文档内容
拔高点突破 05 函数与导数背景下的新定义压轴解答题
目录
01 方法技巧与总结..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结..............................................................................................................................2
题型一：曲率与曲率半径问题............................................................................................................2
题型二：曼哈顿距离与折线距离......................................................................................................13
题型三：双曲正余弦函数问题..........................................................................................................16
题型四：凹凸函数..............................................................................................................................21
题型五：二元函数问题......................................................................................................................26
题型六：切线函数新定义..................................................................................................................30
题型七：非典型新定义函数..............................................................................................................37
题型八：拐点、好点 、不动点、S点..............................................................................................46
题型九：各类函数新概念..................................................................................................................51
03 过关测试.........................................................................................................................................561、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查
考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，
重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
2、设 为平面上两点，则定义 为“折线距离”“直角距离”或
“曼哈顿距离”，记作 ．
结论1：设点 为直线 0外一定点， 为直线 上的动点，则
结论2：设点 为直线 上的动点，点 为直线 上的动点，则
．
题型一：曲率与曲率半径问题
【典例1-1】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线 ，存在圆 满足如下条件：
①圆 与曲线 有公共点 ，且圆心在曲线 凹的一侧；
②圆 与曲线 在点 处有相同的切线；
③曲线 的导函数在点 处的导数（即曲线 的二阶导数）等于圆 在点 处的二阶导数（已知圆在点 处的二阶导数等于 ）；
则称圆 为曲线 在 点处的曲率圆，其半径 称为曲率半径．
(1)求抛物线 在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线 的曲率半径的最小值；
(3)若曲线 在 和 处有相同的曲率半径，求证： ．
【解析】（1）
记 ，设抛物线 在原点的曲率圆的方程为 ，其中 为曲率半径．
则 ， ，
故 ， ，即 ，
所以抛物线 在原点的曲率圆的方程为 ；
（2）设曲线 在 的曲率半径为 ．则
法一： ，
由 知， ，所以 ，
故曲线 在点 处的曲率半径 ，
所以 ，则 ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，曲线 在点 处的曲率半径 ．
法二： ， ，
所以 ，而 ，
所以 ，解方程可得 ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，曲线 在点 处的曲率半径 ．
（3）法一：函数 的图象在 处的曲率半径 ，
故 ，由题意知： 令 ，
则有 ，
所以 ，即 ，故 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
法二：函数 的图象在 处的曲率半径 ，
有
令 ，则有 ，
则 ，故 ，
因为 ，所以 ，
所以有 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ，所以 ，即 ；
法三：函数 的图象在 处的曲率半径 ．
故设 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故有 ，
所以 ，
要证 ，即证 ，
即证 将 ，
下证：当 时，有 ，
设函数 （其中 ），
则 ，
故 单调递增， ，
故 ，所以 ．
法四：函数 的图象在 处的曲率半径 ，
有 ，
设 ．
则有 ，
所以当 时 ，当 时 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
故有 ，
所以 ，要证 ，即证 ，
即证 ．将 ，
下证：当 时，有 ，
设函数 （其中 ），
则 ，
故 单调递增，故 ，
故 ，所以 ．
【典例1-2】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原
因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示
的光滑曲线 上的曲线段AB，设其弧长为 ，曲线 在A，B两点处的切线分别为 ，记 的夹角
为 ，定义 为曲线段 的平均曲率，定义 为曲线
在其上一点 处的曲率．（其中 为 的导函数， 为 的导函数）
(1)若 ，求 ；
(2)记圆 上圆心角为 的圆弧的平均曲率为 ．
①求 的值；
②设函数 ，若方程 有两个不相等的实数根 ，证明：
，其中 为自然对数的底数， ．
【解析】（1） ，
所以 ，因此 .
（2）①由圆的性质知圆 上圆心角为 的圆弧的弧长为 .
弧的两端点处的切线对应的夹角 ，
所以该圆弧的平均曲率 ，也即 .
②由于 ，故 ，
又 ， ，
所以 在 上单调递减，而 .
因此必存在唯一的 使得 且 在 上为正，在 为负，即 在 上
单调递增，在 上单调递减，
而 ，又 ，
，
所以 使得 ，即 的图象与 轴有且仅有两个交点 ，易得 在 处的切
线方程为 ，
在 处的切线方程为 ，
下面证明两切线 的图象不在 的图象的下方:
令 ，则 .
因为 ，所以 在 单调递减，而 ，
所以 在 上为正，在 为负，即 在 上单调递增，在 单调递减，
因此 ，即 ，即 的图象恒在其图象上的点 处的切线的下方(当且仅当 时重合) .
同理可证(将 视为 即可)，
设直线 与两切线 交点的横坐标分别为 ，
则易得 且 ，
因为 ，故 ，
所以 ，
因此 .
【变式1-1】定义：若 是 的导数， 是 的导数，则曲线 在点 处的曲率
；已知函数 ， ，曲线 在点
处的曲率为 ；
(1)求实数a的值；
(2)对任意 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程 在区间 内的根为 ，…比较 与 的大小，
并证明．
【解析】（1）由已知 ，
所以 ，解得 （ 舍去），
所以 ；
（2）由（1）得 ， ，
则 ，
对任意的 ， ，即 恒成立，令 ，则 ，不等式恒成立，
当 时， ，原不等式化为 ，
令 ，
则
，
所以 在区间 单调递增，所以 ，
所以 ，
综上所述，实数m的取值范围为 ；
（3） ，证明如下：
由已知方程 可化为 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在区间 上单调递减，
故
，
，
所以存在唯一 ，使得 ，
又 ， ，
则由 单调递减可得 ，
所以 .
【变式1-2】（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳
闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现
代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线 上
的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从 沿曲线段 运动到 点时， 点的切线 也随着转动到 点的
切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，
夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 为
曲线段 的平均曲率；显然当 越接近 ，即 越小， 就越能精确刻画曲线 在点 处的弯曲程度，
因此定义 （若极限存在）为曲线 在点 处的曲率.（其中 ， 分别表示
在点 处的一阶､二阶导数）
(1)已知抛物线 的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点 处的曲率是多少？
(2)若函数 ，不等式 对于 恒成立，求 的取值范围；
(3)若动点 的切线沿曲线 运动至点 处的切线，点 的切线与 轴的交点为
.若 ， ， 是数列 的前 项和，证明 .
【解析】（1） 抛物线 的焦点到准线的距离为3， ，
即抛物线方程为 ，即 ，则 ， ，
又抛物线在点 处的曲率，则 ，即在该抛物线上点 处的曲率为 ；
（2） ，
在 上为奇函数，又 在 上为减函数.
对于 恒成立等价于 对于 恒成立.
又因为两个函数都是偶函数，
记 ， ，则曲线 恒在曲线 上方，
， ，又因为 ，
所以在 处三角函数 的曲率不大于曲线 的曲率，即 ，
又因为 ， ，
， ，所以 ，解得： ，
因此， 的取值范围为 ；
（3）由题可得 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 ，
令 ，得 ，即 ，
显然 ， ，
由 ，知 ，同理 ，
故 ，从而 ，
设 ，即 ，所以数列 是等比数列，
故 ，即 ，从而 ，所以 ， ，
，
当 时，显然 ；
当 时， ，
，
综上， .
题型二：曼哈顿距离与折线距离
【典例2-1】（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ，
，那么称 为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点 ， 分别在直线 ， 上，点 与点 ， 的曼哈顿距离分别为
， ，求 和 的最小值；
(2)已知点N是直线 上的动点，点 与点N的曼哈顿距离 的最小值
记为 ，求 的最大值；
(3)已知点 ，点 （k，m， ，e是自然对数的底），当 时， 的最大值为
，求 的最小值．
【解析】（1） ，
则 ，即 的最小值为 ；
，则 ，即 的最小值为 .
（2）当 时， ，
点 为直线 上一动点，
则当 时 ，
即 ；
当 时， ，
即 ；
所以 ，又当 时， ，
当 时， ，
所以 的最大值为 .
（3）令 ，则 ， ，
，
令 ，则 在区间 内成立，
则 在区间 内单调递增，则 ，
令 ，则 在区间 内成立，
则 在区间 内单调递减，则 ，
所以 ，
所以 ，
当 且 时，取最小值，
的最小值
【典例2-2】（2024·高三·广西防城港·阶段练习）若设 为曼哈顿扩张距离，它由 个绝对值之和组成，其中 为正整数.如：
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 对一切实数 恒成立，设 ， ，且 ，求 的最大值.
【解析】（1）依题意， ，
当 时， ，解得 ，于是 ，
当 时， ，于是 ，
当 时， ，解得 ，于是 ，
所以 的取值范围是 .
（2） 对一切实数 恒成立，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，
则 ，因此 ，当且仅当 时取等号，根据柯西不等式得 ，
则 ，解得 ，当且仅当 时等号成立，
所以当 时， 取得最大值 .
【变式2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫
斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网
中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用
表示，又称“曼哈顿距离”，即 ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 ，
，则
(1)①点 ， ，求 的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点 ，直线 ，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；(3)设三维空间4个点为 ， ，且 ， ， ．设其中所有两点“曼哈顿距
离”的平均值即 ，求 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
【解析】（1）① ；
②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为 ，则 ，即 .
（2）设直线 上任意一点坐标为 ，则 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ，
综上所述， 的最小值为2.
（3）
如图， 为正方体，边长为1，则 对应正方体的八个顶点，
当四个点在同一个面上时，
（i）例如： ，此时 ；
（ii）例如： ，此时 ；
当四个点不在同一个平面时，
（iii）例如： ，此时 ；
（iiii）例如： ，此时 ；
（iiiii）例如： ，此时 ；
（iiiiii）例如： ，此时 ；综上所述， 的最大值为2，例如： ， ， ， .
题型三：双曲正余弦函数问题
【典例3-1】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）定义：双曲余弦函数 ，双曲正弦函数
．
(1)求函数 的最小值；
(2)若函数 在 上的最小值为 ，求正实数 的值；
(3)求证：对任意实数 ，关于 的方程 总有实根．
【解析】（1）依题意有
，
令 ，则 .
因为 在R上单调递增，
当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
所以 ，所以当 时，即 时，
函数 有最小值 ．
（2）函数 在 上的最小值为 ，
即函数 有最小值 ．
因为
令 ，则 ，
因为最小值为 ，所以 ，解得 ，所以正实数 的值为 ．
（3）证明：令 ，定义域为 ，
则 ，
又 ，所以 是奇函数，
因为 是 上的增函数，
所以 在 上单调递增，且当 趋近于 时， 趋近于1，
所以函数 在 上的值域为 ，
直线 过定点 ，
如图所示：无论 取任何实数，直线 与函数 的图象都有交点，
即对任意实数 ，关于 的方程 总有实根．
【典例3-2】（2024·高三·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链
线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论: _____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2) ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，试比较 与 的大小关系，并证明你的结论.
【解析】（1） .
（2）依题意， ，不等式 ，
函数 在 上单调递增， ，令 ，
显然函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
又 ，于是 ， ，
因此 ， ，显然函数 在 上单调递减，
当 时， ，从而 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3） ， .
依题意， ，
，
当 时， ， ，即 ，
于是 ，而 ，因此 ，
当 时， ，则 ， ，
即 ，而 ，因此 ，
于是 ， ，所以 .
【变式3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函
数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： ，双曲余弦函数： ，
（ 是自然对数的底数）.
（1）解方程： ；（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式： ________，并证明；
（3）无穷数列 ， ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不
存在，说明理由.
【解析】（1）由题意得： ，即 ，解得： ；
（2）
左边 ，
右边
，
∴左边等于右边，即 成立
（3）当 时，存在 ，使得 ，
由数学归纳法证明： ，证明如下：
ⅰ）当 时， 成立，
ⅱ）假设 时， ，则 成立.
综上： .
∴ ，有 ，即 .
当 时，由 ，函数 的值域为 ，对于任意大于1的实数
，存在不为0的实数 ，使得 ，类比余弦二倍角公式，猜测 .
证明如下：
.
类比 时的数学归纳法，由 ，易证 ， ，
…， ，…，
∴若 ，设 ，则 ，解得： 或 ，即 ，∴ ，于是 .
综上：存在实数 使得 成立.
题型四：凹凸函数
【典例4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：函数 的导函数为 ，我们称函数 的导函数
为函数 的二阶导函数.已知 ， .
（1）求函数 的二阶导函数；
（2）已知定义在 上的函数 满足：对任意 ， 恒成立. 为曲线 上的任意一点.求证：
除点 外，曲线 上每一点都在点 处切线的上方；
（3）试给出一个实数 的值，使得曲线 与曲线 有且仅有一条公切线，并证明你的结论.
【解析】（1）∵ ，∴ ，
∴ .
（2）设 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ，
设 ，则 ， ，
∴ 在 上递增，又 ，
∴当 时， ：当 时， ，
∴ 在 递减，在 递增，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴除点 外，曲线 上每一点都在点 处切线的上方.
（3）给出 ，此时 ，
∵ ，∴ ，又 ，
∴曲线 在 如的切线为 ，
∵ ，∴ ，又 ，
∴曲线 在 处的切线为 ，∴两曲线有一条公切线 .
下面证明它们只有这一条公切线.
①先证明 ， ，当且仅当 时取等号.
设 ，则 ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ 在 上递增，又 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 递减，在 递增.
∴ ， ，当且仅当 时取等号，
∴ ， ，当且仅当 时取等号；
②再证明它们没有其它公切线.
若它们还有一条公切线 ，它与曲线 切于点 ，
与曲线 切于点 ，显然 ， ， .
∵ ，由（2）知 ， ，当且仅当 时取等号，
∵ ∴ ，
又由①与 矛盾，故它们只有这一条公切线.
综上，当 时，曲线 与曲线 有且仅有一条公切线.．
【典例4-2】记 ， 为 的导函数．若对 ， ，则称函数 为
上的“凸函数”．已知函数 ， ．
（1）若函数 为 上的凸函数，求 的取值范围；
（2）若函数 在 上有极值，求 的取值范围．
【解析】（1） ，
若函数 为 上的凸函数，则 ，即 ，
令 ， ，则当 时， ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
， ，解得： ，的取值范围为 .
（2） ， ，
在 上有极值， 在 有变号零点，
，令 ，则 ，
， ， 在 上单调递增，
；
①当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
．即 ，
在 无零点，不合题意；
②当 ，即 时，则 ，使得 ，
当 时，， ， 单调递减，
又 ，当 时， ， 在 上无零点；
当 时， ， 单调递增，
又 时， ，
在 上有零点，且在零点左右两侧 符号相反，即该零点为 的变号零点，
在 上有极值；
综上所述： 的取值范围为 .
【变式4-1】设 为 的导函数，若 是定义域为D的增函数，则称 为D上的“凹函数”，
已知函数 为R上的凹函数．
(1)求a的取值范围；
(2)设函数 ，证明：当 时， ，当 时， ．
(3)证明： ．
【解析】（1）解 ，设 为 的导函数，
则 ．
设 ，则 ．当 时， ；当 时， ．
所以 在 上是减函数，在 上增函数．
所以 ．
因为 为R上的凹函数，所以 ，
解得 ，故a的取值范围是 ．
（2）证明 ， 的导函数 ．
若 ，则 ，若 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，则 ， 为增函数．
又 ，所以当 时， ，当 时， ．
（3）证明：由（2）知 ，
即 ，
所以 ．
由（1）知， ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
故 ．
【变式4-2】（2024·上海普陀·一模）若函数 同时满足下列两个条件，则称 在
上具有性质 ．
① 在 上的导数 存在；
② 在 上的导数 存在，且 （其中 ）恒成立．
(1)判断函数 在区间 上是否具有性质 ？并说明理由．(2)设 、 均为实常数，若奇函数 在 处取得极值，是否存在实数 ，使得
在区间 上具有性质 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设 且 ，对于任意的 ，不等式 成立，求 的最大值．
【解析】（1）令 ， ，
则 ， ，
， ，
当 时， 恒成立，
∴函数 在区间 上具有性质 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ 在 处取得极值，且 为奇函数，
∴ 在 处也取得极值，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
故 在 单调递减，在 单调递增，满足 在 处取得极值，
∴ ，
当 时， 恒成立，
∴存在实数 ，使 在区间 上恒成立，
∴存在实数 ，使得 在区间 上具有性质 ， 的取值范围是 ；
（3）∵ ，∴ ，
令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
又∵ ， ，
∴存在 ，使 ，
∴当 时， ， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， ， 在区间 上单调递增，
∴当 时， 的最小值为 ，
由 ，有 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ 恒成立，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ 的最大值为 .
题型五：二元函数问题
【典例5-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）设 是有序实数对构成的非空集， 是实数集，如果对于集合
中的任意一个有序实数对 ，按照某种确定的关系 ，在 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就
称 为从集合 到集合 的一个二元函数，记作 ，其中 称为二元函数 的
定义域.(1)已知 ，若 ，求
(2)非零向量 ，若对任意的 ，记 ，都有 ，则称
在 上沿 方向单调递增.已知 .请问 在 上沿向量 方向
单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有 ，
② ，使得 .
那么，我们称 是二元函数 的最小值.求
的最大值.
【解析】（1）由已知有 ，
则 ；
（2） ，
，
又 ，
，
故 在 上沿向量 方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道 的最大值的含义，
，其中 ，
（或者直接使用柯西不等式，
，当且仅当 时取等号.）
故 ，当 时取等号，（或当 时取等号），
又 ，根据对勾函数单调性易知当 或2时，函数 取最大值为 .【典例5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 在约束
条件 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 ，其中 为拉格
朗日系数．分别对 中的 部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解 ，就是二元函数 在约束条件
的可能极值点． 的值代入到 中即为极值．
补充说明：【例】求函数 关于变量 的导数．即：将变量 当做常数，即：
，下标加上 ，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 表示
分别对 进行求导．
(1)求函数 关于变量 的导数并求当 处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 满足 ，求 的最大值．
(3)①若 为实数，且 ，证明： ．
②设 ，求 的最小值．
【解析】（1）函数 ，对变量 求导得： ，
当 时， .
（2）令 ，
则 ，解得 或 ，
于是函数 在约束条件 的可能极值点是 ， ，
当 时，函数 的一个极值为函数 ，
当 时，函数 的一个极值为函数 ，
方程 视为关于x的方程： ，则 ，解得 ，视为关于y的方程： ，则 ，解得 ，
因此函数 对应的图形是封闭的，而 ，
所以 的最大值为 .
（3）①由 ， ，设 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，
所以 .
②当 时，
，当且仅当 时取等号，
所以 时， 取得最小值4.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知变量x，y，z，当x，y在某范围D内任取一组确定的值时，若变
量z按照一定的规律f，总有唯一确定的x，y与之对应，则称变量z为变量x，y的二元函数，记作
．已知二元函数 ．
(1)若 ，求 的最小值．
(2)对任意实数x，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）依题意得 ．
∵ ，∴ ，
当且仅当 ，即 时 取得最小值为9．
（2） ．∵ 恒成立，∴ ，
当 时， 恒成立．
当 时， 等价于 ，解得 ．
综上，实数a的取值范围是 ．
题型六：切线函数新定义
【典例6-1】若两个函数 与 在 处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为
.
(1)判断函数 与 是否相切；
(2)设反比例函数 与二次函数 相切，切点为 .求证：函数 与 恰
有两个公共点；
(3)若 ，指数函数 与对数函数 相切，求实数 的值；
(4)设（3）的结果为 ，求证：当 时，指数函数 与对数函数 的图象有三个公共点.
【解析】（1）对于函数 ，求导得 ，则 ，且 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为 ，
因此，函数 与 相切.
（2）反比例函数 与二次函数 在 处有相同的切线，
对函数 求导得 ，对函数 求导得 ，
所以 ，可得 ，因为 ，则 ，
代入 可得 ，所以， ，
此时令 得 ，它的一个解为 ，所以，方程 可化为 ，
解得 ， ，
所以，方程 的三个解为 ， ，
即函数 与函数 的两个公共点分别为 、 .
（3）设指数函数 与对数函数 在 处有相同的切线，
对函数 求导得 ，对函数 求导得 ，
由题意可得 ，令 ，
方程组 等价于 ，
因此即 ，
而 ，所以 ，
即 ，得 ，所以， ①，则 ，②
将①②代入 得 ，化简得 ，
所以， ，
因为 ，则函数 为严格减函数，则 ，
故 ，即 ，
构造函数 ，其中 ，则 且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，且 ，
故方程 的唯一解为 ，
因此， ， .
（4）证明：设函数 ，其中 且 ，
求导得 ，
令 ，则 ，
令 可得 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以， .
因为 ，则 ，
因为 ，所以，函数 在 内有一个零点，
在 内取 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，
因为 ，则 ，则 ，所以， ，
所以， 在 上单调递增，且 ，所以， ，
所以，函数 在 内也存在一个零点，
所以，函数 在 内共有两个零点，不妨设为 、 ，且 ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以，函数 有一个极大值 和一个极小值 ，
下面证明 ， ，
设函数 与直线 的交点为 ，所以， 为函数 的一个零点，所以， ，则 ，所以 ，
所以， 也为函数 的一个零点，
所以， ， ，
当 时，函数 为减函数，则函数 也为减函数，且 ，
因为 ，所以， ，
所以， ，所以， ，且 ，
所以， ， ，
因为 且 ，
所以，函数 在 内有一个零点，也是 上的唯一零点，
同理 ，且 ，
所以，函数 在 内有一个零点，也是 内的唯一零点，
综上所述，当 时，函数 共有三个零点.
【典例6-2】对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数 ，若对在 定义域内的给定常数 ，存
在数列 满足 在 的定义域内且 ，且对 在区间 的图象上有且
仅有在 一个点处的切线平行于 和 的连线，则称数列 为函数 的“ 关
联切线伴随数列”.
(1)若函数 ，证明： 都存在“ 关联切线伴随数列”；
(2)若函数 ，数列 为函数 的“1关联切线伴随数列”，且 ，求 的通项
公式；
(3)若函数 ，数列 为函数 的“ 关联切线伴随数列”，记数列 的前 项和为
，证明：当 时， .
【解析】（1）因为 ，则 ，
由题意可得： ，
则 ，即 ，且 ，
可知数列 为以 为首项， 为公比的等比数列，显然这样的数列对于给定的 是存在的，
所以 都存在“ 关联切线伴随数列”.
（2）因为 ，则 ，
设 ，即 ，
由题意可知： ，则 ，
可得 ，且 ，
可知数列 为以 为首项， 为公比的等比数列，
可得 ，所以数列通项公式为 .
（3）先证明 ，
设函数 ，
则 ， ，则 ，
定义 的导函数为 的导函数为 ，
则 ，
且 ， ，
令 ，则 ，
，
因为 ，
可知 在 内单调递增，则 ，
同理得 ， ，
故 ，
又 在 内单调递增，
在 有 有
因此取 ，有 ，
又 在 单调递减，在 单调递增，故 ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，
累加可得 ，
整理得 ，
所以 ；
综上所述： .
【变式6-1】（2024·广西·二模）定义：若函数 图象上恰好存在相异的两点 满足曲线 在
和 处的切线重合，则称 为曲线 的“双重切点”，直线 为曲线 的“双重切
线”.
(1)直线 是否为曲线 的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数 求曲线 的“双重切线”的方程；
(3)已知函数 ，直线 为曲线 的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值为
，若 ，证明： .
【解析】（1）不是，理由如下：
由已知 ，由 解得 ， ，
又 ， ，不妨设切点为 ， ，
在点 处的切线的方程为 ，即 ，
在点 的切线方程为 ，即 与直线 不重合，
所以直线 不是曲线 的“双重切线”．
（2）由题意 ，函数 和 都是单调函数，
则可设切点为 ，且 ，
所以在点 处的切线的方程为 ，在点 的切线方程为 ，
所以 ，消去 得 ，
设 （ ），
则 ，所以 是减函数，
又 ，所以 在 时只有一解 ，
所以方程 的解是 ，从而 ，
在点 处切线方程为 ，即 ，
在点 处的切线方程为 ，即 ，
所以“双重切线”方程为 ；
（3）证明：设 对应的切点为 ， ， 对应的切点为 ，
，
由于 ，所以 ， ，
由余弦函数的周期性，只要考虑 的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑 ，
情形，
则 ， ，
其中 ，
所以 ，
又 ， ，
即 ， ，
时， ， ，令 （ ），则 ， ，
在 上单调递减，又 ，所以 ，
所以 ，此时 ，则 ，
所以 ．
【变式6-2】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域
上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程 的其中一个根 在 的附近，如图所
示，然后在点 处作 的切线，切线与 轴交点的横坐标就是 ，用 代替 重复上面的过程
得到 ；一直继续下去，得到 ， ， ，……， ．从图形上我们可以看到 较 接近 ， 较 接
近 ，等等．显然，它们会越来越逼近 ．于是，求 近似解的过程转化为求 ，若设精度为 ，则把首次
满足 的 称为 的近似解．
已知函数 ， ．
(1)当 时，试用牛顿迭代法求方程 满足精度 的近似解（取 ，且结果保留小数点
后第二位）；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
曲线 在 处的切线为 ，且
曲线 在 处的切线为 ，且
故，用牛顿迭代法求方程 满足精度 的近似解为 ．
（2）由 ，得 ，设 ，
则
∴当 时， ， 单调递增，由于 时， ，不合题意；
当 时，则有 ， ， 单调递减， ， ， 单调递增，
即 ，即
易知 单调递增，且 ，故 .
题型七：非典型新定义函数
【典例7-1】（2024·湖南长沙·二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的
开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）
值.
对于函数 ，设自变量x从 变化到 ，当 ， 是一个确定的值，
则称函数 在点 处右可导；当 ， 是一个确定的值，则称函数
在点 处左可导.当函数 在点 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数
在点 处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数 .
（ⅰ）求函数 在 处的切线方程；
（ⅱ）若 为 的极小值点，求a的取值范围.
【解析】（1） ， 为该函数的极值点，
当 ， ，
当 ， ，
则该函数在 处的左导数为 ，右导数为1，
所以该函数在 处不可导.
（2）（ⅰ）根据题意， ，则切点 ，又 ，则 ，
所以切线方程为 ；
（ⅱ） ，
因为当 时， ，故 与 同号，
，先考察 的性质，
由于 为偶函数，只需分析其在 上的性质即可，
， ，
设 ，
则 ， ，
则必有 ，即 .
①否则，若 ，即 ，
则必存在一个区间 ，使得 ，
则 在 单调递减，又 ，
则 在区间 内小于0，则 在 单调递减，
又 ，故 在区间 内小于0，
故 在区间 内小于0，
则 不可能为 的极小值点.
②当 时， ，
令 ， ，
令 ，
则 ，
易知 在区间 上单调递增，
对 ， ，则 在区间 上大于0，
故 在区间 上单调递增.
故 在区间 上单调递增.
又 ，故 ，
故 在区间 上单调递增，
又 ，故 ，故 在区间 上单调递增，
又 ，故 ， ，
则 ， ，
故当 时， ，
由偶函数知 时， ，
故 为 的极小值点，
所以a的取值范围为 .
【典例7-2】（2024·高三·重庆·期中）若函数 在定义域内存在两个不同的数 ，同时满足
，且 在点 处的切线斜率相同，则称 为“切合函数”
(1)证明： 为“切合函数”；
(2)若 为“切合函数”，并设满足条件的两个数为 ．
（ⅰ）求证： ；
（ⅱ）求证： ．
【解析】（1）假设存在两个不同的数 ，满足题意，
易知 ，由题意可得
，
即 ，， ， ，
，
又 ，
所以 .
因为 ，即 ，
化简可得 ，又 ，
所以 ，
代入 ，
可得 或 ，
所以 为“切合函数”.
（2）由题意知 ，
因为 为“切合函数”，
故存在不同的数 (不妨设 )使得
，
即 ，
整理得 ，
（ⅰ）先证 ，
即 ，
，
令 ，则由 ，知 ，
要证 ，只需证 ，即 ，
设 ，
易知 ，
故 在 单调递减，所以 ，
故有 ，
由上面的 式知 ,
所以 .
（ⅱ）由上面的 得 ，
，
又 ，
所以 且 ，
故要证 ，
只需证 ，
即 ，
设 ，
则即证，
设 ，
则 ，
即 也就是 在 单调递增，
，
所以 在 单调递增，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以原不等式成立.
【变式7-1】（2024·上海·模拟预测）已知函数 ，如果存在常数 ，对任意满足
的实数 ，其中 ，都有不等式
恒成立，则称函数 是“绝对差有界函数”
(1)函数 是“绝对差有界函数”，求常数 的取值范围；
(2)对于函数 ，存在常数 ，对任意的 ，有 恒成立，
求证：函数 为“绝对差有界函数”
(3)判断函数 是不是“绝对差有界函数”？说明理由
【解析】（1） ，
， ，
即当 ， 单调递增；当 ， 单调递减.所以 ,
单调递增时， ，
单调递减时， .
且当 无限趋向于正无穷大时， 无限趋向于0，
所以 .
所以 ·
（2） 成立，则可取 ，
所以函数 为“绝对差有界函数”
（3） ，
则有 ，
所以对任意常数 ，只要 足够大，就有区间 的一个划分
满足 ，
所以函数 不是 的“绝对差有界函数”.
【变式7-2】（2024·上海·三模）设函数 的定义域为D，对于区间 ，当且仅当函数
满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间 是 的一个“美好区间”．
性质①：对于任意 ，都有 ；性质②：对于任意 ，都有 ．
(1)已知 ， ．分别判断区间 和区间 是否为函数 的“美好区间”，并
说明理由；
(2)已知 且 ，若区间 是函数 的一个“美好区间”，求实
数 的取值范围；
(3)已知函数 的定义域为 ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意 ，都有．求证：函数 存在“美好区间”，且存在 ，使得 不属于函数
的任意一个“美好区间”．
【解析】（1）区间 和区间 都是函数 的“美好区间”，理由如下：
由 ，
当 时， ，所以区间 是函数 的“美好区间”
当 时， ，所以区间 是函数 的“美好区间”
（2）记 ，
若区间 是函数 的一个“美好区间”，则 或
由 ，可得 ，
所以当 或 时， ，则 的单调递增区间为： ， ；
当 时， ，则 的单调递增区间为： ，
且 ， ， ，得到 在 的大致图像如下：
(i)当 时， 在区间 上单调递减，且 ，
所以 ，则 ，即对于任意 ，都有 ，满足性质②,
故当 时，区间 是函数 的一个“美好区间”；
(ii)当 ， 在区间 上单调递减，在 上单调递增，此时 ，
所以 ， ，则当 时，区间 不是函数 的一个
“美好区间”；
(iii)当 时， 在区间 上单调递减，在 上单调递增，且 ，此时
，所以 ， ，则当 时，区间 不是函数 的一个“美
好区间”；
(iv)当 时， 在区间 上单调递减，在 上单调递增，且 ，此时 ，
因为 ，则要使区间 是函数 的一个“美好区间”，则 ，即 ，
构造函数 ，
则 ，
由于 ，所以 恒成立，则 在区间 上单调递增，
所以 ，则 ，不满足题意，
故当 时，区间 不是函数 的一个“美好区间”，
综上，实数 的取值范围是
（3）对于任意区间 ，记 ，
因为对于任意 ，都有 ，
所以 在区间 上单调递减，故 ，
因为 ，即 的长度大于 的长度，故 不满足性质①，
所以若 为 的“美好区间”必满足性质②，即 ，
即只需要 或 ，
由 显然不恒成立，所以存在常数 使得 ，
如果 ，取 ，则区间 满足性质②；
如果 ，取 ，则区间 满足性质②；
综上，函数 一定存在“美好区间”；
记 ，则 的图象连续不断，下证明 有零点，
由于 在 上单调递减，则 在 上是减函数，记
若 ，则 是 的零点；
若 ，则 ，记 ， ，
由零点存在定理，可知存在 ，使得 ；
若 ，则 ，记 ， ，
由零点存在定理，可知存在 ，使得 ；综上， 有零点 ，即 ，
因为 所有“美好区间” 都满足性质②，故 ，否则 与性质②矛盾；
即存在 ，使得 不属于函数 的任意一个“美好区间”，证毕.
题型八：拐点、好点 、不动点、S点
【典例8-1】（2024·高三·福建泉州·期中）记 、 分别为函数 、 的导函数．若存在
，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”．
（1）证明：函数 与 不存在“ 点”；
（2）若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值．
【解析】（1）函数 ， ，则 ， ．
由 ，可得 ，此方程组无解，
因此，函数 与 不存在“ 点”；
（2）函数 ， ，则 ， ，
设 为 与 的“ 点”，由 可得 ，
可得 ，解得 ，此时 .
因此， .
【典例8-2】对于函数f（x），若存在实数 满足 ，则称 为函数f（x）的一个不动点.已知函数
，其中
(1)当 时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在 既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：
(2)若f（x）有两个相异的极值点 ， ，试问：是否存在a，b使得 ， 均为f（x）的不动点？证明你
的结论.
【解析】（1）（i）当 时， ， .当 时， 恒成立， 在 上递增，没有极值点.
当 时，令 解得 ，
则 在区间 递增；
在区间 递减，
所以 的极大值点为 ，极小值点为 .
（ii）若 是 的极值点，又是 的不动点，
则 ，即 ，
即 ，代入 得 ，
， ，
， ，
，所以 ，则
（2） ， ，
有两个相异的极值点，也即 有两个不同的零点 ，
所以 ①， .
依题意，若 是 的不动点，
则 ，两式相减得 ，
，
，
， ，这与①矛盾，
所以不存在符合题意的 .
【变式8-1】记 ， 分别为函数 ， 的导函数．若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“好点”．(1)判断函数 与 是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵
由；
(2)若函数 与 存在“好点”，求实数 的值；
(3)已知函数 ， ，若存在实数 ，使函数 与 在区间 内
存在“好点”，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ， ，
假设存在 满足 ，代入得 ，解得 ；
所以存在存在“好点”，且“好点”为1；
（2） ， ，
设“好点”为 ， 满足 ，代入得 ， ；
（3）由已知 ， ，
依题意可得：存在 满足 ，代入得 ，
解得 ，
由 ，又 ，故解得 ，
令 ，则 ， 在 上增函数，
， 时， ，且当 时， ，所以 ，
所以 ．
【变式8-2】给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程
有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 图象的对称中心.
(1)若函数 ，求函数 图象的对称中心；
(2)已知函数 ，其中 .
（ⅰ）求 的拐点；
（ⅱ）若 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 .令 ，解得 ，又 ，
所以函数 的“拐点”为 ，
所以函数 图象的对称中心为 .
（2）（ⅰ）因为 ， ，
所以 ，
，且 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，又 ，
由零点存在性定理知， 有唯一的零点 ，
所 ，且 ，当 时， ，
所以 的拐点为 .
（ⅱ）证明：由（i）可知， 在 上单调递增， ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
∴ 在 上恒成立，∴ 在 上单调递增，又 ， ，
所以 .
【变式8-3】（2024·河南·三模）设函数 的导函数为 的导函数为 的导函数为
.若 ，且 ，则 为曲线 的拐点.
(1)判断曲线 是否有拐点，并说明理由；
(2)已知函数 ，若 为曲线 的一个拐点，求 的单调区间与极值.
【解析】（1）由函数 ，可得 ，
由 ，得 ，又由 ，得 ，所以曲线 没有拐点.
（2）由函数 ，
可得 ，
因为 为曲线 的一个拐点，所以 ，
所以 ，解得 ，经检验，当 时， ，
所以 .
当 或 时， ，则 的单调递增区间为 ；
当 时， ，且 不恒成立，则 的单调递减区间为 ，
故当 时， 取得极大值，且极大值为 ；
当 时， 取得极小值，且极小值为 .
题型九：各类函数新概念
【典例9-1】定义：函数 ， 的定义域的交集为 ， ，若对任意的 ，都存在 ，
使得 ， ， 成等比数列， ， ， 成等差数列，那么我们称 ， 为一对“
函数”，已知函数 ， ， ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）若 ，对任意的 ， ， 为一对“ 函数”，求证： ．（ 为自然对
数的底数）
【解析】（Ⅰ） ，
当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上递减，在 上递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
要证 ，即证 ，
设函数 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 为减函数，在 上为增函数，
故 ，即 恒成立，
所以 ，
综上， ．
（Ⅲ）由题设，对任意 ，存在 ，
使得 ，且 ，
而 ，
故 .
法一：由（Ⅱ）得 ，
∴ ．
令 ，则 ，令 ， ，
∴ 在 上递增，在 上递减，
又 ， ， ，
由零点存在性定理得存在 （ ），使得 ，
故不等式 的解为 ．
故 ，证毕．
法二：由均值不等式得 ．
故 ，
令 ，则 ，
同法一，有不等式 的解为 ．
故 ，证毕．
【典例9-2】（2024·山东·模拟预测）如果 是定义在区间D上的函数，且同时满足：① ；②
与 的单调性相同，则称函数 在区间D上是“链式函数”.已知函数 ，
.
（1）判断函数 与 在 上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当 时， .
【解析】（1） ，令 则 ，
在 上单调递增，
又 当 时， ， 在 上单调递增，
又 当 时， ，
∴当 时， ， 与 在 上均单调递增，
∴ 在 上是“链式函数”.
，令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，又 当 时， ，
∴ 在 上单调递减，又 当 时， ，∴当 时， ， 与 在 上均单调递减，
∴ 在 上是“链式函数”.
（2）当 时，由（1）知 ，所以 ，
又由（1）知 ，所以 ，
两式相加得 ，即 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
则当 时， ，即 ，∴当 时， ，
故当 时， .
【变式9-1】（2024·上海奉贤·一模）若函数 满足：对任意的实数 ， ，有
恒成立，则称函数 为 “ 增函数” ．
(1)求证：函数 不是“ 增函数”；
(2)若函数 是“ 增函数”，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值，并证明函数
是“ 增函数”．
【解析】（1）取 ，则 ，因为 ，
故函数 不是“ 增函数”；
（2）因为函数 是“ 增函数”，故任意的 ， ，
有 恒成立，
即 恒成立 ，
所以 恒成立，
又 ， ，故 ，则 ，
则 ，即 ；
（3）记 ，根据题意，得 ，
可得方程的一个解 ，
令 ，
则 ，令 ，
则 ， 故 在 上是严格增函数，
又因为 ，故 在 恒成立，故 ，
故 在 上是严格增函数，所以 是唯一解，
又 ，此时在 处的切线方程即为 ，
故 成立；
设 ，其中 ，
，由 在 上是严格增函数以及 ，
得 ，
即 ，
所以 在 上是严格增函数，
因为 ，则 ,故 ，即得证.
【变式9-2】（2024·高三·陕西安康·期末）已知函数 .
(1)若 在其定义域内是增函数，求 的取值范围；
(2)定义：若 在其定义域内单调递增，且 在其定义域内也单调递增，则称 为 的
“协同增函数”.
已知函数 ，若 是 的“协同增函数”，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
令 ，则 .
由 ，得 ；由 ，得 .
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 ，即 .因为 在其定义域内是增函数，所以 ，解得 .
（2）由（1）可得 .
设 ，
则 .
因为 在其定义域内是增函数，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
设 ，则 .
由 ，得 ；由 ，得 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 ，解得 .
因为 ，所以 ，即 的取值范围是 .
1．（2024·湖北·二模）记 ，若 ，满足：对任意 ，均有
，则称 为函数 在 上“最接近”直线．已知函数
．
(1)若 ，证明：对任意 ；
(2)若 ，证明： 在 上的“最接近”直线为： ，
其中 且为二次方程 的根．
【解析】（1）由题意 ，则当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
又 ， ，
在区间 上的最大值为 ，
根据函数 的图象特点，可知对任意 ，均有
，
，
下面讨论 的大小：
①若 至少有一个大于等于1，则 ，
②若 两个都小于1，则 ，
因为 是直线，故对任意 ，均有 ， ，从而 ，
即
由①②可知， ，
当 时，
， ，此时等号成立，
结论证毕.
（2）设 ，再令 ，
，
令 ， ，
在区间 上单调递减，
而 ， ， 存在 ，使得 ，
即 ，
且 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
在区间 上的最大值为 ，而 ， ，
则 在区间 上大于等于0，
由（1）问分析知，对定义在 上的函数 ，
若 满足 ，且 为 唯一的最大值点，
则对任意的 ， ， 时取等号，
又 ，
故当 时， 取得最小值 ，
在 上的“最接近”直线为 ，
即 ，
化简可得 ，其中 ，
且 是二次方程 的根，证毕.
2．（2024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲
程度．考察如图所示的光滑曲线C： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从A沿曲线段 运
动到B点时，A点的切线 也随着转动到B点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾
斜角与 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧
长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当B越接近A，即 越小，
K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲线C
在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 在点A处的一阶、二阶导数）(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆 在 处的曲率；
(3)定义 为曲线 的“柯西曲率”．已知在曲线 上存在两点
和 ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 的取值范围．
【解析】（1） ．
（2） ， ， ，
故 ， ，故 ．
（3） ， ，故 ，其中 ，
令 ， ，则 ，则 ，其中 （不妨 ）
令 ， 在 递减，在 递增，故 ；
令 ，
，令 ，
则 ，当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
可得 ，即 ，故有 ，
则 在 递增，
又 ， ，故 ，
故 ．
3．（2024·高三·辽宁·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲
线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数，
是 的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ．
(1)求曲线 在 处的曲率 的平方；
(2)求余弦曲线 曲率 的最大值；
【解析】（1）因为 ，则 ， ，
所以 ，
故 .
（2）因为 ，则 ， ，
所以 ，
则 ，
令 ，则 ， ，设 ，则 ，
显然当 时， ， 单调递减，
所以 ，则 最大值为1，
所以 的最大值为1．
4．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 对任意 恒成立，则称函数 为
“线性控制函数”.
(1)判断函数 和 是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数 为“线性控制函数”，且 在 上严格增，设 为函数 图像上互异的两点，设
直线 的斜率为 ，判断命题“ ”的真假，并说明理由；
(3)若函数 为“线性控制函数”，且 是以 为周期的周期函数，证明：对任意 都有
.
【解析】（1） ，故 是“线性控制函数”；
，故 不是“线性控制函数”.
（2）命题为真，理由如下：
设 ，其中
由于 在 上严格增，故 ，因此
由于 为“线性控制函数”，故 ，即
令 ，故 ，因此 在 上为减函数
，
综上所述， ，即命题“ ”为真命题.
（3）根据（2）中证明知，对任意 都有
由于 为“线性控制函数”，故 ，即
令 ，故 ，因此 在 上为增函数因此对任意 都有 ，即
当 时，则 恒成立
当 时，
若 ，则 ，故
若 时，则存在 使得
故1 ，因此
综上所述，对任意 都有 .
（事实上，对任意 都有 ，此处不再赘述）
5．（2024·上海徐汇·二模）已知常数 为非零整数，若函数 ， 满足：对任意 ，
，则称函数 为 函数.
(1)函数 ， 是否为 函数﹖请说明理由；
(2)若 为 函数，图像在 是一条连续的曲线， ， ，且 在区间
上仅存在一个极值点，分别记 、 为函数 的最大、小值，求
的取值范围；
(3)若 ， ，且 为 函数， ，对任意 ，
恒有 ，记 的最小值为 ，求 的取值范围及 关于 的表达式.
【解析】（1） 是 函数，理由如下，
对任意 ， ，
，故
（2）（ⅰ）若 为 在区间 上仅存的一个极大值点，则 在 严格递增，在 严格递
减，
由 ，即 ，得 ，又 ， ，则 ，（构造 时，等号成立），
所以 ；
（ⅱ）若 为 在区间 上仅存的一个极小值点，则 在 严格递减，在 严格增，
由 ，同理可得 ，
又 ， ，则 ，（构造 时，等号成立），
所以 ；
综上所述：所求取值范围为 ；
（3）显然 为 上的严格增函数，任意 ，不妨设 ，
此时 ，
由 为 函数，得 恒成立，即
恒成立，
设 ，则 为 上的减函数，
，得 对 恒成立，
易知上述不等号右边的函数为 上的减函数，
所以 ，所以 的取值范围为 ，
此时 ，
法1：当 时，即 ，由 ，而 ，所以 为 上的增函数，
法2： ，因为 ，当 ， ，所以 为 上的增函数，
由题意得， ， .
6．（2024·上海奉贤·二模）设函数 的定义域是R，它的导数是 ．若存在常数 ，使
得 对一切 恒成立，那么称函数 具有性质 ．
(1)求证：函数 不具有性质 ；
(2)判别函数 是否具有性质 ．若具有求出 的取值集合；若不具有请说明理由．
【解析】（1）假设 具有性质 ， 即 对一切 恒成立
化简 得到 ，显然不存在实数 使得 成立，所以假设错误，
因此函数 不具有性质 .
（2）假设 具有性质 ， 即 对一切 恒成立，
即 对一切 恒成立，则 对一切 恒成立，
由 ，所以当 时， 具有性质 ，
所以 具有性质 ， 的取值集合 .
7．（2024·河北石家庄·一模）已知函数 ， .
(1)当 时，过坐标原点 作曲线 的切线，求切线方程；
(2)设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，对任意 ，若
在 上恒成立，则称点 为函数 的“好点”，求函数 在 上
所有“好点”的横坐标（结果用 表示）.
【解析】（1）当 时， ， ，
设切点坐标为 ，则切线方程为：
因为切线过原点，代入原点坐标可得：
令 ，则 ，当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以 ，且当 时， ，所以 的解唯一，即 ，
所以切点坐标为 ，切线斜率为 ，切线方程为： .
（2）设点 是函数 上一点，且在点 处的切线为 ，
则
令 ，所以
，
①当 ，即 时， ，
则 时， ，所以 在 单调递减，故 ，即： ，
不满足 ，所以 时， 不是函数 在 上的好点.
②当 ，即 时，
i）若 ，即 ，此时：
当 时， ，所以 在 单调递减，
不满足 ，所以当 时， 不是函数 在 上的好
点
ii） ，即 ，此时：
当 时， ，所以 在 单调递减，
不满足 ，所以当 时， 不是函数 在 上的好点.iii）当 ，即 ，此时：
时， 恒成立，所以 在 单调递增，
故当 时， ，即 ，所以 时：
当 时， ，即 ，所以 时，
即对任意 ， ，所以当 时， 是函数 在 上的
好点.
综上所述， 在 上存在好点 ，横坐标 .
8．对于定义在D上的函数 ，其导函数为 ．若存在 ，使得 ，且 是函数
的极值点，则称函数 为“极致k函数”．
(1)设函数 ，其中 ， ．
①若 是单调函数，求实数a的取值范围；
②证明：函数 不是“极致0函数”．
(2)对任意 ，证明：函数 是“极致0函数”．
【解析】（1）①由题意，得 ．
（i）若 在 上单调递减，则 恒成立，即 恒成立，所以 ；
（ii）若 在 上单调递增，则 恒成立，即 恒成立，所以 ．
综上，实数a的取值范围为 ．
②假设 是“极致0函数”，则 是 的极值点，
所以 ，解得 ，
由①可知，当 时， 在 上单调递减，与 是 的极值点矛盾，
故 不是“极致0函数”．
（2）由题意，得 ，则 ．
当 时， ，易知当 时， ．
设 ， ．
①当 ，即 时，由（i）可知， 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，所
以 在 处取得极大值，此时 是“极致0函数”；
②当 ，即 时，由（ii）可知， 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以 在 处取得极小值，此时 是“极致0函数”；
③当 时， ，
设 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减．
因为 ， ，
所以存在 ， ，使得 ，
且当 时， ，
即 ， 在 上单调递增．
又 ，所以当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以 在 处取得极小值，此时 是“极致0函数”．综上，对任意 ， 均为“极致0
函数”．
9．曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数， 是 的导函数，则曲线 在点
处的曲率 已知函数 ， ，曲线 在
点 处的曲率为 ．
（1）求实数 的值；（2）对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）设方程 在区间 （ ）内的根从小到大依次为 ，求证：
．
【解析】（1）由已知 ，
所以 ，解方程得
（2）对任意的 ， ，即 恒成立，
令 ，则 ，不等式恒成立
当 时， ，原不等式化为
令 ，
则
所以 在区间 单调递增，所以最大值为
所以要使不等式恒成立必有
（3）由已知方程 可化为
令 ，则
因为 ，所以
所以 ， 在区间 （ ）上单调递减，所以存在唯一 ，
，
由 单调递减可得 即
10．（2024·湖南永州·三模）曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数，令 ，则曲线
在点 处的曲率 ．已知函数 ， ，
且 在点 处的曲率 ．
（1）求 的值，并证明：当 时， ；
（2）若 ，且 ，求证： ．
【解析】（1） ， ， ， ，
在点 ， 处的曲率 ，
，解得 ．
当 时， ，
，
令 ，则 ，
在 时单调递增， ， ， 函数 在 上单调递增，
，因此 ．（2）证明：由（1）可得： ，
， ，
令 ，则： ，
要证明：
，
只要证明： 即可，
时，左边
时，令 ，
，
，
（2） ，
在 上单调递减，
（2） ，
综上可得： 成立．
11．（2024·江苏淮安·三模）定义可导函数 在x处的弹性函数为 ，其中 为 的
导函数．在区间D上，若函数 的弹性函数值大于1，则称 在区间D上具有弹性，相应的区间D也
称作 的弹性区间．
（1）若 ，求 的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数 （其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当 时，求 的弹性区间D；
（ⅱ）若 在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】（1）由 ，可得 ，
则 ，令 ，解得 ，
所以 弹性函数的零点为 .
（2）（ⅰ）当 时，函数 ，可得函数 的定义域为 ，
因为 ，
函数 是弹性函数 ，
此不等式等价于下面两个不等式组：
（Ⅰ） 或（Ⅱ） ，
因为①对应的函数就是 ，
由 ，所以 在定义域上单调递增，
又由 ，所以①的解为 ；
由可得 ，
且 在 上恒为正，
则 在 上单调递增，所以 ，故②在 上恒成立，
于是不等式组（Ⅰ）的解为 ，
同①的解法，求得③的解为 ；
因为 时，④ ，所以不成立，
所以不等式（Ⅱ）无实数解，
综上，函数 的弹性区间 .
（ⅱ）由 在 上恒成立，可得 在 上恒成立，
设 ，则 ，
而 ，
由（ⅰ）可知，在 上恒为正，
所以 ，函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
12．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 .（1）求函数 的图象在 （ 为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的 ，均有 ，则称 为 在区间 上的下界函数， 为 在区
间 上的上界函数.
①若 ，求证： 为 在 上的上界函数；
②若 ， 为 在 上的下界函数，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以函数 的图象在 处的切线斜率 .
又因为 ，所以函数 的图象在 处的切线方程为 ；
（2）①由题意得函数 的定义域为 .
令 ，得 .
所以当 时， ；当 时， .
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
因为 ，所以 ，
故当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
从而 ，所以 ，即 ，
所以函数 为 在 上的上界函数；
②因为函数 为 在 上的下界函数，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，故 .
令 ， ，则 .
设 ， ，则 ，所以当 时， ，从而函数 在 上单调递增，
所以 ，
故 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增，
从而 .
因为 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
故 ，即实数 的取值范围为 .
13．（2024·高三·全国·课后作业）设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为 .如果存在实数
a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得 =h(x)(x2-ax+1)，则称函数f(x)具有性质
P(a).
(1)设函数 ，其中b为实数.
①求证：函数f(x)具有性质P(a).②求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x，x∈(1，+∞)，x
