文档内容
拔高点突破 03 圆锥曲线背景下的新定义问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：定义新曲线............................................................................................................................2
题型二：双扭线....................................................................................................................................4
题型三：卡西尼卵形线........................................................................................................................9
题型四：心形线..................................................................................................................................12
题型五：四叶草曲线..........................................................................................................................18
题型六：定义新图形..........................................................................................................................22
题型七：定义新性质..........................................................................................................................27
题型八：综合问题..............................................................................................................................33
03 过关测试.........................................................................................................................................44圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于理解新定义的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合。
方法总结如下：
1、明确新定义：首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义。
2、联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它
们的相似之处或转换关系。
3、建立数学模型：根据新定义，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解。
4、验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求。
5、灵活应用：对于复杂问题，可能需要综合运用多种数学知识和方法，灵活应对。
题型一：定义新曲线
【典例1-1】若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭
圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，
对于A， ，即 ，A是“对偶椭圆”；
对于B， ，即 ，B不是“对偶椭圆”；
对于C， ，即 ，C不是“对偶椭圆”；
对于D， ，即 ，D不是“对偶椭圆”.
故选：A
【典例1-2】（多选题）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星
星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点 ，直线 ，动点P
到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，
则下列结论中正确的是（ ）A．点P的轨迹方程是
B．直线 是“最远距离直线”
C．平面上有一点 ，则 的最小值为5
D．点P的轨迹与圆 是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
【答案】ABC
【解析】对于A，设 ，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半，
所以 ，化简可得 ，故选项A正确；
对于B，联立方程组 ，可得 ，
解得 ，故存在点 ，
所以直线 是“最远距离直线”，故选项B正确；
对于C，过点P作 垂直直线 ，垂足为B，
由题意可得， ，则 ，
由图象可知， 的最小值即为点A到直线 的距离5，故选项C正确；
对于D，由 可得 ，
即圆心为 ，半径为1，
易得点P的轨迹与圆C交于点 ，故选项D错误.
故选：ABC.
【变式1-1】（多选题）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的
灵感来源于曲线C： .其中星形线E： 常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说
法正确的是（ ）
A．E关于y轴对称
B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过C．E上的点到原点距离的最小值为
D．曲线E所围成图形的面积小于2
【答案】ABD
【解析】若 在星形线E上，则 也在E上，故E关于y轴对称，A正确；
由 ，则 当且仅当 时等号成立，B正确；
由 ，当且仅当 时等号成立，故E
上的点到原点距离的最小值为 ，C错误；
曲线E过 ， ，由 ，则 在 所围成的区域内部，而
所围成的面积为2，故曲线E所围成图形的面积小于2，D正确.
故选：ABD
题型二：双扭线
【典例2-1】（多选题）（2024·高三·湖北鄂州·期末）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精
致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于
它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，
却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线 ：
是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的图象关于原点对称
B．曲线 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
D．若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】把 代入 得 ，
所以曲线 的图象关于原点对称，故A正确；
令 解得 ，或 ，即曲线经过 ，结合图象， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
因此结合图象曲线 只能经过3个整点， ，故B错误；
可得 ，
所以曲线 上任意一点到坐标原点 的距离 ，即都不超过3，
故 C正确；
直线 与曲线 一定有公共点 ，
若直线 与曲线 只有一个交点，
所以 ，整理得 无解，
即 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD.
【典例2-2】“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，
三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号
“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（ ），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴
上，若动点P满足 ，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.
若 ，点P在第一象限且 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】 ，设 ，
由双纽线的定义得 ，
即 ，
化简得 ，显然 ，设 ，则 ，
代入方程 ，得 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
【变式2-1】（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系 中，把到定点 距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线.若 ，点 为双纽线 上任意一点，则下列结论正确的个数是
（ ）
① 关于 轴不对称
② 关于 轴对称
③直线 与 只有一个交点
④ 上存在点 ，使得
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①设 到定点 的距离之积为4，
可得 . ，整理得 ，
即曲线 的方程为 ，
由 用 代换，方程没变，可知曲线 关于 轴对称，
由 用 代换，方程没变，可知曲线 关于 轴对称，
由 用 代换， 用 同时代换，方程没变，可知曲线 关于原点对称，
图象如图所示：
所以①不正确，②正确；③联立方程组 ，可得 ，即 ，所以 ，
所以直线 与曲线 只有一个交点 ，所以③正确.
④原点 满足曲线 的方程，即原点 在曲线 上，则 ，
即曲线 上存在点 与原点 重合时，满足 ，所以④正确.
故选:C.
【变式2-2】在平面上，定点 、 之间的距离 .曲线 是到定点 、 距离之积等于
的点的轨迹.以点 、 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立直角坐标系.已知点 是
曲线 上一点，下列说法中正确的有（ ）
①曲线 是中心对称图形：
②曲线 上有两个点到点 、 距离相等；
③曲线 上的点的纵坐标的取值范围是 ；
④曲线 上的点到原点距离的最大值为
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【 解 析 】 依 题 意 ， 令 设 点 是 曲 线 上 任 意 一 点 ， 则 有
，
显然 ，
即点 关于原点对称点 在曲线 上，因此曲线 是中心对称图形，①正确；
曲线 上点 满足 ，则点 在 轴上，由 得 ，解得 ，
因此曲线 上只有一个点 到点 距离相等，②不正确；
当 时， ，即 ，
当且仅当 ，即 ，
亦即 时取等号，此时 ，
而点 在曲线上 ，即 成立，因此 ，
曲线 上的点的纵坐标的取值范围是 ，③正确；因为 ，则 ，
当 时，由余弦定理得 ，
于是得 ，
当 时， 或 ，有 或 ，
因此曲线 上的点到原点距离的最大值为 ，④正确，所以说法中正确的有①③④.
故选：C.
【变式2-3】（2024·内蒙古赤峰·一模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯
努利双纽线.定义：在平面直角坐标系 中，把到定点 的距离之积等于 的点的轨
迹称为双纽线 .已知 是双纽线 上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．双纽线 关于原点 成中心对称
B．
C．双曲线 上满足 的点 有两个
D． 的最大值为
【答案】C
【解析】由到定点 的距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线 ，
得 ，
将 替换方程中的 ，方程不变，故双纽线 关于原点 成中心对称，故A正确；
由等面积法得 ，则 ，
所以 ，故B正确；
令 ，得 ，解得 ，所以双曲线 上满足 的点 有一个，故C
错误；因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ，故D正确，
故选：C.
题型三：卡西尼卵形线
【典例3-1】（多选题）我们在解析几何学习过程中知道椭圆､双曲线定义分别是到两定点距离之和､距离
之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常
数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点 ，动点 满足 ，
设 的轨迹为曲线 ，则下列命题正确的是（ ）
A．曲线 过原点
B． 的横坐标最大值是
C． 的纵坐标最大值是
D．
【答案】ABD
【解析】依题意， ，即 ，
整理得 ，
对于A，当 时， ，因此曲线 过原点，A正确；
对于B，由 ，得 ，整理得 ，
解得 ， 的横坐标最大值是 ，B正确；
对于C， ，当且仅当 时取等号，
因此 的纵坐标最大值是1，C错误；
对于D， ，令 ，
上述不等式等价于 ，
令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递增， ，即 成立，
因此 ，D正确.
【典例3-2】天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常
数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，设定点为 ， ，点O
为坐标原点，动点 满足 （ 且为常数），化简得曲线E：
．下列命题中正确序号是 ．
①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；
② 的最小值为2a；
③当 时， 的最大值为 ；
④ 面积不大于 ．
【答案】①③④
【解析】①：以 代x，得： ，所以曲线关于
纵轴对称；
以 代y，得： ，所以曲线关于横轴对称；
同时以 代x，以 代y得： ，所以曲线关
于原点对称，所以曲线E既是中心对称又是轴对称图形，故正确；
②：因为 ，所以当 时，有 ，
当 时，显然P与 ， 中一点重合，故此时 ，故错误；
③：当 时，由 ，化简得 ，
因此有 ，所以 ，故正确；
④： 面积为： ，
当 时， 面积的最大值为 ，故正确.
故答案为：①③④
【变式3-1】卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个
定点(叫做焦点)的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性
质的探究，设 ， 是平面内的两个定点， ( 是定长)，得出卡西尼卵形线的
相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若 ，则曲线过原点；③若 ，则曲
线不存在；④若 ，则 .其中正确命题的序号是 ．【答案】①②④
【解析】由题意设 ，则 ，
即 ，
对于①：由原方程可知，点 也在曲线上，故曲线关于 轴对称，
由曲线方程可知， 也在曲线上，故曲线关于原点对称，故①正确；
对于②：若 ，将 代入曲线方程可知，方程成立，则曲线过原点，故②正确；
对于③：令 ，则 ，解得 ，所以曲线存在，故③错误；
④若 ，对方程 化简整理可得，
，
由题意易知，当 点在 轴上时， 达到最大，即 ，
即 ，从而 ，
故 ，
故④正确.
故答案为：①②④．
【变式3-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称
为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系 中，动点 到两个定点 ， 的距离之积等于
3，化简得曲线C： ，下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B． 的最小值为
C． 面积的最大值为
D． 的取值范围为
【答案】C
【解析】对A：因为用 代替 ，方程不变，所以曲线 关于 轴对称，故A正确；
对B： ，当 点在 轴上取得等号，故B正确；
对C：因为
，
因为 ，所以 .
所以 .故C错误；对D：因为
；
所以 .
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：C
题型四：心形线
【典例4-1】（多选题）（2024·高三·浙江·开学考试）数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主
克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式： ，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲
线图象“心形线
”，明白了笛卡尔的心意.已知利用关系式 和 可将信中表达式转化为直角坐标系下的
曲线方程.如图，该曲线图象过点 ，则（ ）
A．
B．曲线经过点
C．当点 在曲线上时，
D．当点 在曲线上时，
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 ，利用关系式 得 ，…（*）
A选项：因为曲线图象过点 ，所以此时 ，
代入（*）得 ，所以 ，故A正确；
B选项：因为 ，所以（*）化为 ，
所以直角坐标系下的曲线方程为 ，
代入点 满足，故B正确；
C选项： ，设 ，
则 ，令 ，得 或 ，
时， ，所以 ，
时， ，
则 有极值 ，由对称性，所以 ，故C错误；
D选项：方法1：由 两边平方整理得:
，令 ，
则 （*），由判别式 ，得 .
令 ，由于方程（*）在 有解，
（1）当对称轴 ，即 或 时，
由 得 ，所以 ；
（2）当对称轴 ，即 时，
由 ，得 ，所以 ，
综上， .故D正确.
方法2： ，所以 .故D正确.
故选：ABD
【典例4-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：
， 和抛物线 的部分图象围成了一个封闭的“心形
线”，过 焦点 的直线 交 （包含边界点）于 ， 两点， 是 或 上的动点，下列说法正确的是
（ ）
A．抛物线 的方程为
B． 的最小值为5
C． 的最大值为7
D．若 在 上，则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】 可变形为 ，
表示以 为圆心，2为半径的圆的上半部分；
可变形为 ，
表示以 为圆心，2为半径的圆的上半部分．
对于A选项，抛物线 过点 ，解得 ，
，故A选项正确；
对于B选项，抛物线 的准线为 ，
过点 作 ，垂足为 ，则 ，则 ，
故B选项正确；
对于C选项，不妨设 ，显然离 最远的点在 上，
且 ，
联立 ，消去 整理得 ，
，
则 ， ，
则 ，
由对称性只考虑 情况， 在 点时， ，所以 ，
所以
，
设 ，易得 在 上单调递增，
所以 的最大值为 ，故C选项错误；
对于D选项，设 的中点为 ，
联立 ，消去 整理得 ，
则 ， ，
， ，
，所以 ， ，
，
最小，即 最大，也即 最小，
又 的中点 位于圆心 的左侧，
故当 在 位置时， 最小， 最小，
所以
，
故D选项正确.
故选：ABD．
【变式4-1】（多选题）（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）数学中有许多形状优美、寓意美好
的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标
方程可表示为 ，图形如图所示．当 时，点 在这条心形
线C上，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．
D．C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
【答案】ACD【解析】依题意，心形线C的直角坐标方程为 ，
过原点 ,由 ，可知 三点共线，
可设直线 ，由
消去y，得 ．
不妨设 ，
则 ．
∴ ，故A正确；
，
当 时， ，故B错误；
设点 在心形线C上， ，角 以x轴非负半轴为起始边，
则心形线C的方程转化为 ，
即 ，
∴ ，又 ，
∴ ，故C正确；
由 ，可知 ．
令 ，则心形线C的方程可化为 ：，
∴ ，
当 ， 或 ，进而可得 或0，
当 时，方程无整数解；
当 时， ，故
C上有4个整点 ，故D正确，
∴故选:ACD．题型五：四叶草曲线
【典例5-1】（2024·云南昆明·模拟预测）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为
“幸运四叶草曲线”（如图所示）.给出下列四个结论：
①曲线C关于直线 对称；
②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；
③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；
④曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积等于1.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】①③
【解析】在曲线C上任取一点P（x，y），关于 对称的点为Q ，
显然也满足方程 ，故①正确；
显然曲线关于y＝x对称，令y＝x，代入曲线C的方程，解得 ，
显然点 不在一个以原点为中心，边长为1的正方形内，
所以存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界），②错误；
由 ，
所以 ，即： ，
当 取等号，此时，点 在曲线上，
而 ，所以③正确，
因为 ，所以④错误，
故答案为：①③
【典例5-2】（2024·云南昆明·模拟预测）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论：
①曲线C关于直线 交于不同于原点 的 两点，则
②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；
③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；
④曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于 .
其中，正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【解析】曲线关于原点 对称，所以 ，所以①正确；
由 ，所以 ，
即： ，当 取等号，此时，点 在曲线上，
而 ，所以②错误，③正确，
因为 ，所以④错误，综上所述，①③正确．
故答案为：①③．
【变式5-1】（2024·四川内江·三模）数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线 就是
其中一种，其方程为 .给出下列四个结论：
①曲线 有四条对称轴；②曲线 上的点到原点的最大距离为 ；
③在第一象限内，过曲线 上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 ；
④四叶草面积小于 .
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】①；以 代 ， 不变代入方程中得， ，
所以图形关于纵轴对称；
以 代 ， 不变代入方程中得， ，所以图形关于横轴对称；
以 代 ，以 代 代入方程中得： ，所以图象关于直线 对称；
以 代 ，以 代 代入方程中得：
，所以图象关于直线 对称，因此图象有四个对称轴，故结论正确；
②：由对称轴性不妨设四叶草曲线与直线 在第一象限的交点为 ，
，
所以曲线 上的点到原点的最大距离为 ，故本结论不正确；
③：在第一象限内，设曲线 上一点 ，
因为 ，所以 （当且仅当 时，取等号），所以
本结论正确；
④：通过②可知：四叶草曲线在以原点为圆心半径为 的圆内及圆上，所以四叶草的面积小于圆的面积
，故本结论正确，
故答案为：①③④
【变式5-2】（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其
方程为 ，则（ ）A．曲线 有两条对称轴
B．曲线 上的点到原点的最大距离为
C．曲线 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D．四叶草面积小于
【答案】BCD
【解析】对于A：当 变为 时， 不变，所以四叶草图象关于 轴对称；
当 变为 时， 不变，所以四叶草图象关于 轴对称；
当 变为 时， 不变，所以四叶草图象关于 轴对称；
当 变为 时， 不变，所以四叶草图象关于 轴对称；
综上可知：有四条对称轴，错误；
对于B：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
取等号时 ，所以最大距离为 ，正确；
对于C：设任意一点 ，所以围成的矩形面积为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
取等号时 ，所以围成矩形面积的最大值为 ，正确；
对于D：由B可知 ，所以四叶草包含在圆 的内部，
因为圆的面积为： ，所以四叶草的面积小于 ，正确.
故选：BCD.题型六：定义新图形
【典例6-1】（2024·浙江舟山·模拟预测）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平
面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点
，并按这样的规律继续下去．
(1)求 ．
(2)求证：不存在正整数 ，使得三角形 的面积为2022;
(3)求证：对于任意正整数 ，三角形 为锐角三角形．
【解析】（1）由两点间距离公式得 ，
由题意得 ， ，所以 .
（2） ，
，而 不可能等于 ，
故不存在正整数 ，使得三角形 的面积为 .
（3） ， ，
，
因为 ，所以在三角形 中，
为最大角，由余弦定理得 ，
，则 为锐角，
即三角形 为锐角三角形．
【典例6-2】（2024·河北衡水·一模）在空间直角坐标系下，由方程 所表
示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面 分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为 ， ， 上述三个椭圆叫做椭球
面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆 与点 ，则这个
椭球面的方程为 .
【答案】
【解析】设椭球面的方程为： ，
椭球面过点 ， ，解得： ，
椭球面的方程为： .
故答案为： .
【变式6-1】（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直
线 的距离之和相等，则称 为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线
的左、右焦点分别为 的离心率为2，点 为 右支上一动点，直线 与
曲线 相切于点 ，且与 的渐近线交于 两点，当 轴时，直线 为 的等线.
(1)求 的方程;
(2)若 是四边形 的等线，求四边形 的面积;
(3)设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明: 在点 处的切线 为 的等线
【解析】（1）由题意知 ，显然点 在直线 的上方，
因为直线 为 的等线，所以 ，解得 ，所以 的方程为
（2）设P(x ,y )，切线 ，代入 得:
0 0
故 ，
该式可以看作关于 的一元二次方程 ，
所以 ，即 方程为
当 的斜率不存在时，也成立
渐近线方程为 ，不妨设 在 上方，
联立得 ，故 ，
所以 是线段 的中点，因为 到过 的直线距离相等，
则过 点的等线必定满足: 到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点 ，即 的方程为 ，
由 ，解得 ，故 .
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以
（3）设 ，由 ，所以 ，
故曲线 的方程为
由（*）知切线为 ，也为 ，即 ，即
易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 到 的距离为 ，
由（2）知 ，
所以
由 得
因为 ，
所以直线 为 的等线 .
【变式6-2】（2024·河南信阳·模拟预测）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面） 的方程，若曲面
和三元方程 之间满足：①曲面 上任意一点的坐标均为三元方程 的解；②以三
元方程 的任意解 为坐标的点均在曲面 上，则称曲面 的方程为 ，方程
的曲面为 .已知空间中某单叶双曲面 的方程为 ，双曲面 可视为平面 中
某双曲线的一支绕 轴旋转一周所得的旋转面，已知直线 过C上一点 ，且以 为方向
向量.
(1)指出 平面截曲面 所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线 在曲面 上；(3)若过曲面 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 上.设直线 在曲面 上，且过点
，求异面直线 与 所成角的余弦值.
【解析】（1）根据坐标平面 内点的坐标的特征可知，坐标平面 的方程为 ，
已知曲面 的方程为 ，
当 时， 平面截曲面 所得交线上的点 满足 ，
即 ，
也即 在平面 上到原点距离为定值1，
从而 平面截曲面 所得交线是平面 上，以原点 为圆心，1为半径的圆.
（2）设 是直线 上任意一点，
由 ， 均为直线 的方向向量，有 ，
从而存在实数 ，使得 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ，
于是 ，
因此点 的坐标总是满足曲面 的方程，从而直线 在曲面 上.
（3）直线 在曲面 上，且过点 ，
设 是直线 上任意一点，直线 的方向向量为 ，
由 ， 均为直线 的方向向量，有 ，
从而存在实数 ，使得 ，即 ，
则 ，解得 ，所以点 的坐标为 ，
∵ 在曲面 上，∴ ，
整理得 ，
由题意，对任意的 ，有 恒成立，
∴ ，且 ，
∴ ，或 ，
不妨取 ，则 ，或 ，
∴ ，或 ，
又直线 的方向向量为 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值均为
题型七：定义新性质
【典例7-1】（2024·江西新余·二模）通过研究，已知对任意平面向量 ，把 绕其起点A沿逆时
针方向旋转 角得到向量 ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 角得到点
P，
(1)已知平面内点 ，点 ，把点B绕点A逆时针旋转 得到点P，求点P的坐标：
(2)已知二次方程 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 绕原点O逆
时针旋转 所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点 作与两坐标轴都不平行的直线 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 与直线
垂直，直线 交斜椭圆C于点G、H，判断 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说
明理由.【解析】（1）由已知可得 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 ， ，即点P的坐标为 ；
（2）（i）由 与 交点为 和 ，则 ，
由 与 交点为 和 ，
则 ，所以 ， ；
（ⅱ）法一：设直线 ： ， 、N(x ,y )，
2 2
与斜椭圆 联立： ，
有 ，
∵ ， ，
∴
，
设直线 ： ，代入斜椭圆 ，
有 ，
∴ ，∴ ，
故 .法二：将椭圆顺时针旋转 ，由①可得椭圆方程为 ，
点Q旋转后的坐标为 ，
当直线 旋转后斜率不存在时， ， ， ，
当直线 旋转后斜率存在时，设直线 旋转后为 ，
旋转后 、N(x ,y )，
2 2
与椭圆方程 联立，即 ，
可得 ，
， ，
，
设直线 旋转后为 ，代入椭圆方程 中，
有 ， ，
.
综上所述， .【典例7-2】（多选题）黄金分割比例 具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．
这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率 的椭圆称为“黄金
椭圆”，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆 是“黄金椭圆”
B．若椭圆 的右焦点为 ，且满足 ，则该椭圆为“黄金椭圆”
C．设椭圆 的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若 ，则该椭圆
为“黄金椭圆”
D．设椭圆 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是 ， ，若
，则该椭圆为“黄金椭圆”
【答案】ABC
【解析】对于A：由题意得 ， ，
故 ，故椭圆 是“黄金椭圆”，故A正确；
对于B： ，即 ，故 ，
解得 或 （舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故B正确；
对于C：由 得 ，化简可知 ，
解得 或 （舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故C正确；
对于D：由 ，得 ，
则 （负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”， 故D错误．
故选：ABC【变式7-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径
越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆 上点 处的曲率半径公式
为 ．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的 倍，则椭圆C的离心
率为 ．
【答案】 /
【解析】因为点 在椭圆 上，故 ，
即 ，
则
，
而 ，所以 ，则 ，
故 ，
因为椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的 倍，
故 ，即 ，
所以椭圆离心率为 ，
故答案为：
【变式7-2】（2024·高三·北京顺义·期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往
不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义
为两点 、 之间的“出租车距离”.
给出下列四个结论：①若点 ，点 ，则 ；
②到点 的“出租车距离”不超过 的点的集合所构成的平面图形面积是 ；
③若点 ，点 是抛物线 上的动点，则 的最小值是 ；④若点 ，点 是圆 上的动点，则 的最大值是 .
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】对于①， ，①对；
对于②，设点 满足 ，即 .
对于方程 ，当 ， 时， ；当 ， 时， ；
当 ， 时， ；当 ， 时， .
作出集合 所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示：
平面区域是边长为 的正方形，该区域的面积为 ，②错；
对于③，设点 ，则 ，令 .
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
综上所述， ，③对；
对于④，设点 ，则 ，
所以， 的最大值是 ，④对.
故答案为：①③④.
【变式7-3】（2024·山东枣庄·模拟预测）设 为平面上两点，定义、已知点P为抛物线 上一动点，点 的最小值为
2，则 ；若斜率为 的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】 2
【解析】设 ，则 ，
，即 ， 时取得最小值；
易知 ， ，联立有 ，
显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，
过 作 交l于N，过 作 ，
则 （ 重合时取得等号），
设 ，则 ，所以 ，
故答案为：2，
题型八：综合问题
【典例8-1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系 中，重新定义两点 之间
的“距离”为 ，我们把到两定点 的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设 ，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 的左顶点为 ，过 作直线交
于 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．【解析】（1）设“椭圆”上任意一点为 ，则 ，
即 ，即 ，
所以“椭圆”的方程为 ；
（2）由方程 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 或 或 ，
解得 ，
由方程 ，得 ，
即 ，所以 ，所以 ，
所以“椭圆”的范围为 ， ，
将点 代入得， ，
即 ，方程不变，所以“椭圆”关于 轴对称，
将点 代入得， ，
即 ，方程不变，所以“椭圆”关于 轴对称，
将点 代入得， ，
即 ，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，
所以“椭圆”关于 轴， 轴，原点对称；
（3）由题意可设椭圆 的方程为 ，
将点 代入得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ， ，
由题意可设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
恒成立，
则 ，
因为 的中点为 ，
所以直线 的中垂线的方程为 ，
同理直线 的中垂线的方程为 ，
设 ，则 是方程 的两根，
即 是方程 的两根，
所以 ，
又因 ，
所以 ，
两式相比得 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 与 的斜率之积为定值 ．
【典例8-2】（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点
的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一
点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆 是直线族 的包络曲线，求 满足的关系式；(2)若点P(x ,y )不在直线族： 的任意一条直线上，求 的取值范围和
0 0
直线族 的包络曲线 ；
(3)在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点C(0,1)，若 三
点不共线，探究 是否成立？请说明理由.
【解析】（1）由定义可知， 与 相切，
则圆 的圆心 到直线 的距离等于1，
则 ， .
（2）点P(x ,y )不在直线族 的任意一条直线上，
0 0
所以无论 取何值时， 无解.
将 整理成关于 的一元二次方程，
即 .
若该方程无解，则 ，即 .
证明：在 上任取一点 在该点处的切线斜率为 ，
于是可以得到 在 点处的切线方程为： ，
即 .
今直线族 中 ，
则直线为 ，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意 都是抛物线在点 处的切线.
所以直线族 的包络曲线 为 .
（3）法一：已知C(0,1)，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， ；
由（2）知 在点A(x ,y )处的切线方程为 ；
1 1同理 在点B(x ,y )处的切线方程为 ；
2 2
联立 可得 ，所以 .
因此 ，
同理 .
所以 ， ，
即 ，可得 ，
所以 成立.
法二：过 分别作准线的垂线 ，连接 ，如图所示：
则 ，因为 ，显然 .
又由抛物线定义得 ，故 为线段 的中垂线，得到 ，即 .
同理可知 ，
所以 ，即 .
则 .
所以 成立.
【变式8-1】（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算
术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆 的蒙日圆的面积为 ，该椭圆的上顶点和下顶点分别为 ，且 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 两点（不与 两点重合）
且直线 .
(1)证明： ， 的交点 在直线 上;
(2)求直线 围成的三角形面积的最小值.
【解析】（1）根据题意，蒙日圆的半径为 ，所以 .
因为 ，可知 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 ，
因为直线 过点 ，可知直线 的斜率存在，且直线 与椭圆必相交，
可设直线 ，
联立方程 ，消去 可得 ，
由根与系数的关系可得：
因为 ，可得直线 ，直线 ，
所以
即 ，解得 ，
所以直线 的交点 在直线 上.
（2）设直线 与直线 的交点分别为 ，
则由（1）可知：直线 ，直线 .联立方程 和 ，
解得
因为 ，
又因为点 到直线 的距离 ，
可得 ，只需求 的最小值.
由弦长公式可得
令 ，则 .
可得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
即 的最小值为 ，可得 面积的最小值为 .
故直线 围成的三角形面积的最小值为 .
【变式8-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一
个标量值.行列式具有简洁､对称､优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：
；三阶行列式定义为：
例如： .在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标为 ，
，则 的面积公式可表示为：
(1)已知 ，求 的面积.
(2)已知点 ，若点 是圆 上的动点，求 面积的最小值.
(3)已知椭圆 ，它的左焦点坐标为 ，右顶点坐标为 ，设点 的坐标为
，过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值.
【解析】（1）由题意得
；
（2） ，
设 ，
则
，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，
最小值为 ；
（3）由题意得 ，故 ，故椭圆方程为 ，
过原点 的直线交椭圆于点 ，设 ，
由对称性可知 ，
故
，
故当 时， 面积取得最大值，最大值为4.
【变式8-3】（2024·吉林·模拟预测）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点(2,1)且斜率存在的直线族， 表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲
线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线
族中的某条直线.
(1)若直线族 的包络曲线是圆 ，求 满足的关系式；
(2)若点 不在直线族 的任意一条直线上，对于给定的实数 ，求 的
取值范围和直线族 的包络曲线 ；
(3)在（2）的条件下，过直线 上一个动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，求原点
到直线 距离的最大值.
【解析】（1）由题可知，直线族 与圆
相切即圆心O(0,0)到直线族 的距离为4
满足的关系式为 .（2） 点 不在直线族 的任意一条直线上
则对 ，方程 无解
即 的取值范围为 .
猜想：直线族 的包络曲线 为 .
证明如下：
①设曲线 上任意一点
曲线 在点 处的切线斜率为
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即
令 ，则切线方程为
即曲线 上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
② ，直线族 中的每条直线都是曲线 在点 处的切线.
综上①②，直线族 的包络曲线 为 .
（3）法一：
设
由（2）知，直线 的方程为 ①
直线 的方程为 ②
由①②得：
设直线 的方程为
由 得在直线 上 即
直线 的方程 过定点
当 时，原点 到直线 距离的最大值为 .
法二：
设A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
由（2）知，直线 的方程为 ，直线 的方程为 设 ，则
两点满足上述方程
直线 的方程为
又 在直线 上
即直线 过定点
当 时，原点 到直线 距离的最大值为 .
法三：
设点 ，则
由题意可知，过点 与曲线 相切的直线斜率存在，
故可设直线方程为
由 联立得
且
设直线 的斜率分别为 ，则 是方程 的根
则
由题意可知，直线 的斜率一定存在，
设直线 的方程为 ，
设 ，则由 联立得：
则
则
即
直线 的方程为 过定点
当 时，原点 到直线 距离的最大值为
1．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下
列三个结论：
①曲线 关于直线 对称；
②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过1；
③存在一个以原点为中心､边长为 的正方形，使曲线 在此正方形区域内（含边界）.
其中，正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A
【解析】对于①，用 替换方程中的 ，方程形式不变，
所以曲线 关于直线 对称，故①正确，
对于②，设点 是曲线上任意一点，则 ，
则点 到原点的距离为 ，
由 ，解得 ，当且仅当 时取等号，故②正确，
对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，
所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故③错误.
故选：A
2．（多选题）（2024·高三·河南·开学考试）双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至
关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多
艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线
是双纽线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线 的图象关于原点对称
B．曲线 经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
D．若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】A项，设曲线 上任意一点 ，则坐标满足曲线方程，
即方程 成立，
可得 成立，
即点 关于原点的对称点 也适合曲线方程，
所以曲线 的图象关于原点对称，故A正确；
B项，方程 可化为 ，
令 ，则方程 ，由判别式 ，可得 ，
若 是整数，则 .
令 ， ，解得 或3或 ，有三个整点 ， ， ；
令 ， ，解得 或5，此时无整点；
所以曲线 共经过3个整点，故B错误；
C项，设曲线C上任一点 ，
当 为原点时，到原点的距离为 ，满足题意；
当 不为原点时， ，
则由 可得， ，
所以点 到原点的距离 ，且 ；
综上，曲线C上任一点 到原点的距离都不超过3，故C正确；
D项，直线 恒过原点 ，且曲线C经过 ，
则直线与曲线至少一个公共点，
又 与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.
联立 ，
消 得 ，
当 时，方程 仅一解 ，满足题意；
当 时，当 时，方程恒成立，即恒有一解，
当 时，方程化简得 ，即当 时，方程无解，满足题意；
综上， ，解得 或 ，故D正确.
故选：ACD.
3．（多选题）（2024·高三·广东·开学考试）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西
尼卵形线.设 和 且 ，动点 满足 ，动点 的轨迹显然是卡西尼
卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线 ，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线 的方程是
B．曲线 关于坐标轴对称
C．曲线 与 轴没有交点D． 的面积不大于
【答案】ABD
【解析】设 ，由 ，
得 ，
化简得 ，故A正确；
该方程中把 改为 或把 改为 方程均不变，故B正确；
在方程 中，令 得 ，
当 时， 或 ，当 时， ，当 时， ，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD.
4．（多选题）卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线
是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点 是平面内两个定
点， （ 是定长），特别地，当 时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过
类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（
）
A．曲线过原点
B．关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称
C．方程为
D．曲线上任意点 ， ，
【答案】ABC
【解析】设 ， 时， ，
化简得到： ，故C正确；
曲线过原点，A正确；关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称，B正确；
验证知 在曲线上，故D错误.
故选：ABC.
5．在平面直角坐标系 中，过椭圆 外一动点 作 的两条切线 ，且 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)对于给定非空点集 ，若 中的每个点在 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为 .已知直线 与曲线 相交于 两点，若 分别是线段 和曲线 上所有点
构成的集合， 为曲线 上一点，当 的面积最大时，求 .
【解析】（1）当 的斜率不存在或者为0时，
由题意可知点 的坐标为 或 ；
当切线的斜率存在且不为0时，
设过 作椭圆的切线的斜率为 ，
则切线的方程为 ，将其与椭圆方程联立，
并化简得
由题意得， ，
设 的斜率分别为 ，则 是上式的两个根，且 ，
所以 ，则 ，
又 ，则 ，即 ，
综上所述，动点 的轨迹 的方程为 ；
（2）过圆心 作直线 的垂线，垂足为 ，设 ，
则 ，
由题意 ，
又 ，.
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 ，
由题意得， .6．在 平面上，我们把与定点 距离之积等于 的动点的轨迹称为伯努利双纽线，
为该曲线的两个焦点．已知曲线 是一条伯努利双纽线．
(1)求曲线 的焦点 的坐标；
(2)判断曲线 上是否存在两个不同的点 、 （异于坐标原点 ），使得以 为直径的圆过坐标原点 ．
如果存在，求点 、 坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）设焦点 ，
由题意得， ，即 ，
整理得， ，又 ，
则 ，解得 ，因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）假设曲线 上存在两点 ，使得以 为直径的圆过原点 ，则 ，
由 ，令 ， ，即 ，
解得 ，所以直线 的斜率均存在，
不妨设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
将直线 的方程与曲线 联立，得 ，
因为 、 异于坐标原点 ，即 ，
所以 ，解得 ，
同理可得 ，
所以 不成立，则假设不成立，
即曲线 上不存在两点 ，使得以 为直径的圆过原点 ．7．中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.
它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双
纽线. 在 平面上，我们把与定点 ， 距离之积等于 的动点的轨迹称为伯努利双
纽线， ， 为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知
曲线 是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C的焦点 ， 的坐标；
(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.
如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）方法一：设焦点 ， ，
曲线 与x轴正半轴交于点 ，
由题意知 ，
于是 ， ，
因此 ， ；
方法二：设焦点 ， ，
由题意知 ，
即 ，
整理得 ，于是 ， .
因此， ， ；
（2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即 ，
由题意知直线OA，OB斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为 ，直线OB的方程为 ，
将直线OA的方程与曲线C联立，得 ，即 .
解得 ，同理 ，
因此 不可能成立，于是假设不成立，
即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.
8．（2024·全国·模拟预测）定义：一般地，当 且 时，我们把方程 表示的椭
圆 称为椭圆 的相似椭圆．已知椭圆 ，椭圆 （ 且 ）是椭圆
的相似椭圆，点 为椭圆 上异于其左、右顶点 的任意一点．
(1)当 时，若与椭圆 有且只有一个公共点的直线 恰好相交于点 ，直线 的斜率分别为 ，
求 的值；
(2)当 （e为椭圆 的离心率）时，设直线 与椭圆 交于点 ，直线 与椭圆 交于点 ，
求 的值．
【解析】（1）设 ，则直线 的方程为 ，即 ，
记 ，则 的方程为 ，
将其代入椭圆 的方程，消去 ，得 ，
因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点，
所以 ，即 ，
将 代入上式，整理得 ，
同理可得， ，
所以 为关于 的方程 的两根，
所以， ．
又点 在椭圆 上，所以 ，
所以 ．
（2）由椭圆 ，得其离心率 ，
所以当 ，即 时，椭圆 的标准方程为 ，
所以， ， ，恰好为椭圆 的左、右焦点，
易知直线 的斜率均存在且不为 ，
所以 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以 ．
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
设 ，则 ， ，
所以
，
同理可得 ，
所以 ．
9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.(1)设 ，若 的焦距为2，l过点 ，求l的方程；
(2)设 ，若 是 上的一点，且 ，l与 交于不同的两点A、B，Q为 的上顶点，
求 面积的最大值；
(3)设 是l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义 .用a、b、k、m表示
，并利用 与 的大小关系，提出一个关于l与 位置关系的真命题，给出该命题的证明.
【解析】（1）设椭圆的左焦点 的坐标为 ，则椭圆的右焦点 的坐标为 ，
因为 的焦距为2，所以 ，故 ，所以左焦点 的坐标为 ，
因为l过点 ，直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为 ；
（2）因为 是 上的一点，所以 ，化简可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 的方程为 ，
因为直线l的斜率为k，在y轴上的截距 ，所以直线l的方程为 ，
设 ，由对称性可得 ，
因为 的面积 ， 为坐标原点，
所以 ，又 ，
所以 ，此时直线l的斜率为0，
所以 面积的最大值为2；
（3）因为直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m，所以直线l的方程为 ，则向量 为直线
l的一个法向量，
取 ，因为M是l上一点，故设 ，设椭圆的左焦点 的坐标为 ，则椭圆的右焦点 的坐标为 ，
则 ， ，
由已知 ， ，
所以 ，
提出如下命题：椭圆 的左、右焦点分别为 ，
直线l的方程为 ，若 ，则直线 与椭圆相切，证明如下：
联立方程 ，化简可得 ，
所以 ，
方程 的判别式
，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以方程组 只有一组解，
所以直线 与椭圆 只有一个交点，所以直线 与椭圆 相切.
10．在平面直角坐标系 中，对于直线 和点 ， ，记
，若 ，则称点 ， 被直线l分离，若曲线c与直线l没有公共点，且
曲线c上存在点 ， 被直线l分隔，则称直线l为曲线c的一条分隔线．
（1）求证：点 ， 被直线 分隔；
（2）若直线 是曲线 的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点 的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直
线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
【解析】（1）证明：由题得
∴点A，B被直线 分隔．
（2）直线 与曲线 有公共点的充要条件是方程组 有解，即 ．∵ 是曲线 的分隔线，故它们没有公共点，即 ，
当 时，对于直线 ，曲线 上的点 和 满足 ，即点 和
被 分隔．
故实数k的取值范围是 ．
（3）证明：设M的坐标为 ，则曲线E的方程为 ，即 ．
对任意的 ， 不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．
又曲线E上的点 和 对于y轴满足 ，
即点 和 被y轴分隔．∴y轴为曲线E的分隔线．
若过原点的直线不是y轴，设其为 ，由 得 ，令
，
∵ ，
∴方程 有实数解．
即直线 与曲线E有公共点，故直线 不是曲线E的分隔线．
综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
11．设直线 ，曲线 ．若直线 与曲线 同时满足下列两个条件：①直线 与曲线 相
切且至少有两个切点；②对任意 都有 ．则称直线 为曲线 的“上夹线”．
（1）已知函数 ．求证： 为曲线 的“上夹线”；
（2）观察下图：
根据上图，试推测曲线 的“上夹线”的方程，并给出证明．
【解析】（1）由 ，令 ，得 ，当 时， ，
此时 ， ，
因为 ，所以 是直线 与曲线 的一个切点；
当 时， ，
此时 ， ，
因为 ，所以 是直线 与曲线 的一个切点；
所以直线 与曲线 相切且至少有两个切点；
对任意 ， ，
所以 .
因此直线 是曲线 的“上夹线”．
（2）推测： 的“上夹线”的方程为 ，
①先检验直线 与曲线 相切，且至少有两个切点：
设： ，
，
令 ，得： ，
当 时， ，
故：过曲线 上的点 的切线方程为：
，化简得： ．
即直线 与曲线 相切且有无数个切点．
不妨设 ，
②下面检验 ，
，
所以直线 是曲线 的“上夹线”．
12．在平面直角坐标系 中，定义：如果曲线 和 上分别存在点 ， 关于 轴对称，则称点 和
点 为 和 的一对“关联点”．(1)若 上任意一点 的“关联点”为点 ，求点 所在的曲线方程和 的最小值；
(2)若 上任意一点 的“关联点”为点 ，求 的最大值；
(3)若 和 在区间 上有且仅有两对“关联点”，求实数 的取值
范围．
【解析】（1）设点 ，则点 的“关联点”为 ，
代入 ，得 ，即 ，
所以点 所在的曲线方程为 ；
根据对称性， ，则 ，
由 ，又 ，得 ，即 ，
当且仅当 且 ，
即 ， 或 ， 时取等号．
故当 ， 或 ， 时， ；
（2）设 ，则根据对称性，得 ，
设 ， ， ，
代入 ，得 ，
所以 ．
方法一：令 ，则 ，
所以 ，
当 时， ；当 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的最大值点，即 ，
故 ；方法二：
，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，
故 ；
（3） 和 在区间 上有且仅有两对“关联点”，
等价于曲线 和 有且仅有两个交点．
设函数 ，
则 在区间 上有两个零点．
， ，
①当 时， 恒成立，则 在 上单调递增，
不可能有两个零点；
②当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
因为 ，
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
所以 ；
设 ， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 在 处取得极大值，也是最大值， ．
所以 ，从而 ，
即 ．取 ，则 ；
因此，要使 有两个零点，只需 ，
即 ，
化简得
令函数 ，
因为 ，所以 在 上单调递增；
又 ，所以当 时， ，
从而 ，得解集为 .
故实数 的取值范围是 .
13．定义：若椭圆 上的两个点A(x ,y ),B(x ,y )满足 ，则称
1 1 2 2
为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图， 为椭圆 的“共轭点对”，已知 ，且点 在直线 上，直线 过原点．
(1)求直线 的方程；
(2)已知 是椭圆 上的两点， 为坐标原点，且 ．
（i）求证：线段 被直线 平分；
（ii）若点 在第二象限，直线 与 相交于点 ，点 为 的中点，求 面积的最大值．
【解析】（1）由已知，点 在直线 上，
又因为直线 过原点，
所以所求直线 的方程为： ．（2）（i）方法1：因为 ，所以
设 ，则 ，
两式相减得 ，
整理得 ，
即 ，所以线段 的中点在直线 上．
所以线段 被直线 平分．
方法2：因为 ， ，
所以设 ，
由 ，
由韦达定理得 ，于是 ，
从而 ，所以线段 的中点在直线 上．
（ii）由（i）可知 为 的中点，而 为 的中点，
所以 ．
由 解得 ，设 ，
由 ，
由 ，
由韦达定理得 ．点 到直线 的距离 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
所以 ，所以 的最大值为 ．
14．（2024·高三·湖北·开学考试）类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲
面（含平面） 的方程，若曲面S和三元方程 之间满足：①曲面 上任意一点的坐标均为三元
方程 的解；②以三元方程 的任意解 为坐标的点均在曲面 上，则称曲
面 的方程为 ，方程 的曲面为 .已知曲面 的方程为 .
(1)写出坐标平面 的方程（无需说明理由），并说明 平面截曲面 所得交线是什么曲线；
(2)已知直线 过曲面 上一点 ，以 为方向量，求证：直线 在曲面 上（即 上任意
一点均在曲面 上）；
(3)已知曲面 可视为平面 中某双曲线的一支绕 轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面 上任意一
点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 上.设直线 在曲面 上，且过点 ，求异面直线
（第二间中的直线 ）与 所成角的余弦值.
【解析】（1）根据坐标平面 内点的坐标的特征可知，坐标平面 的方程为 ，
已知曲面 的方程为 ，
当 时, 平面截曲面 所得交线上的点 满足 ，从而 平面截曲面 所得交线是平面 上，以原点 为对称中心，
焦点在 轴上，实轴长为2，虚轴长为4的双曲线.
（2）设 是直线 上任意一点，由 ，
均为直线 的方向向量，有 ，
从而存在实数 ，使得 ，即 ，
则 ，解得 ， ， ，
所以点 的坐标为 ，
于是 ，
因此点 的坐标总是满足曲面 的方程，从而直线 在曲面 上.
（3）直线 在曲面 上，且过点 ,
设 是直线 上任意一点，直线!的方向向量为 ，
由 ， 均为直线 的方向向量，有 ，
从而存在实数 ，使得 ，即 ，
则 ，解得 ， ， ，
所以点 的坐标为 ，
在曲面C上，
，
整理得 ，
由题意，对任意的 ，有 恒成立，
，且 ，
或 ，不妨取 ， 或 ，
，或 ，
又直线 的方向向量为则异面直线 与 所成角的余弦值均为 .
15．定义非零向量 的“相伴函数”为 ，向量 称为函数
的“相伴向量” 其中 为坐标原点 记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
.
(1)设 ，求证： ；
(2)求（1）中函数ℎ(x)的“相伴向量”模的取值范围；
(3)已知点 满足： ，向量 的“相伴函数” 在 处取得最大
值.当点 运动时，求 的取值范围.
【解析】（1） ，
函数ℎ(x)的相伴向量 ，
；
（2） ，
， ， 的取值范围为 ；
（3） 的相伴函数 ，
其中 ， ， 在 处取得最大值，
， ，即 ， ，
，
，其中 为直线 的斜率 .
圆 的圆心 ，半径为1，直线 的方程为 .
由题意点 在圆上运动， ，解得 ，又 ，所以 ，
令 ，则 ， ，
又 在 上单调递增，当 时， ，
当 无限趋向于0时， 趋向于负无穷大，
， .
16．（2024·高三·四川达州·开学考试）定义：若椭圆 上的两个点
满足 ，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 ．已知椭圆
的一个焦点坐标为 ，且椭圆过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点 满足“共轭点对” ，并求出 的坐标；
(3)设（2）中的两个点 分别是 ，设 为坐标原点，点 在椭圆 上，且 ， 顺时针排列
且 ，证明：四边形 的面积小于 ．
【解析】（1）由题，椭圆 的另一焦点为F (1,0)，
2
因此 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）设“共轭点对” 中点 的坐标为B(x,y)，
根据“共轭点对” 定义：
点 的坐标满足 所以 或
于是有两个点满足，且点 的坐标为 ．（3）设 ．
设 所在直线为 ，则 的方程为 ．
设点 ，则
两式相减得 ．
又 ，于是 ，则 ，所以线段 的中点在直线 上．
所以线段 被直线 平分．
设点 到直线 的距离为 ，
则四边形 的面积 ．
又 ，则有 ．
设过点 且与直线 平行的直线 的方程为 ，则当 与 相切时， 取得最大值．
由 消去 得
令 ，解得 ．
当 时，方程 为 ，即 ，解得 ，
则此时点 或点 必有一个和点 重合，不符合条件 ，
从而直线 与 不可能相切，
即 小于直线 和平行直线 （或 ）的距离 ，所以 ．
17．（2024·广东汕头·三模）已知拋物线 和 ，其中 . 与 在第一象限内的交
点为 . 与 在点 处的切线分别为 和 ，定义 和 的夹角为曲线 的夹角.
(1)若 的夹角为 ， ，求 的值；
(2)若直线 既是 也是 的切线，切点分别为 ，当 为直角三角形时，求出相应 的值.
【解析】（1）设点 ，
联立方程 ，解得 ，即 .
设 和 的斜率分别为 和 ，
因为 在第一象限内，
对于 ，考虑函数 ，求导 ，
根据导数的几何意义，代入点 横坐标，得 ；
对于 ，考虑函数 ，求导 ，
根据导数的几何意义，代入点 横坐标，得 .
因为 的夹角为 ，根据定义可知 和 的夹角为 ，所以 ，
由夹角公式得： ，
化简为 ，即 ，得 .（2） 显然不与坐标轴平行，设其方程为 .
联立 可得， .
和 只有一个公共点，所以 ，即 .
同理联立 ，可得 ，
，即 .
联立方程 ，可得 .
又点 纵坐标为 ，点 横坐标为 ，
所以 .
设 ，则 .
若 为直角，则 ， ，
解得 ， ；
若 为直角，则 ， ，
， ；
若 为直角，则 ， ，无解.
综上， 或 为所求.
18．（2024·高三·上海徐汇·期中）如图定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点 作 轴的垂线交其“伴随圆”于点 （ 、 在同一象限内），称点 为点 的“伴
随点”．已知椭圆 上的点 的“伴随点”为 ．
(1)求椭圆 及其“伴随圆”的方程；
(2)求 的最大值，并求此时“伴随点” 的坐标；
x2 y2
【解析】（1）因为椭圆E: + =1(a>b>0)过点 ，伴随圆 过点 ，所以
a2 b2
，解得 ，
∴椭圆 的方程 ；伴随圆的方程为 ．
（2）设 ，则 ；
，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ．19．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三
角形的三个顶点，且椭圆E过 ，直线 与椭圆E交于A、B．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为 ， ，证明： ；
(3)直线 是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义 为椭圆E的弦切角， 为弦TB
对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角 与弦TB对应的椭圆周角 的关系，并证明你的论．
【解析】（1）由题意知， ，所以 ，
又椭圆经过T（2,1），所以 ，
解得 ， ，所以椭圆方程为 ；
（2）联立直线与椭圆方程，得 ，
所以 ，∴ ，
则 ，解得 ，
设 ，则 ， ，
所以
，即 ；
（3）椭圆E的弦切角 与弦TB对应的椭圆周角 相等.证明如下：
设切线方程为 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 ，
，解得 ，
则 ，又 ，所以 ，所以 ，
设切线与x轴交点为Q，TA、TB分别与x交于C，D，
因为 ，所以 ，又 ，
， ，
所以 .
