文档文本内容
拔高点突破 02 极值点偏移问题与拐点偏移问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：极值点偏移:加法型...............................................................................................................3
题型二：极值点偏移:减法型...............................................................................................................5
题型三：极值点偏移:乘积型...............................................................................................................6
题型四：极值点偏移:商型...................................................................................................................7
题型五：极值点偏移:平方型...............................................................................................................9
题型六：极值点偏移:混合型.............................................................................................................10
题型七：拐点偏移问题......................................................................................................................11
03 过关测试.........................................................................................................................................121、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
称性。若函数f (x)在 x=x 处取得极值，且函数y=f (x)与直线y=b交于A(x ,b),B(x ,b)两点，则
0 1 2
x +x x +x
的中点为M( 1 2,b)，而往往x ≠ 1 2 。如下图所示。
AB 2 0 2
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数y=f (x)在区间(a,b)内只有一个极值点 x ，方程f (x)的解分别为
0
x +x
x 1 、x 2 ，且a<x 1 <x 2 <b，（1）若 1 2 2 ≠x 0 ，则称函数 y=f (x) 在区间 (x 1 ,x 2 ) 上极值点x 0 偏移；
x +x
（2）若 1
2
2 >x
0
，则函数
y=f (x)
在区间
(x 1 ,x 2 )
上极值点x
0
左偏，简称极值点x
0
左偏；（3）若
x +x
1
2
2 <x
0
，则函数
y=f (x)
在区间
(x 1 ,x 2 )
上极值点x
0
右偏，简称极值点x
0
右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点
为 )，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x.
0
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数 ，若证 ，则令
.
(3)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(4)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
(5)转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关
系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明 的符号问题，还需进一步讨论 与x 的大小，得出 所在
0
的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿
于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在
联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性
进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的
函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁
明快的思路，有着非凡的功效
3、应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可.
题型一：极值点偏移:加法型
【典例1-1】（2024·四川南充·一模）已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
【典例1-2】（2024·安徽马鞍山·一模）设函数 .
(1)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；(2)已知方程 有两个不同的根 、 ，求证： ，其中 为自然对数
的底数.
【变式1-1】（2024·甘肃酒泉·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 （ 为 的导函数），方程 有两个不等实根 、 ，求证： ．
【变式1-2】（2024·安徽淮南·二模）已知函数 ．
(1)若 ，证明： 时， ；
(2)若函数 恰有三个零点 ，证明： ．
【变式1-3】（2024·河南新乡·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： .
题型二：极值点偏移:减法型
【典例2-1】已知函数 .(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，若方程 有三个不相等的实数根 ，且 ，证明： .
【典例2-2】（2024·湖南邵阳·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，方程 有三个不相等的实数根，分别记为 .
①求 的取值范围；
②证明 .
【变式2-1】已知函数 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)已知 ，设 的两个极值点为 ，且存在 ，使得 的图象与 有三
个公共点 ；
①求证： ；
②求证： ．
题型三：极值点偏移:乘积型
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．【典例3-2】（2024·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
【变式3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．
【变式3-2】（2024·江西南昌·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时， 恒成立，求a的取值范围．
(2)若 的两个相异零点为 ， ，求证： ．
【变式3-3】（2024·河北保定·二模）已知函数 为其导函数．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数 ，使得 ，证明： ．【变式3-4】（2024·高三·重庆·期末）已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求 的最值；
(2)证明： .
题型四：极值点偏移:商型
【典例4-1】（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数 ，其中
为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
【典例4-2】已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【变式4-1】已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .【变式4-2】（2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
【变式4-3】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 ， .
(1)若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个零点 ，求证： .
题型五：极值点偏移:平方型
【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若 且 ， ，证明： ．【典例5-2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求证： .
【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
【变式5-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
题型六：极值点偏移:混合型
【典例6-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，其中a，b为常数， 为自然对
数底数， ．
(1)当 时，若函数 ，求实数b的取值范围；
(2)当 时，若函数 有两个极值点 ， ，现有如下三个命题：
① ；② ；③ ；
请从①②③中任选一个进行证明．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【典例6-2】已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 时，都有 ，求实数 的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数 满足 ，求证： .
【变式6-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
题型七：拐点偏移问题
【典例7-1】已知函数 ， ．
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)设 ，试讨论函数 的单调性；
(3)当 时，若存在实数 ， 满足 ，求证： ．
【典例7-2】已知函数 ， .（1）讨论函数 的单调性；
（2）对实数 ，令 ，正实数 ， 满足 ，求 的最小值.
【变式7-1】已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： .
【变式7-2】已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程.
（2）若正实数 满足 ，求证： .
【变式7-3】已知函数 ， ，当 时， 恒成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若正实数 、 满足 ，证明： ．1．已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明： .
3．（2024·安徽淮北·一模）已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 上有两个不相等的零点 ，求证： .
4．已知函数 ， ，当 时， 恒成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若正实数 、 满足 ，证明： ．5．已知函数 .
(1)若 的极小值为-4，求 的值；
(2)若 有两个不同的极值点 ，证明： .
6．（2024·云南·二模）已知常数 ，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围;
(2)若 、 是 的零点，且 ，证明: .
7．已知函数 有两个零点 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
8．已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明 .9．已知函数 （其中 为自然对数的底数）.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 为两个不相等的实数，且满足 ，求证： .
10．已知函数 .
(1)若 有唯一极值，求 的取值范围；
(2)当 时，若 ， ，求证： .
11．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在 轴上，另一个顶点 在函数
图象上
(1)当顶点 在 轴上方时，求 以 轴为旋转轴，边 和边 旋转一周形成的面所围成的几何
体的体积的最大值；
(2)已知函数 ，关于 的方程 有两个不等实根 .
（i）求实数 的取值范围;
（ii）证明： .
12．已知函数 .若 有两个零点 ，证明： .13．已知函数 的图像与直线 交于不同的两点 ， ，求证： ．
14．已知函数 ．
(1)若函数 和 的图象都与平行于 轴的同一条直线相切，求 的值；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： ．
