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上海八上数学压轴题解题技巧
及核心几何模型
实数及其运算...................................................................................................3
题型一、无理数的识别................................................................... 3
题型二、实数的大小比较................................................................. 3
题型三、实数的整数与小数部分的计算..................................................... 3
题型四、程序设计与实数运算............................................................. 3
题型五、新定义下的实数运算............................................................. 4
题型六、实数运算的实际应用............................................................. 4
题型七、与实数运算相关的规律题......................................................... 4
平方根和立方根的综合题型..............................................................................4
题型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根........................................... 5
题型二、算术平方根的非负性............................................................. 5
题型三、算术平方根整数部分与小数部分求解............................................... 5
题型四、与平方根、立方根有关的规律探究题............................................... 6
题型五、利用平方根、立方根解方程....................................................... 6
题型六、平方根与立方根综合计算题型..................................................... 6
三角形中的倒角模型之双角平分线模型............................................................6
必备知识点............................................................................. 7
核心模型提炼与证明..................................................................... 7
模型1.双角平分线模型（双内角）.................................................... 7
模型2.双角平分线模型（一内角一外角）.............................................. 8
模型3.双角平分线模型（两外角）.................................................... 8
模型常见易错点......................................................................... 9
解题方法总结........................................................................... 9
通用解题步骤........................................................................... 9
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实数及其运算
实数相关题型是初中实数板块核心考点，所有题型均围绕实数分类、无理数特征、实数运算法则、实
数估值四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是无理数为无限不循环小数，有限小数、无限循环小数
均属于有理数，二是实数运算全程遵循算术平方根双重非负性�≥�(�≥�)
题型归纳
题型一、无理数的识别
题型模版
1.特征：题目给出一组数字，包含整数、分数、有限小数、无限循环小数、开方开不尽的数、含π的式子等，
要求从中筛选、判断无理数，或区分有理数与无理数。
2.方法：先逐个化简数字，有限小数、无限循环小数、整数、分数均为有理数；无限不循环小数是无理数，
重点区分开方能开尽与开不尽的根式，化简后再判定，避免被表面形式误导。
题型二、实数的大小比较
题型模版
1.特征：给出多个实数，包含带根号无理数、负数、分数、π等，要求从小到大或从大到小排序，或是比较
两个实数的大小并填写不等号。
2.方法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；同负实数先比较绝对值，绝对值大的数值更小；含根号
实数统一平方/立方去掉根号再比较，也可借助估算数值辅助对比。
题型三、实数的整数与小数部分的计算
题型模版
1.特征：给出开方开不尽的无理数，要求拆分出整数部分与小数部分，再代入代数式完成化简、求值计算。
2.方法：使用夹逼法找到相邻完全平方/立方数，确定无理数的整数部分；用原实数减去整数部分得到小数
部分，小数部分必须大于0 且小于1，代入代数式后再化简运算。
题型四、程序设计与实数运算
题型模版
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1.特征：给出流程图、运算程序框图，规定实数输入后分步运算规则，输入指定实数，按照程序步骤计算最
终输出结果。
2.方法：严格按照框图先后顺序分步计算，先执行括号内、开方运算，再做乘除、最后加减；若出现循环运
算，每次输出结果代入下一轮输入，全程分步记录数值防止跳步出错。
题型五、新定义下的实数运算
题型模版
1.特征：题干自定义全新运算符号、运算规则，结合平方根、绝对值、实数四则运算，给出式子要求代入数
值计算，或求解未知数。
2.方法：读懂文字定义，把新式子转化为常规实数运算式，严格遵循题目给定的运算先后逻辑，不可套用原
有运算定律随意变形，计算结束后代回定义核对结果。
题型六、实数运算的实际应用
题型模版
1.特征：结合生活场景出题，如面积、边长、距离、用料估算等，通过实际问题列出含根式、实数混合运算
的式子，求解实际数值。
2.方法：先梳理题干等量关系，根据题意列出实数运算算式，规范完成开方、四则混合计算；涉及长度、数
量等实际量，结果需取符合现实意义的正数，按需近似取值。
题型七、与实数运算相关的规律题
题型模版
1.特征：给出一组含根式、实数运算的等式、数列，观察数字、根号内数字的变化规律，求解指定项的值，
或写出第n 个通用代数式。
2.方法：拆分观察等式左右两边、被开方数、运算结果的变化规律，分别记录变量的增减关系，用含n 的式
子总结通用规律，选取两组序号代入验证规律是否成立。
平方根和立方根的综合题型
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平方根、立方根相关题型是实数章节核心考点，所有题型均围绕平方根双重属性、算术平方根非负特
性、立方根唯一性、方根等价变形四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是算术平方根�被开方数�≥�、
结果�≥�双重非负，二是平方根结果互为相反数、立方根正负与被开方数保持一致
题型归纳
题型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根
题型模版
1.特征：题干给出整数、小数、分数或带括号式子，要求分别写出它的平方根、算术平方根、立方根，常区
分三者符号与结果数量。
2.方法：先化简被开方数，正数平方根有两个且互为相反数，算术平方根只取非负的那个；任意实数仅有一
个立方根，符号和被开方数相同，结果书写完成后核对符号、个数。
题型二、算术平方根的非负性
题型模版
1.特征：题干出现两个及以上根号相加等于0，或根号搭配绝对值、平方数相加为0，求解字母取值，再代
入代数式求值。
2.方法：依据算术平方根双重非负性，绝对值、平方数同样恒大于等于0；多个非负数相加为0，则每一项
单独等于0，列方程组求出未知数，回代验证被开方数≥0。
题型三、算术平方根整数部分与小数部分求解
题型模版
1.特征：给出带根号无理数，要求拆分整数部分、小数部分，再计算含两部分的代数式数值。
2.方法：用夹逼法锁定根号数相邻两个完全平方数，确定整数部分；用原无理数减去整数部分得到纯小数部
分，代入式子化简计算，注意小数部分恒为正数。
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题型四、与平方根、立方根有关的规律探究题
题型模版
1.特征：给出一组含平方根、立方根的等式或数字序列，寻找变化规律，推导第n 个式子、填空求值。
2.方法：分开观察被开方数、根的结果的数字变化，区分平方根、立方根各自变化逻辑，用含n 代数式总结
通用规律，代入序号验证规律是否成立。
题型五、利用平方根、立方根解方程
题型模版
1.特征：方程含平方项、立方项，整体被根号包裹或可整理成x2 = a、x3 = a 标准形式，求解未知数x。
2.方法：移项化简，把含未知数的平方/立方整体单独放一侧；平方方程开方取正负两解，立方方程开方仅
有一解，最终把解代入原式检验被开方数不为负数。
题型六、平方根与立方根综合计算题型
题型模版
1.特征：同一道计算题同时混合平方根、算术平方根、立方根，搭配加减乘除、括号、绝对值混合运算。
2.方法：遵循运算顺序，先开方、去绝对值，再算乘除最后算加减；平方根只取算术根参与计算，立方根保
留原有符号，每一步化简完成后再合并同类实数，核对符号与计算数值。
三角形中的倒角模型之双角平分线模型
双角平分线模型是八年级上册几何角度计算的核心必考模型，贯穿高线、角平分线、平行线、三角形
内角和、外角定理两大核心模块，题型相对固定、结论性强、易混易错点集中。本讲内容主要掌握掌握三
类双角平分线模型的图形特征，能快速识图分类；常见考向以基础求值、角度推导、规律探究为主。选择
填空题多直接套用公式求角度或反向求顶角，题型简单分值稳定；解答题侧重模型推导、几何倒角证明，
考查学生逻辑推理与步骤书写能力。中档题型常结合平行线、高线综合出题，难度小幅提升。
高频易错点为混淆三类模型公式、误判内外角平分线，只记结论不懂推导，题目变式后无法灵活解题，
是几何基础失分重点。
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该模型依托内角和、外角定理、角平分线定义推导，将繁杂倒角步骤简化为直接套用公式。它是基础
几何定理与应试需求结合的产物，无单一发明者，经多年教研整合定型，如今成为初中几何高频拓展模型，
用于快速解决角度计算与几何推理题。
口诀化总结：“双内90°加一半，双外90°减一半，内外直接取一半”。
必备知识点
1）三角形内角和等于180°；三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻两内角之和；
2）角平分线定义：将一个角分为两个相等的角；
3）等式性质、角度整体代换思想（几何核心方法）。
核心模型提炼与证明
模型1.双角平分线模型（双内角）
【模型提炼与证明】
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P；结论：
1
90
2
P
A
。
证明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P，∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
PCB
ACB
。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°- 1
2
（180°-∠A）=90°+ 1
2
∠A。
图1
图2
图3
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1（拓展1）
条件：如图2，BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
PCB
DCB
。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1
2
（∠ABC+∠DCB）=180°- 1
2
（360°-∠A-∠D）= 1
2
（∠A+∠D）。
即：2∠P=∠A+∠D。
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3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2（拓展2）
条件：如图3，CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。。
证明：∵CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，∴
1
2
PCD
BCD
，
1
2
PDC
CDE
。
∴∠P=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°- 1
2
(∠BCD+∠CDE)=180°- 1
2
(540°-∠A-∠B-∠E)= 1
2
(∠A+∠B+∠E)-90
即：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。
模型2.双角平分线模型（一内角一外角）
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P；
结论：
1
2
P
A
．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
PCD
ACD
。
∴∠P=∠PCD-∠PBC= 1
2
（∠ACD-∠ABC）= 1
2
∠A。
图1
图2
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）（拓展1）
条件：如图3，A
，∠ABC、∠ACD 的平分线相交于点
1P ，
1
1
,
PBC
PCD
的平分线相交于点
2P ，
2P BC
，
2P CD
的平分线相交于点
3P ……以此类推；结论：
nP
的度数是．
证明：∵BP1、CP1 平分∠ABC、∠ACD，∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
PCD
ACD
。
∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC= 1
2
（∠ACD-∠ABC）= 1
2
∠A= 1
2。同理：∠P2= 1
2
∠P1=
2
1
2 ，∠Pn=
模型3.双角平分线模型（两外角）
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，BO，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：
1
90
2
O
A
．
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证明：∵BO、CO 平分∠CBE、∠BCF，∴
1
2
OBC
EBC
，
1
2
OCB
BCF
。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- 1
2
（∠EBC+∠BCF）=180°- 1
2
（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- 1
2
（180°+∠A）=90°+ 1
2
∠A。
图1
图2
2）旁心模型（拓展1）
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图4，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD 平分∠CAD。
证明：如图4，过点D 作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD 平分∠CAD。
模型常见易错点
1）混淆【90°+ 1
2
∠A】和【90°- 1
2
∠A】：记住内大外小，内角平分角度较大，外角平分角度较小；
2）一内一外模型无90°，是唯一纯半角公式（即1
2
∠A）；
3）解答题禁止直接写结论，必须写角平分线定义、角度代换步骤，否则扣分；
4）无图题型需分类讨论（部分压轴题考点）。
解题方法总结
通用解题步骤
1）先识别模型类型：判断是共边角场景，还是三角形的“双内/双外/一内一外”场景；
2）直接套用对应结论，跳过复杂的分步角度推导；
3）大题需补充推导过程：利用角平分线性质拆分角度，结合三角形内角和/外角定理完成证明。
