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专题02 一次函数与反比例函数
常考题型·精准突破
题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断（重）
题型2 正比例函数与反比例函数的交点问题
题型3 一次函数与反比例函数的交点问题（高频）
题型4 一次函数与反比例函数的其他综合应用（难）
题型5 一次函数与反比例函数的实际应用（重）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断
1．（2026·四川巴中·中考真题）函数y
kx
k
=
−与
k
y
x
=
（
0
k
）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数
1
y
kx
= −
+ 与
k
y
x
=
(
)
0
k
的图象大致
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
（25-26 八年级下·山东济南·期末）函数
k
y
x
=
与
0
y
kx
k k
= −
+
（
）在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
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◆题型2 正比例函数与反比例函数的交点问题
4．（25-26 八年级下·河南洛阳·期中）已知直线y
x
=
与双曲线
4
y
x
=
的一个交点为(
)
2,2 ，则另一个交点坐标
为______．
5．
（25-26 九年级上·广西梧州·期末）如图，已知反比例函数
1k
y
x
=
的图象与一次函数
2
y
k x
=
的图象交于A
B
、
两点，若点A的坐标为(
)
2 1，，则点B 的坐标为___________
6．（25-26 九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y
ax
=
与反比例函数
6
a
y
x
−
=
相交于点A和点B ．若A的横坐标为1，则B 的坐标为__________．
◆题型3 一次函数与反比例函数的交点问题
7．（25-26 八年级下·山西长治·期末）如图，一次函数
1y
x
b
= −+ 的图象与反比例函数
(
)
2
0
k
y
k
x
=
的图象交
于
(
)
1,2
A −
，
(
)
2, 1
B
−
两点，则关于x 的不等式
k
x
b
x
−+
的解集是________．
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8．
（25-26 八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数y
kx
b
=
+
的图象与反比例函数
m
y
x
=
的图象交于(
)
1,3
A
，
(
)
3,
B
n 两点，k ，b ，m 为常数．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式；
(2)根据图象直接写出不等式
m
kx
b
x
+
的解集为__________；
(3)点P 为x 轴上一点，若PAB
的面积为2，请直接写出点P 的坐标．
9．
（25-26 八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数
1
1
2
y
x
=
+ 与反比例函数
k
y
x
=
的图象相交于点
(
)
2,
A
a 、
(
)
, 1
B b −
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请直接写出关于x 的不等式1
1
2
k
x
x
+
的解集；
(3)若点P 是y 轴上的一点，ABP
的面积是12，求点P 的坐标．
◆题型4 一次函数与反比例函数的其他综合应用
10．（25-26 八年级下·山东济南·期末）直线y
x
b
−
=
+ 与双曲线
k
y
x
=
（
0
x
）交于点
(
)
1,6
A −
，与x 轴交于
点B，点C 是线段AB 上一点．
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(1)求k，b 的值；
(2)如图，过点C 作y 轴的垂线l，l 与
k
y
x
=
（
0
x
）的图象交于点D，当线段
10
CD =
时，求点D 的坐标；
(3)双曲线
k
y
x
=
（
0
x
）上是否存在点E，使得
COE
△
是以OC 为直角边的等腰直角三角形，若存在，求
出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2026·广东广州·三模）如图，反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
与一次函数
2 = −+
y
x
a的图象交于点A，B，且B
点坐标为(
)
6,1 ．
(1)求反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
和一次函数
2 = −+
y
x
a的解析式；
(2)点P 为线段AB 上的一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为H，PH 与反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
的图象交于点
C，当点C 为PH 中点时，求点C 的坐标．
12．
（25-26 八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
y
x
b
= −
+
与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
(
)
4,2
A −
、B 两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
(2)直线
2
y
x
b
= −
+
与y 轴交于点E ，在x 轴上找一点P ，使得PE
PB
+
最小，求P 点坐标，并求出最小值；
(3)如图2，C 为第二象限内反比例函数图象上的点，且C 点在A点右侧，连接AC 、BC ，当ABC
的面积
为30 时，求点C 的坐标．
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◆题型5 一次函数与反比例函数的实际应用
13．（25-26 八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在
一节数学课中的注意力指数y 随上课时间x （分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，
第2 分钟时注意力指数为40，前10 分钟内y 是x 的一次函数；10 分钟以后y 与x 成反比例．根据图中所提
供的信息，回答下列问题：
(1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？
(2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这
道题的用时最多为多少分钟？
14．（2026·贵州安顺·二模）图1 是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升16 C
，加热到100 C
时，
停止加热，水温开始下降，此时水温(
)
y ℃是通电时间(
)
min
x
的反比例函数．若在水温为20 C
时开始加热，
水温y 与通电时间x 之间的函数关系如图2 所示．
(1)将水从20 C
加热到100 C
需要________min ；
(2)在水温下降的过程中，求水温y 关于通电时间x 的函数表达式；
(3)加热一次，水温不低于50 C
的时间有多长？
15．（2026·河南·模拟预测）打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻
造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看
了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题：
打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由20℃烧到1000℃后立即开始锻造操作，当材料温度低于500℃
时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（℃）与时间x（min ）
成一次函数关系，第一次锻造时温度y（℃）与时间x（min ）成反比例函数关系．
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(1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式；
(2)求第一次锻造操作的时长；
(3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1min ）．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系xOy 中，过点O的直线与
(
0)
k
y
k
x
=
的图象交于
(
)
2,
A
a 和
(
)1
B b,
两点，则a
b
+
的值为（ ）
A．1
−
B．1
C．3
−
D．3
2．（25-26 八年级下·山东东营·期末）已知
0
k
，则反比例函数
k
y
x
=
和一次函数
2
3
y
kx
= −
+ 的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
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D．
3．
（25-26 八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数
1y
x
b
=
+ 与函数
(
)
2
0
k
y
k
x
=
的图象相交于点
(
)
1,2
M
，
(
)
2,
N
n
−
．下列说法错误的是（ ）
A．两图象的交点N 的坐标为(
)
2, 1
−
−
B．若
1
2
y
y
，则x 的取值范围是2
0
x
−
或
1
x
C．一次函数
1y 与反比例函数
2y 都随x 的增大而增大
D．连接OM ，ON ，则
MON
△
的面积是3
2
4．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已
知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度(
)
mg
y
与时间(
)
min
x
成正比例，喷雾结束后y 与x 成反比例．当
每立方厘米药液浓度低于1.6mg 时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（ ）
A．喷洒阶段的函数解析式为
5
8
y
x
=
B．喷洒完成后，当
20min
x =
时，药液浓度为1mg
C．土壤表层药液浓度为4mg 的时间点只有1个
D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25min
5．（25-26 九年级上·全国·单元测试）已知函数
(
)
1
2
9
0 ,
(
0)
y
x x
y
x
x
=
=
的图象如图所示．给出下列结论：
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①两函数图象的交点A的坐标为(
)
3,3 ；
②当
3
x 时，
2
1
y
y
；
③
8
BC = ；
④当x 逐渐增大时，
1y 随x 的增大而增大，
2y 随x 的增大而减小．
其中，正确的是（ ）．
A．①②
B．②
C．①④
D．①③④
二、填空题
6．（2026·江苏徐州·二模）函数
(
)
1
1
0
y
k x k
=
和函数
(
)
2
2
0
k
y
k
x
=
的图象相交于A、B 两点，如果点A的
坐标是(
)
3,2
−
，那么点B 的坐标是________．
7．（2026·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
)
8
0
y
x
x
=
的图象与一次函数
2
y
x
=
−
的图象交于点(
)
,
P m n ，则代数式1
1
m
n
−
的值为__________．
8．
（2026·陕西安康·模拟预测）在第一象限有一点D 在直线
4
y
x
=
+ 上，且点D 到两坐标轴的距离之和为6．将
点D向上平移2 个单位长度后恰好落在双曲线
k
y
x
=
上，则k 的值为________．
9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫
双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2 所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，以AB 所在直
线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，其中曲线DE 和曲线CF 分别是两个反比例函数图
象的一部分，若冷却塔的高度为110m，
20m
BC =
，上口宽
16
EF =
m ，则底部直径AB 的长为____ m ．
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10．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1
y
x
= −+ 与两坐标轴分别交于A，B 两
点，C 为线段AB 的中点，点P 在反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
=
的图象上，则CP 的最小值为________．
三、解答题
11．（2025·甘肃陇南·三模）如图，正比例函数y
x
=
与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象相交于点A，其中点A
的横坐标为2，点C 是双曲线上点A 右侧的一点（不与点A 重合），过点C 分别作CD
OA
⊥
，CE
x
⊥
轴，
垂足分别为点D，点E．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如果
4
OE = ，求点D 的坐标．
12．（2026·四川南充·一模）如图，直线y
kx
b
=
+
与双曲线
(
)
0
m
y
x
x
=
交于
1
, 2
A a
，(
)
1,4
B −
两点．
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(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)点P 在线段AB 上，过P 作PC
y
⊥轴，与双曲线交于D，若POD
的面积为3，求点P 的坐标．
13．
（25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，已知一次函数
1
1
4
2
y
x
= −
+
的图象与反比例函数
2
k
y
x
= （
0
k
，
0
x
）的图象相交于点A和点B （点A在点B 的左侧），且点B 与点A的横坐标之差是4，设点A的横坐标
为a ．
(1)点A的坐标为________，点B 的坐标为________；（用含有a 的代数式表示）
(2)求反比例函数的关系式；
(3)直接写出不等式
1
4
2
k
x
x
−
+
的解集为________．
14．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量
在人体血液中的变化情况，在最初30 分钟含量会直线上升，然后在30 分钟至200 分钟间稳定在饱和状态，
人体血液中含量恒为100 个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y 个计量单
位与时间x 分钟之间大致符合函数
6
2
10
k
y
x
=
（1
10
k
，k 为常数）．
(1)求k 的值；
(2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40 个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服
用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1 小时）．
（参考数据：2
1.414
，5
2.236
，10
3.163
）
15．（25-26 九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图1，点
(
)
(
)
,6 ,
6,1
A a
B
是一次函数
1y
kx
b
=
+ 的图象与反比例
函数
(
)
2
0
m
y
x
x
=
图象的两个交点．已知直线AB 交坐标轴于点M 、N ，连接OA、OB ．
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(1)a = ．反比例函数表达式 ，并求出一次函数的表达式；
(2)直接写出当x 为何值时，
1
2
y
y
．
(3)求AOB
的面积：
(4)如图2，E 是线段AB 上一点，作AD
x
⊥
轴于点D，过点E 作EF
AD
∥
，交反比例函数图象于点F ，若
1
3
EF
AD
=
，求出点E 的坐标．
16．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m
）和正比例函数
2y
nx
=
（
0
n
）相交于A、
B 两点，点C 在
1
m
y
x
=
上，点A、C 均在第一象限，且点C 在点A的左上方，直线AC 、BC 与y 轴分别交
于点F 、G ．
(1)如图1，已知点
(3,1)
A
，点
(1,3)
C
，
直接写出：①点B 的坐标是 ；②CG 与CF 的数量关系是 ；
(2)若（1）中的条件点A坐标不变，随着点C 的变化，判断（1）中的“CG 与CF 的数量关系”是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由；
(3)如图2，直线AC 、BC 与x 轴分别交于点E 、D ，经过探索发现：随着点A、C 的变化，DE 与FG 的乘
积只与m 的取值有关，请用只含m 的代数式表示DE 与FG 的乘积．
