文档内容
压轴题 01 反比例函数中的面积问题
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
难点一、过反比例函数上的点作坐标轴的垂线构造模型..............................................2
难点二、面积需要进行转换、分割或补形.......................................................................10
难点三、结合多个双曲线.......................................................................................................20
压轴能力测评（10题）.............................................................................................34
1.反比例函数的k的几何意义
由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.
如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
矩形PAOB
同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|.
△OPA △OPB
2.常见的面积类型易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
越大，双曲线离原点越远.
4.求k的常用方法
①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；
②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系.
难点一、过反比例函数上的点作坐标轴的垂线构造模型
1．（2024•雨花区校级模拟）如图， 的顶点 在第一象限，顶点 在 轴上，反比例函数 的
图象经过点 ，若 ， 的面积为8，则 的值为 ．
【分析】根据反比例函数 值的几何意义进行解答即可．
【解答】解：如图，作 轴，垂足为 ，
，
△ ，
的面积为8，
，
．
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数 值的几何意义，熟练掌握反比例函数 值的几何意义是关键．2．（2022秋•淮南月考）如图，在直角坐标系中，正方形 的顶点 与原点重合，顶点 、 分别
在 轴、 轴上，反比例函数 的图象与正方形的两边 、 分别交于点 、 ，
轴，垂足为 ，连接 、 、 ．
（1）四边形 面积与 面积关系是 ；
（2）若 ， ，则点 的坐标为 ．
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 反 比 例 函 数 的 性 质 得 到 与 全 等 ， 利 用
，即可求解；
（2）过点 作 于点 ，如图所示，证得 ，利用全等三角形对应边相等得
到 ，求出 的值，确定出 坐标，即可求解．
【解答】解：（1） 轴，四边形 是正方形，
， ，
又 ，
设正方形 的边长为 ，则 ， ， ， ， ，
， ，
在 中， ．
在 和 中，
，
，
，
，
，
四边形 面积与 面积相等，故答案为：相等；
（2）过点 作 于点 ，如图所示，
，
， ，
，
，
，
， ， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，即 ，
，即 ，
解得 （舍去负值），
点 的坐标 ．
故答案为： ．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股
定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
3．（2022•双流区模拟）如图，点 和点 是反比例函数 图象上的两点，一次函数
的图象经过点 ，与 轴交于点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ， ．已知 与 的面积满足 ．
（1）求 的面积和 的值；
（2）求直线 的表达式；
（3）过点 的直线 分别交 轴和 轴于 ， 两点， ，若点 为 的平分线上一点，
且满足 ，请求出点 的坐标．
【分析】（1）首先可知 的坐标，从而得出 的面积，再根据 ．得 ，可
得 的值；
（2）由点 在反比例函数 上，可得 ，再将点 的坐标代入反比例解析式即可；
（3）设 ，分点 在 轴正半轴上或点 在 轴负半轴两种情形，分别根据相似三角形的判定与性
质求出 和 的长，从而得出 的长，即可得出答案．
【解答】解：（1） 一次函数 与 轴交于 ，
，
，
，
．
，
点 在反比例函数 上，
；
（2） 点 在反比例函数 上，
，
，将 代入一次函数 得，
，
，
一次函数 ；
（3）设 ，当点 在 轴正半轴上时，
作 轴于 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
点 为 的平分线上一点， ，
点 到 轴和 轴的距离相等为 ，
， ，
当点 在 轴负半轴上时，如图，同理可得， ， ，
，
点 为 的平分线上一点， ，
点 到 轴和 轴的距离相等为 ，
， ，
当点 在 轴负半轴上时，不合题意，舍去．
综上： ， 或 ， ．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征， 的几何意义，相似
三角形的判定与性质等知识，表示出 和 的长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过正方形 的顶点 和 ，点 、 的
坐标分别是 和 ，边 ， 分别交 轴于点 、 ．
（1）填空：正方形的边长为 ；（2）求反比例函数 的解析式；
（3）若点 是直线 上一动点，作 轴，交反比例函数 的图象于点 ，过点 ， 分别
向 轴作垂线，垂足分别为 、 ，得到矩形 ，设点 的横坐标为 ．
①填空：点 的坐标为 ；（用含 的代数式表示）
②填空：若矩形 的面积为6，则点 的横坐标为 ．
【分析】（1）由点 ， 的坐标，利用两点间的距离公式可求出 的长，此问得解；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，则△ △ ，利用全等三
角形的性质可求出 ， ， 的长度，进而可得出点 的坐标，由点 的坐标，利用待定系数法即
可求出反比例函数解析式；
（3）①由点 ， 的坐标，利用待定系数法可求出直线 的解析式，由点 的横坐标为 ，利用一次
函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点 ， 的坐标；
②由点 ， 的坐标，可得出 ， 的长，由矩形的面积公式结合矩形 的面积为6，可得出关
于 的方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1） 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
．
故答案为： ．
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图1所示．
四边形 为正方形，
， ．
， ，
．在△ 和△ 中， ，
△ △ ，
， ，
，
点 的坐标为 ．
将 代入 ，得： ，
，
反比例函数的解析式为 ．
（3）①设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得：
，解得： ，
直线 的解析式为 ．
点 的横坐标为 ，
点 的坐标为 ．
轴，且点 反比例函数 的图象上，
点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ．② 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，
， ．
矩形 的面积为6，
，即 或 ，
解得： ， ， ， ，
经检验， ， ， 是原方程的解，且符合题意， 是增根，舍去．
故答案为：0， 或 ．
【点评】本题考查了两点间的距离公式、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求反比例
函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标
特征以及矩形的面积，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式求出 的长；（2）利用全等三角形
的性质，找出点 的坐标；（3）①利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出点 的坐标；②由矩形的
面积公式结合矩形 的面积为6，找出关于 的方程．
难点二、面积需要进行转换、分割或补形
1．如图，四边形 和四边形 都是正方形，边 在 轴上，边 在 轴上，点 在边 上，
反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则正方形 和正方形 的面积之差为
A．12 B．10 C．6 D．4
【分析】设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，则 ，再根据反比例函数图
象上点的坐标特征得 ，因为 ， ，从而求得正方形 和
正方形 的面积之差为10．
【解答】解：设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，则 ，
，整理为 ，
， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 为常数， 的图象是双曲
线，图象上的点 的横纵坐标的积是定值 ，即 ；也考查了正方形的性质．
2．（2024•武威三模）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在坐标轴上，且四边形 是边
长为3的正方形，反比例函数 的图象与 ， 边分别交于 ， 两点， 的面积为
4，点 为 轴上一点，则 的最小值为
A．3 B． C． D．5
【分析】由正方形 的边长是3，得到点 的横坐标和点 的纵坐标为3，求得 ， ，根
据三角形的面积列方程得到 ， ，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则
的长 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解： 正方形 的边长是3，
点 的横坐标和点 的纵坐标为3，
， ，
， ，
的面积为4，
，
或 （舍去），
， ，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 的长 的最小值，
，
， ，
，
即 的最小值为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了反比例函数的系数 的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，
正确的作出图形是解题的关键．
3．（2022•青山区校级三模）如图，四边形 和四边形 均为正方形，反比例函数
的图象经过点 ， ，连接 ， ， ，则 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出正方形 的边长，进而求出正方形 的边长，
由图形中面积之间的和差关系进行计算即可．
【解答】解： 四边形 为正方形，点 在反比例函数 的图象上，
正方形 的面积为10，
，
设正方形 的边长为 ，即 ，
点 ， ，
点 在反比例函数 的图象上，
，解得 或 ，舍去，
，而 ，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出正方形 和正方形 的边长是解决问题
的关键．
4．（2024春•商水县校级月考）如图，正方形 在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，顶点 ，
在坐标轴上，反比例函数 在第一象限的图象分别交 ， 于点 ， ，连接 ，
交于点 ， 的面积等于1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形 的面积．
【分析】（1）利用反比例函数系数 的几何意义即可求得；
（2）求得 、 的坐标，即可求得直线 为 ，直线 为 ，两直线解析式联立成方程
组，解方程求得 点的坐标，然后根据四边形 的面积 求得即可．
【解答】解：（1） 正方形 在平面直角坐标系中，顶点 ， 在坐标轴上，
轴，
，
，
反比例函数的解析式为 ；
（2） ，
点的纵坐标为2， 的横坐标为2，
， ，直线 为 ，直线 为 ，
解 得 ，
， ，
四边形 的面积 ．
【点评】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，利
用分割法求得四边形的面积是解题的关键．
5．（2024春•扬州月考）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新
结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用
上述有关思想，解答下列问题：
如图1，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴负半轴，顶点 在 轴正半轴， 、 分别
为 、 的中点，反比例函数 的图象经过 、 两点，连接 、 ，四边形 的
面积为8．
（1） 8 ，直线 的表达式为 ；
（2）在（1）的条件下，如图2， 为该反比例函数图象上任意一点，过点 作 轴交直线
于点 ，请猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，延长 交反比例函数 的图象于点 ，过点 作 直线 于
，过点 作 直线 于 ，试判断 的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是，
请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；（2） ， ，则点 ，即可求解；
（3）证明 为等腰直角三角形，得到 ，同理可得： ，即可求解．
【解答】解：（1）设正方形的边长为 ，
则四边形 的面积 ，
解得： （舍去）或4，
则点 、 、 、 的坐标分别为： 、 、 、 ，
将点 的坐标代入反比例函数表达式得： ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
故答案为： ， ；
（2） ，理由：
， ，则点 ，
由 、 的坐标得： ，
，
即 ；
（3）为定值，理由：
过点 作 轴交 于点 ，
由（2）的解答知， ，
轴，则 ，
则 为等腰直角三角形，
则 ，即 ，
同理可得： ，
则 ．【点评】本题考查了面积的计算、求一次函数的解析式，反比例函数解析式，等腰直角三角形性质，勾股
定理等知识，解决问题的关键是类比得出结论．
6．（2024春•扬州期末）我们研究反比例函数图象平移后的性质．
初步探究（1）将反比例函数 的图象沿 轴向左平移1个单位，可以得到函数 的图象如图①，
观察图象，以下结论正确的有 （写序号）；
①该函数图象与 轴的交点坐标是 ；②该函数图象是中心对称图形，对称中心是 ；③当
时， 随 的增大而减小．
（2）在图②中画出函数 的图象（无需列表），填空：该图象的对称中心坐标为 ；
问题解决（3）①若函数 的图象可以由函数 的图象通过平移得到，求 的值；
②在①的条件下，如图③，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 、 分别在 轴、 轴上，点
坐标为 ，点 是 中点，连接 、 交于 ，若函数 的图象经过点 、 ，取线
段 的中点 ，经过点 作直线 与这个函数图象交于 ， 两点，点 横坐标为5，请直接写出四边
形 的面积为 ．
深入思考（4）当 ．时，对于任意正数 ，方程 均无解，直接写出 ， ， 满足的数量
关系 ．【分析】（1）数形结合判断作答即可；
（2）由题意知， 的图象是由 的图象向下平移1个单位得到的，任何作函数图象，确
定该图象的对称中心坐标即可；
（3）①由函数 的图象可以由函数 的图象通过平移得到，可得
，计算求解即可；
②由题意知， ， ，同理（1）可知， 的对称中心为 ，当 时，
，即 ；待定系数法求直线 的解析式为 ，联立可得 ，则 的中点 ，
即为对称中心，当 时， ，即 ；同理，直线 的解析式为 ，联立，计
算求解，可得 ，与 重合，如图③，根据 ，计算求解即可；
（4）由 ，令 ， ，由当 时，对任意正数 ，方程均无解，
可知函数 ， 的图象无交点，如图④，由题意知， 的对称中心为 ，
即图象不经过 ，由 为任意正数，可知当 经过点 时，两图象无交点，即
无解，将代入 得， ，整理得 ．
【解答】解：（1）由图象可知，该函数图象与 轴的交点坐标是 ，①正确，故符合要求；
该函数图象是中心对称图形，对称中心是 ，②正确，故符合要求；
当 时， 随 的增大而减小，③错误，故不符合要求；
故答案为：①②．
（2）由题意知， 的图象是由 的图象向下平移1个单位得到的，作函数图象如下：该图象的对称中心坐标为 ；
故答案为： ；
（3）① 函数 的图象可以由函数 的图象通过平移得到，
，
解得， ，
的值为 ；
②由题意知， ， ，
同理（1）可知， 的对称中心为 ，
当 时， ，即 ；
设直线 的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得， ，
直线 的解析式为 ；
联立 ，解得 或 ，
，
的中点 ，即为对称中心，
当 时， ，即 ；
同理，直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
，与 重合，如图③，是对称中心，
；
故答案为：6；
（4） ，
令 ， ，
当 时，对任意正数 ，方程均无解，
函数 ， 的图象无交点，
如图：
由题意知， 的对称中心为 ，即图象不经过 ，
为任意正数，
当 经过点 时，两图象无交点，即 无解，
将 代入 得， ，
整理得 ；
故答案为： ．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，图象的平移，一次函数解析式，一次函数与反比例函数综
合，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数的图象与性质，图象的平移，一次函数解析式，一次函数与
反比例函数综合，坐标与图形是解题的关键．
难点三、结合多个双曲线
1．（2024秋•安平县期中）如图，矩形 与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点
， ，与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点 ，连接 ， ．若四边形
的面积为6，则
A．6 B． C．3 D．
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数 的几何意义即可得出结论．
【解答】解： 、 的图象均在第一象限，
， ，
点 ， 均在反比例函数 的图象上，
，
矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了矩形的性质以及反比例函数的系数 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．
2．（2024•长沙模拟）如图， 是平行四边形，对角线 在 轴正半轴上，位于第一象限的点 和
第二象限的点 分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点 、 作 轴的垂线段，垂足分别
为点 和点 ，先给出如下四个结论：
① ；
②阴影部分的面积是 ；
③当 时， ；
④若 是菱形，则 ，
以上结论正确的是
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④
【分析】作 轴于点 ， 轴于点 ，根据平行四边形的性质得 ，利用三角形面
积公式得到 ，则有 ，再利用反比例函数 的几何意义和三角形面积公式得到
， ， 所 以 有 ； 由 ，
，得到 ；当 ，得到四边形
是矩形，由于不能确定 与 相等，则不能判断 ，所以不能判断 ，则不能确
定 ；若 是菱形，根据菱形的性质得 ，可判断 ，则 ，
所以 ，即 ，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于 轴对称，也关于 轴对称．
【解答】解：作 轴于 ， 轴于 ，如图
四边形 是平行四边形，
，
，
，， ，
，故①正确；
， ，
，
而 ， ，
，故②错误；
当 ，
四边形 是矩形，
不能确定 与 相等，
而 ，
不能判断 ，
不能判断 ，
不能确定 ，故③错误；
若四边形 是菱形，则 ，
而 ，
，
，
，
，
，故④正确．
故选： ．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数 的几何意义、平行
四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．3．（2023秋•宽甸县期末）如图，矩形 与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点
， ，反比例函数 是非零常数， 的图象交于点 ，连接 ， ．若四边形
的面积为3，则 ．
【分析】根据反比例函数中 的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角
形面积等于 ，数形结合可以得到 ，根据图象均在第一象限可知
， ，再由四边形 的面积为3，得到 ，即可得到答案．
【解答】解： 矩形 与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点 ， ，
由反比例函数中 的几何意义知， ，
矩形 与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点 ，
由反比例函数中 的几何意义知， ，
四边形 的面积为3，
由图可知， ，
即 ，解得 ，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数中 的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用 的几
何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
4．（2024•思明区校级二模）如图， 、 是反比例函数 的图象上的两点，分别过点 、作 轴的平行线，与反比例函数 的图象交于点 、 ，若四边形 的面积是8，则 、 之
间的关系是 ．
【分析】连接 ， ，根据反比例函数的性质可得点 在线段 上，且 ，由点 是反
比例函数 的图象上的点，可得 ，由 轴，可得点 的坐标为 ，进而可得
的 长 ， 从 而 可 以 判 断 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得
，然后根据三角形的面积公式可得 ，整理得： ．
【解答】解：连接 ， ，如图，
、 关于原点对称，且是反比例函数 的图象上的两点，
点 在线段 上，且 ，
是反比例函数 的图象上的点，
，
轴，
点 的坐标为 ，
，同理可得 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
整理得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数系数 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定
与性质、三角形面积等知识，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．
5．（2021•宁波模拟）如图，等腰 的面积为100，底边 在 轴上，腰 交 轴于点 ，反比例
函数 的图象交腰 于点 ， ，反比例函数 的图象交腰 于点 ， ，恰
有 ， 交 轴于点 ，且 面积为18．则 的值为 ．
【分析】过点 作 轴于点 ，设 ， ，则 ， ，然后由 的面积得到
的长，即可得到 和 的长，然后求得直线 的解析式，再联立反比例函数 求得
点 的坐标，再由等腰三角形的性质得到点 的坐标，进而求得直线 的解析式，得到点 的坐标，进
而得到 和 的长，再由 的面积求得 的值，即可得到点 的坐标和 的值，进而求得
的值，最后得到 的值．
【解答】解：过点 作 轴于点 ，则 ，
设 ， ，则 ， ，
，，
，
， ，
设直线 的解析式为 ，则
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得： 或 ，
点 的坐标为 ， ，
， 轴，
点 的坐标为 ， ，
设直线 的解析式为 ，则
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
点 的坐标为 ，
， ，
的面积为18，
，
，点 的坐标为 ， ， ，
，
，
故答案为：32．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，
解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
6．（2024•南山区二模）已知如图， 直线 分别与双曲线 、双曲线
交于点 ，点 ，且 ，将直线 向左平移 6 个单位长度后， 与双
曲线 交于点 ，若 ，则 的值为 ．
【分析】先求出直线 向左平移 6 个单位长度后的解析式为 ，那么直线 交
轴于 ，作 于 ． 根据互相垂直的两直线斜率之积为 得出直线 的解析式为
，再求出 ， ， ，根据 ，求出
，那么 ，进而求出 、 两点坐标， 求出 、 即可解决问题 ．
【解答】解： 直线 向左平移 6 个单位长度后的解析式为 ，即 ，
直线 交 轴于 ，作 于 ．
可得直线 的解析式为 ，由 ，解得 ，即 ， ．
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
．
故答案为 100 ．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， 待定系数法求直线的解析式， 两点间的距离公式，
三角形的面积， 函数图象上点的坐标特征等知识， 综合性较强 ． 解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题， 属于中考填空题中的压轴题 ．
7．（2022•定海区校级开学）如图，经过原点 的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点
（点 在第一象限），点 ， ， 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴，五边形 的面积为56，四边形 的面积为32，则 的值为 ， 的值为 ．
【分析】如图，连接 ， ， ， ，延长 交 的延长线于 ，设 交 轴于 ．求出证明
四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 推 出 ， 推 出
，可得 ，推出 ．再证明 ，证明 ，推出
，再证明 即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 ， ， ， ，延长 交 的延长线于 ，设 交 轴于 ．
由题意 ， 关于原点对称，
， 的纵坐标的绝对值相等，
，
， 的纵坐标的绝对值相等，
， 在反比例函数 的图象上，
， 关于原点对称，
， ， 共线，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，设 ，则 ， ， ，
，
，
，即 ，
解法二：设 ， ，则 ， ， ， ， ，
由题意， ， ，
化简可得， ．
故答案为24， ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例
定理等知识，学会添加常用辅助线，构造平行线是解题的关键．
8．（2022•南山区三模）如图，平面直角坐标系 中，在反比例函数 的图象上取点
，连接 ，与 的图象交于点 ，过点 作 轴交函数 的图象于点 ，过点 作
轴交函数 的图象于点 ，连接 ， ， ， 与 交于点 ，则 ．【分析】如图，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ．利用相似三角形的性质证明
，设 ，则 ， ，由 轴， 轴，推出 ， ，
求出直线 ， 的解析式，构建方程组确定点 的坐标，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ．
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
轴， 轴，
， ，
直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
由 ，解得 ，， ，
，
解法二：可以通过求角 和角 的正切值，证明两个角相等，从而得出 为 的中点，可得结论．
故答案为： ．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解
题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
9．（2020•宁波）如图，经过原点 的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点（点 在第
一象限），点 ， ， 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴，五边形
的面积为56，四边形 的面积为32，则 的值为 ， 的值为 ．
【分析】如图，连接 ， ， ， ，延长 交 的延长线于 ，设 交 轴于 ．求出证明
四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 推 出 ， 推 出
，可得 ，推出 ．再证明 ，证明 ，推出
，再证明 即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 ， ， ， ，延长 交 的延长线于 ，设 交 轴于 ．
由题意 ， 关于原点对称，， 的纵坐标的绝对值相等，
，
， 的纵坐标的绝对值相等，
， 在反比例函数 的图象上，
， 关于原点对称，
， ， 共线，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，设 ，则 ， ， ，
，
，
，即 ，
解法二：设 ， ，则 ， ， ， ， ，
由题意， ， ，
化简可得， ．
故答案为24， ．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例
定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
一．选择题（共2小题）
1．（2024秋•鸡泽县期中）如图，过 轴正半轴任意一点 作 轴的垂线，分别与反比例函数 和
的图象交于点 和点 ．若点 是 轴上任意一点，连接 、 ，则 的面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设线段 ，则可求出 、 ，继而分别得出梯形 、 的面积，然后两者相减
可得出 的面积．
【解答】解：设线段 ，则 ， ，
； ，
．
故选： ．
【点评】此题考查了反比例函数的 的几何意义，解答本题的关键是表示出线段 、 、 的长度，
利用“面积作差法”求解 的面积，难度一般．
2．（2023•泰安模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与边长是6的正方形
的两边 ， 分别相交于 ， 两点． 的面积为10．若动点 在 轴上，则
的最小值是A． B．10 C． D．
【分析】由正方形 的边长是6，得到点 的横坐标和点 的纵坐标为6，求得 ， ， ，
根据三角形的面积列方程得到 ， ，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则
的长 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解： 正方形 的边长是6，
点 的横坐标和点 的纵坐标为6，
， ， ，
， ，
的面积为10，
，
或 （舍去），
， ，
作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 的长 的最小值，
，
， ，
，
故选： ．【点评】本题考查了反比例函数的系数 的几何意义，轴对称 最小距离问题，勾股定理，正方形的性质
正确的作出图形是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
3．（2024•武威三模）如图，已知双曲线 经过直角三角形 斜边 的中点 ，且与直角
边 相交于点 ．若点 的坐标为 ，则△ 的面积为 9 ．
【分析】要求△ 的面积，已知 为高，只要求 长，即点 的坐标即可，由点 为三角形
斜边 的中点，且点 的坐标 ，可得点 的坐标为 ，代入双曲线 可得 ，又
，所以 点的横坐标为 ，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积．
【解答】解： 点 为△ 斜边 的中点，且点 的坐标 ，
点 的坐标为 ，
把 代入双曲线 ，
可得 ，
即双曲线解析式为 ，
，且点 的坐标 ，
点的横坐标为 ，代入解析式 ，
，
即点 坐标为 ，
，
又 ，
．
故答案为：9．
【点评】本题考查反比例函数系数 的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想．
4．（2024•平谷区）如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，且 轴， 、 在 轴上，若四边形 为矩形，则它的面积为 2 ．
【分析】根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积 与 的关系： 即可判断．
【解答】解：延长 交 轴于 ，
轴，
垂直于 轴，
点 在双曲线 上，
四边形 的面积为1，
点 在双曲线 上，且 轴，
四边形 的面积为3，
矩形 的面积为 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所
得矩形面积为 ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 的
几何意义．
5．（2024秋•蒙城县期中）双曲线 、 在第一象限的图象如图， ，过 上的任意一点 ，作
轴的平行线交 于 ，交 轴于 ，若 ，则 的解析式是 ．【分析】根据 ，过 上的任意一点 ，得出 的面积为2，进而得出 面积为3，即可得出
的解析式．
【解答】解： ，过 上的任意一点 ，作 轴的平行线交 于 ，交 轴于 ，
，
，
面积为3，
，
的解析式是： ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数 的几何意义，根据已知得出 的面积为 2，进而得出
面积为3是解决问题的关键．
6．（2024秋•环翠区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点 为原点，菱形 的对角线 在
轴上，顶点 在反比例函数 的图象上，则菱形的面积为 4 ．
【分析】连接 交 于 ，由菱形的性质可知 ．根据反比例函数 中 的几何意义，得出
的面积 ，从而求出菱形 的面积 的面积的4倍．
【解答】解：连接 交 于 ．
四边形 是菱形，
．点 在反比例函数 的图象上，
的面积 ，
菱形 的面积 的面积 ．
【点评】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数 的几何意义．反比例函数图象上的点与原点
所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 的关系，即 ．
7．（2023秋•茂南区校级月考）如图，在函数 和 的图象上，分别有 、 两
点，若 轴，交 轴于点 ，且 ， ， ，则线段 的长度 ．
【分析】根据反比例函数 系数 的几何意义易得两反比例解析式为 ， ，设 点坐
标为 ， ，则可表示出 点坐标为 ， ，然后证明 ，得到
，即 ，解得 ，再确定 、 点的坐标，最后用两点的横坐标之差来
得到线段 的长．
【解答】解： ， ，
， ，
， ，
两反比例解析式为 ， ，设 点坐标为 ， ，
轴，
点的纵坐标为 ，
把 代入 得 ，
点坐标为 ， ，
，
，
，
，即 ，
，
点坐标为 ， ， 点坐标为 ， ，
线段 的长度 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了反比例函数 系数 的几何意义：从反比例函数 图象上任意一
点向 轴和 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 ．
8．（2024•伊宁市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象交矩形
的边 于点 ，交边 于点 ，且 ．若四边形 的面积为6，则 3 ．
【 分 析 】 连 接 ， 由 矩 形 的 性 质 和 已 知 条 件 得 出 ， 再 求 出
，即可得出 的值．
【解答】解：连接 ，如图所示：四边形 是矩形，
， ，
、 在反比例函数 的图象上，
，
，
，
，
；
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形
的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．
9．（2023秋•南海区校级月考）如图，在平面直角坐标系 中，梯形 的边 在 轴的正半轴上，
， ，过点 的双曲线 的一支在第一象限交梯形对角线 于点 ，交边 于点
．若点 的坐标为 ，则阴影部分面积 最小值为 ．
【分析】根据梯形的性质， 轴， 轴，而点 的坐标为 ，则 点的纵坐标为2， 点的
横坐标为2， 点坐标为 ，再分别把 或 代入 可得到 点的坐标为 ， ， 点的
坐标为 ，然后计算 ，配方得 ，当 时， 最小值为 ．
【解答】解： 梯形 的边 在 轴的正半轴上， ， ，
而点 的坐标为 ，点的纵坐标为2， 点的横坐标为2， 点坐标为 ，
把 代入解： 梯形 的边 在 轴的正半轴上， ， ，
而点 的坐标为 ，
点的纵坐标为2， 点的横坐标为2， 点坐标为 ，
把 代入 得 ；把 代入 得 ，
点的坐标为 ， ， 点的坐标为 ，
．
当 ，即 时， 最小，最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数综合题以及二次函数最值问题等知识，根据已知表示出图形面积是解题关
键．
三．解答题（共1小题）
10．（2020•黄冈模拟）如图，反比例函数 与长方形 在第一象限相交于 、 两点，
， ，连接 、 、 ．记 、 的面积分别为 、 ．
（1）填空：
①点 坐标为 ；
② （填“ ”、“ ”、“ ” ；
（2）当 时，求： 的值及点 、 的坐标；试判断 的形状，并求 的面积．【分析】（1）①根据 ， 可直接得到点 坐标；②根据反比例函 的意义可知 、 都等于
，即可得到答案；
（2）根据当 时，由（1）得出 ，进而得出 ， 的长，进而得出 ，
是直角三角形，进而得出三角形面积．
【解答】解：（1）①根据长方形 中， ， ，
则点 坐标为 ，
② 反比例函数 与长方形 在第一象限相交于 、 两点，
利用 、 的面积分别为 ， ， ，得出，
， ，
；
（2）当 时， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
的坐标为 ， 的坐标为，
是直角三角形，
，
，
，
，
的面积为： ，
故答案为：（1）① ；② ．
【点评】此题主要考查了反比函数的综合应用以及勾股定理的应用以及三角形面积求法，利用数形结合在
一起，得出 ， 长是分析解决问题的关键．
