文档内容
拔高点突破 01 集合背景下的新定义压轴解答题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：定义新概念....................................................................................................................................................2
题型二：定义新运算....................................................................................................................................................4
题型三：定义新性质....................................................................................................................................................5
题型四：定义新背景....................................................................................................................................................6
03过关测试...........................................................................................................................................91、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合
的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合
数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相
应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
题型一：定义新概念
【典例1-1】（2024·北京顺义·二模）已知点集 满足 ， ，
.对于任意点集 ，若其非空子集A，B满足 ， ，则称集合对
为 的一个优划分.对任意点集 及其优划分 ，记A中所有点的横坐标之和为 ，B中
所有点的纵坐标之和为 .
(1)写出 的一个优划分 ，使其满足 ；
(2)对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 ；
(3)对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 且 .【典例1-2】（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按
照某种确定的对应关系 ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时
B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 ： 为从集合A到集合B的一一对应，
并称集合A与B等势，记作 .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作
.
例如：对于集合 ， ，存在一一对应关系 ，因此 .
(1)已知集合 ， ，试判断 是否成立?请说明理由；
(2)证明：① ；
② .
【变式1-1】（2024·江西九江·二模）定义两个 维向量 ， 的数量
积 ， ，记 为 的第k个分量（ 且 ）.如
三维向量 ，其中 的第2分量 .若由 维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中
含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素 ， ，满
足 （T为常数）且 .则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和 .
题型二：定义新运算
【典例2-1】（2024·海南海口·一模）在计算机科学中， 维数组 是
一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于 维数组，定义 与 的差为 与 之间的距
离为 ．
(1)若 维数组 ，证明： ；
(2)证明：对任意的数组 ，有 ；
(3)设集合 ，若集合 中有 个 维数组，记
中所有两元素间的距离的平均值为 ，证明： ．
【典例2-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知 ，集合 其中
.
(1)求 中最小的元素；
(2)设 ， ，且 ，求 的值；
(3)记 ， ，若集合 中的元素个数为 ，求 .
【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合 ，定义：当 时，
把集合 中所有的数从小到大排列成数列 ，数列 的前 项和为 .例如： 时，
，
.
(1)写出 ，并求 ；
(2)判断88是否为数列 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列 中的某一项 ，求 及 的值.题型三：定义新性质
【典例3-1】（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总
有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合 ， （ ， ），且 ．设有序四元数集合
且 ， ．对于给定的集合B，定义映射
f：P→Q，记为 ，按映射f，若 （ ），则 ；若 （ ），则
．记 ．
(1)若 ， ，写出Y，并求 ；
(2)若 ， ，求所有 的总和；
(3)对于给定的 ，记 ，求所有 的总和（用含m的式子表示）．
【典例3-2】（2024·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数 ， ， ， ， 之和，得到方程
①，称五元有序数组 为方程①的解，对于上述的五元有序数组
，当 时，若 ，则称 是 密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解 ，使得 等于同一常数?若存在，请求出该常数；
若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是 密集的?
(3)记 ，问 是否存在最小值?若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由.
【变式3-1】（2024·广东·模拟预测）已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；② ；③ 为偶数，那么称集合 具有性质 .已知集合 ，对于集合 的非
空子集 ，若 中存在三个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集合 的
“期待子集”.
(1)试判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”；
(3)证明：集合 具有性质 的充要条件是集合 是集合 的“期待子集”.
题型四：定义新背景
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以
抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面 ，定义对
， ，其度量（距离） 并称 为一度量平面．
设 ， ，称平面区域 为以 为心， 为半径的球形
邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明： 中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明： 的一个子集是开集当且仅当其
可被表示为若干个球形邻域的并集．
【典例4-2】（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m
（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．
例如，正三角形R在 （绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以
是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记 ；又如，R在 （关于对称轴 所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以 也是R的一个对称变换，
类似地，记 ．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运
算.来说作成一个群，假如同时满足：
I． ， ；
II． ， ；
Ⅲ． ， ， ；
Ⅳ． ， ， ．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的 为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子
集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算 来说作成一个群．
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义
一种新运算*，规则如下： ，
．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e， 分别是G，H的单位元， ， ， 分别是a在群G，群H中的
逆元．猜想e， 之间的关系以及 ， 之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
【变式4-1】（2021·北京西城·二模）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意 ，都有
或 ，则称A为自邻集.记集合 的所有子集中的自邻集的个数为
.(1)直接写出 的所有自邻集；
(2)若 为偶数且 ，求证： 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若 ，求证： .1．（2024·北京丰台·一模）已知集合 （ ， ），若存在数阵
满足：
① ；
② ．
则称集合 为“好集合”，并称数阵 为 的一个“好数阵”．
(1)已知数阵 是 的一个“好数阵”，试写出 ， ， ， 的值；
(2)若集合 为“好集合”，证明：集合 的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断 是否为“好集合”．若是，求出满足条件 的所有“好数阵”；若不是，
说明理由．
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组 表示；三维空
间向盘可用三元有序数组 表示．一般地， 维空间向量用 元有序数组 表示，其中
称为空间向量的第 个分量， 为这个分量的下标．对于 维空间向量 ，
定义集合 ．记 的元素的个数为 （约定空集的元素个数为0）．
(1)若空间向量 ，求 及 ；
(2)对于空间向量 ．若 ，求证： ，若 ，则
；
(3)若空间向量 的坐标满足 ，当 时，求证：
．3．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数 ，令 ，对任意
的 ， ，定义 与 的距离 ．设
是 的含有至少两个元素的子集，集合 中的最小值称为 的特征，记作
．
(1)当 时，直接写出下述集合的特征：
；
(2)当 时，设 且 ，求 中元素个数的最大值；
(3)当 时，设 且 ，求证： 中的元素个数小于 ．
4．（2024·北京延庆·一模）已知数列 ，记集合 .
(1)若数列 为 ，写出集合 ；
(2)若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明
理由；
(3)若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，求 的最大
值．
5．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集 .
若 ，则称集合 为一个 元理想数集，并定义 的理数 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集 ，求证： ；(3)当 取遍所有2024元理想数集时，求理数 的最小值.
注：由 个实数组成的集合叫做 元实数集合， 分别表示数集 中的最大数与最小数.
6．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知 为有穷正整数数列，且 ，集合
．若存在 ，使得 ，则称 为 可表数，称集合
为 可表集．
(1)若 ，判定31，1024是否为 可表数，并说明理由；
(2)若 ，证明： ；
(3)设 ，若 ，求 的最小值．
7．设 为给定的正奇数，定义无穷数列 ： 若 是数列 中
的项，则记作 .
(1)若数列 的前6项各不相同，写出 的最小值及此时数列的前6项；
(2)求证：集合 是空集；
(3)记集合 正奇数 ，求集合 .（若 为任意的正奇数，求所有数列 的
相同元素构成的集合 .）
8．已知集合 ，其中 且 ，若对任意的
，都有 ，则称集合 具有性质 .
(1)集合 具有性质 ，求 的最小值；(2)已知 具有性质 ，求证： ；
(3)已知 具有性质 ，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由.
9．（2023·河南·模拟预测）已知数列 是首项为1的等差数列，数列 是公比为2的等比数列，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 表示不超过 的最大整数（如： ），求集合
中元素的个数．
10．（2023·北京西城·模拟预测）已知A为有限个实数构成的非空集合，设 ，
，记集合 和 其元素个数分别为 ， .设
.例如当 时， ， ， ，所以
.
(1)若 ，求 的值；
(2)设A是由3个正实数组成的集合且 ， ；，证明： 为定值；
(3)若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 ，设 ， .已
知 ， ，且对任意 ， ，求数列 的通项公式.
11．（2023·北京·模拟预测）正整数集合 ，且 ， ， 中所有元素
和为 ，集合 .
(1)若 ，请直接写出集合 ；(2)若集合 中有且只有两个元素，求证“ 为等差数列”的充分必要条件是“集合 中有
个元素”；
(3)若 ，求 的最小值，以及当 取最小值时， 最小值.
12．（2023·北京通州·模拟预测）设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集 ， ，…，
满足：
① ， ，…， 均非空；
② ， ，…， 中任意两个集合交集为空集；
③ ．
则称 ， ，…， 为集合A的一个m阶分拆．
(1)若 ，写出集合A的所有2阶分拆（其中 ， 与 ， 为集合A的同一个2阶分拆）；
(2)若 ， ， 为A的2阶分拆，集合 所有元素的平均值为P，集合 所有元素的平均值
为Q，求 的最大值；
(3)设 ， ， 为正整数集合 （ ， ）的3阶分拆．若 ， ， 满足任取集
合A中的一个元素 构成 ，其中 ，且 与 中元素的和相等．求证：n为奇数．
13．（2023·北京延庆·一模）已知 为正整数，集合 具有
性质 ：“对于集合 中的任意元素 ， ，且 ，其中
”. 集合 中的元素个数记为 ．
(1)当 时，求 ；
(2)当 时，求 的所有可能的取值；
(3)给定正整数 ，求 ．14．（2023·北京顺义·一模）已知实数集 ，定义 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求集合A；
(3)若A中的元素个数为9，求 的元素个数的最小值．
