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专题01 反比例函数的概念的六类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数的定义及形式
题型二、反比例函数的表示方式—表格
题型三、反比例函数的表示方式—图象
题型四、反比例函数的表示方式—解析式
题型五、反比例函数的定义求参
题型六、正比例与反比例组合函数
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
类别
具体内容
核心知
识点
1. 反比例函数的定义：一般地，形如y=
x
k（k 为常数，k≠ 0）的函数叫做反比例函数，
其中x 是自变量，y 是因变量，x 的取值范围是不等于0 的一切实数
2. 反比例函数的等价形式：除标准形式外，还可变形为y=kx-1（k≠ 0）、xy=k（k≠ 0），
三种形式可以互相转化
3. 反比例函数中各量的要求：比例系数k 是非零常数，自变量x 不能为0，因变量y
也不能为0
4. 根据实际问题列反比例函数解析式：先分析问题中的变量关系，确定等量关系，再
整理得到符合反比例函数定义的形式，并明确自变量的实际取值范围
5. 判定反比例函数：先整理函数解析式，对照三种形式判断，确认比例系数非零、自
变量次数为-1
常见易
错点
1. 忽略反比例函数比例系数k ≠ 0 的限制，误将k=0 的一次函数判定为反比例函数
2. 混淆反比例函数的形式，误将形如y =
a
x
k
+
（a≠0）、y = kx + b（b≠0）的函数判
目 录
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定为反比例函数
3. 遗忘反比例函数自变量的取值范围，忽略x≠0 的要求，或者不考虑实际问题对自变
量的额外限制
4. 判断y = (m-1)xm²-2这类含参数的函数类型时，漏同时满足“指数为-1”和“系数不为0”
两个条件，只验证其中一个条件就得出结论
5. 将xy = k 的形式错误变形，误整理为不符合反比例函数定义的形式，导致函数判定
错误
6. 利用实际问题列解析式时，错误判断两个变量的比例关系，误将成正比例的关系写
成反比例函数形式
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数的定义及形式
典例1 下列函数中，反比例函数的是（ ）
A．
3
1
y
x
=
+
B．
3
x
y =
C．
3
y
x
=
D．
3
y =
【答案】C
【分析】一般地，形如
k
y
x
=
（其中k 为常数，且
0
k
）的函数叫做反比例函数，据此可得答案．
【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C 选项中的函数是反比例函数．
变式1-1 在下列函数表达式中，x 均表示自变量．①
2
5
y
x
= −
；②
2
x
y =
；③
1
y
x−
= −
；④
2
xy =
；⑤
1
1
y
x
=
+ ；
⑥
0.4
y
x
=
其中反比例函数有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【详解】解：①
2
5
y
x
= −
，符合反比例函数定义，是反比例函数；
②
2
x
y =
，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
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③
1
y
x−
= −
可变形为
1
y
x
= −
，符合反比例函数定义，是反比例函数；
④
2
xy =
可变形为
2
y
x
=
，符合反比例函数定义，是反比例函数；
⑤
1
1
y
x
=
+ ，分母为
1
x + 不是x ，不符合定义，不是反比例函数；
⑥
0.4
y
x
=
，符合反比例函数定义，是反比例函数；
∴符合条件的反比例函数共有4 个．
变式1-2 下列函数关系式：（1）
2
3
x
y
−
=
；（2）
3
2
y
x
= −
；（3）
2
5
5
y
x
−
=
；（4）
1
1
y
x
−=
（5）
2
1
y
x
=
−，
其中表示y 是x 的反比例函数的是___________（填入序号）．
【答案】
( )( )
2
3
【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如
k
y
x
=
（k 为常数，
0
k
）的函数是
反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式．
【详解】解：
2
3
x
y
−
=
，是正比例函数，故( )
1 不符合反比例函数形式；
3
3
2
2
y
x
x
=
= −
−
，可化为
k
y
x
=
形式，其中
3
0
2
k = −
，故( )
2 是反比例函数；
2
5
3
5
5
y
x
x
−
−
=
=
，可化为
k
y
x
=
形式，其中
3
0
5
k = −
，故( )
3 是反比例函数；
1
1
y
x
−=
，即
1
1
y
x
=
+ ，含有常数项，故( )
4 不符合反比例函数形式；
2
1
y
x
=
−，分母是
1
x − 而非 x ，故( )
5 不符合反比例函数形式．
故答案为：( )( )
2
3 ．
变式1-3 反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（k 为常数，且
0
k
）．
【答案】
k
y
x
=
1
y
kx-
=
xy
k
=
【分析】本题考查反比例函数的概念，只需根据反比例函数的定义整理出其三种常见的表现形式即可．
【详解】解：根据反比例函数的定义，反比例函数是形如
k
y
x
=
（k 为常数，
0
k
）的函数，
对该式变形可得到另外两种表现形式，
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将
k
y
x
=
根据负整数指数幂的定义变形可得
1
y
kx-
=
（k 为常数，
0
k
）；
将
k
y
x
=
两边同乘x 变形可得xy
k
=
（k 为常数，
0
k
）．
类型二、反比例函数的表示方式—表格
典例2 小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量(
)
%
y
与充电时长t（单
位：min ）的部分数据如下表：
充电时长
/ min
t
0
20
100
120
…
电量
/ %
y
0
10
50
60
通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量y 与充电时长t 之间满足学过的某种函
数关系．则y 与t 之间的函数关系式为（ ）
A．
2
t
y =
B．
2
y
t
=
C．
2
y
t
=
D．
1
2
y
t
=
【答案】A
【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果．
【详解】解：∵20 10
100 50
120 60
，
∴电量y 与充电时长t 之间不是反比例函数关系．
由表格数据可知，
0
t =
时
0
y =
，假设其为一次函数，设函数关系式为
(
)
0
y
kt k
=
．
把
20
t =
，
10
y =
代入解析式得10
20k
=
．
解得
1
2
k =
，
得函数关系式为
2
t
y =
．
验证其余数据：当
100
t =
时，
100
50
2
y =
=
，符合数据；当
120
t =
时，
120
60
2
y =
=
，符合数据．
因此y 与t 之间的函数关系式为
2
t
y =
．
变式2-1 若x 和y 成反比例关系，则a
b
−
的值是（ ）
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x
2
a
1
−
y
6
4
−
b
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】根据反比例关系得到
12
xy =
求解即可；
【详解】 x 和y 成反比例关系，
2
x =
，
6
y =
，
2 6
12
xy
=
=
，
(
)
4
12
a
−
=
，(
)
1
12
b
−
=
，
3
a
= −，
12
b = −
，
(
)
3
12
3 12
9
a
b
−
= −−−
= −+
=
．
变式2-2 已知x、y 是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x 与y 成反比例关系，则a 的
值为______________．
x
3
−
a
y
8
32
【答案】
3
4
−
【分析】本题主要考查了反比例函数，掌握相关知识是解题的关键．根据反比例关系设
k
y
x
=
，求出
24
k = −
，
24
y
x
= −
，再将
32
y =
，x
a
=
代入
24
y
x
= −
即可求解．
【详解】解：由题意设
k
y
x
=
，
当
3
x
−
=
，
8
y =
时，
8
3
k
= −，
解得：
(
)
3
8
24
k = −
= −
，
24
y
x
= −
，
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当
32
y =
，x
a
=
时，
24
32
a
= -
，
解得：
3
4
a
−
=
，
故答案为：
3
4
−
．
变式2-3 给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下．
每块地砖的面积
2
/m
0.2
0.3
0.6
0.8
…
所需地砖数量/块
300
200
100
75
…
(1)从表格中得到：
①这间教室有_____
2
m ；
②分别用x （单位：平方米）和y （单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示y 与x
的关系为_____，y 与x 成_____比例关系；
(2)如果采用边长为5 分米的方砖铺这间教室，需要多少块？
【答案】(1)①60；②
60
y
x
=
，反
(2)240 块
【分析】（1）根据教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，可得y 与x 成反比例关系，再根
据表格中的数据可得对应的关系式；
（2）根据正方形面积计算公式可求出x 的值，再将其代入解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，
∴这间教室有
(
)
2
0.2?300=60 m
；
②∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，
∴y 与x 成反比例关系，由表格中的数据可得
0.2 300
60
xy =
=
，即
60
y
x
=
，y 与x 成反比例关系．
（2）解：5 分米
0.5
=
米，
每块方砖面积
0.25
x =
．
又
60
y
x
=
，
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当
0.25
x =
时，
60
240
0.25
y =
=
．
答：需要240 块．
题型三、反比例函数的表示方式—图象
典例3 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一
种气敏电阻，其阻值R 与呼气酒精浓度K 之间的关系如图所示．下列说法中不正确
．．．的是（ ）
A．当
10
K =
时，
60
R =
B．R 随K 的增大而减小
C．R 是K 的函数
D．图中曲线是反比例函数的图象
【答案】D
【详解】解：由图象得，当
10
K =
时，
60
R =
，故A 正确；
由图象得，R 随K 的增大而减小，故B 正确；
由图象得，K 的值都有唯一确定的R 的值与之对应，
∴R 是K 的函数，故C 正确；
由图象得，当
10
K =
时，
60
R =
，即
10 60
600
KR =
=
；
当
20
K =
时，
40
R =
，即
20 40
800
KR =
=
；
∵600
800
∴图中曲线不是反比例函数的图象，故D 错误．
变式3-1 下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ）
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A．当压力F 一定时，压强P 与受力面积S 之间的函数关系
B．当物体的质量m 一定时，物体的密度与体积V 之间的函数关系
C．当行驶的路程s 一定时，时间t 与速度v 的函数关系
D．当三角形的一条边长a 一定时，它的面积S 与这条边上的高h 之间的函数关系
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．由
F
P
S
=
，则当压力F 一定时，压强P 与受力面积S 之间成反函数关系，即A 选项不符
合题意；
B．由
m
V
=
，则当物体的质量m 一定时，物体的密度与体积V 之间成反函数关系，即B 选项不符合题
意；
C．由
S
t
v
=
，则当行驶的路程s 一定时，时间t 与速度v 成反函数关系，即C 选项不符合题意；
D．由
1
2
S
ah
=
，则当三角形的一条边长a 一定时，它的面积S 与这条边上的高h 之间成正比例函数，即选
项D 符合题意．
变式3-2 两个反比例函数
3
y
x
=
，
6
y
x
=
在第一象限内的图象如图所示，点
1P 、2P 、3
2026
P
P
在反比例函数
6
y
x
=
的图象上，它们的横坐标分别是
1x ，2x ，3
2026
x
x
，纵坐标分别是1，3，5…，共2026 个连续奇数，过点
1P 、
2P 、
3
2026
P
P
分别作y 轴的平行线，与
3
y
x
=
的图象的交点依次为
(
)
1
1
1
,
Q
x y
，
(
)
2
2
2
,
Q
x y
，
(
)
(
)
3
3
3
2026
2026
2026
,
,
Q
x y
Q
x
y
，
2026
2026
P
Q
的长为________．
【答案】4051
2
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【分析】根据题意先总结出
nP 的纵坐标为2
1
n−，根据
3
y
x
=
，
6
y
x
=
的关系，即可求解．
【详解】∵
1
2
3
,
,
P P P 的纵坐标分别是1，3，5，是连续奇数，
∴
nP 的纵坐标为2
1
n−，
∴
2026
P
的纵坐标为4051，
∵
nP 在反比例函数
6
y
x
=
图象上，
∴
nP 的横坐标为
6
2
1
n −，
∴
n
Q 的横坐标为
6
2
1
n −，
∵
n
Q 在反比例函数
3
y
x
=
图象上，
∴
n
Q 的纵坐标为
3
2
1
6
2
2
1
n
n
−
=
−
，
∴
2026
Q
的纵坐标为2 2026 1
4051
2
2
−=
，
∴
2026
2026
4051
4051
4051
2
2
P
Q
=
−
=
．
变式3-3 小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2 号弦），实验
中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单
位：cm）时，1号弦的振动频率为
1f （单位：Hz ），2 号弦的振动频率为
2f （单位：Hz ），部分数据如
下：
/ cm
L
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 / Hz
f
900
600
450
360
300
257
225
200
180
2 / Hz
f
1200
800
600
480
400
343
300
267
240
通过分析数据，发现可以用函数刻画
1f 与L ，
2f 与L 之间的关系．
(1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数
2f 的图象；
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(2)当频率为450Hz时，对应2 号弦长与1号弦长的差为________cm（结果保留整数）；
(3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断：
①同一根琴弦，弦长越大频率越低；
②两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值；
③两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值；
④要使2 号弦发出的声音比1号弦发出的声音高八度（2 号弦的频率是1号弦的频率的2 倍），两根琴弦的
弦长比应为定值．
其中所有合理推断的序号是________．
【答案】(1)见解析；
(2)13（答案不唯一）；
(3)①③④．
【分析】（1）根据画函数图象的方法及步骤即可；
（2 ）根据函数图象进行求解即可；
（3）根据函数图象进行分析即可．
【详解】（1）解：根据表格，描点，连线，
画图象如图，
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（2）解：如图，
当450Hz时，对应2 号弦长为53cm ，1号弦长为40cm ，
∴对应2 号弦长与1号弦长的差为
(
)
53
40
13 cm
−
=
，
故答案为：13（答案不唯一）；
（3）解：①对同一根琴弦，
(
)
0
k
f
k
L
=
，L 越大f 越小，即弦长越大频率越低，推断合理；
②弦长相同时，频率差
2
1
24000
18000
6000
f
f
L
L
L
−
=
−
=
，随L 变化而变化，不是定值，推断错误；
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③弦长相同时，频率比
2
1
24000
4
18000
3
f
L
f
L
=
=
，是定值，推断合理；
④若
2
1
2
f
f
=
，则
1
2
24000
18000
2
L
L
=
，化简得
2
1
2
3
L
L =
，弦长比为定值，推断合理；
故答案为：①③④．
题型四、反比例函数的表示方式—解析式
典例4 一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以60km/ h 的平均速度用了8h 到达目的地．当他按原路匀速返
回时，汽车的速度v（单位：km/ h ）与时间t（单位：h ）之间的函数关系式为（ ）
A．
480
v
t
=
B．
480
8
v
t
= +
C．
60
v
t
=
+
D．
960
8
v
t
= +
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键．
根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可．
【详解】解：∵ 去程速度
0
60
/ h
v
km
=
，时间
0
8h
t =
，
∴ 路程
0
0
60 8
480
s
v
t
km
=
=
=
，
返回时，路程s不变，且匀速返回，
∴
480
v t
s
=
=
，
∴
480
v
t
=
，
即函数关系式为
480
v
t
=
．
故选：A．
变式4-1 已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为x ，y ，则y 关于x 的表达式是（ ）
A．
2.5
y
x
=
B．
5
y
x
=
C．
10
y
x
=
D．
20
y
x
=
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列
出方程，解出y 关于x 的关系式解答即可．
【详解】解：∵ 菱形的面积 1
5
2 xy =
，
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∴
10
xy =
，
∴
10
y
x
=
，
故选：C．
变式4-2 如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为100m），现打算沿墙围一个面积为
2
120m 的矩形花圃．设
花圃的长AB 为m
x
，宽为m
y
，则y 关于x 的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________．
【答案】
120
y
x
=
，0
100
x
【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方
形的面积= 长宽，可得
120
xy =
，进而得出y 关于x 的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为100m
求得x 的取值范围．
【详解】解：解：由题意得
120
xy =
，即
120
y
x
=
．
∵围墙可利用的最大长度为100m，
∴0
100
x
，
故答案为：
120
y
x
=
，0
100
x
．
变式4-3 水池内有污水
3
60m ，设放净全池污水所需时间为( )
h
y
，每小时放水量为(
)
3
m
x
．
(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)求当
15
x =
时，y 的值．
【答案】(1)
60
y
x
=
(2)
4
y =
【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y 与x 之间的函数关系式；
（2）把
15
x =
代入（1）中函数关系式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
60
y
x
=
；
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（2）当
15
x =
时，
60
60
4
15
y
x
=
=
=
．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题
的关键．
题型五、反比例函数的定义求参
典例5 若反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象经过点( 2,3)
−
，则该函数图象还经过点（ ）
A．(6,1)
B．( 1, 6)
−−
C．( 3, 2)
−
−
D．(2, 3)
−
【答案】D
【详解】解：将点(
)
2,3
−
代入反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
得：3
2
k
= −，
解得：
6
k
−
=
，
则该反比例函数图象上的点满足
6
xy = −，
A 选项：6 1
6
6
=
−，不符合要求；
B 选项：(
) (
)
1
6
6
6
−
−
=
−，不符合要求；
C 选项：(
) (
)
3
2
6
6
−
−
=
−，不符合要求；
D 选项：
(
)
2
3
6
−
= −，符合要求．
变式5-1 已知点(
)
2,5
A
在反比例函数
3
m
y
x
+
=
（m 为常数）的图象上，则m 的值为（ ）
A．7
B．9
C．10
D．15
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入函数式求解即可
【详解】解：∵点(
)
2,5
A
在反比例函数
3
m
y
x
+
=
的图象上，
∴将
2
x =
，
5
y =
代入解析式得：
3
5
2
m+
=
，
解得：
7
m =
．
故选：A．
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变式5-2 若
2
2
m
y
x
−
=
是y 关于x 的反比例函数的关系式，则m 的值是________．
【答案】3
【详解】解：由反比例函数的定义可知，
2 1
m−= ，
∴
3
m =
．
变式5-3 已知
(
)
2 5
2
m
y
m
x
−
=
−
．
(1)当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？
(2)当m 为何值时，y 是x 的反比例函数？当
8
y =
时，求x 的值．
【答案】(1)
6
m =
(2)
2
m = −；
1
2
x = −
【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义：
（1）根据正比例函数的定义可得
2
5
1
m
−
=
且
2
0
m−
，即可求解；
（2）根据反比例函数的定义可得
2
5
1
m −
= −且
2
0
m−
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
(
)
2 5
2
m
y
m
x
−
=
−
是正比例函数，
∴
2
5
1
m
−
=
且
2
0
m−
，
解得：
6
m =
；
（2）解：∵
(
)
2 5
2
m
y
m
x
−
=
−
是反比例函数，
∴
2
5
1
m −
= −且
2
0
m−
，
解得：
2
m = −；
∴该反比例函数的解析式为
4
y
x
= −
，
当
8
y =
时，
4
8
−
=
x
，
解得：
1
2
x = −
．
题型六、正比例与反比例组合函数
典例6 已知
1
2
y
y
y
=
+
，并且
1y 与(
1)
x −
成正比例，
2y 与
2
x 成反比例．当
2,
5
x
y
=
=
，当
1
x = −，
10
y =
；
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求y 关于x 的函数解析式．
【答案】
(
)
2
5
40
1
3
3
y
x
x
=
−
+
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，设
(
)
1
1
y
m x
=
−
，
2
2
n
y
x
=
，则有
(
)
2
1
n
y
m x
x
=
−
+
，把已
知条件代入则可求得y 与x 的函数解析式
【详解】解：设
(
)
1
1
y
m x
=
−
，
2
2
n
y
x
=
，则
(
)
1
2
2
1
n
y
y
y
m x
x
=
+
=
−
+
，
把
2,
5
x
y
=
=
和
1
x = −，
10
y =
代入得：
1
5
4
2
10
m
n
m
n
+
=
−
+
=
，解得
5
3
40
3
m
n
=
=
，
∴
(
)
2
5
40
1
3
3
y
x
x
=
−
+
．
变式6-1 已知
1
2
y
y
y
=
+
，其中
1y 与x 成反比例，
2y 与2
1
x+ 成正比例，且当
1
x = 时，
9
y =
；当
3
x
−
=
时，
11
y = −
，求y 关于x 的函数解析式．
【答案】
3
4
2
y
x
x
=
+
+
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握反比例数函数与正比例函数的定义是解题的关键．根
据正比例函数和反比例函数的定义，设函数关系式，再把当
1
x = 时
9
y =
；当
3
x
−
=
时，
11
y = −
，代入，即
可求解．
【详解】解：∵
1y 与x 成反比例，
2y 与2
1
x+ 成正比列，
1
2
0,
0
k
k
∴设
1
1
k
y
x
=
，
(
)
2
2 2
1
y
k
x
=
+
，
∴
(
)
1
2 2
1
k
y
k
x
x
=
+
+
，
∵当
1
x = 时，
9
y =
；当
3
x
−
=
时，
11
y = −
，
∴
(
)
(
)
1
2
1
2
9
2 1
1
11
6 1
3
k
k
k
k
=
+
+
−
=
+
−+
−
，
解得：
1
2
3
2
k
k
=
=
，
∴
(
)
3
3
2 2
1
4
2
y
x
x
x
x
=
+
+
=
+
+
，
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即
3
4
2
y
x
x
=
+
+ ．
变式6-2 已知
1
2
y
y
y
=
+
，若
1y 与
2
x 成正比例关系，
2y 与x 成反比例关系，且当
1
x = −时，
3
y =
；
1
x = 时，
5
y = −．
(1)求y 与x 的函数关系式：
(2)求
2
x = −时，y 的值．
【答案】(1)
2
4
y
x
x
= −
−
；
(2)
2
x = −时，
2
y = −．
【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正
确理解图象上的点与函数解析式的关系．
（1）由
1y 与
2
x 成正比例关系，
2y 与x 成反比例关系．分别设
2
2
1
1
2
,
k
y
k x
y
x
=
=
，并把
1y 、
2y 代入
1
2
y
y
y
=
+
中，然后把所给两组数分别代入求出
1k 、
2k ，即可求出y 与x 的函数关系式．
（2）把
2
x = −代入（1）中的解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设
2
2
1
1
2
,
k
y
k x
y
x
=
=
，
则
2
2
1
k
y
k x
x
=
+
，
依题意得
(
)
1
2
1
2
3
5
k
k
k
k
+ −
=
+
= −
，
解得
1
2
1
4
k
k
= −
= −
，
2
4
y
x
x
= −
−
；
（2）解：当
2
x = −时，
(
)
2
4
2
4
2
2
2
y = −−
−
= −+
= −
−
．
变式6-3 已知
1
2
y
y
y
=
−
，并且
1y 与x 成正比例
2y 与(
2)
x−
成反比例，当
2
x = −时，
7
y = −；当
3
x =
时，
13
y =
．
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)求当
5
x =
时的函数值．
【答案】(1)
4
3
2
y
x
x
=
+
−
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(2) 49
3
【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数．
（1）设
1
2
,
2
m
y
kx y
x
=
=
−
，则
2
m
y
kx
x
=
−
−
，然后利用待定系数法即可求得；
（2）把
5
x = 代入（1）求得函数解析式求解．
【详解】（1）解：设
1
2
,
2
m
y
kx y
x
=
=
−
，
则
2
m
y
kx
x
=
−
−
，
根据题意得：
2
7
4
3
13
m
k
k
m
−
−
= −
−
−
=
，
解得：
3
4
k
m
=
= −
，
则函数解析式是：
4
3
2
y
x
x
=
+
−
；
（2）解：当
5
x = 时，
4
49
3 5
5
2
3
y = +
=
−
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．函数
6
y
x
=
，当
2
x =
时，函数值y 为（ ）
A．3
B．3
−
C．12
D．1
3
【答案】A
【分析】本题考查已知函数解析式求函数值，将给定的自变量的值代入解析式计算即可．
【详解】∵ 函数解析式为
6
y
x
=
，
∴ 将
2
x =
代入解析式得
6
3
2
y =
=
，
因此函数值y 为3，
故选：A．
2．已知点(
)
1,
A x
a
−
，
(
)
2,
B x a 且
0
a
，在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，则
1
2
x
x
+
的值为（ ）
A．0
B．1
C．1
−
D．2
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【答案】A
【分析】利用点在反比例函数图象上时坐标满足函数解析式，分别求出
1x 和
2x ，再计算
1
2
x
x
+
即可得到结果．
【详解】解：∵点(
)
1,
A x
a
−
，
(
)
2,
B x a 在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，
∴
1
k
a
x
−=
，
2
k
a
x
=
，
∴
1
k
x
a
= −
，
2
k
x
a
=
，
∴
1
2
0
k
k
x
x
a
a
+
= −
+
=
．
3．若反比例函数
k
y
x
=
的图象经过
(
)
3, 4
A
−
，(
)
1, 6
B a −
−
两点，则a 的值为（ ）
A．3
−
B．3
C．2
D．6
−
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k 的值，再代入B 点坐标计算得到a
的值．
【详解】解：∵反比例函数
k
y
x
=
的图象经过点
(
)
3, 4
A
−
，
∴
(
)
3
4
12
k = −
= −
；
∵点(
)
1, 6
B a −
−
在该反比例函数图象上，
∴(
) (
)
1
6
12
a −
−
= −
，
解得
3
a = ．
4．已知点
(
)
1
1
,
A x y
，(
)
2
2
,
B x
y
为反比例函数
1
y
x
=
图象上的两个不同的点，1
2
0
x x
，则
2
1
2
1
y
y
x
x
−
−
的值为（ ）
A．0
B．正数
C．负数
D．非负数
【答案】C
【分析】利用反比例函数解析式得到
1y ，
2y 的表达式，代入所求分式化简，再根据已知
1
2
0
x x
判断化简结
果的符号即可．
【详解】∵点
(
)
1
1
,
A x y
，(
)
2
2
,
B x
y
在反比例函数
1
y
x
=
的图象上，
∴
1
1
1
y
x
=
，
2
2
1
y
x
=
，
∴
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
x
x
y
y
x
x
x x
−
−
=
−
=
，
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∴
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
x
x
y
y
x x
x
x
x
x
x x
−
=
=
−
−
−
−
∵
1
2
0
x x
，
∴
1
2
1
0
x x
−
，即原式的值为负数．
5．如图，
OABC
的顶点A在反比例函数
(
)
2
0
y
x
x
= −
的图象上，AB 交y 轴于点D ，OD 平分
AOC
，
点A的纵坐标为1，则点D的坐标是（ ）
A．
3
0, 2
B．(
)
0,2
C．
5
0, 2
D．(
)
0,4
【答案】B
【分析】作AE
y
⊥
轴于点E ，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得
ADO
AOD
=
，则AO
AD
=
，
结合AE
y
⊥
轴可得
2
2
OD
OE
=
=
，从而得到点D 的坐标．
【详解】解：如图，作AE
y
⊥
轴于点E ，
∵点A的纵坐标为1，
∴
1
OE = ，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB
OC
，
∴
ADO
COD
=
，
∵OD 平分
AOC
，
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∴
AOD
COD
=
，
∴
ADO
AOD
=
，
∴AO
AD
=
，
∵AE
OD
⊥
，
∴
2
2
OD
OE
=
=
，
∴点D的坐标为(
)
0,2 ．
6．若
2
y
x
=
，且x 只能取整数，则y 的最小值是______．
【答案】2
−
【分析】先根据x 的正负分类讨论，确定y 最小值的范围，再结合x 为整数的条件，求出y 的最小值．
【详解】解：∵
2
y
x
=
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴当x 为正整数时，
2
0
y
x
=
；
当x 为负整数时，
2
0
y
x
=
，
∵2
0
，
∴图象在第三象限y 随x 的增大而减小，
∴当
1
x = −时，y 有最小值，此时
2
2
1
y =
= −
−
．
7．在平面直角坐标系xOy 中，若函数
0
k
y
k
x
=
（
）的图象经过点(
)
1
3, y
和(
)
2
2, y
−
，则
1
2
y
y
+
______0（填“＞”，
或“＜”或“＝”）．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将两点坐标代入反比例函数解析式，分别表示出
1y 和
2y ，
计算
1
2
y
y
+
后结合
0
k 的条件判断其与0 的大小关系即可．
【详解】解：将(
)
1
3, y
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
，得
1
3
k
y =
，
将(
)
2
2, y
−
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
，得
2
2
k
y = −
，
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则
1
2
3
2
6
k
k
k
y
y
+
=
−
= −
，
0
k
，
0
6
k
−
，即
1
2
0
y
y
+
．
8．点(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
、
都在反比例函数
6
y
x
=
的图象上，若
1
2
4
x x
= −，则
2
1
1
2
x
x
y
y
+
的值为_____．
【答案】
4
3
−
/
1
13
−
【分析】因为
,
A B 都在反比例函数的图象上，可知
1
1
2
2
6,
6
x y
x y
=
=
，把已知
1
2
4
x x
= −代入可求得
1
2
y
y
的
值，再通分后代入求解即可．
【详解】解：∵点
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
都在反比例函数
6
y
x
=
的图象上，
1 1
2
2
6,
6
x y
x y
=
=
，
1
1
2
2
36
x y x y
=
，
且
1
2
4
x x
= −，
1
2
9
y
y
= −，
∴
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
6
6
4
9
3
x
x
x y
x y
y
y
y y
+
+
+
=
=
= −
−
．
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
)
8
0
y
x
x
= −
的图象经过
ABCO
的顶点A，点B、C 分别在x
轴负半轴、y 轴负半轴上，
2
OC =
，则点A 的坐标是____________．
【答案】(
)
4,2
−
【分析】先推导出
,
2,
AB
OC AB OC =
∥
=
得到点A 的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出
4
x = −，
即可解答．
【详解】解：在
ABCO
中，
,
2,
AB
OC AB OC =
∥
=
∴点A 的纵坐标为2，
将
2
y =
代入
(
)
8
0
y
x
x
= −
，得
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8
2
x
= −
，
解得
4
x = −，
∴点A 的坐标是(
)
4,2
−
．
10．新定义：若函数图象上存在点
(
)
,
A x y ，将其横坐标变为原来的a 倍（
0
a
），纵坐标不变得到点
(
)
,
B ax y ，
则称点B 为点A的“ a 倍横变点”，所有“a 倍横变点”构成的函数称为原函数的“a 倍横变函数”．例如：函数
1
y
x
=
+ 图象上的点(
)
1 2, 的“3 倍横变点”为(
)
3,2 ，函数
1
y
x
=
+ 的“3 倍横变函数”为
1
1
3
y
x
=
+ ．
（1）点
(
)
2,
A
n 在一次函数
2
3
y
x
=
+ 的图象上，点B 是点A的“ 1
2 倍横变点”，则点B 的坐标为_____；
（2）点C 在反比例函数
(
)
15
0
y
x
x
=
的图象上，点D 是点C 的“ 1
5 倍横变点”，若线段CD的中点E 在直线
y
x
=
上，则点C 的坐标为_____．
【答案】 (
)
1,7 (
)
5,3
【分析】本题属于新定义题型，考查一次函数、反比例函数的性质等，理解题意是解题关键．
（1）将
(2, )
A
n 代入
2
3
y
x
=
+ 确定
(2,7)
A
，再由题意即可求解；
（2）设点
15
,
C x x
，依题意可知点
1
15
,
5
D
x x
，再由中点坐标得出点
3
15
,
5
E
x x
，代入函数求解即可．
【详解】解：将
(2, )
A
n 代入
2
3
y
x
=
+ 得；
2 2 3
7
n = + =
，
(2,7)
A
，
点B 是点A 的1
2 倍横变点，
1
2
1
2
= ，
点
(1,7)
B
，
故答案为：(
)
1,7 ；
设点
15
,
C x x
，依题意得点
1
15
,
5
D
x x
，
点E 是线段CD的中点，
点
3
15
,
5
E
x x
，
点E 在直线y
x
=
上，
3
15
5 x
x
=
，
解得：
5
x = ，
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0
x
，
5
x
=
，
点
(5,3)
C
，
故答案为：(
)
5,3 ．
11．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围：
(1)在60km/ h的匀速运动中，运动路程(
)
s km 是时间( )
h
t
的函数；
(2)某学校要在校园中辟出一块面积为
2
64m 的长方形土地做花圃，这个花圃的长(
)
m
y
是宽(
)
m
x
的函数．
【答案】(1)
60
s
t
=
，是正比例函数，自变量取值范围为
0
t
(2)
64
y
x
=
，是反比例函数，自变量取值范围为
0
x
【分析】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程(
)
s km 是时间( )
h
t
的函数关系式，再根据正比例函
数的定义解答即可；
（2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长(
)
m
y
是宽(
)
m
x
的函数关系式，再根据反比例函数的定义解
答即可．
【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得
60
s
t
=
，该式符合正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
的形式，
因此s是t 的正比例函数，
运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是
0
t
．
（2）解：∵长方形面积=长×宽，可得
64
xy =
，
变形得
64
y
x
=
，该式符合反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的形式，
因此y 是x 的反比例函数，
长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是
0
x
．
12．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表：
每天运输的吨数
500
250
100
50
……
运输的天数
1
2
5
m
……
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(1)这批货物共有多少吨？
(2)用x 表示运输天数，用y 表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系．
(3) x 与y 成反比例关系吗？如果成，请求出表格中m 的值．
【答案】(1)
500 吨
(2)
500
y
x
=
(3)
成反比例关系，
10
m =
【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量= 每天运输吨数运输天数”确定
总量，并分析变量间的关系．
（1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量；
（2）根据总量公式变形得到x 与y 的关系式；
（3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求m 的值．
【详解】（1）解：500 1
500
=
（吨）．
答：这批货物共有500 吨．
（2）解：由
500
y
x
=
，得
500
y
x
=
.
（3）解：∵
500
xy =
（定值），
∴x 与y 成反比例关系．
当
50
y =
时，
500
10
50
m =
=
．
13．已知函数
(
)
2
3
2
2
n
n
y
m
x
m
+
=
−
+
+
．
(1)当
,
m n为何值时，该函数是一次函数？
(2)当
,
m n为何值时，该函数是正比例函数？
(3)当
,
m n为何值时，该函数是反比例函数？
【答案】(1)当
2 ,
1
3
m
n
= −时，该函数是一次函数
(2)当
1 ,
1
2
m
n
=
= −时，该函数是正比例函数
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(3)当
3 ,
3
2
m
n
=
= −时，该函数是反比例函数
【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解
题的关键：
（1）根据一次函数的定义，得到3
2
0,2
1
m
n
−
+
= ，进行求解即可；
（2）根据正比例函数的定义，得到3
2
0,2
1,
0
2
n
m
n
m
−
+
=
+
=
，进行求解即可；
（3）根据反比例函数的定义，得到3
2
0,2
1,
0
2
n
m
n
m
−
+
= −
+
=
，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：3
2
0,2
1
m
n
−
+
= ，解得
2 ,
1
3
m
n
= −，
即当
2 ,
1
3
m
n
= −时，该函数是一次函数．
（2）由题意，得3
2
0,2
1,
0
2
n
m
n
m
−
+
=
+
=
，解得
1 ,
1
2
m
n
=
= −，
即当
1 ,
1
2
m
n
=
= −时，该函数是正比例函数．
（3）由题意，得3
2
0,2
1,
0
2
n
m
n
m
−
+
= −
+
=
，解得
3 ,
3
2
m
n
=
= −，
即当
3 ,
3
2
m
n
=
= −时，该函数是反比例函数．
14．已知
1
2
y
y
y
=
+
，并且
1y 与(
2)
x−
成正比例，
2y 与x 成反比例，当
1
x = −时，
3
y =
；当
4
x = 时，
7
4
y =
．
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)求
1
x = −时的函数值．
【答案】(1)
9
2
4
y
x
x
=
−−
；
(2)3．
【分析】（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出的自变量和函数的对应值求出待定的
系数则可；
（2）将= 1
x −代入（1）中求值即可．
此题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设
1
2
(
)
y
m x −
=
，
2
n
y
x
=
，
则
2
(
)
x
y
m x
n
=
−
+
，
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根据题意，得：
3
3
7
2
4
4
m
n
n
m
−
−
=
+
=
，
解得：
2
9
m
n
=
= −
，
∴
9
2
4
y
x
x
=
−−
；
（2）解：当= 1
x −时，
2
4
9
3
y = −−
+
=
．
15．小东根据学习函数的经验，对函数
1
1
y
x
x
=
+
−的图象与性质进行探究，下面是小东的探究过程：
(1)下表是x 与y 的几组对应值：
x
3
−
1
−
1
2
−
1
2
1
2
3
y
13
3
−
3
−
7
2
−
3
2
1
m
7
3
求出表中m 的值；
(2)根据表中数值描点(
)
,x y ，并画出函数图象；
(3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：______________；
(4)求出该函数图象与
1
y
x
=
图象的交点坐标．
【答案】(1) 3
2
(2)见解析
(3)当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，（答案不唯一）
(4)(
)
1,1
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【分析】本题考查了函数的图象，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
（1）代入
2
x =
即可求得m 的值；
（2）描点、连线、用平滑的曲线作出图象即可；
（3）结合函数的图象提出一条性质即可；
（4）解方程组即可求出答案．
【详解】（1）解：当
2
x =
时，
1
3
2
1
2
2
y =
+
−=
，
∴m 的值为3
2 ；
（2）解：描点连线，函数图象如图
（3）解：观察图象得：当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，（答案不唯一）；
故答案为：当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，（答案不唯一）；
（4）解：解方程组
1
1
1
y
x
x
y
x
=
+
−
=
解得：
1
1
x
y
=
=
∴该函数图象与
1
y
x
=
图象的交点坐标为(
)
1,1 ．
