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4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
（第2 课时+坐标平面内图形的平移）
题型一：求点沿着x 轴平移后的坐标
1．（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A 与点B 关于y 轴对称，将点A 向右
平移4 个单位长度后，点A 的坐标为(
)
6, 1
−
，则点B 的坐标是（ ）
A．(
)
3, 1
−
−
B．(
)
2, 1
−
−
C．(
)
1, 1
−−
D．(
)
3, 2
−
−
2．
（24-25 八年级下·宁夏中卫·期末）在平面直角坐标系中，点(
)
2, 3
−
向右平移3 个单位长度后的坐标是（ ）
A．(
)
5, 3
−
B．(
)
1, 3
−−
C．(
)
2,0
D．(
)
2, 6
−
3．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）将点
(
)
3, 2
A a +
−
向左平移4 个单位长度得到点A，且点A在y 轴上，
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则a 的值是（ ）
A．2
B．2
−
C．1
D．1
−
4．（23-24 八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点
(
)
1,2
A −
向右平移2 个单位长度得到
点B ，则点B 关于x 轴的对称点C 坐标是( )
A．(
)
1, 2
−
B．(
)
1, 2
−−
C．(
)
1,2
D．(
)
3,2
−
5．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）点
(
)
1,3
P
向上平移3 个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．(4,3)
B．(1, 3)
−
C．( 1,3)
−
D．(1,6)
6．（2023·河南南阳·一模）如图，在等腰
ABC
中，
5
AB
BC
=
=
，
2 5
AC =
，点A，B 分别在x 轴，y 轴上，
且BC
x
∥轴，将
ABC
沿x 轴向左平移，当点A 与点O 重合时，点B 的坐标为（ ）
A．(
)
2,2
−
B．(
)
2,4
−
C．(
)
3,2
−
D．(
)
3,4
−
7．（24-25 八年级下·安徽宿州·期中）将点
(
)
1,1
P m +
向右平移1 个单位长度后，正好落在y 轴上，则m 的值
是 ．
8．
（24-25 八年级下·重庆忠县·期中）已知点
( , 3)
P a −
向左平移1 个单位长度得到点
3
(3,
)
Q
−
，则a 的值为 ．
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题型二：求点沿着y 轴平移后的坐标
1．
（24-25 八年级上·全国·单元测试）点(
)
,
5
A a a +
向下平移8个单位到达点B ，点A 与B 恰好关于x 轴对称，
则点A 坐标是 ．
2．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·期末）已知点A 的坐标为(
)
2,1 ，将点A 向下平移4 个单位长度，得到的点A
的坐标为 ．
3．
（23-24 九年级上·山东济南·开学考试）将点
( 3 2)
P −，向下平移4 个单位得到点P，则点P的坐标为 ．
4．（23-24 八年级下·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，将点(
)
2,3 向上平移1 个单位长度，所得到的点
的坐标是 ．
5．（24-25 七年级下·广西南宁·期中）平面直角坐标系中有一点
(
)
2 1
A
，，若将点A 向上平移3 个单位长度得
到点B ，则点B 的坐标是 ．
题型三：求点沿着x 轴、y 轴平移后的坐标
1．（23-24 八年级下·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，将点
(
)
2,1
P −
向左平移4 个单位长度，再向上平
移3 个单位长度得到点
'P 的坐标是（ ）
A．(
)
2,4
B．(
)
6,4
−
C．(
)
1, 3
−
D．(
)
5,5
−
2．（24-25 七年级下·云南怒江·期中）将点
(
)
3, 2
A −
−
向右平移5 个单位长度，得到点
1A ，再把点
1A 向上平移
4 个单位长度得到点
2
A ，则点
2
A 的坐标为（ ）
A．(
)
2, 2
−
−
B．(
)
2,2
C．(
)
3,2
−
D．(
)
3,2
3．（24-25 七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，将点
(
)
,
A m n 先向右平移3 个单位长度，再向上
平移2 个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．
4．（2024·山西·模拟预测）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截
图，若在以O 为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块向左移动2 个格子，再向下移动6 个格
子，点A 恰好落在点
(
)
3,1
B
处，则上方的方块移动前点A 所在位置的坐标为 ．
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5．（24-25 七年级下·新疆喀什·期中）
ABC
中，
(
)
(
)
(
)
2
5
5
2
3 3
A
B
C
−
−
−
−
，
，
，
，
，，现将它向右平移2 个单
位长度，再向上平移3 个单位长度，得到对应点
1
1
1
A
B
C
，，
的坐标分别为 ．
6．（24-25 九年级下·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系xOy 中，作点(
)
1, 1
P
−
关于y 轴的对称点
1P ，再将点
1P 向上平移3 个单位，得到点
2P ，则点
2P 的坐标为 ．
题型四：由平移方式确定点坐标
1．（23-24 七年级下·四川德阳·阶段练习）已知△ABC 内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b
－6），如果点A 在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A 点坐标为（ ）
A．（6，－9）
B．（2，－6）
C．（－9，6）
D．（2，3）
2．（24-25 八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，把
ABC
经过一定的变换得到A B C
，若
ABC
上一点P
的坐标为( , )
x y ，则这个点在A B C
中的对应点P的坐标为（ ）
A．(
,
2)
x y
−
−
B．(
2,
)
x
y
−+
−
C．(
,
2)
x y
−
+
D．(
2,
2)
x
y
−+
+
3．（24-25 八年级下·山东聊城·阶段练习）将点(
)
A a
b
，
先向左平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长
度得到点(
)
B
b
a
−，
，则点B 的坐标是 ．
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4．（24-25 七年级下·湖北武汉·期末）点
(
)
6
2 ,
3
A
x x
−
−
在x 轴的上方，将点A 向上平移4 个单位长度，再向
左平移1 个单位长度后得到点B，点B 到x 轴的距离大于点B 到y 轴的距离，则x 的取值范围是 ．
5．（24-25 七年级下·河南信阳·期中）若线段AB
y
∥
轴，且
3
AB = ，点A 的坐标为(
)
21，，现将线段AB 先向
左平移1 个单位，再向下平移两个单位，则平移后B 点的坐标为 ．
6．（2025 八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，线段AB 平移后得到线段A B
，点(
)
2,1
A
的对应
点为
(
)
2, 3
A−
−
，则点
(
)
6, 1
B−
−
的对应点B 的坐标为 ．
7．（24-25 八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，点A、B 的坐标为(
)
1,0 、(
)
0,2 ，将AB 平移到A B
，已知A
坐标为(
)
3,1 ，则点B的坐标为 ．
8．（24-25 八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知点
(
)
4,2
A −
、点
(
)
2, 1
B
−
，将线段 AB 平移得到
线段 DC ． 若点 A 的对应点是
(
)
1,4
D −
，则点 B 的对应点 C 的坐标是 ．
9．（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，线段AB 两端点的坐标分别为(
)
1,0
A −
，
(
)
0,3
B
将线段AB 平移到线CD，其中一个对应点C 的坐标是(
)
4,2 ，则另一个对应点D 的坐标是 ．
10．（24-25 八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：(
)
(
)
1,0 ,
0,2
A
B
，若将线段AB 平移至
1
1
A B ，则2a
b
−
的
值为 ．
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11．
（24-25 七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，平移线段AB ，使点A 移到点C ，点B 移到点D ，
若A B
C
，，
三点的坐标分别为(
) (
) (
)
4,7
4, 1
1,4
−
−
−
，
，
，则点D 的坐标为 ．
12．（24-25 七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，(
)
1,
2
A m
n
−
−
，(
)
2,
B m
n
+
，平移线段
AB ，使点A，B 均落在坐标轴上，则点A 平移后的对应点的坐标是 ．
13．（24-25 七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知
(
)
(
)
3,6 ,
7,3
A
B
，平移线段AB 至CD（A
与C 对应），使得C，D 两点都在坐标轴上，此时，C 点坐标为 ．
题型五：已知平移前后点的坐标，判断平移方式
1．（23-24 七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点
(
)
1,4
A
，(
)
0,2
B
，(
)
3,0
C −
，
(
)
1, 1
D −−
，
(
)
5, 3
E
−
，
(
)
4,0
F
．将线段AB ，CD，EF 沿x 轴或y 轴方向平移后，恰好组成一个首尾相接
的三角形．若点B 与点C 平移后的对应点均为点O，则线段EF 需先向左平移 个单位长度，再向上
平移 个单位长度．
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2．（24-25 七年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知
ABC
，点D
为AC 边上一点，在方格纸内将
ABC
经过两次平移后得到A B C
，图中标出了平移后点D 的对应点D¢．
(1)画出平移后的A B C
并写出平移方式；
(2)判断线段AB 与A B
的关系是 ．
(3)线段AB 扫过的面积为 ．
3．（24-25 七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1 的方格纸内将三角形ABC 经过
平移后得到三角形A B C
，图中标出了点B 的对应点B．
(1)画出三角形A B C
，其中点
,
A C 的对应点分别为点
,
A C
；
(2)这个平移过程可以看作三角形ABC 先向___________平移___________个单位长度，再向___________平
移___________个单位长度；
(3)若三角形ABC 经过一次平移得到三角形A B C
，求线段BC 平移过程中扫过的面积．
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4．（24-25 七年级下·河南信阳·期末）
ABC
与A B C
在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)分别写出下列各点的坐标：A_____；B_____；C_______；
(2)说明A B C
由
ABC
经过怎样的平移得到？
(3)求
ABC
的面积．
5．（24-25 七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，
ABC
经过平移得到A B C
．
(1)分别写出点,
A A的坐标：A ，A ．并说明A B C
是由
ABC
经过怎样的平移得到的．
(2)若点
(
)
,2
M m
n 是
ABC
内部一点，经过相同的平移后对应点M的坐标为(
)
2 ,
m n ，求m 和n 的值．
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6．
（24-25 七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是(
)
5,4
A −
、
(
)
4,1
B −
、
(
)
2,3
C −
、
(
)
3,5
D −
，四边形ABCD通过平移得到四边形A B C D
，点A 、B 、C 、D 的对应点
分别是点A、B、C、D¢，其中点D¢的坐标是(
)
3,4 ．
(1)请在图中画出四边形A B C D
；
(2)四边形A B C D
可以由四边形ABCD经过怎样的平移得到？请写出一种平移的方式．
7．（24-25 七年级下·广东阳江·期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000 多年的历史，如图
是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1 的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为(
)
2,4
−
，
(
)
1,2 ．
(1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并写出C、D 两颗棋子的坐标：C( ， )，D( ， )．
(2)线段AB 平移后得到线段A B
，点A 的对应点是
(
)
1,3
A
，说明平移方式，并求出点B 的对应点B的坐标．
8．（24-25 七年级下·广西南宁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC 经过平移得到三角形
A B C
．
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(1)分别写出点A，A的坐标；
(2)请说明三角形A B C
是由三角形ABC 经过怎样的平移得到的；
(3)若点
(
)
,
1
M m n +
是三角形ABC 内部的一点，平移后的对应点M的坐标为(
)
1,
2
m
−
−
，求m 和n 的值．
9．（24-25 七年级下·湖北随州·期末）已知三角形A B C
是由三角形ABC 经过平移得到的，它们各顶点在平
面直角坐标系中的坐标如表所示：
三角形ABC
(
)
2
A a −
，
(
)
0
2
B
−
，
(
)
1 2
C
，
三角形A B C
(
)
1
1
A
−
，
(
)
4
B
b
，
(
)
3
C
c
，
(1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：
ABC
先向___________平移___________个单位长度，再向
___________平移___________个单位长度可以得到A B C
；
(2)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：
a =___________，b = ___________，c = ；
(3)在平面直角坐标系xOy 中画出三角形ABC 和三角形A B C
．
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10．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，将四边形ABCD平移后，顶点
(
)
2 3
C
，的坐标变成了(
)
2,0 ，这
时点
(
)
(
)
(
)
2,7
1,5 ,
3,5
A
B
D
，
的坐标分别变成了什么？画出四边形ABCD平移后得到的图形．
11．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，将三角形ABC 平移，得到三角形
1
1
1
A BC ，其中任意一点(
)
0
0
,
P x
y
平移后的对应点为
(
)
1
0
0
5,
3
P x
y
+
+
．写出三角形ABC 的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点
1
1
1
,
,
A B C 的
坐标．
12．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，图形Ⅱ可以由图形I 经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什
么变化？
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题型六：已知图形的平移求点的坐标
1．（24-25 八年级下·河北保定·期末）如图，点
(1,0)
A
、点B 在y 轴上，将
OAB
△
沿x 轴负方向平移，平移后
的图形为DEC
，且点C 的坐标为( , )
a b ，且
2
2
3
a
b
b
=
−
+
−
−，则点E 的坐标 ．
2．
（24-25 七年级下·江苏南通·期中）如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是
(3,5), (3,4),
(2,4),
(2,5)
A
B
C
D
，
将线段AB 先向右再向下平移之后得到线段EF ，点A 的对应点为
( , )
E m n ，若点E 到直线AD的距离等于点
F 到直线AB 的距离，则
,
m n的数量关系为 ．
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3．（24-25 七年级下·天津滨海新·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 平移至线段CD，BD．若点
(
)
2, 2
B −
−
的对应点为
(
)
1,2
D
，则点(
)
3,0
A −
的对应点C 的坐标是 ．
5．（24-25 七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知(
)
(
)
3,2 ,
2,4
A
B
−
，将线段AB 平移至CD，A 与C 对应，B 与
D 对应，若点D 恰好在y 轴上，点C 恰好在x 轴上，则点C 坐标是（ ）
A．(
)
6,0
−
B．(
)
6,0
C．(
)
5,0
−
D．(
)
5,0
6．（24-25 七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点(
)
3,
A m
n
+
，(
)
,
1
B m n +
都在第一象限，将线
段AB 平移，使平移后的点A 、B 分别落在x 轴和y 轴上，则点A 平移后的对应点的坐标是（ ）
A．(
)
1,0
−
B．(
)
1,0
C．(
)
3,0
−
D．(
)
3,0
7．（24-25 七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标分别为(2, 1), (1,0)
A
B
−
，将
线段AB 平移后，点A 的对应点A的坐标为(0,1)，则点B 的对应点B的坐标为 ．
题型七：已知平移后的坐标求原坐标
1．
（23-24 八年级上·安徽滁州·期中）若将点A 先向左平移1 个单位，再向上平移4 个单位，得到的(
)
3,2
B −
，
则点A 的坐标为（ ）
A．(
)
2,6
−
B．(
)
4,6
−
C．(
)
2, 2
−
−
D．(
)
4, 2
−
−
2．
（24-25 七年级下·北京怀柔·期末）若点
(
)
,
P x y 向下平移3 个单位后位于坐标原点，则P 点坐标为 ．
3．（23-24 八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点
(
)
,
A x y 向左平移个4 单位长度，再向下平
移3 个单位长度后与点
(
)
1, 2
B
−
重合，则点A 的坐标是 ．
4．（24-25 八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位
后坐标是(
)
1, 2
−−
，那它原来的位置坐标是 ．
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5．（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，
1
1
1
A BC
△
是由
ABC
先向右平移4 个单位长度，再
向上平移6 个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：
(
)
1 2,1
A
，
(
)
1 6,1
B
，
(
)
1 5,4
C
，则
ABC
的顶点A 的
坐标为 ．
题型一：点坐标规律探索
1．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）已知
(
)
2,2
M
，规定“先作点M 关于x 轴对称，再将对称点向左平移1个
单位”为一次变换．那么连续经过2025次变换后，点M 的坐标变为（ ）
A．(
)
2023,2
−
B．(
)
2023, 2
−
−
C．(
)
2024, 2
−
−
D．(
)
2024,2
−
2．（25-26 八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点出发，第1 次运动到
点
(
)
1 1,1
P
，第2 次运动到点
(
)
2 2,0
P
，第3 次运动到点
(
)
3 3, 2
P
−
，第4 次运动到点
(
)
4 4,0 ,
P
．按这样的
运动规律，点
2025
P
的坐标是（ ）
A．(
)
2025,1
B．(
)
2023, 2
−
C．(
)
2024,0
D．(
)
2025,0
3．（23-24 八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，
1
2
3
A A A
△
，
3
4
5
A A A
△
，
5
6
7
A A A
，…都
是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点
(
)
1
2,0
A −
，
(
)
2
1, 1
A
−
−
，
(
)
3 0,0
A
，…；则根据图示规律，点
2024
A
的
坐标为（ ）
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15 /
A．(
)
1, 1012
−−
B．(
)
1010,0
C．(
)
2,1012
−
D．(
)
1014,0
−
4．（23-24 七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A 从(
)
1,0 出发，向上运动1 个单位
长度到达点(
)
1,1
B
，分裂为两个点，分别向左、右运动到点
(
)
0,2
C
，
(
)
2,2
D
，此时称动点A 完成第一次跳
跃，再分别从C，D 点出发，每个点重复上面的运动，到达点
(
)
1,4
G −
，
(
)
1,4
H
，(
)
3,4
I
，此时称动点A
完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A 完成第2024 次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）
A．(2023,4046)
B．(2024,22023)
C．(2025,4048)
D．(2025,22024)
5．（24-25 七年级下·湖北黄冈·期末）如图，长方形ABCD的两边BC 、CD分别在x 轴、y 轴上，点C 与原
点重合，点
(
)
1,2
A −
．将长方形ABCD沿x 轴无滑动的向右滚动，经过第1 次滚动，点A 对应点记为
1A ；经
过第2 次滚动，点A 对应点记为
2
A ；……；以此类推，经过第2025 次滚动，点
2025
A
对应的坐标为__________．
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16 /
A．(3037,2)
B．(3037,1)
C．(3038,2)
D．(3038,1)
6．（24-25 八年级上·四川广安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”
方向排列，如 (
)
1,0 ，(
)
2,0 ，(
)
2,1 ，(
)
3,2 ，(
)
3,1 ，(
)
3,0 ，(
)
4,0 ，
，根据这个规律探索可得，第30
个点的坐标为（ ）
A．(
)
6,4
B．(
)
6,5
C．(
)
7,3
D．(
)
8,1
7．
（24-25 七年级下·黑龙江·阶段练习）如图，已知
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
3
4
5
6
1,1
2, 1
4,4
6, 4
7,1
8, 1
A
A
A
A
A
A
−
−
−
，
，
，
，
，
，
(
)
(
)
7
8
10,4
12, 4
A
A
−
，
，按这样的规律，则点
2025
A
的坐标为（ ）
A．(
)
3038, 1
−
B．(
)
3037, 1
−
C．(
)
3037,1
D．(
)
3038,1
8．（24-25 七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M 自
(
)
0 1,0
P
处向上运动1个单位至
(
)
1 1,1
P
，然后向左运动2 个单位至
2P 处，再向下运动3个单位至
3P 处，再向右运动4 个单位至
4P 处，再向上
运动5个单位至
5P 处，…，如此继续运动下去，则
2023
P
的坐标为（ ）
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17 /
A．(
)
1011, 1011
−
−
B．(
)
505, 506
−
−
C．(
)
505,505
−
D．(
)
1011, 1012
−
−
9．（24-25 七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点
(1,0)
A
，点A 第一次向左跳动至
1( 1,1)
A −
，第二次向右跳动至
2(2,1)
A
，第三次向左跳动至
3( 2,2)
A −
，第四次向右跳动至
4(3,2)
A
，依照此
规律跳动下去，点A 第2025次跳动至
2025
A
的坐标 ．
10．（24-25 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、
向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1 个单位．其行走路线如下图所示．那么蚂蚁第124 次移动到
的点
124
A
的坐标是
11．（24-25 八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1
个单位，再向右平移1 个单位，得到点
(
)
1 1,1
A
；把
1A 先向上平移2 个单位长度，再向左平移2 个单位长度，
得到点
(
)
2
1,3
A
−
；把
2
A 先向下平移3 个单位长度，再向左平移3 个单位长度，得到点
(
)
3
4,0
A −
；把
3
A 先向
下平移4 个单位长度，再向右平移4 个单位长度，得到点
(
)
4 0, 4
A
−
，…，按此规律依次进行下去，则点
2025
A
的坐标为 ．
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12．（24-25 七年级下·广西南宁·期中）如图，弹性小球从点
(
)
0,1
P
出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正
方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1 次碰到正方形的边时的点为
(
)
1 2,0
P
，第2
次碰到正方形的边时的点为
2P ，第n 次碰到正方形的边时的点为
nP ，则点
2025
P
的坐标是 ．
题型二：平移综合中新定义问题
1．（24-25 八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，给出如下定义：
点P 的“甲变换”：将点P 向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度；
点P 的“乙变换”：将点P 向右平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度．
若对点
(
)
,0
A m
进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点B 落在y 轴上，则点B 的坐标为 ．
2．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）定义新运算：
在平面直角坐标系中，{ , }
a b 表示动点从原点出发，沿着x 轴正方向(
)
0
a
或负方向(
)
0
a
平移a 个单位长
度，再沿着y 轴正方向(
)
0
b
或负方向(
)
0
b
平移b 个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x 轴负方向
平移2 个单位长度，再沿着y 轴正方向平移1 个单位长度，记作
2,1
−
；其加法运算法则为：
{ , } { , }
{
,
}
a b
c d
a
c b
d
+
=
+
+
，其中a，b，c，d 为实数．若{2,5} { , }
{1, 2}
m n
+
=
−
，则m
n
+
= ．
3．（24-25 七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系xOy 中的任意一点
(
)
,
M x y ，给出如下定义：记
a
x
y
=
+
，b
x
y
= −+
，将点(
)
,
P a b 与点
(
)
,
Q b a 称为点M 的一对卫星点．例如，点
(
)
1, 5
P
−
与点
(
)
5,1
Q −
为点
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19 /
(
)
3, 2
M
−
的一对卫星点．将点
(
)(
)
2
1,
1
0
C
m
m
m
−
−
+
向右平移m 个单位长度，向下移动m 个单位，得到点
C，若点C的一对卫星点重合，则m = ．
4．（2025·河北秦皇岛·一模）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，
,a b 表示动点从原点出发，沿着x 轴正方向(
)
0
a
或负方向(
)
0
a
．平移a 个
单位长度，再沿着y 轴正方向(
)
0
b
或负方向(
)
0
b
平移b 个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x 轴
负方向平移2 个单位长度，再沿着y 轴正方向平移1个单位长度，记作
2,1
−
．
②加法运算法则：
,
,
,
a b
c d
a
c b
d
+
=
+
+
，其中a ，b ，c ，d 为实数．
若
4,6
,
7,10
m
n m
n
+
+
−
=
，则mn = ．
5．（24-25 七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于点
(
)
,
P x y ，定义一种变换T ：将
点
(
)
,
P x y ）变换为
(
)
0
0
0
,
P
x
y
，其变换规则为
0
0
x
ax
by
y
bx
ay
=
+
=
−
，其中,a b 为常数．我们则称
(
)
0
0
0
,
P
x
y
是(
)
,
P x y
的“T 变点”．
(1)已知点(8, 1)
−
是点(1,2) 的“T 变点”，
①求6b
a
−的算术平方根；
②已知点
(
)
,2
1
A m
m −
经过变换T 后得到点B ，再将点B 先向左移1 个单位，再向上移5 个单位得到点C ，
若点C 落在坐标轴上，求点A 的坐标；
(2)约定：如果一个点的纵坐标比横坐标的2 倍还多4，我们就称这个点为“美点”，已知点(1, )
k 是点(1,1) 的“T
变点”，若点
(
)
,
M a b 就是一个“美点”，且
(
)
,
M a b 是N 的“T 变点”，求N 的坐标．
6．
（24-25 七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M 上的任意点
(
)
,
P x y ，给出如下定义：将点(
)
,
P x y
平移到
(
)
,
P x
n y
n
+
−
称为将点P 进行“n 型平移”，点P' 称为将点P 进行“n 型平移”的对应点；将图形M 上
的所有点进行“n 型平移”称为将图形M 进行“n 型平移”．例如，将点
(
)
,
P x y 平移到
(
)
1,
1
P
x
y
+
−
称为将点P
进行“1 型平移”，将点
(
)
,
Q x y 平移到
(
)
1,
1
Q
x
y
−
+
称为将点Q 进行“ 1
−型平移”．已知点(
)
(
)
1,4 ,
2,3
A
B
−
．
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20 /
(1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段AB 进行“2 型平移”后的对应线段A B
，直接写出A，B的坐标；
(2)将线段AB 进行“n 型平移”后与y 轴有公共点，直接写出n 的取值范围_____；
(3)将（1）中四边形ABB A
进行“n 型平移”后与x 轴有公共点，请直接写出n 的取值范围是____．
题型三：平移综合应用
1．（24-25 七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(
)
3,5 ，(
)
3,0 ．将
线段AB 向下平移2 个单位长度再向左平移4 个单位长度，得到线段CD，连接AC ，BD；
(1)直接写出坐标：点C （____________，__________），点D （___________，___________）
(2) M ，N 分别是线段AB ，CD上的动点，点M 从点A 出发向点B 运动，速度为每秒1 个单位长度，点N
从点D出发向点C 运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN
x
∥轴？
(3)点P 是直线BD上一个动点，连接PC ，PA，当点P 在直线BD上运动时，请直接写出
CPA
与
PCD
，
PAB 的数量关系．
2．（24-25 七年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点
(
)
2 5
A −，，点
(
)
2 0
B −，沿水平方向向
右分别平移4 个和8 个单位长度，点A 和点B 的对应点分别是点D 和点C．顺次连接A，B，C，D 得到四
边形ABCD．
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21 /
(1)直接写出点C 和点D 的坐标；
(2)若将四边形ABCD沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
，图中阴影部分的面积是72
5 ，求
1
1
C D
与x 轴的交点E 的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点(
)
2
P
n
−，
是坐标系内一动点，连接PO，PE，当三角形POE 的面积是四边形ABCD
的面积的1
5 时，求点P 的坐标．
3．（24-25 七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点(
)
(
)
(
)
0,2
2,0
4,0
A
B
C
−
，
，
．
(1)如图①，三角形ABC 的面积为___________；
(2)如图②，将点B 向右平移7 个单位长度，再向上平移4 个单位长度，得到对应点D，求三角形ACD 的面
积；
(3)在（2）条件下，点
(
)
,3
P m
是平面内一动点，若三角形PAO 的面积等于三角形ACD 的面积的一半，求点
P 的坐标．
4．（24-25 七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A，B 在x 轴正半轴上，且点A 在点B 的左
边，将线段AB 进行平移得到线段CD，点A 的对应点为点C，点B 的对应点为点D．
(1)若点
(2,0)
A
，
(5,0)
B
，
(
)
3,2
C
．则点D 坐标为__________，CD =__________；
(2)点M 是第四象限上的一个动点，过点M 作MN 垂直y 轴于点N，连接DN ，DM ，AM ．若点
( ,0)
A m
，
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22 /
( ,0)
B b
，
1
3, 2
C m
b
+
，
(3
,
)
D
a
m m
−
，DMN
的面积为
2
a+
，点D 到直线MN 的距离为2．问：是否存在
m，使得
ACM
△
面积是BCM
面积的2 倍？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
5．（24-25 七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知平面直角坐标系中，点
(
)
,0
A a
，(
)
0,
B
b ，a、b 满足
(
)
2
2
4
0
a
b
+
+
−
=
．
(1)求
AOB
的面积；
(2)将线段AB 经过水平、竖直方向平移后得到线段A B
，直线A B
交x 轴于点C，
(
)
5,2
A
．
①求点C 的坐标；
②如图2，线段A B
上一点(
)
,
P m n ，求：m
n
、之间的数量关系．
6．（24-25 七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC 进行平移，平移
后点A，B，C 的对应点分别是点D ，E ，F ．点
(
)
0,
A
a ，点
(
)
0,
B
b ，点
1
, 2
D a
a
，点
1
,
4
2
E m
b
a
−
+
．
(1)若
(
)
1,0
C
，则F 的坐标为_____；（用含a 的式子表示）
(2)若
1
a = ，求m 的值；
(3)若点
1
,
3
4
C
a
m
−
+
，其中
0
a
．直线CE 交y 轴于点M ，且三角形BEM 的面积为1，试探究AF 和BF 的
数量关系，并说明理由．
7．（24-25 七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点
( ,0), (0, ),
(0, 4)
A a
B
b C
−
，且a 和b 满足
2
(
4)
2
0
+
+
−
=
a
b
．将线段AB 平移，使得点A、B 分别与点C、D 重合．
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23 /
(1)请直接写出点A、B、D 的坐标：A______，B______，D______；
(2)如图，若点P 为直线AB 上一点，将点P 向右平移t 个单位到点P，当点P在直线CD上时，
①求t 的值．
②若三角形COP的面积是三角形DOP的面积的2 倍，求点P 的坐标．
1．（23-24 七年级下·宁夏吴忠·期中）编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B 在坐标系中的坐标分别为
(
)
1,2
A −
、
(
)
2,3
B −
，当飞机A 飞到指定位置的坐标是(
)
2,2 时，飞机B 的坐标是（ ）
A．(
)
1,5
B．(
)
1,3
C．(
)
4,5
−
D．(
)
5,3
−
2．（24-25 七年级下·广西南宁·期中）已知，在平面直角坐标系中A，B 两点的坐标分别为(
)
3,2 ，(
)
1,5 ，将
线段AB 平移到线段CD，若点A 的对应点C 的坐标为(
)
2, 2
−
−
，则点D 的坐标是（ ）
A．(
)
4, 1
−
−
B．(
)
4
1
−
,
C．(
)
4,1
D．(
)
4,1
−
3．（24-25 七年级下·广西钦州·阶段练习）如图，这是一所学校的平面示意图，图中小正方形的边长代表100
m，已知图书馆的坐标是(
)
3, 1
−
．若报告厅、实验楼的位置恰好在格点上，则下列说法正确的是（ ）
A．报告厅的坐标为(
)
0, 5
−
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B．实验楼与图书馆之间的实际距离是400 m
C．实验楼的坐标为(
)
1, 1
−
D．图书馆位于报告厅东北方向300m 处
4．（24-25 七年级下·四川凉山·阶段练习）设方程组(
)
1
3
3
4
ax
by
a
x
by
−
=
−
−
=
的解是
1
1
x
y
=
= −
那么把（a，b）先沿y
轴向上平移5 个单位，再沿x 轴向左平移4 个单位得到点的坐标为（ ）
A．（-2，3）
B．（3，-1）
C．（-6，8）
D．（2，8）
5．（24-25 七年级下·河南濮阳·期末）如图，平面直角坐标系内有一条线段AB ，(3,0)
A
，(0,1)
B
，若将线段
AB 平移至
1
1
A B ，则a
b
+
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．
（2025·河南周口·模拟预测）如图，Rt AOB
的边OB 在x 轴上，
90 ,
30 ,
2
OAB
ABO
AO
=
=
=
，将AOB
沿y 轴向上平移得到A O B
，若O B
恰好经过AB 边的中点M，则点A 的对应点A的坐标为（ ）
A．7 ,3 3
2
B．7 , 3
2
C．(
)
1,3 3
D．
3 3
1, 2
7．
（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的顶点(
)
(
)
2,0 ,
0,1
B
C
−
．现将矩形ABOC
平移到矩形A B O C
位置，使O点平移到点
(
)
4,2
O
位置，则A点的坐标为 ．
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8．（24-25 七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中xOy 中，线段AB 平移至
1
1
A B 位置．若
(
)
5,8
A −
的
对应点是
(
)
1 9,6
A
，则(
)
8,6
B −
的对应点
1
B 的坐标是 ．
9．（23-24 七年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(
)
5 4
A −，，(
)
1 2
B −，，将线段
AB 平移，得到线段CD（点A 的对应点为点C，点B 的对应点为点D），线段AB 上任一点(
)
,x y 在平移后
的对应点为(
)
,
x
s y
t
+
−
，其中
0
s
，
0
t
．
（1）若点C 与点B 恰好重合，则s = ，t = ；
（2）若
5
s
t
+ =
，且平移后三角形BCD的面积最大，则此时s = ，BCD
的面积为 ．
10．（24-25 八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直角坐标系中，ABC
的顶点都在网格点上，其中，C 点
坐标为(
)
1,2
(1)将
ABC
先向左平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到
'
'
'
A B C
．则
'
'
'
A B C
的三个顶点坐标分
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26 /
别是
'A （ ， ）、
'B （ ， ）、
'
C （ ， ）
(2)计算三角形ABC 的面积．
11．（23-24 七年级下·广东广州·期中）如图所示，平面直角坐标系中有
ABC
，把
ABC
向左平移3 个单位
长度，再向下平移3 个单位长度得到A B C
．
(1)在图中画出三角形A B C
．
(2)连接BC，探究
CBC
与
B C O
之间的数量关系，并说明理由；
(3)若点
(
)
1,2
5
M a
b
−
−
是三角形ABC 内一点，它随三角形ABC 按（1）中方式平移后得到的对应点为点
(
)
2
7,4
N
a
b
−
−
，求a 和b 的值．
12．（25-26 七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形ABC 中，任意一点
(
)
,
P a b 经平移后对应点
(
)
1
2,
3
P a
b
−
+
，将
ABC
作同样的平移得到
1
1
1
A BC
△
．求
1
1
1
,
,
A B C 的坐标．
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13．（24-25 七年级下·吉林通化·期末）如图，
ABC
在直角坐标系中
(1)若把
ABC
向上平移2 个单位，再向左平移1 个单位得到A B C
，写出A、B的坐标，并在图中画出
平移后A B C
图形.( 其中A、B、C分别是A、B、C 的对应点，不写画法)
(
A______，______) ；(
B______，
______) ；
(2)求出平移后A B C
的面积．
(3)已知点P 在y 轴上，以A，C，P 为顶点的三角形的面积为A B C
面积的1
2 ，则P 点的坐标为______．
14．（24-25 七年级下·湖南·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点(
)
,
2
A a a +
，(
)
,
4
B b b −
，且实数a ，b
满足
1
5
0
a
a
b
−+
−
=
．
(1)直接写出A ，B 两点的坐标；
(2)将线段AB 向左平移m 个单位，再向下平移n 个单位，得到线段DE ，使点D 落在x 轴上，点E 落在y 轴
上，设C 点的坐标为(
)
,
m n ，连接BC ，AC ，求
ABC
的面积．
(3)如图②，连接AD，BE ，P 为线段BE 上一点，
(
)
0,
Q
t 为y 轴上一动点，若
1
2
QAD
PAD
S
S
，求t 的取值
范围．
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15．（24-25 七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知(
)
0
A a，，(
)
0
B b，，
(
)
1 4
C −，，a 、b 满
足(
)
2
2
4
0
a
b
+
+
−
=
．平移线段AB 得到线段CD，使点A 与点C 对应，点B 与点D 对应，连接AC 、BD．
(1)求a ，b 的值，并直接写出点D 的坐标；
(2)点P 在射线AB （不与点A ，B 重合）上，连接PC 、PD．
①若
PCD
△
的面积是
PBD
△
的面积的2 倍，求点P 的坐标；
②设
PCA
=
，
PDB
=
，
DPC
=
．直接写出，，满足的关系式．
