x - 1)2+ 4，
∴抛物线的顶点B 的坐标为(1•，4)，
设直线AB 的解析式为y = kx + b，
把B ( 3 ，0 ) ，A ( 0 ，3 ) 分别代入得
3k+b=0
b=3
，
解得k=-1
b=3
，
∴直线AB 的解析式为y =-x + 3，
当x = 1 时，y =-1 + 3 = 2，
∴D(1，2)，
∴铅垂高BD = 4 - 2 = 2，
∴△ABC 的面积= 1
2 × 3 × 2 = 3．
故答案为：(1，4)，2，3．
19.【解答】解：(1) 由题意得：
a=2+c=0
c=-3
，解得：a=1
c=-3
，
则抛物线的表达式为：y = x 2- 2x - 3；
(2) 存在，理由：
∵S△BCE = 1
3 S四边形ACEB = 1
3 (S△ABC + S△BCE)，
则1
2 S△ABC = S△BCE，
分别过点A、E 作BC 的平行线AG 、EH ，
分别交y 轴于点G、H ，
则AG 的表达式为：y = x + 1，则点G (0，
1)，
则CG = 4，
∵1
2 S△ABC = S△BCE，
则CH = 1
2 CG = 2，
则点H (0，-5)，
则直线HE 的表达式为：y = x - 5，
联立上式和抛物线的表达式得：x - 5 = x 2
- 2x - 3，
解得：x = 1 或2，
即点E (1，-4) 或(2，-3)；
(3) 由抛物线的表达式知，点D(1，-4)，
则CD =
2 ，且CD 和y 轴负半轴的夹角为
45°，
而∠OCB = 45°，故CD ⊥BC ，延长DC 到
M 使CM = CD ，连接BM ，则△BMD 为等腰三
角形，
则∠CBD = ∠CBM ，
则∠MBD = 2∠CBD = ∠PBA，
过点D 作DH ⊥BM 于点H ，
则S△BDM = 1
2 × MD × BC = 1
2 × MB × DH ，
由点C 、D 、B 的坐标得：MD = 2 CD =
2 2，BC = 3 2，BD =
20 = BM ，
即2 2 × 3 2 =
20 × HD，
则HD = 12
20 ，
则sin∠HBD = DH
CD = 3
5 ，
则tan∠HBD = 3
4 = tan∠PBA，
故直线BP 的表达式为：y =- 3
4 (x - 3)，
联立y = x 2 - 2x - 3 和上式得：x 2 - 2x - 3 =
- 3
4 (x - 3)，
解得：x =- 7
4 ，
即点P 的坐标为：- 7
4 ，57
16
．
20.【解答】解：(1) ∵二次函数y = (x - 3)2 +
m 的图象经过点A(1，0)，
∴0 = (1 - 3)2+ m，
解得m =-4，
∴二次函数的解析式为y = (x - 3)2 - 4 = x 2
- 6x + 5，
当x = 0 时，y = 5，
∴点C (0，5)，
∵抛物线的对称轴为直线x = 3，
∴点B(6，5)．
由直线AB 的解析式为y = kx + b，
将点A ( 1 ，0 ) ，B ( 6 ，5 ) 代入得
k+b=0
6k+b=5
，
解得k=1
b=-1
，
∴一次函数的解析式为y = x - 1．
(2) 过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于点Q，
则S△APQ = 1
2 PQ• (xB - xA) = 15，
∴1
2 PQ × (6 - 1) = 15，
∴PQ = 6，
设P (t，t2- 6t + 5)，则Q(t，t - 1)，
∴PQ = |t2 - 6t + 5 - t + 1| = |t2 - 7t + 6| =
6，
解得t = 0 或7 或3 或4，
当x = 0 时，y = 5；当x = 7 时，y = 12，当
x = 3 时，y =-4，当x = 4 时，y =-3；
∴P (0，5) 或(7，12) 或(3，-4) 或(4，
-3)；
21.【解答】解：(1) ∵抛物线y = ax 2 + bx + 3
的顶点坐标为(-1，4)，将顶点坐标代入，
结合顶点坐标得：
- b
2a =-1
a-b+3=4
，
解得：a=-1
b=-2
，
∴抛物线解析式为y =-x 2- 2x + 3；
(2) 抛物线y =-x 2 - 2x + 3 与x 轴交于点A
和点B，与y 轴交于点C ，
第4页
函数图像| 性质分析| 压轴综合
2026 九上数学·二次函数专题讲义
答案与解析
九年级数学二次函数专题培优讲义
当y = 0 时，得：-x 2- 2x + 3 = 0，
解得：x =-3 或1；
当x = 0 时，得：y = 3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C (0，3)，
∴OB = OC = 3，
在直角三角形ABC 中，由勾股定理得：BC
=
OB 2+OC 2 = 3 2，∠CBO = 45°，
∵S△CPD：S△BPD = 1：2，设点P 到BC 的距
离为h，
∴S△CPD
S△BPD
=
1
2 CD⋅h
1
2 BD⋅h
= CD
BD = 1
2 ，
∴BD = 2
3 BC = 2
3 × 3 2 = 2 2，
过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，则△BDK 是等
腰直角三角形，
由勾股定理得：BK 2+ DK 2= BD 2，
∴DK = BK =
2
2 BD = 2，
∴OK = 3 - 2 = 1，
∴D(-1，2)．
22.【解答】解：(1) ∵抛物线y =- 1
2 x 2 + bx +
c 过B(4，0)，其对称轴为x = 3
2 ，
∴
- 1
2 ×42+4b+c=0
-
b
2× - 1
2
= 3
2
，
解得：b= 3
2
c=2
，
∴该抛物线的函数解析式为y =- 1
2 x 2 +
3
2 x + 2；
(2) 由y =- 1
2 x 2+ 3
2 x + 2，
当x = 0 时，y = 2，
则C (0，2)，
设直线BC 的解析式为y = mx + n，
∴4m+n=0
n=2
，
解得：m=- 1
2
n=2
，
∴直线BC 的解析式为y =- 1
2 x + 2．
过点P 作PD ∥y 轴，交BC 于点D，如图，
设点P 为x，- 1
2 x 2+ 3
2 x+2
，则点D 为
x，- 1
2 x+2
，
∴PD =- 1
2 x 2 + 3
2 x + 2 - - 1
2 x+2
=- 1
2 x 2 +
2x，
∵OB = 4，
∴S△BPC = 1
2 PD ⋅OB = 1
2 × - 1
2 x 2+2x
×
4 =-x 2+ 4x，
∴S△BPC =- (x - 2)2+ 4，
∵-1 < 0
∴当x = 2 时，S△BPC 取最大值4．
∴- 1
2 x 2 + 3
2 x + 2 =- 1
2 × 22 + 3
2 × 2 + 2 =
3，
∴点P 的坐标为(2，3)；
(3) 在对称轴上存在一点M ，使得△PBM
的周长最小，M 点坐标为
3
2 ，5
2
，理
由：
连接PA，交抛物线的对称轴于点M ，如
图，
则由将军饮马模型可知：此时△PBM 的周
长最小，
由y =- 1
2 x 2+ 3
2 x + 2 中，令y = 0，
则x = 4 或x =-1，
∴A(-1，0)，
设直线PA 的解析式为y = kx + m，
-k+m=0
2k+m=3
，
∴k=1
m=1
，
∴直线PA 的解析式为y = x + 1，
当x = 3
2 时，y = 5
2 ．
∴M
3
2 ，5
2
．
23.【解答】解：(1) 将于A(-1，0)、C (0，3)
代入y = ax 2+ 2x + c，
∴a-2+c=0
c=3
，
解得a=-1
c=3
，
∴y =-x 2+ 2x + 3；
(2) 将点D(m，3) 代入y =-x 2+ 2x + 3，
∴3 =-m 2+ 2m + 3，
∴m = 0 或m = 2，
∴D(2，3)，
令y = 0，则-x 2+ 2x + 3 = 0，
解得x = 3 或x =-1，
∴B(3，0)，
设直线BC 的解析式为y = kx + b，
∴3k+b=0
b=3
，
解得k=-1
b=3
，
∴y =-x + 3，
∴直线y =-x + 3 与直线y =-x 平行，
∴过D 点与直线y =-x + 3 垂直的直线与y
= x 平行，
设过D 点与直线BC 垂直的直线解析式为y
= x + m，
∴2 + m = 3，
解得m = 1，
∴y = x + 1，
联立方程组y=-x+3
y=x+1
，
解得x=1
y=2
，
∴E (1，2)，
设D 点关于直线BC 的对称点为F ，
∴F (0，1)，
∴直线BF 的解析式为y =- 1
3 x + 1，
联立方程组y=- 1
3 x+1
y=-x 2+2x+3
，
解得x=3
y=0
或
x=- 2
3
y= 11
9
，
∴P - 2
3 ，11
9
；
(3) 过点B 作BM ⊥m 交于点M ，过点Q 作
QN ∥y 轴BC 于点N ，
∵BC ∥m，∠OBC = 45°，
∴∠BAM = 45°，
∴BM =
2
2 AB，
∵B(3，0)，A(-1，0)，
∴AB = 4，
∴BM = 2 2，
∵EQ ⊥m，
∴EH = MB = 2 2，
∵EQ ⊥m，BM ⊥m，
∴BM ∥EQ，
∵BC ∥m，
∴四边形BMEH 为平行四边形，
∵∠BME = 90°
∴四边形BMEH 为矩形，
∴EH = MB = 2 2，EH ⊥BC ，
∵BC =
32+32 = 3 2，
∴S△BCE = 1
2 BC × EH = 1
2 × 3 2 × 2 2 =
6，
∵S四边形BECQ = S△BCE + S△BCQ，
∴当△BCQ 的面积最大时，四边形BECQ
的面积最大，
设Q(t，-t2+ 2t + 3)，则N (t，-t + 3)，
∴QN =-t2+ 2t + 3 + t - 3 =-t2+ 3t，
∴S △BCQ = 1
2
× 3 × ( - t 2 + 3 t ) =
- 3
2
t- 3
2
2
+ 27
8 ，
∴当t = 3
2 时，S△BCQ 有最大值27
8 ，此时
QH 的值也是最大的，
此时Q
3
2 ，15
4
，
∴当t = 3
2 时，S四边形BECQ 有最大值27
8 ，
最大值为6 + 27
8 = 75
8 ．
第5页
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24.【解答】解：抛物线y = x 2 - 2ax + 1(a > 1)
与x 轴交于A，B 两点(A 在B 的左侧)，
过点A 作AF ⊥AC 交BC 于点F ，过点F 作
FG ⊥x 轴于点G．
∴∠AGF = ∠COA = 90°，
∴∠OAC + ∠GAF = 90°
∠OCA + ∠OAC = 90°，
∴∠OCA = ∠GAF ，
∵∠ACB = 45°，
∴AF = CA，
设A(t，0)，
在△OCA 和△GAF 中
∠OCA=∠GAF
∠COA=∠AGF
CA=AF
∴△OCA ≌△GAF (AAS)，
∴OC = AG，
OA = GF = t，
当x = 0 时，y = 1，
∴C (0，1)，
∴OC = AG = 1
∴F (t + 1，t)，
设直线BC 的解析式为y = kx + 1，
则k(t + 1) + 1 = t，
∴k = t-1
t+1 ，
∴BC 的解析式为y = t-1
t+1 x + 1，
∵抛物线与x 轴的交点为A、B，
∴xAxB = 1，
∴xB = 1
t
∴B
1
t ，0
，代入y = t-1
t+1 x + 1，
得t-1
t+1 ⋅1
t + 1 = 0，
解得t =-1 ±
2，
经检验：t =-1 ±
2 是此方程的根，
∵t > 0，
∴t =
2 - 1，
∵- -2a
2
= 1
2 (xA + xB)，
∴2a = ( 2 - 1) +
1
2-1 ，
∴a =
2．
25.【解答】解：(1) ∵将抛物线G1：y = mx 2 +
2 3 (m ≠0) 向右平移
3 个单位长度后得
到抛物线G2，
∴抛物线G2：y = m(x -
3)2+ 2 3，
∴点A 的坐标为( 3，2 3)．
(2) ①设抛物线对称轴与直线l 交于点D，
如图1 所示．
∵点A 是抛物线顶点，
∴AB = AC ．
∵∠BAC = 90°，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴CD = AD =
3，
∴点C 的坐标为(2 3，
3)．
∵点C 在抛物线G2上，
∴
3 = m(2 3 -
3)2+ 2 3，
解得：m =-
3
3 ．
②依照题意画出图形，如图2 所示．
同理：当∠BAC = 60° 时，点C 的坐标为
( 3 + 1，
3)；
当∠BAC = 120° 时，点C 的坐标为( 3 +
3，
3)．
∵60° < ∠BAC < 120°，
∴点( 3 + 1，
3 ) 在抛物线G2 下方，点
( 3 + 3，
3) 在抛物线G2上方，
∴m( 3+1-
3)2+2 3>
3
m( 3+3-
3)2+2 3<
3
，
解得：- 3 < m <-
3
9 ．
26.【解答】解：如图，
当点D 在OP 左侧时，
由∠DPO = ∠POB，得DP ∥OB，
D 与P 关于y 轴对称，P (1，-3)，
得D(-1，-3)；
当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点
G．
作PH ⊥OB 于点H ，则OH = 1，PH = 3．
∵∠DPO = ∠POB，
∴PG = OG．
设OG = x，则PG = x，HG = x - 1．
在Rt△PGH 中，由x 2 = (x - 1)2 + 32，得x =
5．
∴点G(5，0)．
∴直线PG 的解析式为y = 3
4 x - 15
4 ，
解方程组
y= 3
4 x- 15
4
y= 1
5 x 2- 16
5
得
x=1
y=-3
或
x= 11
4
y=- 27
16
．
∵P (1，-3)，
∴D
11
4 ，- 27
16
．
∴点D 的坐标为( - 1 ，- 3 ) 或
11
4 ，- 27
16
．
27.【解答】解：抛物线y =- 1
2 x 2 - 3
2 x + 2 交x
轴于A，B 两点，交y 轴正半轴于点C ．
令y = 0，则- 1
2 x 2- 3
2 x + 2 = 0，
解得x = 1 或x =-4，
∴A(-4，0)，B(1，0)；
令x = 0，则y = 2，
∴C (0，2)，
∴AC 2 = AO 2 + CO 2 = 42 + 22 = 20，BC 2 = BO 2 +
CO 2 = 12 + 22 = 5，AB 2 = (AO + BO )2 = (4 + 1)2
= 25，
∴AC 2+ BC 2= AB 2，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ACO + ∠BCO = ∠ACO + ∠CAB = 90°，
∴∠BCO = ∠CAB，
取AC 的中点E ，连OE ，过C ，P 两点作直
线，
∴OE = AE = CE ，
∴∠BAC = ∠EOA，
∴∠OEC = ∠BAC + ∠EOA = 2∠BAC ，
∵∠ACP = 2∠BCO，
∴∠OEC = ∠ACP ，
∴OE ∥CP ，
∵A(-4，0)，C (0，2)，
∴E
-4+0
2
，0+2
2
，即E (-2，1)，
设直线OE 的解析式为y = kx，
∴-2k = 1，
∴k =- 1
2 ，
∴直线OE 的解析式为y =- 1
2 x，
∴直线CP 的解析式为y =- 1
2 x + 2，
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∴联立
y=- 1
2 x+2
y=- 1
2 x 2- 3
2 x+2
，
解得：x=0
y=2
(舍去) 或x=-2
y=3
，
∴P (-2，3)．
28.【解答】解：抛物线y =-x 2 + 2x + 3 与x 轴交
于A，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴
交于点C ，P 为第一象限内抛物线上一点．
过点C 作CF ∥OP ，过点E 作EF ⊥CE ，交
CF 于点F ，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，
∴∠FCE = ∠FCO + ∠OCE = ∠POC + ∠OCE =
45°，
∴CE = EF ，
∵∠CEO = 90° -∠HEF = ∠HFE ，∠COE =
∠FHE = 90°，
∴Rt△COE ≌Rt△EHF (AAS)，
∴FH = OE = 1，EH = CO = 3，
∴F (-2，-1)，
设直线CF 的解析式为y = kx + b，
∴-2k+b=-1
b=3
，
∴k=2
b=3
，
∴直线CF 的解析式为y = 2x + 3，
∴直线OP 的解析式为y = 2x，
联立y=2x，
y=-x 2+2x+3
，
解得x1=- 3，
y1=-2 3，
x2=
3，
y2=2 3，
∵点P 在第一象限，
∴P ( 3，2 3)．
29.【解答】解：(1) 由A(-1，0)，B(3，0)，
设y = a(x + 1) (x - 3)，
将点C (0，4) 代入得，-3a = 4，
解得a =-4，
∴y =- 4
3 x 2+ 8
3 x + 4．
(2)△DBC 是以BC 为腰的等腰三角形，
①当CB = CD 时，点B 与D 关于y 轴对称，
∴D(-3，0)，E (1，0)．
∴y =- 4
3 (x + 3) (x - 1) =- 4
3 x 2- 8
3 x + 4．
②当BC = BD 时，
∵B(3，0)，C (0，4)，
∴OB = 3，OC = 4．
∴BC =
32+42 = 5．
当D 在B 左边时，则D(-2，0)，
∴E (2，0)，
∴y =- 4
3 (x + 2) (x - 2) =- 4
3 x 2+ 16
3 ；
当D 在B 的右侧时，OD = 8，
∴D(8，0)，E (12，0)．
∴y =- 4
3 (x - 8) (x - 12) =- 4
3 x 2 + 80
3 x -
128；
综上所述：抛物线C2 的表达式为y =- 4
3 x 2
- 8
3 x + 4 或y =- 4
3 x 2 + 16
3
或y =- 4
3 x 2 +
80
3 x - 128．
30.【解答】解：(1) 由题意得
b
-2×(-2) = 1，
∴b = 4．
将(-1，0) 代入y =-2x 2+ 4x + c 中，
得-2 - 4 + c = 0，
解得c = 6．
(2) 由(1) 可得抛物线L1 的函数表达式为
y =-2x 2+ 4x + 6 =-2(x - 1)2+ 8，
∴C (0，6)．
由题意可知抛物线L2 的函数表达式为y =
-2(x - 1)2+ 8 - m 其中m > 0，
则抛物线L2 的顶点为P (1，8 - m )，点Q
的坐标为(0，6 - m)．
∴CP 2 = 1 + (8 - m - 6)2，CQ 2 = m 2，PQ 2 = 1
+ 22= 5，
如图，分情况讨论：
①如图1，当CP = PQ 时，1 + (8 - m - 6)2 =
5，
解得m = 4 或m = 0(舍去)．
∴抛物线L2 的函数表达式为y =-2(x - 1)
2+ 4；
②如图2，当CP = CQ 时，1 + (8 - m - 6)2 =
m 2，
解得m = 5
4 ，
∴抛物线L2 的函数表达式为y =-2(x - 1)
2+ 27
4 ，
③如图3，当CQ = PQ 时，m 2= 5
解得m1=
5，m2=- 5(舍去)，
∴抛物线L2 的函数表达式为y =-2(x - 1)
2+ 8 -
5．
综上，抛物线L2 的表达式为y =-2(x - 1)2
+ 4 或y =-2(x - 1)2 + 27
4 或y =-2(x - 1)2
+ 8 -
5．
31.【解答】解：(1) 抛物线L1：y =- 1
4 x 2 -
1
2 x + 2 交x 轴于点A，B(点A 在点B 左侧)，
当y = 0 时，得：0 =- 1
4 x 2- 1
2 x + 2，
解得：x =-4 或2，
∴点A(-4，0)，点B(2，0)，
∵抛物线L2 与L1 是“共根抛物线”，且
经过点(1，-5)，
设抛物线L2 的函数关系式为y = a(x + 4)
(x - 2)，将点(1，-5) 代入得：
-5 = a(1 + 4) (1 - 2)，
解得：a = 1，
∴抛物线L2 的函数关系式为y = (x + 4) (x
- 2) = x 2+ 2x - 8；
(2) 存在以点A，C ，P 为顶点的三角形是
以AC 为直角边的直角三角形；理由如下：
假设存在，设点P 的坐标为(-1，m)，
∵A(-4，0)，C (0，2)，
∴AC =
22+42 = 2 5，PC =
(2-m)2+12，
PA =
m 2+32，
当点P 在x 轴上方时，
依题意得：AC 2+ PC 2= AP 2，
∴(2 5)2+ [ (2-m)2+12]2= ( m 2+32)2，
解得：m = 4，
∴点P 的坐标为(-1，4)，
将点P 的坐标代入y = a(x + 4) (x - 2) 得：
4 = a(-1 + 4) (-1 - 2)，
解得：a =- 4
9 ，
∴抛物线L2 的函数关系式为y =- 4
9 (x + 4)
(x - 2) =- 4
9 x 2- 8
9 x + 32
9 ；
当点P 在x 轴下方时，
依题意得：AC 2+ AP 2= PC 2，
∴(2 5)2+ ( m 2+32)2= [ (2-m)2+12]2，
解得：m =-6，
∴点P 的坐标为(-1，-6)，
将点P 的坐标代入y = a(x + 4) (x - 2) 得：
-6 = a(-1 + 4) (-1 - 2)，
解得：a = 2
3 ，
∴抛物线L2 的函数关系式为y = 2
3 (x + 4)
(x - 2) = 2
3 x 2+ 4
3 x - 16
3 ；
综上所述，抛物线L2的函数关系式为：
y = 2
3 (x + 4) (x - 2) = 2
3 x 2 + 4
3 x - 16
3 或y
=- 4
9 (x + 4) (x - 2) =- 4
9 x 2- 8
9 x + 32
9 ．
32.【解答】解：(1) 由二次函数y = ax 2 + bx - 3
的图象交x 轴于点A(-3，0)、B(1，0)，
得0=9a-3b-3
0=a+b-3
，
解得a=1
b=2
，
∴二次函数表达式为y = x 2+ 2x - 3；
(2) ∵y = x 2+ 2x - 3 交y 轴于点C ，
∴C (0，-3)，
∴OC = 3，
设P (m，n) (m < 0，n > 0)，
由题意得S△PBD = 1
2 ⋅BD ⋅n，S△CBD = 1
2 ⋅BD
⋅OC ，
∵S△PBD = 4S△CBD，
∴1
2 ⋅BD ⋅n = 4 × 1
2 ⋅BD ⋅OC ，
即n = 4OC = 12，
∵点P 在二次函数y = x 2+ 2x - 3 图象上，
∴n = m 2+ 2m - 3，
即m 2+ 2m - 3 = 12，
解得m1=-5，m2= 3(舍去)，
∴点P 坐标为(-5，12)；
第7页
函数图像| 性质分析| 压轴综合
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答案与解析
九年级数学二次函数专题培优讲义
(3) 设Q(t，t2+ 2t - 3)，
①当∠ACQ = 90° 时，如图，
过Q 作GH ∥x 轴，交y 轴于点H ，过A 作
AG ⊥GH 于点G，
则∠G = ∠CHQ = ∠AQC = 90°，
∴∠AQG = ∠QCH = 90° -∠CQH ，
∴△AGQ ∽△QHC ，
∴AG
QH = GQ
CH ，即-t2-2t+3
-t
=
t+3
-t2-2t ，
整理得t2+ t - 1 = 0，
解得t = -1±
5
2
，
此
时
Q
-1+
5
2
，-5+
5
2
或
-1-
5
2
，-5-
5
2
；
②当∠CAQ = 90° 时，如图，
同理可得AGQ ∽△CHA，
∴AG
CH = GQ
AH ，即t2+2t-3
3
= t+3
3
，
整理得t2+ t - 6 = 0，
解得t = 2 或-3(舍去，与A 点重合)，
此时Q(2，5)；
③当∠AQC = 90° 时，如图，
此时可知点Q 为抛物线顶点，
∴Q(-1，-4)；
综上，Q 1 ( - 1 ，- 4 ) ，Q 2 ( 2 ，5 ) ，
Q
3 -1+
5
2
，-5+
5
2
，
Q4 -1-
5
2
，-5-
5
2
．
33.【解答】解：(1) 令x = 0，得y =- 1
2 x 2 + 2x
+ 2 = 2，
∴B(0，2)，
∵y =- 1
2 x 2+ 2x + 2 =- 1
2 (x - 2)2+ 4，
∴A(2，4)，
(2) ∵将抛物线C1 沿y = a 对称后，得到抛
物线C2与y 轴交于点C ，
∴抛物线C2 的顶点坐标为(2，2a - 4)，
二次项系数为1
2 ，C (0，2a - 2)，
∴抛物线C2 的表达式为：y = 1
2 (x - 2)2 +
2a - 4，
①当∠BCD = 90°，BC = CD 时，如图1，
则D(4，2a - 2)，
∴|2a - 4| = 4，
解得，a = 0，或a = 4，
∴此时抛物线C2 的表达式为：y = 1
2 (x -
2)2- 4 或y = 1
2 (x - 2)2+ 4；
②当∠CBD = 90°，BC = BD 时，如图2，
则D(2 + 2 3-a ，2)，
∴|2a - 4| = 2 + 2 3-a ，
解得，a = 3 或a = 2(舍弃)，a = 2(舍弃)
或a =-1，
∴此时抛物线C2 的表达式：y = 1
2 (x - 2)2
+ 2，或y = 1
2 (x - 2)2- 6；
③当∠BDC = 90° 时，D (2 - a，a) 或(a
- 2，a)，根据对称性，点D 在C1 也在C2
上，如图3 中，
∴a =- 1
2 (2 - a)2 + 2(2 - a) + 2 或a =- 1
2 (a
- 2)2+ 2(a - 2) + 2，
解得a =-4 或2(舍弃) 或a = 4，
抛物线C2 的表达式为：y = 1
2 (x - 2)2 - 12
或y = 1
2 (x - 2)2+ 4，
综上所述，满足条件的抛物线的解析式
为：y = 1
2 (x - 2)2 - 4 或y = 1
2 (x - 2)2 + 4
或y = 1
2 (x - 2)2 + 2 或y = 1
2 (x - 2)2 - 6 或
y = 1
2 (x - 2)2- 12．
34.【解答】解：(1) 已知二次函数y =- 1
6 x 2 +
bx + c 的图象经过点A(0，6)，B (8，6)，
把点A，点B 的坐标代入得：
- 64
6 +8b+c=6
c=6
，
解得：b= 4
3
c=6
，
∴二次函数的解析式为y =- 1
6 x 2+ 4
3 x + 6；
(2) ∵点A(0，6)，B(8，6)，
∴AB = 8，OA = CB = 6，
∵四边形OABC 是矩形，
∴OC = AB = 8，
当0 < m ≤6 时，点P 在CB 上运动，
此时OP 扫过的图形是△OPC ，
∴S = 1
2 OC ⋅CP = 1
2 × 8 × m = 4m，
当点P 运动到AB 边上时，如图1，
此时OP 扫过的图形是四边形OCBP ′，
S 四边形OCBP ′ = S △OCP + S △OBP ′ = 1
2 OC ⋅BC +
1
2 BP ′ ⋅OA，
S四边形OCBP ′= 24 + 1
2 × 6(m - 6) = 3m + 6，
综上所述，S = 4m(0<m≤6)
3m+6(6<m<14)
；
(3) 抛物线上存在点D ，使△PDA 是等腰
直角三角形；点D 的坐标为(-4，-2) 或
(2，8) 或(6，8)．理由如下：
当点P 在BC 边上时，AP 为等腰直角三角
形的斜边时，
如图2，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，延长
CB 交MD 的延长线于点N ，
则∠AMD = ∠DNP = 90°，
∴∠MAD + ∠MDA = 90°，
∵∠ADP = 90°，
∴∠PDN + ∠MDA = 90°，
∴∠MAD = ∠NDP ，
在△AMD 和△DNP 中，
∠AMD=∠DNP
∠MAD=∠NDP
AD=DP
，
∴△AMD ≌△DNP (AAS)，
∴AM = DN ，MD = NP ，
设点D 的坐标为t，- 1
6 t2+ 4
3 t+6
，
则MD = t，AM = ND = 8 - t，
∵OM = OA + AM = 6 + 8 - t，
∴6 + 8 - t =- 1
6 t2+ 4
3 t + 6，
整理得：t2- 14t + 48 = 0，
解得：t1= 6，t2= 8，
当t = 8 时，OM = OA + AM = 6 + 8 - t = 6，
此时点D 的坐标为(8，6) 与点B 重合，
故应舍去；
当t = 6 时，OM = OA + AM = 6 + 8 - t = 8，
此时点D 的坐标为(6，8)；
当点P 在AB 边上时，AD 为等腰直角三角
形的斜边时，
第8页
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答案与解析
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如图3，
点p 的坐标为(t，6)，则点D 的坐标为
t，- 1
6 t2+ 4
3 t+6
，
∵AP = DP ，
∴- 1
6 t2+ 4
3 t + 6 - 6 = t，
整理得：t2- 2t = 0，
解得：t1= 0，t2= 2，
当t = 0 时，- 1
6 t2+ 4
3 t + 6 = 6，
此时点D 的坐标为(0，6)，与A 点重合，
故应舍去，
当t = 2 时，- 1
6 t2+ 4
3 t + 6 = 8，
此时点D 的坐标为(2，8)；
如所4，
当点P 在BC 边上时，DP 为等腰直角三角
形的斜边时，
过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，
则∠AFD = ∠ABP = 90°，
又∵∠DAP = ∠BAO = 90°，
∴∠DAF + ∠OAP = ∠BAP + ∠OAP = 90°，
则∠DAF = ∠BAP ，
在△AFD 和△ABP 中，
∠AFD=∠ABP
∠DAF =∠BAP
AD=AP
，
∴△AFD ≌△ABP (AAS)，
∴AF = AB = 8，
∵AO = 6，
∴FO = 2，
∴点D 的纵坐标为-2，
解方程- 1
6 t2+ 4
3 t + 6 =-2，
整理得：t2- 8t - 48 = 0，
解得：t1= 12，t2=-4，
当t = 12 时，此时点D 与AP 不能构成直角
三角形，
故应舍去，
当t =-4 时，对应的纵坐标为(-4，-2)，
综上所述，抛物线上存在点D ，使△PDA
是等腰直角三角形；点D 的坐标为(-4，
-2) 或(2，8) 或(6，8)．
35.【解答】解：(1) ∵二次函数y = ax 2 + bx -
3 的图象与x 轴交于点A(-1，0)，B (3，
0)，
∴a-b-3=0
9a+3b-3=0
，
∴a=1
b=-2
，
∴抛物线是函数表达式为y = x 2- 2x - 3；
∵A(-1，0)，B(3，0)，
∴AB = 4，
设点D 的纵坐标为h，由题意：h > 0，
∵△ABD 的面积为10，
∴1
2 × 4 × h = 10，
∴h = 5，
∴D(4，5)．
设直线AC 的解析式为y = kx + b，
∴-k+b=0
4k+b=5
，
∴k=1
b=1
，
∴直线AC 的函数表达式y = x + 1．
(2) ∵y = x 2- 2x - 3 = x - 1)2- 4，
∴抛物线= x 2 - 2x - 3 的对称轴为直线x =
1，
设抛物线的对称轴交x 轴于点E ，则AE =
BE = 2，
①当点P ，Q 在x 轴上方时，在抛物线的
对称轴上取一点M ，使AM = AB = 4，连接
BM ，AQ ，PM ，设AP 与BM 交于点F ，如
图，
∵点M ，Q 在抛物线的对称轴上，
∴AQ = BQ，AM = BM = 4，
∴AM = BM = AB = 4，
∴△ABM 为等边三角形，
∴∠ABM = 60°，
∵△BPQ 为等边三角形，
∴BQ = BP ，∠QBP = 60°，
∴∠ABM = ∠QBP = 60°，
∴∠ABQ = ∠MBP ，
在△ABQ 和△MBP 中，
BA=BM
∠ABQ=∠MBP
BQ=BP
，
∴△ABQ ≌△MBP (SAS)，
∴PM = AQ，
∴PM = PB，
∵AM = AB，
∴AP 为BM 的垂直平分线，
∴点F 为BM 的中点，
∵ME =
AM 2-AE2 = 2 3，
∴M (1，2 3)，
∵B(3，0)，
∴F (2，
3)．
设直线AP 的解析式为y = cx + d ，
∴2c+d =
3
-c+d =0
，
∴
c=
3
3
d =
3
3
，
∴直线AP 的函数表达式为y =
3
3
x +
3
3 ；
②当点P ，Q 在x 轴下方时，在抛物线的
对称轴上取一点M ，使AM = AB = 4，连接
BM ，AP ，PM ，设AP 与y 轴交于点F ，如
图，
∵点M ，Q 在抛物线的对称轴上，
∴AQ = BQ，AM = BM = 4，
∴AM = BM = AB = 4，
∴△ABM 为等边三角形，
∴∠ABM = 60°，
∵△BPQ 为等边三角形，
∴BQ = BP ，∠QBP = 60 ° ，∠QMB =
1
2 ∠AMB = 30°，
∴∠ABM = ∠QBP = 60°，
∴∠MBQ = ∠ABP ，
在△ABP 和△MBQ 中，
BA=BM
∠ABP =∠MBQ
BP =BQ
，
∴△ABP ≌△MBQ(SAS)，
∴∠PAB = ∠QMB = 30°，
∴OF = OAtan30° =
3
3 ，
∴F 0，-
3
3
，
设直线AP 的解析式为y = ex + f ，
-e+f =0
f =-
3
3
，
∴
e=-
3
3
f =-
3
3
，
∴设直线AP 的解析式为y =-
3
3 x -
3
3 ．
综上，当△BPQ 为等边三角形时，直线AP
的函数表达式为y =
3
3
x +
3
3
或y =
-
3
3 x -
3
3 ．
36.【解答】解：(1) 把B(2，3)，顶点(1，4)
代入y =-x 2+ bx + c，得：
-4+2b+c=3
-1+b+c=4
，
解得：b=2
c=3
，
∴抛物线的解析式为y =-x 2+ 2x + 3；
(2) 把B(2，3) 代入y = kx，得：3 = 2k，
解得：k = 3
2 ，
∴y = 3
2 x，
联立得：y= 3
2 x
y=-x 2+2x+3
，
解得：
x1=- 3
2
y1=- 9
4
，x2=2
y2=3
，
第9页
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∴A - 3
2 ，- 9
4
，
过点P 作PC ∥y 轴，交AB 于C ，如图1，
设点P 的坐标为(x ，-x 2 + 2x + 3)，则
C x，3
2 x
，
∴S△ABP = 1
2
-x 2+2x+3- 3
2 x
2- - 3
2
=- 7
4 x 2+ 7
8 x + 21
4
=- 7
4
x- 1
4
2
+ 343
64 ，
∵- 7
4 < 0，
∴当x = 1
4 时，S△ABP 值最大，最大值为
343
64 ；
(3) 存在点M ，使得△MPQ 为等边三角形；
点M 的坐标为
3+
21
2
，- 3+
21
2
或
3-
21
2
，- 3-
21
2
；理由如下：
如图2，
对于抛物线y =-x 2+ 2x + 3，
令x = 0，则y = 3，
∴F (0，3)，
∴OF = 3，
令y = 0，则-x 2+ 2x + 3 = 0，
解得：x1=-1，x2= 3，
∴E (-1，0)，C (3，0)，
∴OC = 3，
∴OC = OF ，
∵CN ⊥PQ，
∴∠CNQ = 90°，
∴∠QCN + ∠NQC = 90°，
∵∠COP = 90°，
∴∠CNQ = ∠COP ，∠PCO + ∠CPO = 90°，
∴∠NQC = ∠CPO，即∠FQO = ∠CPO，
在△FOQ 与△COP 中，
∠FQO=∠CPO
∠FOQ=∠COP
OF =OC
，
∴△FOQ ≌△COP (AAS)，
∴OQ = OP ，
∴设P (0，a)，则Q(-a，0)，
设M (x，-x 2+ 2x + 3)，
∴PM 2 = x 2 + (-x 2 + 2x + 3 - a)2，QM 2 = (-a
- x)2+ (-x 2+ 2x + 3)2，PQ =
2a，
当△MPQ 为等边三角形时，
∴PM = QM ，
∴x 2 + (-x 2 + 2x + 3 - a)2 = (-a - x)2 + (-x 2 +
2x + 3)2，
化简得：x 2- 3x - 3 = 0，
解得：x1= 3+
21
2
，x2= 3-
21
2
，
当x = 3+
21
2
时，则- x 2 + 2 x + 3 =
- 3+
21
2
2
+ 2 × 3+
21
2
+ 3 =- 3+
21
2
，
∴M
3+
21
2
，- 3+
21
2
，
当x = 3-
21
2
时，则- x 2 + 2 x + 3 =
- 3-
21
2
2
+ 2 × 3-
21
2
+ 3 =- 3-
21
2
，
∴M
3-
21
2
，- 3-
21
2
，
∴存在点M ，使得△MPQ 为等边三角形；
点M 的坐标为
3+
21
2
，- 3+
21
2
或
3-
21
2
，- 3-
21
2
．
37.【解答】解：(1) 把x = 0 代入y =-x - 3 得y
=-3；
把y = 0 代入y =-x - 3 得x =-3．
∴．A(-3，0)，C (0，-3)．
∵抛物线y = ax 2 + bx + c 经过A，C ，B 三
点，
∴
9a-3b+c=0
a+b+c=0
c=-3
，
解得
a=1
b=2
c=-3
，
∴抛物线的表达式为y = x 2+ 2x - 3．
(2) ∵y = x 2+ 2x - 3 = (x + 1)2- 4，
∴抛物线对称轴为直线x =-1．
∵过点P 作l 的垂线，垂足为D，
∴∠PDE = ∠BOC = 90°．
∵C (0，-3)，A(-3，0)，B(1，0)，
∴OB = 1，OC = 3．
设P (x，x 2 + 2x - 3)，则D (-1，x 2 + 2x -
3)，
当PD = OC ，DE = OB 时，△PDE ≌△COB ，
此时| -1 - x| = 3，
解得x =-4 或x = 2．
∴点P 坐标为(-4，5) 或(2，5)，
当PD = OB，DE = OC 时，△EDP ≌△COB，
此时| -1 - x| = 1，
解得x =-2 或x = 0．
∴点P 坐标为(-2，-3) 或(0，-3)．
综上，点P 坐标为(-4，5) 或(2，5) 或(
-2，-3) 或(0，-3)．
38.【解答】解：(1) 设抛物线的函数表达式为
y = a(x - 1)2+ 1，
抛物线与x 轴交于点O 和点B ，把O (0，
0) 代入，得a =-1．
∴y =- (x - 1)2+ 1．
(2) 不存在以O ，M ，N 为顶点的△ONM ，
使得△ONM ≌△ABC ．
理由如下：∵直线y = x - 2 经过点B，C ，
∴当y = 0 时，x = 2，点B 坐标为(2，0)，
x - 2 =- (x - 1)2+ 1，
解得：xi =-1，x2= 2．
当x =-1 时，y =-3，点C 坐标为(-1，
-3)．
AB =
2，AC = 2 5，BC = 3 2，
AB 2= 2，BC 2= 18，AC 2= 20，
∴AB 2+ BC 2= AC 2，
根据勾股定理的逆定理得，△ABC 是直角
三角形，∠ABC = 90°．
，
要使△ONM ≌△ABC ，∠ABC = ∠ONM =
90°，应该满足AB = ON =
2 ，BC = MN =
3 2，
顶点A(1，1)，M 只能在x 轴下方，
当ON =
2 时，x =- 2 ，y =- (- 2 - 1)2 +
1 =-2 - 2 2，MN = 2 + 2 2 ≠3 2，两三角
形不全等．
∴不存在以O ，M ，N 为顶点的△ONM ，
使得△ONM ≌△ABC ．
39.【解答】解：(1) 二次函数y = ax 2+ bx + 2 的
图象与x 轴交于A(-3，0)，B (1，0) 两
点，将点A，点B 的坐标分别代入得：
0=9a-3b+2
0=a+b+2
，
解得：
a=- 2
3
b=- 4
3
，
∴二次函数解析式为y =- 2
3 x 2- 4
3 x + 2；
(2) 存在点P ，使△ACP 面积最大；理由
如下：
如图1，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN
⊥y 轴于N ．
∵点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点，
∴设点P 坐标为m，- 2
3 m 2- 4
3 m+2
，则
PM =- 2
3 m 2- 4
3 m + 2，PN =-m，AO = 3．
二次函数y =- 2
3 x 2 - 4
3 x + 2 与y 轴交于点
C ，
当x = 0 时，得：y = 2，
∴C (0，2)，
∴OC = 2，
∴S△PAC = S△PAO + S△PCO - S△ACO
= 1
2 AO•PM + 1
2 CO•PN - 1
2 AO•CO
= 1
2 × 3• - 2
3 m 2- 4
3 m+2
+ 1
2 × 2• (
-m) - 1
2 × 3 × 2
第10页
函数图像| 性质分析| 压轴综合
2026 九上数学·二次函数专题讲义
答案与解析
九年级数学二次函数专题培优讲义
=-m 2- 3m，
∵a =-1 < 0，
∴函数S△PAC =-m 2 - 3m =- m+ 3
2
2
+ 9
4 有最
大值，当m =- 3
2 时，S△PAC 有最大值，
此时P - 3
2 ，5
2
；
∴存在点P - 3
2 ，5
2
，使△ACP 面积最
大；
(3) 在x 轴上存在点Q ，使以A、C 、M 、
Q 为顶点的四边形是平行四边形；点Q 的
坐标为Q1(-5，0)，Q2(-1，0)，Q3(2 +
7，0)，Q4(2 -
7，0)．理由如下：
假设存在点Q 使以A、C 、M 、Q 为顶点
的四边形是平行四边形，
①若CM 平行于x 轴，如图2，有符合要求
的两个点Q1，Q2，
此时Q1A = Q2A = CM ．
∵CM ∥x 轴，
∴点M 、点C (0，2) 关于对称轴直线x =
-1 对称，
∴M (-2，2)，
∴CM = 2．由Q1A = Q2A = CM = 2，
∵A(-3，0)，
∴Q1(-5，0)，Q2(-1，0)；
②若CM 不平行于x 轴，如图3，过点M 作
MG ⊥x 轴于点G，
则∠MGO = ∠COA = 90°，
∵AC ∥MQ，且AC = MQ，
∴∠CAO = ∠MQG，
在△MGQ 和△COA 中，
∠MGQ=∠COA
∠MQG=∠CAO
MQ=CA
，
∴△MGQ ≌△COA(AAS)，
∴QG = OA = 3，MG = OC = 2，即yM =-2．
设M (x，-2)，则- 2
3 x - 4
3 x + 2 =-2，
解得：x =-1 ±
7．
又∵QG = 3，
∴xQ = xG + 3 = 2 ±
7，
∴Q3(2 +
7，0)，Q4(2 -
7，0)，
综上所述，在x 轴上存在点Q ，使以A、
C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形；
点Q 的坐标为Q1(-5，0)，Q2(-1，0)，Q3
(2 +
7，0)，Q4(2 -
7，0)．
40.【解答】解：(1) ∵y = (x + 4)2，
∴对称轴为直线x =-4；
(2) 存在，理由如下：
令x = 0，则y = 16，
令y = 0，则x =-4，
∴A(-4，0)，B(0，16)，O(0，0)，
∵以P ，A，O ，B 为顶点的四边形为平
行四边形，
设P (m，n)，
当AB 为对角线时，则
-4+0
2
= 0+m
2
16+0
2
= 0+n
2
，
解得：m=-4
n=16
，
∴P (-4，16)，
当AO 为对角线时，则
-4+0
2
= 0+m
2
0+0
2
= 16+n
2
，
解得：m=-4
n=-16
，
∴P (-4，-16)，
当AP 为对角线时，则
-4+m
2
= 0+0
2
0+n
2
= 16+0
2
，
解得：m=4
n=16
，
∴P (4，16)，
综上所述，P 点坐标为(4，16) 或(-4，
-16) 或(-4，16)．
41.【解答】解：(1) 抛物线y = ax 2 + bx - 6 与x
轴交于A(2，0)，B(-6，0) 两点，将点A，
点B 代入y = ax 2+ bx - 6 得：
4a+2b-6=0
36a-6b-6=0
，
解得：a= 1
2
b=2
，
∴抛物线解析式为y = 1
2 x 2+ 2x - 6；
(2) 存在点P ，使得四边形BPCQ 是菱形；
理由如下：
抛物线y = ax 2 + bx - 6 与y 轴交于点C ，由
y = 1
2 x 2+ 2x - 6 得：
当x = 0 时，y =-6，
∴C (0，-6)，
∴OC = 6，
∵B(-6，0)，
∴OB = 6，
∴△BOC 是等腰三角形．
如图，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则D (
-3，-3)，
设直线OD 的解析式为y = kx，将D 点坐标
代入得：
-3 =-3k，
解得：k = 1，
∴直线OD 的解析式为y = x．
∵四边形四边形BPCQ 是菱形，
∴PQ ⊥BC ，则点P 在直线OD 上，
联立
y=x
y= 1
2 x 2+2x-6
，
解得：x=
13-1
y=
13-1
或x=- 13-1
y=- 13-1
，
∴P 点的坐标为( 13 - 1，
13 - 1) 或(
- 13 - 1，- 13 - 1)．
42.【解答】解：(1) 二次函数y = ax 2 - 2x +
c(a ≠0) 的图象是一条抛物线，图象与x
轴交于点A 和点B (3，0)，与y 轴交于点C
(0，-3)．将点B，点C 的坐标分别代入得：
9a-6+c=0
c=-3
，
解得：a=1
c=-3
，
∴抛物线的解析式为y = x 2- 2x - 3；
(2) 设直线BC 的解析式为y = kx + b，把
B，C 点的坐标分别代入得：
3k+b=0
b=-3
，
解得：k=1
b=-3
，
∴直线BC 的解析式为y = x - 3
如图②，点P 为直线BC 下方抛物线上的
点，
设P (a，a2- 2a - 3)，
∴M (a，a - 3)，
∴PM = a - 3 - a 2 + 2 a + 3 =- a 2 + 3 a =
- a- 3
2
2
+ 9
4 ，
当a = 3
2 时，PMmax= 9
4 ，
∴P
3
2 ，- 15
4
；
(3) 所有满足条件的点E 的坐标为(5，-2)
或( - 1 ，- 2 ) 或
1，-3-
17
2
或
1，-3+
17
2
．理由如下：
由题意可得：y′ = (x - 1)2 - 2(x - 1) - 3 -
1 = x 2- 4x - 1 = (x - 2)2- 5，
y′ 的对称轴为x = 2．
∵B(3，0)，C (0，-3)，
∴OC = OB = 3，∠BCO = ∠CBO = 45°，
如图③-1：当BC 为矩形一边时，且点D
在x 轴的下方，过D 作DF ⊥y 轴于点F ，
∵D 在y′ 的对称轴上，
∴FD = 2，
第11页
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答案与解析
九年级数学二次函数专题培优讲义
∵∠BCD = 90°，∠BCO = 45°，
∴∠DCF = 45°，
∴CF = FD = 2，OF = 3 + 2 = 5，即点D (2，
-5)，
∴点C 向右平移2 个单位、向下平移2 个
单位可得到点D ，则点B 向右平移2 个单
位、向下平移2 个单位可得到点E (5，
-2)；
如图③-2：当BC 为矩形一边时，且点D
在x 轴的上方，y′ 的对称轴为x = 2 与x
轴交于点F ，
∵D 在y′ 的对称轴上，
∴FO = 2，
∴BF = 3 - 2 = 1，
∵∠CBO = 45°，即∠DBO = 45°，
FD = 1，即点D(2，1)，
∴点B 向左平移1 个单位、向上平移1 个
单位可得到点D ，则点C 向左平移1 个单
位、向上平移1 个单位可得到点E (-1，
-2)；
如图③-3：当BC 为矩形对角线时，设D
(2，d )，E (m，n)，BC 的中点F 的坐标
为
3
2 ，- 3
2
，
依意得：
2+m
2
= 3
2
d +n
2
=- 3
2
，
解得：m=1
d +n=-3
，
又∵DE = BC ，
∴(2 - 1)2+ (d - n)2= 32+ 32，
解得：d - n =± 17，
联立得：d -n=± 17
d +n=-3
，
解得：n = -3±
17
2
，
∴点E 的坐标为
1，-3-
17
2
或
1，-3+
17
2
．
综上所述，所有满足条件的点E 的坐标为
(5，-2) 或(-1，-2) 或1，-3-
17
2
或1，-3+
17
2
．
43.【解答】解：(1) 将A(-1，0)，B (4，5)
代入y = x 2+ mx + n 得，
1-m+n=0
16+4m+n=5
，
解得m=-2
n=-3
，
∴抛物线的解析式为y = x 2- 2x - 3；
(2) 设直线AB 的函数解析式为y = kx + b，
将A(-1，0)，B(4，5) 代入得：
-k+b=0
4k+b=5
，
解得k=1
b=1
，
∴直线AB 的解析式为y = x + 1，
∵AC + BC ≥AB，
∴当点A、B 、C 三点共线时，AC + BC 的
最小值为AB 的长，
∵抛物线y = x 2 - 2x - 3 的对称轴为直线x
= 1，
在y = x + 1 中，令x = 1 得y = 2，
∴C (1，2)；
(3) 存在以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边
形是正方形，理由如下：
当CF 为对角线时，如图，
此时F 为直线y = x + 1 与y 轴的交点(0，
1)，
∵C (1，2)，
∴M (0，2)，N (1，1)，
∴四边形CMFN 是正方形时，N 坐标为(1，
1)；
当CF 为边时，若点F 在C 的上方，如图，
此时∠MFC = 45°，而直线AB 与x 轴夹角
为45°，
∴MF ∥x 轴，
∵△MCF 是等腰直角三角形，C (1，2)，
∴MF = CN = 2，
∴N (1，4)；
当点F 在点C 的下方时，如图，四边形
CFNM 是正方形，
同理可得N (-1，2)，
当点F 在点C 的下方时，如图，四边形
CFMN 是正方形，
同理可得N
1
2 ，5
2
，
综上所述：N 的坐标为(1，1) 或(1，4)
或(-1，2) 或
1
2 ，5
2
．
44.【解答】(1) 根据“伴随抛物线”定义可
知，抛物线C2 的函数表达式y2 = ax 2 + 2ax +
a - 2，
∵y2= ax 2+ 2ax + a - 2 = a(x + 1)2- 2，
∴顶点坐标为(-1，-2)；
(2) 设点P (t，0)，
∵C1：y = 2ax 2 + ax + a - 2(a ≠0)，C2：y
= ax 2+ 2ax + a - 2，
∴M (t，2at2+ at + a - 2)，
∴N (t，at2+ 2at + a - 2)，
∴MN = |2at2 + at + a - 2 - at2 - 2at - a + 2|
= a|t2- t|，
∵MN = 12a，
∴a|t2- t| = 12a，
∴t2- t - 12 = 0 或t2- t + 12 = 0，
∵t2- t + 12 = 0 的判别式Δ = 1 - 144 < 0，
∴方程无解；
∵t2- t - 12 = 0，
解得t1= 4，t2=-3，
∴P (-3，0) 或P (4，0)；
(3) ∵C2y = a(x + 1)2- 2，
∴当x =-1 时，y =-2．
当x = a - 3 时，y = a(a - 3 + 1)2 - 2 = a(a -
2)2- 2，
当x = a - 1 时，y = a(a - 1 + 1)2 - 2 = a3 -
2；
据题意可知，需要分三种情况讨论：
1 当a - 3 <-1 < a - 1，即0 < a < 2 时，
若-1 - (a - 3) > a - 1 - (-1)，即0 < a ≤1，
则y大= a(a - 2)2- 2；y小=-2，
∴a(a - 2)2- 2 - (-2) = 2a，
解得a = 2 -
2 或a = 2 +
2 (舍去) 或a = 0
(舍去)，
若-1 - (a - 3) < a - 1 - (-1)，即1 < a < 2
时，y大= a3- 2 3，y小=-2，
∴a3- 2 - (-2) = 2a，
解得a =
2 或a =-
2
(舍去) 或a = 0
(舍)；
第12页
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答案与解析
九年级数学二次函数专题培优讲义
Ⅱ当-1 ≤a - 3 ≤a - 1，即a ≥2 时，y大
= a3- 2 3，y小= a(a - 2)2- 2，
∴a3- 2 - [a(a - 2)2- 2] = 2a，
解得a = 3
2
(舍去) 或a = 0(舍去)；
Ⅲ当a - 3 ≤a - 1 ≤-1，即a ≤0 时，y大=
a(a - 2)2- 2，y小= a3- 2，
∴a(a - 2)2- 2 - (a3- 2) = 2a，
解得a = 1
2
(舍去) 或a = 0(舍去)，
综上所述，a 的值为2 -
2 或
2．
45.【解答】解：(1) ∵P (-2，4)，
∴4 - (-2) = 6，
∴点P (-2，4) 的“纵横值”为6，
故答案为：6；
(2) 二次函数y =-x 2 + 7x + 1 图象上所有点
的“纵横值”可以表示为y - x =-x 2 + 7x +
1 - x =-x 2+ 6x + 1 =- (x - 3)2+ 10，
当-2 ≤x ≤4 时，x = 3 时，函数有最大
值10，x =-2 时，函数有最小值-15，
∴函数“最优纵横值”为10，“最劣纵
横值”为-15；
(3) 二次函数y = ax 2 + 2ax + c(a < 0) 的对
称轴为x =- 2a
2a =-1，
∵顶点在“纵横值”为5 的函数图象上，
∴顶点在y - x = 5 的图象上，
∴顶点坐标为(-1，4)，
∴y = a(x + 1)2+ 4 = ax 2+ 2ax + a + 4；
①y - x = ax 2 + (2a - 1)x + a + 4 的“最优纵
横值”为21
4 ，
∴4a(a+4)-(2a-1)2
4a
= 21
4 ，
解得a =-1，
∴二次函数的表达式为y =-x 2- 2x + 3；
②y - x = a2 + (2a + 1)x + a + 4 - x = a2 + 2ax
+ a + 4 = a(x + 1)2+ 4，
∴顶点坐标为(-1，4)，
当x = a + 1 时，y - x = a(a + 2)2+ 4，
当x = a + 3 时，y - x = a(a + 4)2+ 4，
∵a < 0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x <-1 时，y - x 随x 的增大而增大；
当x >-1 时，y - x 随x 的增大而减小，
当a + 3 ≤-1，即a ≤-4 时，t1 = a(a + 4)2
+ 4，t2= a(a + 2)2+ 4，
∴t2 - t1 = [a(a + 2)2 + 4] - [a(a + 4)2 + 4] =
2a，
解得a = 0 或a =- 7
2 (不合题意，舍去)；
当a + 1 ≥-1，即a ≥-2 时，t1 = a(a + 2)2
+ 4，t2= a(a + 4)2+ 4，
∴t2 - t1 = [a(a + 4)2 + 4] - [a(a + 2)2 + 4] =
2a，
解得a = 0 或a =- 5
2 (不合题意，舍去)；
当a + 1 <-1 < a + 3，即-4 < a <-2 时，
当-1 - (a + 1) ≥a + 3 - (-1)，即-4 < a ≤
-3 时，t1= 4t2= a(a + 2)2+ 4，
∴t2- t1= a(a + 2)2+ 4 - 4 = 2a，
解得a = 0(不合题意，舍去) 或a =-2 -
2
或a =-2 +
2(不合题意，舍去)；
当-1 - (a + 1) < t < a + 3 - (-1)，即-3 < a <
-2 时，t1= 4，t2= a(a + 4)2+ 4，
∴t2- t1= a(a + 4)2+ 4 - 4 = 2a，
解得a = 0(不合题意，舍去) 或a =-4 +
2
或a =-4 -
2(不合题意，舍去)；
综上所述，a 的值为-2 -
2 或-4 +
2．
46.【解答】证明：(1) 联立y=ax 2
y=kx+b1
，
得ax 2- kx - b1= 0，
∴xA + xB = k
a ，
同理可得xC + xD = k
a ，
∴xA + xB = xC + xD = k
a ．
(2) 设A(xA，ax 2
A)，B(xB，ax 2
B)，C (xC，
ax 2
C)，D(xD，ax 2
D)，
直线AC 的解析式为y = k1x + m，
将A(xA，ax 2
A )，C (xC ，ax 2
C ) 代入可得
ax 2
A =k1xA+m
ax 2
C =k1xC +m
，
解得k1=a(xA+xC)
m=-axAxC
，
∴直线AC 的解析式为y = a(x A + x C )x -
axAxC ①，
同理可得直线BD 的解析式为y = a(xB + xD)
x - axBxD ②，
①②相减得(xA + xC - xB - xD)x = xAxC - xBxD．
∵xA + xC - xB - xD ≠0，
∴x =
xAxC -xBxD
xA+xC -xB -xD
，
由(1) 中结论可得xB = k
a - xA，xD = k
a -
xc，
∴xA + xC - xB - xD = 2(xA + xC) - 2k
a ，xAxC -
xB xD = xAxC -
k
a -xA
⋅
k
a -xC
= k
a (xA +
xC) - k2
a2 = k
2a
2(xA+xC)- 2k
a
，
代入即得x = k
2a ．
∴交点P 的横坐标是xP = k
2a ．
47.【解答】(1) 证明：设直线CD 的解析式为y
= kx + b，直线AB 的解析式为y = px + q．
把点P (m，n) 分别代入两式可得：n = mk
+ b，n = mp + q．
联立直线CD 解析式与抛物线y = ax 2 得ax 2
- kx - b = 0，则xC + xD = k
a ，xC•xD =- b
a ．
联立直线AB 解析式与抛物线y = ax 2 得ax 2
- px - q = 0，则xA + xB = p
a ，xA•xB =- q
a ．
∵(xA - m ) (xB - m ) = xA•xB - m (xA + xB) +
m 2=- mp+q
a
+ m 2= m 2- n
a ，
(xC - m) (xD - m) = xC•xD - m(xC + xD) + m 2 =
- mk+b
a
+ m 2= m 2- n
a ，
∴(xA - m) (xB - m) = (xC - m) (xD - m)．
(2) 证明：设直线AC 的解析式为y = k1x +
b1，直线BD 的解析式为y = k2x + b2，
则k1= yA-yC
xA-xC
= a(x 2
A -x 2
C)
xA-xC
= a(xA + xC)．
∴ax 2
A = a(xA + xC)xA + b1，即b1=-axCxA．
故直线AC 的解析式为y = a (x A + x C )x -
axCxA．
同理直线BD 的解析式为y = a(xB + xD)x -
axDxB．
联立直线AC 、BD 的解析式求解点Q 的坐
标，xQ =
xAxC -xBxD
xA+xC -xB -xD
，
y Q = a(xA+xC)(xAxC -xBxD)
xA+xC -xB -xD
- ax C x A =
a[xAxC(xB +xD)-xBxD(xA+xC)]
xA+xC -xB -xD
.
=
axAxB(xC -xD)+axCxD(xA-xB)
xA+xC -xB -xD
，
由(1) 可知xAxB = m (xA + xB) - n
a ，xCxD =
m(xC + xD) - n
a ，
∴
y
Q
=
[am(xA+xB)-n](xC -xD)
xA+xC -xB -xD
+
[am(xC +xD)-n](xA-xB)
xA+xC -xB -xD
=
2am•
xAxC -xBxD
xA+xC -xB -xD
- n = 2amxQ - n．
故点Q 在定直线y = 2amx - n 上．
48.【解答】解：(1) ∵顶点B 关于x 轴的对称
点坐标为(2，1)，
∴B(2，-1)，
∴A(4，0)，
将点O 、点A、点B 代入抛物线y = ax 2 + bx
+ c，
得到
c=0
4a+2b+c=-1
16a+4b+c=0
，解得
a= 1
4
b=-1
c=0
，
∴y = 1
4 x 2- x；
(2) ①设F (2，m)，G(x，y)，
∴G 点到直线y =-2 的距离为|y + 2|，
∴(y + 2)2= y 2+ 4y + 4，
∵y = 1
4 x 2- x，
∴(y + 2)2 = y 2 + 4y + 4 = y 2 + x 2 - 4x + 4 = y 2
+ (x - 2)2，
∴G 到直线y =-2 的距离与点(2，0) 和G
点的距离相等，
∴抛物线上的任意一点G 到定点F 的距离
与点G 到直线y =-2 的距离总相等；
∵G 到定点F 的距离与点G 到直线y =-2 的
距离相等，
∴(x - 2)2+ m- 1
4 x 2+x
2
=
1
4 x 2-x+2
2
，
整理得，m m- 1
2 x 2+2x
= 0，
∵距离总相等，
∴m = 0，
∴F (2，0)；
②设过点F 的直线解析式为y = kx - 2k，M
(xM，yM)，N (xN，yN)，
联立
y=kx-2k
y= 1
4 x 2-x
，整理得x 2 - (4 + 4k)x +
8k = 0，
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函数图像| 性质分析| 压轴综合
2026 九上数学·二次函数专题讲义
答案与解析
九年级数学二次函数专题培优讲义
∴xM + xN = 4 + 4k，xM•xN = 8k，
∴yM + yN = 4k2，yM•yN =-4k2，
∵M 到F 点与M 点到y =-2 的距离相等，N
到F 点与N 点到y =-2 的距离相等，
∴
1
MF
+
1
NF
=
1
2+yM
+
1
2+yN
=
4+yN +yM
4+2(yN +yM)+yM ⋅yN
=
4+4k2
4+2(4k2)-4k2 = 1，
∴1
MF + 1
NF = 1 是定值；
(3) 作B 点关于y 轴的对称点B'，作C 点
关于x 轴的对称点C '，连接C 'B' 交x
轴、y 轴分别于点P 、Q，
∵BQ = B'Q，CP = C 'P ，
∴四边形PQBC 周长= BQ + PQ + PC + BC =
B'Q + PQ + C 'P + CB = C 'B' + CB，
∵点C (3，m) 是该抛物线上的一点
∴C 3，- 3
4
，
∵B(2，-1)，
∴B'(-2，-1)，C ' 3，3
4
，
∴直线B'C ' 的解析为y = 7
20 x - 3
10 ，
∴Q 0，- 3
10
，P
6
7 ，0
．
49.【解答】解：(1) 将P (1，4) 代入y = x 2 +
(2m + 1)x + m 2- 1，得：m 2+ 2m + 1 = 4，
解得：m1= 1，m2=-3．
当m = 1 时，抛物线解析式为y = x 2 + 3x，
其顶点坐标为- 3
2 ，- 9
4
；
当m =-3 时，抛物线解析式为y = x 2 - 5x +
8，其顶点坐标为
5
2 ，7
4
．
(2) ∵y = x 2+ (2m + 1)x + m 2- 1，
= x 2 + ( 2 m + 1 ) x +
2m+1
2
2
+ m 2 - 1 -
2m+1
2
2
，
= x+ 2m+1
2
2
- 4m+5
4
，
∴顶点坐标为-m- 1
2 ，-m- 5
4
．
证明：∵-m - 5
4 - -m- 1
2
=- 3
4 ，
∴不论m 为何值，该抛物线的顶点坐标都
在同一条直线l：y = x - 3
4 上．
(3) 直线l 截抛物线所得的线段长是定值．
将y = x - 3
4 代入y = x 2+ (2m + 1)x + m 2- 1，
整理得：x 2 + 2mx + m 2 - 1
4 = 0，即(x + m)2
= 1
4 ，
解得：x1=-m - 1
2 ，x2=-m + 1
2 ，
∴直线l 与抛物线的交点坐标分别为
A -m- 1
2 ，-m- 5
4
，B -m+ 1
2 ，-m- 1
4
，
∴
AB
=
-m+ 1
2 +m+ 1
2
2
+ -m- 1
4 +m+ 5
4
2
=
2．
50.【解答】(1) 解：令y =-x 2 + 2x + 3 = 0，解
得x =-1 或x = 3，则点A 坐标为(-1，0)，
点B 坐标为(3，0)，
令x = 0，y = 3，则点C 坐标为(0，3)．
故A，B，C 三点的坐标为(-1，0)、(3，
0)、(0，3)．
( 2) 证明：根据点H 是BC 中点，x H =
xB +xC
2
= 3
2 ，yH = yB +yC
2
= 3
2 ，
∴BC 的中点H 的坐标为
3
2 ，3
2
．
设M (m ，-m 2 + 2m + 3)，N (n，-n 2 + 2n +
3)，
直线MN 函数表达式为y = kx + b，将M ，
N 坐标代入，得：
-m 2+2m+3=km+b，
-n2+2n+3=kn+b，
解得k=-m-n+2，
b=mn+3，
∴直线MN 表达式为y = (-m - n + 2)x + mn +
3，代入点H
3
2 ，3
2
，
得3mn = 9
2 m + 9
2 n - 27
2 ．
同理可求直线MC 的表达式为y = (-m + 2)x
+ 3，直线BN 的表达式为y = (-n - 1)•x +
3n + 3，
联立直线MC ，BN 表达式，得
y=(-m+2)x+3，
y=(-n-1)x+3n+3，
解得
x=
3n
3-m+n ，
y= 9+9n-3mn-3m
3-m+n
，
∴P
3n
3-m+n ，9+9n-3mn-3m
3-m+n
，
设经过点P 的直线为y = px + q ，代入
P
3n
3-m+n ，9+9n-3mn-3m
3-m+n
得：
45
2 + 9
2 n- 15
2 m
3-m+n
= (3p+q)n+3q-qm
3-m+n
，
比较系数，得
q= 15
2 ，
3p+q= 9
2 ，
则p =-1．
故经过点P 的直线解析式为y =-x + 15
2 ．
51.【解答】(1) 解：如图，
∵等边△OAB 的边长为8 3，
∴OB = 8 3，∠ABO = 60°，
则在Rt △BOF 中，BF = 4 ，OF =
OB•sin60° = 12，
∴B(4 3，12)，
又点B(4 3，12) 在抛物线y = ax 2上，
∴12 = 48a，解得：a = 1
4 ，
故所求的解析式为y = 1
4 x 2；
(2) ①解：解方程组
y= 1
2 x
y= 1
4 x 2
，
得x1=0
y1=0
，x2=2
y2=1
，
∴C (2，1)，
解方程组
y=-2x
y= 1
4 x 2
，
得x1=0
y1=0
，x2=-8
y2=16
，
∴D(-8，16)，
设直线CD 的解析式为y = ax + b，
∴
2a+b=1
-8a+b=16
，
解得：a=- 3
2
b=4
，
所以直线CD 的解析式为y =- 3
2 x + 4，
设直线CD 与y 轴交于点E ，则E (0，4)，
如图，
∵S△COE = 1
2 ⋅|xC| ⋅OE = 1
2 × 2 × 4 = 4，
S△DOE = 1
2 ⋅|xD| ⋅OE = 1
2 × 8 × 4 = 16，
∴S△COD = S△COE + S△DOE = 4 + 16 = 20；
②证明：解方程组
y=kx
y= 1
4 x 2
，
得x1=0
y1=0
，x2=4k
y2=4k2
，
∴C (4k，4k2)，
解方程组
y=- 1
k x
y= 1
4 x 2
，
得x1=0
y1=0
，
x2=- 4
k
y2= 4
k2
，
∴D - 4
k ，4
k2
，
设直线CD 解析式为y = ax + b，
∴
4k2=4ak+b
4
k2 =- 4a
k +b
，
解得：a=k- 1
k
b=4
，
所以直线CD 的解析式为y = k- 1
k
x + 4，
所以不论实数k 取何值，直线CD 总过定
点(0，4)．
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52.【解答】解：(1) 已知抛物线y = x 2 - 2x - 3
与x 轴交于点A，B (点A 在点B 的左侧)，
与y 轴交于点C ．
对于y = x 2 - 2x - 3，令y = 0，则0 = x 2 - 2x
- 3，
∴x1=-1，x2= 3，
∴点A(-1，0)，点B(3，0)，
令x = 0，则y =-3，
∴点C (0，-3)；
(2) 证明：如图，设点M (x M ，y M )，N
(xN，yN)，
直线MN ：y = k′x + b′，直线CM ：y =
k1x + b1，直线BN ：y = k2x + b2，
将点C (0，-3) 代入直线CM 的解析式得：
b1=-3，
将点B (3，0) 代入直线BN 的解析式得：
b2=-3k2，
则：y=k′x+b′
y=x 2-2x-3
，
整理得：x 2- (k′ +2)x - b′ -3 = 0，
则xM + xN = k′ +2，xM•xN =-b′ -3，
同理：xM + xC = k1+ 2，xN + xB = k2+ 2，
∵xC = 0，xB = 3，
∴xM = k1+ 2，xN = k2- 1，
∴k′ = xM + xN - 2 = k1 + 2 + k2 - 1 - 2 = k1 + k2
- 1，
b′ =-xM •xN - 3 =- (k1 + 2) (k2 - 1) - 3 =
-k1k2- 2k2+ k1+ 2 - 3 =-k1k2- 2k2+ k1- 1，
联立直线CM 与直线BN 的解析式得：
y=k1x-3
y=k2x-3k2
，
解得：
x= 3-3k2
k1-k2
y= 3k2-3k1k2
k1-k2
，
由题意可得：2 × 3-3k2
k1-k2
- 9 = 3k2-3k1k2
k1-k2
，
化简得：k1k2= 3k1- 2，
∴b′ =-k1k2 - 2k2 + k1 - 1 =-3k1 + 2 - 2k2 + k1
- 1 =-2k1 - 2k2 + 1 =-2(k1 + k2) + 1 =-2(k′
+1) + 1 =-2k′ -1，
∴直线MN ：y = k′x - 2k′ -1 = k′ (x -
2) - 1，
∴不论k′ 为何值，均有x = 2 时，y =-1，
即：直线MN 恒过定点P (2，-1)．
第15页
小学
初中
