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3.3 一元一次不等式及其解法
题型一：判断是否为一元一次不等式
1．（24-25 八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．1
1
5
x +
B．
2
4
x
C．2
3
x
y
+
−
D．
5
3
x + −
【答案】D
【分析】本题考查不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等
式．熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
根据一元一次不等式的定义进行逐个分析，即可作答．
【详解】A、分母中含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B、
2
4
x
，未知数的次数是2 ，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C、2x
y
3
+
−，含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D、
5
3
x +
−，是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选：D ．
2．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
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A．1
1
2
x +
B．
2
9
x
C．2
5
x
y
+
D．(
3)
0
x
−
−
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握一元一次不等式的定义．根据一元一次不等
式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1 的不等式进行分析．
【详解】解：A．1
x 是分式，故不是一元一次不等式；
B．x 的次数为二次，故不是一元一次不等式；
C．含有x 、y 两个未知数，故不是一元一次不等式；
D．是一元一次不等式，符合题意；
故选：D．
3．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A．1
2
4
x +
B．
3
0
x −=
C．
5
0
4
x +
D．(
1)
0
x x +
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式的概念，解题的关键是准确掌握一元一次不等式的定义并据此对每个选
项进行判断．
依次分析每个选项是否符合一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的次数是1，且用不等号连
接的整式不等式．
【详解】A、1
2
4
x +
，因为1
x 是分式，
所以该不等式不是整式不等式，不满足一元一次不等式的定义，不符合题意；
B、
3
0
x −= 是等式，不是不等式，不符合题意；
C、
5
0
4
x +
，含有一个未知数x ，未知数的次数是1，并且是用大于号连接的整式不等式，符合一元一次
不等式的定义，符合题意；
D、(
1)
0
x x +
，可得
2
0
x
x
+
，未知数x 的最高次数是2，不是1，不满足一元一次不等式的定义，不符
合题意，
故选：C．
4．（24-25 八年级下·贵州贵阳·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ）
A．1
1
2
x +
B．
5
0
2
x −
C．
2
9
x =
D．2
5
x
y
+
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【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，掌握不等式要满足（①只含有一个未知数；②未知数的
次数为1；③不等式两边均为整式）成为解题的关键．
根据一元一次不等式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．1
1
2
x +
，分母含未知数x，属于分式不等式，不是不等式，不符合题意；
B．
5
0
2
x −
，化简为
5
0
x −
，仅含未知数x 且次数为1，是整式不等式，符合条件．
C．
2
9
x =
，是等式而非不等式，不符合题意；
D．2
5
x
y
+
，含两个未知数x 和y，不符合“一元”要求，不符合题意．
故选B．
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．3
5
1
x
y
−
B．
2
4
0
x
x
−
C．3
1 1
0
4
x −−
D．6
5
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键；因此此题
可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1 的不等式”．
【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；
B、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意；
C、是一元一次不等式，故符合题意；
D、没有未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；
故选：C．
6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．(
)
3 1
4
2
x
x
x
−
+
+
B．
2
1
0
y
y
−
+
C．1
1
1
2
3
6 x
+
=
D．2
3
2
4
x
y
+
+
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据一元一次不等式的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：A、(
)
3 1
4
2
x
x
x
−
+
+
是一元一次不等式，故该选项符合题意；
B、
2
1
0
y
y
−
+
不是一元一次不等式，故该选项不符合题意；
C、1
1
1
2
3
6 x
+
=
是一元一次方程，属于等式，故该选项不符合题意；
D、2
3
2
4
x
y
+
+
是二元一次不等式，故该选项不符合题意，
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故选A．
题型二：根据一元一次不等式的定义求参数
1．（24-25 八年级下·陕西西安·阶段练习）已知(
)
1
2
3
2
m
m
x
−
−
+
是关于x 的一元一次不等式，则m 的值
为 ．
【答案】2
−
【分析】利用一元一次不等式的定义得到
1
1
2
0
m
m
−=
−
，即可求解．
本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：∵(
)
1
2
3
2
m
m
x
−
−
+
是关于x 的一元一次不等式，
∴
1
1
2
0
m
m
−=
−
，
解得
2
m = −．
故答案为：2
−．
2．（24-25 七年级下·重庆·期末）已知
(
)
2
3
3
6
0
m
m
x
−
−
−
−
是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为
【答案】3
−
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元
一次不等式的定义判断即可．
【详解】解：∵
(
)
2
3
3
6
0
m
m
x
−
−
−
−
是关于x 的一元一次不等式，
∴
2
1
m −
= ，
3
0
m−
，
解得：
3
m = −，
故答案为：3
−．
3．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）关于x 的不等式(
)
3
4
1
0
a
a
x
−
−
+
是一元一次不等式，则a 的值
为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的概念得出a 的值即可．
【详解】解：∵不等式(
)
3
4
1
0
a
a
x
−
−
+
是一元一次不等式，
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∴
3
1
4
0
a
a
−
=
−
，
解得：
2
a =
，
故答案为：2．
4．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）若(
)
1
2
3
0
n
n
x
−
−
+
是关于x 的一元一次不等式，则n 的值为 ．
【答案】2
−
【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1 次”这一条件；还要注意，未知数的系
数不能是0．根据一元一次不等式的定义，|
| 1
1
n −= 且
2
0
n−
，分别进行求解即可．
【详解】解：不等式(
)
1
2
3
0
n
n
x
−
−
+
是一元一次不等式，
1
1
2
0
n
n
−=
−
，
解得：
2
n = −，
故答案为：2
−．
5．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）若
3
3
5
4
m
m
x +
−
是关于x 的一元一次不等式，则m 的值是 ．
【答案】2
−
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得出3
1
m
+
= ，解一元一次方
程求解即可得出答案．
【详解】解：∵
3
3
5
4
m
m
x +
−
是关于x 的一元一次不等式，
∴3
1
m
+
= ，
解得：
2
m = −，
故答案为：2
−．
6．（24-25 八年级下·山东潍坊·期中）(
)1
2
0
m
m
x
−
+
是关于x 的一元一次不等式，则此不等式的解集
是 ．
【答案】
1
x
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义，得到
1
0,
1
m
m
−
= ，求出m 的值，再解不等式即可．
【详解】解：∵(
)1
2
0
m
m
x
−
+
是关于x 的一元一次不等式，
∴
1
0,
1
m
m
−
= ，
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∴
1
m = −，
∴不等式为：2
2
0
x
−
+
，
解得：
1
x ；
故答案为：
1
x ．
题型三：解一元一次不等式（解答题）
1．（23-24 七年级下·广西河池·期末）解不等式
(
)
4
1
2
x
x
+
+
，并在数轴上表示解集．
【答案】
2
x −，数轴见解析
【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1 求出不
等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计
算，是解题的关键．
【详解】解：(
)
4
1
2
x
x
+
+
，
4
4
2
x
x
+ +
，
4
4 2
x
x
−
−−
，
3
6
x −，
∴
2
x −；
在数轴上表示不等式的解集如图：
2．（24-25 七年级下·安徽合肥·阶段练习）解不等式：2
1
3
2
1
3
2
x
x
−
−
−，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
2
x
，见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，并将解集在数轴上表示，严格遵循解不等式的基本
步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，
并将解集在数轴上表示即可．
【详解】解：2
1
3
2
1
3
2
x
x
−
−
−，
去分母得：(
)
(
)
2 2
1
3 3
2
6
x
x
−
−
−，
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去括号得：4
2
9
6 6
x
x
−
−−，
移项得：4
9
6 6
2
x
x
−
−−+
，
合并同类项得：5
10
x
−
−
，
系数化为1 得：
2
x ．
在数轴上表示解集如下：
3．（25-26 八年级上·江苏盐城·开学考试）（1）解不等式3
5
2
2
x
x
−
．
（2）解不等式
1
5
2
2
x
x
−
−
，并把它的解在数轴上表示出来．
（3）解不等式
5
2
3
1
2
3
4
x
x
−
+
−
，并把它的解在数轴上表示出来．
【答案】（1）
5
x −；（2）
3
x ，画图见解析；（3）
1
x ，画图见解析
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，并在数轴上表示出解集．
（1）先去分母，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表
示出来即可；
（2）先去分母，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表
示出来即可；
（3）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，求出不等式的解集，并把解集在
数轴上表示出来即可．
【详解】解：（1）3
5
2
2
x
x
−
，
去分母得：3
5
4
x
x
−
，
移项得：3
4
5
x
x
−
，
合并得：
5
x
−，
解得：
5
x −；
（2）
1
5
2
2
x
x
−
−
，
去分母得：10
4
1
x
x
−
−
，
移项得：
4
1 10
x
x
−
−
，
合并得：3
9
x
−
−，
解得：
3
x ；
不等式的解集在数轴上表示如下：
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（3）
5
2
3
1
2
3
4
x
x
−
+
−
，
去分母得：
(
)
(
)
24
4 5
2
3 3
1
x
x
-
-
>
+
，
去括号得：24
20
8
9
3
x
x
−
+
+ ，
移项得：20
9
3 24 8
x
x
−
−
−
−，
合并得：29
29
x
−
−
，
解得：
1
x ；
不等式的解集在数轴上表示如下：
4．（24-25 八年级下·全国·阶段练习）解下列不等式：
(1)5
12
2(4
3)
x
x
−
−
；
(2)
4
3
1
1
3
2
x
x
+
−
−
．
【答案】(1)
2
x −
(2)
5
7
x
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注
意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解答．
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解答．
【详解】（1）解：（1）去括号，得：5
12
8
6
x
x
−
−，
移项，得：5
8
6 12
x
x
−
−+
，
合并同类项，得：3
6
x
−
，
系数化为1，得：
2
x −；
（2）解：去分母，得：2(
4)
3(3
1)
6
x
x
+
−
−
，
去括号，得：2
8 9
3
6
x
x
+ −
+
，
移项，得：2
9
6 8 3
x
x
−
−−，
合并同类项，得：7
5
x
−
−，
系数化为1，得：
5
7
x
．
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5．（24-25 八年级下·山东青岛·阶段练习）（1）解不等式：
2
2
3
x
x
+
−
，并写出所有符合条件的正整数解．
（2）求不等式
3
1 6
3
3
6
x
x
−
−
−
−的非正整数解．
【答案】（1）
4
x
；1，2，3，4；（2）
11
8
x −
；1
−，0．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，利用解一元一次不等式的一般解法即可求解，熟练掌握一元一次
不等式的一般解法是解题的关键．
（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤解一元一次不等式，并求得正整数解，
即可求解；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤解一元一次不等式，并求得非正整数解，
即可求解；．
【详解】解：（1）
2
2
3
x
x
+
−
去分母，
(
)
2
3
2
x
x
+
−
去括号，
2
3
6
x
x
+
−
移项，
3
6
2
x
x
−
−−
合并同类项，2
8
x
−
−
系数化为1，
4
x
∴正整数解为：1，2，3，4；
（2）
3
1 6
3
3
6
x
x
−
−
−
−
去分母，得：(
) (
)
2
3
1 6
18
x
x
−
−
−
−
．
去括号，得：2
6 1 6
18
x
x
−−+
−
．
移项、合并同类项，得：8
11
x −
．
系数化为1，得
11
8
x −
．
所以不等式的非正整数解为1
−，0．
6．（24-25 八年级下·山东青岛·阶段练习）解下列不等式，并在数轴上表示解集，
(1)7
3
9
3
x
x
−
+
(2)
(
)
1
1
3
2 x
x
−
−
−
【答案】(1)
3
x
；数轴见解析
(2)
5
x≥；数轴见解析
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【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的基本步
骤是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于
或小于等于号的点要用实心圆点．
（1）先移项，合并同类项，再系数化为1，然后在数轴上表示不等式的解集即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后把解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：7
3
9
3
x
x
−
+
，
移项，合并同类项得：4
12
x
，
系数化为1 得：
3
x
，
将解集表示在数轴上，如图所示：
（2）解：
(
)
1
1
3
2 x
x
−
−
−
，
去分母得：(
)
1
6
2
x
x
−
−
−
，
去括号得：
1
6
2
x
x
−+
−
，
移项，合并同类项得：
5
x≥，
将解集表示在数轴上，如图所示：
7．（24-25 七年级下·吉林·期末）解不等式：
2
4
3
2
x
x
−
，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
1
x −，详见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注
意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移
项、合并同类项、系数化为1 求得不等式的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：
2
4
3
2
x
x
−
，
∴6
2
4
x
x
−
，
6
2
4
x
x
−
−，
4
4
x −，
则
1
x −，
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将解集表示在数轴上如下：
8．（24-25 七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：2
1
2
3
7
x
x
−
−
+
，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】
2.5
x −
；见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解
一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不
等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：2
1
2
3
7
x
x
−
−
+
，
去分母，得(
)
(
)
7 2
3
1
42
x
x
−
−
+
，
去括号，得14 7
3
3 42
x
x
−
−+
，
移项，得7
3
3 42 14
x
x
−
−
−+
−
，
合并同类项，得10
25
x
−
，
系数化为1，得
2.5
x −
，
解集表示在数轴上如下：
题型四：求一元一次方程中整数解
1．（2025·吉林松原·模拟预测）不等式4
3
1
x
+
的最大整数解为（ ）
A．2
−
B．1
−
C．0
D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，不等式移项，合并，把x 系数化为1，求出解集，确定出
最大值整数解即可．
【详解】解：4
3
1
x
+
，
移项合并得：3
3
x −，
解得：
1
x −，
∴最大整数解是2
−．
故选：A．
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2．（24-25 七年级下·山东德州·期末）关于x 不等式
2
x
a
−
有且只有2 个负整数解，那么a 的取值范围是
（ ）
A．5
4
a
−
−
B．5
4
a
−
−
C．5
4
a
−
−
D．5
4
a
−
−
【答案】A
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据不等式有且只有2 个
负整数解得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键．
【详解】解：∵
2
x
a
−
，
∴
2
x
a
+
，
∵关于x 的不等式
2
x
a
−
有且只有2 个负整数解，
∴负整数解有：1, 2
−
−，
∴3
2
2
a
−
+
−，
解得：5
4
a
−
−，
故选：A．
3．（24-25 七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x 的不等式2
2
0
x
a
−
的正整数解是1、2、3，则a 的取值范
围是（ ）
A．
7
3
2
a
B．5
4
a
C．
7
3
2
a
D．3
4
a
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式正整数解的知识，首先解不等式得到解集范围，再根据正整数解的情况确
定参数a 的上下限，即可获得答案．
【详解】解：解不等式2
2
0
x
a
−
，得x
a
，
∵该不等式的正整数解为1、2、3，
∴3
4
a
．
故选：D．
4．（24-25 八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于x 的不等式3
0
x
m
−
有2 个正整数解，则m 的取值范围是（ ）
A．
6
m
B．6
9
m
C．6
9
m
D．6
9
m
【答案】C
【分析】本题考查了关于x 不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于
x 不等式的正整数解的情况来确定关于m 的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．首先
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解关于x 的不等式，然后根据x 只有2 个正整数解，来确定关于m 的不等式组的取值范围，再进行求解即
可．
【详解】解：解不等式3
0
x
m
−
得：
3
m
x
，
∵原不等式有2 个正整数解，
∴这2 个正整数解为：1、2，
∴2
3
3
m
，
∴6
9
m
．
故选：C．
5．（24-25 七年级下·安徽合肥·期末）关于x 的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有
且只有四个，则m 的取值范围是（ ）
A．4
3
m
−
−
B．6
5
m
−
−
C．5
4
m
−
−
D．3
2
m
−
−
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况
得到关于m 的不等式组成为解题的关键．
根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为1
2
3
4
−−
−
−
，，，
；再根据数轴可得
1
x
m
−，进而得到关于m 的不等式组求解即可．
【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个，
∴这四个负整数解为1
2
3
4
−−
−
−
，，，
，
由数轴可知不等式解集为：
1
x
m
−，
∴5
1
4
m
−
−−，即4
3
m
−
−．
故选：A．
6．（24-25 八年级下·陕西西安·期末）关于x 的不等式
0
x
m
−
恰有两个正整数解，则m 值可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解等知识点．
选项中，只有
3
m =
（选项C）满足此范围．验证：当
3
m =
时，解集为
3
x
，正整数解为1 和2，恰好两
个，符合条件．其他选项均不符合：
1
m = 或2 时，解集的正整数解不足两个；
4
m =
时，解集的正整数解超
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过两个．
【详解】解：解不等式
0
x
m
−
，得x
m
．
题目要求该不等式恰有两个正整数解，即存在两个最大的正整数满足x
m
．这两个正整数只能是1 和2，
因此需满足：
第二个正整数2 必须包含在解集中，即
2
m
；
第三个正整数3 不能包含在解集中，即
3
m
．
综上，2
3
m
．
故选C．
7．（24-25 七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x 的不等式
0
x
a
−
的正整数解为1，2，3，则a 的取值范
围是（ ）
A．3
4
a
B．
2
a
C．3
4
a
D．3
4
a
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，先解不等式得到x
a
，再根据不等式的正整数解
为1，2，3 即可得到答案．
【详解】解：解不等式
0
x
a
−
，得 x
a
，
∵关于x 的不等式
0
x
a
−
的正整数解为1，2，3，
∴3
4
a
，
故选：A．
8．（24-25 七年级下·河北承德·期中）若关于x，y 的方程组
3
4
2
3
2
x
y
x
y
m
+
=
+
= −
+
的解满足
5
2
y
x −
−，则m 的
最小整数解为（ ）
A．0
B．3
−
C．4
−
D．5
−
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整
数解等知识点，能得出关于m 的不等式是解此题的关键．
通过解方程组得到x 和y 关于m 的表达式，代入不等式
5
2
y
x −
−，解关于m 的不等式，确定其最小整数解．
【详解】解：
3
4
2
3
2
x
y
x
y
m
+
=
+
= −
+
①
②
−
①
②得
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2
3
2
x
y
m
−
=
+ ，
即
1
3
1
2
2
x
y
m
−
=
+ ，
∵
5
2
y
x −
−，
∴3
1
5
2 m+ −，
解得
4
m −，
∴m 的最小整数解为3
−．
故选：B．
9．（24-25 七年级下·江苏淮安·阶段练习）如果关于x 的不等式2
5
2
1
x
a
−
+ 至少有4 个正整数解，那么a 的
取值范围是（ ）
A．1
2
a
B．1
2
a
C．
1
a
D．
1
a
【答案】C
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于a 的不等式是解题的关键．
求出不等式的解集，根据不等式至少有4 个正整数解即可求得a 的取值范围．
【详解】解：解不等式2
5
2
1
x
a
−
+ 得：
3
x
a
+ ，
又不等式2
5
2
1
x
a
−
+ 至少有4 个正整数解，
4
个正整数解肯定包括1、2、3、4，
4
3
a
+ ，
解不等式得：
1
a ，
故选：C．
10．（2025 七年级下·全国·专题练习）不等式
7
3
2
1
2
2
x
x
−
+
+
的负整数解有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查的是解不等式，在解不等式的时候，如果两边同时乘以或除以一个负数时，不等符
号需要改变．
不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x 系数化为1，求出解集，确定出所求即可．
【详解】解：
7
3
2
1
2
2
x
x
−
+
+
(
)
2
7
3
2
x
x
+
−
+
，
2
7
3
2
x
x
+
−
+ ，
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3
2
2
7
x
x
−
−+ ，
2
7
x
−
，
3.5
x −
．
不等式的负整数解为3
2
1
−−
−
，，共3 个．
故选：C．
11．（2025·江苏南通·一模）关于x 的不等式2
0
x
b
+
恰有三个非负整数解，则b 的取值范围是（ ）
A．6
4
b
−
−
B．6
4
b
−
−
C．6
4
b
−
−
D．6
4
b
−
−
【答案】A
【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出
2
b
−
的范围是解题的关
键．
由不等式2
0
x
b
+
得
2
b
x −
，根据不等式有三个非负整数解知2
3
2
b
−
，求解可得．
【详解】解：解不等式2
0
x
b
+
得：
2
b
x −
，
∵关于x 的不等式2
0
x
b
+
恰有三个非负整数解，
∴2
3
2
b
−
，
解得：6
4
b
−
−，
故选：A．
题型五：在数轴上表示一元一次不等式的解集
1．（24-25 七年级下·湖南株洲·期末）不等式2
1
3
x −的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时,
要用实
心圆点表示；, 要用空心圆点表示”是解答此题的关键．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
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【详解】解：2
1
3
x −
移项得，2
3 1
x + ，
合并同类项得，2
4
x
，
系数化为1 得，
2
x
，
在数轴上表示为：
故选：C．
2．（24-25 七年级下·河北·期末）不等式3(1
)
2
4
x
x
−
−
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注
意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】解：去括号，得：3 3
2
4
x
x
−
−
，
移项，得：3
4
2
3
x
x
−
+
−，
合并同类项，得：
1
x −，
在数轴上表示解集为：
故选：A．
3．（24-25 七年级下·山西阳泉·期末）不等式5
4
3
x
x
+
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照移项，合并同类项，系数
化为1 的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：5
4
3
x
x
+
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18 /
移项得：5
3
4
x
x
−
−，
合并同类项得：2
4
x −，
系数化为1 得：
2
x −，
数轴表示如下所示：
．
故选：A．
4．（24-25 八年级下·四川达州·阶段练习）一个不等式的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是
（ ）
A．2 < 6
x
−
−
B．
1
2
x−
C．
3
0
x −
D．
3
0
x +
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次不等式．根据数轴明确不等式的解集，是解题的关键．
由图可知，不等式的解集为：
3
x
，分别解不等式，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，不等式的解集为：
3
x
；
A、2 < 6
x
−
−，解得：
3
x ，不符合题意；
B、
1
2
x−
，解得：
3
x
，符合题意；
C、
3
0
x −
，解得：
3
x
，不符合题意；
D、
3
0
x +
，解得：
3
x −，不符合题意；
故选：B．
5．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）在数轴上表示不等式组2
2
x
−
，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集；
根据向左是小于，向右是大于，实心圆点是包括，空心圆圈不包括，进行判定即可．
【详解】解：不等式组2
2
x
−
的解集在数轴表示如下：
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19 /
故选：B．
6．（2025·湖北襄阳·三模）不等式
3
x
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界
点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为
实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”表示即可解答．
【详解】解：不等式
3
x
的解集在数轴上表示正确的是：
．
故选：C．
7．（24-25 八年级下·重庆·开学考试）请用不等式表示如图的解集．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
0
x
1
x
1
x −
3
x
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据数轴上表示的解集写出不等式即可．
【详解】解：（1）根据数轴上表示的解集得：
0
x
；
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故答案为：
0
x
．
（2）根据数轴上表示的解集得：
1
x ；
故答案为：
1
x ．
（3）根据数轴上表示的解集得：
1
x −；
故答案为：
1
x −．
（4）根据数轴上表示的解集得：
3
x ．
故答案为：
3
x ．
题型六：已知一元一次不等式的解求参数
1．（24-25 七年级下·贵州毕节·阶段练习）不等式ax
a
的解集为
1
x ，则a 的取值范围是（ ）
A．
0
a
B．
0
a
C．
0
a
D．
0
a
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等
号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题不等号方向不变，所
以知道a 大于0 ．
【详解】解：因为不等式ax
a
的解集为
1
x ，
两边同时除以a 时不等号的方向没有变，
0
a
．
故选：A．
2．（24-25 七年级下·陕西安康·期末）已知关于x 的不等式2
4
2
3 x
x
a
−
的解集为
3
x −，则a 的值为( )
A．5
−
B．5
C．6
−
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集确定参数，掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关
键．首先解不等式，根据不等式的解集为
3
x −，就可以得出a 的值．
【详解】解：2
4
2
3 x
x
a
−
，
解得：
3
5
a
x
，
∵
3
x −，
∴3
3
5
a = −，
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21 /
解得：
5
a = −，
故选：A．
3．（24-25 七年级下·湖南邵阳·阶段练习）如果不等式(
)
(
)
4
2
4
a
x
a
−
−
的解集为
2
x
，则a 必须满足的
条件是（ ）
A．
4
a
B．
4
a
C．
4
a
D．
0
a
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，先根据不等式的解集为
2
x
，且不等式两边同时
乘上负数或者除以负数，不等式的符号改变，进行作答即可．
【详解】解：∵不等式(
)
(
)
4
2
4
a
x
a
−
−
的解集为
2
x
，
∴
4
0
a −
，
∴
4
a
，
故选：A．
4．（24-25 八年级下·福建漳州·阶段练习）如果关于x 的不等式(
)
2
2
a
x
a
+
+
的解集为
1
x ，那么a 的取
值范围是（ ）
A．
0
a
B．
0
a
C．
2
a −
D．
2
a −
【答案】D
【分析】本题考查的一元一次不等式的解法，不等式的性质．根据不等式的性质，两边同时除以
2
a+
，根
据解集为
1
x ，发现不等号的符号发生了变化，所以确定
2
0
a +
，从而得到答案．
【详解】解：
(
)
2
2
a
x
a
+
+
的解集为
1
x ，不等号的方向发生了改变，
2
0
a
+
，
2
−
a
，
故选：D．
5．（24-25 七年级下·山东济宁·期末）已知关于x 的不等式(
)
3
4
a x
+
的解集是
4
3
x
a
+
，则a 的取值范围
是 （ ）
A．
3
a
B．
3
a −
C．
3
a
D．
3
a −
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式；
根据系数化为1 时，不等号的方向改变可知3
0
a
+
，然后可得答案．
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【详解】解：∵不等式(
)
3
4
a x
+
的解集是
4
3
x
a
+
，
∴3
0
a
+
，
∴
3
a −，
故选：D．
6．（25-26 七年级上·全国·课后作业）若关于x 的不等式
2
2
mx
m
−
可变形为
2
2
m
x
m
−
，则m 的取值范围
是（ ）
A．
0
m
B．
0
m
C．
2
m
D．
2
m
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变．
根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：关于x 的不等式
2
2
mx
m
−
可变形为
2
2
m
x
m
−
，
0
m
．
故选：B．
7．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）若关于x 的不等式(
)
2
5
0
m
n x
m
n
−
+
−
的解集为
10
7
x
，则关于x 的
不等式mx
n
的解集为（ ）
A．
3
5
x
B．
3
5
x
C．
5
3
x
D．
5
3
x
故选：B．【答案】B
【分析】本题考查了不等式的解集，不等式的性质，正确计算是解题的关键．先整理不等式
(
)
2
5
0
m
n x
m
n
−
+
−
，再根据其解集得出m
n
、之间的关系以及m 的取值范围，再解不等式mx
n
即可．
【详解】解：(
)
2
5
0
m
n x
m
n
−
+
−
，
(
)
2
5
m
n x
n
m
−
−
，
∵关于x 的不等式(
)
2
5
0
m
n x
m
n
−
+
−
的解集为
10
7
x
，
∴
5
10
2
7
2
0
n
m
m
n
m
n
−
=
−
−
①
②
，
解①，得3
5
m
n
=
，
即
3
5
n
m
=
，
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把
3
5
n
m
=
代入②，得
3
2
0
5
m
m
−
，
解得
0
m
，
∴关于x 的不等式mx
n
的解集为
n
x
m
，
∴
3
5 m
x
m
，
即
3
5
x
，
题型七：二元一次方程组与一元一次不等式综合
1．（24-25 八年级下·山东枣庄·阶段练习）关于x 、y 的方程组
3
2
4
3
x
y
k
x
y
k
−
=
−
−
=
的解中
5
x
y
−
，则k 的取
值范围为（ ）
A．
3
k
B．
3
k
C．
8
k
D．
8
k
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相加得到x 与y 的差是解题的关键．由两式相加，得到
3
4
4
k
x
y
−
−
=
，再根据
5
x
y
−
列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相加，可得4
4
3
4
x
y
k
−
=
−
，即
3
4
4
k
x
y
−
−
=
，
又
5
x
y
−
，
3
4
5
4
k −
，
解得：
8
k ．
∴k 的取值范围是
8
k ．
故选：D．
2．（24-25 七年级下·吉林长春·阶段练习）若关于x y
，的方程组
3
5
5
3
1
x
y
m
x
y
m
+
=
−
+
=
+
的解满足
1
x
y
+
，则
4
2
m
m
+
−
−
的化简结果是（ ）
A．6
B．-6
C．2
D．-2
【答案】B
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24 /
【分析】解方程组得
12
4
7
5
1
7
m
x
m
y
−
=
−
=
，由
1
x
y
+
知12
4
5
1
1
7
7
m
m
−
−
+
，解得
4
m −，再根据绝对值的性质求
解即可．本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是
关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【详解】解：解方程组得
12
4
7
5
1
7
m
x
m
y
−
=
−
=
，
1
x
y
+
，
12
4
5
1
1
7
7
m
m
−
−
+
，
解得
4
m −，
∴
4
2
m
m
+
−
−
(
)
4
2
m
m
= −
−
−
−
4
2
m
m
= −
−−+
6
= −，
故选：B．
3．
（24-25 七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x y
，的二元一次方程组
3
4
3
5
5
x
y
m
x
y
−
=
+
+
=
的解满足
0
x
y
+
，
则m 的取值范围是（ ）
A．
1
m −
B．
1
m −
C．
2
m −
D．
2
m −
【答案】C
【分析】本题考查解方程组，解不等式．先将两个方程相加，后建立不等式解答即可．
【详解】解：两方程相加可得2
2
4
8
x
y
m
+
=
+ ，
2
4
x
y
m
+
=
+
，
0
x
y
+
，
2
4
0
m
+
，
解得
2
m −，
故选：C．
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25 /
4．（24-25 九年级下·广东广州·阶段练习）关于x，y 的方程组
4
6
2
x
y
x
y
m
−
=
+
=
的解满足不等式
5
x
y
−
，则m
的范围是（ ）
A．
1
m −
B．
1
m −
C．
9
m −
D．
9
m −
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用加减法可得
6
3
−
−
=
m
x
y
，从而可得6
5
3
−
m
，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：
4
6
2
x
y
x
y
m
−
=
+
=
①
②，
①- ②得：3
3
6
−
=
−
x
y
m ，
6
3
m
x
y
−
−
=
，
5
x
y
−
，
6
5
3
m
−
，
解得：
9
m −，
故选：C．
5．（24-25 七年级下·河南新乡·期末）若关于x 、y 的二元一次方程组
3
4
3
5
5
x
y
m
x
y
+
=
+
−
=
的解x
y
，则m 的
取值范围是（ ）
A．
2
m −
B．
2
m −
C．
1
2
m −
D．
1
2
m −
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键，利用
整体的思想进行计算可得：
2
4
x
y
m
−
=
+
，从而可得2
4 0
m+ ≥，然后进行计算即可解答．
【详解】解：
3
4
3
5
5
x
y
m
x
y
+
=
+
−
=
①
②
，
①
②
+
得：2
2
4
8
x
y
m
−
=
+
，
解得：
2
4
x
y
m
−
=
+
，
x
y
，
0
x
y
−
，
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2
4
0
m
+
，
解得：
2
m −，
故选：A．
题型一：一元一次不等式中定义新运算问题
1．（25-26 七年级上·全国·课后作业）对实数,a b ，定义运算“★”：
(
)
0
(
0)
a a
a
b
b a
=
★
，设
(
)
(
)
1
1
y
x
x
= −−
−
★
，
则不等式
0
y
的解为（ ）
A．
1
x
B．1
1
x
−
C．
1
x −
D．
1
x −或
1
x
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x 的不等式．根据新
定义运算规则，分别从
1
0
x
−−
和
1
0
x
−−两种情况列出关于x 的不等式，求解后即可得出结论．
【详解】解：由题意得，当
1
0
x
−−
时，
即
1
x −时，
(
)
(
)
1
1
1
y
x
x
x
= −−
−
= −−
★
，
∵
0
y
，
则
1
0
x
−−
，
解得：
1
x −，
综上：
1
x −，
当
1
0
x
−−时，
即
1
x −时，
(
)
(
)
1
1
1
y
x
x
x
= −−
−
=
−
★
，
∵
0
y
，
则
1
0
x−
，
解得：
1
x ，
综上：
1
x ，
综上所述，
(
)
(
)
1
1
0
y
x
x
= −−
−
★
的解集是
1
x −或
1
x ．
故选：D．
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27 /
2．（24-25 七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）定义一种新运算为a
b
ax
by
=
+
，例如(
)
2
3
2
3
x
y
−
= −
+
．若
2
1
1
1
2
3
1
k
k
=
+
=
−
的解满足
4
x
y
−
，则满足条件的k 的取值范围是 ．
【答案】
1
k −
【分析】本题考查了新定义，以及二元一次方程组、解一元一次不等式，根据新定义运算法则列出二元一
次方程组，求出方程组的解，根据
4
x
y
−
列不等式求解即可．
【详解】解：∵a
b
ax
by
=
+
∴由
2
1
1
1
2
3
1
k
k
=
+
=
−
可得
2
1
2
3
1
x
y
k
x
y
k
+
=
+
+
=
−
①
②，
−
①
②得：
2
2
x
y
k
−
= −
+
，
∵
4
x
y
−
，
∴2
2
4
k
−
+
，
解得：
1
k −．
故答案为：
1
k −．
3．（24-25 七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）对于x y
，定义一种新运算“”：x
y
ax
by
=
−
，其中a
b
，为常
数，已知：2
1
2a
b
=
−
3 4
3
4
3
1
a
b
=
=
−
=
，
．
(1)求a
b
，的值；
(2)求不等式
1
3
2
4
m
m+
的解集．
【答案】(1)
4
a =
，
5
b =
(2)
17
3
m
【分析】本题考查解二元一次方程组，弄懂定义，将所求转化为恰当的不等式和二元一次方程组是解题的
关键．
（1）由已知建立方程组
2
3
4
3
1
a
b
a
b
−
=
−
=
①
②，求解即可；
（2）由题意可得
1
1
4
5
3
2
4
m
m
+
?
矗
，解不等式即可．
【详解】（1）解：
2
1
2a
b
=
-
3 4
3
4
3
1
a
b
=
=
−
=
，
，
2
3
4
3
1
a
b
a
b
−
=
−
=
①
②，
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28 /
3
①
，得：6
3
9
a
b
−
= ③，
③-②，得：2
8
a =
，
解得：
4
a =
，
把
4
a =
代入①，得
5
b =
；
（2）
1
3
2
4
m
m+ £
，
1
4
5
3
2
4
m
m+
\
?
矗
，
5
5
2
3
4
m
m
+
\
-
?
，
解得：
17
3
m
．
4．（24-25 七年级下·吉林·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数 m 和 n，规定
2
m
n
m n
m
n
=
-
?
※
，
如：
2
1 2
1
2? 1?2
0
=
−=
※
．
(1)求(
)
2
3
−
※ ；
(2)若 3
? 6
m −
※
，求 m 的取值范围．
【答案】(1)18
(2)
1
m −
【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键；
（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据新定义列出不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：(
)
2
2
3
( 2)
3
( 2) 3
18
−
= −
−−
=
※
；
（2）解：由题意得：9
3
6
m
m
−
−，
6
6
m −，
解得
1
m −．
5．
（24-25 七年级下·江苏泰州·阶段练习）在实数范围内定义一种运算★，其运算规则是
(
)
3
2
a
b
a
b
ab
=
+
−
★
，
如
(
)
2
5
3 2
5
2 2 5
1
=
+
−
=
★
，根据这个规则解决问题：
(1)(
)
3
2
−
=
★
______．
(2)解不等式3
6
x
★
．
(3)小明在解方程(
)
2
a
k
b
+
=
★
时发现，无论k 取何值，都有a ，b 使上式成立，求出a ，b 的值．
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【答案】(1)9
(2)
1
x
(3)
0.5
a = −，
4.5
b =
【分析】本题主要考查了新定义运算，解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解一
元一次不等式的一般步骤，理解新定义的含义．
（1）根据已知条件中的新定义进行计算即可；
（2）根据已知条件中的新定义列出关于x 的不等式，按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式即可；
（3）根据新定义把方程(2
)
a
k
b
+
=
★
化成一般形式，再无论k 取何值，都有a ，b 使上式成立，列出关于a ，
b 的方程组，解方程组求出a ，b 即可．
【详解】（1）解：
a
★
3(
)
2
b
a
b
ab
=
+
−
，
( 3)
−
★2
3 ( 3
2)
2 ( 3)
2
= −+
−−
3 ( 1)
2 3 2
= −
+
3 12
= −+
9
=
，
故答案为：9；
（2）解：
a
★
3(
)
2
b
a
b
ab
=
+
−
，
3
★x
3(3
)
2 3
x
x
=
+
−
9 3
6
x
x
= +
−
9 3x
= −
，
3
★
6
x
，
9 3
6
x
−
，
3
3
x
−
−，
1
x ；
（3）解：
a
★
3(
)
2
b
a
b
ab
=
+
−
，
(2
)
a
+
★k
b
=
，
3(2
)
2 (2
)
a
k
k
a
b
+
+
−
+
=
，
6
3
3
4
2
a
k
k
ak
b
+
+
−
−
= ，
3
4
2
6 3
0
k
k
ak
a
b
−
−
+ +
−
=
，
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30 /
2
6
3
0
k
ak
a
b
−−
+ +
−
=
，
( 1
2 )
6
3
0
a k
a
b
−−
+
+
−
=
，
无论k 取何值，都有a ，b 使上式成立，
1 2
0
6
3
0
a
a
b
−−
=
+
−
=
①
②，
由①得：
0.5
a = −
，
把
1
2
a = −
代入②得：
1
6
3 (
)
0
2
b
+ −
−
=
，
3
6
0
2
b
−
−
=
，
4.5
b =
．
6．（24-25 七年级下·青海玉树·期末）在实数范围内定义一种运算“※”，其运算规则为
2
x
y
mx
ny
=
−
※
，已
知
(
)
2
1
10
−
=
※
，2 3
6
= −
※
(1)求m、n 的值；
(2)求不等式
1
3
2
x
−
※
的解集．
【答案】(1)
3
m =
，
2
n =
(2)
1
3
x
【分析】本题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式，本题是新定义型题目，理
解并熟练应用新运算是解题的关键．
（1）利用新运算的意义列出算式进行运算即可；
（2）利用新定义进行化简，再利用解一元一次不等式的解法解答即可．
【详解】（1）解：∵
2
x
y
mx
ny
=
−
※
，
又
(
)
2
1
10
−
=
※
，2 3
6
= −
※
，
∴
2
2
10
2
6
6
m
n
m
n
+
=
−
= −
①
②
则
−
①
②得：8
16
n
，
2
n
=
再把
2
n =
代入2
2
10
m
n
+
=
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得2
2 2
10
m+
=
∴
3
m =
．
（2）解：∵
1
3
2
x
−
※
，
∴
1
3
4
3
2
x
−−
，
∴3
2
3
x+ < ，
3
1
x
，
即
1
3
x
，
原不等式的解集为
1
3
x
．
7．（24-25 七年级上·江苏苏州·阶段练习）对有理数x 、y 定义运算：
3
x
y
ax
by
=
−
−
※
，其中a 、b 为常数，
已知
(
)
2
3
6
−
=
※
．
(1)若
5
3
b =
，则a =______．
(2)请用含有a 的代数式表示b ；
(3)若(
)
3
6
1
−
※
，求a 的取值范围；
【答案】(1)2
(2)
9
2
3
a
b
−
=
(3)
22
a
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式．
（1）由
(
)
2
3
6
−
=
※
可知2
3
3
6
a
b
+
−=
，进而得到
9
3
2
b
a
−
=
，将
5
3
b =
代入计算即可；
（2）根据2
3
3
6
a
b
+
−=
作答即可；
（3）先根据定义求出(
)
3
6
3
6
3
a
b
−
= −
−
−
※
，将
9
2
3
a
b
−
=
代入得到(
)
3
6
21
a
−
=
−
※
，根据(
)
3
6
1
−
※
列不等
式计算即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
2
3
6
−
=
※
，
∴2
3
3
6
a
b
+
−=
，
即
9
3
2
b
a
−
=
，
∵
5
3
b =
，
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∴
9 5
2
2
a
−
=
=
，
故答案为：2 ；
（2）由（1）可知2
3
3
6
a
b
+
−=
，
即
9
2
3
a
b
−
=
；
（3）(
)
3
6
3
6
3
a
b
−
= −
−
−
※
，
∵
9
2
3
a
b
−
=
，
∴(
)
9
2
3
6
3
6
3
21
3
a
a
a
−
−
= −
−
−=
−
※
，
∵(
)
3
6
1
−
※
，
∴
21 1
a −
，
解得：
22
a
．
题型二：求一元一次不等式解的最值
1．（24-25 七年级下·陕西商洛·期末）若
2
x =
是关于x 的不等式3
2
0
x
a
−
+
的一个解，则a 可取的最大整
数值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到
2
3
a
x
−
，再根据题意可得不等式
2
2
3
a −
，
解之即可得到答案．
【详解】解：解不等式3
2
0
x
a
−
+
得
2
3
a
x
−
，
∵
2
x =
是关于x 的不等式3
2
0
x
a
−
+
的一个解，
∴
2
2
3
a −
，
解得
8
a ，
∴a 可取的最大整数为7，
故选：D．
2．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）已知
2
5
x
y
= −
=
是不等式
3
4
kx
y
+
的一个解，则整数k 的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．6
−
D．5
−
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33 /
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的
步骤是解题的关键．
将不等式的解代入得出关于k 的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】解：∵
2
5
x
y
= −
=
是不等式
3
4
kx
y
+
的一个解，
∴−
+
2
15
4
k
，
解得
11
2
k
，
∴整数k 的最小值是6．
故选：A．
3．（24-25 八年级下·山东枣庄·阶段练习）满足不等式
2
x
的x 的最小值是a，满足不等式
6
x −的x 的最
大值是b，则a
b
+
= ．
【答案】4
−
【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a 是不等式
2
x
的最小值，b 是不等式
6
x −的最大值，据此可得a、b 的值，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵满足不等式
2
x
的x 的最小值是a，满足不等式
6
x −的x 的最大值是b，
∴
2
6
a
b
=
= −
，
，
∴
(
)
2
6
4
a
b
+
=
+ −
= −，
故答案为：4
−．
4．（24-25 八年级上·湖南岳阳·期末）已知当
2
x
时x 的最小值为a ，当
3
x −时x 的最大值为b ，则
ab = ．
【答案】6
−
【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b 的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵当
2
x
时x 的最小值为a ，当
3
x −时x 的最大值为b ，
∴
2
3
a
b
=
= −
，
，
∴
(
)
2
3
6
ab =
−
= −，
故答案为：6
−．
5．（23-24 七年级下·江苏泰州·期末）关于x 的不等式1
1
2
2
x
n
−
+
的最小整数解为n ，则n 的值为 ．
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34 /
【答案】1
−
【分析】本题考查了解一元一次不等式；
先解不等式求出x 的取值范围，再根据题意得出关于n 的方程，求解即可．
【详解】解：解不等式1
1
2
2
x
n
−
+
得：
2
x
n
，
∵关于x 的不等式1
1
2
2
x
n
−
+
的最小整数解为n ，
∴2
1
n
n
+ =
，
∴
1
n = −，
故答案为：1
−．
6．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）已知实数a
b
c
，，，
2
a
b
+
=
，
1
c
a
−
= ．若
3
a
b
−
，则a
b
c
+ + 的最
大值为 ．
【答案】6
【分析】由
1
c
a
−
= 得
1
c
a
=
+ ，与
2
a
b
+
=
相加得
3
a
b
c
a
+ + =
+ ，由
2
a
b
+
=
及
3
a
b
−
，可得a 的最大值
为3，从而得出a
b
c
+ + 的最大值．
【详解】解：由
1
c
a
−
= 得
1
c
a
=
+ ，
由
2
a
b
+
=
得
3
a
b
c
a
+ + =
+ ，
2
a
b
+
=
及
3
a
b
−
，
(
)
3 2
a
a
−
−
解得：
3
a ，
a
的最大值为3，
a
b
c
+ + 的最大值
3 3
6
= + =
．
故答案为：6．
7．（24-25 八年级下·河南平顶山·期中）对于实数对(
)
,a b ，定义偏左数为
2
3
l
a
b
P
+
=
，偏右数为
2
3
r
a
b
P
+
=
．对
于实数对(
)
1,3
x −
，若
1
l
r
P
P
−
，则x 的最小整数值是 ．
【答案】8
【分析】根据题干信息先求出
lP 和
rP ，再求解不等式即可．
【详解】解：对于实数对( , )
a b ，定义偏左数为
2
3
l
a
b
P
+
=
，偏右数为
2
3
r
a
b
P
+
=
，
对于实数对(
)
1,3
x −
，
(
)
2
1
3
2
1
3
3
l
x
x
P
−
+
+
=
=
，
1
2 3
5
3
3
r
x
x
P
−+
+
=
=
，
1
l
r
P
P
−
，
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2
1
5
1
3
3
x
x
+
+
−
，
解得：
7
x
，
x
的最小整数值是8，
故答案为：8．
8．（24-25 七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x 的方程3
5
9
k
x
−
= −的解是非负数，则k 的最小值为 ．
【答案】3
−
【分析】把k 当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出k 的范围即可．
【详解】解：方程3
5
9
k
x
−
= −，
解得：
3
9
5
k
x
+
=
，
∵关于x 的方程3
5
9
k
x
−
= −的解是非负数，
∴3
9
0
5
k +
，
解得：
3
k −，
∴k 的最小值为3
−．
故答案为：3
−．
题型三：解|x|≥a 型解一元一次不等式
1．
（24-25 七年级下·浙江宁波·期末）已知不等式(
)
(
)
1
1
2
5
1
2
2
2
2
x
a x
−
−
−
−
+
的解是
1
2
x
，则a＝ ．
【答案】5
−
【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据
1
2
x
列方程求解即可．
【详解】∵(
)
(
)
1
1
2
5
1
2
2
2
2
x
a x
−
−
−
−
+
2
5
2
2
2
x
a x
−
−−
−
+
2
2
2
2
5
x
a x
−
−
−
+
+
(
)
1
2
9
a x
−
−
∴1
>0
a
−
，即
1
a ，
∴
9
2 >1
x
a
−
−
∴
9
2<
1
x
a
−
−−
或
9
2>1
x
a
−
−
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∴
9
<
2
1
x
a
−
+
−
或
9
>
2
1
x
a +
−
∵不等式的解是
1
2
x
，
∴
9
>
2
1
x
a +
−
应舍去，
∴
9
1
2
1
2
a
−
+
=
−
，解得
5
a = −，
经检验，
5
a = −是方程的解．
故答案为：5
−．
2．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）请阅读下面求含绝对值的不等式
3
x
和
3
x
的解集过程．
对于含绝对值的不等式
3
x
，从图1 的数轴上看：大于3
−而小于3 的数的绝对值小于3，所以
3
x
的解
集为3
3
x
−
；对于含绝对值的不等式
3
x
，从图2 的数轴上看：小于3
−或大于3 的数的绝对值大于3，
所以
3
x
的解集为
3
x −或
3
x ．
(1)求含绝对值的不等式
2
x
的解集；
(2)已知含绝对值的不等式
1
x
a
−
的解集为
3
b
x
，求a，b 的值．
【答案】(1)
2
x −或
2
x
(2)
2
1
a
b
=
= −
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝
对值的几何意义及解一元一次不等式的能力．
（1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）依据题意，由
1
x
a
−
知
1
a
x
a
−
−
，据此得出1
1
a
x
a
−
+
，再结合
3
b
x
可得出关于a 、b 的
方程组，解之即可求出a 、b 的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式
2
x
，
从如图的数轴上看：小于2
−或大于2 的数的绝对值大于2，
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37 /
所以
2
x
的解集为
2
x −或
2
x
．
根据绝对值的定义得：
2
x −或
2
x
；
（2）解：由题意，
1
x
a
−
，
1
a
x
a
−
−，
1
1
a
x
a
−
+ ，
解集为
3
b
x
，
1
1
3
a
b
a
−
=
+
=
，
2
1
a
b
=
= −
．
3．（23-24 七年级下·江苏盐城·阶段练习）先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
3
x
，x 表示到原点的距离小于3 的数，从如图1 所示的数轴上看：大于3
−而小于3 的数，它们到原点的
距离小于3，所以
3
x
的解集是3
3
x
−
；
3
x
，x 表示到原点的距离大于3 的数，从如图2 所示的数轴上看：小于3
−的数和大于3 的数，它们到原
点的距离大于3，所以
3
x
的解集是
3
x −或
3
x ．
解答下面的问题：
(1)解不等式|
5| 3
x −
．
(2)解不等式|
3| 5
x −
．
(3)直接写出不等式
5
|
1
2 |
x
x
−+
+
的解集： ．
【答案】(1)2
8
x
(2)
8
x 或
2
x −
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(3) 3
2
x
−
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键．
（1）把
5
x −当做一个整体，然后利用阅读求出
5
x −的取值范围，进而确定x 的取值范围即可；
（2）把
3
x −当做一个整体，然后利用阅读求出
3
x −的取值范围，进而确定x 的取值范围即可；
（3）先在数轴上找出
1
2
5
x
x
−
+
+
=
的解，即可得出不等式
5
|
1
2 |
x
x
−+
+
的解集．
【详解】（1）解：∵|
5| 3
x −
，
∴3
5
3
x
−
−
，
∴2
8
x
．
（2）解：|
3| 5
x −
，
∴
3
5
x −或
3
5
x −−，
∴
8
x 或
2
x −．
（3）解：在数轴上找出
1
2
5
x
x
−
+
+
=
的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1 和2
−对应的点的距离之和等于5 的点对应的x 的值．
∵在数轴上1 和2
−对应的点的距离为3，
∴满足方程的x 对应的点在1 的右边或2
−的左边．
若x 对应的点在1 的右边，可得
2
x =
；若x 对应的点在2
−的左边，可得
3
x = −，
∴方程
1
2
5
x
x
−
+
+
=
的解是
2
x =
或
3
x = −，
∴不等式
5
|
1
2 |
x
x
−+
+
的解集为3
2
x
−
．
故答案为3
2
x
−
．
4．（25-26 七年级上·全国·课后作业）观察下列不等式及其解集：
①
1
x 的解集为：
1
x 或
1
x −；
②
1
2
x
的解集为：
1
2
x
或
1
2
x −
；
③
100
x
的解集为：
100
x
或
100
x −
．回答下列问题：
(1)
3
x
的解集是___________．
(2)归纳：当
0
a
时，不等式x
a
的解集是___________．
(3)运用（2）中的结论解不等式2
1
3
x +
．
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【答案】(1)
3
x
或
3
x −
(2) x
a
或x
a
−
(3)
3
1
2
x
−
或
3
1
2
x
−
−
【分析】本题考查求不等式的解集，熟练掌握题干中的求解方法，是解题的关键：
（1）仿照题干，作答即可；
（2）仿照题干，作答即可；
（3）利用（2）中结论，得到2
1
3
x +
①或2
1
3
x + −
②，进行求解即可．
【详解】（1）解：
3
x
的解集是
3
x
或
3
x −
；
（2）当
0
a
时，不等式x
a
的解集是x
a
或x
a
−；
（3）由（2）可知，不等式2
1
3
x +
，
可化为2
1
3
x +
①或2
1
3
x + −
②，
解①得，
3
1
2
x
−
，解②得，
3
1
2
x
−
−
．
故不等式的解集为：
3
1
2
x
−
或
3
1
2
x
−
−
．
5．（24-25 八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们
把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题．
例如求
3
x
和
3
x
的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义，
∵
∴
3
x
的解集为3
3
x
−
，
∵
∴
3
x
解集为
3
x 或
3
x −．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式
1
x 的解集为______；
(2)解不等式
2
6
x +
；
(3)求不等式
2
3
7
x
x
−
+
+
的解集．
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【答案】(1)
1
x 或
1
x −；
(2) 8
4
x
−
；
(3) <
4
x −
或
3
x ．
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解
集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键．
（1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可；
（2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可；
（3）根据
2
3
7
x
x
−
+
+
所表示的意义，用数轴表示，进而得出x 的取值范围即可．
【详解】（1）解：不等式
1
x 的解集为
1
x 或
1
x −，
故答案为：
1
x 或
1
x −；
（2）解：不等式
2
6
x +
的解集为6
2
6
x
−
+
，
解得8
4
x
−
；
（3）解：
2
3
7
x
x
−
+
+
所表示的意义为：数轴上表示数x 的点，到表示数2，3
−的点的距离之和大于7，
由数轴可知，
所以不等式
2
3
7
x
x
−
+
+
的解集为<
4
x −
或
3
x ．
6．（24-25 七年级下·河北保定·期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含
有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式
2
x
的
解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出
2
x =
时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如
图所示．观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于2；
点A 与点B 之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结
论：不等式
2
x
的解集为
2
x −或
2
x
．
【迁移应用】
(1)填空：
5
x
的解集是_____；
(2)求绝对值不等式
1
3
x +
的解集；
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(3)已知关于x 、y 的二元一次方程组
2
2
2
2
3
x
y
m
x
y
m
−
= −
−
−+
=
+
的解满足
3
x
y
+
，则m 的取值范围_____．
【答案】(1)
5
x −或
5
x
(2)
4
x
−
或
2
x
(3) 4
2
m
−
【分析】本题主要考查了解含绝对值的不等式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
（1）先求出
5
x =
时的x 的值，再仿照题意可得答案；
（2）当
1
3
x +
= 时，则
1
3
x+ =
或
1
3
x+ = −，分界点把数轴分为三部分：
数4
−左边的数与数1
−的差的绝对值大于3；数4
−和数2 之间的数与数1
−的差的绝对值小于等于3；数2 右
边的数与1
−的差的绝对值大于3，据此可得答案；
（3）把方程组中的两个方程相加可得
1
x
y
m
+
=
+ ，则
1
3
m +
，同（2）分析可得答案．
【详解】（1）解：当
5
x =
时，
5
x = ，
∴根据题意可得
5
x
的解集是
5
x −或
5
x ；
（2）解：当
1
3
x +
= 时，则
1
3
x+ =
或
1
3
x+ = −，
解得
2
x =
或
4
x = −，
(
)
+
=
−−
x
1
x
1 ，
分界点把数轴分为三部分：
数4
−左边的数与数1
−的差的绝对值大于3；
数4
−和数2 之间的数与数1
−的差的绝对值小于等于3；
数2 右边的数与1
−的差的绝对值大于3，
∴
1
3
x +
= 的解集为
4
x
−
或
2
x
；
（3）解：
2
2
2
2
3
x
y
m
x
y
m
−
= −
−
−+
=
+
，
∴方程组中的两个方程相加可得
1
x
y
m
+
=
+ ，
∵
3
x
y
+
，
∴
1
3
m +
，
当
1
3
m +
= 时，则
1
3
m+ = 或
1
3
m+ = −，解得
2
m =
或
4
m = −，
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(
)
1
1
m
m
+
=
−−
，
分界点把数轴分为三部分：
数4
−左边的数与数1
−的差的绝对值大于3；
数4
−和数2 之间的数与数1
−的差的绝对值小于等于3；
数2 右边的数与1
−的差的绝对值大于3，
∴
1
3
m +
的解集为4
2
m
−
．
7．（24-25 七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如
0
x
x
=
−
表示数轴上表示x 这
个数的点到原点的距离，那么式子
1
x −
可理解为：数轴上表示x 这个数的点到表示1 这个数的点的距离，
于是解不等式
1
2
x −
则是要在数轴上找出到1 的距离小于或等于2 的所有点，观察数轴可以看出，在数轴
上到1 的距离小于或等于2 的点对应的数都在1
−和3 之间（包含1
−和3 两个点），这样我们就可以得到不
等式
1
2
x −
的解集为1
3
x
−
．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式
6
x
的解集为___________．
(2)求不等式
2
3
x −
的解集．
(3)求不等式4
1
5
3
x +
−
的解集．
【答案】(1) 6
6
x
−
(2)
1
x −或
5
x≥
(3) 3
1
x
−
【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式．
（1）根据绝对值的意义及数轴求解；
（2）根据绝对值的意义及数轴求解；
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（3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解．
【详解】（1）解：∵
6
x
，
∴6
6
x
−
，
故答案为：6
6
x
−
；
（2）解：法①：在数轴上到2 的距离大于或等于3 的点对应的数小于或等于1
−或者大于或等于5，
不等式
2
3
x −
的解集为
1
x −或
5
x≥；
法②：不等式
2
3
x −
可化为
2
3
x −
−或
2
3
x −
，
解得：
1
x −或
5
x≥；
不等式
2
3
x −
的解集为
1
x −或
5
x≥；
（3）解：不等式4
1
5
3
x +
−
可化为
1
2
x +
，
2
1
2
x
−
+
，
所以原不等式的解集为：3
1
x
−
．
1．（24-25 七年级下·河北邯郸·期末）关于x y
，的方程组
2
4
1
2
x
y
k
x
y
k
−
=
−
−
=
的解中，x 与y 的差不大于3，则k
的取值范围是（ ）
A．
2
k
B．
1
k
C．
1
k
D．
2
k
【答案】D
【分析】本题考查了由二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，先利用加减法解方程组可
得
5
1
3
k
x
y
−
−
=
，进而得到5
1
3
3
k −
，再解不等式即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：
2
4
1
2
x
y
k
x
y
k
−
=
−
−
=
①
②
，
①+ ②，得3
3
5
1
x
y
k
−
=
−，
∴
5
1
3
k
x
y
−
−
=
，
∵x 与y 的差不大于3，
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∴5
1
3
3
k −
，
解得
2
k
，
故选：D ．
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式
3
2
x
x
+
的解集为（ ）
A．
3
2
x
B．
3
2
x
C．
3
x
D．
3
x
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，掌握解一元一次不等式
的方法是解题的关键．
【详解】解：
3
2
x
x
+
，
∴2
3
x
x
+
，
解得：
3
x
，
故选：D．
3．（24-25 七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．
3
x = 是不等式2
1
x 的解
B．不等式2
1
x 的解是
3
x =
C．
1
2
x
是不等式2
1
x 的解集
D．不等式2
1
x 有无数个解
【答案】B
【分析】此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础
题．
对A、B、C、D 选项进行一一验证是否成立．
【详解】解：A、当
3
x = 时，2 3 1
，成立，故A 不符合题意；
B、不等式2
1
x 的解集是
1
2
x
，当
3
x = 时，2 3 1
成立，但不是唯一解，例如
4
x =
也是不等式的解，故
B 符合题意；
C、不等式2
1
x 的解集是
1
2
x
，故C 不符合题意；
D、不等式2
1
x 的解集是
1
2
x
，不等式2
1
x 有无数个解，故D 不符合题意；
故选：B．
4．（24-25 七年级下·陕西商洛·阶段练习）若关于x 的一元一次不等式
0
x
a
+
的解集为
3
x
，则关于x 的
一元一次不等式(
)
1
1
a
x
a
−
−−
的解集是（ ）
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A．
1
x −
B．
1
2
x −
C．
1
2
x −
D．
1
x −
【答案】B
【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式，理解不等式的性质，掌握解一元一次不等式的方法
是正确解答的关键．
根据不等式的性质求出一元一次不等式的解集即可．
【详解】解：关于x 的不等式
0
x
a
+
的解集为
3
x
，
3
a
= −，
关于x 的不等式(
1)
1
a
x
a
−
−−
变为4
2
x
−
，
解得
1
2
x −
，
故选∶ B．
5．（24-25 七年级下·河北张家口·期末）已知不等式(
)
(
)
2
1
2 2
1
a
x
a
−
−
的解集是
2
x
，则a 的取值范围在
数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的性质，列出关于a
的不等式，确定出a 的范围即可，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵不等式(
)
(
)
2
1
2 2
1
a
x
a
−
−
的解集是
2
x
，
∴2
1
0
a−
，
解得
1
2
a
，
数轴上表示符合D，
故选：D．
6．（24-25 七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x y
，的方程组
2
4
2
3
2
x
y
x
y
m
+
=
+
= −
+
的解满足
1
2
x
y
−
−
，则整数m
的最小值为（ ）
A．1
−
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组和解不等式方程，首先解方程组，用m 表示x 和y，再
小学
初中
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46 /
代入不等式
1
2
x
y
−
−
，解出m 的范围，确定最小整数解．
【详解】解：解方程组：
2
4
2
3
2
x
y
x
y
m
+
=
+
= −
+
①
②
①式乘以2，得：4
2
8
x
y
+
=
③
③式减去②式，消去y：(
) (
)
(
)
4
2
2
8
3
2
x
y
x
y
m
+
−
+
=
−−
+
，
3
6 3
x
m
=
+
，
2
x
m
=
+ ，
将
2
x
m
=
+ 代入①式，解得y：(
)
2
2
4
m
y
+
+
=
，
2
4
4
m
y
+
+
=
，
2
y
m
= −
，
将
2
x
m
=
+ 和
2
y
m
= −
代入不等式：
(
) (
)
2
2
3
2
x
y
m
m
m
−
=
+
−−
=
+
不等式变为：
1
3
2
2
m+
−
解不等式：
1
3
2
2
m −
−
，
5
3
2
m −
5
6
m −
m 需满足
5
6
m −
，因此最小整数为0．
故选B．
7．（24-25 七年级下·吉林·期末）已知
7
x
，且
1
2
y
x
= −
，则y 的取值范围是 ．
【答案】
13
y −
【分析】本题考查了解不等式，根据
1
2
y
x
= −
，得到
1
2
y
x
−
=
，结合
7
x
，即可求出y 的取值范围．
【详解】解：
1
2
y
x
= −
，
1
2
y
x
−
=
，
7
x
，
1
7
2
y
−
，
解得
13
y −
，
故答案为：
13
y −
．
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8．（24-25 七年级下·全国·期末）不等式(
)
4
2
2
3
x
x
−
−的非负整数解的个数为 个．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再确定不等式的非负整数解即可得到答案，
掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：(
)
4
2
2
3
x
x
−
−，
整理得：2
5
x ，
解得：
2.5
x
，
∴不等式(
)
4
2
2
3
x
x
−
−的非负整数解为2,1,0 ，共3个，
故答案为：3．
9．（24-25 七年级下·山东德州·阶段练习）若关于x 的一元一次方程4
1
3
1
x
m
x
+
+ =
−的解是负数，则m 的
取值范围是 ．
【答案】
2
m −
【分析】先求解方程得出x 的表达式，再根据解是负数这一条件列不等式，进而求出m 的取值范围．本题
主要考查一元一次方程的求解与一元一次不等式的应用，熟练掌握方程的解法和根据条件列不等式求解是
解题的关键．
【详解】解：解方程4
1
3
1
x
m
x
+
+ =
−得
2
x
m
= −
−，
因为方程的解是负数，即
0
x
，
所以
2
0
m
−
−
，
2
m
−
，
m
2
−，
故答案为：
2
m −．
10．（24-25 七年级下·江苏泰州·阶段练习）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x ，即当n 为非负整
数时，若
1
1
2
2
n
x
n
−
+
，则x
n
=
，如0.46
0, 3.67
4
=
=
．给出下列关于x 的结论：
①1.493
1
= ；②若1
1
4
2 x −
=
，则实数x 的取值范围是9
11
x
；③2
2
x
x
=
；
④x
y
x
y
+
=
+
；⑤当
0
x
，m 为非负整数时，有
2013
2013
m
x
m
+
=
+
；
其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号 ）
【答案】①
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【分析】本题考查了新定义，熟练掌握新定义，以及一元一次不等式的运用是解题的关键．
根据当n 为非负整数时，若
1
1
2
2
n
x
n
−
+
，则x
n
=
，结合一元一次不等式的运用，以及举反例法，逐个
分析判断，即可解题．
【详解】解：当n 为非负整数时，若
1
1
2
2
n
x
n
−
+
，则x
n
=
，
1.493 1
= ，
故①正确；
1
1
4
2 x −=
，
1
1
1
4
1
4
2
2
2
x
−
−
+
，
解得9
11
x
，
即实数x 的取值范围是9
11
x
故②错误；
1.493 1
= ，
21.493
2
=
，
2 1.493
2.986
3
=
= ，2
3
，
2
2
x
x
=
不一定成立，
故③错误；
1.4
1
= ，1.41 1
= ，
1.4
1.41
1 1
2
+
= + =
，
1.4 1.41
2.81
3
+
=
= ，3
2
，
则x
y
x
y
+
=
+
不一定成立；
故④错误；
当
0
x
，m 为非负整数时，
假设
0.1
x =
，
则
2013 0.1
201.3
201.3
201
2013
m
m
m
m
m
+
=
+
=
+
=
+
+
，
则
2013
2013
m
x
m
+
=
+
不一定成立，
故⑤错误；
综上所述，正确的结论有①；
故答案为：①．
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11．（24-25 八年级下·宁夏银川·阶段练习）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务．
5
3
2
1
2
2
x
x
+
+
−
解：
5 2
3
2
x
x
+ −
+
⋯⋯第一步
3
2 5
2
x
x
−
−+ ，⋯⋯第二步
2
1
x
−
−，⋯⋯第三步
1
2
x
，⋯⋯第四步
(1)任务一：
①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ；
②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ；
(2)任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上．
【答案】(1)①不等式的基本性质2；②四；不等式两边除以2
−时，不等号的方向没有改变；
(2)
1
2
x
，见解析．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
任务一：①根据不等式的基本性质，即可解答；②根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可
解答；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：任务一：①以上解题过程中，第一步是进行去分母，变形依据是不等式的基本性质2；
②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边除以2
−时，不等号的方向没有改变；
故答案为：①不等式的基本性质 2 ；②四；不等式两边除以2
− 时，不等号的方向没有改变；
（2）解：任务二：
5
3
2
1
2
2
x
x
+
+
−
，
去分母得，
5 2
3
2
x
x
+ −
+
，
移项合并同类项得，2
1
x
−
−，
系数化为1 得，
1
2
x
．
把解集表示在数轴上如图所示：
12．（24-25 九年级下·甘肃临夏·阶段练习）解不等式：
2
1
2
6
x
x
x
+
−
−，并把解集在数轴上表示出来．
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【答案】
1
x ，见解析
【分析】先去分母消除分数形式，再去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为1求出解集，之后依据解
集在数轴上准确表示．本题主要考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，熟练掌握解一元一次
不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 ）是解题的关键．
【详解】解：
2
1
2
6
x
x
x
+
−
−
去分母得，
(
)
3
2
6
6
x
x
x
−
+
−
，
去括号得，3
2
6
6
x
x
x
−−
−
，
移项得，3
6
6
2
x
x
x
−−
−+
，
合并同类项得，4
4
x
−
−，
系数化为1 得，
1
x ．
在数轴上表示为：
13．（24-25 七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知
0
b
，且
1
2
3
a
b
c
b
c
d
c
d
a
+
=
+
+
=
+
+
=
+
，
，
，求
+ + +
a
b
c
d 的最大值．
【答案】17
【分析】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代数式将所求代
数式转换成关于b 的代数式成为解题的关键．
通过解方程组用b 表示出a、c、d，然后代入+ + +
a
b
c
d 得到只含b 的代数式，最后结合b 的范围即可解答．
【详解】解：∵
1
2
3
a
b
c
b
c
d
c
d
a
+
=
+
+
=
+
+
=
+
，
，
，
∴
1
2
3
a
b
c
b
c
d
c
d
a
+
−
=
+
−
=
+
−
=
①
②
③
，
①+②得：
2
3
a
b
d
+
−
= ④，
①+③得：
4
b
d
+
= ⑤，即
4
d
b
=
−，
④+⑤得：
3
7
a
b
+
=
，即
7
3
a
b
=
−
，
将
7
3
a
b
=
−
、
4
d
b
=
−代入
2
b
c
d
+ =
+
得：
6
2
c
b
= −
，
∴
+ + +
a
b
c
d
7
6
4
3
2
b
b
b
b
−
+ + −
+ −
=
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17
5b
=
−
，
∵
0
b
，
∴当
0
b =
时，a
b
c
d
+ + +
的最大值为17．
14．（23-24 七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的
探究，首先对
2
x
和
2
x
进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式
2
x
的解集表示在数轴上（如图1），可得
2
x
的解集是：2
2
x
−
；将
不等式
2
x
的解集表示在数轴上（如图2），可得
2
x
的解集是：<
2
x −
或
2
x
．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式x
a
（
0
a
）的解集为______，不等式x
a
（
0
a
）的解集为______；
(2)解不等式
1
4
x −
；
(3)求不等式
1
2
5
x
x
−
+
+
的解集．
【答案】(1) a
x
a
−
，x
a
−或x
a
(2)
3
x −或
5
x
(3) 3
2
x
−
【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出
的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问
题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
（1）由于
2
x
的解集是2
2
x
−
，
2
x > 的解集是<
2
x −
或
2
x
，根据它们即可确定| x |
(
0)
a a
和
|
|
(
0)
x
a a
的解集；
（2）把
1
x −当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出
1
x −的取值范围，然后就可以求出x 的取值范围；
（3）先在数轴上找出|
1|
|
2 | 5
x
x
−
+
+
=
的解，即可得出不等式|
1|
|
2 | 5
x
x
−
+
+
的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式x
a
（
0
a
）的解集为a
x
a
−
；
不等式x
a
（
0
a
）的解集为x
a
−或x
a
；
（2）由（1）得：由于
1
4
x −
，
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所以
1
4
x−−或
1
4
x−
，
所以
3
x −或
5
x ，
所以
1
4
x −
的解集为
3
x −或
5
x ；
（3）由绝对值的意义得方程
1
2
5
x
x
−
+
+
=
的解就是求在数轴上到1 和2
−对应点的距离之和等于5 的点对
应的x 的值，
因为数轴上1 和2
−对应点的距离为3，
所以满足方程
1
2
5
x
x
−
+
+
=
的x 对应的点在1 的右边或2
−的左边．
若x 对应的点在1 的右边，可得
2
x =
；
若x 对应的点在2
−的左边，可得
3
x = −；
所以方程
1
2
5
x
x
−
+
+
=
的解为
2
x =
或
3
x = −，
所以不等式
1
2
5
x
x
−
+
+
的解集为3
2
x
−
．
