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专题 22.4 解题技巧专题：待定系数法求二次函数的解析式之六大模型
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目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【模型一 一点一参数代入求二次函数的解析式】........................................................................................1
【模型二 两点两参数代入求二次函数的解析式】........................................................................................5
【模型三 三点三参数代入求二次函数的解析式】......................................................................................10
【模型四 一点一对称轴求二次函数的解析式】..........................................................................................17
【模型五 已知顶点式求二次函数的解析式】..............................................................................................28
【模型六 已知交点式求二次函数的解析式】..............................................................................................33
【典型例题】
【模型一 一点一参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点 ，求n的值．【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个二次函数 的图象经过点 ．
(1)求b的值；
(2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．
2．（2023·浙江温州·校联考三模）已知抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)抛物线与 轴的另一交点为 ，将线段 向上平移 个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点
（点 在点 左侧），若 ，求 的值．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，抛物线 ，C为y轴正半轴上一点，
过点C作 轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），且 ， ．
(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式．
(2)当 ，最大值与最小值的差是9，求t的取值范围．【模型二 两点两参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数 图象经过点 和 ．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）如图，二次函数 的图象与x
轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P在二次函数图象上，且 ，求点P的坐标．2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交
于点C，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接 ， ， ，P为 的中点，连接 ，则线段 的长是______．
3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点
和点 ，且经过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)结合函数图象当 时，求自变量 的取值范围；(3)点 为抛物线上一点且到 轴距离小于 ，结合函数的图象求点 纵坐标 的取值范围．
【模型三 三点三参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）已知二次函数 的图像经过（－1，0），
（0，2），（1，0）三点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当 时，y的取值范围是______．
(3)将该函数的图像沿直线x＝1翻折，直接写出翻折后的图像所对应的函数表达式．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线 经过点 ， 、 ， 、 ， ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 为何值时， ？
2．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点 ， ）、（ ， ）、（ ， ），且与
轴交于 、 两点．
(1)试确定该二次函数的解析式；(2)判定点 ， 是否在这个图象上，并说明理由；
(3)求 的面积．
3．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过 ， ，
三个点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时， 的周长最小．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点 是直线 上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此时点 的坐标；(3)若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在以 为边，点 为
顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【模型四 一点一对称轴求二次函数的解析式】
例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴交于A，B两
点，与y轴交于C点，且A点坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点 是x轴上的一个动点，当 的值最小时，求a的值．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，
对称轴是直线 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在抛物线上，若直线 平分 的面积，请直接写出点 的坐标．
2．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线 交 轴于C，D两点，其中点C的坐标为 ，
对称轴为 ．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为 ， ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连接 ，若抛物线 向下平移 个单位时，与线段 只有一个公共点，求k的取值
范围．
3．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为 ，
点C的坐标为 ，对称轴为直线 ．
(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段 上的动点，作 轴交抛物线于点D，求线段 长度的最大值．
4．（2023·河南鹤壁·统考一模）如图所示，已知抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
其中点A的坐标为 ，对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当直线 经过点C时，结合图象直接写出不等式 的解集；
(3)已知点 ， ，连接 ，若抛物线 向下平移 个单位长度时，与线
段 只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．
5．（2023·云南曲靖·统考二模）如图，抛物线 与 轴交于 两点，对称轴为 ，直
线 的解析式为 ．(1)当直线 与抛物线有且只有一个交点时，求 的值；
(2)若直线 经过抛物线的顶点 时， 与 轴交于点 ，把抛物线沿线段 方向向右下平移，使抛物线的
顶点移动到点 处，在平移过程中，设抛物线上 两点之间这一段曲线扫过的面积为 ，求 的值．
【模型五 已知顶点式求二次函数的解析式】
例题：（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为 ，且过 点．
(1)求其解析式；
(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图像过点 ，且当 时，函数有最小值3，求该二
次函数的解析式．2．（2023秋·江西南昌·九年级统考期末）已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 在该抛物线上，求m的值．
3．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点 、顶点坐标为 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①当函数值 时，直接写出x的取值范围；
②当 时，直接写出函数的最大值．
4．（2023·江苏南京·校联考三模）已知二次函数的图像经过 、 、 三点．
(1)若点 为该函数图像的顶点，求二次函数的表达式；
(2)若该函数图像的对称轴为直线 ，求 的值；
(3)若二次函数解析式中二次项系数 ，当 时， 随 的增大而减小．结合图像，直接写出
的取值范围．【模型六 已知交点式求二次函数的解析式】
例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点 ， 和 ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点 ， ， ，求该抛物线的函数关系
式
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．
(1)抛物线 经过点 三点．
(2)已知二次函数 的图象过 两点，并且以 为对称轴．
(3)已知二次函数 的图象经过一次函数 x 图象与x轴、y轴的交点，且过 ．
3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴交
于点 ．
(1)求该二次函数的解析式；(2)点 在该二次函数上．
①当 时，求 的值；
②当 时， 的最小值为 ，求 的取值范围．
