文档文本内容
拔高点突破 02 极值点偏移问题与拐点偏移问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：极值点偏移:加法型...............................................................................................................3
题型二：极值点偏移:减法型...............................................................................................................8
题型三：极值点偏移:乘积型.............................................................................................................13
题型四：极值点偏移:商型.................................................................................................................20
题型五：极值点偏移:平方型.............................................................................................................28
题型六：极值点偏移:混合型.............................................................................................................33
题型七：拐点偏移问题......................................................................................................................39
03 过关测试.........................................................................................................................................441、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
称性。若函数f (x)在 x=x 处取得极值，且函数y=f (x)与直线y=b交于A(x ,b),B(x ,b)两点，则
0 1 2
x +x x +x
的中点为M( 1 2,b)，而往往x ≠ 1 2 。如下图所示。
AB 2 0 2
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数y=f (x)在区间(a,b)内只有一个极值点 x ，方程f (x)的解分别为
0
x +x
x 1 、x 2 ，且a<x 1 <x 2 <b，（1）若 1 2 2 ≠x 0 ，则称函数 y=f (x) 在区间 (x 1 ,x 2 ) 上极值点x 0 偏移；
x +x
（2）若 1
2
2 >x
0
，则函数
y=f (x)
在区间
(x 1 ,x 2 )
上极值点x
0
左偏，简称极值点x
0
左偏；（3）若
x +x
1
2
2 <x
0
，则函数
y=f (x)
在区间
(x 1 ,x 2 )
上极值点x
0
右偏，简称极值点x
0
右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点
为 )，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x.
0
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数 ，若证 ，则令
.
(3)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(4)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
(5)转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关
系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明 的符号问题，还需进一步讨论 与x 的大小，得出 所在
0
的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿
于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在
联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性
进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的
函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁
明快的思路，有着非凡的功效
3、应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可.
题型一：极值点偏移:加法型
【典例1-1】（2024·四川南充·一模）已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
【解析】（1） 的定义域为 ，
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 .
又当x趋近于0或 时， 趋于 ，
所以，要使 有两个不同的零点 ，只需满足 ，即 .所以实数 的取值范围为 .
（2）不妨设 ，由（1）可知， ，则 ，
要证 ，只需证 ，
又 在 上单调递增，所以只需证 ，即证 .
记 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
又 ，
所以 ，即 .
所以 .
【典例1-2】（2024·安徽马鞍山·一模）设函数 .
(1)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知方程 有两个不同的根 、 ，求证： ，其中 为自然对数
的底数.
【解析】（1）由 ，得 .
令 ， ，则 ，
令 ，则 .
所以，函数 在 上单增，故 .
①当 时，则 ，所以 在 上单增， ，
此时 对 恒成立，符合题意；②当 时， ， ，
故存在 使得 ，
当 时， ，则 单调递减，此时 ，不符合题意.
综上，实数 的取值范围 .
（2）证明：由（1）中结论，取 ，有 ，即 .
不妨设 ， ，则 ，整理得 .
于是 ，
即 .
【变式1-1】（2024·甘肃酒泉·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 （ 为 的导函数），方程 有两个不等实根 、 ，求证： ．
【解析】（1）因为 ，则 ，所以， ， ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）证明：因为 ， ，所以 ．
因为 为增函数，所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
由方程 有两个不等实根 、 ，则可设 ，
欲证 ，即证 ，
即证 ，而 ，即 ，
即 ，
设 ，其中 ，
则 ，设 ，则 ，所以，函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，故 得证．
【变式1-2】（2024·安徽淮南·二模）已知函数 ．
(1)若 ，证明： 时， ；
(2)若函数 恰有三个零点 ，证明： ．
【解析】（1） 时，函数 ，
则 ，
在 上单调递增，
所以 ．
（2） ，显然 为函数的一个零点，设为 ；
设函数 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
由已知， 必有两个零点 ，且 ，下证： ．
设函数 ，则 ，
，
由于 ，则 ，
由（1）有 ，故 ，
即函数 在 上单调递减，
所以 ，
即有 ，
由于 ，且在 上单调递增，所以 ，
所以 ．
【变式1-3】（2024·河南新乡·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： .
【解析】（1）函数 的定义域为 ， .
①当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明：因为 为 的两个零点，所以 ， ，
两式相减，可得 ，即 ， ，
因此， ， .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，故 得证.题型二：极值点偏移:减法型
【典例2-1】已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，若方程 有三个不相等的实数根 ，且 ，证明： .
【解析】（1）由题意可知： 的定义域为 ，
，
令 ，可得 ，且 ，
即 ，
，可知 在 内恒成立，
即 在 内恒成立，所以 在 内单调递增.
（2）当 时，可得 ，
，
或
故 在 内单调递增，在 内单调递减，
由题意可得： ，
因为 ，
令 ，
则 ，
可知 在 内单调递增，
则 ，可得 在 内恒成立，
因为 ，则 ，
且 在 内单调递减
则 ，即 ；
令 ，则 ，
可知 在 内单调递增，则 ，
可得 在 内恒成立，
因为 ，则 ，
且 在 内单调递增，
则 ，即 ；
由 和 可得 .
【典例2-2】（2024·湖南邵阳·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，方程 有三个不相等的实数根，分别记为 .
①求 的取值范围；
②证明 .
【解析】（1）函数 的定义域为 .
又 ，令 ，得 .
当 ，即 时， 在 恒成立， .
当 ，即 时，方程 有两根，可求得： ，
因为 所以 ，
当 和 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数.
综上：当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单
调递减.
（2）当 时， .①方程 有三个不相等的实数根，
即方程 在 上有三个不相等的实数根.
令 ，
则 ，
令 ，求得： 或 ，
则当 或 时， ，
当 时， ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
存在极大值为 ，存在极小值 ，
且当 时， ，当 时， .
要使方程 有三个不相等的实数根，则
的取值范围为 .
②证明：设方程 三个不相等的实数根分别为： ，且 ，
由①可得 ，要证 ，
只需证 ，即证 ，
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， ，当 时， .
由 ，
构造函数 ，
，当 时， 在 上单调递增，
，即 在 上恒成立，
又 ，则有： ，
又 ，且 在 上单调递减，
，即 .构造函数 ，
，当 时 在 上单调递增.
，即 在 上恒成立.
又 ，则 .即 ，
由 ，则 .
在 上单调递增， .
又 ，则可证得： .
【变式2-1】已知函数 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)已知 ，设 的两个极值点为 ，且存在 ，使得 的图象与 有三
个公共点 ；
①求证： ；
②求证： ．
【解析】（1） ， ，
其中 ， ，
当 时，即 ，此时 恒成立，
函数 在区间 单调递增，
当 时，即 或 ，
当 时， 在区间 上恒成立，
即函数 在区间 上单调递增，
当 时， ，得 或 ，
当 ，或 时， ，
当 时， ，
所以函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，
综上可知，当 时，函数 的单调递增区间是 ；
当 时，函数 的单调递增区间是 和 ，
单调递减区间是 ；
（2）①由（1）知，当 时，函数 的单调递增区间是 和 ，
单调递减区间是 ， 、 是方程 的两根，
有 ， ，
又 的图象与 有三个公共点 ，
故 ，则 ，
要证 ，即证 ，又 ，
且函数 在 上单调递减，即可证 ，
又 ，即可证 ，
令 ， ，
由 ，
则
恒成立，
故 在 上单调递增，即 ，
即 恒成立，即得证；
②由 ，则 ，
令 ， ，则
，
故 在 上单调递增，即 ，
即当 时， ，
由 ，故 ，又 ，故 ，
由 ， ，函数 在 上单调递减，故 ，
即 ，又由①知 ，故 ，
又 ，
故 .
题型三：极值点偏移:乘积型
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
【解析】（1）因为函数 的定义域是 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减．
综上所述，当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 ．
（2）因为 是函 的两个零点，由（1）知 ，因为 ，设 ，则 ，
当 ， ，当 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ．
又因为 ，且 ，
所以 ， ．
首先证明： ．
由题意，得 ，设 ，则
两式相除，得 ．
要证 ，只要证 ，即证 ．
只要证 ，即证 ．
设 ， ．
因为 ，所以 在 上单调递增．
所以 ，即证得 ①．
其次证明： ．设 ， ．
因为 ，所以 在 上单调递减．
所以 ，
即 ．
所以 ②．
由①②可证得 ．
【典例3-2】（2024·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
【解析】（1）因为 ，所以 .所以 ，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以 在（0，+∞）上恒成立.
即 恒成立. ，即 ，
令 ，所以 ，
时 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 .
（3）
定义域为
当 时， ，所以 在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当 时，
在（0， ）上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
函数 存在两个零点的必要条件是 ，
即 ，又 ，
所以 在（1， ）上存在一个零点（ ）.
当 时， ，所以 在（ ，+∞）上存在一个零点，
综上函数 有两个零点，实数a的取值范围是 .
不妨设两个零点
由 ，所以 ，所以 ，所以 ，
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
由 ，
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
令 ，只需证 ，
令 ，
，
H（t）在（0，1）上单调递增，∴ ，
∴
即 成立，
所以 成立.
【变式3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，
故 在 上单调递增，不存在极值点；
当 时，令 ，则 总成立，故函数 即 在 上单调递增，
且 ， ，所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
故在 上存在唯一极值点，
综上，当 时，函数 的极值点有且仅有一个．
（2）由 知 ，
整理得， （*），
不妨令 ，则 ，故 在 上单调递增，
当 时，有 ，即 ，
那么 ，
因此，（*）即转化为 ，
接下来证明 ，等价于证明 ，
不妨令 （ ），
建构新函数 ， ，则 在 上单调递减，
所以 ，故 即 得证，
由不等式的传递性知 ，即 ．
【变式3-2】（2024·江西南昌·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时， 恒成立，求a的取值范围．
(2)若 的两个相异零点为 ， ，求证： ．
【解析】（1）当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
设 ，
所以 ，即 ，，
设 ，
则 ，
所以，当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，
所以当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，
若 恒成立，则 ．
所以 时， 恒成立，a的取值范围为 .
（2）由题意知， ，
不妨设 ，由 得 ，
则 ，
令 ，
则 ，即： ．
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 （ ），
令 （ ），因为 ，
所以 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 成立，
故 ．
【变式3-3】（2024·河北保定·二模）已知函数 为其导函数．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数 ，使得 ，证明： ．
【解析】（1） ，当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．所以 ，
解得 ，即 的取值范围为 ．
（2）证明：不妨设 ，则 ，要证 ，
即证 ，则证 ，则证 ，
所以只需证 ，即 ．
令 ，则 ， ．
当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ．所以 ．
由（1）知 在 上单调递增，所以 ，从而 成立．
【变式3-4】（2024·高三·重庆·期末）已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求 的最值；
(2)证明： .
【解析】（1） ， 有两个不同的零点，∴ 在 内必不单调，故 ，
令 ，解得 ，
∴ 在 上单增， 上单减，
∴ ，无最小值．
（2）由题知 两式相减得 ，即 ，
故要证 ，即证 ，即证 ，
不妨设 ，令 ，则只需证 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，∴ 在 上单减，
∴ ，∴ 在 上单增，
∴ ，即 在 时恒成立，原不等式得证．
题型四：极值点偏移:商型
【典例4-1】（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数 ，其中
为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
【解析】（1） ， 是减函数， 是增函数，
所以 在 单调递减，
∵ ，∴ 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减.
（2）由题意得， ，即
， ，
设 ， ，则由 得， ，且 .
不妨设 ，则即证 ，
由 及 的单调性知， .
令 ， ，则
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，取 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ， ，且 在 单调递减，∴ ， .
下证： .
（i）当 时，由 得， ；
（ii）当 时，令 ， ，则
，
记 ， ，则 ，
又 在 为减函数，∴ ，
在 单调递减， 在 单调递增，∴ 单调递减，从而，
在 单调递增，
又 ， ，
∴ ，又 ，
从而，由零点存在定理得，存在唯一 ，使得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以， ，
又 ，
，
所以， ，
显然， ，
所以， ，即 ，
取 ，则 ，
又 ，则 ，
结合 ， ，以及 在 单调递增，得到 ，
从而 .
【典例4-2】已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【解析】(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．
由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，①令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．
由（1）知 ，先证 ．
要证：
．
令 ，
则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以需证 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
[方法三]：比值代换
证明 同证法2．以下证明 ．
不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，
即证 ．
记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，
即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．
再证明 ．令 ．
令 ，则 ．所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，
这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
【变式4-1】已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【解析】（1）函数的定义域为 ，又 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的递增区间为 ，递减区间为
（2）因为 ，故 ，
即 ，故 ，
设 ，则 ，
不妨设 ，由（1）可知原命题等价于：已知 ，证明： .
证明如下：
若 ， 恒成立；
若 ， 即 时，
要证： ，即证 ，而 ，即证 ，即证： ，其中
设 ， ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 ，故 在 为增函数，所以 ，
故 ，即 成立，
所以 成立，
综上， 成立.
【变式4-2】（2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，其中 .
①当 时， ，所以函数 的减区间为 ，无增区间；
②当 时，由 得 ，由 可得 .
所以函数 的增区间为 ，减区间为 ．
综上：当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ．
（2）（i）方程 可化为 ，即 ．
令 ，因为函数 在 上单调递增，
易知函数 的值域为 ，
结合题意，关于 的方程 （*）有两个不等的实根．又因为 不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为 ．
令 ，其中 ，则 ．
由 可得 或 ，由 可得 ，
所以，函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增．
所以，函数 的极小值为 ，
且当 时， ；当 时，则 .
作出函数 和 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，函数 与 的图象有两个交点，
所以，实数 的取值范围是 .
（ii）要证 ，只需证 ，即证 ．
因为 ，所以只需证 ．
由（ⅰ）知，不妨设 ．
因为 ，所以 ，即 ，作差可得 ．
所以只需证 ，即只需证 ．令 ，只需证 ．
令 ，其中 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 在 上恒成立．
所以原不等式得证．
【变式4-3】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 ， .
(1)若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个零点 ，求证： .
【解析】（1）结合题意：对于任意 ，都有 ，所以 ，
因为 ，所以只需 ，
，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以只需 ；
（2） 等价于 ，
设函数 ， ，易知 在区间 上单调递增； 上单调递减，
由 知 且 ， ，
设函数 ，其中 ，
知 ，
知 在区间 上单调递增，即 时 ，
即 时， ，即 ，
又由已知由 且 ，
有 且 ，由 在 上单调递减，
所以 ，即 .
题型五：极值点偏移:平方型
【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若 且 ， ，证明： ．
【解析】（1）由 ， ，
得 ， ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，当 时， ， 在区间 上单调
递减，所以当 时， 的最大值为 ．
当 时， ， 在区间 上单调递减，当 时， ， 在区间 上单调
递增，所以当 时， 的最小值为 ．
所以 ，故实数 的取值范围为 ．
（2）由 得 ，两边取对数并整理，
得 ，即 ，即 ．
由（1）知，函数 在 上单调递增，在
上单调递减， ，（技巧：注意对第（1）问结论的应用）
而 ，当 时， 恒成立，不妨设 ，则 ．
记 ， ，
则，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ， ，
于是 ， ，
又 在 上单调递减，因此 ，即 ，
所以 ．
【典例5-2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求证： .
【解析】（1）当 时， ，导数为 ，
可得切线的斜率为 ，且 ，
所以切线的方程为 ，
即为 ；
（2）证明：由题意可得 ，
若 ，则 ，所以 在 递增，
因此不存在 ，使得 ，所以 ；
设 ， ，则 ，
令 ， ，
所以 在 递减，又 ，所以 在 恒成立，
从而 在 递减，从而 .
①
又由 ，可得 ，
所以 .
②
由①②可得 .
又因为 ，所以 ，因此要证 ，
只需证明 ，
即证 ，③
设 ， ，则 ，
所以 在 上为增函数，
又因为 ，所以 ，即③式成立.
所以 获证.
【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
【解析】（1）因为函数 的定义域为 ，所以 成立，等价于 成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 内单调递减，
又因为 ，所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递
减，
所以 在 处取极大值也是最大值.
因此 ，即实数 的取值范围为 .
（2） 有2个不同的零点等价于 有2个不同的实数根.
令 ，则 ，当 时，解得 .
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 在 处取极大值为 .
又因为 ，当 时， ，当 时， .
且 时， .
所以 ，且 .
因为 是方程 的2个不同实数根，即 .
将两式相除得 ，
令 ，则 ， ，变形得 ， .
又因为 ， ，因此要证 ，只需证 .
因为 ，所以只需证 ，即证 .
因为 ，即证 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，
即当 时， 成立，命题得证.
【变式5-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
【解析】（1）由题意得，函数 的定义域为 .
由 得： ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，由 得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 是方程 的两不等实根， ，
即 是方程 的两不等实根，
令 ，则 ，即 是方程 的两不等实根.
令 ，则 ，所以 在 上递增，在 上递减， ，
当 时， ；当 时， 且 .
所以0 ，即0 .
令 ，要证 ，只需证 ，
解法1（对称化构造）：令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上递增， ，
所以h ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 .
解法2（对数均值不等式）：先证 ，令 ，
只需证 ，只需证 ，
令 ，
所以 在 上单调递减，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 .题型六：极值点偏移:混合型
【典例6-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，其中a，b为常数， 为自然对
数底数， ．
(1)当 时，若函数 ，求实数b的取值范围；
(2)当 时，若函数 有两个极值点 ， ，现有如下三个命题：
① ；② ；③ ；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【解析】（1）当 时， ，
当 时，因为 ，所以此时不合题意；
当 时，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
要 ，只需 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，则由 得 ，
所以 ，故实数b的取值范围为 ．
（2）当 时， ， ，
令 ，则 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，所以 有两个零点，
若 ，则 ， 单调递增，不可能有两个零点，所以 ，
令 得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，因为 有两个零点，所以 ，则 ，
设 ，因为 ， ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，取对数得 ，
令 ， ，则 ，即
①令 ，则 ，因为 ，所以 在 上单调递减，在 上
单调递增，
令 ，
则 ， 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
亦即 ，
因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，
则 ，整理得 ，
所以 ，故①成立
②令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即 ，
因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，故②成立．③令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，则 ，
∴ ，则 ，
两边约去 后化简整理得 ，即 ，
故③成立．
【典例6-2】已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 时，都有 ，求实数 的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数 满足 ，求证： .
【解析】（1）函数 的定义域为 ， .
①当 时，令 ，即 ，解得： .
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
②当 时，则 ，所以函数 在 上单调递增.
综上所述：当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，函数 在 上单调递增.
（2）当 时，都有 ，即 ，
亦即 对 恒成立.令 ，只需 .
.
令 ，则 ，所以当 时， ，
所以 在 上单增，所以 ，
所以当 时， .
所以 ，所以 在 上单减，
所以 .
所以 .
综上所述：实数 的取值范围为 .
（3） 可化为： .
令 ，上式即为 .
由（1）可知： 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 为 的两根，其中 .
不妨设 ，要证 ，只需 ，即 ，
只需证 .
令 .
则
当 时， ；当 时， .
由零点存在定理可得：存在 ，使得 .当 时， ， 单增；当 时， ， 单减；
又 ，所以 .
.
因为 ， ，
所以 .
所以 恒成立.
所以 .
所以 .
所以
即证.
【变式6-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
【解析】（1）函数 的定义域为 .
当 时，函数 无零点，不合乎题意，所以， ，
由 可得 ，
构造函数 ，其中 ，所以，直线 与函数 的图象有两个交点，
，由 可得 ，列表如下：
增 极大值 减所以，函数 的极大值为 ，如下图所示：
且当 时， ，
由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
故实数 的取值范围是 .
（2）证明：因为 ，则 ，
令 ，其中 ，则有 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
因为方程 有两个实根 、 ，令 ， ，
则关于 的方程 也有两个实根 、 ，且 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
由已知 ，所以， ，整理可得 ，
不妨设 ，即证 ，即证 ，
令 ，即证 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，故原不等式成立.题型七：拐点偏移问题
【典例7-1】已知函数 ， ．
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)设 ，试讨论函数 的单调性；
(3)当 时，若存在实数 ， 满足 ，求证： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得： ．
验证：当 时， ，
易得 在 处取得极大值．
（2）因为 ，
所以 ，
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减；
②若 ， ，
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（3）证明：当 时，因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为1，
所以 ，
即 ，所以 ，
当 时， 此时不存在 ， 满足等号成立条件，
所以 ．【典例7-2】已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）对实数 ，令 ，正实数 ， 满足 ，求 的最小值.
【解析】（1） .
若 ，当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减.
若 ，当 时， ，即 在（ ， 上均单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减.
若 ，则 ，即 在 上单调递增.
若 ，当 时， ，即 在 ， 上均单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减.
（2）当实数 时， ，
，
，
，
令 ， ，
由于 ，知当 时， ，即 单调递减；
当 时， ，即 单调递增.
从而， ，
于是， ，即 ，
而 ，所以 ，
而当 ， 时， 取最小值6.
【变式7-1】已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得 ．
验证：当 时， 在 处取得极大值．
（2）因为
所以 ．
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减．
②若 ， ，
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减．
（3）证明：当 时， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．令 ， ，
则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 ．
所以 ，
即 ，所以 或 ．
因为 为正实数，所以 ．
当 时， ，此时不存在 满足条件，
所以 ．
【变式7-2】已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程.
（2）若正实数 满足 ，求证： .
【解析】（1） ，切点为 .
， .
切线为： ，即 .
（2）
.
令 ， ， ，
，
， ， 为减函数，
， ， 为增函数，
，所以 .
即 .
得： ，得到 ，即： .
【变式7-3】已知函数 ， ，当 时， 恒成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若正实数 、 满足 ，证明： ．
【解析】（1）根据题意，可知 的定义域为 ，
而 ，
当 时， ， ，
为单调递增函数，
当 时， 成立；
当 时，存在大于1的实数 ，使得 ，
当 时， 成立，
在区间 上单调递减，
当 时， ；
不可能成立，
所以 ，即 的取值范围为 .
（2）证明：不妨设 ，
正实数 、 满足 ，
有（1）可知， ，
又 为单调递增函数，
所以 ，
又 ，
所以只要证明： ，
设 ，则 ，
可得 ，
当 时， 成立，
在区间 上单调增函数，
又 ，
当 时， 成立，即 ，
所以不等式 成立，所以 .
1．已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
【解析】（1）当 时， ，则 ；
令 ，解得： 或 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）（i）由 得： ，
恰有 个正实数根 ， 恰有 个正实数根 ，
令 ，则 与 有两个不同交点，
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
当 从 的右侧无限趋近于 时， 趋近于 ；当 无限趋近于 时， 的增速远大于 的增速，则
趋近于 ；
则 图象如下图所示，当 时， 与 有两个不同交点，
实数 的取值范围为 ；
（ii）由（i）知： ， ，
， ，
，
不妨设 ，则 ，
要证 ，只需证 ，
， ， ，则只需证 ，
令 ，则只需证当 时， 恒成立，
令 ，
，
在 上单调递增， ，
当 时， 恒成立， 原不等式 得证.2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明： .
【解析】（1） ，
令 ，
则 ， ；
当 时， ， 在 上单调递减，
又 ， ， ，使得 ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，又当 时， ， ；
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）由（1）知：若 ，则 ，
要证 ，只需证 ，
， ，
又 在 上单调递减，则只需证 ，
，则只需证 ，即证 ，
则需证 ，又 ，
只需证 ，即证 ，
令 ，
则 ， ，
在 上单调递减， ，
在 上单调递增， ，，原不等式得证.
3．（2024·安徽淮北·一模）已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 上有两个不相等的零点 ，求证： .
【解析】（1） ， .
①当 时， 恒成立， 单调递增；
②当 时，由 得， ， 单调递增，
由 得， ， 单调递减.
综上：当 时， 单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减.
（2）∵ 在 上有两个不相等的零点 ， ，不妨设 ，
∴ 在 上有两个不相等的实根，
令 ， ，∴ ，
由 得， ， 单调递减，由 得， ， 单调递增，
， ， ， ，
∴
要证 ，即证 ，又∵ ，
只要证 ，即证 ，
∵ ，即证
即证 ，即证 ，即证
令 ， ，∴ ，
令 ， ，则 ，当 时， 恒成立，所以
在 上单调递增，又 ，∴ ，∴ ，∴∴ 在 上递增，∴ ，∴
.
∴
4．已知函数 ， ，当 时， 恒成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若正实数 、 满足 ，证明： ．
【解析】（1）根据题意，可知 的定义域为 ，
而 ，
当 时， ， ，
为单调递增函数，
当 时， 成立；
当 时，存在大于1的实数 ，使得 ，
当 时， 成立，
在区间 上单调递减，
当 时， ；
不可能成立，
所以 ，即 的取值范围为 .
（2）证明：不妨设 ，
正实数 、 满足 ，
有（1）可知， ，
又 为单调递增函数，
所以 ，
又 ，
所以只要证明： ，
设 ，则 ，
可得 ，
当 时， 成立，
在区间 上单调增函数，
又 ，当 时， 成立，即 ，
所以不等式 成立，
所以 .
5．已知函数 .
(1)若 的极小值为-4，求 的值；
(2)若 有两个不同的极值点 ，证明： .
【解析】（1） ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， 取得极小值 ，
由 ，解得 或 （舍去）.
故 的值为 。
（2）由题意可知，方程 有两个不同的正实数根 ，即 有两个不同的实
数根 .
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
验证可知， ，
由 得 ，所以 .
当 时，方程 ，即方程 ，则 有两个不同的正实数根 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
不妨设 ，则 .令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，则当 时， ，
所以
又 ，函数 在 上单调递减，
所以 ，则 ，
因为 ，故 .
6．（2024·云南·二模）已知常数 ，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围;
(2)若 、 是 的零点，且 ，证明: .
【解析】（1）由已知得 的定义域为 ，
且
，
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增.
所以 在 处取得极小值即最小值，
，
，
，即 的取值范围为 .
（2）由（1）知， 的定义域为 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且 是 的极小值点.
、 是 的零点，且 ，、 分别在 、 上，不妨设 ，
设 ，
则
当 时， ，即 在 上单调递减.
，
，即 ，
，
，
，
，
又 ， 在 上单调递增，
，即 .
7．已知函数 有两个零点 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
【解析】（1）由 得 ，
则由 有两个零点知方程 有两个不同的实数根．
令 ，则 ，
由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
而 ，当 时， ，当 时， ，
故 ，即 ，实数 的取值范围为 ．
（2）法一、
由（1）知 ，令 ，则 ．由 得 ，
要证 ，只需证 ，
只需证 ，即证 ，
即证 ．
令 ，
则 ，
令 ， ，则 ，
所以 单调递增，即 ，
故 在 上恒成立，
即 在 上单调递减，故 ，得证．
法二、
由（1）知 ，
当 时，显然 ．
当 时，则 ，
要证 ，只需证 ，
又 且 在 上单调递增，
故只需证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ， 在 上单调递减，
所以 ，故 ，所以 在 上单调递减，则 ，
又 ，所以当 时， ，即 ．
8．已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明 .
【解析】（1） 时， ，
故 ，
在 上单调递增.
（2）关于 的方程 有两个不同实根 , ，
即 有两不同实根 ， ，得 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
时， 取得最大值 ，且 ，得图象如图：.
，则 ，
即当 时， 有两个不同实根 ， ，
两根满足 ， ，两式相加得： ，两式相减地 ，
上述两式相除得 ，
不妨设 ，要证： ，
只需证： ,即证 ，
设 ，令 ，
则 ，
函数 在 上单调递增，且 ,
，即 ，
.
9．已知函数 （其中 为自然对数的底数）.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 为两个不相等的实数，且满足 ，求证： .
【解析】（1） ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的增区间为 ，减区间为 .
（2）证明：将 两边同时除以 得 ，即 ，
所以 ，
由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，当 时， ，
设 ，则 ，
令 ，
则 ，由 得 ，所以 ， ，
所以 ， 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
当 时， ，即 ，即 ，
又 ，所以 ，
又 ， ， 在 上单调递减，
所以 ，即 .
10．已知函数 .
(1)若 有唯一极值，求 的取值范围；
(2)当 时，若 ， ，求证： .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时，若 ， ，函数 在 上单调递增，无极值点，不符合题意；
若 ，当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，函数 有两个极值点，不符合题意；
若 ，当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，函数 有两个极值点，不符合题意；
当 时，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，2是函数 的极大值点，且是唯一极值点，
所以 的取值范围是 .
（2）当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ， ，不妨令 ，
要证 ，只证 ，即证 ，就证 ，
令 ，求导得，于是函数 在 上单调递减， ，
而 ，则 ，即 ，又 ，
因此 ，显然 ，又函数 在 上单调递增，则有 ，
所以 .
11．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在 轴上，另一个顶点 在函数
图象上
(1)当顶点 在 轴上方时，求 以 轴为旋转轴，边 和边 旋转一周形成的面所围成的几何
体的体积的最大值；
(2)已知函数 ，关于 的方程 有两个不等实根 .
（i）求实数 的取值范围;
（ii）证明： .
【解析】（1）因为 在 轴上方，所以： ；
为直角三角形，所以当 轴时，所得圆锥的体积才可能最大.
设 ，则 ， （ ）.
设 （ ），则 ，由 .
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 .
从而： .
（2）（i）因为 ，即 ，即 ，
令 ，所以 ，因为 为增函数，所以 即 ，
所以方程 有两个不等实根 等价于 有两个不等实根 ，
令 ，所以
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.所以
.
当 时， ；当 时，由洛必达法则知 ；
所以 .
（ii）由（i）知， ，
令 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，即 在 单调递增， ，
所以 .
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ， ，且 在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
12．已知函数 .若 有两个零点 ，证明： .【解析】由题意得 ，令 ，则 ， ，
所以 在 上单调递增，故 至多有 解；
又因为 有两个零点 ，所以， 有两个解 ，
令 ， ，易得 在 上递减，在 上递增，所以 .
此时 ，两式相除，可得： .
于是，欲证 只需证明： ，
下证 ：
因为 ，
不妨设 ，则只需证 ，
构造函数 ，则 ，
故 在 上单调递减，故 ，即 得证，
综上所述：即证 .
13．已知函数 的图像与直线 交于不同的两点 ， ，求证： ．
【解析】证明：由题意 ， ，令 ，得 ，
当 ， ，所以 在区间 上单调递减，
当 ， ，所以 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取到极小值.
所以 与 交于不同的两点 ， ，
所以不妨设 ，且 ，令 ，则 ，代入上式得 ，得 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以当 时， 为增函数， ，
所以 ，
故证： .
14．已知函数 ．
(1)若函数 和 的图象都与平行于 轴的同一条直线相切，求 的值；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： ．
【解析】（1）由题意：函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
由 可得， 图象与直线 相切．
，当 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数， ，
即 图象与直线 相切．
两函数图象均与平行于 轴的同一条直线相切，则 ，即 ．
（2） ，令 ，
由 ，得 ，
函数 在 上为减函数，故 ，即
即 ，不妨设 ，要证 ，只需证 ，
只需证 ，即证 ，
因为 ，
只需证 ，即 ，
令 ，
则 ，
在 上单调递增，
，
原题得证．
