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专题 09 分式方程中参数问题的四种考法
类型一、整数解问题求参数
例．若关于x的不等式组 有解且至多有5个整数解，且关于y的方程
的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组 有解且至多有5个整数
解，即可求得m的取值范围，再根据 的解为整数，即可写出符合条件的m
的值．
【详解】解：解不等式组 得： ，
∵不等式组 至多有5个整数解，
，
解得 ，
∴整数 的值为 ，
解方程 得： ，
又 为整数，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，不符合题意，
符合条件的整数 的个数为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了已知不等式组的解集求参数，分式方程的解法，熟练掌握一元一次不
等式组的解集的确定方法是解题的关键．【变式训练1】．若关于 的不等式组 有且仅有3个整数解，且关于 的
分式方程 的解是正数，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有3个整数解，确定出a的范围，分
式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值即可．
【详解】解：不等式组 解得：
∵不等式组恰有3个整数解，
∴ ，解得：
∴整数a可以为-3，-2，-1，0，1，2，3，4
变形为
去分母，得 ，解得 且 为正数
∴ ，即
∵
∴ ，解得 且
∴符合条件的整数a为0，2，3，4
故选C
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
【变式训练2】．若整数a使关于x的分式方程 的解为非负整数，且使关于
y的不等式组 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为
（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】B【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出 的范围；
再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定 的值即可解答．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴
∵不等式组至多有3个整数解，
∴ ，
∴ ．
方程 ，
，解得：
∵分式方程有非负整数解，
∴ （x为非负整数）且 ，
∴ 且 ，
∴ 的偶数且 ，
∴ 且 且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的值为： ，0，4，6，8．
∴符合条件的所有整数．a的和是：12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握解
一元一次不等式组和解分式方程是解题的关键．
【变式训练3】．若整数 使关于 的不等式组 有且仅有四个整数解，且使
关于 的分式方程 有整数解，则符合条件的所有整数 之和为 ．
【答案】
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定
a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
【详解】解：
解不等式①得：解不等式②得：
不等式组有且仅有四个整数解，
且
解得： ；
分式方程 有整数解，
解得： 且 （增根）
当 为整数时， 或 或 或 或 或4，
解得 或 或 或 或 或 ，
，
或 或 或 或 ；
又
或 或 ，
则符合条件的所有整数a的和是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组
的整数解的个数及分式方程的整数解确定a的取值范围．
类型二、由解的情况求参数
例1．关于 的分式方程 的解为负数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方
程分母不为0求出 的范围即可．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
由题意得： ，
解得：
又因为 ，即
所以 ，
综上所述： 且
故选D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，解题关键是熟练解分式方程，要注意在任何时候都要考虑分母不为0．
例2．已知不等式 的解集为 ，且关于 的分式方程 的解为非
负数，则 的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】先根据不等式的解集确定m，再求得方程的解，根据非负性转化为不等式，求解
集，注意增根的陷阱．
【详解】∵不等式 的解集为 ，又不等式 的解集为 ，
∴ ，
解得 ，
∴分式方程变形为 ，
解方程，得 ，
∵分式方程 的解为非负数，
∴ ，
解得 ，
∵ 时，分式无意义，
∴
∴ ，
∴ ，
故a的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，分式方程的解的情况求参数，正确的
求出不等式的解集，分式方程的解，是解题的关键．
【变式训练1】．关于x的方程 的解不小于 ，则 的取值范围为
．
【答案】 且
【分析】先解分式方程可得 ，由题意得 ，再由 ，得 ，
求出 的取值范围即可．
【详解】解： ，
，
，，
∵方程的解不小于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是
解题的关键．
【变式训练2】．若数 使关于 的分式方程 的解为正数，且使关于 的不
等式组 的解集为 ，则符合条件所有整数 的积为 ．
【答案】240
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出 且 ，根据不等式组的解集为 ，
即可得出 ，找出 且 ，中所有的整数，将其相乘即可得出结论．
【详解】解：分式方程 的解为 且 ，
∵分式方程 的解为正数，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
，
解不等式①，得 ，解不等式②，得 ，
∵关于y的不等式组 的解集为 ，
∴ ，
∴ 且 ，又 为整数，则 的值为2，4，5，6
符合条件的所有整数 的积为 ，
故答案为：240
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为 ，找出 的取值范围是解题的关键．
【变式训练3】．已知关于x的分式方程 无解，且关于y的不等
式组 有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，
第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不
等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的
所有m的和即可．
【详解】解：分式方程去分母得： ，
整理得： ，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即 时，方程无解，
∴ ；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入 ，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入 ，得： ，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或 ，分式方程无解；
解不等式 ，得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，
∴−4
