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专题 08 导数压轴大题归类
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题型一： 不等式证明1：无参基础思维型.............................................................................................................1
题型二： 不等式证明2：有参数型基础证明.........................................................................................................2
题型三：极值点偏移：和型......................................................................................................................................2
题型四：极值点偏移：积型......................................................................................................................................3
题型五：极值点偏移：含参型..................................................................................................................................3
题型六：极值点偏移：平方型..................................................................................................................................4
题型七：极值点偏移：非对称型..............................................................................................................................5
题型八：比值代换型证明..........................................................................................................................................5
题型九：三零点型不等式证明..................................................................................................................................6
题型十：三角函数型不等式证明..............................................................................................................................7
题型十一： 零点与求参............................................................................................................................................7
题型十二：三个零点型求参......................................................................................................................................8
题型十三：恒成立求参：三角函数型......................................................................................................................8
题型十四：恒成立求参：整数解型..........................................................................................................................9
题型十五：能成立求参：双变量型........................................................................................................................10
题型一： 不等式证明 1：无参基础思维型
证明不等式基础思维：
1.移项到一侧，证明函数的最值大于0（小于0）证明法
2.恒等变形，再证明新恒等式法。
1.（四川省金太阳普通高中高三第三次联考数学）已知函数 .
（1）讨论 的单调性.
（2）当 时，证明： .
2.已知函数 ．
（1）讨论函数 在 上的单调性；
（2）若 ，求证： 在 上恒成立.
3.（2022·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数 ．（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，求证： ．
题型二： 不等式证明 2：有参数型基础证明
有参数型不等式证明：
通过参数范围，确定函数的单调性，然后利用最值放缩证明不等式
1.（2024高三·全国·专题练习）设函数 ．
(1)当 ，求 在点 处的切线方程；
(2)证明：当 时， ；
2.（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
3.（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： ．
题型三：极值点偏移：和型
处理极值点偏移问题中的类似于 的问题的基本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结论.
1.（22-23高三·广东深圳·阶段练习）已知函数
(1)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 是两个不相等的实数，且 ．求证：
2.（22-23高三·陕西安康）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若函数 有两个不同零点 ，求 的取值范围，并证明 .
3.（2023·河南平顶山·模拟预测）已知函数 有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设 是 的两个零点，证明： ．
题型四：极值点偏移：积型
处理极值点偏移问题中的类似于 的问题的基本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 的范围，结合 的单调性，可得 与 的大小关系，由此证得结论.
1.（22-23高三上·北京房山·期中）已知函数
(1)求函数 单调区间；
(2)设函数 ，若 是函数 的两个零点，
①求 的取值范围；
②求证： ．
2.（2024·广东湛江·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个根 ， ，求实数a的取值范围，并证明： ．
3.（23-24高三 ·河南·阶段练习）已知函数 .
(1)若 有唯一极值，求 的取值范围；
(2)当 时，若 ， ，求证： .
题型五：极值点偏移：含参型含参型极值点偏移：
1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；
2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.
1.（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数 ．若函数 有两个不相等的零点
．
(1)求a的取值范围；
(2)证明： ．
2.（22-23高按·四川泸州）已知函数 ，e为自然对数的底数.
(1)若函数 在 上有零点，求 的取值范围；
(2)当 ， ，且 ，求证： .
3.（21-22高三·河南郑州·）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)若 ，且 ，证明：
题型六：极值点偏移：平方型
对于平方型，可以应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
1.（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在 轴上，另一个顶点 在函数
图象上
(1)当顶点 在 轴上方时，求 以 轴为旋转轴，边 和边 旋转一周形成的面所围成的几何体
的体积的最大值；
(2)已知函数 ，关于 的方程 有两个不等实根 .
（i）求实数 的取值范围;
（ii）证明： .2.（22-23高三·辽宁·模拟）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： .
3.（2023·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
题型七：极值点偏移：非对称型
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
2.（22-23高三·福建福州）已知函数 （ ）．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， （ ），求证： ．
3.（21-22高三·浙江·模拟）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 的图象与 的图象交于 ， 两点，证明：
.
题型八：比值代换型证明应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
构造对数不等式时，比值代换是常见经验思维：
1.一般当有对数差时，可以运算得到对数真数商，这是常见的比值代换形式
2.两个极值点（或者零点），可代入得到两个“对称”方程
3.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。
1.（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知函数 为函数 的导函数．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ，存在 ，证明： ．
2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明 .
3.（21-22高三·重庆·模拟）已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求 的最值；
(2)证明： .
题型九：三零点型不等式证明
三个零点型不等式证明常见思维，关键是问题的转化．证明不等式问题第一步转化是消元，把三个根用
一个变量 表示，第二步构造新函数 ，证明 的最小值 ，第三步由导数求得极小值点
的范围，并对 变形，第四步换元 ，最终转化为关于 的多项式不等式，问题易于解决．
1. （广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三上学期四校联考数学试题）
已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 且 ，证明： ， ；（3）记方程 的三个实根为 ， ， ，若 ，证明： .
2. （ 浙 江 省 舟 山 中 学 2021-2022 学 年 高 三 上 学 期 12 月 月 考 数 学 试 题 ） 已 知 函 数
．
（1）求函数 的最小值；
（2）若 有三个零点 ，
①求 的取值范围；
②求证： ．
3.已知 ，关于x的方程 的不同实数解个数为k.
（1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围；
（2）若方程 的三个不同的根从小到大依次为 ，求证： .
题型十：三角函数型不等式证明
对于含有三角函数型不等式证明：
1.证明思路和普通不等式一样。
2.充分利用正余弦的有界性
1.（河南省开封市杞县高中2023届高三文科数学第一次摸底试题）已知函数 ．
(1)求函数 在 内的单调递减区间；
(2)当 时，求证： ．
2.（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）已知函数 ，
，其中 .
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明： .
3.已知函数 的图象在原点处的切线方程为 .
(1)求函数 的解析式；(2)证明： .
题型十一： 零点与求参
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函
数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的
值，就有几个不同的零点．
1.（23-24高三·广东清远·模拟）已知定义在正实数集上的函数 ， ．
(1)设两曲线 ， 有公共点为 ，且在点 处的切线相同，若 ，求点 的横坐标；
(2)在（1）的条件下，求证： ；
(3)若 ， ，函数 在定义域内有两个不同的零点 ，求实数 的取值范
围．
2.（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 处取得极值，不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若函数 在定义域内有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
3.（22-23高三上·福建福州·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
题型十二：三个零点型求参
1.（23-24高三·湖北省直辖县级单位·模拟）若函数 ，当 时，函数 有极值 .
(1)求函数的极值；
(2)若关于 的方程 有三个零点，求实数 的取值范围.
2.（23-24高三·云南玉溪·模拟）设 ，曲线 在点 处的切线与 轴相交
于点 .
(1)求实数 的值；(2)若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
3.（2022高三·河南南阳·专题练习）若函数 ，当 时，函数 有极值 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若关于 的方程 有三个零点，求实数 的取值范围．
题型十三：恒成立求参：三角函数型
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
2.（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最值；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围．
3.（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，判断当 时函数 的单调性；
(2)当 时， 在 恒成立，求 的最大值.
题型十四：恒成立求参：整数解型解决不等式恒成立问题，常用方法有：
（1）将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；
（2）直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等
于）0，解不等式即可.
1.（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数 ，其导函数为
.
(1)若 在 不是单调函数，求实数 的取值范围；
(2)若 在 恒成立，求实数 的最小整数值.
2.（2023下·天津滨海新·高二统考期末）已知函数 ， .
(1)若 ，求m的值及函数 的极值；
(2)讨论函数 的单调性：
(3)若对定义域内的任意x，都有 恒成立，求整数m的最小值.
3.（2023下·辽宁朝阳·高二校联考期末）已知函数 ，
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若 对任意的 恒成立，求整数a的最小值；
(3)求证 ，
4.（2023下·江苏苏州·高二统考期中）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若对任意 ，有 恒成立，求整数m的最小值．
题型十五：能成立求参：双变量型恒（能）成立问题的解法：
若 在区间D上有最值，则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
若能分离常数，即将问题转化为： （或 ），则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
1.（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ， ．
(1)求 的极值；
(2)若存在 ，对任意的 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．（
）
2.（2023上·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)若直线 是曲线 的一条切线，求 的值；
(2)若对于任意的 ，都存在 ，使 成立，求 的取值范围．
3.（2023上·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)若存在 ，使得 ，求a的取值范围．
