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5.2 认识函数
（第2 课时 函数图象）
题型一：函数图象的识别
1．从深圳到南宁的铁路路程约为615 千米，“复兴号”直达高铁速度为300 千米/小时，“和谐号”动车速度为
200 千米/小时，行驶180 千米后，中途要停靠佛山西站10 分钟，若“和谐号”动车先出发18 分钟，两车与
深圳之间的距离𝑦（千米）与动车行驶时间𝑥（小时）之间的函数图象为（ ）
A．
B．
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2 /
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的图象．先根据两车并非同时出发，得出A 选项错误；再根据高铁速度大于
动车的速度，动车比高铁早出发18 分钟，中途停靠10 分钟，即可得出结论．
【详解】解：由题可得，两车并非同时出发，故A 选项不符合题意；
180 ÷ 200 = 0.9（小时），
0.9小时= 54分钟，
180 ÷ 300 = 0.6（小时），
0.6小时= 36分钟，
36 + 18 = 54（分钟），
所以当动车到达佛山西站时，高铁正好到达佛山西站，B、C、D 三个选项中只有C 选项符合题意．
故选：C．
2．(24-25 七上·福建福州高新区·开学考)水龙头向如图所示的容器内注水，下列能大致表示容器中水位高度
随时间变化而变化的图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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3 /
【分析】此题主要考查了函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
由于两个容器的大小不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段，再结合每个选项进行分析，即可作答．
【详解】解：观察图形，得下面的容器的半径较大，上面的容器的半径较小，
∴函数图象的水面高度先随时间的增大而增长,且增长速度缓慢，再随着时间的增大而增长,且增长速度较快，
符合题意的是B 选项，
故选：B．
3．长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水
的深度y 与注水时间x 的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象
上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据水槽的横断面示意图，
可知注水速率不变时，水面上升的快慢取决于当时水面所“拥有”的横截面积大小，瓶底较窄，水初淹没瓶底
时，周围可盛水的面积较大，水面上升较慢；随着瓶身最鼓处被淹没，瓶子占去的空间最大，水可盛放的
面积减小，水面上升加快；继续往上到瓶颈较细处时，瓶子占用的面积又变小，水面上升又转慢，故水的
深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可．
【详解】解：由水槽的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：B．
4．(2025·贵州省遵义市·模拟)化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空
瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h 与注水时间t 之间可以近似地看作某种函数关
系，则其函数关系的图象大致是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关
键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题．
【详解】解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，
所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高，
因为瓶子的上半部分是圆柱，
所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．
故选：A．
5．李华一家从动物园的游客中心出发，路过象馆游玩一段时间后，再前往熊猫馆，下面四个选项中，能描
述李华一家与游客中心的距离s 随时间t 变化的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，整个过程分为三个阶段，第一阶段是去往象馆，距离随时间增
加，第二阶段是象馆游玩，距离随着时间的增加不变，第三阶段是前往熊猫馆，距离随时间增加，据此结
合函数图象可得答案．
【详解】解：分三个阶段：第一阶段是去往象馆，此时李华一家与游客中心的距离随着时间的增加而增加，
第二阶段是象馆游玩，此时李华一家与游客中心的距离随着时间的增加保持不变，
第三阶段是前往熊猫馆，此时李华一家与游客中心的距离随着时间的增加而增加，
∴四个选项中，只有A 选项中的函数图象符合题意，
故选：A．
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6．(25-26 九上·云南昆明第十四中学·开学考)王红骑自行车去与家相距2600m的樱花园赏花游玩，王红以
200m/min的速度匀速骑行，出发5min后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行
驶的路线骑电动车以450m/min的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家
出发到返回家中所用的时间是8min，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，
则哥哥和王红之间的距离𝑦(m)与王红的行驶时间𝑥(min)的函数关系图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数图象的确定，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据题意逐段进行分析，求出每个关键点的函数值和自变量的值，然后对比选项函数图象即可．
【详解】解：根据题意，当王红出门开始时，哥哥和王红的距离逐渐增大，当𝑥= 5时，𝑦= 200 × 5 = 1000；
当哥哥开始追王红时，哥哥和王红的距离逐渐减小，哥哥追上王红所用时间为：1000 ÷ (450 −200) = 4min，
当𝑥= 5 + 4 = 9时，𝑦= 0；
当哥哥和王红离开时，哥哥和王红的距离逐渐增大，此时，哥哥到家和王红到达终点所用时间为4min，即
当𝑥= 9 + 4 = 13时，𝑦= 2600；
通过选项对比，只有B 选项符合要求，
故选：B．
7．(24-25 八上·陕西咸阳秦都区方圆学校·期中)春节过后，某服装店店主小明购进一批春装销售，小明以每
件𝑎元(𝑎> 0)的利润销售一部分后，发现销售情况很好，于是提高售价继续销售，由于天气转热，为了清空
库存购进夏装，小明只好以进价处理了余下的衣服．在销售的过程中，小明获得的利润𝑦（元）与销售的数
量𝑥（件）的函数关系大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查函数图象，熟练根据实际情境分段得出大致的函数图象是解题的关键．分为三部分：①
以每件𝑎元(𝑎> 0)的利润销售一部分春装时；②提高售价后；③以进价处理余下的衣服时，依次分析即可．
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【详解】解：以每件𝑎元(𝑎> 0)的利润销售一部分春装时，利润y 随销售数量x 的增加而匀速增长，是一条
线段；
提高售价后，每件服装的利润增大，利润y 随销售数量x 的增加继续增长，且增长速度加快，即图象变陡；
以进价处理余下的衣服时，没有利润，y 不再增长，在图象中反映为一段平行于x 轴的线段．
符合题意的只有选项B，
故选：B．
题型二：从函数图象中获取信息
1．小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离𝑆m与时间𝑡min的函数关系，根据图象提供的
信息，给出以下结论：①他在前12min的平均速度是70m/min；②他在19~21min时在家中逗留；③他在
12~19min时离家越来越远；④他在41min后到家．其中，正确的是（ ）
A．①②③④
B．①④
C．①③
D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查函数图象，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．由图象可以直
接得出前12分钟小亮的平均速度，从而得出①正确；由图象可知从12分到19分小亮又返回学校，可以判断
②错误，③正确；求出小亮33分钟离家距离，可以判断④正确.
【详解】解：由图可知，前12分钟的平均速度为：
1800−960
12
= 70（米/分），故①正确；
由图象可知，小亮第19分钟又返回学校，故②错误；
由图象可知，他在第12~19分钟时离家越来越远故③正确；
由图象可知：第41 分钟41min离家距离为0，故④正确，
故选：D．
2．(25-26 八下·江西吉安·期末)如图是泰安市某一天内的气温变化图，下列结论中错误
．．的是（ ）
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A．这一天中最高气温是24°C
B．这一天中最高气温与最低气温的差为16°C
C．这一天中2 时至14 时之间的气温在逐渐升高
D．这一天中气温在逐渐降低的只有14 时至24 时
【答案】D
【分析】此题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键．
根据函数图象的纵坐标，可得气温，根据函数图象的增减性，可得答案．
【详解】A、由纵坐标看出，最高气温是24°C，正确，不符合题意；
B、由纵坐标看出，最低气温是8°C，温差是24 −8 = 16(°C)，正确，不符合题意；
C、由函数图象看出，这一天中2 时至14 时之间的气温在逐渐升高，正确，不符合题意；
D、由函数图象看出，这一天中0 时至2 时，14 时至24 时气温在逐渐降低，原说法错误，符合题意．
故选：D．
3．(24-25 八上·山东济南历城区第六中学·月考)𝐴，𝐵两地相距640km，甲、乙两辆汽车从𝐴地出发到𝐵地，均
匀速行驶，甲出发1 小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距𝑠（km），甲行驶的时间为𝑡（h），
𝑠与𝑡的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到
5
3 h；
④甲车行驶8h或9
1
4 h，甲，乙两车相距80km；
其中错误的个数为（ ）
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A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的图象，能从函数图象中获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关
键．
根据图象可得甲车行驶的速度是60km/h，再由甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，可得到乙车行驶的速度是
80km/h，故①正确；故②正确；根据图象可得当乙到达𝐵地时，甲乙相距100km，从而得到甲比乙晚到
100 ÷ 60 =
5
3 h，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达𝐵地时和当乙车到达𝐵地后时，
可得④不正确．
【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是60 ÷ 1 = 60(km/h)，
∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，
∴3 (𝑣乙−60) = 60，
∴𝑣乙= 80km/h，
即乙车行驶的速度是80km/h，故①正确，不符合题意；
②∵当𝑡= 1时，乙出发，当𝑡= 4时，乙追上甲，
∴甲出发4h后被乙追上，故②正确，不符合题意；
③由图可得，当乙到达𝐵地时，甲乙相距100km，
∴甲比乙晚到100 ÷ 60 =
5
3 (h)，故③正确，不符合题意；
④设甲车行驶𝑡h，甲，乙两车相距80km，
由图可得，当乙车在甲车前，且未到达𝐵地时，则60𝑡+ 80 = 80(𝑡−1)
解得𝑡= 8；
当乙车到达𝐵地后时，60𝑡+ 80 = 640，
解得𝑡= 9
1
3，
∴甲车行驶8h或9
1
3 h，甲，乙两车相距80km，故④不正确，符合题意；
综上所述，错误的个数是1 个．
故选：B．
4．(25-26 八上·陕西西安高新一中·月考)周末甲、乙两同学计划从同一起点出发，沿同一条路出发去距离80km
的某风景旅游区游玩，甲、乙两人离开出发点的距离𝑠（单位：km）与时间𝑡（单位：h）之间的关系如图所
示．当乙比甲多行驶10km时，乙出发了 h．
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【答案】
3
4或
9
8
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，设乙出发的时间为𝑚h，根据函数图
象可求出甲、乙的速度，再分甲未出发，乙走10km和甲出发，且甲没有追上乙时，乙比甲多行驶10km两
种情况，讨论求解即可．
【详解】解：设乙出发的时间为𝑚h，
由函数图象可知，甲的速度为
20
1.5−1 = 40km/h，乙的速度为
20
1.5 =
40
3 km/h，
当甲未出发，乙走10km时，乙出发的时间为10 ÷
40
3 =
3
4 h；
当甲出发，且甲没有追上乙时，乙比甲多行驶10km，则
40
3 𝑚−40(𝑚−1) = 10，
解得𝑚=
9
8；
综上所述，当乙比甲多行驶10km时，乙出发了
3
4 h或
9
8 h，
故答案为：
3
4或
9
8．
5．(24-25 七上·江西南昌外国语学校·期中)如图，电车通过A 站经过B 站到C 站，然后返回．去时在B 站停
车，而返回时不停，去时的车速为每小时48 千米．
（1）A 站与B 站相距 千米，B 站与C 站相距 千米．
（2）返回时车速是每小时 千米．
【答案】 3.2 4 72
【分析】本题考查从函数图像获取信息．
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从折线图中可以看出，从A 站到B 站行驶了4 分钟，从B 站到C 站行驶了(10 −5)分钟，返回时用时(19 −13)
分钟，根据时间、路程、速度之间的关系即可求解．
【详解】解：（1）48 千米/小时= 48 ÷ 60 = 0.8（千米/分钟），
A 站与B 站相距：4 × 0.8 = 3.2（千米），
B 站与C 站相距：(10 −5) × 0.8 = 4（千米），
（2）返回时车速：(3.2 + 4) ÷ (19 −13) = 1.2（千米/分钟）= 72（千米/小时），
故答案为：3.2，4，72．
6．如图，是某购物中心食品柜在4 月份的营业情况统计图象，根据图象回答下列问题：（1）在这个月中，
日最低营业额是在4 月 日，达到 万元；（2）这个月中最高营业额是在4 月
日，达到 万元；（3）这个月从 日到 日营业额情况较好，呈逐步上
升趋势．
【答案】 9 2 21 6 9 21
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象解答即可，采用数形结合的思想是解此题的关
键．
【详解】解：（1）由图象可得：在这个月中，日最低营业额是在4 月9 日，达到2 万元；
故答案为：9，2；
（2）由图象可得：这个月中最高营业额是在4 月21 日，达到6 万元；
故答案为：21，6；
（3）由图象可得：这个月从9 日到21 日营业额情况较好，呈逐步上升趋势；
故答案为：9，21．
7．(23-24 九下·山东济南历下区山东师范大学第二附属中学·开学考)疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别
对本地各40 万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5 万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经
过a 天后接种人数达到30 万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100 天完成接种任务，乙地80 天完
成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所
示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 万人．
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【答案】4
【分析】本题主要考查了函数图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获取准确信息．
根据题意和图象求出两地每天接种的人数，然后即可求解．
【详解】解：乙地每天接种的人数为40 ÷ 80 = 0.5（万人），
∴𝑎= (30 −5) ÷ 0.5 = 50，
∴甲地后期每天接种的人数为(40 −30) ÷ (100 −50) = 0.2（万人），
∴甲地未接种疫苗的人数为0.2 × (100 −80) = 4（万人），
故答案为：4．
题型三：描点法画函数图象
1．(25-26 八上·陕西西安交通大学附属中学空港实验学校·月考)小颖根据学习函数的经验，对函数𝑦= 1 −
|𝑥−1|的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x
⋯
−2
−1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
−2
−1
0
1
0
−1
k
⋯
①𝑘=______．
②若𝐴(8,−6), 𝐵(𝑚, −6)为该函数图像上不同的两点，则𝑚=_______．
(2)描点并画出该函数的图像．
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(3)①根据函数图像可得：该函数的最大值为________．
②观察函数𝑦= 1 −|𝑥−1|的图像，写出该图像的两条性质：________．
【答案】(1)①−2；②−6
(2)见解析
(3)①1；②该函数的图像是轴对称图形；当𝑥< 1时，y 随x 的增大而增大，当𝑥> 1时，y 随x 的增大而减
小
【分析】本题考查了函数的图像及性质，从函数图像获取信息是解题的关键．
（1）①已知𝑦= 1 −|𝑥−1|，将𝑥= 4的值代入即可求得𝑘的值；②𝐴(8, −6)，𝐵(𝑚, −6)为该函数图像上不
同的两点，则将𝑦= −6代入解析式即可求解；
（2）描点连线画图即可；
（3）①观察图像可得；②观察图像可得．
【详解】（1）解：①当𝑥= 4时，𝑘= 1 −|4 −1| = 1 −3 = −2，
故答案为：−2；
②𝐴(8, −6)，𝐵(𝑚, −6)为该函数图像上不同的两点，即−6 = 1 −|𝑚−1|，
解得𝑚= 8（舍去）或𝑚= −6，
故答案为：−6；
（2）解：如图所示：
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（3）解：①由图像可得当𝑥= 1，该函数的最大值为1，
故答案为：1；
②观察图像可得：该函数的图像是轴对称图形；当𝑥< 1时，y 随x 的增大而增大，当𝑥> 1时，y 随x 的增
大而减小．
2．(25-26 八上·安徽利辛县部分学校·月考)数学兴趣小组根据学习函数获得的经验，对函数𝑦=
|𝑥|
2 −1进行了
探究．下面是他们的探究过程，请你帮助他们补充完整．
(1)自变量𝑥的取值范围是______；
(2)下表是𝑦与𝑥的几组对应值，请你完成表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
𝑥
⋯
−2
−1
0
1
2
⋯
𝑦
⋯
0
______
______
______
______
⋯
(3)结合函数图象，可以发现：
①函数的最小值为______；
②写出此函数的性质（一条即可）．
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【答案】(1)全体实数
(2)见解析
(3)①−1；
②函数𝑦=
|𝑥|
2 −1的图象关于𝑦轴对称；
当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小；
当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大等（答案不唯一，写出一条即可）
【分析】本题考查了一次函数与分段函数，画函数图象，函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问
题是解题的关键．
（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；
（2）把𝑥的值分别代入函数解析式中，求得对应的𝑦值即可，再根据表格描点连线即可画出函数图象；
（3）①根据图象直接得到最小值；②观察函数图象的特征，写出其中一条性质即可．
【详解】（1）解：𝑥取任意实数，函数𝑦=
|𝑥|
2 −1都有意义，
故答案为：全体实数；
（2）解：补全表格如下：
𝑥
⋯
−2
−1
0
1
2
⋯
𝑦
⋯
0
−1
2
−1
−1
2
0
⋯
在平面直角坐标系中画出该函数的图象如下图：
（3）解：①观察图象可知，函数的最小值为−1；
故答案为：−1；
②函数𝑦=
|𝑥|
2 −1的图象关于𝑦轴对称；
当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小；
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当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大等（答案不唯一，写出一条即可）．
3．数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器
表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：
(1)探究函数：根据函数解析式③，按照如表中自变量x 的值计算（精确到个位），得到了S 与x 的几组对应
值：
𝑥/cm
…
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
…
𝑆cm2
⁄
…
666
454
355
303
277
266
266
274
289
310
336
…
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(2)解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积 （填“大”
或“小”）；②若容器的表面积为300cm2，容器底面半径约为 cm（精确到0.1）．
【答案】(1)见解析
(2)①大②2.5 或5.3
【分析】本题考查了函数图象，结合图象和表格信息是解题的关键．
（1）根据图象上点连线即可；
（2）根据图表即可求出答案．
【详解】（1）解：函数图象如图所示：
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（2）解：①根据图表可知，半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大，
故答案为：大．
②根据图表可知，当𝑆= 300cm2，𝑥≈2.5cm或𝑥≈5.3cm，
故答案为：2.5 或5.3．
4．在学习一次函数时，我们经历了探究函数的图象与性质的过程，下面是小颖探究函数𝑦= |𝑥−1| + 2的
图象与性质的过程，请结合学习函数的经验，将探究过程补充完整．
𝑥
⋯
−2
−1
0
1
2
3
4
⋯
𝑦
⋯
5
4
3
2
3
4
𝑘
⋯
(1)列表，填空：𝑘=_______；
(2)根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；根据函数图象可得，该函
数的最小值为______；
(3)若点𝐴(𝑥1,𝑦1), 𝐵(𝑥2,𝑦2)在该函数的图象上，且𝑥1 < 𝑥2 < 1，观察图象并写出𝑦1，𝑦2的大小关系：______；
(4)观察函数𝑦= |𝑥−1| + 2的图象，请写出该函数的两条性质．
【答案】(1)5
(2)图象见解析，2
(3)𝑦1 > 𝑦2
(4)①该函数图象的对称轴为直线𝑥= 1；②当𝑥< 1时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小；当𝑥> 1时，𝑦的值随𝑥值
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的增大而增大
【分析】本题考查了求函数值，画函数图象，根据函数图象获取信息，正确作出函数图象是解题的关键．
（1）将𝑥= 4代入𝑦= |𝑥−1| + 2即可求解；
（2）根据描点，连线即可作图，即可从图象求解函数最小值；
（3）根据函数图象即可求解；
（4）根据函数图象即可获取信息．
【详解】（1）解：当𝑥= 4时，𝑘= |4 −1| + 2 = 5，
故答案为：5；
（2）解：函数图象如图：
由图象可得该函数的最小值为2；
（3）解：∵点𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2)在该函数的图象上，且𝑥1 < 𝑥2 < 1，
∴从图象可得𝑦1 > 𝑦2，
故答案为：𝑦1 > 𝑦2；
（4）解：从图象可得：①该函数图象的对称轴为直线𝑥= 1；②当𝑥< 1时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小；
当𝑥> 1时，𝑦的值随𝑥值的增大而增大．
5．(25-26 九上·吉林长春长春净月高新技术产业开发区慧泽学校·期中)问题，我们已经知道反比例函数的图
象是双曲线，那么函数𝑦=
6
|𝑥|−3的图象是怎样的呢？
【探索】（1）该函数的自变量的取值范围为___________；
（2）描点画图：
①列表：如表是𝑥与𝑦的几组对应值；
x
…
−7
−6
−5
−4
−2
−1
0
1
2
4
5
6
7
…
y
…
3
2
2
3
6
−6
−3
−2
−3
−6
6
3
2
3
2
…
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18 /
②描点：根据表中各组对应值(𝑥, 𝑦)，在平面直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．
【应用】观察你所画的图象，解答下列问题：
（3）若点𝐴(𝑎, 𝑐)，𝐵(𝑏, 𝑐)为该函数图象上不同的两点，则𝑎+ 𝑏=___________；
（4）直接写出当
6
|𝑥|−3 ≤−2时，𝑥的取值范围为___________．
【答案】（1）𝑥≠±3；（2）见解析；（3）0；（4）−3 < 𝑥< 3．
【分析】本题考查了新函数的图象和性质的研究，属于创新探究题型，正确作出图象，会观察图象的特征
是解决本题的关键．
（1）由分母不为0 可求得自变量的取值范围；
（2）根据图中描出的点，用平滑的曲线顺次连接即可；
（3）由图可得，函数𝑦=
6
|𝑥|−3的图象关于y 轴对称，再由A、B 点的纵坐标可得A、B 两点关于y 轴对称，
即可求得结果；
（4）观察图象，找到函数图象在直线𝑦= −2下方时，x 的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵ |𝑥| −3 ≠0，
∴ 𝑥≠±3，
故答案为：𝑥≠±3；
（2）解：作图如图所示；
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19 /
（3）解：由图可得，函数𝑦=
6
|𝑥|−3的图象关于y 轴对称，
∵点𝐴(𝑎, 𝑐)，𝐵(𝑏, 𝑐) ，
∴A、B 两点关于y 轴对称，
∴ 𝑎+ 𝑏= 0，
故答案为：0；
（4）解：由图可得，
当
6
|𝑥|−3 ≤−2时，𝑥的取值范围为−3 < 𝑥< 3，
故答案为：−3 < 𝑥< 3．
6．画分段函数𝑦= {
2
𝑥, 𝑥≥1
2|𝑥|, 𝑥< 1
的图象．
(1)列下表，其中𝑚=____________，𝑛=____________；
𝑥
…
−2
−3
2
−1
−1
2
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
…
𝑦
…
𝑚
3
2
1
0
1
2
4
3
1
4
5
𝑛
…
(2)在直角坐标系中描点，连线，画出图象．
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20 /
【答案】(1)4，
2
3
(2)见解析
【分析】本题考查函数的图象，能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．
（1）把𝑥= −2和𝑥= 3分别代入解析式计算即可；
（2）描点连线即可．
【详解】（1）解：把𝑥= −2代入𝑦= 2|𝑥|，得，𝑦= 4，
∴𝑚= 4，
把𝑥= 3代入𝑦=
2
𝑥，得𝑦=
2
3，
∴𝑛=
2
3；
故答案为：4，
2
3；
（2）解：如图所示：
7．(24-25 八下·河南南阳南召县云阳镇初级中学校·期末)根据学习函数图象的经验，数学社团对函数𝑦= 2 −
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21 /
|𝑥|的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务．
(1)自变量x 的取值范围是 ．
(2)列表如下：直接写出𝑚= ．
𝑥
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦
…
0
1
2
1
𝑚
…
(3)在给定的平面直角坐标系中，描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象．
(4)结合函数图象，我们发现：
①函数的最大值是 ．
②当𝑦> −1时，𝑥的取值范围是 ．
③结合𝑦随𝑥的变化趋势，写出你的发现： ．（一条即可）
【答案】(1)任意实数
(2)𝑚= 0
(3)见解析
(4)①2；②−3 < 𝑥< 3；③当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而增大（答案不唯一）
【分析】本题考查了求函数值，画函数的图象，掌握描点法画出函数图象是解题关键．
（1）根据函数解析式即可求解；
（2）将𝑥= 2代入解析式，即可求解；
（3）根据描点法画出函数图象，即可求解；
（4）①根据函数图象，即可求解；
②观察函数图象，即可求解；
③根据函数图象的对称轴，增减性写出一条性质即可求解．
【详解】（1）解：在函数𝑦= 2 −|𝑥|中，自变量x 可以是任意实数，
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22 /
故答案为：任意实数；
（2）当𝑥= 2时，𝑚= 2 −|2| = 0，
故答案为：𝑚= 0；
（3）如图所示，
（4）①根据函数图象可得，函数的最大值为2，
故答案为：2；
②根据函数𝑦= 2 −|𝑥|，可得𝑦= −1时，𝑥= −3或𝑥= 3，
根据函数图象，当𝑦> −1时，x 的取值范围是−3 < 𝑥< 3，
故答案为： −3 < 𝑥< 3；
③函数𝑦= 2 −|𝑥|的图象关于y 轴对称，当𝑥< 0时，y 随x 的增大而增大，
当𝑥> 0时，y 随x 的增大而减小，
故答案为：当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而增大（答案不唯一）．
8．(25-26 九上·四川绵阳盐亭县六校·期中)通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法
来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数𝑦= 1 + |𝑥−1|的图象．下面是他的探究过程，请你补充
完整：
x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
4
m
2
1
n
3
4
…
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(1)列表，补全表格：𝑚=______，𝑛=______；
(2)描点并画出该函数的图象；
(3)观察（2）中的图象，当𝑥=______时，该函数的因变量𝑦的值最小，最小值为_____．
【答案】(1)3，2
(2)见解析
(3)1，1
【分析】本题主要考查了画函数图象，求函数值．
对于（1），将𝑥= −1，𝑥= 2代入函数关系式，可得答案；
对于（2），用描点、连线的方法来画出函数图象；
对于（3），观察图象可得答案．
【详解】（1）解：当𝑥= −1时，𝑦= 1 + |−1 −1| = 3，即𝑚= 3，
当𝑥= 2时，𝑦= 1 + |2 −1| = 2，即𝑛= 2，
故答案为：3，2；
（2）解：如图：
（3）解：当𝑥= 1时，该函数的因变量𝑦的值最小，最小值为1．
故答案为：1，1．
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24 /
9．问题：探究函数𝑦= |
1
𝑥+1 | −2的图象和性质．
根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，请补充完整：
(1)函数的自变量𝑥的取值范围是______；
(2)下表是𝑦与𝑥的几组对应值，请将表格补充完整：
𝑥
…
−4
−3
−5
2
−2
−1
2
0
1
3
2
2
3
…
𝑦
…
−1 2
3
−1 1
2
−1 1
3
−1
______
______
______
−1 3
5
−1 2
3
−1 3
4
…
(3)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；
(4)进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质(一条即可)．
【答案】(1)𝑥≠−1
(2)0，−1，−
3
2
(3)见解析
(4)函数图象关于直线𝑥= −1对称
【分析】(1)由分母不为零，确定𝑥的取值范围；
(2)将𝑥= −
1
2，𝑥= 0，𝑥= 1代入解析式计算即可；
(3)在平面直角坐标系中描点连线画出函数的图象即可；
(4)观察图象的特点，可得出函数图象是一个关于直线𝑥= −1对称．
此题主要考查函数的图象，性质，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．
【详解】（1）解：因为分母不为零，
∴𝑥+ 1 ≠0，解得：𝑥≠−1，
故答案为：𝑥≠−1；
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（2）𝑥= −
1
2时，𝑦= 0；
𝑥= 0时，𝑦= −1；
𝑥= 1时，𝑦= −
3
2；
故答案为：0，−1，−
3
2；
（3）如图：
（4）观察坐标的特点，可得出函数的性质：函数图象关于直线𝑥= −1对称．
10．(24-25 八下·山东德州夏津县万隆实验中学·月考)下面是对函数𝑦1 = |2𝑥−4| −2和𝑦2 = 𝑥−1的图象和性
质的研究，完成下列探索过程：
(1)补全下表：
𝑥
…
−1
0
1
2
3
4
5
…
𝑦1
…
4
2
___
____
___
___
4
…
𝑦2
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
(2)根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数𝑦1与𝑦2的图象；
(3)根据函数图象填空：
①函数𝑦1的最小值为____；
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26 /
②当𝑦2 = 𝑦1时，𝑥的值为______．
【答案】(1)0, −2,0,2；
(2)见解析
(3)①−2；②1或5
【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是
解题的关键．
（1）分别把𝑥= 1、2、3、4代入函数解析式，求出𝑦的对应值即可；
（2）根据表格中𝑥、𝑦对应值，画出函数图象即可；
（3）①根据函数图象可直接得出结论；
②根据两函数的图象可直接得出结论．
【详解】（1）解：当𝑥= 1时，𝑦1 = |2𝑥−4| −2 = 0；
当𝑥= 2时，𝑦1 = |2𝑥−4| −2 = −2．
当𝑥= 3时，𝑦1 = |2𝑥−4| −2 = 0；
当𝑥= 4时，𝑦1 = |2𝑥−4| −2 = 2．
故答案为：0,−2,0,2；
（2）解：函数图象如图所示；
（3）解：①由函数图象可知，函数𝑦1的最小值为 −2．
故答案为：−2；
②由函数图象可知，当𝑦2 = 𝑦1时，𝑥的值为1或5．
故答案为：1或5．
题型四：函数图象中动点问题求线段长度
1．(2025·6 月山东省东营市·模拟)如图1，点𝑃从△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴出发，沿𝐴→𝐵→𝐶匀速运动到点𝐶,图2 是
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点𝑃运动时线段𝐶𝑃的长度𝑦随时间𝑥变化的关系图象，其中点𝑄为曲线部分的最低点，则△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵的长
度为（ ）
A．12
B．8
C．10
D．13
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出𝐵𝐶与𝐴𝐶的长度．
根据图象可知点P 沿𝐴→𝐵→𝐶匀速运动到点C，此时𝐴𝐶最长，𝐶𝑃在𝐴𝐵边上先变小后变大，从而可求出𝐴𝐵
上的高，从图象可以看出点P 运动到点B 时𝐶𝑃= 𝐶𝐵= 13，可知△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，进而得出结论．
【详解】解：过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，
由图象可知：点P 在A 上时，𝐶𝑃= 𝐴𝐶= 13，
点P 在𝐴𝐵上运动时，在图象上有最低点，即𝐴𝐵边上的高𝐶𝐻= 12，
点P 与点B 重合时，𝐶𝑃即𝐵𝐶最长，为13，
则𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 13，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵= 2𝐴𝐻，
∴𝐴𝐻= √132 −122 = 5，
∴𝐴𝐵的长= 2 × 5 = 10，
故选：C．
2．如图①，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，D 为𝐴𝐵的中点，动点P 从点A 出发沿𝐴𝐶→𝐶𝐵运动到点B，设点
P 的运动路程为x，△𝐴𝑃𝐷的面积为y，y 与x 的函数图象如图②所示，则𝐴𝐵的长为（ ）
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28 /
A．10
B．12
C．14
D．16
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，勾股定理，由题图②可知，当𝑥= 8时，△𝐴𝑃𝐷
的面积最大，此时点𝑃运动到点𝐶，此时𝐴𝐶= 8，利用三角形面积求出𝐵𝐶的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由题图②可知，当𝑥= 8时，△𝐴𝑃𝐷的面积最大，此时点𝑃运动到点𝐶，
∴𝐴𝐶= 8．
∵ 𝐷为𝐴𝐵的中点，
∴𝑆△𝐴𝑃𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
4 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 12，即
1
4 × 8 × 𝐵𝐶= 12，
解得𝐵𝐶= 6．
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √82 + 62 = 10，
故选：A．
3．(24-25 八下·河南项城第四初级中学·月考)如图1，在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，动点𝑃从点𝐵出发，
沿𝐵𝐶→𝐶𝐴方向运动至点𝐴停止，设点𝑃运动的路程为𝑥，△𝐴𝐵𝑃的面积为𝑦，若𝑦关于𝑥的函数图象如图2 所
示，则𝐴𝐵的长为（ ）
A．6
B．12
C．9.6
D．8
【答案】B
【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．根据函数图象得出𝐵𝐶+
𝐴𝐶= 20，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 48，作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点H，利用勾股定理解Rt △𝐴𝐻𝐶和Rt △𝐴𝐻𝐵即可．
【详解】解：如图，作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点H，
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29 /
由图2 知，𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 20，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 48，
又∵ 𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴ 𝐴𝐶= 𝐵𝐶=
1
2 × 20 = 10，
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐻，
∴
1
2 × 10 ⋅𝐴𝐻= 48，
∴ 𝐴𝐻=
48
5 ，
∴ 𝐶𝐻= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐻2 = √102 −(
48
5 )
2
=
14
5 ，
∴ 𝐵𝐻= 𝐵𝐶−𝐶𝐻= 10 −
14
5 =
36
5 ，
∴ 𝐴𝐵= √𝐵𝐻2 + 𝐴𝐻2 = √(
36
5 )
2
+ (
48
5 )
2
= 12，
故选B．
4．如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶> 90°，点𝑃从点𝐴开始沿𝐴𝐶向点𝐶运动，在运动过程中，设线段𝐴𝑃的长为
𝑥，线段𝐵𝑃的长为𝑦，𝑦关于𝑥的函数图象如图②所示，𝑄是函数图象上的最低点，则此时𝐵𝑃的长为（ ）
A．2
B．√5
C．
5
2
D．2√3
【答案】D
【分析】根据图象信息，得当𝑥= 9时，𝑦= 4，此时运动结束，表示点P 运动到了点C 处，故𝐴𝐶= 9,𝐵𝐶= 4；
当𝐴𝑃= 𝑥= 7，𝑦取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为𝐵𝑄，当P 与Q 重合时，𝐵𝑃最小，根据勾股
定理解答即可．
本题考查了函数图象，垂线段最短，勾股定理，读懂图象，用好垂线段最短，勾股定理是解题的关键．
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30 /
【详解】解：根据图象信息，得当𝑥= 9时，𝑦= 4，此时运动结束，表示点P 运动到了点C 处，故𝐴𝐶= 9,𝐵𝐶=
4；
当𝐴𝑃= 𝑥= 7，𝑦取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为𝐵𝑄，当P 与Q 重合时，𝐵𝑃最小，
此时，𝑄𝐶= 𝐴𝐶−𝐴𝑃= 2，
故𝐵𝑃= 𝐵𝑄= √𝐵𝐶2 −𝑄𝐶2 = 2√3．
故选：D．
5．(24-25 八下·河南开封兰考县一高附中·月考)如图（1），在△𝐴𝐵𝐶中，动点𝑃从点𝐴出发沿折线𝐴𝐵→𝐵𝐶→𝐶𝐴
匀速运动至点𝐴后停止．设点𝑃的运动路程为𝑥，线段𝐴𝑃的长度为𝑦，图（2）是𝑦与𝑥的函数关系的大致图象，
其中点𝐹为曲线𝐷𝐸的最低点，则△𝐴𝐵𝐶的高𝐶𝐺的长为（ ）
A．2
B．
7√3
2
C．6
D．7
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，作𝐴𝑄⊥𝐵𝐶于𝑄，当点𝑃与𝑄重合时，在图2 中𝐹点，
表示当𝐴𝐵+ 𝐵𝑄= 12时，点𝑃到达点𝑄，此时当𝑃在𝐵𝐶上运动时，𝐴𝑃最小，再由勾股定理计算即可得解，采
用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，作𝐴𝑄⊥𝐵𝐶于𝑄，
，
当点𝑃与𝑄重合时，在图2 中𝐹点，表示当𝐴𝐵+ 𝐵𝑄= 12时，点𝑃到达点𝑄，此时当𝑃在𝐵𝐶上运动时，𝐴𝑃最小，
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31 /
∴𝐵𝐶= 15 −8 = 7，𝐵𝑄= 4，𝑄𝐶= 3，
∵在Rt △𝐴𝐵𝑄中，𝐴𝐵= 8，𝐵𝑄= 4，
∴𝐴𝑄= √𝐴𝐵2 −𝐵𝑄2 = 4√3，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐺=
1
2 𝐴𝑄⋅𝐵𝐶，
∴𝐶𝐺=
𝐵𝐶⋅𝐴𝑄
𝐴𝐵
=
7×4√3
8
=
7√3
2 ，
故选：B．
6．(23-24 八下·甘肃兰州师大附中·期末)如图（1）， 在Rt△𝐴𝐵𝐶中， ∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，D 是斜边𝐴𝐵的中点，动
点E 从点A 出发，沿𝐴→𝐶→𝐵运动，设 𝑆△𝐵𝐸𝐷= 𝑦， 点E 运动的路程为x， 若y 与x 之间的函数图象如
图（2）所示，则𝐶𝐷的长为（ ）
A．1
B． √2
C．2.5
D．4
【答案】C
【分析】此题考查勾股定理，动点问题，根据图象得𝐴𝐶= 4, 𝐵𝐶= 7 −4 = 3，勾股定理求出𝐴𝐵，根据直角
三角形的性质求出𝐶𝐷的长．
【详解】解：由题意得𝐴𝐶= 4, 𝐵𝐶= 7 −4 = 3，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 5，
∵D 是斜边𝐴𝐵的中点，
∴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐵= 2.5，
故选：C．
7．(24-25 八下·山东菏泽曹县·期末)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点P 从点A 出发沿A→C→B 以1cm s
⁄
的速度匀速运动至点B，图2 是点P 运动时，△𝐴𝐵𝑃的面积𝑦(cm2)随时间𝑥(s)变化的函数图象，则该三角形
的斜边𝐴𝐵的长为（ ）
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A．3√3
B．3√5
C．4√5
D．9
【答案】B
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，由图象可知，当𝑥= 6时，△𝐴𝐵𝑃面
积最大值为9，此时当点P 运动到点C，得到𝐵𝐶= 3， 根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由图象可知，当𝑥= 6时，△𝐴𝐵𝑃面积最大值为9，
由题意可得，当点P 运动到点C 时，△𝐴𝐵𝑃的面积最大，
∴
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 9，即
1
2 × 6 × 𝐵𝐶= 9，
解得𝐵𝐶= 3，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 32 = 3√5，
故选：B．
8．(2025·黑龙江省齐齐哈尔市·三模)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶 (𝐴𝐷> 𝐵𝐷)，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶．动点M 从A
点出发，沿折线𝐴𝐵→𝐵𝐶方向运动，△𝐴𝑀𝐷的面积为y，y 与x 的函数图象如图2，则𝐴𝐶的长为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．13
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、判断出𝐴𝐵= √13和点M 和点B 重合时，
△𝐴𝑀𝐷的面积为3 是解本题的关键．
先根据𝐴𝐵= 𝐵𝐶结合图2 得出𝐴𝐵= √13，进而利用勾股定理得𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 13，再由运动结合△𝐴𝑀𝐷的面
积的变化，得出点M 和点B 重合时，△𝐴𝑀𝐷的面积最大，其值为3，即
1
2 𝐴𝐷⋅𝐵𝐷= 3，进而建立方程组求
解，即可．
【详解】解：由图知，𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 2√13，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
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33 /
∴𝐴𝐵= √13，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴𝐴𝐶= 2𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2 = 13①，
设点M 到𝐴𝐶的距离为h，
∴𝑆△𝐴𝐷𝑀=
1
2 𝐴𝐷⋅ℎ，
∵动点M 从A 点出发，沿折线𝐴𝐵→𝐵𝐶方向运动，
∴当点M 运动到点B 时，△𝐴𝑀𝐷的面积最大，即ℎ= 𝐵𝐷，
由图2 知，△𝐴𝑀𝐷的面积最大为3，
∴
1
2 𝐴𝐷⋅𝐵𝐷= 3，
∴𝐴𝐷⋅𝐵𝐷= 6②，
①+ 2 × ②得，𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 + 2𝐴𝐷⋅𝐵𝐷= 13 + 2 × 6 = 25，
∴(𝐴𝐷+ 𝐵𝐷)2 = 25，
∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 5（负值舍去），
∴𝐵𝐷= 5 −𝐴𝐷③，
将③代入②得，𝐴𝐷(5 −𝐴𝐷) = 6，
∴𝐴𝐷= 3或𝐴𝐷= 2，
∵𝐴𝐷> 𝐵𝐷，
∴𝐴𝐷= 3，
∴𝐴𝐶= 2𝐴𝐷= 6．
故选：A．
9．(24-25 八下·四川广安邻水县·期末)如图1（图中各角均为直角），动点𝑃从点𝐴出发，以每秒1 个单位长度
的速度沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐷→𝐸路线匀速运动，△𝐴𝐹𝑃的面积𝑦与点𝑃运动的时间𝑥（秒）之间的函数关系图象
如图2 所示，则𝐶𝐷的长度为（ ）
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34 /
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【分析】本题考查函数图象问题，将动点的运动状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象
给定的信息确定等量关系即可求解．
【详解】解：如图，点P 运动至点B 时𝑥= 4，即𝐴𝐵= 4，
△𝐴𝐹𝑃的面积
1
2 𝐴𝐹× 𝐴𝐵= 12，解得：𝐴𝐹= 6，
∴𝐵𝐶+ 𝐷𝐸= 6，
𝑥= 16时，点P 运动至点E，即𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐸= 16，
∴𝐶𝐷= 16 −4 −6 = 6，
∴故选：A．
题型五：函数图象中动点问题求面积
1．(24-25 八下·江西上饶广信区·月考)如图1，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，动点𝑄从点𝐴出发，沿𝐴𝐷−𝐷𝐶−𝐶𝐵方向运
动至点𝐵停止，设点𝑄运动的路程为𝑥，三角形𝐴𝐵𝑄的面积为𝑦，若𝑦关于𝑥的函数图象如图2 所示，则矩形𝐴𝐵𝐶𝐷
的面积为（ ）
A．12
B．14
C．16
D．21
【答案】A
【分析】此题考查了动点问题和函数图象．根据函数图象和矩形的性质可求出𝐴𝐷、𝐶𝐷的值，即可求出矩形
𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
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35 /
【详解】解：由题意知：当点𝑃在边𝐴𝐷上时，𝑦随𝑥的增大而增大；
当点𝑃在边𝐶𝐷上时，𝑦不随𝑥的变化而变化；
当点𝑃在边𝐵𝐶上时，𝑦随𝑥的增大而减小．
结合一次函数的图象可知，𝐴𝐷= 3，𝐶𝐷= 4，
∴矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为：𝐴𝐷× 𝐶𝐷= 3 × 4 = 12．
故选：A．
2．(2024·广东省深圳市·模拟)如图1，Rt △𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶与长方形𝐷𝐸𝐹𝐺的边𝐷𝐸都在直线𝑙上，且点𝐶与点𝐷重
合，𝐴𝐵= 𝐷𝐺，将△𝐴𝐵𝐶沿着射线𝐷𝐸方向移动至点𝐵与点𝐸重合时停止，设△𝐴𝐵𝐶与长方形𝐷𝐸𝐹𝐺重叠部分
的面积是𝑦，𝐶𝐷的长度为𝑥，𝑦与𝑥之间的关系图象如图2 所示，则长方形𝐷𝐸𝐹𝐺的面积为（ ）
A．8
B．10
C．6
D．15
【答案】B
【分析】本题主要考查了动点问题函数图象，解题的关键是数形结合，求出长方形𝐷𝐸𝐹𝐺的长和宽．从图2
看，Rt △𝐴𝐵𝐶向右平移2 个单位时，Rt △𝐴𝐵𝐶整体在长方形𝐷𝐸𝐹𝐺中，可得到长方形的宽，再向右平移3
个单位时，点𝐶, 𝐸重合，可得到长方形𝐷𝐸𝐹𝐺的长，即可求出长方形的面积．
【详解】解：从图2 看，Rt △𝐴𝐵𝐶向右平移2 个单位时，Rt △𝐴𝐵𝐶整体正好在长方形𝐷𝐸𝐹𝐺中，此时Rt △𝐴𝐵𝐶
与长方形𝐷𝐸𝐹𝐺重叠部分的面积为Rt △𝐴𝐵𝐶的面积为2且𝐵𝐶= 2，
∴ Rt △𝐴𝐵𝐶的面积为
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐵=
1
2 × 2 ⋅𝐴𝐵= 2，
解得：𝐴𝐵= 2，
∴𝐷𝐺= 2，
Rt △𝐴𝐵𝐶再向右平移3 个单位时，点𝐶, 𝐸重合，
故：𝐶𝐸= 5，
∴长方形𝐷𝐸𝐹𝐺的面积为2 × 5 = 10，
故选：B．
3．(24-25 八上·贵州六盘水·期末)如图①，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，动点P 从点A 出发，匀速沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐷→𝐴
的路径运动，到点A 处停止．设点P 运动的路程为x，△𝑃𝐴𝐷的面积为y，如果y 与x 之间的关系如图②所
示，那么长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是（ ）
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36 /
A．12
B．14
C．24
D．28
【答案】D
【分析】本题考查动点的函数图象，当点P 从A 运动到B 时，y 随x 的增大而增大，从B 运动到C 时，y 保
持不变，观察图象的横坐标得出长方形的长和宽，即可求出面积．
【详解】解：由图可知，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 11 −4 = 7，
∴长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是4 × 7 = 28，
故选：D．
4．(25-26 七上·云南昆明五华区·开学考)如图1，点𝑃从△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐵出发，沿𝐵→𝐶→𝐴匀速运动到点𝐴，
图2是点𝑃运动时，线段𝐵𝑃的长度𝑦随时间𝑥变化的关系图象，其中𝑀为曲线部分的最低点，则△𝐴𝐵𝐶的面积
是 ．
【答案】12
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出𝐵𝐶与𝐴𝐶的长度，本题属于中等题
型．
根据图象可知点𝑃在𝐵𝐶上运动时，此时𝐵𝑃不断增大，而从𝐶向𝐴运动时，𝐵𝑃先变小后变大，从而可求出𝐵𝐶与
𝐴𝐶的长度．
【详解】解：根据图象可知点𝑃在𝐵𝐶上运动时，此时𝐵𝑃不断增大，
由图象可知：点𝑃从𝐵向𝐶运动时，𝐵𝑃的最大值为5，
即𝐵𝐶= 5，
由于𝑀是曲线部分的最低点，
∴此时𝐵𝑃最小，
即𝐵𝑃⊥𝐴𝐶，𝐵𝑃= 4，
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37 /
∴由勾股定理可知，此时𝑃𝐶= √52 −42 = 3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴此时𝑃𝐴= 3，
∴此时𝐴𝐶= 6，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积为：
1
2 × 4 × 6 = 12，
故答案为：12．
5．(24-25 八下·河南南阳新野县·期中)如图（1），在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点P 从点A 出发沿𝐴→𝐵→𝐶以
1cm s
⁄ 的速度匀速运动至点C，图（2）是点P 运动时，△𝐴𝐶𝑃的面积𝑦(cm2)随时间𝑥(s)变化的函数图象，
则△𝐴𝐵𝐶的周长为 cm，面积为 cm2．
【答案】 30 30
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题关键是能读懂函数图象．
依据题意，由𝑥= 13时和𝑥= 18，分别求出𝐴𝐵、𝐵𝐶，再由∠𝐴𝐶𝐵= 90°，可求得𝐴𝐶，进而可以计算△𝐴𝐵𝐶的
周长与面积．
【详解】解：由题意得，当𝑥= 13时，△𝐴𝐶𝑃面积最大，此时𝐴𝑃= 𝐴𝐵= 13 × 1 = 13（cm）；当𝑥= 18时，
△𝐴𝐶𝑃面积为0，此时可得𝐵𝐶= 5 × 1 = 5（cm）．
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 = 12（cm）．
∴△𝐴𝐵𝐶的面积为
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=
1
2 × 12 × 5 = 30（cm2），周长为13 + 5 + 12 = 30（cm）．
故答案为：30，30．
6．如图1，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，点P 从点A 出发，沿𝐴→𝐵→𝐶以1cm/s的速度运动．设△𝐴𝑃𝐶的
面积为𝑆(cm2)，点P 的运动时间为𝑡(s)，变量S 与t 之间的关系如图2 所示，则在运动过程中，S 的最大值
是 ．
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【答案】24cm2
【分析】本题考查了动点函数的图象问题，结合图象分析出动点𝑃处于什么位置𝑆取得最大值是解决问题的
关键．
由三角形面积公式可知，需要求出𝐴𝑃及𝐵𝐶的值，而𝑆取得最大值时，𝐴𝑃恰好为𝐴𝐵边，结合函数图象，求出
𝐴𝐵及𝐵𝐶，从而可求𝑆的最大值．
【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°,△𝐴𝑃𝐶的面积为𝑆(cm2)，
由图 2 可知，当𝑡= 6时，𝑆取得最大值；当𝑡= 14时，𝑆= 0，
又 ∵点𝑃从点𝐴出发，沿𝐴→𝐵→𝐶以1cm/s的速度运动，
∴𝐴𝐵= 6(cm), 𝐵𝐶= 14 −6 = 8(cm)，
∴𝑆的最大值是
1
2 × 6 × 8 = 24(cm2)，
故答案为：24cm2．
7．如图1，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，连接𝐵𝐷，动点P 从点A 出发沿折线𝐴𝐵→𝐵𝐷→𝐷𝐴匀速运动，回
到点A 后停止．设点P 运动的路程为x，线段𝐴𝑃的长为y，图2 是y 与x 的函数关系的大致图象，当点P 运
动到𝐵𝐷的中点处时，△𝐴𝑃𝐷的面积为 ．
【答案】
5
2 √11
【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图
象各个点的实际意义．
图1 和图2 中的点对应：点𝐴对点𝑂，点𝐵对点𝑀，点𝐷对点𝑁，根据点𝑃运动的路程为𝑥，线段𝐴𝑃的长为𝑦，
依次解出𝐴𝐵= 𝑥= 6，即点𝑀的横坐标，𝐴𝐷= 𝐴𝑃= 𝑦= 10，即点𝑁的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，
再由三角形中线等分面积即可求解．
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【详解】解：在图1 中，作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为𝐸，
在图2 中，取𝑀(6,6)，𝑁(12,10)，
当点P 从点A 到点B 时，对应图2 中𝑂𝑀线段，得𝐴𝐵= 𝑥= 6，
当点P 从B 到D 时，对应图2 中曲线𝑀𝑁，得𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 𝑥= 12，
解得𝐵𝐷= 6，
当点𝑃到点𝐷时，对应图2 中到达点𝑁，得𝐴𝐷= 𝐴𝑃= 𝑦= 10，
在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵= 𝐵𝐷= 6，𝐴𝐷= 10，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，
∴𝐴𝐸=
1
2 𝐴𝐷= 5，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐸中，𝐵𝐸= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐸2 = √62 −52 = √11，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐷⋅𝐵𝐸=
1
2 × 10 × √11 = 5√11，
当点𝑃运动到𝐵𝐷的中点处时，𝑆△𝐴𝑃𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷=
5
2 √11．
故答案为：
5
2 √11
8．(24-25 八下·河北邯郸馆陶县·期中)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶．动点𝑃从△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴出发，以2 cm/s
的速度沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐴匀速运动回到点𝐴．图2 是点𝑃运动过程中，线段𝐴𝑃的长度𝑦( cm)随时间𝑡( s)变化
的图象．其中点𝑄为曲线部分的最低点．则△𝐴𝐵𝐶的面积是 cm2．
【答案】8√5
【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进
而求解．从图（2）看，当𝑡= 3时，点𝑃在点𝐵处，即𝐴𝐵= 3 × 2 = 6 = 𝐴𝐶，𝐴𝑃的最小值为4，即𝐴𝐻= 4；
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在𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐵中，𝐴𝐵2 = 𝐴𝐻2 + 𝐵𝐻2，则𝐵𝐻= √36 −16 = 2√5，进而求解．
【详解】解：过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
故𝐵𝐻= 𝐶𝐻=
1
2 𝐵𝐶，
从图（2）看，当𝑡= 3时，点𝑃在点𝐵处，即𝐴𝐵= 3 × 2 = 6 = 𝐴𝐶，
从图（2）看，点𝑄为曲线部分的最低点，即𝐴𝑃的最小值为4，即𝐴𝐻= 4，
在Rt △𝐴𝐻𝐵中，𝐴𝐵2 = 𝐴𝐻2 + 𝐵𝐻2，则𝐵𝐻= √36 −16 = 2√5，
故𝐵𝐶= 4√5；
△𝐴𝐵𝐶的面积为
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐻=
1
2 × 4√5 × 4 = 8√5，
故答案为：8√5．
题型六：函数图象中动点问题求周长
1．(24-25 八上·四川雅安·期末)如图1，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，动点P 从点B 出发，沿𝐵𝐶、𝐶𝐷、𝐷𝐴运动至点A
停止，设点P 的运动路程为x，△𝐴𝐵𝑃的面积为y，如果y 关于x 的函数图象如图2 所示，则长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的
周长是 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解两个图的数据关联是解题的关键．根据函数的图
象、结合图形求出𝐵𝐶、𝐶𝐷的值，再根据长方形的周长公式得出长方形的周长．
【详解】解：∵当点P 运动到点C、D 之间时，△𝐴𝐵𝑃的面积不变，
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∴3 ≤𝑥≤8时，y 不发生变化，
∴𝐵𝐶= 3，𝐶𝐷= 8 −3 = 5，
所以长方形的周长是：2(3 + 5) = 16．
故答案为：16．
2．(24-25 八上·浙江杭州西湖区·期末)如图（1），在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点P 从点A 出发沿𝐴→𝐵→𝐶以
1cm/s的速度匀速运动至点C，图（2）是点P 运动时，△𝐴𝐶𝑃的面积𝑦(cm2)随时间𝑥(s)变化的函数图象，
则△𝐴𝐵𝐶的面积为 cm2，周长为 cm．
【答案】 2√33 (11 + √33)/(√33 + 11)
【分析】本题考查了函数图象，勾股定理．根据题意，当P 点运动到B 点时，△𝐴𝐶𝑃的面积最大，当P 点
运动到C 点时，𝐴, 𝑃, 𝐶共线，且𝑃, 𝐶重合，△𝐴𝐶𝑃的面积为0，结合函数图象可得𝐴𝐵, 𝐵𝐶的值，再利用勾股
定理求出𝐴𝐶的值，即可求出△𝐴𝐵𝐶的面积和周长．
【详解】解：根据题意，当P 点运动到B 点时，△𝐴𝐶𝑃的面积最大，当P 点运动到C 点时，𝐴, 𝑃, 𝐶共线，
且𝑃, 𝐶重合，△𝐴𝐶𝑃的面积为0，
由函数图象可得当𝑥= 7时，△𝐴𝐶𝑃的面积最大，
∴𝐴𝐵= 7 × 1 = 7(cm)，
当𝑥= 11时，△𝐴𝐶𝑃的面积为0，此时，P 点运动到C 点，𝑃, 𝐶重合，
∴𝐵𝐶= 11 × 1 −𝐴𝐵= 4cm，
∴在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √33cm，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积为
1
2 𝐴𝐶· 𝐵𝐶= 2√33cm2，周长为𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= (11 + √33)cm．
故答案为：2√33，(11 + √33)．
3．(23-24 八下·河南南阳桐柏县方树泉中学·月考)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，直线𝑙经过点A 且垂直于
𝐴𝐵．现将直线𝑙以1cm/s的速度向右匀速平移，直至到达点𝐵时停止运动，直线𝑙与边𝐴𝐵交于点𝑀，与边𝐴𝐶（或
𝐶𝐵）交于点𝑁．设直线𝑙移动的时间是𝑥(s)，△𝐴𝑀𝑁的面积为𝑦(cm2)，若𝑦关于𝑥的函数图象如图2 所示，则
△𝐴𝐵𝐶的周长为 ．
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【答案】18cm/18 厘米
【分析】本题考查了动点问题函数图像，等腰三角形的性质，勾股定理；根据图形与函数图像求出𝐶𝐷是解
题的关键；过C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，观察图像知，当直线𝑙与𝐶𝐷重合时，y 的值最大，此时𝐴𝑀= 4cm，则可
求得△𝐴𝐵𝐶底边上的高𝐶𝐷，由勾股定理及等腰三角形的性质即可求解；
【详解】过C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，如图，
由函数图像知，当直线𝑙与𝐶𝐷重合时，y 的值最大为6，
此时，𝐴𝑀= 𝐴𝐷= 4cm,
1
2 𝐴𝐷⋅𝐶𝐷= 6cm，
∴𝐶𝐷= 3cm，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶, 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴𝐴𝐵= 2𝐴𝐷= 8cm,
由勾股定理得，𝐴𝐶= √𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = √42 + 32 = 5cm，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为𝐴𝐶+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 2𝐴𝐶+ 𝐴𝐵= 18cm，
故答案为：18cm；
4．(23-24 八下·山东德州德城区·期中)如图1，点P 从△𝐴𝐵𝐶的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A，
图2 是点P 运动时，线段𝐵𝑃的长度𝑦随时间𝑥变化的关系图象，其中Q 为曲线部分的最低点，则△𝐴𝐵𝐶的周
长是 ．
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【答案】36
【分析】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，勾股定理，结合图形和图象得到线段长
度，利用数形结合思想是解决本题的关键．根据图象可知点P 在𝐵𝐶上运动时，𝐵𝑃不断增大，从C 向A 运动
时，𝐵𝑃先变小后变大，得到𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 13，当𝐵𝑃⊥𝐴𝐶时，y 的值最小，即△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶边上的高为4（此
时𝐵𝑃= 12），根据勾股定理求出这时𝐶𝑃= 5，再由三线合一得到𝐴𝐶= 10，从而求出周长．
【详解】解：由图知，𝐵𝐶= 13，𝐴𝐵= 13，
当𝑃在𝐴𝐶上运动时，𝐵𝑃最短为12，即𝐵𝑃⊥𝐴𝐶时，𝐵𝑃= 12，
这时𝐴𝑃= 𝑃𝐶，且𝑃𝐶= √𝐵𝐶2 −𝐵𝑃2 = 5，
∴𝐴𝑃= 5，
∴ △𝐴𝐵𝐶的周长是𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝑃+ 𝑃𝐶= 36，
故答案为：36．
5．(24-25 七下·四川成都成华区·期末)如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，动点E 从A 出发，以相同的速度，沿𝐴−𝐵−𝐶
方向运动到点C 处停止．设点E 运动的路程为𝑥,△𝐸𝐶𝐷的面积为s，如果s 与x 之间的关系如图所示，那么
长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积和周长分别为（ ）
A．12，14
B．6，14
C．6，12
D．12，22
【答案】A
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是正确理解图中的信息．
根据函数图像和运动过程，可得长方形的长和宽，代入面积和周长公式计算即可．
【详解】解：由图可知，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 7，
∴𝐵𝐶= 7 −4 = 3，
∴长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为4 × 3 = 12，周长为7 × 2 = 14，
故选：A．
题型七：函数图象中动点问题求参数
1．(24-25 八下·广东深圳罗湖区·期末)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，点𝑃从点𝐵出发，沿
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𝐵→𝐴→𝐷→𝐶的方向匀速运动到点𝐶，速度为1cm/s，图2是点𝑃运动时，△𝐴𝑃𝐶的面积𝑦(cm2)随时间𝑥(s)变
化的图象，则𝑎的值为 ．
【答案】24
【分析】本题考查三角形的性质、动点问题的函数图象问题，弄清不同时间段，图象和图形的对应关系是
解答的关键．
根据点𝑃的运动可得出𝐴𝐵，𝐴𝐷的长，由勾股定理求出𝐵𝐷的长，再根据面积公式可得出𝑎的值．
【详解】解：由点𝑃的运动可知，𝐴𝐵= 10cm，𝐴𝐷= 18 −10 = 8(cm)，
在Rt △𝐴𝐵𝐷中，由勾股定理可知，𝐵𝐷= √102 −82 = 6cm，
∴𝑎= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2 × 6 × 8 = 24(cm2)．
故答案为：24．
2．(24-25 八下·河南南阳淅川县·期中)如图①，在Rt△ABC 中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，D 为斜边𝐴𝐵的中点，动点P
从B 点出发，沿B－C－A 运动，设𝑆
△𝐷𝑃𝐵= 𝑦，点P 运动的路程为𝑥，若y 与x 之间的函数图像如图②所
示，则y 的最大值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题
意可以得到𝐵𝐶和𝐴𝐶的长，由∠𝐴𝐶𝐵= 90°，根据勾股定理可以求得𝐴𝐵的长，本题得以解决．
【详解】解：由题意可知，当点P 从点B 运动到点C 时，面积达到最大，当运动到点A 时，面积变为0，
由图②可知，𝐵𝐶= 4，𝐶𝐴= 7 −4 = 3，
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∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐴𝐵= √𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = √42 + 32 = 5．
∵D 为斜边𝐴𝐵的中点，
∴y 的最大值为
1
2 𝑆
△𝐴𝐵𝐶=
1
2 ×
1
2 × 3 × 4 = 3
故答案为：3
3．(24-25 八上·辽宁沈阳于洪区·期末)动点H 以每秒1cm的速度沿图1 中的长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边按从𝐴−𝐵−𝐶−
𝐷的路径匀速运动，△𝐴𝐷𝐻的面积𝑆(cm2)与时间𝑡(s)的关系如图2，已知𝐴𝐷= 4cm，则𝑚= cm2．
【答案】10
【分析】本题考查动点问题的函数图象的相关知识．由图2 中点(14,0)及𝐴𝐷= 4cm，可得长方形另一边长
的长度，进而根据纵坐标为m 的点判断出动点H 所在的位置，求得相应的△𝐴𝐷𝐻的面积即为m 的值．
【详解】解：观察图2 可得：当点H 运动到点D 时，运动路程为𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷，运动时间为14 秒，
∵动点H 以每秒1cm的速度运动，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 14cm，
∵𝐴𝐷= 4cm，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，
∴𝐵𝐶= 4cm，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐶= 5cm，
∴当点H 运动到点B 时，𝑆= 𝑚，如图：
∴
1
2 𝐴𝐷⋅𝐴𝐵= 𝑚，
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∴𝑚=
1
2 × 4 × 5 = 10．
故答案为：10．
4．(2024 九·山东省临沂市·模拟)如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点P 沿着四边按𝐵→𝐶→𝐷→𝐴方向运动，开始以
每秒m 个单位匀速运动，a 秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b 秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△𝐴𝐵𝑃
的面积S 与运动时间t 的关系如图所示．则m 为 ．
【答案】1
【分析】本题是动点问题的函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象，考查了学生观察图象的能力，
解题的关键是函数图象对应动点P 的位置关系．由图象可知，𝐶𝐷的长度，当𝑡= 5时，𝑆△𝐴𝐵𝑃= 12，求出𝐵𝐶
的长；当𝑡= 𝑎时，𝑆△𝐴𝐵𝑃= 8，𝐵𝑃= 4，从而得出a 和m 的值，
【详解】解：从图象可知，当5 ≤𝑡≤7时，△𝐴𝐵𝑃面积不变，
即5 ≤𝑡≤7时，点P 从点C 运动到点D，且这时速度为每秒2 个单位，
∴𝐶𝐷= 2 × (7 −5) = 4，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 4，
当𝑡= 5时（点P 运动到点C），𝑆△𝐴𝐵𝑃= 12，
∴
1
2 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶= 12，即
1
2 × 4 ⋅𝐵𝐶= 12，
∴𝐵𝐶= 6，
∴长方形的长为6，宽为4，
当𝑡= 𝑎时，𝑆△𝐴𝐵𝑃= 8 =
1
2 × 4 ⋅𝐵𝑃，
∴𝐵𝑃= 4，
∴𝑃𝐶= 𝐵𝐶−𝐵𝑃= 6 −4 = 2，
∴2(5 −𝑎) = 2，
∴𝑎= 4，
∵𝐵𝑃= 4，
∴𝑚= 𝐵𝑃÷ 𝑎= 4 ÷ 4 = 1，
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故答案为：1．
5．(23-24 八下·吉林长春榆树第二实验中学·期中)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，点P 在边𝐴𝐵上从点A 出发向终点B
运动，连结𝐶𝑃．在运动过程中，设𝐴𝑃= 𝑥，𝐶𝑃= 𝑦，y 与x 之间的函数图象如图②所示，则𝑚+ 𝑛= ．
【答案】
32
5
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图
象可知当𝑥= 0时，P 和A 重合，可得𝐴𝐶= 3；当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，y 最小，可求得n 的值；由图象可知P 和B
重合，𝐴𝑃最大即𝐴𝐵为5，利用勾股定理求得m，据此即可求解．
【详解】解：由图2 知：当𝑥= 0，P 和A 重合，则𝐴𝐶= 3，
当𝑥= 1.8时，y 最小，最小值为n，此时𝐶𝑃⊥𝐴𝐵，𝐴𝑃= 1.8 =
9
5，
∴𝑛= 𝐶𝑃= √𝐴𝐶2 −𝐴𝑃2 = √32 −(1.8)2 =
12
5 ，
当𝑥= 5时，P 和B 重合，则𝐵𝐶= 𝑚，𝐴𝐵= 5，
∴𝑚= √𝑛2 + (𝐴𝐵−𝐴𝑃)2 = √(
12
5 )
2
+ (5 −
9
5)
2
= 4，
∴𝑚+ 𝑛= 4 +
12
5 =
32
5 ．
故答案为：
32
5 ．
6．(24-25 八下·江苏镇江句容·期末)如图1，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，点D 为𝐴𝐶的中点，动点P 从点D 出发，沿着𝐷→
𝐴→𝐵的路径以每秒1 个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段𝐶𝑃的长度y 随着运动时间x 的函数关
系如图2 所示，则m 的值为（ ）
A．4
B．2√5
C．2√3
D．5
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【答案】B
【分析】本题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解
决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出𝐶𝐷= 3的长，从而求出𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 3，𝐶𝐴= 2𝐶𝐷= 6，
然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时𝐴𝑃= 7 −3 = 4，根据勾股定理即可求出
𝑃𝐶，即可解答．
【详解】解：依题意，动点𝑃从点𝐷出发，线段𝐶𝑃的长度为𝑦，运动时间为𝑥，
根据图象可知，当𝑥= 0时，𝑦= 3
∴𝐶𝐷= 3，
∵点𝐷为𝐴𝐶边中点，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 3，𝐶𝐴= 2𝐶𝐷= 6，
由图象可知，当运动时间𝑥= 7s时，y 最小，即𝐶𝑃最小，
∴根据垂线段最短，此时𝐶𝑃⊥𝐴𝐵，
如图所示，此时点P 运动的路程𝐷𝐴+ 𝐴𝑃= 1 × 7 = 7，
∴𝐴𝑃= 7 −3 = 4，
∴在Rt △𝐴𝑃𝐶中，𝑃𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝑃2 = √62 −42 = √20 = 2√5，
即𝑚= 2√5．
故选：B．
7．(24-25 八下·黑龙江哈尔滨南香坊区·期末)如图1，点𝐸从菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴出发，沿𝐴−𝐷−𝐵方向运动
到对角线𝐵𝐷的中点𝑂，如图2 是△𝐸𝐶𝐷的面积𝑦随点𝐸运动的路程𝑥变化的图象，则𝑚的值为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
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49 /
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的实际应用，找到函数图像上特殊点对应的点𝐸在菱形图形上运动过程中的特
殊点，根据菱形的面积的两种表示方式即可得到答案；
【详解】解：由图1 和图2 可知，当𝑦=
12
5 𝑚时，点𝐸与点𝐴重合，相当于𝑆△𝐴𝐶𝐷=
12
5 𝑚，
∴𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷=
12
5 𝑚× 2 =
24
5 𝑚，
当𝑦= 6时，点𝐸和点𝑂重合，相等于𝑆△𝑂𝐶𝐷= 6，
∴𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷= 6 × 4 = 24，
∴
24
5 𝑚= 24，
解得：𝑚= 5，
故选：C．
8．(24-25 九下·河南驻马店汝南县第三初级中学·期中)如图(1)，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴= 𝐵𝐶= 5，𝐴𝐶= 6．动点𝑃
从点𝐴出发，先沿𝐴𝐶运动到点𝐷，再从点𝐷沿直线运动到点𝐵．设点𝑃运动的路程为𝑥，△𝐴𝐵𝑃的面积为𝑦，图
(2)是点𝑃运动时𝑦与𝑥的函数关系图象，则𝑚的值为( )
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，找到点𝐷的位置是解题的关键．过
点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶，交𝐴𝐶与点𝐻，先判断点𝐷的位置，进而得出答案．
【详解】解：过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶，交𝐴𝐶与点𝐻，
∵𝐵𝐴= 𝐵𝐶= 5，𝐴𝐶= 6，
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50 /
∴ 𝐴𝐻=
1
2 𝐴𝐶= 3，
∴ 𝐵𝐻= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐻2 = √52 −32 = 4，
由函数图象可知，当𝑦= 6时，𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2 × 𝐴𝑃× 𝐵𝐻= 6，
∴𝐴𝑃= 3，
∴此时点𝐴、点𝐷、点𝑃三点重合，
当𝑥= 5时，𝐷𝑃= 5 −3 = 2，𝐵𝑃= 𝐵𝐻−𝐷𝑃= 4 −2 = 2，
则此时三角形𝐴𝑃𝐵的面积为
1
2 × 𝐵𝑃× 𝐴𝐻=
1
2 × 2 × 3 = 3，
即𝑚= 3．
故选：C．
题型一：函数图象中动点问题多结论问题
1．(25-26 九上·云南昆明第十四中学·开学考)已知如图1，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝑃从A 出发，沿着𝐴→𝐵→𝐶→𝐷
的路线到𝐷停止运动，若点𝑃的运动时间为𝑥秒，速度为每秒1 个单位长度，△𝐴𝐷𝑃的面积为𝑦, 𝑦关于𝑥的函
数图象如图2 所示，那么下面与𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑相关的描述一定成立的有（ ）
①𝑏= 3𝑐−
1
2 𝑎𝑑，②2𝑎< 𝑑< 3𝑎，③𝑎𝑑= 4𝑐，④𝑎𝑐= 𝑏𝑑．
A．①②
B．①②④
C．②④
D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查的是动点函数图象，正确理解字母𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑代表的意义是解题的关键．利用函数的图象得
到正方形的边长，结合题意求得关系式，逐次解答即可．
【详解】解：①由题意得：当𝑥= 𝑎时，𝑦= 𝑐．
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51 /
正方形的边长为a，则𝑐=
1
2 𝑎2，
当点P 在𝐶𝐷上时，则𝑦=
1
2 𝐴𝐷⋅𝑃𝐷=
1
2 𝑎(3𝑎−𝑥)，
当𝑥= 𝑑时，𝑏= 𝑦=
1
2 𝑎(3𝑎−𝑑) =
3𝑎2
2 −
1
2 𝑎𝑑= 3𝑐−
1
2 𝑎𝑑，故①正确，符合题意；
②𝑥= 𝑑时，点P 在𝐶𝐷上，即2𝑎< 𝑥< 3𝑎，即2𝑎< 𝑑< 3𝑎，故②正确，符合题意；
③若𝑎𝑑= 4𝑐，则𝑏= 3𝑐−
1
2 𝑎𝑑= 3𝑐−2𝑐= 𝑐，
从图看，上述等式不一定成立，故③错误，不符合题意；
④由①知，𝑏= 3𝑐−
1
2 𝑎𝑑，则𝑏𝑑=
1
2 𝑎𝑑(3𝑎−𝑑)，
假设𝑎𝑑= 4𝑐，
𝑏𝑑=
1
2 𝑎𝑑(3𝑎−𝑑) = 𝑎𝑐= 𝑎×
1
2 𝑎2，
整理得：𝑑2 −3𝑎𝑑+ 𝑎2 = 0，
解得：𝑑=
3𝑎±√5𝑎
2
，
即只有𝑑=
3𝑎+√5𝑎
2
时，等式才成立，故④不成立，不符合题意；
故选：A．
2．(2025·河南省南阳市邓州市·二模)如图1，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，点P 从点A 出发，沿线段𝐴𝐶向
终点C 匀速运动，点Q 同时从点A 出发，沿折线𝐴−𝐵−𝐶向终点C 匀速运动，P，Q 两点同时到达点C，
连接𝑃𝑄.设点P 运动的路程为x，△𝐴𝑃𝑄的面积为y，并绘制成如图2 所示的图象，且点E 的坐标为(8,0)，
请根据图1 和图2 的信息判断下列说法错误的是（ ）
A．点D 的实际意义是点Q 恰好运动到点B 处
B．线段𝐴𝐵的长度为10
C．a 的值为5
D．点D 的坐标为(5,10)
【答案】D
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【分析】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，解题关键是结合题意读懂函数图象．
通过函数图象获取信息，结合三角形的性质来判断各个选项．
【详解】解：A．观察图象可知，当𝑥= 𝑎时，y 最大，即△𝐴𝑃𝑄的面积最大，即当Q 点在B 点时y 最大，故
选项A 正确；
B．当𝑥= 5时，Q 点走的路程为𝐴𝐵；当𝑥= 8时，Q 点走的路程为𝐴𝐵+ 𝐵𝐶．
∵𝑃与Q 同时到达C 点，故其所走时间相等，那么两者的路程比＝速度比，
∴
5
𝐴𝐵=
8
𝐴𝐵+𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶=
3
5 𝐴𝐵，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理有82 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，将𝐵𝐶=
3
5 𝐴𝐵代入，
解得𝐴𝐵= 10，故选项B 正确；
C．由前面分析可知𝐴𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，
∴𝐶𝐵= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √102 −82 = 6，
∵𝑃，Q 同时出发，P，Q 两点同时到达点C，
∴可根据两点路程比得到速度比，
∵𝑃点运动的路程为8，Q 点运动的路程为10 + 6 = 16，
∴二者的速度比为
8
16 =
1
2，
∴相同时间内二者的路程比也为
1
2，
当𝑥= 𝑎时，△𝐴𝑃𝑄的面积为最大值，此时Q 点走的距离为10，
则
1
2 =
𝑎
10，解得𝑎= 5，故选项C 正确；
D．由选项B 可知，此时△𝐴𝑃𝑄的面积为
1
2 × 5 × 6 = 15，
故𝑦= 15，则D 点的坐标为(5,15)，故选项D 错误．
故选：D．
3．(24-25 七下·山东济南章丘区·期末)已知：如图（1），长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，E 是边𝐴𝐷上一点，且𝐴𝐸= 6cm，
𝐴𝐵= 8cm，点P 从B 出发，沿折线𝐵𝐸−𝐸𝐷−𝐷𝐶匀速运动，运动到点C 停止．P 的运动速度为2cm/s，运
动时间为𝑡(s)，△𝐵𝑃𝐶的面积为𝑦(cm²)．y 与t 的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（ ）
①𝑎= 7；②𝑏= 11；③当𝑡= 3时，△𝑃𝐶𝐷为等腰三角形；④当𝑡= 10s时，𝑦= 12cm²
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A．①③④
B．①③
C．①②③
D．①④
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，由三角形面积公式求出𝐵𝐶= 10cm，即可得到𝐷𝐸长，
求出P 在𝐸𝐷上运动的时间，从而求出a 的值，求出P 在𝐶𝐷上运动的时间是8 ÷ 2 = 4(s)，即可求出b 的值，
𝑏= 7 + 4 = 11，当𝑡= 3时，由△𝐷𝐸𝐶≌△𝑃𝐸𝐶(SAS)，得到𝑃𝐶= 𝐶𝐷，因此△𝑃𝐶𝐷是等腰三角形，当𝑡= 10
时，求出𝑃𝐶= 2(cm)，即可求出𝑦= 10cm2．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴∠𝐴= 90°，𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
当P 在𝐷𝐸上时，△𝑃𝐵𝐶的面积=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐵= 40(cm2)，
∴𝐵𝐶= 10cm，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 10 −6 = 4(cm)，
∴P 在𝐷𝐸上运动的时间是4 ÷ 2 = 2(s)，
∴𝑎= 5 + 2 = 7，故①符合题意；
∵P 在𝐶𝐷上运动的时间是8 ÷ 2 = 4(s)，
∴𝑏= 7 + 4 = 11，故②符合题意；
当𝑡= 3时，如图，连接𝐶𝐸，
∵𝐴𝐸= 6cm，𝐴𝐵= 8cm，
∴𝐵𝐸= √𝐴𝐸2 + 𝐴𝐵2 = 10(cm)，
∵𝑃𝐵= 2 × 3 = 6(cm)，
∴𝑃𝐸= 𝐵𝐸−𝐵𝑃= 4(cm)，
∴𝑃𝐸= 𝐷𝐸，
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∵𝐵𝐸= 𝐵𝐶= 10cm，
∴∠𝑃𝐸𝐶= ∠𝐵𝐶𝐸，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝑃𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶，
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐸，
∴△𝐷𝐸𝐶≌△𝑃𝐸𝐶(SAS)，
∴𝑃𝐶= 𝐶𝐷，
∴△𝑃𝐶𝐷是等腰三角形，故③符合题意；
当𝑡= 10时，P 运动的路程是2 × 10 = 20(cm)，
∴𝑃𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐸+ 𝐷𝐶−20 = 10 + 4 + 8 −20 = 2(cm)，
∴𝑦=
1
2 𝐵𝐶⋅𝑃𝐶= 10(cm2)，故④不符合题意．
∴正确的是①②③．
故选：C．
4．(24-25 八下·河北石家庄平山县·期末)如图1，点G 为𝐵𝐶边的中点，点H 在𝐴𝐹上，动点P 以每秒2cm的速
度沿路线G→C→D→E→F→H 运动，到点H 停止，相应的△𝐴𝐵𝑃的面积𝑦(cm2)关于运动时间𝑡(s)的函数图
象如图2 所示，若𝐴𝐵= 6cm，则下列结论正确为（ ）
①图1 中𝐵𝐶长8cm；
②图1 中𝐷𝐸的长是6cm；
③图2 中点M 表示4 时y 值为24cm2；
④图2 中点N 表示12s时y 值为15cm2．
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①②④
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函
数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得
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到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【详解】解：由图象可得：0～2 秒，点P 在𝐺𝐶上运动，则𝐺𝐶= 2 × 2 = 4cm，
∵点G 是𝐵𝐶中点，
∴𝐵𝐶= 2𝐺𝐶= 8cm，故①正确．
由图象可得：2﹣4 秒，点P 在𝐶𝐷上运动，则第4 秒时，𝑦= 𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2 × 6 × 8 = 24(cm2),故③正确．
由图象可得：4﹣7 秒，点P 在𝐷𝐸上运动，则𝐷𝐸= 2 × 3 = 6cm，故②正确．
由图象可得：当第12秒时，点P 在H 处，
∵𝐸𝐹= 𝐴𝐵−𝐶𝐷= 6 −4 = 2cm，
∴𝑡=
2
2 = 1(s)，
∴𝐴𝐻= 8 + 6 −2 × (12 −7 −1) = 6．
∴𝑦= 𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2 × 6 × 6 = 18(cm2)．故④不正确．
∴结论正确为①②③．
故选：C．
5．(24-25 六下·山东济南莱芜区·期末)一个动点H 以每秒𝑥cm的速度沿图1 的边框（边框拐角处都互相垂直）
按从𝐴−𝐵−𝐶−𝐷−𝐸−𝐹的路径匀速运动，相应的△𝐻𝐴𝐹的面积𝑆(cm2)与时间𝑡(s)的关系图象如图2，已
知𝐴𝐹= 10cm，则下列说法正确的有（ ）
①动点H 的速度是2cm/s；②𝐵𝐶的长度为8cm；③𝑎= 27；④在运动过程中，当△𝐻𝐴𝐹的面积是40cm2时，
点H 的运动时间是8s或19s．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题主要考查了动点函数的图象，三角形的面积等知识点，先根据点H 的运动，得出当点H 在不
同边上时△𝐻𝐴𝐹的面积变化，并对应图2 得出相关边的边长，最后经过计算逐个判断即可，掌握三角形的
面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．
【详解】解：当点H 在𝐴𝐵上时，如图所示，
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∴𝐴𝐻= 𝑥𝑡(cm)，
∴𝑆△𝐻𝐴𝐹=
1
2 × 𝐴𝐹× 𝐴𝐻= 5𝑥𝑡(cm2)，
∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H 在𝐵𝐶上时，如图所示，𝐻𝑃是△𝐻𝐴𝐹的高，且𝐻𝑃= 𝐴𝐵，
∴𝑆△𝐻𝐴𝐹=
1
2 × 𝐴𝐹× 𝐴𝐵= 5𝐴𝐵，此时三角形面积不变，
当点H 在𝐶𝐷上时，如图所示，𝐻𝑃是△𝐻𝐴𝐹的高，C，D，P 三点共线，
∴𝑆△𝐻𝐴𝐹=
1
2 × 𝐴𝐹× 𝐻𝑃= 5𝐻𝑃，点H 从点C 到点D 运动过程中，𝐻𝑃逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H 在𝐷𝐸上时，如图所示，𝐻𝑃是△𝐻𝐴𝐹的高，且𝐻𝑃= 𝐸𝐹，
∴𝑆△𝐻𝐴𝐹=
1
2 × 𝐴𝐹× 𝐻𝑃=
1
2 × 𝐴𝐹× 𝐸𝐹= 5𝐸𝐹，此时三角形面积不变，
当点H 在𝐸𝐹时，如图所示，
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∴𝑆△𝐻𝐴𝐹=
1
2 × 𝐴𝐹× 𝐻𝑃= 5𝐻𝑃= 5𝐻𝐹，点H 从点E 向点F 运动，𝐻𝐹逐渐减小，故三角形面积不断减小直
至零，
对照图2 可得0 ≤𝑡≤10时，点H 在𝐴𝐵上，
𝑆△𝐻𝐴𝐹= 5𝑥𝑡= 5 × 10𝑥= 50(cm2)，
∴𝑥= 1，𝐴𝐵= 1 × 10 = 10(cm)，
∴动点H 的速度是1cm/s，
故①错误，不符合题意；
当10 ≤𝑡≤18时，点H 在𝐵𝐶上，此时三角形面积不变，
∴动点H 由点B 运动到点C 共用时18 −10 = 8(s)，
∴𝐵𝐶= 1 × 8 = 8(cm)，
故②正确，符合题意；
当26 ≤𝑡≤𝑎，点H 在𝐷𝐸上，𝐷𝐸= 𝐴𝐹−𝐵𝐶= 10 −8 = 2(cm)，
∴动点H 由点D 运动到点E 共用时2 ÷ 1 = 2(s)，
∴𝑎= 26 + 2 = 28，
故③错误，不符合题意；
当△𝐻𝐴𝐹的面积是40cm2时，点H 在𝐴𝐵上或𝐶𝐷上，
点H 在𝐴𝐵上时，𝑆△𝐻𝐴𝐹= 5𝑥𝑡= 5𝑡= 40(cm2)，
解得𝑡= 8(s)，
点H 在𝐶𝐷上时，
𝑆△𝐻𝐴𝐹=
1
2 × 𝐴𝐹× 𝐻𝑃= 5𝐻𝑃= 40(cm2)，
解得𝐻𝑃= 8(cm)，
∴𝐶𝐻= 𝐴𝐵−𝐻𝑃= 10 −8 = 2(cm)，
∴从点C 运动到点H 共用时2 ÷ 1 = 2(s)，
由点A 到点C 共用时18s，
∴此时共用时18 + 2 = 20(s)，
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故④错误，不符合题意；
综合上所述：正确的有1 个，
故选：A．
6．(24-25 七下·山西晋中平遥县·期末)如图1 所示，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，动点P 从点B 出发，以1cm/s的速度沿
着B—C—D—A 运动至点A 停止，设点P 运动的时间为x 秒，△𝐴𝐵𝑃的面积为𝑦cm2，y 与x 的关系如图2 所
示，那么下列说法正确的是（ ）
A．𝐴𝐵= 4cm
B．长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为18cm2
C．当𝑥= 6秒时，𝑦= 12cm2
D．若𝑦= 7.5cm2时，x 可能是3 秒或10 秒
【答案】D
【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P 所在的位置与图象的关系逐
项判断即可．
【详解】解：A、根据题意，动点P 在边𝐶𝐷上时，△𝐴𝐵𝑃的面积y 值不变，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 1 × (9 −4) = 5cm，故A 选项说法不正确，不符合题意；
B、由图象知，动点P 在边𝐵𝐶上运动时间为4 秒，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 1 × 4 = 4cm，
∴长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为4 × 5 = 20cm2，
故选项B 说法不正确，不符合题意；
C、当𝑥= 6秒时，动点P 在边𝐶𝐷上，此时𝑦=
1
2 × 5 × 4 = 10cm，
故选项C 说法不正确，不符合题意；
D、当𝑦= 7.5cm2时，有两种情况：
当动点P 在边𝐵𝐶上时，由
1
2 × 5 × 𝑡= 7.5得𝑡= 3；
当动点P 在边𝐴𝐷上时，由
1
2 × 5 × (4 + 5 + 4 −𝑡) = 7.5得𝑡= 10，
综上，当𝑦= 7.5cm2时，𝑥= 10秒或3 秒，
故选项D 说法正确，符合题意，
故选：D．
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7．(24-25 八上·广东深圳罗湖区·期中)如图（1），点𝐺为𝐵𝐶边的中点，点𝐻在𝐴𝐹上，动点𝑃以每秒2cm的速度
沿图（1）的边运动，运动路径为𝐺→𝐶→𝐷→𝐸→𝐹→𝐻，相应的△𝐴𝐵𝑃的面积𝑦（cm2）关于运动时间𝑡（s）
的函数图象如图（2），若𝐴𝐵= 6cm，则下列结论正确的个数有（ ）
①图（1）中𝐵𝐶长4cm；
②图（1）中𝐷𝐸的长是6cm；
③图（2）中点𝑀表示4 秒时的𝑦值为24 cm2；
④图（2）中的点𝑁表示12 秒时𝑦值为15cm2．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】D
【分析】本题考查了动点函数问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和
所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增
大，知道函数值是增大还是减小．
【详解】解：由图象可得：0～2 秒，点𝑃在𝐺𝐶上运动，则𝐺𝐶= 2 × 2 = 4cm，
∵点𝐺是𝐵𝐶中点，
∴𝐵𝐶= 2𝐺𝐶= 8cm，
故①不合题意；
由图象可得：4～7 秒，点𝑃在𝐷𝐸上运动，则𝐷𝐸= 2 × (7 −4) = 6cm，
故②符合题意；
第7 秒时，点𝑃在𝐸处，𝑦= 𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2 × 6 × (8 + 6) = 42cm2，
故③不符合题意；
由图象可得：当第12 秒时，点𝑃在𝐻处，
∵𝐸𝐹= 𝐴𝐵−𝐶𝐷= 6 −4 = 2cm，
∴𝑡=
2
2 = 1s，
∴𝐴𝐻= 8 + 6 −2 × (12 −7 −1) = 6cm，
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∴𝑦= 𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2 × 6 × 6 = 18cm2，
故④不符合题意，
∴正确的是②，
故选：D．
题型二：从函数图象中获取信息（解答题）
1．(24-25 七下·重庆第八中学·期末)如图1，已知八边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻相邻的两边互相垂直，且𝐴𝐵= 𝐴𝐻，𝐷𝐶=
𝐷𝐸．动点𝑃从八边形顶点𝐴出发，沿着八边形的边以每秒𝑎cm的速度逆时针运动，当𝑃运动到点𝐸时调头，以
原来的速度原路返回，到𝐴点处停止运动．△𝑃𝐴𝐻的面积为𝑆(cm2)，运动时间为𝑡（秒），𝑆与𝑡的图象如图2所
示，请回答以下问题：
(1)𝐴𝐵= cm，𝐷𝐸= cm，𝑎= cm/𝑠；
(2)当点𝑃第一次在边𝐶𝐷上运动时，求𝑆与𝑡的关系式；
(3)点𝑃在返回过程中，△𝐴𝐻𝑃面积为40cm2时，求时间𝑡的值．
【答案】(1)10；5；2
(2)𝑆= 110 −10𝑡(6 ≤𝑡≤8.5)；
(3)𝑡的值为15或18时，△𝐴𝐻𝑃面积为40cm2．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解
题的关键．
（1）根据图2 中△𝑃𝐴𝐻的面积最大值为50cm2，根据图1 得出此时
1
2 𝐴𝐵2 = 50，求出结果即可；延长𝐸𝐷交
𝐴𝐵于点N，延长𝐶𝐷交𝐴𝐵于点M，得𝑀𝐶= 𝐴𝐵= 10cm，根据图1，结合图2 求出𝐷𝑀= 5cm，得出𝐶𝐷= 10 −
5 = 5(cm)，根据图2，得出点P 从点𝐶→𝐷→𝐸→𝐷→𝐶运动时间为：16 −6 = 10(s)，再求出a 的值即可；
（2）先表示出𝑃𝑀= 𝐶𝑀−𝑃𝐶= 10 −2(𝑡−6)，然后再根据𝑆=
1
2 𝐴𝐻× 𝑀𝑃求出结果即可；
（3）分点P 在CD 上和点P 在AB 上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可．
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【详解】（1）解：观察图象可知：△𝐴𝑃𝐻面积的最大值为50cm2，
根据图1 可知，△𝐴𝑃𝐻面积的最大值为：
1
2 𝐴𝐵× 𝐴𝐻= 50，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐻，
∴
1
2 𝐴𝐵2 = 50，
∴𝐴𝐵= 10cm，负值舍去；
延长𝐸𝐷交𝐴𝐵于点N，延长𝐶𝐷交𝐴𝐵于点M，如图所示：
∵八边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻相邻的两边互相垂直，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝑀，𝐴𝑁𝐷𝑀，𝐵𝐶𝐷𝑁为长方形，
∴𝑀𝐶= 𝐴𝐵= 10cm，
根据图2 可知，当点P 在𝐷𝐸上运动时，△𝐴𝑃𝐻的面积为25cm2，
∴
1
2 𝐴𝐻× 𝐷𝑀= 25，
即
1
2 × 10 × 𝐷𝑀= 25，
解得：𝐷𝑀= 5cm，
∴𝐶𝐷= 10 −5 = 5(cm)，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 5cm，
∵当P 运动到点E 时调头，以原来的速度原路返回，
∴根据图2 可知：点P 从点𝐶→𝐷→𝐸→𝐷→𝐶运动时间为：
16 −6 = 10(s)，
∴𝑎=
5+5+5+5
10
= 2(cm/s)；
（2）解：点P 第一次在边𝐶𝐷上运动时，如图所示：
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𝑃𝑀= 𝐶𝑀−𝑃𝐶= 10 −2(𝑡−6)，
∴𝑆=
1
2 𝐴𝐻× 𝑀𝑃
= 1
2 × 10 × [10 −2(𝑡−6)]
= 110 −10𝑡(6 ≤𝑡≤8.5)；
（3）解：根据图2可知：当𝑃在𝐷𝐸上时，△𝑃𝐴𝐻的面积为𝑆= 25cm2，当𝑃在𝐵𝐶上时，△𝑃𝐴𝐻的面积为𝑆=
50cm2，
∵△𝐴𝐻𝑃面积为40cm2 ,
∴点𝑃在𝐶𝐷或𝐴𝐵上，
当点𝑃在𝐶𝐷上时，如图，
1
2 𝐴𝐻× 𝑃𝑀= 40即
1
2 × 10 × [2 (𝑡−8.5 −
5
2 −
5
2) + 5] = 40，
解得𝑡= 15，
当点𝑃在𝐴𝐵上时，如图，
1
2 𝐴𝐻× 𝑃𝐴= 40即
1
2 × 10 × 2 [(8.5 +
5
2) × 2 −𝑡] = 40，
解得𝑡= 18，
综上，𝑡的值为15或18𝑠时，△𝐴𝐻𝑃面积为40cm2．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握根据函数
图象分析点的位置并结合相关公式解题是解题的关键．
2．(24-25 八上·福建梅列、永安·期末)如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐶= 90°，动点𝑃从𝐵点出发，
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沿𝐵→𝐶→𝐷→𝐴匀速运动，设点𝑃运动的路程为𝑥，△𝐴𝐵𝑃的面积为𝑦，它们之间的关系如图2 所示，请问：
(1)在这个变化中，自变量是 、因变量是 ；
(2)当点𝑃运动的路程𝑥= 6时，△𝐴𝐵𝑃的面积为𝑦= ；
(3)求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长和面积
【答案】(1)𝑥，𝑦
(2)48
(3)四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为40，面积为72
【分析】（1）△𝐴𝐵𝑃的面积随着点𝑃运动的路程的变化而变化，根据自变量和因变量的定义可得自变量是𝑥，
因变量是𝑦；
（2）根据函数图象，即可得到点𝑃运动的路程𝑥= 6时，△𝐴𝐵𝑃的面积；
（3）根据图象得出𝐵𝐶的长以及此时三角形𝐴𝐵𝑃面积，利用三角形面积公式求出𝐴𝐵的长即可；由函数图象
得出𝐷𝐶的长，利用梯形面积公式求出梯形𝐴𝐵𝐶𝐷面积即可．
本题考查了函数的概念、动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解答本题的关键．
【详解】（1）解：∵ △𝐴𝐵𝑃的面积随着点𝑃运动的路程的变化而变化，
∴自变量是𝑥，因变量是𝑦；
故答案为：𝑥，𝑦．
（2）由图2 知，当𝑥= 6时，△𝐴𝐵𝑃的面积为𝑦= 48．
（3）∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐶= 90°，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是直角梯形；
由图2 知，当𝑥= 6时三角形的面积达到最大，
又∵ 𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶，
∴ 𝐵𝐶= 6，
∴ 48 =
1
2 × 6𝐴𝐵，𝐴𝐵= 16，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长𝐶= 24 + 𝐴𝐵= 40，
由图2 知，𝐷𝐶= 14 −6 = 8，
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∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积𝑆=
1
2 (𝐴𝐵+ 𝐷𝐶) ⋅𝐵𝐶=
1
2 × (16 + 8) × 6 = 72,
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为40，面积为72．
3．(24-25 八上·[名校联盟]辽宁辽阳九中·期末)在全国抗击“非典”的斗争中，某市医学研究所的医学专家们经
过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典的抗生药，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，
注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似的满足如图所示的折线．
(1)写出注射药液后自变量的取值范围．
(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4 微克时，控制“非典”病情是有效的．如果病人按规定的剂量
注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？
(3)假若某病人一天中第一次注射药液是早晨6 点钟，问怎样安排此人从6: 00～20: 00注射药液的时间，才能
使病人的治疗效果最好？
【答案】(1)0 < 𝑡≤10
(2)这一次注射的药液经过1 小时后对控制病情开始有效．有效时间持续3.5 小时
(3)若病人从6 点打第一针．则9 点半打第二针，此后每隔2 小时30 分打一针，算上早上打的第一针，该患
者共需打6 针
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键在于根据函数图象获取需要的信息．
（1）根据图中信息回答即可；
（2）根据图中信息得到，𝑡= 1时，𝑦= 4，以及𝑡= 4.5时，𝑦= 4，进而即可分析求解；
（3）根据（2）中所得信息，结合要使病人的治疗效果最好进行分析，即可解题．
【详解】（1）解：由图知，注射药液后自变量的取值范围为0 < 𝑡≤10；
（2）解：由图知，𝑡= 1时，𝑦= 4，以及𝑡= 4.5时，𝑦= 4，4.5 −1 = 3.5（小时），
∴这一次注射的药液经过1 小时后控制病情开始有效，有效时间持续3.5 小时．
（3）解：∵注射的药液经过1 小时后控制病情开始有效，有效时间持续3.5 小时，且要病人的治疗效果最好，
若病人从6 点打第一针．
则9 点半打第二针，此后每隔2 小时30 分打一针，
则12 点打第三针，
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14 点半打第四针，
17 点打第五针，
19 点半打第六针，
即该患者共需打6 针．
4．如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 2，点F 是线段𝐶𝐷的中点，动点P 从点A 出发，沿射线𝐴𝐵方向以
每秒2 个单位长度的速度运动，同时动点Q 从点B 出发沿折线B→C→F 方向以每秒1 个单位长度的速度运
动．当点Q 到达点F 时，P、Q 两点都停止运动．设动点P 运动的时间为x 秒，△𝑃𝐵𝑄的面积为y．
(1)请直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（面积不为0）；
(2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图像，在0 < 𝑥< 2范围内，𝑦= 𝑡与函数有2 个交点，直接写出t 的求值范围．
【答案】(1)𝑦= {−𝑥2 + 2𝑥(0 < 𝑥< 2)
2𝑥−4(2 < 𝑥≤4)
(2)见解析
(3)0 < 𝑡< 1
【分析】（1）分两种情况：当点𝑃在线段𝐴𝐵上，点𝑄在𝐵𝐶上时，当点𝑃在射线𝐴𝐵上时，点𝑄在𝐶𝐹上时，分
别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案；
（2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质；
（3）根据函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
当点𝑃在线段𝐴𝐵上，点𝑄在𝐵𝐶上时，
此时：𝐴𝑃= 2𝑥，𝐵𝑄= 𝑥，0 < 𝑥< 2，
∴𝑃𝐵= 𝐴𝐵−𝐴𝑃= 4 −2𝑥，
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∴𝑦= 𝑆△𝑃𝐵𝑄=
1
2 𝐵𝑃⋅𝐵𝑄=
1
2 (4 −2𝑥)𝑥= −𝑥2 + 2𝑥；
当点𝑃在射线𝐴𝐵上时，点𝑄在𝐶𝐹上时，
此时：𝐴𝑃= 2𝑥，2 < 𝑥≤4，
∴𝑃𝐵= 𝐴𝑃−𝐴𝐵= 2𝑥−4，
∴𝑦= 𝑆△𝑃𝐵𝑄=
1
2 𝐵𝑃⋅𝐵𝐶=
1
2 (2𝑥−4) × 2 = 2𝑥−4；
综上所述：𝑦= {−𝑥2 + 2𝑥(0 < 𝑥< 2)
2𝑥−4(2 < 𝑥≤4)
，
（2）解：列表：
𝑥
0
1
2
3
4
𝑦
0
1
0
2
4
函数图像如图：
由函数图象可得：
函数的性质：
①当0 < 𝑥< 1或2 < 𝑥≤4时，𝑦随𝑥增大而增大，当1 < 𝑥< 2时，𝑦随𝑥增大而减小；
②当𝑥= 4时，函数𝑦有最大值4；（回答一个即可）
（3）解：由函数图象可得：
在0 < 𝑥< 2时，
𝑦= −𝑥2 + 2𝑥= −(𝑥−1)2 + 1
要使𝑦= 𝑡与该抛物线有2 个交点，
则0 < 𝑡< 1
【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取
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出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键．
5．某车间的甲、乙两名工人同时生产同种零件，他们生产的零件个数𝑦（个）与生产时间𝑡（小时）之间的
函数关系如图．
(1)根据图象填空
①甲、乙中，______先完成40 个零件的生产任务；在生产过程中，______因机器故障停止生产______小时；
②当𝑡=______时，甲、乙生产的零件个数相同．
(2)谁在哪一时间段内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
【答案】(1)①甲，甲，2 ；②3 或5.5
(2)甲在4 ∼7小时内的生产速度最快．他在这段时间内每小时生产零件10 个
【分析】本题考查了从图象中获取信息，解题的关键是根据题意得到相关的信息．
（1）①根据图象直接填写即可；②根据图象中两函数图象交点即为甲、乙生产的零件个数相等时的信息．
（2）根据图象即可得到生产速度最快的时间段，再根据题意即可求出最快的速度．
【详解】（1）解：①由图象可知，甲先完成40 个零件的生产任务；在生产过程中，甲因机器故障停止生产
4 −2 = 2小时；
故答案为：甲，甲，2；
②由图象可知，当𝑡= 3或𝑡= 5.5时，两函数图象相交，即为甲、乙生产的零件个数相等，
故答案为：3 或5.5．
（2）由图象可知甲在4 ∼7小时内倾斜角度最大，生产速度最快；
此时甲每小时生产零件的个数为
40−10
7−4 = 10（个）．
6．(24-25 八上·广东深圳百合外国语七年级·期末)某车间甲、乙两名工人分别生产同种零件，他们生产的零
件数量y（个）与生产时间t（小时）之间的关系如图所示（其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲因机器故
障停产了一段时间）
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(1)甲、乙中，______先完成40 个零件的生产任务
(2)甲在因机器故障停产之前，每小时生产______个零件
(3)甲故障排除之后以原来速度的两倍重新开始生产，则甲停产了____小时
(4)在第一次甲乙生产零件总数在同一时刻相同到甲完工这段时间，什么时候甲乙生产的零件总数相等？
【答案】(1)甲
(2)5
(3)2
(4)5.5 小时时甲乙生产的零件总数相等
【分析】此题主要考查了从函数图象中获得信息，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关
键．
（1）根据图象可以的到甲、乙完成40 个零件的时间；
（2）根据图象得出甲的生产速度即可；
（3）计算甲完成剩余30 个零件的生产任务需要用时，根据总时间即可得；
（4）根据函数图象求出乙的生产速度，再求出甲恢复生产后乙比甲多生产的零件个数，然后根据甲、乙的
生产速度列式计算即可．
【详解】（1）解：由图象知，甲在𝑡= 7时完成生产任务，而乙在𝑡= 8时完成生产任务，因此甲先完成40
个零件的生产任务；
（2）解：∵10 ÷ 2 = 5(个/小时)，
∴甲在因机器故障停产之前，每小时生产5 个零件；
（3）解：由题意知，甲完成剩余30 个零件的生产任务需要用时(40 −10) ÷ 10 = 3 (小时)，
∴甲停产时间为7 −2 −3 = 2（小时）；
（4）解：乙生产的速度为(40 −4) ÷ (8 −2) = 6（个/时），
甲故障排除时乙比甲多生产的零件数量为：6 × 2 + 4 −10 = 6（个），
则甲追上乙所花的时间为6 ÷ (10 −6) = 1.5（小时），
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2 + 2 + 1.5 = 5.5（小时），
所以在第一次甲乙生产零件总数在同一时刻相同到甲完工这段时间，5.5小时时甲乙生产的零件总数相等．
7．(24-25 七下·广东深圳云端学校·期末)云端学校组织七年级进行“春日蓄能”春季社会实践活动（图1）．下
午13: 30小鹏同学到达出发点，以一定的速度沿路线“入口-经纬寻踪-能源汇智-光影捕美-出口”进行打卡游览，
小鹏同学步行的路程𝑠(km)与游览时间𝑡(h)之间的部分图象如图2 所示（图象不完整）．根据图回答下列问
题：
(1)图2 中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______；
(2)小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是______千米/时；
(3)图2 中点𝐴表示的意义是______．
(4)𝐴点与出口之间的距离为3000米，小鹏同学按第一段（入口到经纬寻踪）的步行速度从𝐴点出发，可以在
18点前到达出口吗？
【答案】(1)游览时间，步行的路程
(2)4
(3)出发3.5时，步行的路程为7千米
(4)可以在18点前到达出口
【分析】本题考查了函数图像相关知识：
（1）根据图像确定即可；
（2）根据速度=路程÷时间即可；
（3）观察图像即可；
（4）根据时间=路程÷速度，计算点𝐴到出口的时间，再计算总共用时，比较即可．
【详解】（1）图2中反映了小鹏同学步行的路程𝑠(km)与游览时间𝑡(h)这两个变量之间的关系，其中自变量
为浏览时间，因变量为步行的路程．
（2）
6−4
2−1.5 = 4(km/h)
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（3）点𝐴的横坐标为3.5，纵坐标为7
所以点𝐴表示的意义是出发3.5时，步行的路程为7千米．
（4）3 ÷
4
1 =
3
4 (h)
3.5 + 3
4 = 4.25(h)
13.5 + 4.25 = 17.75 < 18
可以在18点前到达出口．
8．一列快车从甲地驶向乙地，一列慢车从乙地驶向甲地．两车同时出发．设慢车的行驶时间为𝑡（h），快
车与慢车之间的距离为𝑦（km）．请你根据图像回答下列问题：
(1)请你说明点𝐶与点𝐷的实际意义．
(2)当两车之间距离225km时，经过了多长时间？
【答案】(1)点𝐶的实际意义是快车到达乙地的时刻，点𝐷的实际意义是慢车到达甲地的时刻
(2)3h或5h
【分析】（1）根据题意及函数图象解答即可；
（2）根据函数图象求出慢车和快车的速度，再分两车相遇前距离225km和两车相遇后距离225km，分别列
出方程解答即可；
本题考查了函数图象的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】（1）解：点𝐶的实际意义是快车到达乙地的时刻，点𝐷的实际意义是慢车到达甲地的时刻；
（2）解：由函数图象可得，慢车的速度为900 ÷ 12 = 75km/h，快车的速度为(900 −75 × 4) ÷ 4 = 150km/h，
①两车相遇前距离225km，
则150𝑡+ 75𝑡+ 225 = 900，
解得𝑡= 3；
②两车相遇后距离225km，
则150𝑡+ 75𝑡= 900 + 225，
解得𝑡= 5；
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答：当两车之间距离225km时，经过了3h或5h．
题型三：函数图象综合解答题
1．(23-24 七上·贵州六盘水·期末)如图①，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 6cm，点𝑃以1cm/s的速度从𝐴点出发，沿
𝐴→𝐵→𝐶→𝐴运动一周，连接𝐴𝑃,△𝐴𝑃𝐶的面积𝑆(cm2)与点𝑃的运动时间𝑡(s)之间的关系如图②所示，请
解答下列问题：
(1)△𝐴𝐵𝐶的面积为____________cm2；
(2)在△𝐴𝐵𝐶中，求𝐵𝐶边上的高；
(3)当𝑡为何值时，𝑆△𝐴𝑃𝐶=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶？
【答案】(1)24
(2)4.8cm
(3)𝑡= 2秒或𝑡=
31
2 秒
【分析】本题考查了动点问题的函数图象、待定系数法求一次函数的关系式，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．
（1）当点𝑃运动到点𝐵时，△𝐴𝑃𝐶的面积最大且等于△𝐴𝐵𝐶的面积，再根据图②可求解；
（2）利用三角形面积公式求出𝐴𝐵的长，再利用三角形面积公式求出𝐵𝐶边上的高即可；
（3）分类讨论当点𝑃在𝐴𝐵上时和当点𝑃在𝐵𝐶上时，列出对应方程并求解即可．
【详解】（1）解：当点𝑃运动到点𝐵时，△𝐴𝑃𝐶的面积最大且等于△𝐴𝐵𝐶的面积，由图②可知，△𝐴𝐵𝐶的面
积为24cm2；
故答案为：24；
（2）解：设𝐵𝐶边上的高为ℎ，
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由（1）知𝑆△𝐴𝐵𝐶= 24cm2，
∵𝐴𝐶= 6cm，
∴
1
2 𝐴𝐶⋅𝐴𝐵= 24，
即
1
2 × 6 × 𝐴𝐵= 24，
∴𝐴𝐵= 8cm，
由图②可知：𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 18cm，
𝐵𝐶= 10cm，
1
2 𝐵𝐶⋅ℎ= 24，
解得：ℎ= 4.8cm，
∴𝐵𝐶边上的高为4.8cm；
（3）解：∵𝑆△𝐴𝑃𝐶=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 24cm2，
∴𝑆△𝐴𝑃𝐶= 6cm2，
①当点𝑃在𝐴𝐵上时，𝐴𝑃= 𝑡，
𝑆△𝐴𝑃𝐶=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐴𝑃= 6，
即
1
2 × 6𝑡= 6，
解得：𝑡= 2；
②当点𝑃在𝐵𝐶上时，𝑃𝐶= 18 −𝑡，
由（2）可知𝐵𝐶边上的高ℎ= 4.8cm，
∴𝑆△𝐴𝑃𝐶=
1
2 𝑃𝐶⋅ℎ= 6，
即
1
2 (18 −𝑡) × 4.8 = 6，
解得：𝑡=
31
2 ，
综上所述，当𝑡= 2秒或𝑡=
31
2 秒时，𝑆△𝐴𝑃𝐶=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶．
2．(24-25 八上·辽宁大连博思中学·月考)如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐷= 4cm，
点𝑃从点𝐷出发（不含点𝐷）以2cm/s的速度沿𝐷→𝐴→𝐵的方向运动到点𝐵停止．点𝑃出发1s后，点𝑄从点𝐶出
发以𝑎cm/s的速度沿𝐶→𝐷的方向运动到𝐷停止，当点𝑃到达点𝐵时，点𝑄恰好到点𝐷．
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(1)当点𝑃到达点𝐴时，△𝐶𝑃𝑄的面积为3cm2，求𝐶𝐷的长；
(2)在（1）的条件下，设点𝑃运动时间为𝑡(s)，运动过程中△𝐵𝑃𝑄的面积为𝑆（cm2），请用含𝑡(s)的式子表示
面积𝑆（cm2），并直接写出𝑡的取值范围．
【答案】(1)6cm
(2)𝑆= {
12(0 < 𝑡≤1)
3
2 𝑡2 −
9
2 𝑡+ 15(1 < 𝑡≤2)
−4𝑡+ 20(2 < 𝑡≤5)
【分析】
（1）求出点𝑃到达点𝐴时运动的时间，即得点𝑄运动的时间，再根据△𝐶𝑃𝑄的面积列方程求出𝑎的值，
设点𝑃点𝐷从运动到点𝐵的时间为𝑡s，根据点𝑃到达点𝐵时，点𝑄恰好到点𝐷列出方程求出𝑡即可求解；
（2）分0 < 𝑡≤1、1 < 𝑡≤2和2 < 𝑡≤5三种情况，分别画出图形，根据图形的面积列出函数关系式即可；
本题考查了一元一次方程的应用，函数的动点应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，点𝑃到达点𝐴时，运动的时间为4 ÷ 2 = 2s，
此时点𝑄运动的时间为2 −1 = 1s，
∴𝐶𝑄= 𝑎× 1 = 𝑎cm，
∵当点𝑃到达点𝐴时，△𝐶𝑃𝑄的面积为3cm2，
∴
1
2 × 𝑎× 4 = 3，
∴𝑎=
3
2，
设点𝑃从点𝐷从运动到点𝐵的时间为𝑡s，
则2𝑡−4 =
3
2 (𝑡−1)，
解得𝑡= 5，
∴𝐶𝐷=
3
2 × (5 −1) = 6cm；
（2）解：当0 < 𝑡≤1时，𝐷𝑃= 2𝑡，点𝑄在点𝐶位置，如图，
此时，𝑆=
1
2 × 4 × 6 = 12；
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当1 < 𝑡≤2时，点𝑃在𝐷𝐴上，如图，𝐷𝑃= 2𝑡，𝐶𝑄=
3
2 (𝑡−1)，
∴𝐴𝑃= 4 −2𝑡，𝐷𝑄= 6 −
3
2 (𝑡−1) =
15
2 −
3
2 𝑡，
则𝑆= 𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝑃𝐷𝑄−𝑆△𝐵𝐶𝑄−𝑆△𝐴𝐵𝑃
= 4 × 6 −1
2 × 2𝑡× (15
2 −3
2 𝑡) −1
2 × 3
2 (𝑡−1) × 4 −1
2 × (4 −2𝑡) × 6
=
3
2 𝑡2 −
9
2 𝑡+ 15，
即𝑆=
3
2 𝑡2 −
9
2 𝑡+ 15；
当2 < 𝑡≤5时，点𝑃在𝐴𝐵上，如图，𝐴𝑃= 2𝑡−4，𝐶𝑄=
3
2 (𝑡−1)，
∴𝐵𝑃= 6 −(2𝑡−4) = 10 −2𝑡，
则𝑆=
1
2 × (10 −2𝑡) × 4 = −4𝑡+ 20，
即𝑆= −4𝑡+ 20；
综上，𝑆= {
12(0 < 𝑡≤1)
3
2 𝑡2 −
9
2 𝑡+ 15(1 < 𝑡≤2)
−4𝑡+ 20(2 < 𝑡≤5)
．
3．(24-25 七下·河北张家口桥西区·期末)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，高为𝐶𝐺，动点𝑃从点𝐴出发沿折线𝐴𝐵→𝐵𝐶→𝐶𝐴
匀速运动至点𝐴后停止．设点𝑃的运动路程为𝑥，线段𝐴𝑃的长度为𝑦，图2 是𝑦与𝑥的函数关系的大致图象，其
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中点𝐹为曲线𝐷𝐸的最低点，结合图形与图象解答：
(1)𝐴𝐵=______，𝐵𝐶=______；
(2)当𝑃在𝐵𝐶上时，求𝐴𝑃的最小值；
(3)求𝐶𝐺的长．
【答案】(1)10，9
(2)8
(3)7.2
【分析】本题考查了动点运动的函数图象，垂线段最短，勾股定理等知识．从图象中获取正确的信息是解
题的关键．
（1）观察图象得：当𝑥= 10时，点𝑃到达点𝐵处，当𝑥= 19时，点𝑃到达点𝐶处，即可求解；
（2）过𝐴作𝐴𝑄⊥𝐵𝐶，如图，当𝑃与𝑄重合时，𝐴𝑃最小，此时𝐵𝑄= 16 −10 = 6，再由勾股定理求出𝐵𝑄，
即可求解；
（3）根据𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐺=
1
2 𝐴𝑄⋅𝐵𝐶，即可求解．
【详解】（1）解：观察图象得：当𝑥= 10时，点𝑃到达点𝐵处，当𝑥= 19时，点𝑃到达点𝐶处，
∴𝐴𝐵= 10, 𝐵𝐶= 19 −10 = 9；
故答案为：10；9
（2）解：过𝐴作𝐴𝑄⊥𝐵𝐶，如图，当𝑃与𝑄重合时，𝐴𝑃最小，此时𝐵𝑄= 16 −10 = 6．
在Rt △𝐴𝐵𝑄中，由勾股定理得，𝐴𝑄= √102 −62 = 8．
所以𝐴𝑃的最小值为8；
（3）解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐺=
1
2 𝐴𝑄⋅𝐵𝐶，
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∴𝐶𝐺=
𝐴𝑄⋅𝐵𝐶
𝐴𝐵
=
9×8
10 = 7.2．
4．(24-25 七下·广东佛山顺德区·期末)如图1，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，动点𝐸在边上沿𝐴−𝐵−𝐶−𝐷的路径匀速
运动．△𝐴𝐷𝐸的面积𝑆(cm2)与点𝐸走过的路程𝑥(cm)的关系图象如图2 所示．
(1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息）
(2)探究𝑆与𝑥之间的关系表达式．
【答案】(1)𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 6, 𝐵𝐶= 4, 𝑎= 16
(2)𝑆= {
2𝑥(0 < 𝑥≤4)
12(4 < 𝑥≤10)
32 −2𝑥(10 < 𝑥≤16)
【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）直接观察函数图象，即可求解；
（2）分三段：当点E 在𝐴𝐵边上时，当点E 在𝐵𝐶边上时，当点E 在𝐶𝐷边上时，利用三角形的面积公式解答，
即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 6cm,𝐵𝐶= 10 −6 = 4cm, 𝐶𝐷= (𝑎−10)cm, 𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
∴𝑎−10 = 6，
∴𝑎= 16，
𝑏= 𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵× 𝐴𝐷=
1
2 × 6 × 4 = 12；
（2）解：当点E 在𝐴𝐵边上时，𝐴𝐸= 𝑥cm，此时0 < 𝑥≤6，
𝑆= 𝑆△𝐴𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷× 𝐴𝐸=
1
2 𝑥× 4 = 2𝑥；
当点E 在𝐵𝐶边上时，此时4 < 𝑥≤10，
∴𝑆= 𝑆△𝐴𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷× 𝐴𝐵=
1
2 × 6 × 4 = 12；
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当点E 在𝐶𝐷边上时，𝐷𝐸= (16 −𝑥)cm，此时10 < 𝑥≤16，
∴𝑆= 𝑆△𝐴𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷× 𝐷𝐸=
1
2 (16 −𝑥) × 4 = 32 −2𝑥；
综上所述，𝑆= {
2𝑥(0 < 𝑥≤6)
12(4 < 𝑥≤10)
32 −2𝑥(10 < 𝑥≤16)
．
5．(24-25 七下·四川成都新都区·期末)如图1，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶是对角线，动点𝑁从点𝐶出发，沿着𝐶→
𝐴→𝐵的路径运动．过点𝑁作𝑁𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸．设点𝑁的运动路程为𝑥，𝐸𝐶−𝑁𝐸的值为𝑦，𝑦与𝑥之间的变量
关系如图2 所示．
(1)请问𝐴𝐶= ，𝐵𝐶= ，𝐴𝐵= ；
(2)图2 中(？)处该填 ；
(3)当点𝑁在线段𝐴𝐵上运动时(不与端点重合)，求△ 𝑁𝐸𝐶的面积𝑆与𝑥之间的关系式(写出𝑥的取值范围)．
【答案】(1)10，6，8
(2)−2
(3)𝑆= −3𝑥+ 54
【分析】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键．
（1）根据图2 可得，当𝑥= 10时，𝑦取得最小值，此时𝑁运动到点𝐴，得出𝐴𝐶= 𝑥= 10，根据当𝑁点运动到
点𝐵点时，𝑁𝐸= 0，𝑦取得最大值，求得𝑥= 𝐵𝐶= 6，进而勾股定理求得𝐴𝐵，即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合函数图象，即可求解；
（3）根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：根据图2 可得，当𝑥= 10时，𝑦取得最小值，此时𝑁运动到点𝐴，即𝐴𝐶= 𝑥= 10，
当𝑁点运动到点𝐵点时，𝑁𝐸= 0，𝑦取得最大值，此时𝐸𝐶= 𝐵𝐶= 6
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = 8
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∴𝐴𝐶= 10,𝐵𝐶= 6, 𝐴𝐵= 8；
故答案为：10，6，8．
（2）解：由（1）可得𝐵𝐶= 6, 𝐴𝐵= 8，
∴当𝑥= 10时，𝑦取得最小值，此时𝑁运动到点𝐴，则𝑦= 𝐸𝐶−𝑁𝐸= 𝐵𝐶−𝐴𝐵= 6 −8 = −2
故答案为：−2．
（3）解：点𝑁在线段𝐴𝐵上运动时(不与端点重合)，则10 < 𝑥< 18
∴𝑆=
1
2 𝑁𝐸× 𝐵𝐶=
1
2 (18 −𝑥) × 6 = −3𝑥+ 54
6．(24-25 七下·广东佛山南海区·期中)如图1 是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐷𝐸，𝐶𝐷=
𝐸𝐹，动点𝑃从点𝐴出发，沿着图形的边以1cm/s的速度按𝐴→𝐵→𝐶→𝐷→𝐸的方向运动，到点𝐸处停止运
动．图2 是△𝑃𝐹𝐸的面积𝑆(cm2)与点𝑃的运动时间𝑡(s)的关系，请回答以下问题：
(1)𝐴𝐵= cm，𝐶𝐷= cm，题2 图中𝑎= ．
(2)当点𝑃在𝐷𝐸边运动时，求𝑆与𝑡的关系式．
【答案】(1)3；6；18
(2)𝑆= 45 −3𝑡(12 ≤𝑡≤15)
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本
题的解题关键．
（1）由函数图象知𝐴𝐵= 3，由三角形面积求得𝐶𝐷= 𝐸𝐹= 6，据此求解即可；
（2）先求得𝑃𝐸= 15 −𝑡，再利用三角形面积公式列式即可．
【详解】（1）解：当0 ≤𝑡≤3时点𝑃从点𝐴运动到点𝐵，𝐴𝐵= 1 × 3 = 3，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐷𝐸= 3，
点𝑃从点𝐵运动到点𝐶，△𝑃𝐹𝐸面积从𝑎变化到9，
∴𝑆△𝑃𝐹𝐸=
1
2 ⋅𝐸𝐹⋅𝐷𝐸= 9，
∴𝐶𝐷= 𝐸𝐹= 6，
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∴𝑎=
1
2 ⋅𝐸𝐹⋅(𝐷𝐸+ 𝐵𝐶) = 18；
故答案为：3；6；18；
（2）解：𝑃𝐸= 3 + 3 + 6 + 3 −𝑡= 15 −𝑡，
∴𝑆=
1
2 ⋅𝐸𝐹⋅𝑃𝐸=
1
2 × 6 ⋅(15 −𝑡) = 45 −3𝑡(12 ≤𝑡≤15)．
7．(24-25 七下·山东青岛北区·期末)如图1，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的一边𝐵𝐶向右匀速平行移动，运动一段时间之后停
留了2s，又向左匀速平行移动，直至与𝐴𝐷边重合，图2 反映了它的边𝐴𝐵的长度𝑙( cm)随时间𝑡(s)变化而变
化的情况，图3 反映了变化过程中长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积𝑆( cm2)随时间𝑡(s)的变化情况．请根据图象回答下列
问题：
(1)初始时，边𝐴𝐵的长度是_____cm；边𝐴𝐷的长度是_____cm；
(2)边𝐵𝐶向左匀速平行移动时的速度是_____cm s
⁄ ；
(3)在变化过程中，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的最大值𝑎=_____cm2；
(4)求边𝐵𝐶向左平移时，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积𝑆( cm2)与时间𝑡(s)之间的关系式．
【答案】(1)2，3
(2)4
(3)36
(4)𝑆= 108 −12𝑡(6 ≤𝑡≤9)
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）由图2 可得初始时，边𝐴𝐵的长度，由图3 可得初始时，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积，据此结合长方形面积计
算公式可得边𝐴𝐷的长度；
（2）由图2 可知第6 秒到第9 秒为向左平移的过程，此时𝐴𝐵的长度由9cm变为0cm，据此求解即可；
（3）当𝐴𝐵最大时，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积最大，据此求解即可；
（4）用含t 的式子表示出𝐴𝐵的长，再根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解；由图2 可知，移动前𝐴𝐵= 2cm，由图3 可知，移动前𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝐴𝐷⋅𝐴𝐵= 6cm2，
∴𝐴𝐷= 3cm；
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（2）解：
12
9−6 = 4cm/s，
∴边𝐵𝐶向左匀速平行移动时的速度是4cm/s；
（3）解：由题意得，𝑎= 12 × 3 = 36cm2；
（4）解：由题意得，𝑆= 3[12 −4(𝑡−6)] = 108 −12𝑡(6 ≤𝑡≤9)．
8．(23-24 八下·四川资阳安岳中学·月考)如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，宽𝐴𝐵= 4，点P 沿着四边按𝐵→𝐶→𝐷→𝐴
方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a 秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b 秒后恢复原速匀速运动，
在运动过程中，△𝐴𝐵𝑃的面积S 与运动时间t 的关系如图所示．
(1)直接写出𝑚= ，𝑎= ，𝑏= ；
(2)求长方形的长；
(3)求当0 ≤𝑡≤9时，S 与运动时间t 的关系式．
【答案】(1)1，4，9
(2)6
(3)𝑆= { −4𝑡+ 40(7 ≤𝑡≤9)
−2𝑡+ 22(9 < 𝑡≤11)
【分析】（1）由函数图象可知，当𝑎≤𝑡≤5时，点𝑃的速度为每秒2 个单位，而当𝑡= 𝑎时，△𝐴𝐵𝑃的面积
为8，当𝑡= 5时，△𝐴𝐵𝑃的面积为12，可列方程
1
2 × 4(5 −𝑎) × 2 = 12 −8，解方程求得𝑎= 4；可由
1
2 × 4 × 4𝑚= 8求得𝑚= 1；当7 ≤𝑡≤𝑏时，点𝑃的速度为每秒2 单位，而当𝑡= 𝑏时，△𝐴𝐵𝑃的面积为4，
当𝑡= 7时，△𝐴𝐵𝑃的面积为12，可列方程
1
2 × 4 × 2(𝑏−7) = 12 −4，解方程求得𝑏= 9；
（2）由函数图象可知，当5 ≤𝑡≤7时，△𝐴𝐵𝑃的面积不变，可知此时点𝑃在𝐶𝐷边上运动，由点𝑃与点𝐶重
合时，△𝐴𝐵𝑃的面积为12 得
1
2 × 4𝐵𝐶= 12，可求得𝐵𝐶= 6，所以长方形的长为6；
（3）𝑃点在𝐴𝐷边上时，分两种情况求出关系式即可．
【详解】（1）解：由函数图形可得：当𝑎≤𝑡≤5时，点𝑃的速度为每秒2 个单位，而当𝑡= 𝑎时，△𝐴𝐵𝑃的
面积为8，当𝑡= 5时，△𝐴𝐵𝑃的面积为12，
∴
1
2 × 4(5 −𝑎) × 2 = 12 −8，解得𝑎= 4；
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当0 ≤𝑡≤𝑎时，点𝑃的速度为每秒m 个单位，当𝑡= 𝑎时，△𝐴𝐵𝑃的面积为8，
∴
1
2 × 4 × 4𝑚= 8，解得𝑚= 1；
当7 ≤𝑡≤𝑏时，点𝑃的速度为每秒2 单位，而当𝑡= 𝑏时，△𝐴𝐵𝑃的面积为4，当𝑡= 7时，△𝐴𝐵𝑃的面积为
12，
∴
1
2 × 4 × 2(𝑏−7) = 12 −4，解得𝑏= 9；
故答案为：1，4，9；
（2）解：由函数图象可知，当5 ≤𝑡≤7时，△𝐴𝐵𝑃的面积为定值，
∵当点𝑃从点𝐵运动到点𝐶时，△𝐴𝐵𝑃的面积为12，
∴
1
2 × 4𝐵𝐶= 12，
∴ 𝐵𝐶= 6，
∴长方形的长为6；
（3）解：当𝑃点在𝐴𝐷边上时，7 ≤𝑡≤11，
当7 ≤𝑡≤9时，如图，𝐴𝑃= 𝐴𝐷−𝑃𝐷= 6 −2(𝑡−7) = 20 −2𝑡，
𝑆=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝑃=
1
2 × 4 × (20 −2𝑇) = 2(20 −2𝑡) = 40 −4𝑡，
∴ 𝑆= −4𝑡+ 40；
当𝑡= 9时，𝐴𝑃= 2，
当9 < 𝑡≤11时，如图，𝐴𝑃= 2 −1 × (𝑡−9) = 11 −𝑡，
𝑆=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝑃=
1
2 × 4 × (11 −𝑡) = 22 −2𝑡，
∴ 𝑆= −2𝑡+ 22，
综上所述，𝑆与𝑡之间的函数关系式为𝑆= { −4𝑡+ 40(7 ≤𝑡≤9)
−2𝑡+ 22(9 < 𝑡≤11)
．
【点睛】此题考查根据图形的面积求函数关系式以及数形结合与分类讨论数学方法的运用等知识与方法，
此题难度较大，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键．
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1．(25-26 九上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)甲、乙两人准备在一段长为1500m的笔直公路上进行跑
步，甲、乙跑步的速度分别是4m/s、6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面200m处，若同时起跑，则两人
从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离𝑦(m)与时间𝑡(s)的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数图象与实际结合的问题，求得相遇的时间、全程时间以及最后甲乙的距离是
解题的关键．
甲在乙前面，而乙的速度大于甲，则此过程为乙先追上甲后再超过甲，全程时间以乙跑的时间计算，算出
相遇时间判断图象即可．
【详解】解： 甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面200 米处，则乙要追
上甲，所需时间为𝑡=
200
6−4 = 100s，
全程乙跑完后计时结束𝑡总=
1500
6
= 250s，
则计时结束后甲乙的距离𝑦= (𝑣乙−𝑣甲) × (250 −100) = 2 × 150 = 300m
由上述分析可看出，B 选项函数图象符合．
故选：B．
2．(2025·河南省鹤壁市·模拟)某市规定每户每月用水量不超过6 吨，每吨价格为2.5 元；当用水量超过6 吨
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时，超过部分每吨价格为3 元．下图中能表示每月水费与用水量关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据实际问题选择图象，解题的关键是根据用水量是否超过6 吨将图象分为两段，再
结合已知即可判断出答案．
【详解】解：根据题意，每户每月用水量不超过6 吨，每吨价格为2.5 元；当用水量超过6 吨时，超过部分
每吨价格为3 元，
即图象分两段，先平缓，再陡峭，
故选：C．
3．(24-25 八上·河南开封县西姜寨乡第一初级中学·期末)如图是汽车行驶速度（千米/时）和时间（分）的关
系图，下列说法中正确的个数为（ ）
（1）汽车行驶时间为40分钟；（2）𝐴𝐵表示汽车匀速行驶；（3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米/时
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了从函数图像获取信息，根据函数图象获取信息即可求解，读懂题意，从函数图象获取
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信息是解题的关键．
【详解】解：（1）∵由横坐标时间可看出汽车的行驶时间，
∴汽车行驶时间为40分钟，故（1）正确；
（2）∵由图可知𝐴𝐵段速度20千米/时，
∴𝐴𝐵表示汽车匀速行驶，故（2）正确．
（3）由图可知第30分钟时，汽车的速度是80千米/时，故（3）错误；
综上可知：（1）（2）正确，共2个，
故选：C．
4．(24-25 八上·福建梅列、永安·期末)如图，图象（折线𝑂𝐸𝐹𝑃𝑀𝑁）描述了汽车在行驶过程中速度与时间的
函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A．第3 分钟时汽车的速度是40 千米/时
B．从第3 分钟到第6 分钟，汽车匀速行驶，速度是40 千米/时
C．从第6 分钟到第9 分钟，汽车行驶了180 千米
D．从第9 分钟到第12 分钟，汽车的速度从60 千米/时减少到0 千米/时
【答案】C
【分析】本题考查函数图象与行程问题．
根据函数图象中的信息，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．第3 分时汽车的速度是40 千米/时，原说法正确，不符合题意；
B．从第3 分钟到第6 分钟，汽车匀速行驶，速度是40 千米/时，原说法正确，不符合题意；
C．从第6 分钟到第9 分钟，平均速度小于60 千米/时，汽车行驶的路程小于180 千米，原说法错误，符合
题意；
D．从第9 分钟到第12 分钟，汽车的速度从60 千米/时减少到0 千米/时，原说法正确，不符合题意．
故选：C．
5．(25-26 九上·湖北楚天名初·期中)人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机
器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小
华出发一段时间后将速度提高到原来的2 倍．若小米行进的时间为𝑥（单位：s），小米和小华行进的路程𝑦1，
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𝑦2（单位：cm）与𝑥之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小米的速度为10cm/s
B．小华提速后的速度为28cm/s
C．小米比小华先出发14s
D．小华比小米提前15s到达客人位置
【答案】A
【分析】本题考查了函数图像的应用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根
据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解．
【详解】解：由图像可知，小米的图像从𝑥= 0开始，小华的图像从𝑥= 15开始，
所以小米比小华先出发15s，故C 选项错误，不符合题意；
∵当𝑥= 15时，𝑦2 = 0，当𝑥= 17时，𝑦2 = 30，
∴小华提速前的速度是30 ÷ (17 −15) = 15cm/s，
∵小华出发一段时间后速度提高为原来的2 倍，
∴小华提速后的速度为30cm/s，故B 选项错误，不符合题意；
∴提速后小华行走所用时间为(450 −30) ÷ 30=14s，
∴𝑚= 17 + 14 = 31s，
∴𝐴(31,310)，
∴小米的速度为310 ÷ 31 = 10cm/s，故A 选项正确，符合题意；
∵450 ÷ 10=45s，45 −31 = 14s，
∴小华比小米提前14s到达客人位置，故D 选项错误，不符合题意；
故选：A．
6．(2025·江苏省南通市·模拟)小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去
少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离𝑠（米）与小强出发时
间𝑡（分）之间的函数关系如图．
结合图象信息，小成给出如下说法：
①小林先到达少年宫；②小林的速度是小强速度的2.5倍；③小强出发24分钟时到达少年宫；④小强出发19
分钟时，小林还需要继续行进480米才能到达少年宫．
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其中正确的说法是（ ）
A．①②
B．②④
C．①③④
D．①②④
【答案】A
【分析】此题主要考查了函数图象及其应用，利用数形结合得出小林的运动速度是解题关键．
根据小强步行720米，需要9分钟，进而得出小强的运动速度，利用图象得出小林的运动时间以及运动距离
进而分别判断得出答案．
【详解】解：由图象得出小强步行720米，需要9分钟，
所以小强的运动速度为：720 ÷ 9 = 80（m/分），
当第15分钟时，小林运动15 −9 = 6（分钟），
运动距离为：15 × 80 = 1200（m），
∴小林的运动速度为：1200 ÷ 6 = 200（m/分），
∴200 ÷ 80 = 2.5,（故②正确）；
当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故①正确；
此时小林运动19 −9 = 10（分钟），
运动总距离为：10 × 200 = 2000（m），
∴小强运动时间为：2000 ÷ 80 = 25（分钟），
∴小强出发25分钟时到达少年宫，故③错误；
由①知小林先到达少年宫，故④错误；
综上，正确的结论有①②，
故选：A．
7．如图1，在平行四边形ABCD 中，动点P 从点A 出发，沿折线𝐴𝐵→𝐵𝐶方向匀速运动，运动到点C 时停
止，设点P 的运动路程为x，线段AP 的长度为y，y 与x 的函数图象如图2 所示．若AP 的最大值为4，则
BC 的长为（ ）
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A．4
B．4.4
C．4.8
D．5
【答案】D
【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
连接𝐴𝐶，过点A 作𝐴𝑃′ ⊥𝐵𝐶于𝑃′，根据函数图象可知：𝐴𝐶= 4，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐵+ 𝐵𝑃′ = 4.8，所以 𝐵𝑃′ = 1.8，
在Rt𝛥𝐴𝐵𝑃′中，由勾股定理得：𝐴𝑃′ = 2.4，在Rt △𝐴𝑃′𝐶中，由勾股定理得：𝑃′𝐶= 3.2，最后根据𝐵𝐶= 𝐵𝑃′ +
𝑃′𝐶即可解答．
【详解】解：连接𝐴𝐶，过点𝐴作𝐴𝑃′ ⊥𝐵𝐶于点𝑃′，如解图，
由题意得𝐴𝐶= 4，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐵+ 𝐵𝑃′ = 4.8，
∴𝐵𝑃′ = 4.8 −3 = 1.8，
𝐴𝑃′ = √𝐴𝐵2 −𝐵𝑃′2 = √32 −1.82 = 2.4，
𝑃′𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝑃′2 = √42 −2.42 = 3.2，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝑃′ + 𝑃′𝐶= 1.8 + 3.2 = 5，
故选：D．
8．(2023·广东省佛山市·模拟)如图1，直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐷𝐶∥𝐴𝐵，动点P 从A 点出发，由
𝐴−𝐷−𝐶−𝐵沿梯形的边运动，设点P 运动的路程为x，△𝐴𝐵𝑃的面积为y，关于y 与x 的函数图象如图2，
则𝐴𝐵的长为（ ）
A．11
B．9
C．12
D．10
【答案】D
小学
初中
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【分析】本题考查了动点问题中的函数图象的应用，勾股定理解三角形，合理分析图象及勾股定理的应用
是解题关键．
作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵，由图2 得，当点P 运动到点D 时路程为5，即𝐴𝐷= 5，当点P 运动到点C 时路程为11，即𝐷𝐶=
11 −5 = 6，当点P 运动到点B 时路程为14，即𝐵𝐶= 14 −11 = 3，再在Rt △𝐴𝐷𝐻中，求出𝐴𝐻，即可求出
𝐴𝐵．
【详解】解：如图，作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵，
由图2 得，当点P 运动到点D 时路程为5，即𝐴𝐷= 5，
当点P 运动到点C 时路程为11，即𝐷𝐶= 11 −5 = 6，
当点P 运动到点B 时路程为14，即𝐵𝐶= 14 −11 = 3，
∵ ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐷𝐶∥𝐴𝐵，
∴∠𝐶= 90°，
∵𝐷𝐻⊥𝐴𝐵，
∴四边形𝐵𝐶𝐷𝐻为矩形，
∴𝐵𝐻= 𝐶𝐷= 6，𝐷𝐻= 𝐵𝐶= 3，
在Rt △𝐴𝐷𝐻中，𝐴𝐻= √𝐴𝐷2 −𝐷𝐻2 = 4，
∴𝐴𝐵= 4 + 6 = 10．
故选：D．
9．如图是某自行车行驶路程与时间的关系图，则6 小时内该自行车的平均速度是 ．
【答案】
40
3 km/h
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【分析】本题考查了运用函数图象提供的信息解决简单的函数问题，在解答中要看懂图象中的数量关系所
反映的实际意义是解答的关键．由图象可以看出5 小时共骑行了80km，根据平均速度=路程÷时间就可以
得出结果．
【详解】解：由图象得：6 小时内，中途休息了1 小时，则5 小时共骑行了80km，
则6 小时内该自行车的平均速度是80 ÷ 6 =
40
3 (km/h)
故答案为：
40
3 km/h．
10．(25-26 七上·四川绵阳英才学校·期中)如图，𝑂𝐴、𝐵𝐴分别表示甲、乙两名学生的运动状态，其中s 和t
分别表示运动的路程和时间．根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 米．
【答案】3
【分析】本题考查了函数图像，从函数图像中正确获取信息是解题关键．根据函数图像可得学生甲用6 秒
跑了42 米，学生乙用6 秒跑了(42 −18)米，利用速度等于路程除以时间分别求出他们的速度，由此即可得．
【详解】解：由函数图像可知，学生甲的速度为42 ÷ 6 = 7（米/秒），
学生乙的速度为(42 −18) ÷ 6 = 4（米/秒），
则快者的速度比慢者的速度每秒快7 −4 = 3（米），
故答案为：3．
11．(25-26 九上·江西赣州龙南·月考)如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 2，𝐴𝐷= 3，动点𝑃从点𝐴出发沿𝐴𝐷边向
终点𝐷运动，连接𝐶𝑃，以𝐶𝑃为边在𝐶𝑃上方作正方形𝐶𝑃𝐸𝐹，在点𝑃运动的过程中，阴影部分面积𝑦关于点𝑃所
走的路程𝑥(0 ≤𝑥≤3)之间的解析式为 ．
【答案】𝑦= 𝑥2 −5𝑥+ 10
【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，设𝐴𝑃= 𝑥，则𝐷𝑃= 3 −𝑥，由勾股定理得𝑃𝐶2 = 𝑃𝐷2 + 𝐶𝐷2 =
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(3 −𝑥)2 + 22 = 𝑥2 −6𝑥+ 13，则正方形𝑃𝐶𝐹𝐸面积为𝑥2 −6𝑥+ 13，△𝑃𝐶𝐷的面积为3 −𝑥，故可求出阴影
部分的面积．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 2；
设𝐴𝑃= 𝑥，则𝐷𝑃= 3 −𝑥，
由勾股定理得𝑃𝐶2 = 𝑃𝐷2 + 𝐶𝐷2 = (3 −𝑥)2 + 22 = 𝑥2 −6𝑥+ 13，
则正方形𝑃𝐶𝐹𝐸面积为𝑃𝐶2 = 𝑥2 −6𝑥+ 13，
又△𝑃𝐶𝐷的面积=
1
2 𝐷𝑃× 𝐶𝐷=
1
2 × (3 −𝑥) × 2 = 3 −𝑥，
所以，阴影部分的面积= 𝑥2 −6𝑥+ 13 −(3 −𝑥) = 𝑥2 −5𝑥+ 10．
即𝑦= 𝑥2 −5𝑥+ 10．
故答案为：𝑦= 𝑥2 −5𝑥+ 10．
12．(2025·青海省西宁市·模拟)如图1，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，动点P 从点A 出发，沿着𝐴→𝐵→𝐶的
路径运动到点C 停止，过点P 作𝑃𝑄⊥𝐴𝐶，垂足为Q．设点P 的运动路程为x，𝑃𝑄−𝐴𝑄的值为y，y 随x
变化的函数图象如图2 所示，则𝐵𝐶的长为 ．
【答案】
8
3/2
2
3
【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点𝑃到达点𝐵时，此时点𝑄与点𝐶重合，当点
𝑃在𝐵𝐶上运动时，点𝑄的位置始终保持不变，当点𝑃运动到𝑃𝐶= 𝐴𝐶时，此时𝑥= 4，当𝑃点与𝐶点重合时，此
时𝑃𝑄−𝐴𝑄= −2，即：𝐴𝐶= 2，设点𝑃运动到𝑃𝐶= 𝐴𝐶时，𝐵𝑃= 𝑎，进而得到𝐴𝐵= 4 −𝑎，𝐵𝐶= 2 + 𝑎，
利用勾股定理列出方程求出𝑎的值，进而求出𝐵𝐶的值即可．
【详解】解：由图象可知，当点𝑃到达点𝐵时，此时点𝑄与点𝐶重合，当点𝑃在𝐵𝐶上运动时，点𝑄的位置始终
保持不变，𝐴𝑄的值为𝐴𝐶的长，为定值，𝑦随着𝑥的增大逐渐减小，当点𝑃运动到𝑃𝐶= 𝐴𝐶时，此时𝑥= 4，𝑦= 0，
当𝑃点与𝐶点重合时，此时𝑃𝑄= 0，𝑦= 𝑃𝑄−𝐴𝑄= 0 −𝐴𝐶= −2，即：𝐴𝐶= 2；
设点𝑃运动到𝑃𝐶= 𝐴𝐶时，𝐵𝑃= 𝑎，则：𝐴𝐵= 4 −𝑎，𝐵𝐶= 2 + 𝑎，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理，得：(4 −𝑎)2 = (2 + 𝑎)2 + 22，
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解得𝑎=
2
3，
∴𝐵𝐶= 𝑎+ 2 =
8
3；
故答案为：
8
3．
13．(25-26 九上·湖南新邵县思源实验学校·月考)工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习
后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T 日（T 可取0，1，2 或3）的模拟练习，然后开
始试制．记一名新员工在试制阶段的第x 日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定
的T，可以认为y 是x 的函数，当𝑇= 0和𝑇= 3时，部分数据如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
𝑇= 0时y 的值
0
7
8
10
12
16
20
23
25
26
𝑇= 3时y 的值
0
24
35
43
m
50
51
52
53
54
𝑇= 3时，从试制阶段的第2 日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中描出该T 值下各数对(𝑥, 𝑦)所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲
线连接，得到曲线𝐶𝑇．当𝑇= 1和𝑇= 2时，曲线𝐶1，𝐶2如图所示．
(1)观察曲线𝐶1，当整数x 的值为______时，y 的值首次超过30；
(2)写出表中𝑚=______，并在给出的平面直角坐标系中画出𝑇= 3时的曲线𝐶3；
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
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①若新员工单日制成不少于40 个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理
论学习后的第几日可获得“优秀学员”证书？
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的5 日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这5 日中
应安排小腾先进行几日的模拟练习？
【答案】(1)4
(2)𝑚= 48；画图见解析
(3)①6；②1
【分析】（1）找𝐶1图象上y 的值首次超过30 时的𝑥值；
（2）根据第2 日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，观察前几日
的增长规律即可得𝑚= 48；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；
（3）①根据单日制成不少于45 个合格品的只有𝐶2与𝐶3，𝐶3：𝑇= 3 𝑥= 4时𝑦= 46，得𝑇+ 𝑥= 7；𝐶2：𝑇= 2，
当𝑥= 6时𝑦= 45，得𝑇+ 𝑥= 8，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7 日可获得“优秀学员”证书；②
分模拟练习𝑇= 0日，𝑇= 1日，𝑇= 2日，𝑇= 3日，求出对应的4 日内的试制日数，试制的合格产品数，
比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数．
【详解】（1）解：由图象可知，当𝑥= 4时，y 的值首次超过30；
故答案为：4
（2）解：∵𝑇= 3日的模拟练习时，从试制阶段的第2 日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的
个数逐渐减少或保持不变，
第3 日，24 + 11 = 35，
第4 日，35 + 8 = 43，
第5 日，43 + 5 = 48，
第6 日，48 + 2 = 50，
∴𝑚= 48
画出𝑇= 3时的曲线𝐶3：
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（3）解：①单日制成不少于40 个合格品的只有𝐶2与𝐶3，
𝐶3：𝑇= 3日的模拟练习，然后试制阶段第𝑥= 3日制成的合格品达到𝑦= 43个，
∴𝑇+ 𝑥= 6；
𝐶2：𝑇= 2日的模拟练习，然后试制阶段第𝑥= 4日制成的合格品达到𝑦= 40个，
∴𝑇+ 𝑥= 6，
故小云最早在完成理论学习后的第6日可获得“优秀学员”证书；
故答案为：6；
②当模拟练习𝑇= 0日时，
5 日内的试制时间𝑥= 5日，
5 日的合格产品分别是7，8，10，12，16
∴合格产品共有7 + 8 + 10 + 12 + 16 = 53；
当模拟练习𝑇= 1日时，
5 日内的试制时间𝑥= 5 −1 = 4日，
4 日的合格产品分别是12，19，26，31
∴合格产品共有12 + 19 + 26 + 31 = 88；
当模拟练习𝑇= 2日时，
5 日内的试制时间𝑥= 5 −2 = 3日，
3 日的合格产品分别是20，30，36
∴合格产品共有20 + 30 + 36 = 50 + 36 = 86；
当模拟练习𝑇= 3日时，
5 日内的试制时间𝑥= 5 −3 = 2日，
2 日的合格产品是24，35；
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∴合格产品共有24 + 35 = 59；
∵53 < 59 < 86 < 88，
∴希望小腾在完成理论学习后的5 日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这5 日中应安排小
腾先进行1 日的模拟练习．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函
数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键．
14．(25-26 八上·广东深圳哈工大（深圳）实验学校·开学考)甲、乙两工程队分别从𝐴，𝐵两地相向修建两地
之间的道路．已知甲队先施工2 天，乙队才开始施工，乙队施工几天后因另有紧急任务暂停施工．因考虑
到工期，甲队以原来速度的2 倍修建，乙队完成紧急任务后以原速恢复施工，直到道路修通．甲、乙两队
各自修路的长度与时间之间的关系如图所示．请结合图中信息解下列问题：
(1)在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路多少米？
(2)求乙队中途暂停施工的天数；
(3)求乙队恢复施工几天后，甲队比乙队多修路384 米．
【答案】(1)96 米
(2)2 天
(3)2 天
【分析】此题考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，数形结合看懂每段线段所代表的修路
进度是解决本题的关键．
（1）根据图像求出甲队在提速前每天修道路的米数即可；
（2）根据图像得出乙队的修路速度，进而解答即可；
（3）设乙队恢复施工x 天后，甲队比乙队多修路384 米，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据图象可知：在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路：
480 ÷ 5 = 96（米）；
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（2）解：根据题意，乙队的速度为
480
5−2 = 160（米/天），
乙队中途暂停施工的天数为：
11 −2 −(1120 ÷ 160)
= 9 −7
= 2（天）；
（3）解：设乙队恢复施工x 天后，甲队比乙队多修路384 米，根据题意得：
96 × 6 + 2 × 96(𝑥+ 2) −160 × (6 −2 + 𝑥) = 384，
解得：𝑥= 2，
答：乙队恢复施工2天后，甲队比乙队多修路384 米．
15．(24-25 七上·浙江湖州南浔区新东方·期中)如图①，在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，动点M 从点A 出发，
以每秒1 个单位的速度沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐷运动到点D 停止．设运动时间为a 秒，△𝐴𝑀𝐷的面积为S，S 与a
的变化情况如图②所示．
(1)求出𝐶𝐷、𝐴𝐷的长．
(2)如图③，动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位的速度沿路线𝐴→𝐷→𝐶运动到点C 停止．同时，动点Q
从点C 出发，以每秒5 个单位的速度沿路线𝐶→𝐷→𝐴运动到点A 停止．设运动时间为t 秒，当P、Q 点运
动到𝐴𝐷边上时，连接𝐶𝑃、𝐶𝑄、𝑃𝑄，当△𝐶𝑃𝑄的面积为8 时，时间t 是多少？
【答案】(1)𝐴𝐷= 12，𝐶𝐷= 16
(2)𝑡=
27
7 或
29
7
【分析】本题是四边形综合题，考查的是四边形动点问题与三角形的面积，熟悉掌握四边形动点问题的解
决办法和图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键．
（1）由图象可知，点𝑀从𝐴出发，从点𝐶到𝐷耗时16 秒，即𝐶𝐷= 16，再由𝑆=
1
2 × 𝐶𝐷⋅𝐴𝐷= 96，即可求解；
（2）由题意得，当𝑄运动到𝐴停止的时间为
28
5 ，而点𝑃运动到𝐷的时间为6，故只能有点𝑃、𝑄都在𝐴𝐷边上，
此时有以𝑃𝑄为底边，𝐶𝐷为高的三角形𝐶𝑃𝑄，再分点𝑃在𝑄上方、点𝑃在点𝑄下方两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，点M 从A 出发，从点C 到D 耗时16 秒，即𝐶𝐷= 16，
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此时𝑆=
1
2 × 𝐶𝐷⋅𝐴𝐷= 96，
即
1
2 × 16 ⋅𝐴𝐷= 96，
解得：𝐴𝐷= 12，
∴𝐴𝐷= 12，𝐶𝐷= 16；
（2）解：由题意得，当𝑄运动到𝐴停止的时间为
28
5 ，而点𝑃运动到𝐷的时间为
12
2 = 6，
当点𝑃、𝑄都在𝐴𝐷边上，此时有以𝑃𝑄为底边，𝐶𝐷为高的三角形𝐶𝑃𝑄，
则𝐴𝑃= 2𝑡，𝐷𝑄= 5𝑡−16，而
16
5 ≤𝑡<
28
5 ，
当点𝑃在𝑄上方时，则𝑃𝑄= 𝐴𝐷−𝐴𝑃−𝑄𝐷= 12 −2𝑡−5𝑡+ 16 = 28 −7𝑡，
△𝐶𝑃𝑄的面积=
1
2 ⋅𝑃𝑄⋅𝐶𝐷=
1
2 × (28 −7𝑡) × 16 = 8，
解得：𝑡=
27
7 （满足条件）；
当点𝑃在点𝑄下方时，𝑃𝑄= 𝐷𝑄−(𝐴𝐷−𝐴𝑃) = 5𝑡−16 −(12 −2𝑡) = 7𝑡−28，
△𝐶𝑃𝑄的面积=
1
2 ⋅𝑃𝑄⋅𝐶𝐷=
1
2 × (7𝑡−28) × 16 = 8，
解得：𝑡=
29
7 （满足条件）；
综上分析可知，𝑡=
27
7 或
29
7 ．
