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专题 09 分式方程中参数问题的四种考法
类型一、整数解问题求参数
例．若关于x的不等式组 有解且至多有5个整数解，且关于y的方程
的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组 有解且至多有5个整数
解，即可求得m的取值范围，再根据 的解为整数，即可写出符合条件的m
的值．
【详解】解：解不等式组 得： ，
∵不等式组 至多有5个整数解，
，
解得 ，
∴整数 的值为 ，
解方程 得： ，
又 为整数，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，不符合题意，
符合条件的整数 的个数为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了已知不等式组的解集求参数，分式方程的解法，熟练掌握一元一次不
等式组的解集的确定方法是解题的关键．【变式训练1】．若关于 的不等式组 有且仅有3个整数解，且关于 的
分式方程 的解是正数，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有3个整数解，确定出a的范围，分
式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值即可．
【详解】解：不等式组 解得：
∵不等式组恰有3个整数解，
∴ ，解得：
∴整数a可以为-3，-2，-1，0，1，2，3，4
变形为
去分母，得 ，解得 且 为正数
∴ ，即
∵
∴ ，解得 且
∴符合条件的整数a为0，2，3，4
故选C
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
【变式训练2】．若整数a使关于x的分式方程 的解为非负整数，且使关于
y的不等式组 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为
（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】B【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出 的范围；
再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定 的值即可解答．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴
∵不等式组至多有3个整数解，
∴ ，
∴ ．
方程 ，
，解得：
∵分式方程有非负整数解，
∴ （x为非负整数）且 ，
∴ 且 ，
∴ 的偶数且 ，
∴ 且 且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的值为： ，0，4，6，8．
∴符合条件的所有整数．a的和是：12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握解
一元一次不等式组和解分式方程是解题的关键．
【变式训练3】．若整数 使关于 的不等式组 有且仅有四个整数解，且使
关于 的分式方程 有整数解，则符合条件的所有整数 之和为 ．
【答案】
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定
a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
【详解】解：
解不等式①得：解不等式②得：
不等式组有且仅有四个整数解，
且
解得： ；
分式方程 有整数解，
解得： 且 （增根）
当 为整数时， 或 或 或 或 或4，
解得 或 或 或 或 或 ，
，
或 或 或 或 ；
又
或 或 ，
则符合条件的所有整数a的和是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组
的整数解的个数及分式方程的整数解确定a的取值范围．
类型二、由解的情况求参数
例1．关于 的分式方程 的解为负数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方
程分母不为0求出 的范围即可．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
由题意得： ，
解得：
又因为 ，即
所以 ，
综上所述： 且
故选D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，解题关键是熟练解分式方程，要注意在任何时候都要考虑分母不为0．
例2．已知不等式 的解集为 ，且关于 的分式方程 的解为非
负数，则 的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】先根据不等式的解集确定m，再求得方程的解，根据非负性转化为不等式，求解
集，注意增根的陷阱．
【详解】∵不等式 的解集为 ，又不等式 的解集为 ，
∴ ，
解得 ，
∴分式方程变形为 ，
解方程，得 ，
∵分式方程 的解为非负数，
∴ ，
解得 ，
∵ 时，分式无意义，
∴
∴ ，
∴ ，
故a的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，分式方程的解的情况求参数，正确的
求出不等式的解集，分式方程的解，是解题的关键．
【变式训练1】．关于x的方程 的解不小于 ，则 的取值范围为
．
【答案】 且
【分析】先解分式方程可得 ，由题意得 ，再由 ，得 ，
求出 的取值范围即可．
【详解】解： ，
，
，，
∵方程的解不小于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是
解题的关键．
【变式训练2】．若数 使关于 的分式方程 的解为正数，且使关于 的不
等式组 的解集为 ，则符合条件所有整数 的积为 ．
【答案】240
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出 且 ，根据不等式组的解集为 ，
即可得出 ，找出 且 ，中所有的整数，将其相乘即可得出结论．
【详解】解：分式方程 的解为 且 ，
∵分式方程 的解为正数，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
，
解不等式①，得 ，解不等式②，得 ，
∵关于y的不等式组 的解集为 ，
∴ ，
∴ 且 ，又 为整数，则 的值为2，4，5，6
符合条件的所有整数 的积为 ，
故答案为：240
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为 ，找出 的取值范围是解题的关键．
【变式训练3】．已知关于x的分式方程 无解，且关于y的不等
式组 有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，
第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不
等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的
所有m的和即可．
【详解】解：分式方程去分母得： ，
整理得： ，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即 时，方程无解，
∴ ；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入 ，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入 ，得： ，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或 ，分式方程无解；
解不等式 ，得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，
∴−4<m−4≤−2，∴0<m≤2，
综上所述当m=2或 时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故选B．
【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式
方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化
成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一
元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键．类型三、由增根问题求参数
例．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或 D． 或2
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求
出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 或 ，
把 代入整式方程得：
解得： ；
把 代入整式方程得： ，
解得： ；
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0
确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式训练1】．若关于x的分式方程 有增根，则 ．
【答案】
【分析】根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
【详解】解：关于 的分式方程 ，
去分母可化为 ，
又因为关于 的分式方程 有增根 ，
所以 是方程 的根，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键．
【变式训练2】．若关于x的分式方程 有增根，求m的值．
【答案】 或
【分析】先将方程转化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式
方程进行求解即可．
【详解】解：分式方程去分母，得： ，整理，得： ，∵分式方程有增根，∴ ，
∴ 或 ，当 时， ；
当 时， ；∴ 或 ．
【点睛】本题考查分式方程有增根的问题．熟练掌握增根是使整式方程成立，使分式方程
无意义的未知数的值，是解题的关键．
类型三、由无解问题求参数
例．分式方程 无解，则a的值是( )
A．3或2 B． 或3 C．- 或3 D． 或2
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：①分式方程的分母为0时，无解；②分式方程化为形如
的整式方程后，如果 且 ，亦无解．据此即可解答．
【详解】解：将 化为整式方程得：
整理得：
①∵分式方程 无解，
∴
将 代入 得：
∴ ．
②整式方程 中，
当 时，方程无解，
此时，
综合①②两种情况可知，a的值为3或2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式方程无解的情况，分情况讨论分式方程无解的条件是解题关键．
【变式训练1】．关于x的方程 无解，则m的值为 ．
【答案】 或
【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得 或x=3，分别求出
m值即可．
【详解】去分母得： ，
整理得： ，
当 ，即 时，方程无解；当 时，方程无解，即 ，解得： ，
∴ 的值为 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查分式方程无解的情况，分情况求出方程中未知数的值，解题中注意运用
分类思想解答.
【变式训练2】．若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】10或 或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，
整式方程无解．
【详解】解：（1） 为原方程的增根，
此时有 ，即 ，
解得 ；
（2） 为原方程的增根，
此时有 ，即 ，
解得 ．
（3）方程两边都乘 ，
得 ，
化简得： ．
当 时，整式方程无解．
综上所述，当 或 或 时，原方程无解．
故答案为：10或 或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又
要考虑整式方程无解的情形．
课后训练
1．分式方程 有解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 且
【答案】D
【分析】先求出m与x的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以 得： ，
∴ ，
∵分式方程有解，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∵分式方程 有解，
∴ 且
∴ 且
∴ ，
∴ ，
综上可知， 且 ，
故选D
【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根．
2．关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为 ，代入求
解参数值．
【详解】解：分式方程变形，得 ，
把 代入，得 ；
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键．
3．若关于 的不等式组 有且只有2个奇数解，且关于 的分式方程
的解为非负数，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．3 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定 的值，进而解决此题．
【详解】解： ，
，
，，
，
，
，
关于 的不等式组 有且只有2个奇数解，
，
，
，
，
，
，
，
，
关于 的分式方程 的解为非负数，
，且 ，
且 ，
所有满足条件的整数 为： 或 或0或2或3或4或5，
所有满足条件的整数 的值的和为： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、
分式方程的解法是解决本题的关键．
4．关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围 ．
【答案】 且
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出x的值，再根据分式方程解为非负数
和分式有意义的条件，即可得出m的取值范围．
【详解】解： ，
去分母，得： ，移项，得： ，
合并同类项，得： ，
化系数为1，得： ．
∵分式方程的解为非负数，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式有意义的条件，解题的关键是掌握解分式方程
的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不等于0．
5．若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m
的取值范围．
【详解】解： ，
去分母得， ，
整理得， ，
解得， ，
∵分式方程的解为正数，
∴ 且 ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式．解分式方程时注意分母不能为零．
6．若整数a既使得关于x的分式方程 有整数解，又使得关于x，y的方程
组 的解为正数，则 ．
【答案】5
【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求出a的值，再解不等式组，根据不等式组解为正求出a的取值范围，再综合得出结论．
【详解】解：解方程 得，
，
∵分式方程有整数解，且 ，
∴ 或 或 或1或2或4，且 ，
∴ 或1或2或4或5，
解方程组 得，
，
∵方程组的解为正数，
∴ ，
解得 ，
综上， ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查解分式方程与不等式组，熟练掌握根据分式方程与不等式组解的情况求
字母参数值是解题的关键．
7．若关于 的一元一次不䇡式组 的解集为 ，且关于 的分式方程
的解为非负整数，则所有满足条件的 的值之积为 ．
【答案】35
【分析】先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合
求出满足条件的a的值，即可求得．
【详解】解：解不等式 ，
去分母得： ，
解得： ，
解不等式
移项合并同类项得： ，∵关于 的一元一次不䇡式组 的解集为
由“同大取大”得：a≤7；
∴
解分式方程： ，
分式方程去分母，得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∵方程 的解为非负整数，
∴ ，
又∵a≤7，
∴满足条件的整数a可以取7，-1，-5
其积为 ．
故答案为：35．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次
不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点．
8．若关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤6且m≠4
【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：关于x的分式方程 的解为：x＝6−m，
∵分式方程有可能产生增根2，
∴6−m≠2，∴m≠4，
∵关于x的分式方程 的解是非负数，
∴6−m≥0，
解得：m≤6，
综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．
故答案为：m≤6且m≠4．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可
能产生增根的情况，这是解题的关键．9．已知关于x的分式方程 无解，求a的值
【答案】 或0或
【分析】若关于x的分式方程 无解，则最简公分母为零或所化成的整式方
程无解，据此求解即可．
【详解】解：方程两边同乘 得，
，
，
当 即 时，整式方程无解，即分式方程无解；
当 时，有 或 时，分式方程无解，
此时 或 ，
解得 或 ，
经检验均为所列方程的解，
综上所述， 或0或 ．
【点睛】本题主要考查分式方程无解问题．本题的易错点在于只考虑到了最简公分母为零
的情况，而忽略了化为整式方程后，整式方程无解这一情况，从而导致答案不全．
